T tipo de clase: ONZ (descubrimiento de nuevos conocimientos - según la tecnología de la actividad método de enseñanza).
Objetivos básicos:
- Deducir métodos para dividir una fracción por un número natural;
- Formar la habilidad de realizar la división de una fracción por un número natural;
- Repetir y consolidar la división de fracciones;
- Entrenar la capacidad de reducir fracciones, analizar y resolver problemas.
Material de demostración del equipo:
1. Tareas de actualización de conocimientos:
Comparar expresiones:
Referencia:
2. Tarea de prueba (individual).
1. Realiza la división:
2. Realizar la división sin realizar toda la cadena de cálculos: .
Referencias:
- Al dividir una fracción por un número natural, puedes multiplicar el denominador por este número y dejar el numerador igual.
- Si el numerador es divisible por un número natural, al dividir una fracción por este número, puede dividir el numerador por el número y dejar el denominador igual.
durante las clases
I. Motivación (autodeterminación) para Actividades de aprendizaje.
Propósito de la etapa:
- Organizar la actualización de los requisitos para el estudiante por parte de las actividades educativas (“debe”);
- Organizar las actividades de los estudiantes para establecer un marco temático (“Yo puedo”);
- Crear condiciones para que el estudiante tenga una necesidad interna de inclusión en las actividades educativas (“yo quiero”).
Organización proceso educativo en la etapa I.
¡Hola! Me alegro de verlos a todos en la clase de matemáticas. Espero que sea mutuo.
Chicos, ¿qué nuevos conocimientos adquirieron en la última lección? (Dividir fracciones).
Derecha. ¿Qué te ayuda a dividir fracciones? (Regla, propiedades).
¿Dónde necesitamos este conocimiento? (En ejemplos, ecuaciones, tareas).
¡Bien hecho! Lo hiciste bien en la última lección. ¿Te gustaría descubrir nuevos conocimientos por ti mismo hoy? (Sí).
¡Entonces vete! Y el lema de la lección es la declaración "¡Las matemáticas no se pueden aprender mirando cómo las hace tu vecino!".
II. Actualización del conocimiento y fijación de una dificultad individual en una acción de prueba.
Propósito de la etapa:
- Organizar la actualización de los métodos de acción estudiados, suficientes para construir nuevos conocimientos. Fije estos métodos verbalmente (en el habla) y simbólicamente (estándar) y generalícelos;
- Organizar la actualización de operaciones mentales y procesos cognitivos suficientes para construir nuevos conocimientos;
- Motivar para una acción de juicio y su realización y justificación independientes;
- Presente tarea individual para una acción de prueba y analizarla para identificar nuevos contenidos de aprendizaje;
- Organizar la fijación del objetivo educativo y el tema de la lección;
- Organizar la ejecución de una acción de prueba y solucionar la dificultad;
- Organizar un análisis de las respuestas recibidas y registrar las dificultades individuales para realizar una acción de prueba o justificarla.
Organización del proceso educativo en la etapa II.
Frontalmente, mediante tabletas (tableros individuales).
1. Comparar expresiones:
(Estas expresiones son iguales)
¿Qué cosas interesantes notaste? (El numerador y el denominador del dividendo, el numerador y el denominador del divisor en cada expresión aumentados por el mismo número de veces. Así, los dividendos y divisores en las expresiones están representados por fracciones que son iguales entre sí).
Encuentra el significado de la expresión y escríbelo en la tablilla. (2)
¿Cómo escribir este número como una fracción?
¿Cómo realizaste la acción de división? (Los niños pronuncian la regla, el maestro cuelga en la pizarra designaciones de letras)
2. Calcula y registra solo los resultados:
3. Suma tus resultados y escribe tu respuesta. (2)
¿Cómo se llama el número obtenido en la tarea 3? (Natural)
¿Crees que puedes dividir una fracción por un número natural? (Sí, lo intentaremos)
Prueba esto.
4. Tarea individual (de prueba).
Haz la división: (solo ejemplo a)
¿Qué regla usaste para dividir? (Según la regla de dividir una fracción por una fracción)
Ahora divide la fracción entre un número natural. de una manera sencilla, sin realizar toda la cadena de cálculos: (ejemplo b). Te doy 3 segundos para esto.
¿Quién no pudo completar la tarea en 3 segundos?
¿Quien lo hizo? (No hay tales)
¿Por qué? (No conocemos el camino)
¿Qué obtuviste? (Dificultad)
¿Qué crees que haremos en clase? (Dividir fracciones entre números naturales)
Así es, abran sus cuadernos y anoten el tema de la lección "Dividir una fracción por un número natural".
¿Por qué este tema suena nuevo cuando ya sabes cómo dividir fracciones? (Necesita una nueva forma)
Derecha. Hoy estableceremos una técnica que simplifica la división de una fracción por un número natural.
tercero Identificación de la ubicación y causa de la dificultad.
Propósito de la etapa:
- Organizar la restauración de operaciones completadas y fijar (verbal y simbólicamente) lugar - paso, operación, donde surgió la dificultad;
- Organizar la correlación de las acciones de los estudiantes con el método (algoritmo) utilizado y la fijación en el discurso externo de la causa de la dificultad - aquellos conocimientos, habilidades o habilidades específicas que no son suficientes para resolver el problema inicial de este tipo.
Organización del proceso educativo en la etapa III.
¿Qué tarea tuviste que completar? (Dividir una fracción por un número natural sin hacer toda la cadena de cálculos)
¿Qué te causó dificultad? (No se pudo resolver en poco tiempo de forma rápida)
¿Cuál es el propósito de nuestra lección? (Encuentra una forma rápida de dividir una fracción entre un número natural)
¿Qué te ayudará? (Regla ya conocida para dividir fracciones)
IV. Construcción del proyecto de una salida de la dificultad.
Propósito de la etapa:
- Aclaración del propósito del proyecto;
- Elección del método (aclaración);
- Definición de medias (algoritmo);
- Elaboración de un plan para lograr el objetivo.
Organización del proceso educativo en la etapa IV.
Volvamos al caso de prueba. ¿Dijiste que dividiste por la regla de dividir fracciones? (Sí)
Para hacer esto, ¿reemplazar un número natural con una fracción? (Sí)
¿Qué paso(s) crees que puedes omitir?
(La cadena de solución está abierta en el tablero: 
Analiza y saca una conclusión. (Paso 1)
Si no hay respuesta, entonces resumimos a través de las preguntas:
¿Adónde se fue el divisor natural? (al denominador)
¿Ha cambiado el numerador? (No)
Entonces, ¿qué paso se puede "omitir"? (Paso 1)
Plan de ACCION:
- Multiplica el denominador de una fracción por un número natural.
- El numerador no cambia.
- Obtenemos una nueva fracción.
V. Ejecución del proyecto construido.
Propósito de la etapa:
- Organizar la interacción comunicativa para implementar el proyecto construido destinado a adquirir los conocimientos faltantes;
- Organizar la fijación del método de acción construido en el habla y los signos (con la ayuda de un estándar);
- Organizar la solución del problema original y registrar la superación de la dificultad;
- Organizar una aclaración de la naturaleza general del nuevo conocimiento.
Organización del proceso educativo en la etapa V.
Ahora ejecute el caso de prueba de la nueva manera rápidamente.
¿Eres capaz de completar la tarea rápidamente ahora? (Sí)
Explica como lo hiciste? (Los niños hablan)
Esto significa que hemos recibido un nuevo conocimiento: la regla para dividir una fracción por un número natural.
¡Bien hecho! Dilo en parejas.
Luego, un estudiante habla a la clase. Arreglamos la regla-algoritmo verbalmente y en forma de estándar en el tablero.
Ahora ingrese las designaciones de letras y escriba la fórmula para nuestra regla.
El estudiante escribe en la pizarra, pronunciando la regla: al dividir una fracción por un número natural, puede multiplicar el denominador por este número, y dejar el numerador igual.
(Todos escriben la fórmula en cuadernos).
Y ahora analice una vez más la cadena de resolución de la tarea de prueba invirtiendo Atención especial contestar. ¿Que hicieron? (El numerador de la fracción 15 fue dividido (reducido) por el número 3)
¿Cual es este numero? (Natural, divisor)
Entonces, ¿de qué otra manera puedes dividir una fracción por un número natural? (Comprueba: si el numerador de una fracción es divisible por este número natural, entonces puedes dividir el numerador por este número, escribir el resultado en el numerador de la nueva fracción y dejar el denominador igual)
Escribe este método en forma de fórmula. (El estudiante escribe la regla en la pizarra. Todos escriben la fórmula en los cuadernos).
Volvamos al primer método. ¿Se puede usar si a:n? (Sí eso manera general)
¿Y cuándo es conveniente usar el segundo método? (Cuando el numerador de una fracción es divisible por un número natural sin resto)
VI. Consolidación primaria con pronunciación en habla externa.
Propósito de la etapa:
- Organizar la asimilación por parte de los niños de un nuevo método de actuación al resolver problemas típicos con su pronunciación en el habla externa (frontalmente, en parejas o en grupos).
Organización del proceso educativo en la etapa VI.
Calcula de una nueva forma:
- No. 363 (a; d) - actuar en la pizarra, pronunciando la regla.
- No. 363 (d; f) - en pares con un control en la muestra.
VIII. Trabajo independiente con autotest según norma.
Propósito de la etapa:
- Organizar ejecución independiente tareas de los estudiantes para un nuevo modo de acción;
- Organizar la autoevaluación basada en la comparación con el estándar;
- Según los resultados de la implementación. Trabajo independiente organizar un reflejo de la asimilación de un nuevo modo de acción.
Organización del proceso educativo en la etapa VII.
Calcula de una nueva forma:
- Núm. 363 (b; c)
Los estudiantes verifican el estándar, notan la corrección del desempeño. Se analizan las causas de los errores y se corrigen los errores.
El profesor pregunta a aquellos alumnos que cometieron errores, ¿cuál es el motivo?
En esta etapa, es importante que cada estudiante verifique su trabajo de forma independiente.
VIII. Inclusión en el sistema de conocimiento y repetición.
Propósito de la etapa:
- Organizar la identificación de los límites de la aplicación de nuevos conocimientos;
- Organizar la repetición de los contenidos educativos necesarios para asegurar una continuidad significativa.
Organización del proceso educativo en la etapa VIII.
Organización del proceso educativo en la etapa IX.
1. Diálogo:
Chicos, ¿qué nuevos conocimientos descubrieron hoy? (Aprendimos a dividir una fracción entre un número natural de forma sencilla)
Formular una forma general. (Ellos dicen)
¿De qué manera y en qué casos se puede seguir utilizando? (Ellos dicen)
¿Cuál es la ventaja del nuevo método?
¿Hemos alcanzado nuestro objetivo de la lección? (Sí)
¿Qué conocimientos utilizó para lograr el objetivo? (Ellos dicen)
¿Has tenido éxito?
¿Cuáles fueron las dificultades?
2. Tareas para el hogar: cláusula 3.2.4.; n.° 365 (l, n, o, p); nº 370.
3. Maestro: Me alegro de que hoy todos estuvieran activos, lograron encontrar una salida a la dificultad. Y lo más importante, no eran vecinos cuando se abrió y consolidó uno nuevo. ¡Gracias por la lección niños!
Ahora que hemos aprendido a sumar y multiplicar fracciones individuales, podemos considerar más estructuras complejas. Por ejemplo, ¿qué pasa si la suma, la resta y la multiplicación de fracciones ocurren en un problema?
En primer lugar, debe convertir todas las fracciones en impropias. Luego realizamos secuencialmente las acciones requeridas, en el mismo orden que para los números ordinarios. A saber:
- Primero, se realiza la exponenciación: elimine todas las expresiones que contengan exponentes;
- Entonces - división y multiplicación;
- El último paso es la suma y la resta.
Por supuesto, si hay corchetes en la expresión, el orden de las acciones cambia: primero se debe considerar todo lo que está dentro de los corchetes. Y recuerde acerca de las fracciones impropias: debe seleccionar la parte completa solo cuando todas las demás acciones ya se hayan completado.
Traduzcamos todas las fracciones de la primera expresión a impropias y luego realicemos las siguientes acciones:
Ahora encontremos el valor de la segunda expresión. No hay fracciones con una parte entera, pero hay corchetes, por lo que primero realizamos la suma y luego la división. Tenga en cuenta que 14 = 7 2 . Después:
Finalmente, considere el tercer ejemplo. Aquí hay corchetes y un grado; es mejor contarlos por separado. Dado que 9 = 3 3 , tenemos:
Presta atención al último ejemplo. Para elevar una fracción a una potencia, debes elevar por separado el numerador a esta potencia y por separado el denominador.
Puedes decidir de otra manera. Si recordamos la definición del grado, el problema se reducirá a la habitual multiplicación de fracciones:
fracciones de varios pisos
Hasta ahora, hemos considerado solo fracciones "puras", cuando el numerador y el denominador son números ordinarios. Esto es consistente con la definición de una fracción numérica dada en la primera lección.
Pero, ¿y si se coloca un objeto más complejo en el numerador o en el denominador? Por ejemplo, otro fracción? Tales construcciones ocurren con bastante frecuencia, especialmente cuando se trabaja con expresiones largas. Aquí hay un par de ejemplos:
Solo hay una regla para trabajar con fracciones de varios pisos: debe deshacerse de ellas de inmediato. Eliminar pisos "extra" es bastante simple, si recuerda que la barra fraccionaria significa la operación de división estándar. Por lo tanto, cualquier fracción se puede reescribir de la siguiente manera:
Usando este hecho y siguiendo el procedimiento, podemos reducir fácilmente cualquier fracción de varios pisos a una regular. Echa un vistazo a los ejemplos:
Una tarea. Convierta fracciones de varios pisos en fracciones comunes:
En cada caso, reescribimos la fracción principal, reemplazando la línea divisoria con un signo de división. Recuerda también que cualquier número entero se puede representar como una fracción con denominador 1. Es decir, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Obtenemos:
En el último ejemplo, las fracciones se redujeron antes de la multiplicación final.
Los detalles de trabajar con fracciones de varios pisos.
Hay una sutileza en las fracciones de varios pisos que siempre debe recordarse, de lo contrario, puede obtener una respuesta incorrecta, incluso si todos los cálculos fueron correctos. Echar un vistazo:
- En el numerador hay un número separado 7, y en el denominador, la fracción 12/5;
- El numerador es la fracción 7/12 y el denominador es el único número 5.
Entonces, para un registro, tenemos dos completamente diferentes interpretaciones. Si cuentas, las respuestas también serán diferentes:
Para garantizar que el registro siempre se lea sin ambigüedades, use una regla simple: la línea divisoria de la fracción principal debe ser más larga que la línea anidada. Preferiblemente varias veces.
Si sigue esta regla, entonces las fracciones anteriores deben escribirse de la siguiente manera:
Sí, probablemente sea feo y ocupe demasiado espacio. Pero contarás correctamente. Finalmente, un par de ejemplos donde realmente ocurren fracciones multinivel:
Una tarea. Encuentre valores de expresión:
Entonces, trabajemos con el primer ejemplo. Convirtamos todas las fracciones a impropias y luego realicemos las operaciones de suma y división:
Hagamos lo mismo con el segundo ejemplo. Convierte todas las fracciones a impropias y realiza las operaciones requeridas. Para no aburrir al lector, omitiré algunos cálculos obvios. Tenemos:
Debido al hecho de que el numerador y el denominador de las fracciones principales contienen sumas, la regla para escribir fracciones de varios pisos se observa automáticamente. Además, en el último ejemplo, dejamos deliberadamente el número 46/1 en forma de fracción para poder realizar la división.
También observo que en ambos ejemplos, la barra fraccionaria en realidad reemplaza los corchetes: en primer lugar, encontramos la suma, y solo luego, el cociente.
Alguien dirá que la transición a fracciones impropias en el segundo ejemplo fue claramente redundante. Quizá sea así. Pero así nos aseguramos contra errores, porque la próxima vez el ejemplo puede resultar mucho más complicado. Elija usted mismo qué es más importante: velocidad o fiabilidad.
§ 87. Suma de fracciones.
Sumar fracciones tiene muchas similitudes con sumar números enteros. La suma de fracciones es una acción que consiste en el hecho de que varios números dados (términos) se combinan en un número (suma), que contiene todas las unidades y fracciones de unidades de términos.
Consideraremos tres casos a su vez:
1. Suma de fracciones con los mismos denominadores.
2. Sumar fracciones con diferentes denominadores.
3. Suma de números mixtos.
1. Suma de fracciones con los mismos denominadores.
Considere un ejemplo: 1/5 + 2/5.
Tome el segmento AB (Fig. 17), tómelo como una unidad y divídalo en 5 partes iguales, luego la parte AC de este segmento será igual a 1/5 del segmento AB, y la parte del mismo segmento CD será igual a 2/5 AB.
Se puede ver en el dibujo que si tomamos el segmento AD, será igual a 3/5 AB; pero el segmento AD es precisamente la suma de los segmentos AC y CD. Entonces, podemos escribir:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Considerando estos términos y la cantidad resultante, vemos que el numerador de la suma se obtuvo sumando los numeradores de los términos, y el denominador permaneció sin cambios.
De aquí obtenemos siguiente regla: Para sumar fracciones con el mismo denominador, debes sumar sus numeradores y dejar el mismo denominador.
Considere un ejemplo:
2. Suma de fracciones con distinto denominador.
Sumemos fracciones: 3/4 + 3/8 Primero deben reducirse al mínimo común denominador:
El enlace intermedio 6/8 + 3/8 no podría haberse escrito; lo hemos escrito aquí para mayor claridad.
Así, para sumar fracciones con diferente denominador, primero debes llevarlas al mínimo común denominador, sumar sus numeradores y firmar el común denominador.
Considere un ejemplo (escribiremos factores adicionales sobre las fracciones correspondientes):
3. Suma de números mixtos.
Sumemos los números: 2 3/8 + 3 5/6.
Primero llevemos las partes fraccionarias de nuestros números a un denominador común y reescribámoslos de nuevo:
Ahora agregue las partes enteras y fraccionarias en secuencia:
§ 88. Resta de fracciones.
La resta de fracciones se define de la misma manera que la resta de números enteros. Esta es una acción por la cual, dada la suma de dos términos y uno de ellos, se encuentra otro término. Consideremos tres casos a su vez:
1. Resta de fracciones con el mismo denominador.
2. Resta de fracciones con distinto denominador.
3. Resta de números mixtos.
1. Resta de fracciones con el mismo denominador.
Considere un ejemplo:
13 / 15 - 4 / 15
Tomemos el segmento AB (Fig. 18), tómelo como una unidad y divídalo en 15 partes iguales; entonces la parte AC de este segmento será 1/15 de AB, y la parte AD del mismo segmento corresponderá a 13/15 AB. Dejemos aparte otro segmento ED, igual a 4/15 AB.
Necesitamos restar 4/15 de 13/15. En el dibujo, esto significa que el segmento ED debe restarse del segmento AD. Como resultado, quedará el segmento AE, que es 9/15 del segmento AB. Entonces podemos escribir:
El ejemplo que hicimos muestra que el numerador de la diferencia se obtuvo al restar los numeradores, y el denominador permaneció igual.
Por lo tanto, para restar fracciones con el mismo denominador, debes restar el numerador del sustraendo del numerador del minuendo y dejar el mismo denominador.
2. Resta de fracciones con distinto denominador.
Ejemplo. 3/4 - 5/8
Primero, reduzcamos estas fracciones al mínimo común denominador:
El enlace intermedio 6/8 - 5/8 se escribe aquí para mayor claridad, pero se puede omitir en el futuro.
Por lo tanto, para restar una fracción de otra fracción, primero debe llevarlas al mínimo común denominador, luego restar el numerador del sustraendo del numerador del minuendo y firmar el común denominador debajo de su diferencia.
Considere un ejemplo:
3. Resta de números mixtos.
Ejemplo. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .
Llevemos las partes fraccionarias del minuendo y el sustraendo al mínimo común denominador:
Restamos un entero de un entero y una fracción de una fracción. Pero hay casos en que la parte fraccionaria del sustraendo es mayor que la parte fraccionaria del minuendo. En tales casos, debe tomar una unidad de la parte entera del minuendo, dividirla en aquellas partes en las que se expresa la parte fraccionaria y agregarla a la parte fraccionaria del minuendo. Y luego la resta se realizará de la misma forma que en el ejemplo anterior:
§ 89. Multiplicación de fracciones.
Al estudiar la multiplicación de fracciones, consideraremos las siguientes preguntas:
1. Multiplicar una fracción por un número entero.
2. Encontrar una fracción de un número dado.
3. Multiplicación de un número entero por una fracción.
4. Multiplicar una fracción por una fracción.
5. Multiplicación de números mixtos.
6. El concepto de interés.
7. Encontrar porcentajes de un número dado. Considerémoslos secuencialmente.
1. Multiplicar una fracción por un número entero.
Multiplicar una fracción por un entero tiene el mismo significado que multiplicar un entero por un entero. Multiplicar una fracción (multiplicando) por un número entero (multiplicador) significa componer la suma de términos idénticos, en la que cada término es igual al multiplicando y el número de términos es igual al multiplicador.
Entonces, si necesita multiplicar 1/9 por 7, entonces esto se puede hacer así:
El resultado lo obtuvimos fácilmente, ya que la acción se reducía a sumar fracciones con el mismo denominador. Como consecuencia,
La consideración de esta acción muestra que multiplicar una fracción por un número entero es equivalente a aumentar esta fracción tantas veces como unidades tenga el número entero. Y como el aumento de la fracción se logra ya sea aumentando su numerador
o disminuyendo su denominador 
, entonces podemos multiplicar el numerador por el número entero o dividir el denominador por él, si tal división es posible.
De aquí obtenemos la regla:
Para multiplicar una fracción por un número entero, debe multiplicar el numerador por este número entero y dejar el mismo denominador o, si es posible, dividir el denominador por este número, dejando el numerador sin cambios.
Al multiplicar, las abreviaturas son posibles, por ejemplo:
2. Encontrar una fracción de un número dado. Hay muchos problemas en los que tienes que encontrar, o calcular, una parte de un número dado. La diferencia entre estas tareas y otras es que dan el número de algunos objetos o unidades de medida y necesitas encontrar una parte de este número, que también se indica aquí por una determinada fracción. Para facilitar la comprensión, primero daremos ejemplos de tales problemas y luego presentaremos el método para resolverlos.
Tarea 1. tenía 60 rublos; 1/3 de este dinero lo gasté en la compra de libros. ¿Cuánto costaron los libros?
Tarea 2. El tren debe cubrir la distancia entre las ciudades A y B, igual a 300 km. Ya ha recorrido 2/3 de esa distancia. ¿Cuántos kilómetros es esto?
Tarea 3. Hay 400 casas en el pueblo, 3/4 de ellas son de ladrillo, el resto son de madera. Cuanto casas de ladrillo?
Estos son algunos de los muchos problemas con los que tenemos que lidiar para encontrar una fracción de un número dado. Por lo general, se les llama problemas para encontrar una fracción de un número dado.
Solución del problema 1. A partir de 60 rublos. Gasté 1/3 en libros; Entonces, para encontrar el costo de los libros, debes dividir el número 60 entre 3:
Solución del problema 2. El significado del problema es que necesitas encontrar 2/3 de 300 km. Calcula el primer 1/3 de 300; esto se logra dividiendo 300 km por 3:
300: 3 = 100 (eso es 1/3 de 300).
Para encontrar dos tercios de 300, debe duplicar el cociente resultante, es decir, multiplicar por 2:
100 x 2 = 200 (eso es 2/3 de 300).
Solución del problema 3. Aquí debe determinar la cantidad de casas de ladrillo, que son 3/4 de 400. Primero encontremos 1/4 de 400,
400: 4 = 100 (eso es 1/4 de 400).
Para calcular tres cuartos de 400 hay que triplicar el cociente resultante, es decir, multiplicarlo por 3:
100 x 3 = 300 (eso es 3/4 de 400).
Con base en la solución de estos problemas, podemos derivar la siguiente regla:
Para encontrar el valor de una fracción de un número dado, debes dividir este número por el denominador de la fracción y multiplicar el cociente resultante por su numerador.
3. Multiplicación de un número entero por una fracción.
Anteriormente (§ 26) se estableció que la multiplicación de números enteros debe entenderse como la suma de términos idénticos (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). En este párrafo (párrafo 1) se estableció que multiplicar una fracción por un número entero significa encontrar la suma de términos idénticos igual a esa fracción.
En ambos casos, la multiplicación consistía en encontrar la suma de términos idénticos.
Ahora pasamos a multiplicar un número entero por una fracción. Aquí nos encontraremos con tales, por ejemplo, multiplicaciones: 9 2 / 3. Es bastante obvio que la definición anterior de multiplicación no se aplica a este caso. Esto es evidente por el hecho de que no podemos reemplazar dicha multiplicación sumando números iguales.
Por ello, tendremos que dar una nueva definición de multiplicación, es decir, en otras palabras, responder a la pregunta de qué debe entenderse por multiplicación por una fracción, cómo debe entenderse esta acción.
El significado de multiplicar un número entero por una fracción queda claro a partir de la siguiente definición: multiplicar un número entero (multiplicador) por una fracción (multiplicador) significa encontrar esta fracción del multiplicador.
Es decir, multiplicar 9 por 2/3 significa encontrar 2/3 de nueve unidades. En el párrafo anterior, tales problemas fueron resueltos; por lo que es fácil darse cuenta de que terminamos con 6.
Pero ahora surge una pregunta interesante e importante: ¿por qué tal a primera vista? Varias actividades como encontrar la suma numeros iguales y encontrar la fracción de un número, en aritmética se les llama la misma palabra "multiplicación"?
Esto sucede porque la acción anterior (repetir varias veces el número con términos) y la acción nueva (encontrar la fracción de un número) dan respuesta a preguntas homogéneas. Esto significa que partimos aquí de las consideraciones de que cuestiones o tareas homogéneas se resuelven mediante una y la misma acción.
Para entender esto, considere el siguiente problema: “1 m de tela cuesta 50 rublos. ¿Cuánto costarán 4 m de esa tela?
Este problema se resuelve multiplicando el número de rublos (50) por el número de metros (4), es decir, 50 x 4 = 200 (rublos).
Tomemos el mismo problema, pero en él la cantidad de tela se expresará como un número fraccionario: “1 m de tela cuesta 50 rublos. ¿Cuánto costarán 3/4 m de esa tela?
Este problema también debe resolverse multiplicando la cantidad de rublos (50) por la cantidad de metros (3/4).
También puede cambiar los números varias veces sin cambiar el significado del problema, por ejemplo, tome 9/10 m o 2 3/10 m, etc.
Dado que estos problemas tienen el mismo contenido y difieren solo en números, llamamos a las acciones utilizadas para resolverlos la misma palabra: multiplicación.
¿Cómo se multiplica un número entero por una fracción?
Tomemos los números encontrados en el último problema:
Según la definición, debemos encontrar 3/4 de 50. Primero encontramos 1/4 de 50, y luego 3/4.
1/4 de 50 es 50/4;
3/4 de 50 es .
Como consecuencia.
Considere otro ejemplo: 12 5 / 8 = ?
1/8 de 12 es 12/8,
5/8 del número 12 es .
Como consecuencia,
De aquí obtenemos la regla:
Para multiplicar un número entero por una fracción, debe multiplicar el número entero por el numerador de la fracción y convertir este producto en el numerador, y firmar el denominador de la fracción dada como denominador.
Escribimos esta regla usando letras:
Para que esta regla quede perfectamente clara, conviene recordar que una fracción puede considerarse como un cociente. Por lo tanto, es útil comparar la regla encontrada con la regla para multiplicar un número por un cociente, que se estableció en el § 38
Debe recordarse que antes de realizar la multiplicación, debe hacer (si es posible) cortes, por ejemplo:
4. Multiplicar una fracción por una fracción. Multiplicar una fracción por una fracción tiene el mismo significado que multiplicar un número entero por una fracción, es decir, al multiplicar una fracción por una fracción, debe encontrar la fracción en el multiplicador de la primera fracción (multiplicador).
Es decir, multiplicar 3/4 por 1/2 (la mitad) significa encontrar la mitad de 3/4.
¿Cómo se multiplica una fracción por una fracción?
Tomemos un ejemplo: 3/4 veces 5/7. Esto significa que necesitas encontrar 5 / 7 de 3 / 4 . Encuentra primero 1/7 de 3/4 y luego 5/7
1/7 de 3/4 se expresaría así:
5/7 números 3/4 se expresará de la siguiente manera:
De este modo,
Otro ejemplo: 5/8 por 4/9.
1/9 de 5/8 es ,
4/9 números 5/8 son .
De este modo, 
De estos ejemplos se puede deducir la siguiente regla:
Para multiplicar una fracción por otra fracción, necesitas multiplicar el numerador por el numerador y el denominador por el denominador y hacer que el primer producto sea el numerador y el segundo producto el denominador del producto.
Esta es la regla en vista general se puede escribir asi:
Al multiplicar, es necesario hacer (si es posible) reducciones. Considere ejemplos:
5. Multiplicación de números mixtos. Dado que los números mixtos se pueden reemplazar fácilmente por fracciones impropias, esta circunstancia se suele utilizar cuando se multiplican números mixtos. Esto quiere decir que en aquellos casos en que el multiplicando, o el multiplicador, o ambos factores se expresan como números mixtos, entonces se reemplazan por fracciones impropias. Multiplica, por ejemplo, números mixtos: 2 1/2 y 3 1/5. Convirtamos a cada uno de ellos en fracción propia y luego multiplicaremos las fracciones resultantes según la regla de multiplicar una fracción por una fracción:
Regla. Para multiplicar números mixtos, primero debes convertirlos en fracciones impropias y luego multiplicar de acuerdo con la regla de multiplicar una fracción por una fracción.
Nota. Si uno de los factores es un número entero, entonces la multiplicación se puede realizar según la ley de distribución de la siguiente manera:
6. El concepto de interés. Al resolver problemas y al realizar varios cálculos prácticos, usamos todo tipo de fracciones. Pero hay que tener en cuenta que muchas cantidades no admiten ninguna, sino subdivisiones naturales para ellas. Por ejemplo, puede tomar una centésima (1/100) de un rublo, será un centavo, dos centésimas son 2 kopeks, tres centésimas son 3 kopeks. Puede tomar 1/10 del rublo, serán "10 kopeks, o una moneda de diez centavos. Puede tomar una cuarta parte del rublo, es decir, 25 kopeks, medio rublo, es decir, 50 kopeks (cincuenta kopeks). Pero prácticamente no No tomes, por ejemplo, 2/7 rublos porque el rublo no se divide en séptimos.
La unidad de medida del peso, es decir, el kilogramo, permite, en primer lugar, subdivisiones decimales, por ejemplo, 1/10 kg o 100 g, y fracciones de kilogramo como 1/6, 1/11, 1/ 13 son poco comunes.
En general, nuestras medidas (métricas) son decimales y permiten subdivisiones decimales.
Sin embargo, debe notarse que es extremadamente útil y conveniente en una amplia variedad de casos usar el mismo método (uniforme) de subdivisión de cantidades. Muchos años de experiencia han demostrado que una división tan bien justificada es la división de "centésimas". Consideremos algunos ejemplos relacionados con las más diversas áreas de la práctica humana.
1. El precio de los libros ha disminuido un 12/100 del precio anterior.
Ejemplo. El precio anterior del libro es de 10 rublos. Ella bajó por 1 rublo. 20 coronas
2. Las Cajas de Ahorros abonan durante el año a los depositantes el 2/100 de la cantidad que se deposita en ahorros.
Ejemplo. Se ponen 500 rublos en la caja, el ingreso de esta cantidad para el año es de 10 rublos.
3. El número de graduados de una escuela fue 5/100 del número total de estudiantes.
EJEMPLO Solo 1.200 estudiantes estudiaron en la escuela, 60 de ellos se graduaron de la escuela.
La centésima parte de un número se llama porcentaje..
La palabra "porcentaje" se toma prestada de latín y su raíz "cent" significa cien. Junto con la preposición (pro centum), esta palabra significa "por cien". El significado de esta expresión se deriva del hecho de que inicialmente en roma antigua el interés era el dinero que el deudor pagaba al prestamista "por cada cien". La palabra "cent" se escucha en palabras tan familiares: centner (cien kilogramos), centímetro (dicen centímetro).
Por ejemplo, en lugar de decir que la planta produjo 1/100 de todos los productos producidos por ella durante el último mes, diremos esto: la planta produjo el uno por ciento de los rechazos durante el último mes. En lugar de decir: la planta produjo 4/100 productos más que el plan establecido, diremos: la planta superó el plan en un 4 por ciento.
Los ejemplos anteriores se pueden expresar de otra manera:
1. El precio de los libros ha disminuido un 12 por ciento del precio anterior.
2. Las cajas de ahorros pagan a los depositantes el 2 por ciento anual de la cantidad depositada en ahorros.
3. El número de graduados de una escuela fue el 5 por ciento del número de todos los estudiantes de la escuela.
Para abreviar la letra, se acostumbra escribir el signo % en lugar de la palabra "porcentaje".
Sin embargo, debe recordarse que el signo % generalmente no se escribe en los cálculos, se puede escribir en el enunciado del problema y en el resultado final. Al realizar cálculos, debe escribir una fracción con un denominador de 100 en lugar de un número entero con este icono.
Debe poder reemplazar un número entero con el icono especificado con una fracción con un denominador de 100:
Por el contrario, debe acostumbrarse a escribir un número entero con el icono indicado en lugar de una fracción con un denominador de 100:
7. Encontrar porcentajes de un número dado.
Tarea 1. La escuela recibió 200 metros cúbicos. m de leña, siendo la leña de abedul el 30%. ¿Cuánta madera de abedul había?
El significado de este problema es que la leña de abedul fue solo una parte de la leña que se entregó a la escuela, y esta parte se expresa como una fracción de 30/100. Entonces, nos enfrentamos a la tarea de encontrar una fracción de un número. Para resolverlo, debemos multiplicar 200 por 30 / 100 (las tareas para encontrar la fracción de un número se resuelven multiplicando un número por una fracción).
Entonces el 30% de 200 es igual a 60.
La fracción 30/100 encontrada en este problema se puede reducir en 10. Sería posible realizar esta reducción desde el principio; la solución al problema no cambiaría.
Tarea 2. Había 300 niños de varias edades en el campamento. Los niños de 11 años eran el 21%, los niños de 12 años el 61% y finalmente los de 13 años el 18%. ¿Cuántos niños de cada edad había en el campamento?
En este problema, debe realizar tres cálculos, es decir, encontrar sucesivamente el número de niños de 11 años, luego de 12 años y finalmente de 13 años.
Entonces, aquí será necesario encontrar una fracción de un número tres veces. Vamos a hacerlo:
1) ¿Cuántos niños tenían 11 años?
2) ¿Cuántos niños tenían 12 años?
3) ¿Cuántos niños tenían 13 años?
Después de resolver el problema, es útil sumar los números encontrados; su suma debe ser 300:
63 + 183 + 54 = 300
También debe prestar atención al hecho de que la suma de los porcentajes dados en la condición del problema es 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Esto sugiere que numero total niños que estaban en el campamento se tomó como 100%.
3 a da cha 3. El trabajador recibía 1.200 rublos al mes. De estos gastó el 65% en comida, el 6% en apartamento y calefacción, el 4% en gas, electricidad y radio, el 10% en necesidades culturales y el 15% lo ahorró. ¿Cuánto dinero se gastó en las necesidades indicadas en la tarea?
Para resolver este problema, necesitas encontrar una fracción del número 1200 5 veces. Hagámoslo.
1) ¿Cuánto dinero se gasta en comida? La tarea dice que este gasto es el 65% de todas las ganancias, es decir, 65/100 del número 1200. Hagamos el cálculo:
2) ¿Cuánto dinero se pagó por un apartamento con calefacción? Argumentando como el anterior, llegamos al siguiente cálculo:
3) ¿Cuánto dinero pagó por gas, electricidad y radio?
4) ¿Cuánto dinero se gasta en necesidades culturales?
5) ¿Cuánto dinero ahorró el trabajador?
Para la verificación, es útil agregar los números que se encuentran en estas 5 preguntas. La cantidad debe ser de 1.200 rublos. Todas las ganancias se toman como 100%, lo cual es fácil de verificar sumando los porcentajes dados en la condición del problema.
Hemos resuelto tres problemas. A pesar de que estas tareas eran de cosas diferentes (entrega de leña para la escuela, número de niños de diferentes edades, gastos del trabajador), se resolvían de la misma manera. Esto sucedió porque en todas las tareas era necesario encontrar un pequeño porcentaje de los números dados.
§ 90. División de fracciones.
Al estudiar la división de fracciones, consideraremos las siguientes preguntas:
1. Divida un número entero por un número entero.
2. División de una fracción por un número entero
3. División de un número entero por una fracción.
4. División de una fracción por una fracción.
5. División de números mixtos.
6. Hallar un número dada su fracción.
7. Encontrar un número por su porcentaje.
Considerémoslos secuencialmente.
1. Divida un número entero por un número entero.
Como se indicó en el apartado de los números enteros, la división es la acción consistente en que, dado el producto de dos factores (el dividendo) y uno de estos factores (el divisor), se encuentra otro factor.
La división de un entero por un entero la consideramos en el departamento de enteros. Encontramos allí dos casos de división: división sin resto, o "totalmente" (150: 10 = 15), y división con resto (100: 9 = 11 y 1 en el resto). Por tanto, podemos decir que en el ámbito de los números enteros, la división exacta no siempre es posible, porque el dividendo no siempre es el producto del divisor y el número entero. Después de la introducción de la multiplicación por una fracción, podemos considerar cualquier caso de división de números enteros como posible (solo se excluye la división por cero).
Por ejemplo, dividir 7 entre 12 significa encontrar un número cuyo producto por 12 sea 7. Este número es la fracción 7/12 porque 7/12 12 = 7. Otro ejemplo: 14: 25 = 14/25 porque 14/25 25 = 14.
Por lo tanto, para dividir un número entero por un número entero, debe hacer una fracción, cuyo numerador es igual al dividendo y el denominador es el divisor.
2. División de una fracción por un número entero.
Divide la fracción 6/7 por 3. Según la definición de división dada arriba, tenemos aquí el producto (6/7) y uno de los factores (3); se requiere encontrar un segundo factor que, cuando se multiplique por 3, dé el producto dado 6/7. Obviamente, debería ser tres veces más pequeño que este producto. Esto significa que la tarea que teníamos ante nosotros era reducir la fracción 6 / 7 en 3 veces.
Ya sabemos que la reducción de una fracción se puede hacer ya sea disminuyendo su numerador o aumentando su denominador. Por lo tanto, puedes escribir:
En este caso, el numerador 6 es divisible por 3, por lo que el numerador debe reducirse 3 veces.
Pongamos otro ejemplo: 5/8 dividido por 2. Aquí el numerador 5 no es divisible por 2, lo que significa que el denominador habrá que multiplicarlo por este número:
En base a esto, podemos enunciar la regla: Para dividir una fracción por un número entero, necesitas dividir el numerador de la fracción por ese número entero.(si es posible), dejando el mismo denominador, o multiplicar el denominador de la fracción por este número, dejando el mismo numerador.
3. División de un número entero por una fracción.
Sea necesario dividir 5 por 1/2, es decir, encontrar un número que, después de multiplicar por 1/2, dé como resultado el producto 5. Obviamente, este número debe ser mayor que 5, ya que 1/2 es una fracción propia, y al multiplicar un número por una fracción propia, el producto debe ser menor que el multiplicando. Para que quede más claro, escribamos nuestras acciones de la siguiente manera: 5: 1 / 2 = X , entonces x 1 / 2 \u003d 5.
Debemos encontrar tal número X , que, al multiplicarse por 1/2, daría 5. Dado que multiplicar cierto número por 1/2 significa encontrar la 1/2 de este número, entonces, por lo tanto, 1/2 fecha desconocida X es 5 y el numero entero X el doble, es decir, 5 2 \u003d 10.
Entonces 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
Vamos a revisar: 
Consideremos un ejemplo más. Sea necesario dividir 6 entre 2/3. Primero intentemos encontrar el resultado deseado usando el dibujo (Fig. 19).
Figura 19
Dibuja un segmento AB, igual a 6 de algunas unidades, y divide cada unidad en 3 partes iguales. En cada unidad, tres tercios (3/3) de todo el segmento AB es 6 veces mayor, es decir E. 18/3. Conectamos con la ayuda de pequeños soportes 18 segmentos obtenidos de 2; Habrá sólo 9 segmentos. Esto quiere decir que la fracción 2/3 está contenida en b unidades 9 veces, o sea, la fracción 2/3 es 9 veces menor que 6 unidades enteras. Como consecuencia,
¿Cómo obtener este resultado sin un dibujo usando solo cálculos? Argumentaremos de la siguiente manera: se requiere dividir 6 por 2 / 3, es decir, se requiere responder a la pregunta, cuántas veces 2 / 3 está contenido en 6. Averigüemos primero: cuántas veces es 1 / 3 contenido en 6? En una unidad entera - 3 tercios, y en 6 unidades - 6 veces más, es decir, 18 tercios; para encontrar este número, debemos multiplicar 6 por 3. Por lo tanto, 1/3 está contenido en b unidades 18 veces, y 2/3 está contenido en b unidades no 18 veces, sino la mitad de veces, es decir, 18: 2 = 9 Por lo tanto, al dividir 6 entre 2/3 hicimos lo siguiente:
De aquí obtenemos la regla para dividir un número entero por una fracción. Para dividir un entero por una fracción, necesitas multiplicar este entero por el denominador de la fracción dada y, haciendo de este producto el numerador, dividirlo por el numerador de la fracción dada.
Escribimos la regla usando letras:
Para que esta regla quede perfectamente clara, conviene recordar que una fracción puede considerarse como un cociente. Por lo tanto, es útil comparar la regla encontrada con la regla para dividir un número por un cociente, que se estableció en el § 38. Nótese que allí se obtuvo la misma fórmula.
Al dividir, las abreviaturas son posibles, por ejemplo:
4. División de una fracción por una fracción.
Que sea necesario dividir 3/4 por 3/8. ¿Qué denotará el número que se obtendrá como resultado de la división? Responderá a la pregunta cuántas veces la fracción 3/8 está contenida en la fracción 3/4. Para entender este problema, hagamos un dibujo (Fig. 20).
Tome el segmento AB, tómelo como una unidad, divídalo en 4 partes iguales y marque 3 de esas partes. El segmento AC será igual a 3/4 del segmento AB. Dividamos ahora cada uno de los cuatro segmentos iniciales por la mitad, luego el segmento AB se dividirá en 8 partes iguales y cada una de esas partes será igual a 1/8 del segmento AB. Conectamos 3 de estos segmentos con arcos, luego cada uno de los segmentos AD y DC será igual a 3/8 del segmento AB. El dibujo muestra que el segmento igual a 3/8 está contenido en el segmento igual a 3/4 exactamente 2 veces; Entonces el resultado de la división se puede escribir así:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Consideremos un ejemplo más. Sea necesario dividir 15/16 por 3/32:
Podemos razonar así: necesitamos encontrar un número que, después de ser multiplicado por 3/32, dé un producto igual a 15/16. Escribamos los cálculos así:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 número desconocido X maquillaje 15 / 16
1/32 número desconocido X es ,
32 / 32 números X maquillaje .
Como consecuencia,
Por lo tanto, para dividir una fracción entre una fracción, debe multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda y hacer que el primer producto sea el numerador y el segundo el denominador.
Escribamos la regla usando letras:
Al dividir, las abreviaturas son posibles, por ejemplo:
5. División de números mixtos.
Al dividir números mixtos, primero deben convertirse a fracciones impropias, luego divida las fracciones resultantes de acuerdo con las reglas para dividir números fraccionarios. Considere un ejemplo:
Convierte números mixtos a fracciones impropias:
Ahora dividamos:
Por lo tanto, para dividir números mixtos, debe convertirlos en fracciones impropias y luego dividir de acuerdo con la regla para dividir fracciones.
6. Hallar un número dada su fracción.
Entre varias tareas sobre fracciones, a veces hay aquellas en las que se da el valor de alguna fracción de un número desconocido y se requiere encontrar dicho número. Este tipo de problema será inverso al problema de hallar una fracción de un número dado; allí se dio un número y se requiere encontrar alguna fracción de este número, aquí se da una fracción de un número y se requiere encontrar este número mismo. Esta idea se hará aún más clara si nos dirigimos a la solución de este tipo de problemas.
Tarea 1. El primer día, los vidrieros acristalaron 50 ventanas, que es 1/3 de todas las ventanas de la casa construida. ¿Cuántas ventanas hay en esta casa?
Solución. El problema dice que 50 ventanas de vidrio son 1/3 de todas las ventanas de la casa, lo que significa que hay 3 veces más ventanas en total, es decir
La casa tenía 150 ventanas.
Tarea 2. La tienda vendió 1.500 kg de harina, que es 3/8 del stock total de harina en la tienda. ¿Cuál fue el suministro inicial de harina de la tienda?
Solución. De la condición del problema puede verse que los 1.500 kg de harina vendidos constituyen 3/8 del stock total; esto quiere decir que 1/8 de este stock será 3 veces menor, es decir, para calcularlo se necesita reducir 1500 en 3 veces:
1500: 3 = 500 (eso es 1/8 del stock).
Obviamente, todo el stock será 8 veces mayor. Como consecuencia,
500 8 \u003d 4,000 (kg).
El suministro inicial de harina en la tienda fue de 4.000 kg.
De la consideración de este problema, se puede deducir la siguiente regla.
Para encontrar un número por un valor dado de su fracción, basta con dividir este valor por el numerador de la fracción y multiplicar el resultado por el denominador de la fracción.
Resolvimos dos problemas de encontrar un número dada su fracción. Tales problemas, como se ve especialmente bien en el último, se resuelven mediante dos acciones: división (cuando se encuentra una parte) y multiplicación (cuando se encuentra el número entero).
Sin embargo, después de haber estudiado la división de fracciones, los problemas anteriores se pueden resolver en una acción, a saber: división por una fracción.
Por ejemplo, la última tarea se puede resolver en una acción como esta:
En el futuro, resolveremos el problema de encontrar un número por su fracción en una acción: la división.
7. Encontrar un número por su porcentaje.
En estas tareas, deberá encontrar un número, sabiendo un pequeño porcentaje de este número.
Tarea 1. A principios de este año, recibí 60 rublos de la caja de ahorros. ingreso de la cantidad que ahorré hace un año. ¿Cuánto dinero puse en la caja de ahorros? (Las oficinas de efectivo dan a los depositantes el 2% de los ingresos por año).
El significado del problema es que una cierta cantidad de dinero fue depositada por mí en una caja de ahorros y permaneció allí durante un año. Después de un año, recibí 60 rublos de ella. ingreso, que es 2/100 del dinero que invierto. ¿Cuánto dinero deposité?
Por lo tanto, conociendo la parte de este dinero, expresada de dos formas (en rublos y en fracciones), debemos encontrar la cantidad total, aún desconocida. Este es un problema ordinario de encontrar un número dada su fracción. Las siguientes tareas se resuelven por división:
Entonces, se depositaron 3.000 rublos en la caja de ahorros.
Tarea 2. En dos semanas, los pescadores cumplieron en un 64% el plan mensual, habiendo preparado 512 toneladas de pescado. ¿Cuál era su plan?
Por el estado del problema, se sabe que los pescadores cumplieron parte del plan. Esta parte es igual a 512 toneladas, que es el 64% del plan. No sabemos cuántas toneladas de pescado se deben recolectar de acuerdo con el plan. La solución del problema consistirá en encontrar este número.
Tales tareas se resuelven dividiendo:
Entonces, según el plan, debe preparar 800 toneladas de pescado.
Tarea 3. El tren iba de Riga a Moscú. Cuando pasó el kilómetro 276, uno de los pasajeros le preguntó al conductor que pasaba cuánto del viaje ya habían recorrido. A esto el conductor respondió: “Ya hemos cubierto el 30% de todo el trayecto”. ¿Cuál es la distancia de Riga a Moscú?
Se puede ver a partir de la condición del problema que el 30% del viaje de Riga a Moscú es de 276 km. Necesitamos encontrar la distancia total entre estas ciudades, es decir, para esta parte, encontrar el total:
§ 91. Números recíprocos. Sustitución de división por multiplicación.
Toma la fracción 2/3 y reorganiza el numerador en el lugar del denominador, obtenemos 3/2. Tenemos una fracción, el recíproco de esta.
Para obtener una fracción recíproca de una dada, debes colocar su numerador en el lugar del denominador y el denominador en el lugar del numerador. De esta forma, podemos obtener una fracción que es el recíproco de cualquier fracción. Por ejemplo:
3/4, inverso 4/3; 5/6, inversa 6/5
Dos fracciones que tienen la propiedad de que el numerador de la primera es el denominador de la segunda y el denominador de la primera es el numerador de la segunda se llaman mutuamente inversa.
Ahora pensemos en qué fracción será el recíproco de 1/2. Obviamente, será 2/1, o simplemente 2. Buscando el recíproco de esto, obtuvimos un número entero. Y este caso no es aislado; por el contrario, para todas las fracciones con numerador 1 (uno), los recíprocos serán números enteros, por ejemplo:
1 / 3, inverso 3; 1 / 5, 5 inverso
Ya que al encontrar recíprocos también nos encontramos con números enteros, en el futuro no hablaremos de recíprocos, sino de recíprocos.
Averigüemos cómo escribir el recíproco de un número entero. En el caso de las fracciones, esto se resuelve de manera simple: debes colocar el denominador en lugar del numerador. De la misma manera, puede obtener el recíproco de un número entero, ya que cualquier número entero puede tener un denominador de 1. Por lo tanto, el recíproco de 7 será 1/7, porque 7 \u003d 7/1; para el numero 10 el inverso es 1/10 ya que 10 = 10/1
Esta idea se puede expresar de otra manera: el recíproco de un número dado se obtiene dividiendo uno por el número dado. Esta afirmación es cierta no solo para números enteros, sino también para fracciones. De hecho, si quieres escribir un número, fracción inversa 5/9, entonces podemos tomar 1 y dividirlo por 5/9, es decir
Ahora vamos a señalar uno propiedad números mutuamente recíprocos, que nos serán útiles: el producto de números mutuamente recíprocos es igual a uno. Por cierto:
Usando esta propiedad, podemos encontrar recíprocos de la siguiente manera. Encontremos el recíproco de 8.
Vamos a denotarlo con la letra X , luego 8 X = 1, por lo tanto X = 1 / 8 . Encontremos otro número, el inverso de 7/12, denótalo con una letra X , luego 7 / 12 X = 1, por lo tanto X = 1:7 / 12 o X = 12 / 7 .
Introdujimos aquí el concepto de números recíprocos para complementar ligeramente la información sobre la división de fracciones.
Cuando dividimos el número 6 por 3/5, entonces hacemos lo siguiente:
Presta especial atención a la expresión y compárala con la dada: .
Si tomamos la expresión por separado, sin conexión con la anterior, entonces es imposible resolver la cuestión de dónde salió: de dividir 6 por 3/5 o de multiplicar 6 por 5/3. En ambos casos el resultado es el mismo. Entonces podemos decir que dividir un número por otro puede reemplazarse por multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor.
Los ejemplos que damos a continuación confirman plenamente esta conclusión.
Con fracciones, puede realizar todas las acciones, incluida la división. Este artículo muestra la división fracciones ordinarias. Se darán definiciones, se considerarán ejemplos. Detengámonos en la división de fracciones por números naturales y viceversa. Se considerará la división de una fracción ordinaria por un número mixto.
División de fracciones ordinarias
La división es el inverso de la multiplicación. al dividir multiplicador desconocido situado en obra famosa y otro factor, donde su significado dado se conserva con fracciones ordinarias.
Si es necesario dividir la fracción ordinaria a b por c d, entonces para determinar dicho número, debe multiplicar por el divisor c d, esto eventualmente dará el dividendo a b. Vamos a obtener un número y escribirlo a b · d c , donde d c es el recíproco de c d número. Las igualdades se pueden escribir usando las propiedades de la multiplicación, a saber: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , donde la expresión a b d c es el cociente de dividir a b por c d .
De aquí obtenemos y formulamos la regla para dividir fracciones ordinarias:
Definición 1
Para dividir una fracción ordinaria a b por c d, es necesario multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor.
Escribamos la regla como una expresión: a b: c d = a b d c
Las reglas de la división se reducen a la multiplicación. Para cumplirlo, debe estar bien versado en la realización de multiplicaciones de fracciones ordinarias.
Pasemos a la división de fracciones ordinarias.
Ejemplo 1
Realiza la división 9 7 por 5 3 . Escribe el resultado como una fracción.
Solución
El número 5 3 es el recíproco de 3 5 . Debes usar la regla para dividir fracciones ordinarias. Escribimos esta expresión de la siguiente manera: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.
Responder: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Al reducir fracciones, debe resaltar la parte entera si el numerador es mayor que el denominador.
Ejemplo 2
Divide 8 15: 24 65 . Escribe la respuesta como una fracción.
Solución
La solución es pasar de la división a la multiplicación. Lo escribimos de esta forma: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Es necesario hacer una reducción, y esto se hace de la siguiente manera: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9
Seleccionamos la parte entera y obtenemos 13 9 = 1 4 9 .
Responder: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
División de una fracción extraordinaria por un número natural
Usamos la regla de dividir una fracción por un número natural: para dividir a b por un número natural n, necesita multiplicar solo el denominador por n. De aquí obtenemos la expresión: a b: n = a b · n .
La regla de la división es una consecuencia de la regla de la multiplicación. Por lo tanto la representación número natural en forma de fracción dará una igualdad de este tipo: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.
Considere esta división de una fracción por un número.
Ejemplo 3
Divide la fracción 1645 por el número 12.
Solución
Aplicar la regla para dividir una fracción por un número. Obtenemos una expresión como 16 45: 12 = 16 45 12 .
Reduzcamos la fracción. Obtenemos 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .
Responder: 16 45: 12 = 4 135 .
División de un número natural por una fracción común
La regla de división es similar. sobre la regla de dividir un número natural por una fracción ordinaria: para dividir un número natural n por un ordinario a b , es necesario multiplicar el número n por el recíproco de la fracción a b .
Según la regla, tenemos n: a b \u003d n b a, y gracias a la regla de multiplicar un número natural por una fracción ordinaria, obtenemos nuestra expresión en la forma n: a b \u003d n b a. Es necesario considerar esta división con un ejemplo.
Ejemplo 4
Divide 25 por 15 28 .
Solución
Necesitamos pasar de la división a la multiplicación. Escribimos en forma de expresión 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Reduzcamos la fracción y obtengamos el resultado en forma de fracción 46 2 3 .
Responder: 25: 15 28 = 46 2 3 .
División de una fracción común por un número mixto
Al dividir una fracción ordinaria por un número mixto, puedes brillar fácilmente para dividir fracciones ordinarias. Necesito traducir numero mixto en una fracción impropia.
Ejemplo 5
Divide la fracción 35 16 entre 3 1 8 .
Solución
Como 3 1 8 es un número mixto, representémoslo como una fracción impropia. Entonces obtenemos 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Ahora vamos a dividir las fracciones. Obtenemos 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Responder: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
La división de un número mixto se realiza de la misma manera que la de los números ordinarios.
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Para resolver varias tareas del curso de matemáticas, la física tiene que dividir fracciones. Esto es muy fácil de hacer si conoce ciertas reglas para realizar esta operación matemática.
Antes de proceder a formular una regla sobre cómo dividir fracciones, recordemos algunos términos matemáticos:
- La parte superior de una fracción se llama numerador y la parte inferior se llama denominador.
- Al dividir, los números se llaman así: dividendo: divisor \u003d cociente
Cómo dividir fracciones: fracciones simples
Para dividir dos fracciones simples, multiplica el dividendo por el recíproco del divisor. Esta fracción también se llama fracción invertida, porque se obtiene intercambiando el numerador y el denominador. Por ejemplo:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Cómo dividir fracciones: fracciones mixtas
Si tenemos que dividir fracciones mixtas, aquí también todo es bastante simple y claro. Primero, convierte la fracción mixta en una fracción impropia ordinaria. Para hacer esto, multiplicamos el denominador de dicha fracción por un número entero y sumamos el numerador al producto resultante. Como resultado, obtuvimos un nuevo numerador de la fracción mixta y su denominador permanecerá sin cambios. La división adicional de fracciones se llevará a cabo de la misma manera que la división de fracciones simples. Por ejemplo:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Cómo dividir una fracción por un número
Para dividir una fracción simple por un número, este último debe escribirse como fracción (impropia). Esto es muy fácil de hacer: este número se escribe en lugar del numerador, y el denominador de dicha fracción es igual a uno. La división adicional se lleva a cabo de la manera habitual. Veamos esto con un ejemplo:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Cómo dividir decimales
A menudo, un adulto tiene dificultad, si es necesario, sin la ayuda de una calculadora, para dividir un número entero o una fracción decimal en una fracción decimal.
Entonces para hacer la división fracciones decimales, solo necesitas tachar la coma en el divisor y dejar de prestarle atención. En el divisible, la coma debe moverse a la derecha exactamente tantos caracteres como en la parte fraccionaria del divisor, añadiendo ceros si es necesario. Y luego producir la división habitual por un número entero. Para hacer esto más claro, tomemos el siguiente ejemplo.
