Significado geométrico del módulo y argumento de una función analítica. Deja que la función w=f(z) es analítico en algún dominio D. Elijamos un punto arbitrario y dibujemos a través de él una curva arbitraria suave que se encuentre enteramente en D. Función f(z) muestra el área D plano complejo ( z) por región GRAMO plano complejo ( w). Supongamos que un punto se asigna a un punto y una curva a una curva. Denotémoslo por el ángulo que forma la tangente a en el punto con el eje. Buey, y a través de - el ángulo que forma la tangente en el punto con el eje UNED. Desde la función f(z) analítico, entonces hay una derivada en cualquier punto de la región D. Supongamos que en D. La derivada se puede representar en forma exponencial, es decir escríbelo en la forma:
Elijamos un método de esfuerzo en el que los puntos se encuentren en la curva. Entonces los puntos correspondientes a los números complejos y en el plano estarán representados por vectores secantes a las curvas y, respectivamente, y y son las longitudes de los vectores secantes, y y son los ángulos formados por estos vectores y los ejes positivos. Cuando estos vectores secantes se vuelven tangentes a las curvas y en los puntos y , de la igualdad (10) se sigue que , es decir el argumento derivado tiene el significado geométrico de la diferencia entre el ángulo del vector tangente de la curva y el ángulo del vector tangente. Dado que la derivada no depende del método para pasar al límite, será la misma para cualquier otra curva que pase por el punto. En otras palabras, arcos que pasan por un punto. z 0 en la superficie z cuando se muestra w=f(z) girar en el mismo ángulo en el plano w. Cuando el ángulo entre cualquier curva en el plano ( z), pasando por un punto z 0, es igual al ángulo entre las curvas y en el plano ( w), entonces esto se llama propiedad preservación (conservadurismo) de los ángulos.
De manera similar, de la igualdad (10) obtenemos: , es decir hasta cantidades de un orden superior de pequeñez, la igualdad se cumple: .
La última relación tampoco depende del método de elección de la curva y su significado geométrico es que cuando el mapeo se realiza mediante una función analítica que satisface la condición, los elementos lineales infinitesimales (arcos infinitesimales) se transforman de manera similar, y la El módulo de la derivada se llama. coeficiente de similitud. Esta propiedad de este mapeo se llama propiedad estiramiento constante, Es por eso k también llamado factor de estiramiento. Dicen que cuando k>1 – estiramiento, y cuando k<1 – сжатие.
Definición de mapeo conforme y propiedades básicas. Definición 17. Mapeo de áreas uno a uno D plano complejo ( z) por región GRAMO plano complejo ( w) llamado conforme, si es en todos los puntos zD Tiene la propiedad de mantener ángulos y estirarse constantemente.
Teorema 6. Para que la función compleja w=f(z) mapeó conformemente el área D avión ( z) por región GRAMO avión ( w), es necesario y suficiente que sea analítico en D y no en ningún punto de la región D.
□ Necesidad. Asumamos. Cuál es la función w=f(z) realiza mapeo conforme. Por definición, esto significa cumplir con las propiedades de preservar los ángulos y estirarse constantemente. Llevémoslo en un avión. z punto arbitrario z 0 y en sus proximidades hay dos puntos: z 1 Y z2. En la superficie w Corresponderán a puntos. w 0 , w 1 , w 2
Con una precisión de hasta cantidades infinitesimales se cumplirán las siguientes relaciones: , y de la constancia de los ángulos se sigue: . De la igualdad de los argumentos se deduce que los ángulos son iguales no sólo en valor absoluto, sino también en dirección. Como resultado obtenemos: .
Así, de las dos últimas igualdades se deduce, con precisión en cantidades infinitesimales, que se satisfacen las siguientes igualdades: . Debido a la arbitrariedad de la elección del punto. z 0 y puntos z1, z2 de su vecindad se deduce que existe Adecuación. Sea la derivada y no sea igual a cero en la región. D, entonces del significado geométrico de la derivada se deduce que se cumplen las propiedades de conservación de los ángulos y constancia de extensión, y esto, por definición, significa que la función realiza una aplicación conforme. ■
El mapeo conforme se utiliza para resolver problemas de física matemática, hidrodinámica y aerodinámica, teoría de la elasticidad y teoría de campos electromagnéticos y térmicos. La tarea principal de la teoría del mapeo conforme es encontrar la función de una variable compleja. w=f(z), que mostraría un área determinada D avión z a un área determinada GRAMO avión w. El teorema juega un papel importante en la solución de este problema.
Teorema 7. Cualquier región simplemente conectada D plano complejo z, cuyo límite consta de más de un punto se puede representar conformemente en el interior del círculo unitario<1 комплексной плоскости w.(no hay pruebas).
Este teorema implica la posibilidad de un mapeo conforme de una región dada. D a un área determinada GRAMO, si el límite de cada región consta de más de un punto. Luego, mapeando estas áreas en círculo auxiliar <1, мы получим искомое отображение. Конформное отображение многосвязной области на односвязную область невозможно, но в ряде случаев возможно конформное отображение областей одинаковой связности. Рассмотрим два конформных отображения.
visualización lineal. Lineal es un mapeo realizado por una función lineal donde a Y b- números complejos.
Este mapeo es uno a uno y conforme en todo el plano complejo ya que el mapeo lineal deja dos puntos fijos:
Imaginemos un mapeo lineal en forma de tres más simples.
1) Transformación de la rotación de todo el plano z en un ángulo alrededor del origen:
2) Transformación de similitud con el centro de similitud en el origen, es decir estiramiento a >1 y compresión a 0< <1:
3) Transferencia paralela a vector b:
Ejemplo 4. Encuentre una función que muestre un triángulo con vértices dados z1 =-1, z2 =i, z3 =1 en un triángulo con vértices w1 =0, w2 =-2+2i, w3 =4i.
Solución. Construyamos la función requerida como una superposición de tres transformaciones elementales.
1) - girar en ángulo en sentido antihorario;
2) - doble estiramiento;
3) - subir dos unidades;
La función requerida tiene la forma:
Mapeo lineal fraccionario. Función lineal fraccionaria, donde a B C D- se implementan números complejos mapeo lineal fraccional plano complejo extendido z w. Encontremos la derivada: si .
Definición 18. Puntos z 1 Y z 2 son llamados simétrico con respecto al círculo, si se encuentran en el mismo rayo que pasa por los puntos z 1, z 2 y punto z0, y .
inversión relativo a un círculo es una transformación del plano complejo extendido sobre sí mismo que toma cada punto z 1 avión a punto z 2, simétrico con respecto a este círculo. Consideremos el mapeo definido por la función y denotemos. Usando la propiedad del módulo, podemos escribir: . De ello se deduce que el mapeo en cuestión es una inversión con respecto a un círculo de radio R, centrado en el origen seguido de una imagen especular con respecto al eje real.
Por analogía con una aplicación lineal, imaginemos una aplicación lineal fraccionada como una superposición de transformaciones simples. Primero seleccionemos la parte entera de la fracción:
Las transformaciones más simples serán las siguientes:
1) transferencia paralela a: ;
2) transformación de inversión relativa a un círculo de radio R centrado en el origen seguido de una imagen especular sobre el eje real: ;
3) rotación relativa al origen: ;
4) transferencia paralela a: .
Ejemplo 5. Encuentra el área en la que irá el círculo bajo un mapeo lineal-fraccional.
Solución.
Este será el círculo que se obtenga tras las siguientes transformaciones:
1) mover 1 hacia abajo:
2) inversión relativa a , la dirección del bypass cambiará:
3) girar 90 grados:
4) mover 1 hacia abajo:
Propiedades del mapeo lineal fraccionario. Sin pruebas, formulamos las siguientes propiedades.
1.Conformidad. La función fraccionaria lineal mapea conformemente el plano complejo extendido z al plano complejo extendido w.
2. Singularidad. Existe una función fraccionaria lineal única a la que se le dan tres puntos distintos. z 1, z 2, z 3 avión z se muestra en tres puntos diferentes w 1, w 2, w 3 avión w y este mapeo viene dado por la igualdad: .
3.Propiedad circular. Con un mapeo lineal fraccionario, la imagen de cualquier círculo en sentido amplio es un círculo (en sentido amplio, es decir, un círculo o cualquier línea recta).
4. El principio de mostrar límites. Con el mapeo lineal fraccionario, un área que se encuentra dentro de un círculo se transforma en un área que se encuentra dentro o fuera del círculo transformado (el límite se asigna a un límite).
5. El principio de simetría de Riemann-Schwartz. Con un mapeo lineal fraccionario, los puntos que son simétricos con respecto a un círculo se mapean a puntos que son simétricos con respecto al círculo transformado (simetría en el sentido de inversión).
Ejemplo 6. Se especifica el semiplano superior del plano. z y un punto arbitrario z 0. Encuentre una función que la asigne al círculo unitario del plano. w de modo que z 0 se muestra en el centro del círculo.
Solución.
Sea , entonces, de acuerdo con el principio de mapeo de límites, el eje real en el plano. z se asignará a un círculo de radio unitario. Según la propiedad de simetría, un punto se asignará a un punto. Así, teniendo esto en cuenta, construiremos una función. Si consideramos los puntos z, que se encuentra en el eje real, y estos son puntos de la forma: , entonces las igualdades se cumplirán para ellos: , porque todos ellos están equidistantes de un punto situado sobre el eje real, es decir Tenemos que todos los puntos del eje real se asignarán a todos los puntos del círculo unitario, por lo que encontramos que si consideramos el módulo, el mapeo requerido tendrá la forma: .
¡Resuelva otro problema de mapeo fraccionario lineal e inserte ambos en el primer módulo!
Conferencia número 4.
Geométricamente, una función de una variable compleja. w=f(z) especifica la visualización de un determinado conjunto z– aviones a un determinado conjunto w-avión. Punto wÎ GRAMO llamado forma puntos z cuando se muestra w=f(z), punto zÎ D – prototipo puntos w.
Si todos z solo coincide un valor w=f(z), entonces la función se llama inequívoco (w=|z|,w=,w= Re z etc.) Si algunos z coincide con más de un valor w, la función se llama polisemántico (w= Arg z).
Si (es decir, en varios puntos del área D función toma diferentes valores), entonces la función w=F(z) se llama unifoliado en la zona D.
En otras palabras, la función univalente w=F(z) mapea uno a uno el área D en GRAMO. Con display de una sola hoja w=F(z) imagen inversa de cualquier punto wÎ GRAMO consta de un solo elemento: : . Es por eso z puede considerarse como una función de una variable w, definido en GRAMO. Se designa y llama función inversa .
Si en la zona D hay al menos un par de puntos, entonces la función F(z) son llamados multihoja en la zona D.
Si se muestra w=F(z) tiene varias hojas D(Por ejemplo, w=zn), entonces en este caso algunos valores wÎ GRAMO coincide con más de un punto zÎ D:F(z)=w. Por lo tanto, la aplicación inversa no es univaluada, es una función multivaluada.
Un solo dígito en el área D función w=F(z) se llama rama de una función multivaluada F, si valor F en cualquier punto zÎ D coincide con uno de los valores F en este punto.
Para aislar ramas de un solo valor de una función de varios valores, proceda de la siguiente manera: área D dividir funciones en dominios de univalencia w=F(z) para que no haya dos de las regiones que tengan puntos interiores comunes y para que cada punto zÎ D pertenecía a una de estas zonas o al límite de alguna de ellas. En cada uno de estos dominios de univalencia se define una función inversa a w=F(z). Es la rama univaluada de la función multivaluada.
El concepto de mapeo conforme.
Ejemplo. Encuentre el coeficiente de estiramiento y el ángulo de rotación en un punto. z=2i al mostrar .
■ Encuentra la derivada y su valor en un punto dado.
Relación de estiramiento k igual al módulo de la derivada: .
Ángulo de rotación j es igual al argumento de la derivada. La cuestión está, por tanto, en el último cuarto. ■
Ejemplo 3.5. Determinar qué parte del avión cuando se muestra. w=z 2 se estira y cuál se comprime.
■ Encontrar la derivada w¢=2 z. Factor de tensión en cualquier punto. z es igual k=|w¢( z)|=2|z|. El conjunto de puntos en el plano complejo para los cuales k>1, es decir 2| z|>1 o , forma parte del plano, que se estira cuando se muestra. Por lo tanto, al mostrar w=z 2, el exterior del círculo se estira y el interior se comprime. ■
Mostrar w=F(z) se llama conforme (es decir, conserva su forma) en un punto si conserva los ángulos entre curvas y tiene la propiedad de extensión constante de la vecindad del punto.
Cualquier mapeo establecido mediante una función analítica. F(z) es conforme en todos los puntos donde .
El mapeo se llama conforme en la región , si es conforme en todos los puntos de esta región.
Un mapeo conforme en el que se conserva la dirección de referencia de los ángulos se llama mapeo conforme del primer tipo . Un mapeo conforme en el que se invierte la dirección de los ángulos se llama mapeo conforme del género ΙΙ (Por ejemplo, ).
En la teoría y práctica de los mapeos conformes, se plantean y resuelven dos problemas.
La primera tarea es encontrar la imagen de una línea o área determinada bajo un mapeo determinado. tarea directa .
La segunda es encontrar una función que asigne una línea o área determinada a otra línea o área determinada: problema inverso .
Al resolver un problema directo se tiene en cuenta que la imagen de un punto z 0 cuando se muestra w=F(z) es un punto w 0 , tal que w 0 =F(z 0), es decir, el resultado de la sustitución z 0 en F(z). Por lo tanto, para encontrar la imagen de un conjunto, es necesario resolver un sistema que consta de dos relaciones. Uno de ellos especifica la función de mapeo. w=F(z), la otra es la ecuación de la recta, si se resuelve el problema de encontrar la imagen de la recta, o la desigualdad que determina el conjunto de puntos de la preimagen, si se resuelve el problema de mapear áreas. En ambos casos, el procedimiento de solución se reduce a eliminar la variable z a partir de dos razones dadas.
Regla 3.3. Para encontrar la imagen de la recta dada por la ecuación F(X,y)=0 (o explícitamente y=j(X)), al mostrar w=F(z) necesario:
1. Seleccione las partes real e imaginaria de la función. F(z): tu=Re F(z), v= Soy F(z).
2. Excluir del sistema X Y Ud. La relación resultante es la ecuación de la imagen de esta recta.
Regla 3.4. Para encontrar la imagen de una línea determinada al mostrar w=F(z) necesario:
1. Escribe la ecuación de la recta en forma paramétrica. z=z(t) o en forma compleja.
2. Dependiendo del tipo de ecuación lineal, considere el caso correspondiente:
Si la línea está dada en forma paramétrica, sustituya la expresión z(t) V. w=F(z);
Si la recta se da en forma compleja, entonces expresa z de w=F(z), es decir, y . Entonces deberías sustituir z y en la ecuación de la recta. La relación resultante es la ecuación de la imagen de esta recta.
Regla 3.5. Para encontrar una imagen de un área determinada, debe utilizar uno de dos métodos.
Primera manera.
1. Escribe la ecuación del límite de esta área. Encuentra la imagen del límite de un área determinada usando las reglas 3.3 o 3.4.
2. Seleccione un punto interno arbitrario de un área determinada y busque su imagen bajo el mapeo dado. La región a la que pertenece el punto resultante es la imagen deseada de la región dada.
Segunda vía.
1. expreso z de la relación w=F(z).
2. Sustituya lo que recibió en el paso 1. una expresión en una desigualdad que define una región dada. La proporción resultante es la imagen deseada.
Ejemplo. Encuentra la imagen de un círculo | z|=1 cuando se muestra usando una función w=z 2 .
■ 1 vía(según la regla 3.3).
1. dejar z=x+iy, w=u+iv. Entonces u+iv =X 2 -y 2 +i 2xy. Obtenemos:
2. Excluyamos X Y en de estas ecuaciones. Para hacer esto, elevamos al cuadrado la primera y segunda ecuaciones y sumamos:
tu 2 +v 2 =X 4 -2X 2 y 2 +y 4 +2X 2 y 2 =X 4 +2X 2 y 2 +y 4 =(X 2 +y 2) 2 .
Teniendo en cuenta la tercera ecuación del sistema, obtenemos: tu 2 +v 2 =1 o | w| 2 =1, es decir | w|=1. Entonces, la imagen del círculo | z|=1 es un círculo | w|=1, transitable dos veces. Esto se desprende del hecho de que desde w=z 2 luego arg w=2Arg z+2paquete. Entonces cuando el punto z describe un círculo completo | z|=1, entonces su imagen describe el círculo | w|=1 dos veces.
Método 2(según la regla 3.4).
1. Escribamos la ecuación del círculo unitario en forma paramétrica: z=e eso (0£ t£2 pag).
2. Sustituyamos z=e eso en proporción w=z 2: w=e yo 2 t=cos2 t+i pecado2 t. Por lo tanto, | w| 2 = porque 2 2 t+pecado 2 2 t=1, es decir | w|=1 – ecuación de imagen. ■
Ejemplo. Encuentra la ecuación de la imagen de una recta. y=x cuando se muestra w=z 3 .
■ Como la curva se da explícitamente, aplicamos la regla 3.3.
1. w=z 3 =(X+yo) 3 =X 3 +3X 2 yo+3X(yo) 2 +(yo) 3 =X 3 - 3xy 2 +i(3X 2 yy 3).
2. En el sistema resultante sustituimos y=x: Excluyendo X de estas ecuaciones obtenemos v=-u.
Entonces, la imagen de la bisectriz de los ángulos coordenados I y III del sistema. xoy es la bisectriz de los ángulos coordenados II y IV del sistema uOV. ■
1. Función lineal
Función lineal llamada función de la forma
w=Arizona+b, (4.1)
Dónde A, b- constantes complejas.
Esta función está definida por , . Por lo tanto, si , entonces la función lineal produce una aplicación conforme de todo el plano de la variable compleja. En este caso, las tangentes a todas las curvas se rotan en el mismo ángulo Arg a, y la tensión en todos los puntos es igual. Si un = 1, entonces no hay estiramiento ni rotación. En este caso obtenemos w=z+b. Este mapeo desplaza todo el plano mediante un vector.
En el caso general, pasando a la forma exponencial de escribir un número complejo, obtenemos. Por tanto, un mapeo lineal es una composición de tres transformaciones geométricas:
w 1 =rz- similitud con el coeficiente r=|a|;
w 2 =e i j w 1 =rze i j- girar en ángulo j= argumento a alrededor del punto ACERCA DE;
w=w 2 +b=re i j z+b- transferencia paralela a un vector.
Por lo tanto, el mapeo w=Arizona+b cambia las dimensiones lineales de cualquier figura plana en | a| una vez, gira esta figura en un ángulo j= argumento a alrededor del origen y lo desplaza en la dirección del vector por su valor.
Un mapeo lineal tiene una propiedad circular, es decir, mapea círculos. z-aviones en círculo w-avión (y viceversa); convierte líneas rectas en líneas rectas.
Ejemplo. Encuentra la imagen del eje. UNED cuando se muestra w=2iz-3i.
■ 1 vía(según la regla 3.4). Elegimos la ecuación del eje en forma paramétrica.
1. Dado que en forma real la ecuación del eje Oye: X=0, -¥<y<+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy, -¥<y<+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран en.
2. Sustituyamos z=iy en expresión w=2iz-3i: w=-2y-3i, -¥<y<+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (en- parámetro). Aislando las partes real e imaginaria, obtenemos la ecuación de la imagen en forma real: tu=-2y, v=-3 o v=-3, -¥<tu<+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOV, paralelo al eje real.
Método 2. Usamos la propiedad circular de una transformación lineal: la imagen de una línea recta es una línea recta. Dado que una línea recta se define especificando dos puntos, es suficiente en el eje UNED seleccione dos puntos cualesquiera y encuentre sus imágenes. La recta que pasa por los puntos encontrados será la requerida. Seleccionemos puntos z 1 =0, z 2 =i, sus imágenes w 1 =-3i, w 2 =-2-3i cuando se mapea, se encuentra en la línea que estoy w= -3. Por lo tanto, la imagen del eje UNED es una linea recta v=-3.
3 vías(geométrico). De la relación w=2iz-3i sigue eso a=2i, b=-3i, |a|=2, . Esto significa que la línea recta dada (eje UNED) debe girarse un ángulo con respecto al origen y luego desplazarse hacia abajo 3 unidades. Estirar 2 veces no cambia la apariencia geométrica de la línea original, ya que pasa por el origen. ■
Ejemplo. Encuentra alguna función lineal que represente un círculo | zi|=1 por circunferencia | w- 3|=2.
■ El problema planteado es el problema inverso de la teoría de las asignaciones: dada una imagen y una preimagen dadas, encuentre la asignación correspondiente. Sin condiciones adicionales, el problema no tiene una solución única. Presentemos una solución geométrica.
1. Mueve el centro del círculo al origen. Para ello aplicamos el mapeo. w 1 =zi.
2. En avión w 1 apliquemos un mapeo que proporcione un estiramiento doble, es decir w 2 =2w 1 .
3. Desplaza el círculo 3 unidades hacia la derecha: w=w 2 +3. Finalmente obtenemos: w=2(zi)+3, w= 2z+3-2i– la función requerida.
Puede elegir un orden diferente para realizar operaciones geométricas: no desplazar primero, sino rotar o estirar. ■
2. Función lineal fraccionaria
lineal fraccional llamada función de la forma
Dónde a, b,C,d- números complejos tales que , .
Propiedades de la transformación lineal fraccionaria.
1°Conformidad
Mostrar w=l(z) es conforme en todos los puntos finales del plano complejo excepto .
2° propiedad circular
La imagen de una línea recta o un círculo en un mapeo lineal fraccionario. w=l(z) es una línea recta o un círculo (y la imagen de una línea recta puede ser un círculo o una línea recta, y la imagen de un círculo puede ser tanto una línea recta como un círculo). Es fácil establecer que al mostrar w=l(z) todas las líneas rectas y círculos que pasan por el punto van a planos rectos ( w), y todas las líneas rectas o círculos que no pasan por el punto d, - en la circunferencia del avión ( w).
3°Invariancia de doble relación
La relación se conserva bajo una aplicación lineal fraccionaria, es decir, es su invariante. Esta relación se llama doble ratio de cuatro puntos. Por tanto, la transformación lineal fraccionaria se determina de forma única especificando tres puntos y sus imágenes: . Usando estos pares, puedes encontrar una función lineal fraccionaria usando la fórmula:
Esta fórmula también se puede aplicar en el caso de que algunos de los números z k Y semana conviértete en ¥, si usas la regla: la diferencia en la que aparece el símbolo ¥ debe reemplazarse por 1.
4°Manteniendo la simetría
si puntos z 1 y z 2 son simétricos con respecto a alguna línea o círculo gramo, entonces para cualquier mapeo lineal fraccionario w=l(z) sus imágenes w 1 y w 2 será simétrico con respecto a la imagen. gramo: .
La simetría respecto de una línea recta se entiende en el sentido habitual.
Puntos z Y z* son llamados simétrico con respecto al círculo |zz 0 |=R, si se encuentran en el mismo rayo que sale del centro del círculo, y el producto de sus distancias al centro del círculo es igual al cuadrado de su radio, es decir
|zz 0 |×| z*-z 0 |=R 2 . (4.4)
Un punto simétrico a un punto. z 0 – el centro del círculo es obviamente el punto en el infinito.
5°Principio de coincidencia de cruce de límites (mostrar áreas delimitadas por líneas o círculos)
Si, en un mapeo lineal fraccionario, una línea recta o un círculo gramo se convierte en una línea recta o un círculo g¢, entonces el área D, que es limitado gramo, se transforma en una de las dos áreas que están delimitadas por g¢. En este caso, se aplica el principio de correspondencia del desvío de fronteras: si durante algún desvío de línea gramo región D resulta estar a la izquierda (derecha), luego con el correspondiente recorrido de la línea g¢ región D¢ también debe estar a la izquierda (derecha).
Ejemplo. Encuentra la función lineal fraccionaria w=l(z), tal que w(i)=2i, w(¥)=1, w(-1)=¥.
■ Denotemos z 1 =i, z 2 =¥, z 3 = -1 y w 1 =2i, w 2 =1, w 3 =¥. Apliquemos la fórmula (4.3), reemplazando las diferencias que contienen z 2 y w 3 a ¥:
Convirtamos: - w-wi+ 2i- 2=wz-wi-z+i Û w(z+1)=z-2+iÛ es la función requerida. ■ :w =1 y yo w=0.
2. Ahora de conformidad con el párrafo 2. Regla 3.5, elija un punto arbitrario, por ejemplo, z=-1О D. Su imagen bajo un mapeo dado es, entre las líneas Im w=1 y yo w=0. Por lo tanto, la imagen del área dada será la franja 0.< Imw<1. ■
3. Función exponencial
Función exponencial de una variable complejaz=x+iy se llama función denotada por exp z(lea "exponente" z") y definido por la fórmula
Propiedades exp. z
1° Si, entonces exp. z=exp X=ex, es decir. en el eje real, la función exponencial de una variable compleja coincide con la función exponencial de una variable real. Por lo tanto, junto con la notación exp zp, paralelo al eje real:
Si, por ejemplo, entonces.
8° La función exponencial es analítica en , (exp z)¢=exp z.
Ejemplo. Encuentre la parte real, imaginaria, el módulo y el valor principal del argumento de un número mi 2- i.
■ Usamos la definición de una función exponencial de una variable compleja. Dejar z=2-i, X=Re z=2, y= Soy z=-1.
Entonces . Por eso,
También puedes utilizar el teorema de la suma y la fórmula de Euler (1.7) en lugar de la definición. ■
Mostrarw =exp z
MAPEO CONFORMAL (transformación conforme), un mapeo de una región (en un plano o en el espacio) a otra región, preservando los ángulos entre curvas. Los ejemplos más simples de mapeo conforme son las transformaciones de similitud y las rotaciones (transformaciones ortogonales).
El mapeo conforme se utiliza en cartografía cuando es necesario representar parte de la superficie del globo en un plano (mapa) conservando los valores de todos los ángulos; Ejemplos de tales mapeos conformes son la proyección estereográfica y la proyección de Mercator (ver Proyecciones de mapas). Un lugar especial lo ocupan las asignaciones conformes de unas regiones del plano sobre otras; su teoría tiene aplicaciones importantes en mecánica aero y de fluidos, electrostática y teoría de la elasticidad. La solución a muchos problemas importantes se obtiene fácilmente cuando el área para la cual se plantea el problema tiene una forma bastante simple (por ejemplo, un círculo o un semiplano). Si el problema se plantea para un dominio más complejo, entonces resulta suficiente mapear conformemente el dominio más simple al dado para obtener una solución al nuevo problema a partir de una solución conocida. Este es exactamente el camino que siguió N. E. Zhukovsky al crear la teoría del ala de un avión.
No todas las regiones del plano admiten asignaciones conformes entre sí. Por ejemplo, un anillo circular delimitado por círculos concéntricos no se puede asignar conforme a un anillo con una relación de radio diferente. Sin embargo, dos regiones cualesquiera, cada una de las cuales está limitada por una sola curva (regiones simplemente conectadas), pueden mapearse conformemente entre sí (teorema de Riemann). En cuanto a las áreas delimitadas por varias curvas, dicha área siempre se puede asignar conforme a un área delimitada por el mismo número de segmentos de recta paralelos (teorema de Hilbert) o círculos (teorema de Köbe), pero los tamaños y posiciones relativas de estos segmentos de recta o los círculos no se pueden establecer arbitrariamente.
Si introducimos variables complejas z y w en los planos original y de imagen, entonces la variable w, considerada en el mapeo conforme como una función de z, es una función analítica o una función compleja conjugada con la analítica. Por el contrario, cualquier función que sea analítica en un dominio dado y tome diferentes valores en diferentes puntos del dominio (dicha función se llama univalente) asigna conformemente este dominio a algún otro dominio. Por tanto, el estudio de mapeos conformes de regiones planas se reduce al estudio de funciones analíticas univalentes.
Cualquier mapeo conforme de regiones tridimensionales transforma esferas y planos en esferas y planos y se reduce a una transformación de similitud o a una transformación de inversión y una transformación de similitud realizadas secuencialmente (teorema de Liouville). Por lo tanto, los mapeos conformes de regiones tridimensionales (y generalmente multidimensionales) no tienen tanta importancia ni aplicaciones tan diversas como los mapeos conformes de regiones bidimensionales.
La teoría del mapeo conforme comenzó con L. Euler (1777), quien descubrió la conexión entre funciones de una variable compleja y el problema de mapear conformemente partes de una esfera en un plano (para construir mapas geográficos). El estudio del problema general de la aplicación conforme de una superficie a otra llevó a K. Gauss (1822) al desarrollo de la teoría general de las superficies. B. Riemann (1851) formuló las condiciones bajo las cuales es posible un mapeo conforme de una región del plano sobre otra, pero el enfoque que esbozó no se confirmó hasta principios del siglo XX (A. Poincaré y C. Carathéodory). Los estudios de N. E. Zhukovsky y S. A. Chaplygin, quienes abrieron un amplio campo de aplicaciones del mapeo conforme en aero e hidromecánica, sirvieron como un poderoso estímulo para el desarrollo de la teoría del mapeo conforme como una gran rama de la teoría de funciones analíticas.
Iluminado.: Goluzin G.M. Teoría geométrica de funciones de una variable compleja. 2da ed. M., 1966; Markushevich A. I. Teoría de funciones analíticas. 2da ed. M., 1968. T. 2; Lavrentyev M.A., Shabat B.V. Métodos de la teoría de funciones de una variable compleja. 6ª edición. M., 2002.
Dejemos que una función de un solo valor se defina en un determinado dominio y dejemos que los puntos y pertenezcan al dominio.
Definición. Si existe un límite finito de la razón cuando, según cualquier ley, tiende a cero, entonces:
1) este límite se llama derivada de una función en un punto y está indicado por el símbolo
2) en este caso la función se llama diferenciable en el punto.
Todas las reglas y fórmulas para derivar funciones de una variable real siguen vigentes para funciones de una variable compleja.
Teorema. Para que una función sea diferenciable en un punto 
, es necesario y suficiente que:
1) funciones reales y eran diferenciables en el punto *);
2) en este punto se cumplieron las condiciones
, (4.2)
llamado Condiciones de Cauchy-Riemann(C.-R.)o d'Alembert-Euler.
Si se cumplen las condiciones ( C.-R.) la derivada de una función se puede encontrar usando una de las siguientes fórmulas:
Presentemos dos definiciones que son de fundamental importancia en la teoría de funciones de una variable compleja.
Definición.Función llamado analítico en el campo, si es diferenciable en cada punto de esta región.
Definición.Función llamado analítico en el punto, si es analítico en alguna vecindad del punto, es decir si la función es derivable no sólo en un punto dado, sino también en su vecindad.
De las definiciones anteriores se desprende claramente que los conceptos de analiticidad y diferenciabilidad de una función en un dominio coinciden, pero la analiticidad de una función en un punto y la diferenciabilidad en un punto son conceptos diferentes. Si una función es analítica en un punto, entonces ciertamente es diferenciable allí, pero lo contrario puede no ser cierto. Una función puede ser diferenciable en un punto, pero no serlo en ninguna vecindad de ese punto, en cuyo caso no será analítica en el punto en cuestión.
La condición para que una función sea analítica en un dominio es que se cumplan las condiciones de Cauchy-Riemann para todos los puntos de este dominio.
Relación entre funciones analíticas y funciones armónicas. ¿Puede cualquier función de dos variables servir como parte real e imaginaria de alguna función analítica?
Si la función es analítica en el dominio, entonces las funciones son armónicas, es decir, satisfacen la ecuación de Laplace.
Y 
.
Sin embargo, si las funciones son funciones armónicas elegidas arbitrariamente, entonces la función 
, en términos generales, no será analítico, es decir. las condiciones para ellos no siempre se cumplirán.
Puede construir una función analítica a partir de una función armónica dada (por ejemplo, 
), recogiendo otro 
para que se cumplan las condiciones. Las condiciones (4.2) nos permiten determinar una función desconocida (por ejemplo, ) por sus dos derivadas parciales o, lo que es lo mismo, por su diferencial total. Encontrar una función armónica a partir de su diferencial es el problema de integrar el diferencial total de una función de dos variables, conocido del análisis real.
Significado geométrico del módulo y argumento de la derivada. Sea la función diferenciable en el dominio y . La función asignará un punto plano a un punto plano, una curva que pasa por un punto a una curva que pasa por él (Fig. 4.1).
Módulo derivado 
es el límite de la relación entre la distancia infinitesimal entre los puntos mapeados y la distancia infinitesimal entre sus prototipos y . Por lo tanto, la cantidad se puede considerar geométricamente como un coeficiente de estiramiento (si ) en un punto al mapear una región en otra, realizado por la función
 |  |
En cada punto de la región en cada dirección el coeficiente de estiramiento será diferente. Para el argumento derivado, podemos escribir
donde y son respectivamente los ángulos y que los vectores y se forman con el eje real (Fig. 4.1). Sean los ángulos que forman las tangentes a la curva y en los puntos y con el eje real. Entonces para , a , por lo tanto 
define el ángulo mediante el cual se debe girar la tangente a la curva en el punto para obtener la dirección a la tangente a la curva en el punto.
Si consideramos dos curvas y , y , entonces los ángulos y (figura 4.1) entre sus tangentes son, en general, desiguales.
Definición. Un mapeo de un dominio a un dominio que tiene las propiedades de dilataciones constantes () en cualquier dirección y conservación (o conservadurismo) de los ángulos entre dos curvas que se cruzan en un punto se llama conforme(similar en pequeño). El mapeo realizado por la función analítica es conforme en todos los puntos en los que .
EJERCICIOS
55. Demuestre que la función es diferenciable y analítica en todo el plano complejo. Calcula su derivada.
Solución. Busquemos y. Por definición tenemos. Por eso, 
.
, 
,
Dónde 
, 
.
Como se puede observar, las derivadas parciales son continuas en todo el plano, y las funciones y son diferenciables en cada punto del plano. Se cumplen las condiciones. En consecuencia, es diferenciable en cada punto del plano y, por tanto, analítico en todo el plano. Por tanto, la derivada se puede encontrar mediante una de las fórmulas (4.3):
Finalmente, la derivada se puede encontrar usando las reglas de diferenciación formal: .
56. Descubra si la función es analítica:
Solución. a) Desde entonces, ¿de dónde? 
. Como puede verse, la primera condición (4.2) no se cumple para ninguno y . En consecuencia, la función no es diferenciable en ningún punto del plano y, por tanto, no es analítica.
b) Tenemos. Función 
Y 
son diferenciables en cada punto del plano, porque sus derivadas parciales son continuas en todo el plano. Pero las condiciones no se cumplen en ningún punto del plano, excepto en el punto donde todas las derivadas parciales son iguales a cero. En consecuencia, la función es diferenciable sólo en un punto, pero no es analítica allí, ya que por definición requiere diferenciabilidad en una vecindad de este punto.
Por tanto, la función no es analítica para ningún valor. Del ejemplo anterior queda claro que la analiticidad de una función en un punto es un requisito más fuerte que su diferenciabilidad en ese punto.
57. ¿Existe una función analítica para la cual 
?
Solución. Comprobemos si la función es 
armónico. Para ello encontramos
Y 
. De la última relación se deduce que no puede ser una parte real ni tampoco imaginaria de una función analítica.
58. Encuentre, si es posible, una función analítica a partir de su parte real 
.
Solución. Primero comprobemos si la función es 
armónico. Encontramos , , 
, 
Y 
. Una función que es armónica en todo el plano está asociada a las condiciones de Cauchy-Riemann. De estas condiciones obtenemos, 
. De la primera ecuación del sistema la encontramos integrando sobre , asumiendo constante.
donde se determina una función arbitraria. Encontrémoslo desde aquí 
y equipararlo con la expresión encontrada anteriormente: . Obtenemos una ecuación diferencial para determinar la función. 
, dónde
Entonces, . Entonces, es decir en este punto hay una rotación que forma un ángulo y forman un ángulo entre sí, se muestran respectivamente en rayos y forman un ángulo entre sí 
. Por lo tanto, en un momento, la conformidad del mapeo se viola debido a que se viola la propiedad del conservadurismo de los ángulos: los ángulos no se conservan, sino que se triplican.
Los sistemas de electrodos con campos electrostáticos bidimensionales complejos se pueden calcular utilizando el método de mapeo conforme. La idea principal de este método es reemplazar campos complejos con campos simples cuyas soluciones se conocen. Estos campos simples incluyen los campos de un condensador plano o cilíndrico alejados de sus bordes. El método de asignaciones conformes es una aplicación práctica de la teoría de funciones de una variable compleja. Un mapeo conforme es un mapeo continuo que preserva la forma de figuras infinitesimales (infinitesimales). Para un mapeo conforme, se satisface la propiedad de constancia de ángulos y constancia de extensiones. El nombre proviene del latín tardío. conformis– mapeo continuo similar que preserva la forma de figuras infinitesimales: por ejemplo, b.m. el círculo permanece b.m. todo al rededor; los ángulos entre las líneas en el punto de intersección entre sí no cambian. El campo de aplicación del método de mapeo conforme para calcular campos eléctricos son los campos electrostáticos bidimensionales.
La transformación conforme mapea cada punto. z=X+j×y campo de cálculo real, descrito por un plano complejo, hasta un punto w=tu+j×v otro plano complejo, con una configuración de campo más simple. La principal dificultad del método es encontrar el tipo de función para un sistema de electrodos real determinado. En la práctica, cuando intentan encontrar una función de mapeo conforme, utilizan catálogos especiales de mapeos conformes o la buscan mediante pruebas sucesivas.
Supongamos que conocemos la forma de alguna transformación. z=f(w) o conversión inversa w=f(z), que establece una correspondencia uno a uno entre dos planos complejos con complejo ( z) y simple ( w) configuración de campo. El factor de conversión es la relación. dw/dz.
Aquí se utilizan las siguientes relaciones:
, 
. (2.94)
De manera similar podemos escribir:
. (2.95)
Dos números complejos son iguales si sus partes real e imaginaria son iguales. Comparando los valores del coeficiente de conversión dados en las expresiones (2.93) y (2.95), podemos escribir:
Las expresiones (2.96) se conocen como condiciones de Cauchy-Riemann. Utilizando diversas formas de representar números complejos, el coeficiente de conversión se puede escribir como:
Dónde 
es el coeficiente de cambio en la longitud de los segmentos durante la transformación, y tg(j) = licenciado en Letras(j es el ángulo de rotación de los segmentos durante la transformación). De las relaciones de Cauchy-Riemann obtenemos:
(2.99)
De las relaciones (2.97) – (2.98) se deduce que el coeficiente de transformación conforme METRO es la intensidad relativa del campo eléctrico, y cada una de las funciones tu Y v se puede elegir como potencial en el nuevo plano complejo w=f(u,v). Esta conclusión se puede verificar de otra manera. Si las funciones tu Y v puede elegirse como potencial, entonces cada uno de ellos debe satisfacer la ecuación de Laplace: D tu=0 y D v=0. Esto se puede verificar rediferenciando directamente las condiciones de Cauchy-Riemann. Diferenciamos la primera condición con respecto a X, y el segundo en; sume el resultado; Movamos todas las derivadas significativas al lado izquierdo de la notación y dejemos cero a la derecha:
; ; . (2.100)
De la expresión resultante se deduce que la función tu satisface la ecuación de Laplace (1.25), (1.30) y puede tomarse como un potencial. Diferenciamos la 1ª condición con respecto a en, y el segundo - por X:
; ; , (2.101)
aquellos. y función v también satisface la ecuación de Laplace y también puede tomarse como un potencial. Dado que la fuerza y las líneas equipotenciales en el plano z=f(x,y) son mutuamente perpendiculares, y la transformación conforme deja sin cambios los ángulos entre las rectas en el punto de su intersección, entonces de (2.97) ¸ (2.101) se sigue que si la función tu tomado, por ejemplo, como un potencial, entonces la línea con v=const – es una línea de fuerza. Si v– potencial, entonces tu=const – línea eléctrica. ¿Cuál de las funciones tu o v es un potencial, y cuál es una línea de fuerza, debe determinarse a partir del análisis de la transformación conforme del campo en el plano original z=f(x,y) en un campo en un avión w=f(u,v). Cualquier función z=f(w)(o w=f(z)) nos da una solución a cualquier problema en electrostática. Puede idear una función arbitraria, encontrar soluciones para ella y luego seleccionar el sistema de electrodos apropiado para las soluciones encontradas. Se encontraron muchas soluciones a problemas electrostáticos utilizando este método (al revés).
Al encontrar la intensidad del campo eléctrico utilizando el método de mapeo conforme, se deben tener en cuenta las siguientes circunstancias importantes. El patrón del campo eléctrico está completamente determinado por los parámetros geométricos del sistema de electrodos, independientemente de la escala espacial y el voltaje aplicado. Por lo tanto, el campo se puede describir por intensidad por unidad de voltaje o longitud. Las expresiones (2.97)-(2.98) representan precisamente esa tensión relativa. Para obtener el voltaje real, es necesario tener en cuenta el voltaje real aplicado y la distancia real entre los electrodos. Esto se hace multiplicando las expresiones (2.97)-(2.98) por el factor de escala km. Deje que la distancia entre los electrodos en el plano. w es igual tu 2 -tu 1 (v 2 -v 1), si las funciones tu o v, respectivamente. Entonces el factor de escala toma la forma:
km= Ud./(tu 2 -tu 1) o km= Ud./(v 2 -v 1). (2.102)
Condensador cilíndrico. Aunque el cálculo del campo electrostático de un condensador cilíndrico se da en el §2.5, lo consideramos como un ejemplo de la aplicación del método de mapeo conforme. Campo de un condensador cilíndrico (campo de dos círculos concéntricos) en un plano xy se puede asignar a un campo uniforme (el campo de un capacitor de placas paralelas) mediante la siguiente transformación:
z = e w; x + j×y = e u+jv = UE(Porque v+j×Pecado v).
Separemos las partes real e imaginaria:
Línea recta en un avión real. z, pasando por el origen con un ángulo de inclinación con respecto al eje X igual v=const se convierte en una línea recta en el plano w, paralelo al eje x.
En tu= constante en el avión w Se obtiene un sistema de rectas paralelas al eje de ordenadas. En la superficie z corresponden a un sistema de círculos concéntricos. Es obvio que las líneas con tu= const debe tomarse como líneas potenciales, y v- más allá de las líneas del campo. Calcularemos la tensión usando la fórmula (2.97):
Longitud de un pequeño segmento que se convierte cuando se transfiere desde un avión z al avión w cambia a 1/ r tiempos donde r– distancia al centro de los círculos. Cuanto más lejos del centro, menor es el coeficiente de cambio en las longitudes de los segmentos. El segmento transferido se gira en un ángulo j = arctg(- y/x). El ángulo entre el rayo que viene desde el origen hasta la mitad del segmento convertido y el eje. X se vuelve igual a cero. Todos los radios encendidos z- los aviones se convierten en w- planos en una línea paralela al eje tu. Factor de escala
Tensión
(2.103)
La fórmula resultante (2.103) coincide, como era de esperar debido al teorema de unicidad, con la expresión (2.18) obtenida utilizando el teorema de Ostrogradsky-Gauss.
Campo dentro de un ángulo recto formado por dos planos.
Como otro ejemplo de la aplicación del método de asignaciones conformes, consideremos un campo formado por dos planos conductores infinitos mutuamente perpendiculares. Es obvio que tal sistema de electrodos tiene simetría traslacional con un paso de traslación infinitesimal a lo largo de los planos y un plano de simetría que pasa en un ángulo de 45° con cada uno de los planos. Tal campo se reduce a un campo bidimensional, y para determinar sus parámetros basta con calcular las características del campo entre uno de los planos y el plano de simetría. Para campos bidimensionales, se puede aplicar el método de mapeo conforme. Campo en z– un plano perpendicular a la línea de intersección de planos cargados, como se muestra en la figura 2.20a. detrás de los ejes X Y en líneas de intersección de planos cargados con z- departamento. El campo interior del ángulo recto formado por dos planos se transforma en un campo uniforme mediante la transformación w = z 2. Mostremos esto:
w= tu+jv = z 2 = (X+jy) 2 = X 2 + j 2xy – y 2 ; tu = X 2 – y 2 ; v = + j 2xy.
En tu= líneas constantes paralelas al eje v en la superficie w, se transforman en una familia de hipérbolas equiláteras X 2 – y 2 = A 2 en avión z. Eje 0 X es el eje real (focal) de las hipérbolas, y el eje en su eje imaginario. Línea recta que pasa por el origen formando un ángulo de 45° con respecto al eje. X (tu = 0; y = X), representa la línea de intersección z– un plano con un plano de simetría y es una asíntota de hipérbolas. Ángulo de intersección de las hipérbolas con el eje. X igual a 90°, es decir líneas de función tu=X 2 -en 2 perpendicular a la línea equipotencial X(superficie del plano cargado X).
Funciones v = 2xy en diferentes valores v describir otra familia de hipérbolas equiláteras cuyos ejes X Y en son asíntotas y la recta en = X es el eje focal. La figura 2.20a muestra hipérbolas con v= 4, 16, 36. Cuando v= 0 hipérbola degenera en el eje de coordenadas X Y en, que coinciden con los planos cargados. Dado que la superficie de los planos cargados es una superficie del mismo potencial, es obvio que es la función v debe tomarse como una función potencial en el plano w. En este caso la función tu representa una función de fuerza. El campo de dos planos infinitos mutuamente perpendiculares (eje X Y en en z– plano) se convierte en un campo uniforme de un plano cargado infinito (eje v en w– aviones).
La transformación conforme, aunque preserva la forma de figuras infinitesimales, puede cambiar significativamente la forma de figuras finitas. Un ejemplo de tal cambio es la transformación de un cuadrado. a B C D con coordenadas A(0,8;0,8), b(0,8;4), C(4;4), d(4;0.8) en z- planos en un cuadrilátero curvilíneo a¢b¢c¢d¢ con coordenadas un ¢(0;1,28), b¢(-15,36;6,4), c¢(0;32), d¢(15.36;6.4) en w- aviones.
Determinemos la fuerza relativa del campo electrostático de los planos cargados en la figura 2.20a. De las dos fórmulas (2.97) y (2.98), usaremos (2.98) para determinar la tensión, ya que es la función v = 2xy describe un sistema de superficies equipotenciales (líneas). Factor de conversión lineal:
, (2.104)
La longitud del segmento pequeño convertido cuando se transfiere desde z- aviones en w- el plano aumenta en 2 r tiempos donde r=X 2 +en 2 – distancia en z- plano desde el origen hasta el centro del segmento. El segmento transferido se gira en un ángulo j = arctan( y/x). Hay una duplicación del ángulo entre el rayo que va desde el origen hasta la mitad del segmento y el eje. X. Factor de escala km = Ud./(v 2 -v 1) = Ud./(2X 2 y 2 -2X 1 y 1). La intensidad del campo se determina multiplicando la intensidad relativa por el factor de escala: mi=E¢×K·m. Sea el factor de escala km=100v/m. Determinemos la intensidad del campo en dos puntos del plano cargado: más cerca del ángulo de intersección de los planos. norte 1(1;0) y distante de él norte 2 (5;0).
V/m, ×v/m.
Cuanto más cerca de la esquina, menor será la intensidad del campo. Este resultado podría esperarse de la imagen de campo de la figura 2.20: la distancia entre las líneas equipotenciales disminuye con la distancia desde la esquina. Cualquier depresión (abolladura, depresión, caverna, grieta, etc.) en la superficie del electrodo puede describirse aproximadamente por el problema considerado. Luego, teniendo en cuenta los resultados del párrafo anterior, podemos concluir: cerca de la punta o protuberancia la intensidad del campo eléctrico aumenta y cerca de la depresión o agujero se debilita. En la figura 2.20a se observa una imagen similar del comportamiento de la fuerza y las líneas equipotenciales cerca del punto de ramificación del campo de dos cargas del mismo nombre (§2.11).
Campo en el borde de un condensador plano (perfil de Rogowski)
Situemos el origen de coordenadas en z- planos para que el eje X era paralelo a los planos de las placas del condensador y estaba a la misma distancia de ellos a. Eje en perpendicular a las placas y pasa por sus bordes. La función de mapear el campo en el borde de un capacitor plano en un campo uniforme fue obtenida por Yu. K. Maxwell en 1881 en la forma:
. (2.105)
Después de separar las variables obtenemos:
En yo= 0, y = 0, 
. En VII= pag, y= un, 
.
Obviamente, la función potencial debe elegirse como v.
, 
Teniendo en cuenta que km=U/(v II-v I) = Ud./pag
(2.106)
En tu < -5 в области от yo=0 a VII=p, se obtiene un campo casi uniforme con una intensidad U/a. En tu Tensión ®0 en el electrodo ( v=v II = p)aumenta fuertemente y tiende al infinito a medida que tu=0. La tensión más alta en los sistemas reales no desaparece:
. (2.107)
Con un espesor finito de la placa del condensador. v¹p y la tensión sigue siendo finita. Tamaño v Debe seleccionarse de modo que la superficie equipotencial coincida con la superficie real de la placa del condensador. Dejar v= 174° = 29p/30, entonces la relación entre el voltaje en el borde del electrodo y el voltaje promedio:
.
Se puede observar que incluso en un borde bastante desafilado la tensión aumenta considerablemente. Esta relación se puede acercar a la unidad si la superficie del electrodo tiene la forma de una superficie equipotencial con v£p/2. Este perfil de electrodo se llama perfil de Rogowski (figura 2.21c). A una distancia A= p (la distancia entre las placas es 2p) tiene la coordenada v= p/2 y para ello X = tu+1; y=p/2+ UE, es decir. en=p/2+ mi (X-1) (2.108)
El perfil de Rogowski es de gran importancia práctica en experimentos de ruptura en un campo casi uniforme para eliminar el efecto de borde. En el centro del dispositivo con electrodos de Rogowski se encuentra un campo uniforme.
Campo de alambres partidos.
En las líneas eléctricas de alto voltaje, el cable de fase se divide en varios conductores para reducir las pérdidas de potencia transmitida debido a la descarga de corona. Para describir el campo dividido
cables puede utilizar la función de visualización, donde norte –
el número de conductores individuales en los que se divide el cable de fase. Para ilustrar el método de asignaciones conformes, considere dividirlo en dos cables ( norte=2). (Tenga en cuenta que este caso se puede resolver de forma muy sencilla utilizando el método de la imagen)
deja el avión z perpendicular a los alambres partidos. Seleccionemos un eje X en z plano para que pase por los ejes de los alambres. deja que el eje y pasa por el medio del segmento entre los cables. La solución se simplifica enormemente si encontramos no funciones. x,y=f(u,v) y las funciones u, v = f(x,y). Separando las partes real e imaginaria obtenemos:
, 
Las líneas equipotenciales corresponden a la función tu. Funcionar tu era igual a cero, el logaritmo debe ser igual a cero y la expresión entre corchetes debe ser igual a 1. Entonces se cumple la relación:
(X 2 +en 2) 2 = 2A 2 (X 2 -en 2)
Esta función pasa por el origen. z- aviones. En tu en el rango -1,28< tu < 0 на z- Plano, se observan áreas circulares a la derecha e izquierda del eje. en. En tu£ -1.28 son prácticamente puntos con coordenadas X = -A Y X = A. En tu> 0 soluciones son curvas cerradas que, al aumentar tu acercándose a la forma de círculos. Estas curvas representan líneas de campo potenciales de dos cilindros con cargas del mismo signo, es decir Campos de dos cables con el mismo potencial. Los puntos en la superficie de los cables son los de mayor interés. R 2 y R 1, en la que se observan, respectivamente, las intensidades de campo más altas y más bajas. Punto R 2 está ubicado en la superficie del cable en el punto más alejado del otro cable y tiene coordenadas:
, 
Teniendo en cuenta el factor de escala para el punto p 2 obtenemos:
. (2.109)
En s®0, el sistema de electrodos se convierte en un sistema de dos cilindros coaxiales ( b=0, s=0) (ver (2.18)):
Normalmente para una línea eléctrica p ³ 200.
Preguntas de autoevaluación
1. Dar las ecuaciones fundamentales de Laplace en el espacio, un campo homogéneo y plano-paralelo.
2. Dé fórmulas para calcular el potencial y la intensidad de campo de una carga puntual. Determine la capacidad de una sola bola de metal.
3. Dé fórmulas para calcular el potencial y la intensidad de campo de un único alambre recto infinitamente delgado de longitud infinita.
4. ¿Dónde están las zonas con máxima intensidad de campo del cable coaxial? Encuentre el diámetro óptimo del núcleo interno para un tamaño dado de la capa exterior y la diferencia de potencial entre ellos. Determine la capacitancia lineal del cable coaxial.
5. ¿Por qué los cables se fabrican con aislamiento de varios tipos de dieléctricos?
6. Explique el diseño de la entrada del capacitor y su propósito.
7. ¿Qué es el método de superposición y qué es la capacitancia parcial?
8. ¿Qué es un dipolo eléctrico, cuáles son las características del campo dipolar? ¿Para explicar qué fenómenos se utiliza el concepto de dipolo?
9. ¿Cuáles son las similitudes y diferencias entre los campos de dos cargas similares y diferentes?
10. Representa gráficamente el campo de dos ejes infinitos con cargas opuestas. Proporcione fórmulas para calcular dicho sistema e indique los puntos con máxima intensidad de campo.
11. ¿Qué es el método de reflexión? Explique la esencia del método usando el ejemplo de cálculo de los parámetros de campo de un solo cable sobre el suelo.
12. Dé un método para calcular los parámetros de campo de una carga puntual ubicada cerca de una bola de metal.
13. Determine la intensidad del campo eléctrico en la superficie de un solo cable ubicado sobre el suelo.
14. ¿Cómo determinar los parámetros de campo de una línea trifásica?
15. Determine el voltaje máximo de la distancia entre bolas.
16. Dé un método para encontrar los parámetros del campo creado por un conductor de longitud finita.
17. Dé un método para encontrar los parámetros del campo creado por una carga de anillo.
18. Dé un método para encontrar los parámetros del campo creado por un disco cargado.
19. ¿Cómo dependen los parámetros del campo del radio de curvatura de la superficie del electrodo? ¿Por qué se deben alisar y rectificar las superficies de los electrodos de alto voltaje?
20. Explique la esencia del método de mapeo conforme y enumere la secuencia de cálculos utilizando este método.
21. ¿Qué es un perfil de Rogowski?
22. ¿Cómo surge una carga espacial y cómo cambia las características del campo eléctrico?
23. ¿Cuál de las características del campo eléctrico es análoga a la energía?
24. ¿Cuál de las características del campo eléctrico es análoga a la fuerza?
25. ¿Con qué propósito se divide el conductor de una fase en varios conductores paralelos en líneas eléctricas con una tensión nominal de 330 kV y superior? Indique los puntos de máxima tensión en los hilos partidos. ¿Cuáles son las distancias entre conductores partidos?
26. ¿Dónde es mayor la intensidad del campo eléctrico cerca de la superficie de la tierra: en una depresión (agujero, barranco) o en una elevación (colina, montículo)? Explica tu respuesta gráficamente y con cálculos.
27. ¿Cómo cambia la intensidad del campo eléctrico a nivel del suelo debajo de una línea eléctrica de circuito único con cables de fase horizontales?
28. Proporcione un algoritmo para calcular la capacitancia de tierra de una línea aérea trifásica.
29. ¿Con qué finalidad se instalan pantallas anulares en dispositivos de alto voltaje?
30. Deducir fórmulas para calcular los parámetros de un condensador cilíndrico.
