Koni. Frustum

Sipërfaqe konike quhet sipërfaqja e formuar nga të gjitha vijat e drejta që kalojnë nëpër secilën pikë të lakores së dhënë dhe një pikë jashtë lakores (Fig. 32).

Kjo kurbë quhet udhërrëfyes , direkt - duke gjeneruar , pika - samiti sipërfaqe konike.

Sipërfaqe e drejtë rrethore konike quhet sipërfaqja e formuar nga të gjitha drejtëzat që kalojnë nëpër secilën pikë të rrethit të dhënë dhe një pikë e drejtëzës që është pingul me rrafshin e rrethit dhe kalon nga qendra e tij. Në vijim, kjo sipërfaqe do të referohet shkurtimisht si sipërfaqe konike (fig.33).

kon (kon rrethor i drejtë ) quhet trupi gjeometrik i kufizuar nga një sipërfaqe konike dhe një rrafsh që është paralel me rrafshin e rrethit drejtues (Fig. 34).

Oriz. 32 Fig. 33 Fig. 34

Një kon mund të konsiderohet si një trup i marrë duke rrotulluar një trekëndësh kënddrejtë rreth një boshti që përmban njërën nga këmbët e trekëndëshit.

Rrethi që kufizon konin quhet bazë . Kulmi i sipërfaqes konike quhet samiti kon. Segmenti i linjës që lidh majën e një koni me qendrën e bazës së tij quhet i gjatë kon. Segmentet që formojnë një sipërfaqe konike quhen duke gjeneruar kon. boshti e një koni është një vijë e drejtë që kalon nga kulmi i konit dhe qendra e bazës së tij. Seksioni boshtor quhet seksioni që kalon nëpër boshtin e konit. Zhvillimi i sipërfaqes anësore kon quhet sektor rrezja e të cilit e barabartë me gjatësinë gjenerata e konit, dhe gjatësia e harkut të sektorit është e barabartë me perimetrin e bazës së konit.

Për një kon, formulat e mëposhtme janë të vërteta:

ku Rështë rrezja e bazës;

H- lartësia;

l- gjatësia e gjeneratorit;

S kryesore- zona e bazës;

Ana S

S plot

Vështë vëllimi i konit.

kon i cunguar quhet pjesa e konit e mbyllur ndërmjet bazës dhe rrafshit prerës paralel me bazën e konit (Fig. 35).

Një kon i cunguar mund të konsiderohet si një trup i marrë nga rrotullimi trapez drejtkëndor rreth një boshti që përmban anën e trapezit pingul me bazat.

Dy rrathët që lidhin kon quhen të saj bazat . Lartësia e një koni të cunguar është distanca midis bazave të tij. Segmentet që formojnë sipërfaqen konike të një koni të cunguar quhen duke gjeneruar . Vija e drejtë që kalon nëpër qendrat e bazave quhet boshti kon i cunguar. Seksioni boshtor quhet seksioni që kalon nëpër boshtin e konit të cunguar.

Për një kon të cunguar, formulat e mëposhtme janë të vërteta:

(8)

ku Rështë rrezja e bazës së poshtme;

rështë rrezja e bazës së sipërme;

Hështë lartësia, l është gjatësia e gjeneratorit;

Ana Sështë sipërfaqja anësore;

S plotështë sipërfaqja e përgjithshme;

Vështë vëllimi i konit të cunguar.

Shembulli 1 Seksioni i konit paralel me bazën e ndan lartësinë në një raport 1:3, duke llogaritur nga lart. Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një koni të cunguar nëse rrezja e bazës dhe lartësia e konit janë 9 cm dhe 12 cm.

Vendimi. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 36).

Për të llogaritur sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një koni të cunguar, ne përdorim formulën (8). Gjeni rrezet e bazave Rreth 1 A dhe Rreth 1 V dhe duke gjeneruar AB.

Konsideroni trekëndësha të ngjashëm SO 2 B dhe SO 1A, koeficienti i ngjashmërisë , atëherë

Nga këtu

Që atëherë

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një koni të cunguar është e barabartë me:

Përgjigje: .

Shembulli 2. Një çerek rrethi i rrezes është palosur në një sipërfaqe konike. Gjeni rrezen e bazës dhe lartësinë e konit.

Vendimi. Katërfishi i një rrethi është një zhvillim i sipërfaqes anësore të konit. Shënoni rështë rrezja e bazës së saj, H- lartësia. Sipërfaqja anësore llogaritet me formulën: . Është e barabartë me sipërfaqen e një çerek rrethi: . Marrim një ekuacion me dy të panjohura r dhe l(gjenerator i një koni). Në këtë rast, gjeneratori është i barabartë me rrezen e një çerek rrethi R, pra marrim ekuacionin e mëposhtëm: , prej nga duke ditur rrezen e bazës dhe gjeneratrit, gjejmë lartësinë e konit:

Përgjigje: 2 cm,.

Shembulli 3 Trapez drejtkëndor me kënd akut 45 O, me një bazë më të vogël 3 cm dhe një anë të pjerrët të barabartë me , rrotullohet rreth anës pingul me bazat. Gjeni vëllimin e trupit të fituar të rrotullimit.

Vendimi. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 37).

Si rezultat i rrotullimit, marrim një kon të cunguar; për të gjetur vëllimin e tij, ne llogarisim rrezen e bazës më të madhe dhe lartësinë. në një trapez O 1 O 2 AB ne do të shpenzojmë AC^O 1 B. Në kemi: pra ky trekëndësh është dykëndësh AC=para Krishtit\u003d 3 cm.

Përgjigje:

Shembulli 4 Një trekëndësh me brinjë 13 cm, 37 cm dhe 40 cm rrotullohet rreth një boshti të jashtëm që është paralel me anën më të madhe dhe është 3 cm larg tij (boshti ndodhet në rrafshin e trekëndëshit). Gjeni sipërfaqen e trupit që rezulton i rrotullimit.

Vendimi . Le të bëjmë një vizatim (Fig. 38).

Sipërfaqja e trupit që rezulton i rrotullimit përbëhet nga sipërfaqet anësore të dy koneve të cunguara dhe nga sipërfaqja anësore e cilindrit. Për të llogaritur këto zona, është e nevojshme të njihen rrezet e bazave të konëve dhe cilindrit ( BËHET dhe OC) duke formuar kone ( para Krishtit dhe AC) dhe lartësia e cilindrit ( AB). E panjohura është vetëm CO. është distanca nga ana e trekëndëshit deri te boshti i rrotullimit. Le të gjejmë DC. Sipërfaqja e trekëndëshit ABC në njërën anë është e barabartë me produktin e gjysmës së brinjës AB dhe lartësisë së tërhequr drejt saj DC, nga ana tjetër, duke ditur të gjitha anët e trekëndëshit, ne llogarisim sipërfaqen e tij duke përdorur formulën e Heronit.

- kjo është një pjesë e një koni, e kufizuar midis dy bazave paralele pingul me boshtin e tij të simetrisë.Bazat e konit janë rrathë gjeometrikë.

Një kon i cunguar mund të merret duke rrotulluar një trapez drejtkëndor rreth anës së tij, që është lartësia e tij. Kufiri i konit është një rreth me rreze R, një rreth me rreze r dhe sipërfaqja anësore e konit. Sipërfaqja anësore e konit përshkruan anën anësore të trapezit gjatë rrotullimit të tij.

Zona e sipërfaqes anësore të një koni të cunguar përmes udhëzuesit dhe rrezeve të bazave të tij

Gjatë gjetjes së zonës sipërfaqe anësore e një koni të cunguar, është më e leverdishme ta konsiderojmë atë si ndryshim midis sipërfaqes anësore të konit dhe sipërfaqes anësore të konit të cunguar.

Le të shkëputet koni A`MB` nga koni i dhënë AMB. Nevoja për të llogaritur zona anësore kon i cunguar AA`B`B . Dihet se rrezet e bazave të saj janë AO=R, A`O` =r, gjenerata është e barabartë me L. Le ta shënojmë MB` si x. Atëherë sipërfaqja anësore e konit A`MB` do të jetë e barabartë me πrx. Dhe sipërfaqja anësore e konit AMB do të jetë e barabartë me πR(L+x).
Atëherë sipërfaqja anësore e konit të cunguar AA`B`B mund të shprehet në termat e ndryshimit midis sipërfaqes anësore të konit AMB dhe konit A`MB`:

Trekëndëshat OMB dhe O`MB` janë të ngjashëm për sa i përket barazisë së këndeve ∠(MOB) = ∠(MO`B`) dhe ∠(OMB) = ∠(O`MB`) . Nga ngjashmëria e këtyre trekëndëshave vijon:
Le të përdorim proporcionin e derivatit. Ne kemi:
Nga këtu gjejmë x:
Duke e zëvendësuar këtë shprehje në formulën për sipërfaqen anësore, kemi:
Kështu, sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një koni të cunguar është e barabartë me produktin e numrit π dhe udhëzuesit të tij dhe shumën e rrezeve të bazave të tij.

Një shembull i llogaritjes së sipërfaqes së sipërfaqes anësore të një koni të cunguar, nëse dihet rrezja dhe gjenerata e tij
Rrezja e bazës më të madhe, gjenerata dhe lartësia e konit të cunguar janë përkatësisht 7, 5 dhe 4 cm. Gjeni zonën e sipërfaqes anësore të konit.
Seksioni boshtor i një koni të cunguar është trapezoid isosceles, me bazament 2R dhe 2r . Gjenerata e konit të cunguar, që është ana anësore e trapezit, lartësia, pubescent në bazën e madhe dhe ndryshimi në rrezet e bazës së konit të cunguar, formojnë trekëndëshin egjiptian. Kjo është trekëndësh kënddrejtë me një raport pamjeje 3:4:5. Sipas gjendjes së problemit, gjeneratori është i barabartë me 5, dhe lartësia është 4, atëherë ndryshimi në rrezet e bazës së konit të cunguar do të jetë i barabartë me 3.
Ne kemi:
L=5
R=7
R=4
Formula për sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një koni të cunguar është si më poshtë:

Duke zëvendësuar vlerat, kemi:

Zona e sipërfaqes anësore të konit të cunguar përmes udhëzuesit dhe rrezes mesatare

Rrezja mesatare e një koni të cunguar është e barabartë me gjysmën e shumës së rrezeve të bazave të tij:


Atëherë formula për sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një koni të cunguar mund të përfaqësohet si më poshtë:

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një koni të cunguar është e barabartë me produktin e perimetrit të seksionit mesatar dhe gjeneratorit të tij.

Zonat e sipërfaqes anësore të një koni të cunguar përmes rrezeve të bazës së tij dhe këndit të prirjes së gjeneratorit në rrafshin e bazës

Nëse baza më e vogël është projektuar në mënyrë ortogonale mbi bazën më të madhe, atëherë projeksioni i sipërfaqes anësore të konit të cunguar do të duket si një unazë, sipërfaqja e së cilës llogaritet me formulën:

Pastaj:

Zonat e sipërfaqes anësore të një koni të cunguar sipas Arkimedit

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një koni të cunguar është e barabartë me sipërfaqen e një rrethi të tillë, rrezja e të cilit është proporcionaliteti mesatar midis gjeneratorit dhe shumës së rrezeve të bazave të tij.

Sipërfaqja e plotë e një koni të cunguar

Sipërfaqja totale e një koni është shuma e sipërfaqes së sipërfaqes së saj anësore dhe sipërfaqes së bazave të konit:

Bazat e konit janë rrathë me rreze R dhe r. Sipërfaqja e tyre është e barabartë me prodhimin e numrit me katrorin e rrezes së tyre:


Sipërfaqja anësore llogaritet me formulën:

Atëherë sipërfaqja totale e konit të cunguar është:

Formula duket si kjo:

Një shembull i llogaritjes së sipërfaqes totale të një koni të cunguar nëse dihet rrezja dhe gjenerata e tij
Rrezja e bazës së konit të cunguar është 1 dhe 7 dm, dhe diagonalet e seksionit boshtor janë reciprokisht pingul. Gjeni sipërfaqen totale të konit të cunguar
Seksioni boshtor i një koni të cunguar është një trapez izoscelular, me baza 2R dhe 2r. Kjo do të thotë, bazat e trapezit janë përkatësisht 2 dhe 14 dm. Meqenëse diagonalet e një trapezi janë reciproke pingule, lartësia është gjysma e shumës së bazave të tij. Pastaj:

Gjenerata e konit të cunguar, e cila është ana anësore e trapezit, lartësia, pubescent në bazën e madhe dhe ndryshimi në rrezet e bazës së konit të cunguar, formojnë një trekëndësh kënddrejtë.
Nga teorema e Pitagorës, gjejmë gjeneratën e një koni të cunguar:

Formula për sipërfaqen totale të një koni të cunguar është:

Duke zëvendësuar vlerat nga gjendja e problemit dhe vlerat e gjetura, kemi:

Formulat e vëllimit

Piramida e cunguar ose kon - kjo është pjesa që mbetet pas prerjes së majës me një rrafsh paralel me bazën.

Vëllimi i një piramide të cunguar ose koneështë e barabartë me vëllimin e të gjithë piramidës ose konit minus vëllimin e kulmit të cunguar.

Sipërfaqja anësore e një piramide të cunguar ose kone e barabartë me sipërfaqen e një piramide ose koni të tërë. minus sipërfaqen anësore të kulmit të prerë. Nëse keni nevojë për të gjetur Sipërfaqja e përgjithshme figura e cunguar, atëherë zona e dy bazave paralele i shtohet zonës së sipërfaqes anësore.

Ekziston një metodë tjetër për përcaktimin e vëllimit dhe sipërfaqes së një koni të cunguar:

V=1/3 π h(R 2 +Rr+r 2),

sipërfaqja anësore e një koni S=πl(R+r),

sipërfaqe totale S o \u003d π l (R + r) + πr 2 + πR 2

Shembull 1. Përcaktimi i zonës së nevojshme për prodhimin e materialit për abazhurin. (Llogaritja e sipërfaqes së sipërfaqes anësore të konit).

Abazhuri ka formën e një koni të cunguar. Lartësia e abazhurit është 50 cm, diametri i poshtëm dhe i sipërm janë përkatësisht 40 dhe 20 cm.

Përcaktoni brenda 3x shifra të rëndësishme zona e materialit të nevojshëm për të bërë abazhurin.

Siç përkufizohet më sipër, sipërfaqja anësore e një koni të cunguar S=πl(R+r).

Meqenëse diametrat e sipërm dhe të poshtëm të konit të cunguar janë 40 dhe 20 cm, nga Fig. sipër gjejmë r=10 cm, R=20 cm dhe

l \u003d (50 2 +10 2) 1/2 \u003d 50,99 sipas teoremës së Pitagorës,

Prandaj, zona e sipërfaqes anësore të konit është S \u003d π 50,99 (20 + 10) \u003d 4803,258 cm 2, d.m.th. sipërfaqja e materialit të kërkuar për prodhimin e abazhurit është e barabartë me 4800 cm2 saktë në 3 shifra të rëndësishme, megjithëse, sigurisht, sa material do të marrë në të vërtetë varet nga prerja.

Shembulli 2. Përcaktimi i vëllimit të një cilindri të kurorëzuar me një kon të cunguar.

Kulla e ftohjes ka formën e një cilindri të mbuluar me një kon të cunguar, siç tregohet në Fig. më poshtë. Përcaktoni vëllimin e hapësirës ajrore në kullë nëse 40% e vëllimit është e zënë nga tubacione dhe struktura të tjera.

Vëllimi i pjesës cilindrike

V=π R 2 h\u003d π (27/2) 2 * 14 \u003d 8011,71 m 3

Vëllimi i konit i cunguar

V=1/3 π h(R 2 +Rr+r 2), ku

h=34-14=20 m, R=27/2=13,5 m dhe r=14/2=7 m.

Sepse R=27/2=13,5 m dhe r=14/2=7 m.

Prandaj, vëllimi i konit të cunguar

V \u003d 1/3 π 20 (13,5 2 + 13,5 * 7 + 7 2) \u003d 6819,03 m 3

Vëllimi total i Kullës së Ftohjes V e zakonshme. \u003d 6819,03 + 8011,71 \u003d 14830,74 m 3.

Nëse 40% e vëllimit është e zënë, vëllimi i hapësirës ajrore V \u003d 0,6 * 14830,74 \u003d 8898,44 m 3