U ovom članku ćemo govoriti o dodatak negativni brojevi . Prvo dajemo pravilo za zbrajanje negativnih brojeva i dokazujemo ga. Nakon toga ćemo analizirati karakteristični primjeri zbrajanje negativnih brojeva.
Navigacija po stranici.
Pravilo negativnog zbrajanja
Prije nego što damo formulaciju pravila za zbrajanje negativnih brojeva, prijeđimo na materijal članka pozitivnih i negativnih brojeva. Tamo smo spomenuli da se negativni brojevi mogu percipirati kao dug, te u ovom slučaju određuje iznos tog duga. Dakle, zbrajanje dva negativna broja je zbrajanje dva duga.
Ovaj zaključak omogućuje razumijevanje pravilo negativnog zbrajanja. Da biste zbrojili dva negativna broja, trebate:
- složiti njihove module;
- ispred primljenog iznosa staviti znak minus.
Zapišimo pravilo za zbrajanje negativnih brojeva −a i −b u doslovnom obliku: (−a)+(−b)=−(a+b).
Jasno je da glasno pravilo reducira zbrajanje negativnih brojeva na zbrajanje pozitivnih brojeva (modul negativnog broja je pozitivan broj). Također je jasno da je rezultat zbrajanja dva negativna broja negativan broj, o čemu svjedoči znak minus koji se stavlja ispred zbroja modula.
Na temelju pravila za zbrajanje negativnih brojeva može se dokazati svojstva radnji s realnim brojevima(ili ista svojstva operacija s racionalnim ili cijelim brojevima). Da bismo to učinili, dovoljno je pokazati da je razlika između lijevog i desnog dijela jednakosti (−a)+(−b)=−(a+b) jednaka nuli.
Budući da je oduzimanje broja isto kao i zbrajanje suprotnog broja (vidi pravilo za oduzimanje cijelih brojeva), tada (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b)+(a+b). Na temelju komutativnih i asocijativnih svojstava zbrajanja imamo (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b). Budući da je zbroj suprotnih brojeva jednak nuli, tada je (−a+a)+(−b+b)=0+0 i 0+0=0 zbog svojstva dodavanja broja nuli. Time se dokazuje jednakost (−a)+(−b)=−(a+b) , a time i pravilo za zbrajanje negativnih brojeva.
Ostaje samo naučiti kako primijeniti pravilo zbrajanja negativnih brojeva u praksi, što ćemo učiniti u sljedećem odlomku.
Primjeri zbrajanja negativnih brojeva
Hajdemo analizirati primjeri zbrajanja negativnih brojeva. Počnimo s najjednostavnijim slučajem - zbrajanjem negativnih cijelih brojeva, zbrajanje će se provesti prema pravilu o kojem se govorilo u prethodnom odlomku.
Primjer.
Dodajte negativne brojeve -304 i -18007 .
Odluka.
Pratimo sve korake pravila zbrajanja negativnih brojeva.
Najprije nalazimo module zbrojenih brojeva: i 
. Sada morate dodati rezultirajuće brojeve, ovdje je prikladno izvršiti zbrajanje stupaca: 
Sada stavljamo znak minus ispred rezultirajućeg broja, kao rezultat imamo −18 311 .
Upisujemo cijelo rješenje kratki oblik: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .
Odgovor:
−18 311 .
Zbrajanje negativnog racionalni brojevi ovisno o samim brojevima, može se svesti ili na zbrajanje prirodnih brojeva, ili na zbrajanje običnih razlomaka, ili na zbrajanje decimalnih razlomaka.
Primjer.
Dodajte negativan broj i negativan broj −4,(12) .
Odluka.
Prema pravilu zbrajanja negativnih brojeva, prvo morate izračunati zbroj modula. Moduli zbranih negativnih brojeva su 2/5 odnosno 4,(12). Zbrajanje dobivenih brojeva može se svesti na zbrajanje obični razlomci. Da bismo to učinili, prevedemo periodični decimalni razlomak u obični razlomak:. Dakle 2/5+4, (12)=2/5+136/33 . Sada izvršimo
Negativni brojevi su brojevi sa predznakom minus (-), na primjer -1, -2, -3. Čita se kao: minus jedan, minus dva, minus tri.
Primjer primjene negativni brojevi je termometar koji pokazuje temperaturu tijela, zraka, tla ili vode. NA zimsko vrijeme kada je vani jako hladno, temperatura je negativna (ili, kako narod kaže, "minus").
Na primjer, -10 stupnjeva hladno:
Uobičajeni brojevi koje smo ranije razmatrali, kao što su 1, 2, 3, nazivaju se pozitivnim. Pozitivni brojevi su brojevi sa znakom plus (+).
Prilikom zapisivanja pozitivnih brojeva znak + se ne zapisuje, zbog čega vidimo nama poznate brojeve 1, 2, 3. Ali treba imati na umu da ti pozitivni brojevi izgledaju ovako: +1, + 2, +3.
Sadržaj lekcijeOvo je ravna crta na kojoj se nalaze svi brojevi: i negativni i pozitivni. Kako slijedi:
Ovdje su prikazani brojevi od -5 do 5. U stvari, koordinatni pravac je beskonačan. Na slici je prikazan samo njezin mali ulomak.
Brojevi na koordinatnoj liniji označeni su točkama. Masno na slici crna točka je početna točka. Odbrojavanje počinje od nule. Lijevo od referentne točke označeni su negativni brojevi, a desno pozitivni.
Koordinatna linija se nastavlja u nedogled s obje strane. Beskonačnost se u matematici označava simbolom ∞. Negativan smjer će biti označen simbolom −∞, i pozitivan simbol+∞. Tada možemo reći da se svi brojevi od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti nalaze na koordinatnoj liniji:
Svaka točka na koordinatnoj liniji ima svoje ime i koordinate. Ime je bilo koje latinično slovo. Koordinirati je broj koji označava položaj točke na ovoj liniji. Jednostavno rečeno, koordinata je isti broj koji želimo označiti na koordinatnoj liniji.
Na primjer, točka A(2) glasi kao "točka A s koordinatom 2" i bit će označen na koordinatnoj liniji kako slijedi:
Ovdje A je naziv točke, 2 je koordinata točke A.
Primjer 2 Točka B(4) glasi kao "točka B na koordinati 4"
Ovdje B je naziv točke, 4 je koordinata točke b.
Primjer 3 Točka M(−3) čita se kao "točka M s koordinatom minus tri" i bit će označen na koordinatnoj liniji kako slijedi:
Ovdje M je naziv točke, −3 je koordinata točke M .
Bodovi se mogu označiti bilo kojim slovima. Ali općenito je prihvaćeno označavati ih velikim latiničnim slovima. Štoviše, početak izvještaja, koji se inače zove podrijetlo obično se označava velikim slovom O
Lako je vidjeti da negativni brojevi leže lijevo od ishodišta, a pozitivni brojevi desno.
Postoje fraze poput "što više lijevo, to manje" i "što više udesno, to više". Vjerojatno ste već pogodili o čemu govorimo. Svakim korakom ulijevo, broj će se smanjivati prema dolje. I sa svakim korakom udesno, broj će se povećavati. Strelica koja pokazuje udesno označava pozitivan smjer brojanja.
Usporedba negativnih i pozitivnih brojeva
Pravilo 1 Svaki negativan broj manji je od bilo kojeg pozitivnog broja.
Na primjer, usporedimo dva broja: −5 i 3. Minus pet manji od tri, unatoč tome što petica upada u oči na prvom mjestu, kao broj veći od tri.
To je zato što je −5 negativno, a 3 pozitivno. Na koordinatnoj liniji možete vidjeti gdje se nalaze brojevi −5 i 3
Vidi se da −5 leži lijevo, a 3 desno. I to smo rekli "što više lijevo, to manje" . A pravilo kaže da je svaki negativan broj manji od bilo kojeg pozitivnog broja. Otuda slijedi da
−5 < 3
"Minus pet je manje od tri"
Pravilo 2 Od dva negativna broja, manji je onaj koji se nalazi lijevo na koordinatnoj liniji.
Na primjer, usporedimo brojeve -4 i -1. minus četiri manji nego minus jedan.
To je opet zbog činjenice da se na koordinatnoj liniji −4 nalazi više lijevo od −1
Vidi se da -4 leži lijevo, a -1 desno. I to smo rekli "što više lijevo, to manje" . A pravilo kaže da je od dva negativna broja onaj koji se nalazi lijevo na koordinatnoj liniji manji. Otuda slijedi da
Minus četiri je manje od minus jedan
Pravilo 3 Nula je veća od bilo kojeg negativnog broja.
Na primjer, usporedimo 0 i −3. Nula više od minus tri. To je zbog činjenice da se na koordinatnoj liniji 0 nalazi desno od −3
Može se vidjeti da 0 leži desno, a −3 lijevo. I to smo rekli "što više udesno, to više" . A pravilo kaže da je nula veća od bilo kojeg negativnog broja. Otuda slijedi da
Nula je veća od minus tri
Pravilo 4 Nula je manja od bilo kojeg pozitivnog broja.
Na primjer, usporedite 0 i 4. Nula manji nego 4. U principu je to jasno i istinito. Ali pokušat ćemo to vidjeti vlastitim očima, opet na koordinatnoj liniji:
Vidi se da se na koordinatnoj liniji 0 nalazi lijevo, a 4 desno. I to smo rekli "što više lijevo, to manje" . A pravilo kaže da je nula manja od bilo kojeg pozitivnog broja. Otuda slijedi da
Nula je manje od četiri
Svidjela ti se lekcija?
Pridružite se našoj novoj grupi Vkontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama
Zbrajanje negativnih brojeva.
Zbroj negativnih brojeva je negativan broj. Modul zbroja jednak je zbroju modula članova.
Pogledajmo zašto će i zbroj negativnih brojeva biti negativan broj. U tome će nam pomoći koordinatna linija na kojoj ćemo izvršiti zbrajanje brojeva -3 i -5. Označimo točku na koordinatnoj liniji koja odgovara broju -3.
Broju -3 trebamo dodati broj -5. Kamo idemo od točke koja odgovara broju -3? Tako desno, lijevo! Za 5 pojedinačnih segmenata. Označavamo točku i upisujemo joj odgovarajući broj. Ovaj broj je -8.
Dakle, kada zbrajamo negativne brojeve pomoću koordinatnog pravca, uvijek smo lijevo od referentne točke, stoga je jasno da je rezultat zbrajanja negativnih brojeva također negativan broj.
Bilješka. Dodali smo brojeve -3 i -5, t.j. pronašao vrijednost izraza -3+(-5). Obično, kada zbrajaju racionalne brojeve, te brojeve jednostavno zapišu svojim predznacima, kao da navode sve brojeve koje treba zbrojiti. Takav zapis naziva se algebarski zbroj. Primijenite (u našem primjeru) zapis: -3-5=-8.
Primjer. Pronađite zbroj negativnih brojeva: -23-42-54. (Slažete se da je ovaj unos kraći i praktičniji ovako: -23+(-42)+(-54))?
Mi odlučujemo prema pravilu zbrajanja negativnih brojeva: zbrajamo module pojmova: 23+42+54=119. Rezultat će biti sa predznakom minus.
Obično to zapisuju ovako: -23-42-54 \u003d -119.
Zbrajanje brojeva sa različiti znakovi.
Zbroj dvaju brojeva s različitim predznacima ima predznak zbroja s velikim modulom. Da biste pronašli modul zbroja, trebate oduzeti manji modul od većeg modula.
Izvedimo zbrajanje brojeva s različitim predznacima pomoću koordinatnog pravca.
1) -4+6. Broju 6 potrebno je dodati broj -4. Broj -4 označavamo točkom na koordinatnoj liniji. Broj 6 je pozitivan, što znači da od točke s koordinatom -4 trebamo ići udesno za 6 jediničnih segmenata. Završili smo desno od ishodišta (od nule) za 2 jedinična segmenta.
Rezultat zbroja brojeva -4 i 6 je pozitivan broj 2:
— 4+6=2. Kako ste mogli dobiti broj 2? Oduzmi 4 od 6, tj. oduzmite manje od većeg. Rezultat ima isti predznak kao i pojam s velikim modulom.
2) Izračunajmo: -7+3 pomoću koordinatnog pravca. Označavamo točku koja odgovara broju -7. Idemo udesno za 3 jedinična segmenta i dobivamo točku s koordinatom -4. Bili smo i ostali lijevo od ishodišta: odgovor je negativan broj.
— 7+3=-4. Ovaj rezultat bismo mogli dobiti na sljedeći način: od većeg modula oduzeli smo manji, t.j. 7-3=4. Kao rezultat, postavljen je predznak pojma s većim modulom: |-7|>|3|.
Primjeri. Izračunati: a) -4+5-9+2-6-3; b) -10-20+15-25.
Pravilo negativnog zbrajanja
Ako se prisjetite lekcije matematike i teme "Zbrajanje i oduzimanje brojeva s različitim predznacima", tada za zbrajanje dva negativna broja trebate:
- izvršiti dodavanje svojih modula;
- na primljeni iznos dodajte znak "-".
Prema pravilu zbrajanja možemo napisati:
$(−a)+(−b)=−(a+b)$.
Pravilo negativnog zbrajanja primjenjuje se na negativne cijele brojeve, racionalne brojeve i realne brojeve.
Primjer 1
Dodajte negativne brojeve $−185$ i $−23 \ 789.$
Odluka.
Poslužimo se pravilom zbrajanja negativnih brojeva.
Nađimo module ovih brojeva:
$|-23 \ 789|=23 \ 789$.
Zbrojimo rezultirajuće brojeve:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Ispred pronađenog broja stavljamo znak $"–"$ i dobivamo $−23 \ 974$.
Kratko rješenje: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.
Odgovor: $−23 \ 974$.
Prilikom zbrajanja negativnih racionalnih brojeva, oni se moraju pretvoriti u oblik prirodni brojevi, obični ili decimalni razlomci.
Primjer 2
Dodajte negativne brojeve $-\frac(1)(4)$ i $−7,15$.
Odluka.
Prema pravilu zbrajanja negativnih brojeva, prvo morate pronaći zbroj modula:
$|-\frac(1)(4)|=\frac(1)(4)$;
Prikladno je dobivene vrijednosti svesti na decimalne razlomke i izvršiti njihovo zbrajanje:
$\frac(1)(4)=0,25$;
$0,25+7,15=7,40$.
Stavimo znak $"-"$ ispred primljene vrijednosti i dobijemo $-7,4$.
Sažetak rješenja:
$(-\frac(1)(4))+(−7,15)=−(\frac(1)(4)+7,15)=–(0,25+7,15)=−7, 4$.
Za zbrajanje pozitivnih i negativnih brojeva:
- izračunati module brojeva;
- ako su jednaki, tada su izvorni brojevi suprotni i njihov je zbroj jednak nuli;
- ako nisu jednaki, onda morate zapamtiti znak broja čiji je modul veći;
oduzmite manje od većeg;
- ispred primljene vrijednosti staviti predznak broja čiji je modul veći.
usporedi primljene brojeve:
Zbrajanje brojeva sa suprotni znakovi svodi se na oduzimanje od većeg pozitivnog broja manjeg negativnog broja.
Pravilo zbrajanja brojeva suprotnih predznaka provodi se za cijele, racionalne i realne brojeve.
Primjer 3
Dodajte brojeve $4$ i $−8$.
Odluka.
Trebate zbrajati brojeve s suprotnim predznacima. Upotrijebimo odgovarajuće pravilo zbrajanja.
Nađimo module ovih brojeva:
Modul broja $−8$ veći je od modula broja $4$, tj. zapamtite znak $"-"$.
Ispred rezultirajućeg broja stavljamo znak $"–"$, koji smo zapamtili, i dobivamo $−4.$
Sažetak rješenja:
$4+(–8) = –(8–4) = –4$.
Odgovor: $4+(−8)=−4$.
Za zbrajanje racionalnih brojeva suprotnih predznaka, prikladno ih je predstaviti kao obične ili decimalne razlomke.
Oduzimanje brojeva s različitim i negativnim predznacima
Pravilo za oduzimanje negativnih brojeva:
Da biste od broja $a$ oduzeli negativan broj $b$, potrebno je minuendu $a$ dodati broj $−b$, koji je suprotan od oduzetog $b$.
Prema pravilu oduzimanja možemo napisati:
$a−b=a+(−b)$.
Ovo pravilo vrijedi za cijele, racionalne i realne brojeve. Pravilo se može koristiti pri oduzimanju negativnog broja od pozitivnog broja, od negativnog broja i od nule.
Primjer 4
Od negativnog broja $−28$ oduzmite negativni broj $−5$.
Odluka.
Suprotan broj za broj $–5$ je broj $5$.
Prema pravilu za oduzimanje negativnih brojeva dobivamo:
$(−28)−(−5)=(−28)+5$.
Dodajmo brojeve suprotnih predznaka:
$(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Odgovor: $(−28)−(−5)=−23$.
Prilikom oduzimanja negativnih razlomaka potrebno je brojeve pretvoriti u oblik običnih razlomaka, mješoviti brojevi ili decimale.
Zbrajanje i oduzimanje brojeva s različitim predznacima
Pravilo za oduzimanje brojeva suprotnih predznaka isto je kao i pravilo za oduzimanje negativnih brojeva.
Primjer 5
Od negativnog broja $−11$ oduzmite pozitivan broj $7$.
Odluka.
Suprotan broj za broj $7$ je broj $–7$.
Prema pravilu za oduzimanje brojeva suprotnih predznaka dobivamo:
$(−11)−7=(–11)+(−7)$.
Zbrojimo negativne brojeve:
$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.
Kratko rješenje: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Odgovor: $(−11)−7=−18$.
Prilikom oduzimanja razlomaka s različitim predznacima, potrebno je brojeve pretvoriti u oblik običnih ili decimalnih razlomaka.
Sada se pozabavimo množenje i dijeljenje.
Pretpostavimo da trebamo pomnožiti +3 sa -4. Kako to učiniti?
Razmotrimo takav slučaj. Troje ljudi se zadužilo, a svaki ima 4 dolara duga. Koliki je ukupan dug? Da biste ga pronašli, trebate zbrojiti sva tri duga: $4 + $4 + $4 = $12. Odlučili smo da se zbrajanje tri broja 4 označi kao 3 × 4. Budući da je u ovom slučaju riječ o dugu, ispred 4 stoji znak "-". Znamo da je ukupni dug 12 dolara, pa je sada naš problem 3x(-4)=-12.
Isti rezultat ćemo dobiti ako, prema stanju problema, svaka od četiri osobe ima dug od 3 dolara. Drugim riječima, (+4)x(-3)=-12. A kako redoslijed faktora nije bitan, dobivamo (-4)x(+3)=-12 i (+4)x(-3)=-12.
Sumirajmo rezultate. Kada se množe jedan pozitivan i jedan negativan broj, rezultat će uvijek biti negativan broj. Brojčana vrijednost odgovora bit će ista kao u slučaju pozitivnih brojeva. Umnožak (+4)x(+3)=+12. Prisutnost znaka "-" utječe samo na znak, ali ne utječe na brojčanu vrijednost.
Kako pomnožite dva negativna broja?
Nažalost, vrlo je teško doći do prikladnog primjera iz života na ovu temu. Lako je zamisliti 3 ili 4 dolara duga, ali potpuno je nemoguće zamisliti -4 ili -3 osobe koje se zadužuju.
Možda ćemo krenuti drugim putem. Kod množenja, promjenom predznaka jednog od faktora mijenja se predznak proizvoda. Ako promijenimo predznake oba faktora, predznake moramo promijeniti dva puta znak proizvoda, prvo s pozitivnog na negativno, a zatim obrnuto, s negativnog na pozitivno, odnosno proizvod će imati svoj izvorni predznak.
Stoga je sasvim logično, iako pomalo čudno, da (-3)x(-4)=+12.
Položaj znaka kada se pomnoži mijenja se ovako:
- pozitivan broj x pozitivan broj = pozitivan broj;
- negativan broj x pozitivan broj = negativan broj;
- pozitivan broj x negativan broj = negativan broj;
- negativan broj x negativan broj = pozitivan broj.
Drugim riječima, množenjem dva broja s istim predznakom dobivamo pozitivan broj. Množenjem dva broja s različitim predznacima, dobivamo negativan broj.
Isto pravilo vrijedi i za radnju suprotnu množenju – za.
To možete jednostavno provjeriti pokretanjem inverzne operacije množenja. Ako u svakom od gornjih primjera pomnožite kvocijent s djeliteljem, dobit ćete dividendu i provjerite ima li isti predznak, kao (-3)x(-4)=(+12).
Budući da dolazi zima, vrijeme je da razmislite u što presvući svog željeznog konja, kako se ne biste okliznuli na ledu i osjećali samopouzdanje na zimskim cestama. Možete, na primjer, uzeti gume Yokohama na stranici: mvo.ru ili neke druge, glavna stvar je da bi bile visoke kvalitete, više informacija i cijena možete pronaći na stranici Mvo.ru.
