Lección y presentación sobre el tema: "Secuencias numéricas. Progresión geométrica".
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Chicos, hoy nos familiarizaremos con otro tipo de progresión.
El tema de la lección de hoy es la progresión geométrica.
Progresión geométrica
Definición. Una sucesión numérica en la que cada término, a partir del segundo, es igual al producto del anterior y algún número fijo, se denomina progresión geométrica.Definamos nuestra secuencia recursivamente: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
donde b y q son ciertos números dados. El número q se llama denominador de la progresión.
Ejemplo. 1,2,4,8,16… Progresión geométrica, en la que el primer miembro es igual a uno, y $q=2$.
Ejemplo. 8,8,8,8… Una progresión geométrica cuyo primer término es ocho,
y $q=1$.
Ejemplo. 3,-3,3,-3,3... Una progresión geométrica cuyo primer término es tres,
y $q=-1$.
La progresión geométrica tiene las propiedades de la monotonicidad.
Si $b_(1)>0$, $q>1$,
entonces la sucesión es creciente.
Si $b_(1)>0$, $0 La secuencia generalmente se denota como: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Al igual que en una progresión aritmética, si el número de elementos en una progresión geométrica es finito, entonces la progresión se llama progresión geométrica finita.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Tenga en cuenta que si la sucesión es una progresión geométrica, entonces la sucesión de términos al cuadrado también es una progresión geométrica. La segunda secuencia tiene el primer término $b_(1)^2$ y el denominador $q^2$.
Fórmula del n-ésimo miembro de una progresión geométrica
Una progresión geométrica también se puede especificar en forma analítica. Veamos cómo hacerlo:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Podemos ver fácilmente el patrón: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Nuestra fórmula se llama "fórmula del n-ésimo miembro de una progresión geométrica".
Volvamos a nuestros ejemplos.
Ejemplo. 1,2,4,8,16… Una progresión geométrica cuyo primer término es igual a uno,
y $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Ejemplo. 16,8,4,2,1,1/2… Una progresión geométrica cuyo primer término es dieciséis y $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Ejemplo. 8,8,8,8… Una progresión geométrica donde el primer término es ocho y $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Ejemplo. 3,-3,3,-3,3… Una progresión geométrica cuyo primer término es tres y $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Ejemplo. Dada una progresión geométrica $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Se sabe que $b_(1)=6, q=3$. Encuentra $b_(5)$.
b) Se sabe que $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Encuentra n.
c) Se sabe que $q=-2, b_(6)=96$. Encuentra $b_(1)$.
d) Se sabe que $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. encuentra q.
Decisión.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ ya que $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Ejemplo. La diferencia entre los miembros séptimo y quinto de la progresión geométrica es 192, la suma de los miembros quinto y sexto de la progresión es 192. Encuentra el décimo miembro de esta progresión.
Decisión.
Sabemos que: $b_(7)-b_(5)=192$ y $b_(5)+b_(6)=192$.
También sabemos: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Entonces:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Tenemos un sistema de ecuaciones:
$\begin(casos)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(casos)$.
Igualando, nuestras ecuaciones obtienen:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Tenemos dos soluciones q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Sustituyendo sucesivamente en la segunda ecuación:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ sin soluciones.
Obtuvimos eso: $b_(1)=4, q=2$.
Busquemos el décimo término: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
La suma de una progresión geométrica finita
Supongamos que tenemos una progresión geométrica finita. Calculemos, al igual que para una progresión aritmética, la suma de sus miembros.Sea una progresión geométrica finita: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Introduzcamos la notación para la suma de sus miembros: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
En el caso de que $q=1$. Todos los miembros de la progresión geométrica son iguales al primer miembro, entonces es obvio que $S_(n)=n*b_(1)$.
Consideremos ahora el caso $q≠1$.
Multiplique la cantidad anterior por q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Nota:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Hemos obtenido la fórmula para la suma de una progresión geométrica finita.
Ejemplo.
Encuentra la suma de los primeros siete términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 4 y el denominador es 3.
Decisión.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Ejemplo.
Encuentre el quinto miembro de la progresión geométrica, que se conoce: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Decisión.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Propiedad característica de una progresión geométrica.
Chicos, dada una progresión geométrica. Consideremos sus tres miembros consecutivos: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.Lo sabemos:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Entonces:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Si la progresión es finita, entonces esta igualdad es válida para todos los términos excepto el primero y el último.
Si no se sabe de antemano qué tipo de secuencia tiene la secuencia, pero se sabe que: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Entonces podemos decir con seguridad que se trata de una progresión geométrica.
Una secuencia numérica es una progresión geométrica solo cuando el cuadrado de cada uno de sus términos es igual al producto de sus dos términos vecinos de la progresión. No olvidemos que por progresión finita esta condición no se cumple para el primer y último miembro.
Veamos esta identidad: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ se llama el promedio números geométricos a y B.
El módulo de cualquier miembro de una progresión geométrica es igual a la media geométrica de los dos miembros adyacentes.
Ejemplo.
Encuentre x tal que $x+2; 2x+2; 3x+3$ eran tres miembros consecutivos de una progresión geométrica.
Decisión.
Usemos la propiedad característica:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ y $x_(2)=-1$.
Sustituyendo secuencialmente en la expresión original, nuestras soluciones:
Con $x=2$, obtuvimos la secuencia: 4;6;9 es una progresión geométrica con $q=1.5$.
Con $x=-1$, obtuvimos la secuencia: 1;0;0.
Respuesta: $x=2.$
Tareas para solución independiente
1. Halla el octavo primer miembro de la progresión geométrica 16;-8;4;-2....2. Encuentra el décimo miembro de la progresión geométrica 11,22,44….
3. Se sabe que $b_(1)=5, q=3$. Encuentra $b_(7)$.
4. Se sabe que $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Encuentra n.
5. Encuentra la suma de los primeros 11 miembros de la progresión geométrica 3;12;48….
6. Encuentra x tal que $3x+4; 2x+4; x+5$ son tres miembros consecutivos de una progresión geométrica.
Consideremos una serie.
7 28 112 448 1792...
Está absolutamente claro que el valor de cualquiera de sus elementos es exactamente cuatro veces mayor que el anterior. Así que esta serie es una progresión.
Una progresión geométrica es una secuencia infinita de números caracteristica principal que es que el siguiente número se obtiene del anterior multiplicando por algún número específico. Esto se expresa mediante la siguiente fórmula.
a z +1 =a z q, donde z es el número del elemento seleccionado.
En consecuencia, z ∈ N.
El período en el que se estudia una progresión geométrica en la escuela es el grado 9. Los ejemplos le ayudarán a entender el concepto:
0.25 0.125 0.0625...
Con base en esta fórmula, el denominador de la progresión se puede encontrar de la siguiente manera:
Ni q ni b z pueden ser cero. Además, cada uno de los elementos de la progresión no debe ser igual a cero.
En consecuencia, para encontrar el siguiente número de la serie, debe multiplicar el último por q.
Para especificar esta progresión, debe especificar su primer elemento y denominador. Después de eso, es posible encontrar cualquiera de los términos subsiguientes y su suma.
Variedades
Dependiendo de q y a 1, esta progresión se divide en varios tipos:
- Si tanto a 1 como q son mayores que uno, entonces dicha secuencia es una progresión geométrica que aumenta con cada elemento siguiente. A continuación se presenta un ejemplo de ello.
Ejemplo: a 1 =3, q=2 - ambos parámetros son mayores que uno.
Entonces la secuencia numérica se puede escribir así:
3 6 12 24 48 ...
- Si |q| menos que uno, es decir, la multiplicación por él es equivalente a la división, entonces una progresión con condiciones similares es una progresión geométrica decreciente. A continuación se presenta un ejemplo de ello.
Ejemplo: a 1 =6, q=1/3 - a 1 es mayor que uno, q es menor.
Entonces la secuencia numérica se puede escribir de la siguiente manera:
6 2 2/3 ... - cualquier elemento es 3 veces mayor que el siguiente.
- Signo-variable. si q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Ejemplo: a 1 = -3 , q = -2 - ambos parámetros son menores que cero.
Entonces la sucesión se puede escribir así:
3, 6, -12, 24,...
fórmulas
Para un uso conveniente de las progresiones geométricas, existen muchas fórmulas:
- Fórmula del z-ésimo miembro. Le permite calcular el elemento bajo un número específico sin calcular los números anteriores.
Ejemplo:q = 3, un 1 = 4. Se requiere calcular el cuarto elemento de la progresión.
Decisión:un 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- La suma de los primeros elementos cuyo número es z. Le permite calcular la suma de todos los elementos de una secuencia hastauna zinclusivo.
Desde (1-q) está en el denominador, entonces (1 - q)≠ 0, por lo que q no es igual a 1.
Nota: si q=1, entonces la progresión sería una serie de un número que se repite infinitamente.
La suma de una progresión geométrica, ejemplos:un 1 = 2, q= -2. Calcular S 5 .
Decisión:S 5 = 22 - cálculo por fórmula.
- Importe si |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Ejemplo:un 1 = 2 , q= 0,5. Encuentra la cantidad.
Decisión:Talla = 2 · = 4
Talla = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Algunas propiedades:
- propiedad característica. Si la siguiente condición realizado para cualquierz, entonces la serie numérica dada es una progresión geométrica:
una z 2 = una z -1 · unz+1
- Además, el cuadrado de cualquier número de una progresión geométrica se obtiene sumando los cuadrados de otros dos números cualesquiera de una serie dada, si son equidistantes de este elemento.
una z 2 = una z - t 2 + una z + t 2 , dondetes la distancia entre estos números.
- Elementosdifieren en quna vez.
- Los logaritmos de los elementos de progresión también forman una progresión, pero ya aritmética, es decir, cada uno de ellos es mayor que el anterior en un número determinado.
Ejemplos de algunos problemas clásicos
Para comprender mejor qué es una progresión geométrica, los ejemplos con una solución para el grado 9 pueden ayudar.
- Condiciones:un 1 = 3, un 3 = 48. Encuentraq.
Solución: cada elemento subsiguiente es mayor que el anterior enq una vez.Es necesario expresar unos elementos a través de otros utilizando un denominador.
Por lo tanto,un 3 = q 2 · un 1
Al sustituirq= 4
- Condiciones:un 2 = 6, un 3 = 12. Calcula S 6 .
Decisión:Para ello, basta con encontrar q, el primer elemento, y sustituirlo en la fórmula.
un 3 = q· un 2 , por lo tanto,q= 2
un 2 = q un 1,Es por eso un 1 = 3
S 6 = 189
- · un 1 = 10, q= -2. Encuentra el cuarto elemento de la progresión.
Solución: para ello basta con expresar el cuarto elemento por el primero y por el denominador.
un 4 = q 3· un 1 = -80
Ejemplo de aplicación:
- El cliente del banco hizo un depósito por un monto de 10,000 rublos, según los términos de los cuales cada año el cliente agregará el 6% del monto principal. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de 4 años?
Solución: La cantidad inicial es de 10 mil rublos. Entonces, un año después de la inversión, la cuenta tendrá una cantidad igual a 10,000 + 10,000 · 0,06 = 10000 1,06
En consecuencia, la cantidad en la cuenta después de otro año se expresará de la siguiente manera:
(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000
Es decir, cada año la cantidad aumenta en 1,06 veces. Esto significa que para encontrar la cantidad de fondos en la cuenta después de 4 años, basta con encontrar el cuarto elemento de la progresión, que viene dado por el primer elemento igual a 10 mil y el denominador igual a 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Ejemplos de tareas para calcular la suma:
En varios problemas, se utiliza una progresión geométrica. Un ejemplo para encontrar la suma se puede dar de la siguiente manera:
un 1 = 4, q= 2, calcularS5.
Solución: todos los datos necesarios para el cálculo son conocidos, solo necesita sustituirlos en la fórmula.
S 5 = 124
- un 2 = 6, un 3 = 18. Calcula la suma de los primeros seis elementos.
Decisión:
Geom. progresión, cada siguiente elemento es q veces mayor que el anterior, es decir, para calcular la suma, necesitas saber el elementoun 1 y denominadorq.
un 2 · q = un 3
q = 3
Del mismo modo, tenemos que encontrarun 1 , sabiendoun 2 yq.
un 1 · q = un 2
un 1 =2
S 6 = 728.
Si todo número natural norte coincidir con un número real un , entonces dicen que dado secuencia numérica :
un 1 , un 2 , un 3 , . . . , un , . . . .
Entonces, una secuencia numérica es una función de un argumento natural.
Número un 1 llamado el primer miembro de la secuencia , número un 2 — el segundo miembro de la secuencia , número un 3 — tercera etc. Número un llamado enésimo miembro de la secuencia , un número natural norte — su número .
De dos miembros vecinos un y un +1 secuencias de miembros un +1 llamado subsecuente (hacia un ), un un — anterior (hacia un +1 ).
Para especificar una secuencia, debe especificar un método que le permita encontrar un miembro de secuencia con cualquier número.
A menudo, la secuencia se da con fórmulas de n-ésimo término , es decir, una fórmula que le permite determinar un miembro de secuencia por su número.
Por ejemplo,
la secuencia de números impares positivos se puede dar mediante la fórmula
un= 2norte- 1,
y la secuencia de alternancia 1 y -1 - fórmula
b norte = (-1)norte +1 . ◄
La secuencia se puede determinar fórmula recurrente, es decir, una fórmula que expresa cualquier miembro de la secuencia, comenzando con algunos, hasta los miembros anteriores (uno o más).
Por ejemplo,
Si un 1 = 1 , un un +1 = un + 5
un 1 = 1,
un 2 = un 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
un 3 = un 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
un 4 = un 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
un 5 = un 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
si un un 1= 1, un 2 = 1, un +2 = un + un +1 , entonces los primeros siete miembros de la secuencia numérica se establecen de la siguiente manera:
un 1 = 1,
un 2 = 1,
un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,
un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,
un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,
un 6 = un 4 + un 5 = 3 + 5 = 8,
un 7 = un 5 + un 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Las secuencias pueden ser final y interminable .
La secuencia se llama final si tiene un número finito de miembros. La secuencia se llama interminable si tiene infinitos miembros.
Por ejemplo,
secuencia de números naturales de dos dígitos:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
final.
Secuencia de números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
interminable. ◄
La secuencia se llama creciente , si cada uno de sus miembros, a partir del segundo, es mayor que el anterior.
La secuencia se llama menguante , si cada uno de sus miembros, a partir del segundo, es menor que el anterior.
Por ejemplo,
2, 4, 6, 8, . . . , 2norte, . . . es una secuencia ascendente;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /norte, . . . es una secuencia descendente. ◄
Una sucesión cuyos elementos no disminuyen al aumentar el número o, por el contrario, no aumentan, se llama secuencia monótona .
Las secuencias monótonas, en particular, son secuencias crecientes y secuencias decrecientes.
Progresión aritmética
Progresión aritmética se llama una sucesión, cada miembro de la cual, a partir del segundo, es igual al anterior, al que se suma el mismo número.
un 1 , un 2 , un 3 , . . . , un, . . .
es una progresión aritmética si para cualquier número natural norte se cumple la condición:
un +1 = un + d,
donde d - algún número.
Por lo tanto, la diferencia entre el miembro siguiente y el anterior de una progresión aritmética dada es siempre constante:
un 2 - un 1 = un 3 - un 2 = . . . = un +1 - un = d.
Número d llamado la diferencia de una progresión aritmética.
Para establecer una progresión aritmética, basta con especificar su primer término y diferencia.
Por ejemplo,
Si un 1 = 3, d = 4 , entonces los primeros cinco términos de la secuencia se encuentran de la siguiente manera:
un 1 =3,
un 2 = un 1 + d = 3 + 4 = 7,
un 3 = un 2 + d= 7 + 4 = 11,
un 4 = un 3 + d= 11 + 4 = 15,
un 5 = un 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Para una progresión aritmética con el primer término un 1 y diferencia d ella norte
un = un 1 + (norte- 1)d.
Por ejemplo,
hallar el trigésimo término de una progresión aritmética
1, 4, 7, 10, . . .
un 1 =1, d = 3,
un 30 = un 1 + (30 - 1)re= 1 + 29· 3 = 88. ◄
un n-1 = un 1 + (norte- 2)d,
un= un 1 + (norte- 1)d,
un +1 = un 1 + Dakota del Norte,
entonces obviamente
| un=
| un n-1 + un n+1
|
| 2
|
cada miembro de la progresión aritmética, a partir del segundo, es igual a la media aritmética de los miembros anterior y posterior.
los números a, b y c son miembros consecutivos de alguna progresión aritmética si y solo si uno de ellos es igual a la media aritmética de los otros dos.
Por ejemplo,
un = 2norte- 7 , es una progresión aritmética.
Usemos la afirmación anterior. Tenemos:
un = 2norte- 7,
un n-1 = 2(norte- 1) - 7 = 2norte- 9,
un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2norte- 5.
Por lo tanto,
| un n+1 + un n-1
| =
| 2norte- 5 + 2norte- 9
| = 2norte- 7 = un,
|
| 2
| 2
|
◄
Tenga en cuenta que norte -th miembro de una progresión aritmética se puede encontrar no sólo a través de un 1 , pero también cualquier anterior un k
un = un k + (norte- k)d.
Por ejemplo,
por un 5 puede ser escrito
un 5 = un 1 + 4d,
un 5 = un 2 + 3d,
un 5 = un 3 + 2d,
un 5 = un 4 + d. ◄
un = un n-k + kd,
un = un negro + k - kd,
entonces obviamente
| un=
| un nk
+a n+k
|
| 2
|
todo miembro de una progresión aritmética, a partir del segundo, es igual a la mitad de la suma de los miembros de esta progresión aritmética igualmente separados de él.
Además, para cualquier progresión aritmética, la igualdad es verdadera:
un metro + un norte = un k + un l,
metro + norte = k + l.
Por ejemplo,
en progresión aritmética
1) un 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (un 9 + un 11 )/2;
2) 28 = un 10 = un 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;
4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, como
un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,
un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S norte= un 1 + un 2 + un 3 + . . .+ un,
primero norte miembros de una progresión aritmética es igual al producto de la mitad de la suma de los términos extremos por el número de términos:
De esto, en particular, se sigue que si es necesario sumar los términos
un k, un k +1 , . . . , un,
entonces la fórmula anterior conserva su estructura:
Por ejemplo,
en progresión aritmética 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
si se da progresión aritmética, entonces las cantidades un 1 , un, d, norte yS norte unidas por dos fórmulas:
Por lo tanto, si se dan los valores de tres de estas cantidades, entonces los valores correspondientes de las otras dos cantidades se determinan a partir de estas fórmulas combinadas en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Una progresión aritmética es una secuencia monótona. Donde:
- Si d > 0 , entonces es creciente;
- Si d < 0 , entonces es decreciente;
- Si d = 0 , entonces la secuencia será estacionaria.
Progresión geométrica
progresión geométrica se llama sucesión, cada término del cual, a partir del segundo, es igual al anterior, multiplicado por el mismo número.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , segundo norte, . . .
es una progresión geométrica si para cualquier número natural norte se cumple la condición:
segundo norte +1 = segundo norte · q,
donde q ≠ 0 - algún número.
Así, la razón del siguiente término de esta progresión geométrica al anterior es un número constante:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = segundo norte +1 / segundo norte = q.
Número q llamado denominador de una progresión geométrica.
Para establecer una progresión geométrica, basta con especificar su primer término y denominador.
Por ejemplo,
Si b 1 = 1, q = -3 , entonces los primeros cinco términos de la secuencia se encuentran de la siguiente manera:
segundo 1 = 1,
segundo 2 = segundo 1 · q = 1 · (-3) = -3,
segundo 3 = segundo 2 · q= -3 · (-3) = 9,
segundo 4 = segundo 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 y denominador q ella norte -th término se puede encontrar por la fórmula:
segundo norte = b 1 · q norte -1 .
Por ejemplo,
encontrar el séptimo término de una progresión geométrica 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = segundo 1 · q norte -2 ,
segundo norte = segundo 1 · q norte -1 ,
segundo norte +1 = b 1 · q norte,
entonces obviamente
segundo norte 2 = segundo norte -1 · segundo norte +1 ,
cada miembro de la progresión geométrica, a partir del segundo, es igual a la media geométrica (proporcional) de los miembros anterior y posterior.
Dado que lo contrario también es cierto, se cumple la siguiente afirmación:
los números a, b y c son miembros consecutivos de alguna progresión geométrica si y sólo si el cuadrado de uno de ellos es igual al producto de los otros dos, es decir, uno de los números es la media geométrica de los otros dos.
Por ejemplo,
probemos que la sucesión dada por la fórmula segundo norte= -3 2 norte , es una progresión geométrica. Usemos la afirmación anterior. Tenemos:
segundo norte= -3 2 norte,
segundo norte -1 = -3 2 norte -1 ,
segundo norte +1 = -3 2 norte +1 .
Por lo tanto,
segundo norte 2 = (-3 2 norte) 2 = (-3 2 norte -1 ) (-3 2 norte +1 ) = segundo norte -1 · segundo norte +1 ,
lo que prueba la afirmación requerida. ◄
Tenga en cuenta que norte El término de una progresión geométrica se puede encontrar no solo a través de b 1 , pero también cualquier término anterior b k , para lo cual basta con utilizar la fórmula
segundo norte = b k · q norte - k.
Por ejemplo,
por b 5 puede ser escrito
segundo 5 = segundo 1 · q 4 ,
segundo 5 = segundo 2 · q 3,
segundo 5 = segundo 3 · q2,
segundo 5 = segundo 4 · q. ◄
segundo norte = b k · q norte - k,
segundo norte = segundo norte - k · qk,
entonces obviamente
segundo norte 2 = segundo norte - k· segundo norte + k
el cuadrado de cualquier miembro de una progresión geométrica, a partir del segundo, es igual al producto de los miembros de esta progresión equidistantes de él.
Además, para cualquier progresión geométrica, la igualdad es verdadera:
b m· segundo norte= b k· bl,
metro+ norte= k+ yo.
Por ejemplo,
exponencialmente
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , como
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S norte= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + segundo norte
primero norte miembros de una progresión geométrica con denominador q ≠ 0 calculado por la fórmula:
Y cuando q = 1 - según la fórmula
S norte= nótese bien. 1
Note que si necesitamos sumar los términos
b k, b k +1 , . . . , segundo norte,
entonces se usa la fórmula:
| S norte- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + segundo norte = b k · | 1 - q norte -
k +1
| . |
| 1 - q
|
Por ejemplo,
exponencialmente 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Si se da una progresión geométrica, entonces las cantidades b 1 , segundo norte, q, norte y S norte unidas por dos fórmulas:
Por lo tanto, si se dan los valores de cualquiera de estas tres cantidades, entonces los valores correspondientes de las otras dos cantidades se determinan a partir de estas fórmulas combinadas en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Para una progresión geométrica con el primer término b 1 y denominador q ocurre lo siguiente propiedades de monotonicidad :
- la progresión es creciente si se cumple una de las siguientes condiciones:
b 1 > 0 y q> 1;
b 1 < 0 y 0 < q< 1;
- Una progresión es decreciente si se cumple una de las siguientes condiciones:
b 1 > 0 y 0 < q< 1;
b 1 < 0 y q> 1.
si un q< 0 , entonces la progresión geométrica es de signos alternos: sus términos impares tienen el mismo signo que su primer término y los términos pares tienen el signo opuesto. Está claro que una progresión geométrica alterna no es monótona.
producto de la primera norte Los términos de una progresión geométrica se pueden calcular mediante la fórmula:
Pn= segundo 1 · segundo 2 · segundo 3 · . . . · segundo norte = (segundo 1 · segundo norte) norte / 2 .
Por ejemplo,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Progresión geométrica infinitamente decreciente
Progresión geométrica infinitamente decreciente se llama progresión geométrica infinita cuyo módulo del denominador es menor que 1 , es decir
|q| < 1 .
Tenga en cuenta que una progresión geométrica infinitamente decreciente puede no ser una secuencia decreciente. Esto encaja en el caso
1 < q< 0 .
Con tal denominador, la secuencia es de signo alternante. Por ejemplo,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
La suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente nombre el número al que se suma la primera norte términos de la progresión con un aumento ilimitado en el número norte . Este número siempre es finito y se expresa mediante la fórmula
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
Por ejemplo,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Relación entre progresiones aritméticas y geométricas
Aritmética y progresión geométrica están estrechamente relacionados. Consideremos sólo dos ejemplos.
un 1 , un 2 , un 3 , . . . d , entonces
b un 1 , b un 2 , b un 3 , . . . bd .
Por ejemplo,
1, 3, 5, . . . — progresión aritmética con diferencia 2 y
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . es una progresión geométrica con denominador 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . es una progresión geométrica con denominador q , entonces
registro a b 1, registro a b 2, registro a b 3, . . . — progresión aritmética con diferencia registrar unq .
Por ejemplo,
2, 12, 72, . . . es una progresión geométrica con denominador 6 y
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — progresión aritmética con diferencia lg 6 . ◄
La progresión geométrica, junto con la aritmética, es importante serie numérica, que se estudia en el curso de álgebra escolar en el grado 9. En este artículo, consideraremos el denominador de una progresión geométrica y cómo su valor afecta sus propiedades.
Definición de progresión geométrica
Primero, definamos esto serie de números. Una progresión geométrica es una serie. numeros racionales, que se forma multiplicando secuencialmente su primer elemento por un número constante llamado denominador.
Por ejemplo, los números de la serie 3, 6, 12, 24,... son una progresión geométrica, porque si multiplicamos 3 (el primer elemento) por 2, obtenemos 6. Si multiplicamos 6 por 2, obtenemos 12, y así sucesivamente.
Los miembros de la secuencia bajo consideración generalmente se denotan con el símbolo ai, donde i es un número entero que indica el número del elemento en la serie.
La definición anterior de una progresión se puede escribir en el lenguaje matemático de la siguiente manera: an = bn-1 * a1, donde b es el denominador. Es fácil verificar esta fórmula: si n = 1, entonces b1-1 = 1, y obtenemos a1 = a1. Si n = 2, entonces an = b * a1, y nuevamente llegamos a la definición de la serie de números bajo consideración. Se puede continuar con un razonamiento similar para valores grandes norte.
El denominador de una progresión geométrica.
El número b determina completamente qué carácter tendrá toda la serie numérica. El denominador b puede ser positivo, negativo y también tener un valor mayor que uno o menor. Todas las opciones anteriores conducen a diferentes secuencias:
- b > 1. Hay una serie creciente de números racionales. Por ejemplo, 1, 2, 4, 8, ... Si el elemento a1 es negativo, entonces toda la secuencia aumentará solo en módulo, pero disminuirá teniendo en cuenta el signo de los números.
- b = 1. A menudo, este caso no se denomina progresión, ya que fila regular los mismos números racionales. Por ejemplo, -4, -4, -4.
fórmula para la suma
Antes de proceder a la consideración de problemas específicos usando el denominador del tipo de progresión bajo consideración, se debe dar una fórmula importante para la suma de sus primeros n elementos. La fórmula es: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Puede obtener esta expresión usted mismo si considera una secuencia recursiva de miembros de la progresión. También tenga en cuenta que en la fórmula anterior, es suficiente conocer solo el primer elemento y el denominador para encontrar la suma de un número arbitrario de términos.
Secuencia infinitamente decreciente
Arriba había una explicación de lo que es. Ahora, conociendo la fórmula de Sn, apliquémosla a esta serie de números. Dado que cualquier número cuyo módulo no exceda de 1 tiende a cero cuando se eleva a grandes potencias, es decir, b∞ => 0 si -1
Dado que la diferencia (1 - b) siempre será positiva, independientemente del valor del denominador, el signo de la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente S∞ está determinado únicamente por el signo de su primer elemento a1.
Ahora consideraremos varios problemas, donde mostraremos cómo aplicar el conocimiento adquirido a números específicos.
Tarea número 1. Cálculo de elementos desconocidos de la progresión y la suma.
Dada una progresión geométrica, el denominador de la progresión es 2 y su primer elemento es 3. ¿Cuáles serán sus términos 7 y 10 y cuál es la suma de sus siete elementos iniciales?
La condición del problema es bastante simple e implica el uso directo de las fórmulas anteriores. Entonces, para calcular el elemento de número n, usamos la expresión an = bn-1 * a1. Para el 7º elemento tenemos: a7 = b6 * a1, sustituyendo los datos conocidos, obtenemos: a7 = 26 * 3 = 192. Hacemos lo mismo para el 10º miembro: a10 = 29 * 3 = 1536.
Usamos la conocida fórmula de la suma y determinamos este valor para los primeros 7 elementos de la serie. Tenemos: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Tarea número 2. Determinar la suma de elementos arbitrarios de la progresión.
Sea -2 el denominador de la progresión exponencial bn-1 * 4, donde n es un número entero. Es necesario determinar la suma del 5° al 10° elemento de esta serie, inclusive.
El problema planteado no puede resolverse directamente utilizando fórmulas conocidas. Puedes resolverlo con 2 varios métodos. En aras de la exhaustividad, presentamos ambos.
Método 1. Su idea es simple: debe calcular las dos sumas correspondientes de los primeros términos y luego restar el otro de uno. Calcula la suma menor: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Ahora calculamos la gran suma: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Tenga en cuenta que en última expresión solo se sumaron 4 términos, ya que el 5º ya está incluido en la suma que hay que calcular según la condición del problema. Finalmente, sacamos la diferencia: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Método 2. Antes de sustituir números y contar, puedes obtener una fórmula para la suma entre los términos m y n de la serie en cuestión. Actuamos exactamente de la misma manera que en el método 1, solo que trabajamos primero con la representación simbólica de la suma. Tenemos: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Puede sustituir números conocidos en la expresión resultante y calcular el resultado final: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Tarea número 3. ¿Cuál es el denominador?
Sea a1 = 2, encuentre el denominador de la progresión geométrica, siempre que su suma infinita sea 3, y se sepa que esta es una serie decreciente de números.
De acuerdo con la condición del problema, no es difícil adivinar qué fórmula se debe utilizar para resolverlo. Por supuesto, por la suma de una progresión infinitamente decreciente. Tenemos: S∞ = a1 / (1 - b). De donde expresamos el denominador: b = 1 - a1 / S∞. Queda por sustituir valores conocidos y obtenga el número requerido: b = 1 - 2/3 = -1/3 o -0.333(3). Este resultado lo podemos comprobar cualitativamente si recordamos que para este tipo de sucesiones el módulo b no debe ir más allá de 1. Como ves, |-1 / 3|
Tarea número 4. Restaurar una serie de números.
Sean dados 2 elementos de una serie numérica, por ejemplo, el 5º es igual a 30 y el 10º es igual a 60. Es necesario restituir toda la serie a partir de estos datos, sabiendo que cumple las propiedades de una progresión geométrica.
Para resolver el problema, primero debes escribir la expresión correspondiente para cada miembro conocido. Tenemos: a5 = b4 * a1 y a10 = b9 * a1. Ahora dividimos la segunda expresión por la primera, obtenemos: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. A partir de aquí determinamos el denominador tomando la raíz de quinto grado de la razón de los miembros conocidos de la condición del problema, b = 1.148698. El número resultante se sustituye en una de las expresiones para elemento conocido, obtenemos: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
Así, hemos encontrado cuál es el denominador de la progresión bn, y la progresión geométrica bn-1 * 17,2304966 = an, donde b = 1,148698.
¿Dónde se usan las progresiones geométricas?
Si no hubiera aplicación de esta serie numérica en la práctica, entonces su estudio quedaría reducido a un interés puramente teórico. Pero existe tal aplicación.
Los 3 ejemplos más famosos se enumeran a continuación:
- La paradoja de Zenón, en la que el ágil Aquiles no puede alcanzar a la lenta tortuga, se resuelve utilizando el concepto de una secuencia de números infinitamente decreciente.
- Si se colocan granos de trigo en cada celda del tablero de ajedrez de modo que se coloque 1 grano en la primera celda, 2 en la segunda, 3 en la tercera y así sucesivamente, se necesitarán 18446744073709551615 granos para llenar todas las celdas de ¡el tablero!
- En el juego "Tower of Hanoi", para reorganizar los discos de una barra a otra, es necesario realizar operaciones 2n - 1, es decir, su número crece exponencialmente a partir de la cantidad de discos n utilizados.
Instrucción
10, 30, 90, 270...
Se requiere encontrar el denominador de una progresión geométrica.
Decisión:
1 opción Tomemos un miembro arbitrario de la progresión (por ejemplo, 90) y dividámoslo por el anterior (30): 90/30=3.
Si se conoce la suma de varios miembros de una progresión geométrica o la suma de todos los miembros de una progresión geométrica decreciente, entonces para encontrar el denominador de la progresión, use las fórmulas apropiadas:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), donde Sn es la suma de los primeros n términos de la progresión geométrica y
S = b1/(1-q), donde S es la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente (la suma de todos los miembros de la progresión con un denominador menor que uno).
Ejemplo.
El primer término de una progresión geométrica decreciente es igual a uno, y la suma de todos sus términos es igual a dos.
Se requiere determinar el denominador de esta progresión.
Decisión:
Sustituye los datos de la tarea en la fórmula. Conseguir:
2=1/(1-q), de donde – q=1/2.
Una progresión es una secuencia de números. En una progresión geométrica, cada término subsiguiente se obtiene multiplicando el anterior por un cierto número q, llamado denominador de la progresión.
Instrucción
Si se conocen dos miembros vecinos de las geométricas b(n+1) y b(n), para obtener el denominador es necesario dividir el número con un número grande por el que le precede: q=b(n +1)/b(n). Esto se sigue de la definición de la progresión y su denominador. Una condición importante es que el primer término y denominador de la progresión no sea igual a cero, de lo contrario se considera indefinido.
Así, se establecen las siguientes relaciones entre los miembros de la progresión: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Mediante la fórmula b(n)=b1 q^(n-1) se puede calcular cualquier miembro de una progresión geométrica, en la que se conocen el denominador q y el miembro b1. Además, cada uno de los módulos de progresión es igual al promedio de sus miembros vecinos: |b(n)|=√, por lo que la progresión obtuvo su .
Un análogo de una progresión geométrica es la función exponencial más simple y=a^x, donde x está en el exponente, a es un número. En este caso, el denominador de la progresión coincide con el primer término y es igual al número a. El valor de la función y puede entenderse como enésimo término progresiones, si el argumento x se toma como un número natural n (contador).
