İki növ tənlik sisteminin həllini təhlil edəcəyik:
1. Sistemin əvəzetmə üsulu ilə həlli.
2. Sistemin tənliklərinin müddət üzrə əlavə edilməsi (çıxılması) yolu ilə sistemin həlli.
Tənliklər sistemini həll etmək üçün əvəzetmə üsulu sadə bir alqoritmə əməl etməlisiniz:
1. Biz ifadə edirik. İstənilən tənlikdən bir dəyişəni ifadə edirik.
2. Əvəz etmək. İfadə olunan dəyişənin yerinə başqa bir tənlikdə, nəticədə olan dəyəri əvəz edirik.
3. Nəticə tənliyi bir dəyişənlə həll edirik. Sistemin həllini tapırıq.
Həll etmək Müddətə əlavə (çıxma) sistemi lazımdır:
1. Eyni əmsalları edəcəyimiz dəyişən seçin.
2. Tənlikləri əlavə edirik və ya çıxarırıq, nəticədə bir dəyişənli tənlik alırıq.
3. Alınan xətti tənliyi həll edirik. Sistemin həllini tapırıq.
Sistemin həlli funksiyanın qrafiklərinin kəsişmə nöqtələridir.
Nümunələrdən istifadə edərək sistemlərin həllini ətraflı nəzərdən keçirək.
Nümunə №1:
Əvəzetmə üsulu ilə həll edək
Tənliklər sisteminin əvəzetmə üsulu ilə həlli2x+5y=1 (1 tənlik)
x-10y=3 (2-ci tənlik)
1. Ekspres
Görünür ki, ikinci tənlikdə əmsalı 1 olan x dəyişəni var, deməli, ikinci tənlikdən x dəyişənini ifadə etmək daha asan olur.
x=3+10y
2. İfadə etdikdən sonra birinci tənlikdə x dəyişəninin yerinə 3 + 10y əvəz edirik.
2(3+10y)+5y=1
3. Nəticə tənliyi bir dəyişənlə həll edirik.
2(3+10y)+5y=1 (açıq mötərizələr)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Tənliklər sisteminin həlli qrafiklərin kəsişmə nöqtələridir, ona görə də x və y-ni tapmaq lazımdır, çünki kəsişmə nöqtəsi x və y-dən ibarətdir.X-i tapaq, ifadə etdiyimiz birinci abzasda y-ni orada əvəz edirik.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
İlk növbədə xal yazmaq adətdir, biz x dəyişənini, ikinci yerə isə y dəyişənini yazırıq.
Cavab: (1; -0,2)
Nümunə №2:
Müddətə əlavə (çıxma) ilə həll edək.
Tənliklər sisteminin toplama üsulu ilə həlli3x-2y=1 (1 tənlik)
2x-3y=-10 (2-ci tənlik)
1. Dəyişən seçin, deyək ki, x-i seçirik. Birinci tənlikdə x dəyişəninin əmsalı 3, ikincidə - 2. Əmsalları eyni etməliyik, bunun üçün tənlikləri çoxaltmaq və ya istənilən ədədə bölmək hüququmuz var. Birinci tənliyi 2-yə, ikincisini isə 3-ə vurub ümumi əmsalı 6-ya bərabər alırıq.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. X dəyişənindən xilas olmaq üçün birinci tənlikdən ikincini çıxın.Xətti tənliyi həll edin.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6.4
3. X tapın. Tapılan y-ni hər hansı bir tənlikdə əvəz edirik, deyək ki, birinci tənlikdə.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4.6
Kəsişmə nöqtəsi x=4,6 olacaq; y=6.4
Cavab: (4.6; 6.4)
İmtahanlara pulsuz hazırlaşmaq istəyirsiniz? Tərbiyəçi onlayn pulsuz. Zarafat etmirəm.
Məqalədə tənliklər sisteminin tərifi və onun həlli kimi bir anlayış təqdim olunur. Sistem həlləri ilə bağlı tez-tez rast gəlinən hallar nəzərdən keçiriləcək. Aşağıdakı nümunələr həlli ətraflı izah etməyə kömək edəcəkdir.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Tənliklər sisteminin tərifi
Tənliklər sisteminin tərifinə keçmək üçün iki məqama diqqət yetirmək lazımdır: qeyd növü və onun mənası. Bunu başa düşmək üçün növlərin hər biri üzərində ətraflı dayanmaq lazımdır, sonra tənlik sistemlərinin tərifinə gələ bilərik.
Məsələn, iki tənlik götürək 2 x + y = - 3 və x = 5 , bundan sonra belə bir planın əyri mötərizəsi ilə birləşdiririk:
2 x + y = - 3, x = 5.
Buruq mötərizə ilə birləşdirilən tənliklər tənlik sistemlərinin qeydləri hesab olunur. Onlar verilmiş sistemin tənliklərinin həlli dəstlərini təyin edirlər. Hər bir həll verilmiş bütün tənliklərin həlli olmalıdır.
Başqa sözlə, bu o deməkdir ki, birinci tənliyin istənilən həlli sistem tərəfindən birləşdirilən bütün tənliklərin həlli olacaqdır.
Tərif 1
Tənliklər sistemləri qıvrım mötərizə ilə birləşdirilmiş, bütün sistem üçün eyni zamanda həll olan tənliklərin çoxlu həllinə malik olan bir sıra tənliklərdir.
Tənlik sistemlərinin əsas növləri
Tənliklər sistemləri kimi kifayət qədər çoxlu tənlik növləri var. Onların həllini və öyrənilməsini rahat etmək üçün müəyyən əlamətlərə görə qruplara bölünürlər. Bu, müəyyən növ tənliklər sistemlərini nəzərdən keçirməyə kömək edəcəkdir.
Başlamaq üçün, tənliklər tənliklərin sayına görə təsnif edilir. Əgər bir tənlik varsa, o, adi bir tənlikdir, əgər onlardan çoxsa, iki və ya daha çox tənlikdən ibarət sistemlə məşğul oluruq.
Başqa bir təsnifat dəyişənlərin sayına təsir göstərir. Dəyişənlərin sayı 1 olduqda deyirik ki, biz bir naməlum, 2 isə iki dəyişənli tənliklər sistemi ilə məşğul oluruq. Məsələni nəzərdən keçirək
x + y = 5 , 2 x - 3 y = 1
Aydındır ki, tənliklər sisteminə x və y iki dəyişən daxildir.
Belə tənliklər yazarkən qeyddəki bütün dəyişənlərin sayı nəzərə alınır. Onların hər bir tənlikdə olması isteğe bağlıdır. Ən azı bir tənliyin bir dəyişəni olmalıdır. Tənliklər sisteminin nümunəsinə nəzər salın
2 x \u003d 11, x - 3 z 2 \u003d 0, 2 7 x + y - z \u003d - 3
Bu sistemin 3 dəyişəni var x, y, z. Birinci tənlikdə açıq x və gizli y və z var. Gizli dəyişənlər əmsalında 0 olan dəyişənlərdir. İkinci tənlikdə x və z var və y gizli dəyişəndir. Əks halda belə yazıla bilər
2 x + 0 y + 0 z = 11
Digər tənlik isə x + 0 · y − 3 · z = 0-dır.
Tənliklərin üçüncü təsnifatı formadır. Məktəbdə iki dəyişənli iki xətti tənlik sistemlərindən başlayaraq sadə tənliklər və tənliklər sistemləri öyrədilir. . Bu o deməkdir ki, sistemə 2 xətti tənlik daxildir. Məsələn, düşünün
2 x - y = 1 , x + 2 y = - 1 və - 3 x + y = 0 . 5 , x + 2 2 3 y = 0
Bunlar əsas sadə xətti tənliklərdir. Bundan əlavə, 3 və ya daha çox naməlum olan sistemlərlə qarşılaşa bilərsiniz.
9-cu sinifdə iki dəyişənli və qeyri-xətti tənlikləri həll edirlər. Tam ədədli tənliklərdə mürəkkəbliyi artırmaq üçün eksponent artırılır. Belə sistemlərə müəyyən sayda tənlik və naməlum olan qeyri-xətti tənliklər sistemi deyilir. Bu cür sistemlərin nümunələrini nəzərdən keçirin
x 2 - 4 x y = 1 , x - y = 2 və x = y 3 x y = - 5
Hər iki sistem iki dəyişənlidir və hər ikisi qeyri-xəttidir.
Həll edərkən kəsrli rasional tənliklərə rast gələ bilərsiniz. misal üçün
x + y = 3 , 1 x + 1 y = 2 5
Onlar hansının olduğunu göstərmədən onu sadəcə olaraq tənliklər sistemi adlandıra bilərlər. Nadir hallarda sistemin özünün növünü göstərin.
Yuxarı siniflər irrasional, triqonometrik və eksponensial tənliklər. Misal üçün,
x + y - x y = 5 , 2 x y = 3 , x + y = 5 π 2 , sin x + cos 2 y = - 1 , y - log 3 x = 1 , x y = 3 12 .
Ali təhsil müəssisələri xətti cəbr tənlikləri sistemlərinin (SLAE) həllərini öyrənir və tədqiq edir. Belə tənliklərin sol tərəfində birinci dərəcəli çoxhədlilər, sağ tərəfində isə bəzi ədədlər var. Məktəbdəkilərdən fərq, dəyişənlərin sayı və tənliklərin sayının ixtiyari ola bilməsidir, əksər hallarda eyni deyil.
Tənlik sistemlərinin həlli
Tərif 2İki dəyişənli tənliklər sisteminin həlli hər bir tənliyi əvəz etdikdə həqiqi ədədi bərabərsizliyə çevirən, yəni bu sistemin hər bir tənliyi üçün həll olan dəyişən cütüdür.
Məsələn, x \u200b\u200b\u200b 5 və y \u003d 2 cütü x + y \u003d 7, x - y \u003d 3 tənliklər sisteminin həllidir. Çünki əvəz edən zaman tənliklər 5 + 2 = 7 və 5 − 2 = 3 həqiqi ədədi bərabərsizliklərə çevrilir. Əgər x = 3 və y = 0 cütünü əvəz etsək, sistem həll olunmayacaq, çünki əvəzetmə düzgün tənliyi verməyəcək, yəni 3 + 0 = 7 alacağıq.
Gəlin bir və ya bir neçə dəyişəni ehtiva edən sistemlər üçün tərif tərtib edək.
Tərif 3
Bir dəyişənli tənliklər sisteminin həlli- bu sistemin tənliklərinin kökü olan dəyişənin qiymətidir ki, bu da bütün tənliklərin həqiqi ədədi bərabərliklərə çevriləcəyini bildirir.
Bir dəyişəni t olan tənliklər sisteminin nümunəsini nəzərdən keçirək
t 2 \u003d 4, 5 (t + 2) \u003d 0
(− 2) · 2 = 4 və 5 · (− 2 + 2) = 0 düzgün ədədi bərabərliklər olduğundan - 2 rəqəmi tənliyin həllidir. t = 1-də sistem həll edilmir, çünki əvəz edərkən iki səhv bərabərlik əldə edirik 12 = 4 və 5 · (1 + 2) = 0 .
Tərif 4
Üç və ya daha çox dəyişəni olan sistemin həlli sistemin bütün tənliklərini həqiqi bərabərliyə çevirən müvafiq olaraq üçlü, dördlü və sonrakı dəyərləri adlandırırlar.
Dəyişənlərin dəyərləri x \u003d 1, y \u003d 2, z \u003d 0 olarsa, onları 2 x \u003d 2, 5 y \u003d 10, x + y + z tənliklər sisteminə əvəz edirik. \u003d 3, biz 2 1 = 2, 5 2 = 10 və 1 + 2 + 0 = 3 alırıq. Beləliklə, bu ədədi bərabərsizliklər doğrudur. Və dəyərlər (1 , 0 , 5) həll yolu olmayacaq, çünki dəyərləri əvəz etməklə onların ikincisi də səhv olacaq, üçüncüsü də səhv olacaq: 5 0 = 10 , 1 + 0 + 5 = 3 .
Tənlik sistemlərinin heç bir həlli olmaya bilər və ya sonsuz çoxluq ola bilər. Bunu bu mövzunun dərindən öyrənilməsi ilə görmək olar. Belə nəticəyə gəlmək olar ki, tənliklər sistemi onun bütün tənliklərinin həllər çoxluqlarının kəsişməsidir. Bir neçə tərifi bölüşək:
Tərif 5
uyğunsuz tənliklər sistemi həlli olmadıqda çağırılır, əks halda çağırılır birgə.
Tərif 6
Qeyri-müəyyən sistem sonsuz sayda həlli olduqda çağırılır və müəyyən sonlu sayda həllər ilə və ya onlar olmadıqda.
Bu cür terminlər ali təhsil proqramları üçün hesablandığı üçün məktəbdə çox az istifadə olunur. təhsil müəssisələri. Ekvivalent sistemlərlə tanışlıq tənlik sistemlərinin həlli üzrə mövcud bilikləri dərinləşdirəcək.
Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
Xətti tənliklər sistemləri.Sistemdəki bütün tənliklər xətti olarsa, tənliklər sistemi xətti adlanır. Buruq mötərizələrdən istifadə edərək tənliklər sistemi yazmaq adətdir, məsələn:
Tərif:Sistemə daxil edilmiş iki dəyişəni olan hər bir tənlik həqiqi bərabərliyə çevrilən dəyişənlərin bir cüt dəyəri adlanır. tənliklər sisteminin həlli.
Sistemi həll edin onun bütün həll yollarını tapmaq və ya həll yollarının olmadığını sübut etmək deməkdir.
Xətti tənliklər sistemini həll edərkən aşağıdakı üç hal mümkündür:
sistemin həlli yoxdur;
sistemin tam olaraq bir həlli var;
Sistemin sonsuz sayda həlli var.
I . Xətti tənliklər sisteminin əvəzetmə üsulu ilə həlli.
Bu üsulu “əvəzetmə üsulu” və ya naməlumların aradan qaldırılması metodu da adlandırmaq olar.
Burada iki naməlumlu iki tənlik sistemi var. Qeyd edək ki, sərbəst şərtlər (-5 və -7 rəqəmləri) tənliyin sol tərəfində yerləşir. Sistemi adi formada yazırıq.
Unutmayın ki, termini hissədən hissəyə köçürərkən onun işarəsini dəyişmək lazımdır.
Xətti tənliklər sistemini həll etmək nə deməkdir? Tənliklər sisteminin həlli sistemin hər bir tənliyini həqiqi bərabərliyə çevirən dəyişənlərin belə qiymətlərini tapmaq deməkdir. Bu müddəa istənilən sayda naməlum olan istənilən tənlik sistemləri üçün doğrudur.
Biz qərar veririk.
Sistemin birinci tənliyindən ifadə edirik:
. Bu əvəzetmədir. Alınan ifadə dəyişən əvəzinə sistemin ikinci tənliyində əvəz olunur
Bu tənliyi bir dəyişən üçün həll edək.
Mötərizələr açırıq, bəyənmə şərtlərini veririk və dəyəri tapırıq 
:
4) Sonra, əvəzetməyə qayıdırıq
dəyəri hesablamaq üçün 
.Biz artıq dəyəri bilirik, onu tapmaq qalır:
5) Cütlük 
verilmiş sistem üçün yeganə həll yoludur.
Cavab: (2.4; 2.2).
Hər hansı bir tənlik sistemi hər hansı bir şəkildə həll edildikdən sonra onu qaralamada yoxlamağı şiddətlə tövsiyə edirəm. Bu asanlıqla və tez edilir.
1) Tapılan cavabı birinci tənlikdə əvəz edin: 
- düzgün bərabərlik əldə edilir.
2) Tapılan cavabı ikinci tənliyə əvəz edirik: 
- düzgün bərabərlik əldə edilir.
Nəzərdə tutulan həll üsulu yeganə deyil, birinci tənlikdən ifadə etmək mümkün idi, lakin yox.
Siz əksinə edə bilərsiniz - ikinci tənlikdən bir şey ifadə edin və onu birinci tənliyə əvəz edin. Bununla belə, əvəzetməni elə qiymətləndirmək lazımdır ki, onun tərkibində mümkün qədər az fraksiya ifadəsi olsun. Dörd yoldan ən əlverişsizi ikinci və ya birinci tənlikdən ifadə etməkdir:
və ya 
Bununla belə, bəzi hallarda fraksiyalar hələ də əvəzolunmazdır. İstənilən tapşırıq ən rasional şəkildə yerinə yetirilməyə çalışmalıdır. Bu həm vaxta qənaət edir, həm də səhv etmək şansını azaldır.
Misal 2
Xətti tənliklər sistemini həll edin
II. Sistemin üsulla həlli cəbri əlavə sistem tənliklərinin (çıxılması).
Xətti tənliklər sistemlərinin həlli zamanı əvəzetmə üsulundan deyil, sistemin tənliklərinin cəbri toplama (çıxma) üsulundan istifadə etmək olar. Bu üsul vaxta qənaət edir və hesablamaları asanlaşdırır, lakin indi getdikcə daha aydın olacaq.
Xətti tənliklər sistemini həll edin:
Birinci nümunə ilə eyni sistemi götürək.
1) Tənliklər sistemini təhlil etdikdə y dəyişəninin əmsallarının mütləq qiymətində eyni, işarəsinə görə əks olduğunu görürük (–1 və 1). Bu vəziyyətdə, tənliklər terminə əlavə edilə bilər:
2) Gəlin bu tənliyi bir dəyişən üçün həll edək.
Gördüyünüz kimi, terminli əlavə nəticəsində biz dəyişəni itirmişik. Bu, əslində, metodun mahiyyəti - dəyişənlərdən birindən xilas olmaqdır.
3) İndi hər şey sadədir: 
- sistemin birinci tənliyini əvəz edin (ikinciyə də daxil edə bilərsiniz):
AT bitirmə həll bu kimi görünməlidir:
Cavab: (2.4; 2.2).
Misal 4
Xətti tənliklər sistemini həll edin:
Bu misalda siz əvəzetmə metodundan istifadə edə bilərsiniz, lakin böyük mənfi cəhət ondan ibarətdir ki, biz hər hansı bir tənlikdən hər hansı dəyişəni ifadə etdikdə, həllini əldə edəcəyik. adi fraksiyalar. Kəsrlərlə hərəkətləri çox az adam bəyənir, yəni bu, vaxt itkisidir və səhv etmək ehtimalı yüksəkdir.
Odur ki, tənliklərin müddət üzrə əlavə edilməsi (çıxılması) işindən istifadə etmək məqsədəuyğundur. Müvafiq dəyişənlər üçün əmsalları təhlil edirik:
Gördüyünüz kimi cütlükdə (14 və 7), (-9 və -2) ədədlər fərqlidir, ona görə də tənlikləri indi toplasaq (çıxsaq), dəyişəndən xilas olmayacağıq. Beləliklə, mən cütlərdən birində eyni modul nömrələrini görmək istərdim, məsələn, 14 və -14 və ya 18 və -18.
Dəyişən əmsalları nəzərdən keçirəcəyik.
14x - 9y \u003d 24;
7x - 2y \u003d 17.
Biz həm 14, həm də 7-yə bölünəcək bir ədəd seçirik və o, mümkün qədər kiçik olmalıdır. Riyaziyyatda belə ədədə ən kiçik ümumi çoxluq deyilir. Seçimdə itki varsa, o zaman sadəcə əmsalları çoxalda bilərsiniz.
İkinci tənliyi 14-ə vururuq: 7 \u003d 2.
Nəticə olaraq:
İndi birinci tənliyin müddətindən ikincini çıxarın.
Qeyd etmək lazımdır ki, bunun əksi olardı - ikinci tənlikdən birincini çıxarın, bu heç nəyi dəyişmir.
İndi tapılan dəyəri sistemin tənliklərindən birinə, məsələn, birinciyə əvəz edirik: 
Cavab: (3:2)
Gəlin sistemi başqa cür həll edək. Dəyişən üçün əmsalları nəzərdən keçirin.
14x - 9y \u003d 24;
7x - 2y \u003d 17.
Aydındır ki, bir cüt əmsal (-9 və -3) əvəzinə 18 və -18 almalıyıq.
Bunu etmək üçün birinci tənliyi (-2) ilə vurun, ikinci tənliyi 9-a vurun:
Tənlikləri müddətə əlavə edirik və dəyişənlərin dəyərlərini tapırıq:
İndi tapılmış x dəyərini sistemin tənliklərindən birinə, məsələn, birinciyə əvəz edirik:
Cavab: (3:2)
İkinci üsul birincidən bir qədər daha rasionaldır, çünki əlavə etmək çıxmaqdan daha asan və daha xoşdur. Çox vaxt sistemləri həll edərkən, çıxarmaq və bölməkdənsə, toplamaq və çoxaltmağa meyllidirlər.
Misal 5
Xətti tənliklər sistemini həll edin:
Bu müstəqil həll üçün bir nümunədir (mühazirənin sonunda cavab).
Misal 6
Tənliklər sistemini həll edin
Qərar. Sistemin heç bir həlli yoxdur, çünki sistemin iki tənliyi eyni vaxtda təmin edilə bilməz (birinci tənlikdən) 
və ikincidən 
Cavab: Heç bir həll yolu yoxdur.
Misal 7
tənliklər sistemini həll edin
Qərar. Sistemin sonsuz sayda həlli var, çünki ikinci tənlik birincidən 2-yə vurulmaqla əldə edilir (yəni əslində iki naməlum olan yalnız bir tənlik var).
Cavab: Sonsuz çoxlu həllər.
III. Sistemin matrislərdən istifadə edərək həlli.
Bu sistemin determinantı naməlumların əmsallarından ibarət olan determinantdır. Bu determinant
Alınan tənliklər sistemləri geniş tətbiq in iqtisadi sənaye müxtəlif proseslərin riyazi modelləşdirilməsində. Məsələn, istehsalın idarə edilməsi və planlaşdırılması, logistik marşrutlar (nəqliyyat problemi) və ya avadanlığın yerləşdirilməsi problemlərini həll edərkən.
Tənlik sistemləri təkcə riyaziyyat sahəsində deyil, həm də fizika, kimya və biologiyada əhalinin sayının tapılması məsələlərinin həlli zamanı istifadə olunur.
Xətti tənliklər sistemi bir neçə dəyişəni olan iki və ya daha çox tənlik üçün ümumi həll tapmaq lazım olan termindir. Bütün tənliklərin həqiqi bərabərliyə çevrildiyi və ya ardıcıllığın mövcud olmadığını sübut etdiyi nömrələr ardıcıllığı.
Xətti tənlik
ax+by=c şəklində olan tənliklər xətti adlanır. x, y təyinatları naməlumlardır, onların qiyməti tapılmalıdır, b, a dəyişənlərin əmsalları, c tənliyin sərbəst həddidir.
Tənliyin qrafikini çəkməklə həll etmək, bütün nöqtələri çoxhədlinin həlli olan düz xətt kimi görünəcəkdir.
Xətti tənliklər sistemlərinin növləri
Ən sadələri iki dəyişəni X və Y olan xətti tənliklər sistemlərinin nümunələridir.
F1(x, y) = 0 və F2(x, y) = 0, burada F1,2 funksiyalar və (x, y) funksiya dəyişənləridir.
Tənliklər sistemini həll edin - sistemin həqiqi bərabərliyə çevrildiyi qiymətləri (x, y) tapmaq və ya onu qurmaq deməkdir uyğun dəyərlər x və y mövcud deyil.
Nöqtə koordinatları kimi yazılmış qiymət cütü (x, y) xətti tənliklər sisteminin həlli adlanır.
Sistemlərin bir ümumi həlli varsa və ya həlli yoxdursa, ekvivalent adlanır.
Xətti tənliklərin homojen sistemləri sağ tərəfi sıfıra bərabər olan sistemlərdir. Əgər “bərabər” işarəsindən sonra sağ hissə qiymətə malikdirsə və ya funksiya ilə ifadə edilirsə, belə sistem bircins deyil.
Dəyişənlərin sayı ikidən çox ola bilər, onda üç və ya daha çox dəyişənli xətti tənliklər sisteminin nümunəsi haqqında danışmalıyıq.
Sistemlərlə qarşılaşan məktəblilər hesab edirlər ki, tənliklərin sayı mütləq bilinməyənlərin sayı ilə üst-üstə düşməlidir, lakin bu belə deyil. Sistemdəki tənliklərin sayı dəyişənlərdən asılı deyil, onların sayı ixtiyari olaraq çox ola bilər.
Tənlik sistemlərinin həlli üçün sadə və mürəkkəb üsullar
Belə sistemlərin həllinin ümumi analitik yolu yoxdur, bütün üsullar ədədi həllər üzərində qurulur. Məktəbin riyaziyyat kursunda dəyişdirmə, cəbri toplama, əvəzetmə, həmçinin qrafik və matris metodu, Qauss üsulu ilə həll kimi üsullar ətraflı təsvir olunur.
Həll metodlarının öyrədilməsi zamanı əsas vəzifə sistemi düzgün təhlil etməyi və hər bir misal üçün optimal həll alqoritmini tapmağı öyrətməkdir. Əsas odur ki, hər bir üsul üçün qaydalar və hərəkətlər sistemini yadda saxlamaq deyil, müəyyən bir metodun tətbiqi prinsiplərini başa düşməkdir.
Ümumtəhsil məktəbi proqramının 7-ci sinfinin xətti tənliklər sistemləri nümunələrinin həlli olduqca sadədir və çox ətraflı izah olunur. İstənilən riyaziyyat dərsliyində bu bölməyə kifayət qədər diqqət yetirilir. Xətti tənliklər sistemləri nümunələrinin Qauss və Kramer üsulu ilə həlli ali təhsil müəssisələrinin birinci kurslarında daha ətraflı öyrənilir.
Əvəzetmə üsulu ilə sistemlərin həlli
Əvəzetmə metodunun hərəkətləri bir dəyişənin dəyərini ikinci vasitəsilə ifadə etməyə yönəldilmişdir. İfadə qalan tənliyə əvəz edilir, sonra tək dəyişən formaya endirilir. Sistemdəki naməlumların sayından asılı olaraq hərəkət təkrarlanır
Əvəzetmə üsulu ilə 7-ci sinif xətti tənliklər sisteminə misal verək:
Nümunədən göründüyü kimi, x dəyişəni F(X) = 7 + Y vasitəsilə ifadə edilmişdir. X yerinə sistemin 2-ci tənliyində əvəz edilmiş nəticə 2-ci tənlikdə bir Y dəyişənini əldə etməyə kömək etmişdir. . Qərar bu misalçətinlik yaratmır və Y qiymətini almağa imkan verir.Son addım alınan qiymətləri yoxlamaqdır.
Xətti tənliklər sisteminin nümunəsini əvəzetmə yolu ilə həll etmək həmişə mümkün olmur. Tənliklər mürəkkəb ola bilər və dəyişənin ikinci naməlum baxımından ifadəsi sonrakı hesablamalar üçün çox çətin olacaq. Sistemdə 3-dən çox naməlum olduqda, əvəzetmə həlli də praktiki deyil.
Xətti qeyri-bərabər tənliklər sisteminin nümunəsinin həlli:
Cəbri toplamadan istifadə edərək həll
Toplama üsulu ilə sistemlərin həlli axtarılarkən, tənliklərin termin üzrə əlavə edilməsi və vurulması müxtəlif nömrələr. son məqsəd riyazi əməliyyatlar bir dəyişənli tənlikdir.
Tətbiqlər üçün bu üsul təcrübə və müşahidə tələb edir. Dəyişənlərin sayı 3 və ya daha çox olan əlavə üsulu ilə xətti tənliklər sistemini həll etmək asan deyil. Cəbri əlavə tənliklərdə kəsrlər və onluq ədədlər olduqda faydalıdır.
Həll hərəkəti alqoritmi:
- Tənliyin hər iki tərəfini bir ədədə vurun. Arifmetik əməliyyat nəticəsində dəyişənin əmsallarından biri 1-ə bərabər olmalıdır.
- Yaranan ifadə terminini terminə görə əlavə edin və naməlumlardan birini tapın.
- Qalan dəyişəni tapmaq üçün alınan dəyəri sistemin 2-ci tənliyində əvəz edin.
Yeni dəyişən təqdim etməklə həll üsulu
Sistem ikidən çox olmayan tənliyin həllini tapmaq lazımdırsa, yeni dəyişən təqdim edilə bilər, naməlumların sayı da ikidən çox olmamalıdır.
Metod yeni dəyişən təqdim etməklə tənliklərdən birini sadələşdirmək üçün istifadə olunur. Yeni tənlik daxil edilmiş naməlumla bağlı həll edilir və alınan qiymət ilkin dəyişəni təyin etmək üçün istifadə olunur.
Nümunədən görmək olar ki, yeni t dəyişənini təqdim etməklə sistemin 1-ci tənliyini standart kvadrat üçhəcmliyə endirmək mümkün olmuşdur. Diskriminantı tapmaqla çoxhədli həll edə bilərsiniz.
Məlum düsturdan istifadə edərək diskriminantın qiymətini tapmaq lazımdır: D = b2 - 4*a*c, burada D - arzu olunan diskriminant, b, a, c çoxhədlinin çarpanlarıdır. Verilmiş misalda a=1, b=16, c=39, deməli, D=100. Əgər diskriminant sıfırdan böyükdürsə, onda iki həll yolu var: t = -b±√D / 2*a, əgər diskriminant sıfırdan azdır, onda yalnız bir həll var: x= -b / 2*a.
Yaranan sistemlərin həlli əlavə üsulu ilə tapılır.
Sistemlərin həlli üçün vizual üsul
3 tənliyi olan sistemlər üçün uyğundur. Metod üzərində qurmaqdır koordinat oxu sistemə daxil olan hər bir tənliyin qrafikləri. Döngələrin kəsişmə nöqtələrinin koordinatları və olacaq ümumi həll sistemləri.
Qrafik metod bir sıra nüanslara malikdir. Xətti tənliklər sistemlərinin vizual şəkildə həllinin bir neçə nümunəsini nəzərdən keçirin.
Nümunədən göründüyü kimi, hər sətir üçün iki nöqtə quruldu, x dəyişəninin dəyərləri ixtiyari olaraq seçildi: 0 və 3. X-in dəyərlərinə əsasən, y üçün dəyərlər tapıldı: 3 və 0. Qrafikdə koordinatları (0, 3) və (3, 0) olan nöqtələr işarələnib və xətlə birləşdirilib.
İkinci tənlik üçün addımlar təkrarlanmalıdır. Xətlərin kəsişmə nöqtəsi sistemin həllidir.
Aşağıdakı misalda xətti tənliklər sisteminin qrafik həllini tapmaq tələb olunur: 0,5x-y+2=0 və 0,5x-y-1=0.
Nümunədən göründüyü kimi, sistemin həlli yoxdur, çünki qrafiklər paraleldir və bütün uzunluğu boyunca kəsişmir.
2 və 3-cü Nümunələrdəki sistemlər oxşardır, lakin qurulduqda onların həlli yollarının fərqli olduğu aydın olur. Yadda saxlamaq lazımdır ki, sistemin həlli olub-olmadığını söyləmək həmişə mümkün deyil, həmişə qrafik qurmaq lazımdır.
Matris və onun növləri
Matrislər xətti tənliklər sistemini qısaca yazmaq üçün istifadə olunur. Cədvəl matris adlanır. xüsusi növ rəqəmlərlə doludur. n*m-in n - sətirləri və m - sütunları var.
Sütun və sətirlərin sayı bərabər olduqda matris kvadratdır. Matris - vektor sonsuz olan bir sütunun matrisidir mümkün sayı xətlər. Diaqonallardan biri və digər sıfır elementləri boyunca vahidləri olan matrisə eynilik deyilir.
Tərs matris elə bir matrisdir, ona vurulduqda ilkin vahid vahidə çevrilir, belə bir matris yalnız orijinal kvadrat üçün mövcuddur.
Tənliklər sisteminin matrisə çevrilməsi qaydaları
Tənlik sistemlərinə gəldikdə, tənliklərin əmsalları və sərbəst üzvləri matrisin nömrələri kimi yazılır, bir tənlik matrisin bir sırasıdır.
Əgər cərgənin ən azı bir elementi sıfıra bərabər deyilsə, matris sırası sıfırdan fərqli adlanır. Buna görə də, əgər tənliklərin hər hansı birində dəyişənlərin sayı fərqlidirsə, onda çatışmayan naməlumun yerinə sıfır daxil etmək lazımdır.
Matrisin sütunları dəyişənlərə ciddi şəkildə uyğun gəlməlidir. Bu o deməkdir ki, x dəyişəninin əmsalları yalnız bir sütunda, məsələn, birincidə, naməlum y-nin əmsalı - yalnız ikincidə yazıla bilər.
Bir matrisi vurarkən, bütün matrisin elementləri ardıcıl olaraq ədədə vurulur.
Tərs matrisin tapılması üçün seçimlər
Tərs matrisin tapılması düsturu olduqca sadədir: K -1 = 1 / |K|, burada K -1 tərs matrisdir və |K| - matris təyinedicisi. |K| sıfıra bərabər olmamalıdır, onda sistemin həlli var.
Determinant asanlıqla iki-iki matris üçün hesablanır, yalnız elementləri diaqonal olaraq bir-birinə vurmaq lazımdır. "Üçdən üçə" variantı üçün |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c düsturu var. 3 + a 3 b 2 c 1 . Düsturdan istifadə edə bilərsiniz və ya yadda saxlaya bilərsiniz ki, elementlərin sütun və sətir nömrələri məhsulda təkrarlanmaması üçün hər sətirdən və hər sütundan bir element götürməlisiniz.
Xətti tənliklər sistemləri nümunələrinin matris üsulu ilə həlli
Həllin tapılmasının matris üsulu ilə sistemləri həll edərkən çətin qeydləri azaltmağa imkan verir böyük miqdar dəyişənlər və tənliklər.
Nümunədə a nm tənliklərin əmsalları, matris vektor x n dəyişənlər, b n isə sərbəst şərtlərdir.
Sistemlərin Gauss üsulu ilə həlli
Ali riyaziyyatda Qauss metodu Kramer üsulu ilə birlikdə öyrənilir və sistemlərin həllinin tapılması prosesi Qauss-Kramer həll üsulu adlanır. tapmaq üçün bu üsullardan istifadə olunur sistem dəyişənləriçoxlu xətti tənliklərlə.
Qauss metodu əvəzetmə və cəbri toplama həllərinə çox bənzəyir, lakin daha sistematikdir. Məktəb kursunda 3 və 4 tənlik sistemləri üçün Qauss həllindən istifadə olunur. Metodun məqsədi sistemi ters çevrilmiş trapezoid formasına gətirməkdir. Cəbri çevrilmələr və əvəzetmələrlə bir dəyişənin qiyməti sistemin tənliklərindən birində tapılır. İkinci tənlik 2 naməlum, 3 və 4 isə müvafiq olaraq 3 və 4 dəyişəni olan ifadədir.
Sistemi təsvir olunan formaya gətirdikdən sonra sonrakı həll məlum dəyişənlərin sistemin tənliklərində ardıcıl əvəzlənməsinə qədər azaldılır.
7-ci sinif üçün məktəb dərsliklərində Gauss həllinin nümunəsi aşağıdakı kimi təsvir edilmişdir:
Nümunədən göründüyü kimi (3) addımda 3x 3 -2x 4 =11 və 3x 3 +2x 4 =7 iki tənlik əldə edilmişdir. Tənliklərdən hər hansı birinin həlli x n dəyişənlərindən birini tapmağa imkan verəcəkdir.
Mətndə qeyd olunan 5-ci teoremdə deyilir ki, sistemin tənliklərindən biri ekvivalenti ilə əvəz olunarsa, nəticədə yaranan sistem də ilkin tənliyə bərabər olacaqdır.
Qauss metodu tələbələr üçün çətin başa düşülür Ali məktəb, lakin ən çox biridir maraqlı yollar riyaziyyat və fizika dərslərində təkmil təhsil proqramına daxil olan uşaqların ixtirasını inkişaf etdirmək.
Hesablamaları qeyd etmək asanlığı üçün aşağıdakıları etmək adətdir:
Tənlik əmsalları və sərbəst şərtlər matris şəklində yazılır, burada matrisin hər sətri sistemin tənliklərindən birinə uyğun gəlir. tənliyin sol tərəfini sağ tərəfdən ayırır. Roma rəqəmləri sistemdəki tənliklərin sayını bildirir.
Əvvəlcə işləyəcək matrisi, sonra cərgələrdən biri ilə həyata keçirilən bütün hərəkətləri yazır. Yaranan matris "ox" işarəsindən sonra yazılır və nəticə əldə olunana qədər lazımi cəbri əməliyyatları yerinə yetirməyə davam edir.
Nəticədə, diaqonallardan birinin 1 olduğu və bütün digər əmsalların sıfıra bərabər olduğu bir matris alınmalıdır, yəni matris tək bir formaya endirilməlidir. Tənliyin hər iki tərəfinin nömrələri ilə hesablamalar aparmağı unutmamalıyıq.
Bu qeyd daha az çətin olur və çoxsaylı naməlumları sadalamaqla diqqətinizi yayındırmamağa imkan verir.
Hər hansı bir həll metodunun pulsuz tətbiqi qayğı və müəyyən bir təcrübə tələb edəcəkdir. Bütün üsullar tətbiq edilmir. Bəzi həll yolları insan fəaliyyətinin müəyyən bir sahəsində daha çox üstünlük təşkil edir, digərləri isə öyrənmək üçün mövcuddur.
Bu riyazi proqramla siz iki dəyişənli iki xətti tənlik sistemini əvəzetmə üsulu və toplama üsulu ilə həll edə bilərsiniz.
Proqram təkcə problemin cavabını vermir, həm də rəhbərlik edir ətraflı həlli iki şəkildə həll addımlarının izahları ilə: əvəzetmə üsulu və əlavə üsulu.
Bu proqram Orta məktəb tələbələri üçün faydalı ola bilər ümumtəhsil məktəbləriüçün hazırlanır nəzarət işi və imtahanlar, imtahandan əvvəl bilikləri yoxlayarkən, valideynlər riyaziyyat və cəbrdən bir çox problemlərin həllinə nəzarət etsinlər. Yoxsa repetitor tutmaq və ya yeni dərsliklər almaq sizə çox baha başa gəlir? Yoxsa bunu mümkün qədər tez bitirmək istəyirsiniz? ev tapşırığı riyaziyyat yoxsa cəbr? Bu halda siz də ətraflı həlli ilə proqramlarımızdan istifadə edə bilərsiniz.
Bu yolla siz öz təliminizi və/yaxud kiçik qardaş və ya bacılarınızın təlimini həyata keçirə bilərsiniz, eyni zamanda həll ediləcək vəzifələr sahəsində təhsil səviyyəsi artır.
Tənliklərin daxil edilməsi qaydaları
İstənilən Latın hərfi dəyişən kimi çıxış edə bilər.
Məsələn: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) və s.
Tənlikləri daxil edərkən mötərizələrdən istifadə edə bilərsiniz. Bu halda tənliklər əvvəlcə sadələşdirilir. Sadələşdirmələrdən sonra tənliklər xətti olmalıdır, yəni. elementlərin sırasının dəqiqliyi ilə ax+by+c=0 formasının.
Məsələn: 6x+1 = 5(x+y)+2
Tənliklərdə yalnız tam ədədlərdən deyil, həm də ondalık və ümumi kəsr şəklində kəsr ədədlərindən istifadə edə bilərsiniz.
Onluq kəsrlərin daxil edilməsi qaydaları.
Tam və kəsr hissəsi onluq kəsrlər nöqtə və ya vergüllə ayrıla bilər.
Məsələn: 2.1n + 3.5m = 55
Adi kəsrlərin daxil edilməsi qaydaları.
Yalnız tam ədəd kəsrin payı, məxrəci və tam hissəsi kimi çıxış edə bilər.
Məxrəc mənfi ola bilməz.
Siz girdiyiniz zaman ədədi fraksiya Paylayıcı məxrəcdən bölmə işarəsi ilə ayrılır: /
Tam hissə kəsrdən ampersandla ayrılır: &
Nümunələr.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)
Tənliklər sistemini həll edin
Məlum olub ki, bu tapşırığı həll etmək üçün lazım olan bəzi skriptlər yüklənməyib və proqram işləməyə bilər.
Sizdə AdBlock aktiv ola bilər.
Bu halda onu söndürün və səhifəni yeniləyin.
Həllin görünməsi üçün JavaScript aktivləşdirilməlidir.
Brauzerinizdə JavaScript-i necə aktivləşdirmək barədə təlimatlar buradadır.
Çünki Problemi həll etmək istəyənlər çoxdur, müraciətiniz növbədədir.
Bir neçə saniyədən sonra həll aşağıda görünəcək.
Gözləyin, zəhmət olmasa san...
Əgər sən həllində səhv olduğunu gördü, sonra bu barədə Əlaqə Formunda yaza bilərsiniz.
Unutma hansı tapşırığı göstərin nə qərar verərsən sahələrə daxil olun.
Oyunlarımız, bulmacalarımız, emulyatorlarımız:
Bir az nəzəriyyə.
Xətti tənliklər sistemlərinin həlli. Əvəzetmə üsulu
Əvəzetmə üsulu ilə xətti tənliklər sistemini həll edərkən hərəkətlərin ardıcıllığı:
1) sistemin bəzi tənliyindən bir dəyişəni digəri ilə ifadə etmək;
2) alınan ifadəni sistemin başqa tənliyində bu dəyişənin yerinə əvəz etmək;
$$ \left\( \begin(massiv)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(massiv) \sağ. $$
Birinci tənlikdən y-dən x-ə qədər ifadə edək: y = 7-3x. İkinci tənlikdə y əvəzinə 7-3x ifadəsini əvəz edərək sistemi alırıq:
$$ \left\( \begin(massiv)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(massiv) \sağ. $$
Birinci və ikinci sistemlərin eyni həll yollarına malik olduğunu göstərmək asandır. İkinci sistemdə ikinci tənlik yalnız bir dəyişəni ehtiva edir. Bu tənliyi həll edək:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Sağ ox -5x+14-6x=3 \Sağ ox -11x=-11 \Sağ ox x=1 $$
y=7-3x tənliyində x əvəzinə 1 ədədini əvəz edərək y-nin uyğun qiymətini tapırıq:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Sağ ox y=4 $$
Cüt (1;4) - sistemin həlli
Həlli eyni olan iki dəyişənli tənliklər sistemləri adlanır ekvivalent. Həlli olmayan sistemlər də ekvivalent sayılır.
Xətti tənlik sistemlərinin toplama yolu ilə həlli
Xətti tənliklər sistemlərini həll etməyin başqa bir yolunu - əlavə üsulunu nəzərdən keçirin. Sistemləri bu şəkildə həll edərkən, eləcə də əvəzetmə üsulu ilə həll edərkən biz verilmiş sistemdən ona ekvivalent olan digər sistemə keçirik ki, burada tənliklərdən birində yalnız bir dəyişən var.
Xətti tənliklər sistemini toplama üsulu ilə həll edərkən hərəkətlərin ardıcıllığı:
1) dəyişənlərdən biri üçün əmsalların olması üçün amilləri seçərək sistemin müddətinin tənliklərini müddətə vurun. əks nömrələr;
2) sistemin tənliklərinin sol və sağ hissələrini həd-həd əlavə edin;
3) nəticədə bir dəyişənli tənliyi həll edin;
4) ikinci dəyişənin uyğun qiymətini tapın.
Misal. Tənliklər sistemini həll edək:
$$ \left\( \begin(massiv)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(massiv) \sağ. $$
Bu sistemin tənliklərində y-nin əmsalları əks ədədlərdir. Tənliklərin sol və sağ hissələrini həd-həd əlavə etməklə, bir dəyişəni 3x=33 olan tənlik əldə edirik. Sistemin tənliklərindən birini, məsələn, birincisini 3x=33 tənliyi ilə əvəz edək. Gəlin sistemi əldə edək
$$ \left\( \begin(massiv)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(massiv) \sağ. $$
3x=33 tənliyindən tapırıq ki, x=11. Bu x dəyərini \(x-3y=38 \) tənliyinə əvəz edərək y dəyişəni ilə tənlik əldə edirik: \(11-3y=38 \). Bu tənliyi həll edək:
\(-3y=27 \Sağ ox y=-9 \)
Beləliklə, tənliklər sisteminin həllini əlavə etməklə tapdıq: \(x=11; y=-9 \) və ya \((11; -9) \)
Sistemin tənliklərində y-nin əmsallarının əks ədədlər olmasından istifadə edərək, onun həllini ekvivalent sistemin həllinə (orijinal simmemanın hər tənliyinin hər iki hissəsini toplamaq yolu ilə) azaltdıq. tənliklərin yalnız bir dəyişəni var.
Kitablar (dərsliklər) Vahid Dövlət İmtahanı və OGE testlərinin xülasələri Onlayn Oyunlar, bulmacalar Funksiyaların qrafiki Rus dilinin orfoqrafiya lüğəti Gənclərin jarqon lüğəti Rus məktəblərinin kataloqu Rusiyadakı orta məktəblərin kataloqu Rusiya universitetlərinin kataloqu Tapşırıqların siyahısı
