Geri irəli
Diqqət! Slayda baxış yalnız məlumat məqsədi daşıyır və təqdimatın tam həcmini əks etdirməyə bilər. Əgər siz maraqlanırsınızsa bu iş zəhmət olmasa tam versiyanı yükləyin.
Ən böyük ortaq bölən (GCD) və ən kiçik ortaq çoxluq (LCM) anlayışları ilə orta məktəb şagirdləri altıncı sinifdə tanış olurlar. Bu mövzunu mənimsəmək həmişə çətindir. Uşaqlar tez-tez bu anlayışları qarışdırırlar, niyə öyrənilməli olduqlarını başa düşmürlər. AT son vaxtlar və elmi-populyar ədəbiyyatda bu materialın məktəb kurikulumundan çıxarılmasına dair ayrıca ifadələr var. Düşünürəm ki, bu tamamilə doğru deyil və onu sinifdə deyilsə, sinifdənkənar vaxtda məktəb komponentinin sinifində öyrənmək lazımdır, çünki bu, məktəblilərin məntiqi təfəkkürünün inkişafına kömək edir, hesablama əməliyyatlarının sürəti və gözəl üsullardan istifadə edərək problemləri həll etmək bacarığı.
Mövzunu öyrənərkən "Kəsrlərin toplanması və çıxması müxtəlif məxrəclər"Biz uşaqlara iki və ya daha çox ədədin ortaq məxrəcini tapmağı öyrədirik. Məsələn, 1/3 və 1/5 kəsrlərini toplamaq lazımdır. Şagirdlər 3 və 5-ə qalıqsız bölünən ədədi asanlıqla tapa bilərlər. Bu, ədəd 15-dir. Həqiqətən də, əgər ədədlər kiçikdirsə, vurma cədvəlini yaxşı bilməklə onların ortaq məxrəcini tapmaq asandır. Uşaqlardan bəziləri bu ədədin 3 və 5 rəqəmlərinin məhsulu olduğuna diqqət yetirirlər. Uşaqların fikirləri var. ki, həmişə bu şəkildə ədədlər üçün ortaq məxrəc tapa bilərsiniz. Məsələn, biz 7/18 və 5 / 24 kəsrlərini çıxırıq. 18 və 24 ədədlərinin hasilini tapırıq. 432-yə bərabərdir. Artıq almışıq. böyük rəqəm, və əlavə hesablamalar aparmaq lazımdırsa (xüsusilə bütün hərəkətlər üçün nümunələr üçün), onda səhv ehtimalı artır. Ancaq bu halda ən kiçik ortaq məxrəcə (LCD) ekvivalent olan ədədlərin tapılan ən kiçik ümumi çoxluğu (LCM) - 72 rəqəmi hesablamaları xeyli asanlaşdıracaq və nümunənin daha sürətli həllinə gətirib çıxaracaq və bununla da vaxta qənaət edəcəkdir. yekun testin yerinə yetirilməsində mühüm rol oynayan bu tapşırığın yerinə yetirilməsi üçün ayrılmış, nəzarət işləri xüsusilə yekun qiymətləndirmə zamanı.
“Kəsrin azaldılması” mövzusunu öyrənərkən, kəsrin payını və məxrəcini ardıcıl olaraq eyni natural ədədə bölmək, ədədlərin bölünmə əlamətlərindən istifadə etməklə, nəticədə azalmayan kəsr əldə etmək olar. Məsələn, 128/344 fraksiyasını azaltmaq lazımdır. Əvvəlcə kəsrin payını və məxrəcini 2 rəqəminə bölürük, 64/172 kəsri alırıq. Yenə də yaranan kəsrin payını və məxrəcini 2-yə bölürük, 32/86 kəsri alırıq. Kesrin payını və məxrəcini bir daha 2-yə bölün, 16/43 azalmayan kəsr alırıq. Amma 128 və 344 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini tapsaq, kəsrin azaldılmasını xeyli asanlaşdırmaq olar. GCD (128, 344) = 8. Kəsrin payını və məxrəcini bu ədədə bölməklə, dərhal azalmayan kəsr alırıq.
Uşaqlara göstərmək lazımdır fərqli yollarədədlərin ən böyük ortaq böləninin (GCD) və ən kiçik ortaq çoxluğunun (LCM) tapılması. Sadə hallarda ən böyüyü tapmaq rahatdır ortaq bölən(gcd) və sadə sadalama ilə ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğu (lcm). Rəqəmlər böyüdükdə, ədədlərin parçalanmasından istifadə edə bilərsiniz əsas amillər. Altıncı sinif dərsliyində (müəllif N.Ya.Vilenkin) ədədlərin ən böyük ortaq bölənini (GCD) tapmaq üçün aşağıdakı üsul göstərilmişdir. Rəqəmləri əsas amillərə bölək:
- 16 = 2*2*2*2
- 120 = 2*2*2*3*5
Sonra bu rəqəmlərdən birinin genişlənməsinə daxil olan amillərdən digər ədədin genişlənməsinə daxil olmayanların üstündən xətt çəkirik. Qalan amillərin hasili bu ədədlərin ən böyük ortaq bölməsi olacaqdır. Bu halda, bu rəqəm 8-dir. Öz təcrübəmdən əmin oldum ki, rəqəmlərin genişlənmələrində eyni amillərin altını çəksək, daha sonra genişləndirmələrdən birində altı çizilmişin hasilini tapsaq, uşaqlar üçün daha başa düşülən olar. amillər. Bu ədədlərin ən böyük ortaq bölənidir. Altıncı sinifdə uşaqlar aktiv və maraqlanır. Siz onlara aşağıdakı tapşırığı qoya bilərsiniz: təsvir olunmuş şəkildə 343 və 287 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini tapmağa çalışın.Onları sadə amillərə necə ayırmaq dərhal aydın deyil. Və burada onlara qədim yunanlar tərəfindən icad edilən gözəl üsul haqqında danışa bilərsiniz ki, bu da ən böyük ortaq bölücünü (GCD) əsas amillərə parçalanmadan axtarmağa imkan verir. Ən böyük ortaq böləni tapmaq üçün bu üsul ilk dəfə Evklidin Elementlərində təsvir edilmişdir. Buna Evklid alqoritmi deyilir. O, aşağıdakılardan ibarətdir: Birincisi, böyük ədədi kiçik olana bölün. Əgər qalıq varsa, kiçik ədədi qalığa bölün. Qalan yenidən alınarsa, birinci qalığı ikinciyə bölün. Beləliklə, qalan sıfır olana qədər bölməyə davam edin. Son bölən bu ədədlərin ən böyük ortaq bölənidir (GCD).
Nümunəmizə qayıdaq və aydınlıq üçün həlli cədvəl şəklində yazaq.
| Dividend | Bölücü | Şəxsi | Qalıq |
| 343 | 287 | 1 | 56 |
| 287 | 56 | 5 | 7 |
| 56 | 7 | 8 | 0 |
Beləliklə, gcd (344,287) = 7
Eyni ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğunu (LCM) necə tapmaq olar? Bunun üçün bu ədədlərin əsas amillərə ilkin parçalanmasını tələb etməyən bir yol varmı? Belə çıxır ki, var və bunda çox sadədir. Bu ədədləri çoxaltmalı və məhsulu tapdığımız ən böyük ortaq bölənə (GCD) bölmək lazımdır. AT bu misalədədlərin hasili 98441-dir. Onu 7-yə bölün və 14063 ədədini alın. LCM(343,287) = 14063.
Riyaziyyatın çətin mövzularından biri söz məsələlərinin həllidir. Biz tələbələrə adi üsulla həlli bəzən çətin olan problemləri həll etmək üçün “Ən böyük ümumi bölən (GCD)” və “Ən kiçik ümumi çoxluq (LCM)” anlayışlarından necə istifadə etməyi göstərməliyik. Burada məktəb dərsliyi müəllifləri tərəfindən təklif olunan tapşırıqlarla yanaşı, köhnə və əyləncəli tapşırıqlar, uşaqların marağını inkişaf etdirmək və bu mövzunun öyrənilməsinə marağı artırmaq. Bu anlayışlara məharətlə sahib olmaq tələbələrə qeyri-standart problemin gözəl həllini görməyə imkan verir. Yaxşı bir problemi həll etdikdən sonra uşağın əhval-ruhiyyəsi yüksəlirsə, bu uğurlu işin əlamətidir.
Beləliklə, məktəbdə ədədlərin "Ən Böyük Ümumi Bölən (GCD)" və "Ən kiçik Ümumi Çoxluğu (LCD)" kimi anlayışların öyrənilməsi
İşin yerinə yetirilməsi üçün ayrılmış vaxta qənaət etməyə imkan verir ki, bu da tamamlanmış tapşırıqların həcminin əhəmiyyətli dərəcədə artmasına səbəb olur;
Arifmetik əməliyyatların yerinə yetirilməsi sürətini və dəqiqliyini artırır, bu da yol verilən hesablama xətalarının sayının əhəmiyyətli dərəcədə azalmasına gətirib çıxarır;
tapmağa imkan verir gözəl yollar qeyri-standart mətn məsələlərinin həlli;
Şagirdlərin maraq dairəsini inkişaf etdirir, dünyagörüşünü genişləndirir;
Çoxşaxəli yaradıcı şəxsiyyətin tərbiyəsi üçün ilkin şərtlər yaradır.
Gəlin iki və ya daha çox ədədin ən kiçik ortaq qatını öyrənməyə başlayaq. Bölmədə terminin tərifini verəcəyik, ən kiçik ortaq qat ilə ən böyük ortaq bölən arasında əlaqə quran teoremi nəzərdən keçirəcək və məsələlərin həllinə dair nümunələr verəcəyik.
Ümumi çoxluqlar - tərif, nümunələr
Bu mövzuda bizi yalnız sıfırdan başqa tam ədədlərin ortaq qatları maraqlandıracaq.
Tərif 1
Tam ədədlərin ümumi çoxluğu verilmiş bütün ədədlərin qatı olan tam ədəddir. Əslində, bu, verilmiş ədədlərdən hər hansı birinə bölünə bilən istənilən tam ədəddir.
Ümumi qatların tərifi iki, üç və ya daha çox tam ədədə aiddir.
Misal 1
12 rəqəmi üçün yuxarıda verilmiş tərifə görə, ümumi qatlar 3 və 2-dir. Həmçinin 12 rəqəmi 2, 3 və 4 rəqəmlərinin ümumi çoxluğu olacaq. 12 və -12 rəqəmləri ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 ədədlərinin ümumi qatlarıdır.
Eyni zamanda, 2 və 3 rəqəmləri üçün ümumi çoxluq 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 və hər hansı digər rəqəmlər olacaqdır.
Cütlüyün birinci sayına bölünən, ikinciyə bölünməyən ədədləri götürsək, belə ədədlər ortaq çarpanlar olmayacaq. Beləliklə, 2 və 3 ədədləri üçün 16 , − 27 , 5009 , 27001 ədədləri ortaq qatlar olmayacaq.
0 istənilən sıfırdan fərqli tam ədədlər dəstinin ümumi çoxluğudur.
ilə bağlı bölünmə xüsusiyyətini xatırlasaq əks nömrələr, onda belə çıxır ki, bəzi k tam ədədi k ədədi ilə eyni şəkildə bu ədədlərin ortaq qatı olacaqdır. Bu o deməkdir ki, ümumi bölənlər müsbət və ya mənfi ola bilər.
Bütün nömrələr üçün LCM tapmaq mümkündürmü?
Ümumi çoxluğu istənilən tam ədədlər üçün tapmaq olar.
Misal 2
Tutaq ki, bizə verilmişdir k tam ədədlər a 1 , a 2 , … , a k. Rəqəmlərin vurulması zamanı əldə etdiyimiz rəqəm a 1 a 2 … a k bölünmə xüsusiyyətinə görə, orijinal məhsula daxil olan amillərin hər birinə bölünəcəkdir. Bu ədədlərin məhsulu deməkdir a 1 , a 2 , … , a k bu ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğudur.
Bu tam ədədlərin neçə ümumi çoxluğu ola bilər?
Tam ədədlər qrupu ola bilər çoxlu saydaümumi qatlar. Əslində onların sayı sonsuzdur.
Misal 3
Tutaq ki, bizdə k ədədi var. Onda z-nin tam olduğu k · z ədədlərinin hasili k və z ədədlərinin ortaq qatı olacaqdır. Nəzərə alsaq ki, ədədlərin sayı sonsuzdur, onda ümumi çarpanların sayı sonsuzdur.
Ən Az Ümumi Çoxluq (LCM) - Tərif, Simvol və Nümunələr
Konsepsiyanı xatırlayaq ən kiçik rəqəm Tam ədədlərin müqayisəsi bölməsində nəzərdən keçirdiyimiz verilmiş ədədlər toplusundan. Bu anlayışı nəzərə alaraq, gəlin bütün ümumi qatlar arasında ən böyük praktik dəyəri olan ən kiçik ümumi çoxluğun tərifini formalaşdıraq.
Tərif 2
Verilmiş tam ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğu bu ədədlərin ən kiçik müsbət ümumi çoxluğudur.
Ən kiçik ümumi çoxluq verilmiş ədədlərin istənilən sayı üçün mövcuddur. NOK abreviaturası istinad ədəbiyyatında bir anlayışı ifadə etmək üçün ən çox istifadə olunan abreviaturadır. Rəqəmlər üçün Ən Az Ümumi Çoxluğun stenoqramı a 1 , a 2 , … , a k LCM kimi görünəcək (a 1 , a 2 , … , a k).
Misal 4
6 və 7-nin ən kiçik ümumi çoxluğu 42-dir. Bunlar. LCM(6, 7) = 42. Dörd ədədin ən kiçik ümumi çoxluğu - 2, 12, 15 və 3 60-a bərabər olacaq. Stenoqrafiya LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) = 60 olacaq.
Verilmiş ədədlərin bütün qrupları üçün deyil, ən kiçik ümumi çoxluq aydındır. Çox vaxt hesablamaq lazımdır.
MOK və NOD arasındakı əlaqə
Ən kiçik ümumi çox və ən böyük ortaq bölən əlaqəlidir. Anlayışlar arasındakı əlaqə teoremlə qurulur.
Teorem 1
İki müsbət tam ədədin ən kiçik ortaq qatı a və b ədədlərinin hasilinə bərabərdir a və b ədədlərinin ən böyük ortaq böləninə , yəni LCM (a , b) = a b: gcd (a) , b).
Sübut 1
Tutaq ki, a və b ədədlərinin çoxluğu olan bəzi M ədədimiz var. M ədədi a ilə bölünürsə, z tam ədədi də var , bunun altında bərabərlik M = a k. Bölünmənin tərifinə görə, əgər M ilə də bölünürsə b, sonra a k bölünür b.
Əgər gcd (a , b) kimi yeni qeyd təqdim etsək d, onda biz bərabərliklərdən istifadə edə bilərik a = a 1 d və b = b 1 · d . Bu halda hər iki bərabərlik ümumi ədədlər olacaqdır.
Biz artıq bunu yuxarıda müəyyən etmişik a k bölünür b. İndi bu şərti belə yazmaq olar:
a 1 d k bölünür b 1 d, bu şərtə bərabərdir a 1 k bölünür b 1 bölünmə xüsusiyyətlərinə görə.
Nisbətən sadə ədədlərin xassəsinə görə, əgər a 1 və b 1- qarşılıqlı sadə ədədlər, a 1 ilə bölünmür b 1 baxmayaraq ki a 1 k bölünür b 1, sonra b 1 paylaşmalıdır k.
Bu halda bir ədədin olduğunu güman etmək düzgün olardı t, hansı üçün k = b 1 t, və o vaxtdan bəri b1=b:d, sonra k = b: d t.
İndi əvəzinə k bərabərliyə qoyun M = a k formanın ifadəsi b: d t. Bu bizə bərabərliyə gəlməyə imkan verir M = a b: d t. At t=1 a və b-nin ən kiçik müsbət ortaq qatını ala bilərik , bərabərdir a b: d, bir şərtlə ki, a və b rəqəmləri müsbət.
Beləliklə, biz sübut etdik ki, LCM (a , b) = a b: GCD (a,b).
LCM və GCD arasında əlaqə yaratmaq iki və ya daha çox verilmiş ədədin ən böyük ümumi bölənindən ən kiçik ümumi çoxluğu tapmağa imkan verir.
Tərif 3
Teorem iki mühüm nəticəyə malikdir:
- iki ədədin ən kiçik ortaq qatının qatları bu iki ədədin ümumi çarpanları ilə eynidir;
- a və b ümumi müsbət ədədlərinin ən kiçik ümumi çoxluğu onların hasilinə bərabərdir.
Bu iki faktı əsaslandırmaq çətin deyil. M ədədlərinin a və b hər hansı ümumi çoxluğu bəzi t tam dəyəri üçün M = LCM (a, b) t bərabərliyi ilə müəyyən edilir. a və b müştərək olduğundan, gcd (a, b) = 1, deməli, LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.
Üç və ya daha çox ədədin ən kiçik ümumi çoxluğu
Bir neçə ədədin ən kiçik ümumi qatını tapmaq üçün ardıcıl olaraq iki ədədin LCM-ni tapmalısınız.
Teorem 2
Belə iddia edək a 1 , a 2 , … , a k bəzi tam ədədlərdir müsbət ədədlər. LCM hesablamaq üçün m k Bu ədədləri ardıcıl olaraq hesablamalıyıq m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .
Sübut 2
Bu mövzuda müzakirə olunan birinci teoremin birinci nəticəsi ikinci teoremin düzgünlüyünü sübut etməyə kömək edəcəkdir. Əsaslandırma aşağıdakı alqoritmə uyğun qurulur:
- ədədlərin ümumi qatları a 1 və a 2 onların LCM qatları ilə üst-üstə düşür, əslində, onlar ədədin qatları ilə üst-üstə düşür m2;
- ədədlərin ümumi qatları a 1, a 2 və a 3 m2 və a 3 m 3;
- ədədlərin ümumi qatları a 1 , a 2 , … , a kədədlərin ümumi qatları ilə üst-üstə düşür m k - 1 və a k, buna görə də ədədin qatları ilə üst-üstə düşür m k;
- ədədin ən kiçik müsbət qatının olması ilə əlaqədardır m k nömrənin özüdür m k, sonra ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğu a 1 , a 2 , … , a k birdir m k.
Beləliklə, teoremi sübut etdik.
Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
Ən kiçik ümumi çoxluğu (LCM) və ən böyük ümumi bölücünü (GCD) tapmaq natural ədədlər.2 |
5 |
||||||
2 |
5 |
||||||
3 |
3 |
||||||
5 |
|||||||
60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Bu ədədlərin birincisinin genişlənməsinə daxil olan amilləri yazırıq və onlara ikinci ədədin genişlənməsindən çatışmayan 5 əmsalı əlavə edirik. Alırıq: 2*2*3*5*5=300. Tapılan NOC, yəni. bu cəm = 300. Ölçüsü unutmayın və cavabı yazın:
Cavab: Ana hər biri 300 rubl verir.
GCD tərifi:Ən Böyük Ümumi Bölən (GCD) natural ədədlər a və inən böyük natural ədədi adlandırın c, hansı və a, və b qalıqsız bölünür. Bunlar. c və üçün ən kiçik natural ədəddir a və b qatlardır.
Xatırlatma: Natural ədədlərin tərifinə iki yanaşma var
- istifadə olunan nömrələr: maddələrin sadalanması (nömrələnməsi) (birinci, ikinci, üçüncü, ...); - adətən məktəblərdə.
- maddələrin sayını göstərən (pokemon yoxdur - sıfır, bir pokemon, iki pokemon, ...).
Mənfi və tam olmayan (rasional, həqiqi, ...) ədədlər təbii deyil. Bəzi müəlliflər natural ədədlər çoxluğuna sıfırı daxil edir, digərləri isə yox. Bütün natural ədədlərin çoxluğu adətən simvolla işarələnir N
Xatırlatma: Natural ədədin bölməsi a nömrəyə zəng edin b, hansına a qalıqsız bölünür. Natural ədədlərin çoxluğu b natural ədəd adlanır a ilə bölünür b izsiz. Əgər nömrə b- ədəd bölən a, sonra açoxlu b. Misal: 2 4-ün bölənidir, 4 isə 2-nin qatıdır. 3 12-nin bölənidir, 12 isə 3-ün qatıdır.
Xatırlatma: Natural ədədlər yalnız özlərinə və 1-ə qalıqsız bölünürlərsə sadə adlanırlar. Koprime yalnız bir ümumi bölən 1-ə bərabər olan ədədlərdir.
Ümumi halda GCD-nin necə tapılacağının tərifi: GCD (Ən Böyük Ümumi Bölən) tapmaq üçün Bir neçə natural ədəd lazımdır:
1) Onları əsas amillərə ayırın. (Əsas Nömrə Qrafiki bunun üçün çox faydalı ola bilər.)
2) Onlardan birinin genişlənməsinə daxil olan amilləri yazın.
3) Qalan nömrələrin genişləndirilməsinə daxil olmayanları silin.
4) 3-cü bənddə alınan amilləri çoxaltın).
Tapşırıq 2 (NOK): Yeni ilə qədər Kolya Puzatov şəhərdə 48 hamster və 36 qəhvə qabı alıb. Fekla Dormidontovaya, sinfin ən dürüst qızı olaraq, bu əmlakı mümkün olan ən böyük rəqəmə bölmək tapşırığı verildi. hədiyyə dəstləri müəllimlər üçün. Dəstlərin sayı nə qədərdir? Dəstlərin tərkibi nədir?
Misal 2.1. GCD-nin tapılması probleminin həlli. Seçim yolu ilə GCD-nin tapılması.
Qərar: 48 və 36 rəqəmlərinin hər biri hədiyyələrin sayına bölünməlidir.
1) 48-in bölənlərini yazın: 48, 24, 16, 12
, 8, 6, 3, 2, 1
2) 36-nın bölənlərini yazın: 36, 18, 12
, 9, 6, 3, 2, 1 Ən böyük ortaq bölən seçin. Op-la-la! Tapıldı, bu 12 ədəd dəst sayıdır.
3) 48-i 12-yə bölün, 4-ü alarıq, 36-nı 12-yə bölün, 3-ü alarıq. Ölçüsü unutmayın və cavabı yazın:
Cavab: Hər dəstdə 12 dəst 4 hamster və 3 qəhvə qabı alacaqsınız.
Ən Böyük Ümumi Bölən
Tərif 2
Əgər a natural ədədi $b$ natural ədədinə bölünürsə, o zaman $b$ $a$-ın, $a$ ədədi isə $b$-ın qatı adlanır.
$a$ və $b$ natural ədədlər olsun. $c$ ədədi həm $a$, həm də $b$ üçün ümumi bölən adlanır.
$a$ və $b$ ədədlərinin ümumi bölənləri çoxluğu sonludur, çünki bu bölənlərin heç biri $a$-dan böyük ola bilməz. Bu o deməkdir ki, bu bölənlər arasında ən böyüyü var, o, $a$ və $b$ ədədlərinin ən böyük ortaq bölməsi adlanır və onu işarələmək üçün qeyddən istifadə olunur:
$gcd \ (a;b) \ veya \ D \ (a;b)$
İki ədədin ən böyük ortaq bölənini tapmaq üçün:
- 2-ci addımda tapılan ədədlərin hasilini tapın. Nəticə çıxan ədəd istədiyiniz ən böyük ümumi bölən olacaq.
Misal 1
$121$ və $132.$ rəqəmlərinin gcd-ni tapın
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Bu nömrələrin genişləndirilməsinə daxil olan nömrələri seçin
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
2-ci addımda tapılan ədədlərin hasilini tapın. Nəticə çıxan ədəd istədiyiniz ən böyük ümumi bölən olacaq.
$gcd=2\cdot 11=22$
Misal 2
$63$ və $81$ monomialların GCD-ni tapın.
Təqdim olunan alqoritmə uyğun olaraq tapacağıq. Bunun üçün:
Gəlin ədədləri sadə amillərə ayıraq
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Bu nömrələrin genişləndirilməsinə daxil olan nömrələri seçirik
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
2-ci addımda tapılan ədədlərin hasilini tapaq. Nəticə alınan ədəd istənilən ən böyük ümumi bölən olacaq.
$gcd=3\cdot 3=9$
Siz ədədlərin bölənlər dəstindən istifadə edərək, iki ədədin GCD-ni başqa şəkildə tapa bilərsiniz.
Misal 3
$48$ və $60$ rəqəmlərinin gcd-ni tapın.
Qərar:
$48$-ın bölənlər çoxluğunu tapın: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
İndi $60$-ın bölənlər çoxluğunu tapaq:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Bu çoxluqların kəsişməsini tapaq: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - bu çoxluq $48$ və $60 ədədlərinin ümumi bölənlər çoxluğunu müəyyən edəcək. $. Bu dəstdə ən böyük element $12$ olacaq. Beləliklə, $48$ və $60$-ın ən böyük ortaq bölənləri $12$-dır.
NOC-un tərifi
Tərif 3
natural ədədlərin ümumi çoxluğu$a$ və $b$ həm $a$, həm də $b$-ın qatına bərabər olan natural ədəddir.
Ədədlərin ümumi qatları orijinala qalıqsız bölünən ədədlərdir. Məsələn, $25$ və $50$ ədədləri üçün ümumi qatlar $50,100,150,200$ və s.
Ən kiçik ümumi çoxluq ən kiçik ümumi çoxluq adlanacaq və LCM$(a;b)$ və ya K$(a;b) ilə işarələnəcək.$
İki ədədin LCM-ni tapmaq üçün sizə lazımdır:
- Ədədləri sadə amillərə parçalayın
- Birinci ədədə daxil olan amilləri yazın və onlara ikincinin bir hissəsi olan və birinciyə getməyən amilləri əlavə edin.
Misal 4
$99$ və $77$ rəqəmlərinin LCM-ni tapın.
Təqdim olunan alqoritmə uyğun olaraq tapacağıq. Bunun üçün
Ədədləri sadə amillərə parçalayın
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Birinciyə daxil olan amilləri yazın
onlara ikincinin bir hissəsi olan və birinciyə getməyən amilləri əlavə edin
2-ci addımda tapılan ədədlərin hasilini tapın. Nəticə alınan ədəd istənilən ən kiçik ümumi çoxluq olacaq
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Rəqəmlərin bölənlərinin siyahısını tərtib etmək çox vaxt çox vaxt aparır. GCD-ni tapmaq üçün Evklid alqoritmi adlanan bir yol var.
Evklidin alqoritminin əsaslandığı ifadələr:
Əgər $a$ və $b$ natural ədədlərdirsə və $a\vdots b$, onda $D(a;b)=b$
Əgər $a$ və $b$ natural ədədlərdirsə, $b
$D(a;b)= D(a-b;b)$ istifadə edərək, biri digərinə bölünən ədədlər cütünə çatana qədər nəzərdən keçirilən ədədləri ardıcıl olaraq azalda bilərik. Onda bu ədədlərdən kiçik olanı $a$ və $b$ ədədləri üçün arzu olunan ən böyük ümumi bölən olacaq.
GCD və LCM xüsusiyyətləri
- $a$ və $b$-ın istənilən ümumi çoxluğu K$(a;b)$-a bölünür
- Əgər $a\vdots b$ , onda K$(a;b)=a$
Əgər K$(a;b)=k$ və $m$-təbii ədəddirsə, onda K$(am;bm)=km$
Əgər $d$ $a$ və $b$ üçün ümumi böləndirsə, K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $
Əgər $a\vdots c$ və $b\vdots c$ , onda $\frac(ab)(c)$ $a$ və $b$-ın ümumi çoxluğudur.
Hər hansı $a$ və $b$ natural ədədləri üçün bərabərlik
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
$a$ və $b$-ın hər hansı ümumi bölməsi $D(a;b)$-ın bölənidir.
Aşağıda təqdim olunan material LCM başlığı altındakı məqalədən nəzəriyyənin məntiqi davamıdır - ən az ümumi çoxluq, tərif, nümunələr, LCM və GCD arasındakı əlaqə. Burada biz danışacağıq ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaq (LCM), və Xüsusi diqqət Nümunələrə nəzər salaq. Əvvəlcə iki ədədin LCM-nin bu ədədlərin GCD baxımından necə hesablandığını göstərək. Sonra, ədədləri sadə amillərə ayıraraq ən kiçik ümumi çoxluğu tapmağı düşünün. Bundan sonra biz üç və LCM-ni tapmağa diqqət edəcəyik daha çoxədədlər, həmçinin mənfi ədədlərin LCM-nin hesablanmasına diqqət yetirin.
Səhifə naviqasiyası.
gcd vasitəsilə ən kiçik ümumi çoxluğun (LCM) hesablanması
Ən az ümumi çoxluğu tapmağın bir yolu LCM və GCD arasındakı əlaqəyə əsaslanır. LCM və GCD arasındakı mövcud əlaqə məlum ən böyük ümumi bölən vasitəsilə iki müsbət tam ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu hesablamağa imkan verir. Müvafiq formulun forması var LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Yuxarıdakı düstura görə LCM-nin tapılmasına dair nümunələri nəzərdən keçirin.
Misal.
126 və 70 iki ədədinin ən kiçik ortaq qatını tapın.
Qərar.
Bu misalda a=126, b=70. Düsturla ifadə olunan LCM və GCD arasındakı əlaqədən istifadə edək LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Yəni, əvvəlcə 70 və 126 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini tapmalıyıq, bundan sonra yazılı düsturla bu ədədlərin LCM-ni hesablaya bilərik.
Evklidin alqoritmindən istifadə edərək gcd(126, 70) tapın: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , deməli gcd(126, 70)=14 .
İndi tələb olunan ən kiçik ümumi çoxluğu tapırıq: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .
Cavab:
LCM(126, 70)=630 .
Misal.
LCM(68, 34) nədir?
Qərar.
kimi 68 34-ə bərabər bölünür, onda gcd(68, 34)=34 . İndi ən kiçik ümumi çoxluğu hesablayırıq: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .
Cavab:
LCM(68, 34)=68 .
Qeyd edək ki, əvvəlki misal a və b müsbət tam ədədləri üçün LCM-i tapmaq üçün aşağıdakı qaydaya uyğundur: əgər a sayı b-yə bölünürsə, bu ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğu a-dır.
Nömrələri əsas faktorlara ayırmaqla LCM-nin tapılması
Ən kiçik ümumi çoxluğu tapmağın başqa bir yolu ədədləri sadə amillərə ayırmağa əsaslanır. Bu ədədlərin bütün sadə amillərinin hasilini düzəltsək, bundan sonra bu ədədlərin genişlənmələrində mövcud olan bütün ümumi sadə amilləri bu hasildən çıxarsaq, nəticədə alınan məhsul bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatına bərabər olacaqdır.
LCM-i tapmaq üçün elan edilmiş qayda bərabərlikdən irəli gəlir LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Həqiqətən, a və b ədədlərinin hasili a və b ədədlərinin genişlənməsində iştirak edən bütün amillərin hasilinə bərabərdir. Öz növbəsində, gcd(a, b) a və b ədədlərinin genişlənmələrində eyni vaxtda mövcud olan bütün sadə amillərin hasilinə bərabərdir (bu, ədədlərin sadə amillərə parçalanmasından istifadə edərək gcd-nin tapılması bölməsində təsvir edilmişdir. ).
Bir misal götürək. Bilək ki, 75=3 5 5 və 210=2 3 5 7 . Bu genişlənmələrin bütün amillərinin hasilini tərtib edin: 2 3 3 5 5 5 7 . İndi biz bu məhsuldan həm 75 rəqəminin genişlənməsində, həm də 210 rəqəminin genişlənməsində mövcud olan bütün amilləri xaric edirik (belə amillər 3 və 5), onda məhsul 2 3 5 5 7 formasını alacaq. Bu məhsulun dəyəri 75 və 210 rəqəmlərinin ən kiçik ümumi qatına bərabərdir, yəni LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Misal.
441 və 700 ədədlərini sadə amillərə ayırdıqdan sonra bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatını tapın.
Qərar.
441 və 700 ədədlərini sadə amillərə ayıraq:
441=3 3 7 7 və 700=2 2 5 5 7 alırıq.
İndi bu ədədlərin genişləndirilməsində iştirak edən bütün amillərin hasilini çıxaraq: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Gəlin bu məhsuldan hər iki genişlənmədə eyni vaxtda mövcud olan bütün amilləri istisna edək (yalnız bir belə amil var - bu 7 rəqəmidir): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Beləliklə, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
Cavab:
LCM(441, 700)= 44 100 .
Ədədlərin əsas amillərə parçalanmasından istifadə edərək LCM-nin tapılması qaydası bir az fərqli şəkildə tərtib edilə bilər. Əgər b ədədinin genişlənməsindən əskik olan amilləri a ədədinin parçalanmasından gələn amillərə əlavə etsək, nəticədə alınan məhsulun qiyməti a və b ədədlərinin ən kiçik ümumi qatına bərabər olacaqdır..
Məsələn, bütün eyni 75 və 210 ədədlərini götürək, onların sadə amillərə genişlənməsi aşağıdakı kimidir: 75=3 5 5 və 210=2 3 5 7 . 75 rəqəminin genişlənməsindən 3, 5 və 5 faktorlarına 210 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 2 və 7 əmsallarını əlavə edirik, dəyəri LCM(75) olan 2 3 5 5 7 hasilini alırıq. , 210).
Misal.
84 və 648 ədədlərinin ən kiçik ortaq qatını tapın.
Qərar.
Əvvəlcə 84 və 648 ədədlərinin sadə amillərə parçalanmasını alırıq. Onlar 84=2 2 3 7 və 648=2 2 2 3 3 3 3 kimi görünürlər. 84 rəqəminin genişlənməsindən 2, 2, 3 və 7 faktorlarına 648 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 2, 3, 3 və 3 əmsallarını əlavə edirik, hasilini 2 2 2 3 3 3 3 7 alırıq, bu da 4 536-ya bərabərdir. Beləliklə, 84 və 648 rəqəmlərinin arzu olunan ən kiçik ümumi çoxluğu 4 536-dır.
Cavab:
LCM(84, 648)=4 536 .
Üç və ya daha çox rəqəmin LCM-nin tapılması
Üç və ya daha çox ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu iki ədədin LCM-ni ardıcıl olaraq tapmaqla tapmaq olar. Üç və ya daha çox ədədin LCM-ni tapmaq üçün bir yol verən müvafiq teoremi xatırlayın.
teorem.
a 1 , a 2 , …, a k müsbət tam ədədləri verilsin, bu ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğu m k ardıcıl hesablamada tapılır m 2 = LCM (a 1, a 2) , m 3 = LCM (m 2, a) 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Dörd ədədin ən kiçik ortaq qatının tapılması nümunəsində bu teoremin tətbiqini nəzərdən keçirək.
Misal.
140, 9, 54 və 250 dörd ədədinin LCM-ni tapın.
Qərar.
Bu misalda a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .
Əvvəlcə tapırıq m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Bunun üçün Evklid alqoritmindən istifadə edərək gcd(140, 9) , 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , buna görə də gcd( 140, 9)=1 , haradandır LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Yəni m 2 =1 260 .
İndi tapırıq m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Onu GCD(1 260, 54) vasitəsilə hesablayaq ki, bu da Evklid alqoritmi ilə müəyyən edilir: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Onda gcd(1 260, 54)=18 , buradan LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Yəni m 3 \u003d 3 780.
Tapmaq üçün sol m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Bunun üçün Evklid alqoritmindən istifadə edərək GCD(3 780, 250) tapırıq: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Buna görə gcd(3 780, 250)=10 , buradan gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Yəni m 4 \u003d 94 500.
Beləliklə, orijinal dörd ədədin ən kiçik ümumi çoxluğu 94.500-dür.
Cavab:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
Bir çox hallarda üç və ya daha çox ədədin ən kiçik ümumi çoxluğu verilmiş ədədlərin sadə faktorizasiyasından istifadə etməklə tapılır. Eyni zamanda, riayət etmək lazımdır növbəti qayda. Bir neçə ədədin ən kiçik ortaq qatı hasilinə bərabərdir ki, o, aşağıdakı kimi tərtib olunur: ikinci ədədin genişlənməsinin çatışmayan amilləri birinci ədədin genişlənməsindən bütün amillərə, genişlənməsindən çatışmayan amillərə əlavə olunur. üçüncü rəqəm alınan amillərə əlavə edilir və s.
Ədədlərin sadə amillərə parçalanmasından istifadə edərək ən kiçik ümumi çoxluğun tapılması nümunəsini nəzərdən keçirin.
Misal.
Beş ədədin ən kiçik ortaq qatını tapın 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Qərar.
Əvvəlcə bu ədədlərin sadə çarpanlara genişlənməsini alırıq: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 sadə amillər) və 143=11 13 .
Bu ədədlərin LCM-ni tapmaq üçün birinci 84 rəqəminin (onlar 2, 2, 3 və 7-dir) amillərinə ikinci 6 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan amilləri əlavə etmək lazımdır. 6 rəqəminin genişlənməsi çatışmayan amilləri ehtiva etmir, çünki həm 2, həm də 3 ilk rəqəmin 84 genişlənməsində artıq mövcuddur. 2, 2, 3 və 7 faktorlarına əlavə olaraq üçüncü rəqəmin 48 genişlənməsindən çatışmayan 2 və 2 əmsallarını əlavə edirik, 2, 2, 2, 2, 3 və 7 amillər toplusunu alırıq. Növbəti addımda bu dəstəyə faktorlar əlavə etməyə ehtiyac yoxdur, çünki 7 artıq onun tərkibindədir. Nəhayət, 2 , 2 , 2 , 2 , 3 və 7 amillərinə 143 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 11 və 13 əmsallarını əlavə edirik. 2 2 2 2 3 7 11 13 hasilini alırıq ki, bu da 48 048-ə bərabərdir.
