Vektorların xətti asılılığı və xətti müstəqilliyi.
Vektorların əsasları. Affin koordinat sistemi

Tamaşaçılarda şokoladlı araba var və bu gün hər bir ziyarətçi şirin bir cüt əldə edəcək - xətti cəbrlə analitik həndəsə. Bu məqalə eyni anda ali riyaziyyatın iki bölməsinə toxunacaq və biz onların bir paketdə necə getdiyini görəcəyik. Fasilə verin, Twix yeyin! ... lənət, yaxşı, cəfəngiyyat mübahisə. Yaxşı olsa da, xal verməyəcəyəm, sonda oxumağa müsbət münasibət olmalıdır.

Vektorların xətti asılılığı, vektorların xətti müstəqilliyi, vektor əsası və digər terminlər təkcə həndəsi şərhə deyil, hər şeydən əvvəl cəbri mənaya malikdir. Xətti cəbr nöqteyi-nəzərindən "vektor" anlayışının özü həmişə müstəvidə və ya kosmosda təsvir edə biləcəyimiz "adi" vektordan uzaqdır. Sübut üçün uzağa baxmaq lazım deyil, beş ölçülü fəzanın vektorunu çəkməyə çalışın . Və ya indicə Gismeteo-ya getdiyim hava vektoru: - temperatur və Atmosfer təzyiqi müvafiq olaraq. Nümunə, əlbəttə ki, vektor fəzasının xassələri baxımından düzgün deyil, lakin buna baxmayaraq, heç kim bu parametrlərin vektor kimi rəsmiləşdirilməsini qadağan etmir. Payız nəfəsi...

Xeyr, mən sizi nəzəriyyədən, xətti vektor fəzalarından bezdirmək fikrində deyiləm, vəzifə ondan ibarətdir başa düşmək təriflər və teoremlər. Yeni terminlər (xətti asılılıq, müstəqillik, xətti birləşmə, bazis və s.) cəbri baxımdan bütün vektorlara şamil edilir, lakin nümunələr həndəsi şəkildə veriləcəkdir. Beləliklə, hər şey sadə, əlçatan və vizualdır. Analitik həndəsə problemlərinə əlavə olaraq, cəbrin bəzi tipik tapşırıqlarını da nəzərdən keçirəcəyik. Materialı mənimsəmək üçün dərslərlə tanış olmaq məsləhətdir Butaforlar üçün vektorlar və Determinantı necə hesablamaq olar?

Müstəvi vektorların xətti asılılığı və müstəqilliyi.
Müstəvi əsas və afin koordinat sistemi

Təyyarənizi düşünün kompüter masası(sadəcə stol, komodin, döşəmə, tavan, nə istəsən). Tapşırıq aşağıdakı hərəkətlərdən ibarət olacaq:

1) Təyyarə əsasını seçin. Təxminən desək, masanın uzunluğu və eni var, buna görə də əsas qurmaq üçün iki vektorun tələb olunduğu intuitiv olaraq aydındır. Bir vektor kifayət deyil, üç vektor həddindən artıqdır.

2) Seçilmiş əsas əsasında koordinat sistemini təyin edin(koordinat şəbəkəsi) masanın bütün elementlərinə koordinatlar təyin etmək üçün.

Təəccüblənməyin, əvvəlcə izahatlar barmaqlarda olacaq. Üstəlik, sizin. Zəhmət olmasa yerləşdirin şəhadət barmağı sol əl stolun kənarında ki, monitora baxsın. Bu vektor olacaq. İndi yer kiçik barmaq sağ əl masanın kənarında eyni şəkildə - monitor ekranına yönəldilməsi üçün. Bu vektor olacaq. Gülümsə, əla görünürsən! Vektorlar haqqında nə demək olar? Məlumat vektorları kollinear, yəni xətti olaraq bir-biri vasitəsilə ifadə olunur:
, yaxşı və ya əksinə: , burada sıfırdan fərqli rəqəmdir.

Bu hərəkətin şəklini dərsdə görə bilərsiniz. Butaforlar üçün vektorlar, burada vektoru ədədə vurma qaydasını izah etdim.

Barmaqlarınız kompüter masasının müstəvisinə əsas qoyacaqmı? Aydındır ki, yox. Kollinear vektorlar irəli-geri hərəkət edir tək bir təyyarənin uzunluğu və eni olduğu halda, istiqamət.

Belə vektorlar deyilir xətti asılı.

İstinad: “Xətti”, “xətti” sözləri riyazi tənliklərdə, ifadələrdə kvadratların, kubların, başqa dərəcələrin, loqarifmlərin, sinusların və s.-nin olmadığını bildirir. Yalnız xətti (1-ci dərəcə) ifadələr və asılılıqlar var.

İki təyyarə vektoru xətti asılı yalnız və yalnız bir-birinə uyğun olduqda.

Barmaqlarınızı masanın üstündə çarpazlayın ki, onların arasında 0 və ya 180 dərəcədən başqa istənilən bucaq olsun. İki təyyarə vektoruxətti olaraq yox yalnız və yalnız kollinear olmadıqda asılıdır. Beləliklə, əsas alındı. Əsasın müxtəlif uzunluqların perpendikulyar olmayan vektorları ilə "oblik" olduğu ortaya çıxdığından utanmaq lazım deyil. Tezliklə biz onun qurulması üçün nəinki 90 dərəcə bucağın uyğun olduğunu, nəinki bərabər uzunluqlu vahid vektorların olmadığını görəcəyik.

Hər hansı təyyarə vektoru yeganə yoləsas baxımından genişləndirilir:
, real ədədlər haradadır. Nömrələr çağırılır vektor koordinatları bu əsasda.

Bunu da deyirlər vektorşəklində təqdim olunur xətti birləşməəsas vektorlar. Yəni ifadə deyilir vektor parçalanmasıəsas və ya xətti birləşməəsas vektorlar.

Məsələn, bir vektorun müstəvidə ortonormal əsasda genişləndiyini və ya vektorların xətti birləşməsi kimi göstərildiyini söyləyə bilərsiniz.

Gəlin formalaşdıraq əsas tərif formal olaraq: təyyarə əsası bir cüt xətti müstəqil (kollinear olmayan) vektordur, , burada hər hansı müstəvi vektor əsas vektorların xətti birləşməsidir.

Tərifin əsas məqamı vektorların götürülməsi faktıdır müəyyən qaydada. əsaslar Bunlar tamamilə fərqli iki əsasdır! Necə deyərlər, sol əlin kiçik barmağını sağ əlin kiçik barmağının yerinə keçirmək olmaz.

Əsasını başa düşdük, lakin koordinatlar şəbəkəsini qurmaq və kompüter masanızda hər bir elementə koordinatlar təyin etmək kifayət deyil. Niyə kifayət deyil? Vektorlar sərbəstdir və bütün təyyarədə dolaşırlar. Beləliklə, vəhşi bir həftə sonundan qalan kiçik çirkli masa nöqtələrinə koordinatları necə təyin edirsiniz? Bir başlanğıc nöqtəsi lazımdır. Və belə bir istinad nöqtəsi hər kəsə tanış olan bir nöqtədir - koordinatların mənşəyi. Koordinat sistemini başa düşmək:

Mən "məktəb" sistemi ilə başlayacağam. Artıq giriş dərsində Butaforlar üçün vektorlar Düzbucaqlı koordinat sistemi ilə ortonormal əsas arasındakı bəzi fərqləri vurğuladım. Budur standart şəkil:

Haqqında danışarkən düzbucaqlı koordinat sistemi, onda çox vaxt koordinatların mənşəyini ifadə edirlər, koordinat oxları və oxlar boyunca miqyası. Axtarış sisteminə “düzbucaqlı koordinat sistemi” yazmağa çalışın və görəcəksiniz ki, bir çox mənbələr sizə 5-6-cı siniflərdən tanış olan koordinat oxları və müstəvidə nöqtələrin necə qurulacağı barədə məlumat verəcəklər.

Digər tərəfdən, insanda belə bir təəssürat yaranır ki, düzbucaqlı koordinat sistemi ortonormal əsas baxımından yaxşı müəyyən edilə bilər. Və demək olar ki. Tərif belə olur:

mənşəyi, və ortonormaləsas dəsti Təyyarənin kartezyen koordinat sistemi . Yəni düzbucaqlı koordinat sistemi mütləq tək nöqtə və iki vahid ortoqonal vektorla müəyyən edilir. Buna görə də yuxarıda verdiyim rəsmi görürsən - həndəsi məsələlərdə həm vektorlar, həm də koordinat oxları çox vaxt (lakin həmişə deyil) çəkilir.

Düşünürəm ki, hər kəs bir nöqtə (mənşə) və ortonormal əsasın köməyi ilə başa düşür Təyyarənin HƏR NÖQTƏSİ və təyyarənin HƏR VEKTORU koordinatları təyin edilə bilər. Obrazlı desək, “təyyarədə hər şeyi nömrələmək olar”.

Koordinat vektorları vahid olmalıdırmı? Xeyr, onlar ixtiyari sıfırdan fərqli uzunluğa malik ola bilərlər. Bir nöqtəni və ixtiyari sıfırdan fərqli uzunluqlu iki ortoqonal vektoru nəzərdən keçirək:

Belə bir əsas deyilir ortoqonal. Vektorlu koordinatların mənşəyi koordinat torunu müəyyənləşdirir və müstəvinin istənilən nöqtəsi, istənilən vektorun verilmiş əsasda öz koordinatları var. Məsələn, və ya. Aşkar narahatçılıq koordinat vektorlarının olmasıdır ümumiyyətlə var müxtəlif uzunluqlar, birlikdən fərqlidir. Əgər uzunluqlar birinə bərabərdirsə, onda adi ortonormal əsas alınır.

! Qeyd : ortoqonal əsasda, eləcə də aşağıda müstəvi və fəzanın afin əsaslarında oxlar boyunca vahidlər nəzərə alınır. ŞƏRTLİ. Məsələn, absis boyunca bir vahid 4 sm, ordinat boyunca bir vahid 2 sm ehtiva edir.Bu məlumat lazım olduqda “qeyri-standart” koordinatları “adi santimetrlərimizə” çevirmək üçün kifayətdir.

Və əslində artıq cavablandırılmış ikinci sual - əsas vektorlar arasındakı bucaq mütləq 90 dərəcəyə bərabərdirmi? Yox! Tərifdə deyildiyi kimi, əsas vektorlar olmalıdır yalnız kollinear deyil. Müvafiq olaraq, bucaq 0 və 180 dərəcədən başqa hər şey ola bilər.

Təyyarədə bir nöqtə çağırıldı mənşəyi, və qeyri-kollinear vektorlar, , təyin edin təyyarənin afin koordinat sistemi :

Bəzən bu koordinat sistemi adlanır əyri sistemi. Nöqtələr və vektorlar rəsmdə nümunə kimi göstərilmişdir:

Anladığınız kimi, affin koordinat sistemi daha az rahatdır, dərsin ikinci hissəsində nəzərdən keçirdiyimiz vektor və seqmentlərin uzunluqları üçün düsturlar işləmir. Butaforlar üçün vektorlar, ilə əlaqəli bir çox dadlı düsturlar vektorların skalyar hasili. Lakin vektorların əlavə edilməsi və vektorun ədədə vurulması qaydaları etibarlıdır, bu baxımdan seqmentin bölünməsi üçün düsturlar, eləcə də tezliklə nəzərdən keçirəcəyimiz bəzi digər problemlər.

Nəticə budur ki, afin koordinat sisteminin ən əlverişli xüsusi halı Dekart düzbucaqlı sistemidir. Buna görə də, o, özünü ən çox görmək məcburiyyətindədir. ... Bununla belə, bu həyatda hər şey nisbidir - bir oblik (və ya başqa bir şey, məsələn, qütb) koordinat sistemi. Bəli və humanoidlər belə sistemlərin dadına gələ bilər =)

Gəlin praktiki hissəyə keçək. Bu dərsdəki bütün məsələlər həm düzbucaqlı koordinat sistemi, həm də ümumi afin vəziyyət üçün etibarlıdır. Burada mürəkkəb bir şey yoxdur, bütün material hətta məktəbli üçün də mövcuddur.

Müstəvi vektorların kollinearlığını necə təyin etmək olar?

Tipik şey. İki müstəvi vektor üçün kollineardır, onların müvafiq koordinatlarının mütənasib olması zəruri və kifayətdir.Əsasən, bu, aşkar əlaqənin koordinata görə dəqiqləşdirilməsidir.

Misal 1

a) Vektorların kollinear olub olmadığını yoxlayın .
b) Vektorlar əsas təşkil edirmi? ?

Qərar:
a) Vektorların olub olmadığını öyrənin mütənasiblik əmsalı, beləliklə bərabərliklər yerinə yetirilir:

Mən sizə mütləq bu qaydanın tətbiqinin praktikada kifayət qədər yaxşı işləyən “qeyrətli” versiyası haqqında danışacağam. İdeya dərhal bir nisbət tərtib etmək və düzgün olub olmadığını görməkdir:

Vektorların müvafiq koordinatlarının nisbətlərindən nisbət yaradaq:

Qısaldırıq:
, buna görə də müvafiq koordinatlar mütənasibdir, buna görə də,

Əlaqə qurula bilər və əksinə, bu ekvivalent variantdır:

Özünü sınamaq üçün kollinear vektorların bir-biri ilə xətti şəkildə ifadə olunmasından istifadə etmək olar. Bu vəziyyətdə bərabərliklər var . Onların etibarlılığı vektorlarla elementar əməliyyatlar vasitəsilə asanlıqla yoxlanıla bilər:

b) İki müstəvi vektor kollinear deyilsə (xətti müstəqil) bazis təşkil edir. Vektorları kollinearlıq üçün yoxlayırıq . Gəlin bir sistem yaradaq:

Birinci tənlikdən belə çıxır ki, ikinci tənlikdən belə çıxır ki, bu o deməkdir ki, sistem uyğunsuzdur(həll yoxdur). Beləliklə, vektorların uyğun koordinatları mütənasib deyil.

Nəticə: vektorlar xətti müstəqildir və əsas təşkil edir.

Həllin sadələşdirilmiş versiyası belə görünür:

Vektorların müvafiq koordinatlarından nisbəti tərtib edin :
, deməli, bu vektorlar xətti müstəqildir və əsas təşkil edir.

Adətən rəyçilər bu seçimi rədd etmirlər, lakin bəzi koordinatların sıfıra bərabər olduğu hallarda problem yaranır. Bunun kimi: . Və ya bu kimi: . Və ya bu kimi: . Burada nisbət üzərində necə işləmək olar? (Həqiqətən, sıfıra bölmək olmaz). Məhz bu səbəbdən sadələşdirilmiş həlli “foppish” adlandırdım.

Cavab: a) , b) forma.

Müstəqil bir həll üçün kiçik bir yaradıcı nümunə:

Misal 2

Parametr vektorlarının hansı qiymətində kollinear olacaq?

Nümunə həllində parametr nisbət vasitəsilə tapılır.

Vektorların kollinearlığını yoxlamaq üçün zərif bir cəbr üsulu var. Gəlin biliklərimizi sistemləşdirək və sadəcə beşinci nöqtə kimi əlavə edək:

İki müstəvi vektor üçün aşağıdakı ifadələr ekvivalentdir:

2) vektorlar əsas təşkil edir;
3) vektorlar kollinear deyil;

+ 5) bu vektorların koordinatlarından ibarət olan determinant sıfırdan fərqlidir.

müvafiq olaraq, aşağıdakı əks ifadələr ekvivalentdir:
1) vektorlar xətti asılıdır;
2) vektorlar əsas təşkil etmir;
3) vektorlar kollineardır;
4) vektorlar bir-biri vasitəsilə xətti şəkildə ifadə oluna bilər;
+ 5) bu vektorların koordinatlarından ibarət determinant sıfıra bərabərdir.

Mən, həqiqətən, ümid edirəm Bu an siz artıq qarşılanan bütün şərtləri və ifadələri başa düşürsünüz.

Gəlin yeni, beşinci məqama daha yaxından nəzər salaq: iki müstəvi vektor yalnız və yalnız verilmiş vektorların koordinatlarından ibarət determinant sıfıra bərabər olduqda kollinear olurlar.:. Bu xüsusiyyətdən istifadə etmək üçün təbii ki, bacarmaq lazımdır determinantları tapın.

Biz qərar verəcəyikİkinci şəkildə 1-ci misal:

a) Vektorların koordinatlarından ibarət olan determinantı hesablayın :
, buna görə də bu vektorlar kollineardır.

b) İki müstəvi vektor kollinear deyilsə (xətti müstəqil) bazis təşkil edir. Vektorların koordinatlarından ibarət olan determinantı hesablayaq :
, deməli, vektorlar xətti müstəqildir və əsas təşkil edir.

Cavab: a) , b) forma.

Proporsional həlldən çox daha yığcam və gözəl görünür.

Nəzərdən keçirilən materialın köməyi ilə təkcə vektorların kollinearlığını qurmaq deyil, həm də seqmentlərin, düz xətlərin paralelliyini sübut etmək mümkündür. Xüsusi həndəsi formalarla bağlı bir neçə problemi nəzərdən keçirin.

Misal 3

Dördbucaqlının təpələri verilmişdir. Dördbucaqlının paraleloqram olduğunu sübut edin.

Sübut: Problemdə rəsm çəkməyə ehtiyac yoxdur, çünki həll sırf analitik olacaqdır. Paraleloqramın tərifini xatırlayın:
Paraleloqram Qarşı tərəflərin cüt-cüt paralel olduğu dördbucaqlı adlanır.

Beləliklə, sübut etmək lazımdır:
1) paralellik əks tərəflər və ;
2) əks tərəflərin paralelliyi və .

Biz sübut edirik:

1) Vektorları tapın:

2) vektorları tapın:

Nəticə eyni vektordur ("məktəbə görə" - bərabər vektorlar). Kollinearlıq olduqca açıqdır, lakin düzgün qərar vermək daha yaxşıdır, tənzimləmə ilə. Vektorların koordinatlarından ibarət olan determinantı hesablayın:
, buna görə də bu vektorlar kollineardır və .

Nəticə: Dördbucaqlının əks tərəfləri cüt-cüt paraleldir, ona görə də tərifinə görə paraleloqramdır. Q.E.D.

Daha yaxşı və fərqli rəqəmlər:

Misal 4

Dördbucaqlının təpələri verilmişdir. Dördbucaqlının trapesiya olduğunu sübut edin.

Sübutun daha ciddi formalaşdırılması üçün, əlbəttə ki, trapezoidin tərifini almaq daha yaxşıdır, ancaq onun necə göründüyünü xatırlamaq kifayətdir.

Bu müstəqil qərar vermək üçün bir vəzifədir. Dərsin sonunda tam həll.

İndi yavaş-yavaş təyyarədən kosmosa keçməyin vaxtı gəldi:

Kosmik vektorların kollinearlığını necə təyin etmək olar?

Qayda çox oxşardır. İki kosmos vektorunun kollinear olması üçün onların müvafiq koordinatlarının proporsional olması zəruri və kifayətdir..

Misal 5

Aşağıdakı kosmik vektorların kollinear olub olmadığını öyrənin:

a) ;
b)
in)

Qərar:
a) Vektorların müvafiq koordinatları üçün mütənasiblik əmsalının olub olmadığını yoxlayın:

Sistemin həlli yoxdur, yəni vektorlar kollinear deyil.

"Sadələşdirilmiş" nisbəti yoxlayaraq tərtib edilir. Bu halda:
– müvafiq koordinatlar mütənasib deyil, yəni vektorlar kollinear deyildir.

Cavab: vektorlar kollinear deyil.

b-c) Bunlar müstəqil qərar üçün nöqtələrdir. Bunu iki yolla sınayın.

Məkan vektorlarının kollinearlığını yoxlamaq üçün bir üsul var və üçüncü dərəcəli determinant vasitəsilə bu üsul məqalədə əhatə olunur. Vektorların çarpaz məhsulu.

Təyyarə vəziyyətində olduğu kimi, nəzərdən keçirilən alətlər fəza seqmentlərinin və xətlərin paralelliyini öyrənmək üçün istifadə edilə bilər.

İkinci bölməyə xoş gəlmisiniz:

Üçölçülü fəza vektorlarının xətti asılılığı və müstəqilliyi.
Məkan əsası və afin koordinat sistemi

Təyyarədə nəzərdən keçirdiyimiz qanunauyğunluqların çoxu kosmos üçün də keçərlidir. Mən nəzəriyyənin xülasəsini minimuma endirməyə çalışdım, çünki məlumatın aslan payı artıq çeynənib. Buna baxmayaraq, giriş hissəsini diqqətlə oxumağınızı tövsiyə edirəm, çünki yeni terminlər və anlayışlar meydana çıxacaq.

İndi kompüter masasının müstəvisi yerinə üçölçülü fəzanı araşdıraq. Əvvəlcə onun əsasını yaradaq. İndi kimsə evdədir, kimsə çöldə, amma hər halda, üç ölçüdən uzaqlaşa bilmərik: en, uzunluq və hündürlük. Buna görə də, əsas qurmaq üçün üç fəza vektoru tələb olunur. Bir və ya iki vektor kifayət deyil, dördüncü artıqdır.

Və yenidən barmaqlarda qızdırırıq. Zəhmət olmasa əlinizi yuxarı qaldırın və içəri yayın müxtəlif tərəflər baş barmaq, şəhadət və orta barmaq. Bunlar vektorlar olacaq, müxtəlif istiqamətlərə baxırlar, müxtəlif uzunluqlara malikdirlər və öz aralarında fərqli açılara malikdirlər. Təbrik edirik, üçölçülü məkanın əsası hazırdır! Yeri gəlmişkən, barmaqlarınızı necə büksəniz də, bunu müəllimlərə nümayiş etdirməyə ehtiyac yoxdur, ancaq təriflərdən uzaqlaşa bilməzsiniz =)

Sonra vacib bir sual veririk, hər hansı üç vektorun üçölçülü fəzanın əsasını təşkil edib-etməməsi? Zəhmət olmasa üç barmağınızla kompüter masasının üstünə möhkəm basın. Nə olub? Üç vektor eyni müstəvidə yerləşir və kobud desək, ölçülərdən birini - hündürlüyü itirmişik. Belə vektorlar düzbucaqlı və tamamilə aydındır ki, üçölçülü məkanın əsası yaradılmayıb.

Qeyd etmək lazımdır ki, koplanar vektorlar eyni müstəvidə yatmaq məcburiyyətində deyil, onlar paralel müstəvilərdə ola bilər (sadəcə bunu barmaqlarınızla etməyin, yalnız Salvador Dali belə çıxdı =)).

Tərif: vektorlar deyilir düzbucaqlı paralel olduqları müstəvi varsa. Burada əlavə etmək məntiqlidir ki, əgər belə bir müstəvi yoxdursa, vektorlar koplanar olmayacaq.

Üç koplanar vektor həmişə xətti asılıdır, yəni bir-biri vasitəsilə xətti şəkildə ifadə olunur. Sadəlik üçün yenidən onların eyni müstəvidə yatdıqlarını təsəvvür edin. Birincisi, vektorlar təkcə düzənli deyil, həm də kollinear ola bilər, sonra istənilən vektor istənilən vektor vasitəsilə ifadə oluna bilər. İkinci halda, məsələn, vektorlar kollinear deyilsə, üçüncü vektor onlar vasitəsilə unikal şəkildə ifadə edilir: (və əvvəlki bölmənin materiallarından nə üçün təxmin etmək asandır).

Bunun əksi də doğrudur: üç qeyri-komplanar vektor həmişə xətti müstəqildir, yəni heç bir şəkildə bir-biri vasitəsilə ifadə olunmur. Və aydındır ki, yalnız belə vektorlar üçölçülü fəzanın əsasını təşkil edə bilər.

Tərif: Üçölçülü məkanın əsası xətti müstəqil (komplanar olmayan) vektorların üçlüyü adlanır, müəyyən qaydada qəbul edilir, fəzanın istənilən vektoru olarkən yeganə yol verilmiş əsasda genişlənir , burada vektorun koordinatları verilmiş əsasdadır

Xatırladaq ki, vektorun kimi təmsil olunduğunu da söyləyə bilərsiniz xətti birləşməəsas vektorlar.

Koordinat sistemi anlayışı müstəvi vəziyyətində olduğu kimi təqdim olunur, bir nöqtə və istənilən üç xətti müstəqil vektor kifayətdir:

mənşəyi, və qeyri-düzgün vektorlar, müəyyən qaydada qəbul edilir, təyin edin üçölçülü fəzanın affin koordinat sistemi :

Əlbəttə ki, koordinat şəbəkəsi "çəp" və əlverişsizdir, lakin buna baxmayaraq, qurulmuş koordinat sistemi bizə imkan verir mütləq istənilən vektorun koordinatlarını və fəzada istənilən nöqtənin koordinatlarını təyin edin. Müstəvidə olduğu kimi, kosmosun affin koordinat sistemində artıq qeyd etdiyim bəzi düsturlar işləməyəcək.

Hər kəsin təxmin edə bildiyi kimi, affin koordinat sisteminin ən tanış və əlverişli xüsusi halıdır düzbucaqlı kosmik koordinat sistemi:

kosmosdakı nöqtə adlanır mənşəyi, və ortonormaləsas dəsti Kosmosun kartezian koordinat sistemi . tanış şəkil:

Praktiki tapşırıqlara keçməzdən əvvəl məlumatları yenidən sistemləşdiririk:

Üç fəza vektoru üçün aşağıdakı ifadələr ekvivalentdir:
1) vektorlar xətti müstəqildir;
2) vektorlar əsas təşkil edir;
3) vektorlar koplanar deyil;
4) vektorlar bir-biri vasitəsilə xətti ifadə edilə bilməz;
5) bu vektorların koordinatlarından ibarət olan determinant sıfırdan fərqlidir.

Məncə, əks bəyanatlar başa düşüləndir.

Kosmik vektorların xətti asılılığı/müstəqilliyi ənənəvi olaraq determinantdan istifadə etməklə yoxlanılır (maddə 5). Qalan praktiki tapşırıqlar açıq-aşkar cəbri xarakter daşıyacaqdır. Dırnaq üzərində həndəsi çubuq asmaq və xətti cəbr beysbol yarasasını istifadə etmək vaxtıdır:

Üç kosmik vektor Verilmiş vektorların koordinatlarından ibarət determinant sıfıra bərabər olduqda və yalnız o zaman müştərəkdir: .

Bir kiçikə diqqət çəkirəm texniki nüans: vektorların koordinatları təkcə sütunlarda deyil, həm də sətirlərdə yazıla bilər (determinantın qiyməti bundan dəyişməyəcək - determinantların xassələrinə baxın). Ancaq sütunlarda daha yaxşıdır, çünki bəzi praktik problemlərin həlli üçün daha faydalıdır.

Determinantların hesablanması üsullarını bir az unudan və ya bəlkə də ümumiyyətlə zəif yönümlü olan oxucular üçün ən qədim dərslərimdən birini tövsiyə edirəm: Determinantı necə hesablamaq olar?

Misal 6

Aşağıdakı vektorların üçölçülü fəzanın əsasını təşkil edib-etmədiyini yoxlayın:

Qərar: Əslində, bütün həll determinantın hesablanmasına gəlir.

a) Vektorların koordinatlarından ibarət olan determinantı hesablayın (determinant birinci sətirdə genişlənir):

, bu o deməkdir ki, vektorlar xətti müstəqildirlər (komplanar deyil) və üçölçülü fəzanın əsasını təşkil edirlər.

Cavab verin: bu vektorlar əsas təşkil edir

b) Bu, müstəqil qərar üçün bir məqamdır. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Yaradıcı vəzifələr də var:

Misal 7

Parametrin hansı qiymətində vektorlar koplanar olacaq?

Qərar: Verilmiş vektorların koordinatlarından ibarət determinant sıfıra bərabər olduqda vektorlar müştərəkdir:

Əsasən, müəyyənedici ilə tənliyi həll etmək tələb olunur. Biz uçurtmalar jerboa kimi sıfırlara uçuruq - ikinci sətirdə determinantı açmaq və dərhal mənfi cəhətlərdən xilas olmaq ən sərfəlidir:

Əlavə sadələşdirmələr aparırıq və məsələni ən sadə xətti tənliyə endiririk:

Cavab verin: at

Burada yoxlamaq asandır, bunun üçün nəticədə alınan dəyəri orijinal determinantla əvəz etməli və əmin olun ki, onu yenidən açmaqla.

Yekun olaraq, daha çox cəbri xarakter daşıyan və ənənəvi olaraq xətti cəbr kursuna daxil edilən başqa bir tipik məsələni nəzərdən keçirək. O qədər yaygındır ki, ayrı bir mövzuya layiqdir:

3 vektorun üçölçülü fəzanın əsasını təşkil etdiyini sübut edin
və verilmiş əsasda 4-cü vektorun koordinatlarını tapın

Misal 8

Vektorlar verilir. Vektorların üçölçülü fəzanın əsasını təşkil etdiyini göstərin və bu əsasda vektorun koordinatlarını tapın.

Qərar: Əvvəlcə şərtlə məşğul olaq. Şərtə görə, dörd vektor verilir və gördüyünüz kimi, onların artıq müəyyən əsasda koordinatları var. Əsas nədir - bizi maraqlandırmır. Və aşağıdakı şey maraqlıdır: üç vektor yeni bir əsas yarada bilər. Və ilk addım 6-cı nümunənin həlli ilə tamamilə eynidır, vektorların həqiqətən xətti müstəqil olub olmadığını yoxlamaq lazımdır:

Vektorların koordinatlarından ibarət olan determinantı hesablayın:

, deməli, vektorlar xətti müstəqildir və üçölçülü fəzanın əsasını təşkil edir.

! Əhəmiyyətli : vektor koordinatları mütləq yazın sütunlara sətirlər deyil, müəyyənedicidir. Əks halda, sonrakı həll alqoritmində qarışıqlıq yaranacaq.

Misal 8

Vektorlar verilir. Vektorların üçölçülü fəzanın əsasını təşkil etdiyini göstərin və bu əsasda vektorun koordinatlarını tapın.

Qərar:Əvvəlcə vəziyyətlə məşğul olaq. Şərtə görə, dörd vektor verilir və gördüyünüz kimi, onların artıq müəyyən əsasda koordinatları var. Əsas nədir - bizi maraqlandırmır. Və aşağıdakı şey maraqlıdır: üç vektor yeni bir əsas yarada bilər. Və ilk addım 6-cı nümunənin həlli ilə tamamilə eynidır, vektorların həqiqətən xətti müstəqil olub olmadığını yoxlamaq lazımdır:

Vektorların koordinatlarından ibarət olan determinantı hesablayın:

, deməli, vektorlar xətti müstəqildir və üçölçülü fəzanın əsasını təşkil edir.

! Əhəmiyyətli: vektor koordinatları mütləq yazın sütunlara sətirlər deyil, müəyyənedicidir. Əks halda, sonrakı həll alqoritmində qarışıqlıq yaranacaq.

İndi nəzəri hissəni yada salaq: əgər vektorlar əsas təşkil edirsə, onda istənilən vektor ola bilər yeganə yol verilmiş bazis üzərində genişləndirin: , burada vektorun bazisdəki koordinatlarıdır.

Vektorlarımız üçölçülü fəzanın əsasını təşkil etdiyindən (bu artıq sübut olunub), vektor bu əsasda unikal şəkildə genişləndirilə bilər:
, bazada vektorun koordinatları haradadır.

Şərtə görə və koordinatları tapmaq tələb olunur.

İzahat asanlığı üçün hissələri dəyişdirəcəyəm: . Onu tapmaq üçün bu bərabərlik koordinat şəklində yazılmalıdır:

Əmsallar hansı əsaslarla tərtib olunur? Sol tərəfin bütün əmsalları determinantdan tam olaraq köçürülür , sağ tərəfdə vektorun koordinatları yazılır.

Sistem ortaya çıxdı üç xəttiüç naməlumlu tənliklər. Adətən qərar verilir Kramer düsturları, çox vaxt problemin vəziyyətində belə bir tələb var.

Sistemin əsas determinantı artıq tapılıb:
, belə ki, sistemin unikal həlli var.

Sonrakı bir texnologiya məsələsidir:

Beləliklə:
vektorun bazis baxımından genişlənməsidir.

Cavab:

Artıq qeyd etdiyim kimi, problem cəbri xarakter daşıyır. Nəzərə alınan vektorlar mütləq fəzada çəkilə bilən vektorlar deyil, ilk növbədə xətti cəbr kursunun mücərrəd vektorlarıdır. İki ölçülü vektorlar üçün oxşar bir problem tərtib edilə və həll edilə bilər, həlli daha sadə olacaqdır. Ancaq praktikada heç vaxt belə bir tapşırıqla qarşılaşmamışam, buna görə də əvvəlki bölmədə onu atladım.

Eyni tapşırıq ilə 3D vektorlar müstəqil həll üçün:

Misal 9

Vektorlar verilir. Vektorların bazis təşkil etdiyini göstərin və bu əsasda vektorun koordinatlarını tapın. sistemi xətti tənliklər Kramer üsulu ilə həll edin.

tam həlli və nümunəvi nümunə bitirmə dərsin sonunda.

Eynilə, dörd ölçülü, beş ölçülü və s. vektorların müvafiq olaraq 4, 5 və ya daha çox koordinata malik olduğu vektor fəzaları. Bu vektor fəzaları üçün xətti asılılıq, vektorların xətti müstəqilliyi anlayışı da var, ortonormal da daxil olmaqla bazis var, vektorun bazis baxımından genişlənməsi. Bəli, belə fəzaları həndəsi şəkildə çəkmək olmaz, lakin iki və üç ölçülü halların bütün qaydaları, xassələri və teoremləri onlarda işləyir - xalis cəbr. Əslində mən məqalədə artıq fəlsəfi məsələlərdən danışmağa məcbur olmuşdum Üç dəyişənli funksiyaların qismən törəmələri, bu dərsdən əvvəl ortaya çıxdı.

Sevgi vektorları və vektorları sizi sevəcək!

Həll və cavablar:

Misal 2: Qərar: vektorların müvafiq koordinatlarından nisbət tərtib edin:

Cavab: saat

Misal 4: Sübut: trapesiyaİki tərəfi paralel, digər iki tərəfi isə paralel olmayan dördbucaqlı dördbucaqlı adlanır.
1) Qarşı tərəflərin paralelliyini yoxlayın və .
vektorları tapaq:


, buna görə də bu vektorlar kollinear deyil və tərəflər paralel deyildir.
2) Qarşı tərəflərin paralelliyini yoxlayın və .
vektorları tapaq:

Vektorların koordinatlarından ibarət olan determinantı hesablayın:
, buna görə də bu vektorlar kollineardır və .
Nəticə: Dördbucaqlının iki tərəfi paraleldir, lakin digər iki tərəfi paralel deyil, ona görə də tərifinə görə trapesiyadır. Q.E.D.

Misal 5: Qərar:
b) Vektorların müvafiq koordinatları üçün mütənasiblik əmsalının olub olmadığını yoxlayın:

Sistemin həlli yoxdur, yəni vektorlar kollinear deyil.
Daha sadə dizayn:
- ikinci və üçüncü koordinatlar mütənasib deyil, yəni vektorlar kollinear deyildir.
Cavab: vektorlar kollinear deyil.
c) Vektorları kollinearlıq üçün yoxlayırıq . Gəlin bir sistem yaradaq:

Vektorların müvafiq koordinatları mütənasibdir, deməli
Bu, "qeyri-adi" dizayn metodunun işləməyəcəyi yerdir.
Cavab:

Misal 6: Qərar: b) Vektorların koordinatlarından ibarət olan determinantı hesablayın (determinant birinci sətirdə genişlənir):

, bu o deməkdir ki, vektorlar xətti asılıdır və üçölçülü fəzanın əsasını təşkil etmir.
Cavab verin : bu vektorlar əsas təşkil etmir

Misal 9: Qərar: Vektorların koordinatlarından ibarət olan determinantı hesablayın:


Beləliklə, vektorlar xətti müstəqildir və əsas təşkil edir.
Vektoru əsas vektorların xətti kombinasiyası kimi təqdim edək:

Koordinat:

Sistemi Cramer düsturlarından istifadə edərək həll edirik:
, belə ki, sistemin unikal həlli var.

Cavab:Vektorlar əsas təşkil edir,

Qiyabi tələbələr üçün ali riyaziyyat və təkcə >>> deyil

(Əsas səhifəyə keçin)

Vektorların vektor məhsulu.
Vektorların qarışıq məhsulu

Bu dərsdə vektorlarla daha iki əməliyyata baxacağıq: vektorların çarpaz məhsulu və vektorların qarışıq məhsulu. Tamam, bəzən olur ki, tam xoşbəxtlik üçün əlavə olaraq vektorların nöqtə hasili, getdikcə daha çox ehtiyac duyulur. Bu vektor asılılığıdır. İnsanda elə təəssürat yarana bilər ki, biz analitik həndəsə cəngəlliyinə giririk. Bu doğru deyil. Ali riyaziyyatın bu bölməsində Pinokkio üçün bəlkə də kifayət qədər odun istisna olmaqla, ümumiyyətlə az odun var. Əslində, material çox yaygın və sadədir - eyni şeydən çətin ki, daha çətindir skalyar məhsul , hətta daha az tipik tapşırıqlar olacaq. Analitik həndəsədə əsas şey, çoxlarının görəcəyi və ya artıq gördüyü kimi, hesablamalarda səhv etməməkdir. Bir sehr kimi təkrarlayın və xoşbəxt olacaqsınız =)

Vektorlar üfüqdə ildırım kimi uzaq bir yerdə parıldayırsa, fərq etməz, dərsdən başlayın Butaforlar üçün vektorlar vektorlar haqqında əsas bilikləri bərpa etmək və ya yenidən əldə etmək. Daha hazırlıqlı oxucular məlumatla seçmə şəkildə tanış ola bilər, bacardıqca toplamağa çalışdım tam kolleksiya tez-tez rast gəlinən nümunələr praktiki iş

Sizi nə xoşbəxt edəcək? Mən balaca olanda iki, hətta üç topla hoqqabazlıq edə bilirdim. Yaxşı nəticə verdi. İndi ümumiyyətlə hoqqabazlığa ehtiyac yoxdur, çünki nəzərdən keçirəcəyik yalnız kosmik vektorlar, və iki koordinatlı düz vektorlar kənarda qalacaq. Niyə? Bu hərəkətlər belə yarandı - vektorların vektoru və qarışıq hasilatı müəyyən edilir və üçölçülü məkanda işləyir. Artıq daha asan!

Nəzarət işi üçün tapşırıqlar

Tapşırıq 1 - 10. Vektorlar verilir. Vektorların üçölçülü fəzanın əsasını təşkil etdiyini göstərin və bu əsasda vektorun koordinatlarını tapın:

ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1) vektorları verilmişdir. Vektorların üçölçülü fəzanın əsasını təşkil etdiyini göstərin və bu əsasda X vektorunun koordinatlarını tapın.

Bu tapşırıq iki hissədən ibarətdir. Əvvəlcə vektorların əsas təşkil edib-etmədiyini yoxlamaq lazımdır. Bu vektorların koordinatlarından ibarət determinant sıfırdan fərqli olduqda vektorlar əsas təşkil edir, əks halda vektorlar bazis deyil və X vektoru bu bazisdə genişləndirilə bilməz.

Matris təyinedicisini hesablayın:

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

Matris təyinedicisi ∆ =37-dir

Determinant sıfır olmadığı üçün vektorlar əsas təşkil edir, ona görə də X vektoru bu əsasda genişləndirilə bilər. Bunlar. α 1 , α 2 , α 3 ədədləri var ki, bərabərlik baş verir:

X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3

Bu bərabərliyi koordinat şəklində yazırıq:

(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)

Vektorların xassələrindən istifadə edərək aşağıdakı bərabərliyi əldə edirik:

(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)

(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)

Vektorların bərabərliyi xüsusiyyətinə görə bizdə:

3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3

1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0

6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1

Yaranan tənliklər sistemini həll edirik Gauss üsulu və ya Kramer üsulu.

X \u003d ε 1 + 2ε 2 -ε 3

Həll xidmətdən istifadə edərək qəbul edildi və icra edildi:

Əsasında vektor koordinatları

Bu vəzifə ilə birlikdə onlar da həll edirlər:

Matris tənliklərinin həlli

Kramer üsulu

Gauss üsulu

Jordan-Gauss metodu ilə tərs matris

Cəbri tamamlamalar vasitəsilə tərs matris

Matris vurma online

Kosmosun əsası fəzanın bütün digər vektorlarının bazaya daxil edilmiş vektorların xətti kombinasiyası kimi təqdim oluna bildiyi vektorlar sistemi adlandırılır.
Praktikada bunların hamısı olduqca sadədir. Əsas, bir qayda olaraq, müstəvidə və ya kosmosda yoxlanılır və bunun üçün vektorların koordinatlarından ibarət ikinci, üçüncü dərəcəli matrisin determinantını tapmaq lazımdır. Aşağıda sxematik şəkildə yazılmışdır vektorların əsas təşkil etdiyi şərtlər

Kimə b vektorunu əsas vektorlar baxımından genişləndirin
e,e...,e[n] vektorlarının xətti kombinasiyası e,e...,e[n]-ə bərabər olan x, ..., x[n] əmsallarını tapmaq lazımdır. vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Bunun üçün vektor tənliyini xətti tənliklər sisteminə çevirib həll yollarını tapmaq lazımdır. Onu həyata keçirmək də kifayət qədər asandır.
Tapılmış x, ..., x[n] əmsalları adlanır bazisdəki b vektorunun koordinatları e,e...,e[n].
Mövzunun praktik tərəfinə keçək.

Bazis vektorlarında vektorun parçalanması

Tapşırıq 1. a1, a2 vektorlarının müstəvidə əsas təşkil edib-etmədiyini yoxlayın

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Həlli: Vektorların koordinatlarından müəyyənedicini tərtib edin və onu hesablayın

Determinant sıfıra bərabər deyil, deməli vektorlar xətti müstəqildir, yəni onlar əsas təşkil edir.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Həlli: Vektorlardan ibarət müəyyənedicini hesablayırıq

Determinant 13-ə bərabərdir (sıfıra bərabər deyil) - buradan belə çıxır ki, a1, a2 vektorları müstəvidə əsasdır.

---=================---

düşünün tipik nümunələr IAPM proqramından "Ali riyaziyyat" fənni üzrə.

Tapşırıq 2. Göstərin a1, a2, a3 vektorları üçölçülü vektor fəzasının əsasını təşkil edir və bu əsasda b vektorunu genişləndirir (xətti cəbri tənliklər sistemini həll edərkən Kramer metodundan istifadə edin).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Həlli: Əvvəlcə a1, a2, a3 vektorlar sistemini nəzərdən keçirin və A matrisinin determinantını yoxlayın.

sıfırdan başqa vektorlar üzərində qurulur. Matrisdə bir sıfır element var, ona görə də determinantı birinci sütun və ya üçüncü sıra üçün cədvəl kimi hesablamaq daha məqsədəuyğundur.

Hesablamalar nəticəsində determinantın sıfırdan fərqli olduğunu gördük a1, a2, a3 vektorları xətti müstəqildir.
Tərifinə görə, vektorlar R3-də əsas təşkil edir. b vektorunun qrafikini bazis baxımından yazaq

Vektorlar müvafiq koordinatları bərabər olduqda bərabər olurlar.
Buna görə vektor tənliyindən xətti tənliklər sistemi alırıq

SLAE həll edin Kramer üsulu. Bunun üçün tənliklər sistemini formada yazırıq

SLAE-nin əsas determinantı həmişə əsas vektorlardan ibarət müəyyənediciyə bərabərdir

Buna görə də praktikada iki dəfə hesablanmır. Köməkçi təyinediciləri tapmaq üçün əsas determinantın hər bir sütununun yerinə sərbəst şərtlər sütununu qoyuruq. Determinantlar üçbucaqlar qaydasına əsasən hesablanır



Tapılmış müəyyənediciləri Kramer düsturunda əvəz edin



Deməli, b vektorunun bazis baxımından genişlənməsi b=-4a1+3a2-a3 formasına malikdir. a1, a2, a3 bazasında b vektorunun koordinatları (-4,3, 1) olacaqdır.

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Həlli: Biz vektorları əsas üçün yoxlayırıq - vektorların koordinatlarından determinant tərtib edirik və onu hesablayırıq.

Deməli, determinant sıfıra bərabər deyil vektorlar kosmosda əsas təşkil edir. Verilmiş əsas baxımından b vektorunun qrafikini tapmaq qalır. Bunun üçün vektor tənliyini yazırıq

və xətti tənliklər sisteminə çevirmək

Matris tənliyini yazın

Sonra Kramer düsturları üçün köməkçi təyinediciləri tapırıq



Kramer düsturlarının tətbiqi



Beləliklə, verilmiş b vektorunun iki əsas vektor vasitəsilə qrafiki var b=-2a1+5a3 və onun bazisdəki koordinatları b(-2,0, 5)-ə bərabərdir.