Trekëndëshi kënddrejtë: sinus, kosinus, tangjentë, kotangjent i një këndi. Trekëndësh kënddrejtë. Udhëzues i plotë i ilustruar (2019)

Raporti i këmbës së kundërt me hipotenuzën quhet sinusit kënd akut trekëndësh kënddrejtë.

\sin \alfa = \frac(a)(c)

Kosinusi i një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë

Raporti i këmbës më të afërt me hipotenuzën quhet kosinus i një këndi akut trekëndësh kënddrejtë.

\cos \alfa = \frac(b)(c)

Tangjenta e një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë

Raporti i këmbës së kundërt me këmbën ngjitur quhet tangjente e këndit akut trekëndësh kënddrejtë.

tg \alfa = \frac(a)(b)

Kotangjentja e një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë

Raporti i këmbës ngjitur me këmbën e kundërt quhet kotangjent i një këndi akut trekëndësh kënddrejtë.

ctg \alfa = \frac(b)(a)

Sinus i një këndi arbitrar

Quhet ordinata e pikës në rrethin njësi të cilës i përgjigjet këndi \alfa sinus i një këndi arbitrar rrotullim \alfa .

\sin \alfa=y

Kosinusi i një këndi arbitrar

Quhet abshisa e një pike në rrethin njësi të cilit i përgjigjet këndi \alfa kosinus i një këndi arbitrar rrotullim \alfa .

\cos \alfa=x

Tangjenta e një këndi arbitrar

Raporti i sinusit të një këndi të rrotullimit arbitrar \alfa me kosinusin e tij quhet tangjente e një këndi arbitrar rrotullim \alfa .

tg \alfa = y_(A)

tg \alfa = \frac(\sin \alfa)(\cos \alfa)

Kotangjente e një këndi arbitrar

Raporti i kosinusit të një këndi të rrotullimit arbitrar \alfa me sinusin e tij quhet kotangjent i një këndi arbitrar rrotullim \alfa .

ctg \alfa =x_(A)

ctg \alfa = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Një shembull i gjetjes së një këndi arbitrar

Nëse \alfa është një kënd AOM , ku M është një pikë në rrethin e njësisë, atëherë

\sin \alfa=y_(M) , \cos \alfa=x_(M) , tg \alfa=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alfa=\frac(x_(M))(y_(M)).

Për shembull, nëse \kënd AOM = -\frac(\pi)(4), atëherë: ordinata e pikës M është -\frac(\sqrt(2))(2), abshisa është \frac(\sqrt(2))(2) dhe kjo është arsyeja pse

\sin \majtas (-\frac(\pi)(4) \djathtas)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \majtas (\frac(\pi)(4) \djathtas)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \majtas (-\frac(\pi)(4) \djathtas)=-1.

Tabela e vlerave të sinuseve të kosinuseve të tangjentëve të kotangjenteve

Vlerat e këndeve kryesore që hasen shpesh janë dhënë në tabelë:

Identitete trigonometrike janë barazi që vendosin një marrëdhënie midis sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi, i cili ju lejon të gjeni ndonjë nga këto funksione, me kusht që të njihet ndonjë tjetër.

tg \alfa = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alfa \cdot ctg \alfa = 1

Ky identitet thotë se shuma e katrorit të sinusit të një këndi dhe katrorit të kosinusit të një këndi është e barabartë me një, gjë që në praktikë bën të mundur llogaritjen e sinusit të një këndi kur dihet kosinusi i tij dhe anasjelltas. .

Gjatë konvertimit të shprehjeve trigonometrike, ky identitet përdoret shumë shpesh, i cili ju lejon të zëvendësoni shumën e katrorëve të kosinusit dhe sinusit të një këndi me një dhe gjithashtu të kryeni operacionin e zëvendësimit në rend i kundërt.

Gjetja e tangjentës dhe kotangjentës përmes sinusit dhe kosinusit

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Këto identitete janë formuar nga përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentit dhe kotangjentit. Në fund të fundit, nëse shikoni, atëherë sipas përkufizimit, ordinata e y është sinusi, dhe abshisa e x është kosinusi. Atëherë tangjentja do të jetë e barabartë me raportin \frac(y)(x)=\frac(\sin \alfa)(\cos \alfa), dhe raporti \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- do të jetë një kotangjent.

Shtojmë se vetëm për kënde të tilla \alfa për të cilat funksionet trigonometrike të përfshira në to kanë kuptim, identitetet do të ndodhin. ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Për shembull: tg \alfa = \frac(\sin \alfa)(\cos \alfa)është e vlefshme për këndet \alfa që janë të ndryshme nga \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- për një kënd \alfa të ndryshëm nga \pi z, z është një numër i plotë.

Marrëdhënia midis tangjentes dhe kotangjentes

tg \alpha \cdot ctg \alfa=1

Ky identitet është i vlefshëm vetëm për këndet \alfa që janë të ndryshme nga \frac(\pi)(2) z. Përndryshe, as kotangjenta ose tangjenta nuk do të përcaktohet.

Bazuar në pikat e mësipërme, ne e marrim atë tg \alfa = \frac(y)(x), a ctg\alfa=\frac(x)(y). Prandaj rrjedh se tg \alfa \cdot ctg \alfa = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Kështu, tangjentja dhe kotangjentja e një këndi në të cilin kanë kuptim janë numra reciprokë.

Marrëdhëniet midis tangjentes dhe kosinusit, kotangjentes dhe sinusit

tg^(2) \alfa + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alfa)- shuma e katrorit të tangjentes së këndit \alfa dhe 1 është e barabartë me katrorin e anasjelltë të kosinusit të këtij këndi. Ky identitet është i vlefshëm për të gjithë \alfat përveç \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alfa=\frac(1)(\sin^(2)\alfa)- shuma e 1 dhe katrorit të kotangjentes së këndit \alfa , është e barabartë me katrorin e anasjelltë të sinusit të këndit të dhënë. Ky identitet është i vlefshëm për çdo \alfa tjetër përveç \pi z.

Shembuj me zgjidhje të problemeve duke përdorur identitete trigonometrike

Shembulli 1

Gjeni \sin \alpha dhe tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 dhe \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Trego Zgjidhjen

Vendimi

Funksionet \sin \alpha dhe \cos \alpha janë të lidhura me formulën \sin^(2)\alfa + \cos^(2) \alfa = 1. Zëvendësimi në këtë formulë \cos \alfa = -\frac12, marrim:

\sin^(2)\alfa + \majtas (-\frac12 \djathtas)^2 = 1

Ky ekuacion ka 2 zgjidhje:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Sipas kushteve \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Në tremujorin e dytë, sinusi është pozitiv, pra \sin \alfa = \frac(\sqrt 3)(2).

Për të gjetur tg \alpha, ne përdorim formulën tg \alfa = \frac(\sin \alfa)(\cos \alfa)

tg \alfa = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Shembulli 2

Gjeni \cos \alpha dhe ctg \alpha nëse dhe \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Trego Zgjidhjen

Vendimi

Zëvendësimi në formulë \sin^(2)\alfa + \cos^(2) \alfa = 1 numri i kushtëzuar \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), marrim \majtas (\frac(\sqrt3)(2)\djathtas)^(2) + \cos^(2) \alfa = 1. Ky ekuacion ka dy zgjidhje \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Sipas kushteve \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Në tremujorin e dytë, kosinusi është negativ, pra \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Për të gjetur ctg \alpha, ne përdorim formulën ctg \alfa = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Ne i dimë vlerat përkatëse.

ctg \alfa = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Në këtë artikull, ne do t'i hedhim një vështrim gjithëpërfshirës. Kryesor identitetet trigonometrike janë barazi që vendosin një marrëdhënie midis sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi dhe ju lejojnë të gjeni cilindo nga këto funksione trigonometrike përmes një tjetrit të njohur.

Ne rendisim menjëherë identitetet kryesore trigonometrike, të cilat do t'i analizojmë në këtë artikull. I shkruajmë në një tabelë dhe më poshtë japim derivimin e këtyre formulave dhe japim shpjegimet e nevojshme.

Navigimi i faqes.

Lidhja midis sinusit dhe kosinusit të një këndi

Ndonjëherë ata nuk flasin për identitetet kryesore trigonometrike të renditura në tabelën e mësipërme, por për një të vetme identiteti bazë trigonometrik lloj . Shpjegimi për këtë fakt është mjaft i thjeshtë: barazitë përftohen nga identiteti bazë trigonometrik pas pjesëtimit të të dy pjesëve të tij me dhe përkatësisht, dhe barazitë. dhe vijoni nga përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës. Këtë do ta diskutojmë më në detaje në paragrafët e mëposhtëm.

Kjo do të thotë, është barazia që paraqet interes të veçantë, të cilës i është dhënë emri i identitetit kryesor trigonometrik.

Para se të vërtetojmë identitetin bazë trigonometrik, japim formulimin e tij: shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit të një këndi është identikisht e barabartë me një. Tani le ta vërtetojmë.

Identiteti bazë trigonometrik përdoret shumë shpesh në transformimi i shprehjeve trigonometrike. Ai lejon që shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit të një këndi të zëvendësohet me një. Jo më rrallë, identiteti bazë trigonometrik përdoret në mënyrë të kundërt: njësia zëvendësohet nga shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit të çdo këndi.

Tangjente dhe kotangjente përmes sinusit dhe kosinusit

Identitetet që lidhin tangjenten dhe kotangjenten me sinusin dhe kosinusin e një këndi të formës dhe rrjedhin menjëherë nga përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës. Në të vërtetë, sipas përkufizimit, sinusi është ordinata e y, kosinusi është abshisa e x, tangjentja është raporti i ordinatës me abshisën, domethënë, , dhe kotangjentja është raporti i abshisës me ordinatën, d.m.th. .

Për shkak të kësaj evidente të identiteteve dhe shpesh përkufizimet e tangjentes dhe kotangjentes jepen jo nëpërmjet raportit të abshisës dhe ordinatës, por nëpërmjet raportit të sinusit dhe kosinusit. Pra, tangjentja e një këndi është raporti i sinusit me kosinusin e këtij këndi, dhe kotangjentja është raporti i kosinusit me sinusin.

Për të përfunduar këtë pjesë, duhet theksuar se identitetet dhe të mbajë për të gjitha këndet e tilla për të cilat funksionet trigonometrike në to kanë kuptim. Pra formula është e vlefshme për çdo tjetër përveç (përndryshe emëruesi do të jetë zero, dhe ne nuk e kemi përcaktuar ndarjen me zero), dhe formula - për të gjitha , të ndryshme nga , ku z është çdo .

Marrëdhënia midis tangjentes dhe kotangjentes

Një identitet trigonometrik edhe më i dukshëm se dy të mëparshmet është identiteti që lidh tangjenten dhe kotangjenten e një këndi të formës. . Është e qartë se ajo zhvillohet për çdo kënd tjetër përveç , përndryshe as tangjentja ose kotangjentja nuk janë të përcaktuara.

Vërtetim i formulës shume e thjeshte. Sipas definicionit dhe nga ku . Prova mund të ishte kryer në një mënyrë paksa të ndryshme. Që nga dhe , pastaj .

Pra, tangjentja dhe kotangjentja e një këndi, në të cilin ato kanë kuptim, është.

Unë mendoj se ju meritoni më shumë se kaq. Këtu është çelësi im i trigonometrisë:

• Vizatoni kupolën, murin dhe tavanin
• Funksionet trigonometrike nuk janë gjë tjetër veçse përqindje e këtyre tre formave.

Metafora për sinusin dhe kosinusin: kube

Në vend që të shikoni vetëm trekëndëshat, imagjinoni ato në veprim duke gjetur disa shembull i veçantë nga jeta.

Imagjinoni që jeni në mes të një kupole dhe dëshironi të mbyllni ekranin e një projektori filmi. Ju drejtoni gishtin drejt kupolës në një kënd "x" dhe një ekran duhet të varet nga ajo pikë.

Këndi ku tregoni përcakton:

• sine (x) = sin (x) = lartësia e ekranit (pika e montimit nga dyshemeja në kube)
• kosinus (x) = cos (x) = distanca nga ju në ekran (sipas katit)
• hipotenuza, distanca nga ju në majë të ekranit, gjithmonë e njëjtë, e barabartë me rrezen e kupolës

Dëshironi që ekrani të jetë sa më i madh? Vareni pikërisht sipër jush.

Dëshironi që ekrani të varet sa më larg nga ju? Vareni drejt pingul. Ekrani do të ketë lartësi zero në këtë pozicion dhe do të varet aq larg sa keni kërkuar.

Lartësia dhe distanca nga ekrani janë në përpjesëtim të kundërt: sa më afër të varet ekrani, aq më e lartë do të jetë lartësia e tij.

Sinusi dhe kosinusi janë përqindje

Askush në vitet e mia të studimit, mjerisht, nuk më shpjegoi se funksionet trigonometrike sinusi dhe kosinusi nuk janë gjë tjetër veçse përqindje. Vlerat e tyre variojnë nga +100% në 0 në -100%, ose nga një maksimum pozitiv në zero në një maksimum negativ.

Le të themi se kam paguar një taksë prej 14 rubla. Ju nuk e dini se sa është. Por nëse thua se kam paguar 95% taksë, do ta kuptosh që thjesht më kanë bërë lëkurën si ngjitës.

Lartësia absolute nuk do të thotë asgjë. Por nëse vlera e sinusit është 0,95, atëherë e kuptoj që televizori është i varur pothuajse në majë të kupolës suaj. Shumë shpejt ajo do të arrijë lartësinë e saj maksimale në qendër të kupolës dhe më pas do të fillojë të bjerë përsëri.

Si mund ta llogarisim këtë përqindje? Shumë e thjeshtë: ndani lartësinë aktuale të ekranit me maksimumin e mundshëm (rrezja e kupolës, e quajtur gjithashtu hipotenuzë).

Kjo është arsyeja pse na thuhet se “kosine = këmbë e kundërt / hipotenuzë”. Kjo është e gjitha për të marrë një përqindje! Mënyra më e mirë për të përcaktuar sinusin është "përqindja e lartësisë aktuale nga maksimumi i mundshëm". (Sinusi bëhet negativ nëse këndi juaj tregon "nën tokë". Kosinusi bëhet negativ nëse këndi tregon një pikë kube pas jush.)

Le të thjeshtojmë llogaritjet duke supozuar se jemi në qendër të rrethit të njësisë (rrezja = 1). Mund ta kapërcejmë ndarjen dhe thjesht të marrim sinusin të barabartë me lartësinë.

Çdo rreth është në thelb një rreth i vetëm, i shkallëzuar lart ose poshtë masa e duhur. Pra, përcaktoni marrëdhëniet në rrethin e njësisë dhe zbatoni rezultatet në madhësinë e rrethit tuaj të veçantë.

Eksperimentoni: merrni çdo cep dhe shikoni se sa përqindje e lartësisë ndaj gjerësisë shfaq:

Grafiku i rritjes së vlerës së sinusit nuk është vetëm një vijë e drejtë. 45 gradët e para mbulojnë 70% të lartësisë, dhe 10 gradët e fundit (nga 80° në 90°) mbulojnë vetëm 2%.

Kjo do t'jua bëjë të qartë: nëse shkoni në një rreth, në 0 ° ngriheni pothuajse vertikalisht, por ndërsa i afroheni majës së kupolës, lartësia ndryshon gjithnjë e më pak.

Tangjente dhe sekante. Muri

Një ditë një fqinj ndërtoi një mur drejt e pas shpine te kupola juaj. Qau pamjen tuaj nga dritarja dhe cmim i mire për rishitje!

Por a është e mundur të fitosh disi në këtë situatë?

Sigurisht po. Po sikur të varnim një ekran filmi mu në murin e fqinjit? Ju synoni në këndin (x) dhe merrni:

• tan(x) = tan(x) = lartësia e ekranit në mur
• distanca nga ju në mur: 1 (kjo është rrezja e kupolës suaj, muri nuk lëviz askund nga ju, apo jo?)
• secant(x) = sec(x) = "gjatësia e shkallës" nga ju që qëndroni në qendër të kupolës deri në majë të ekranit të varur

Le të sqarojmë disa gjëra në lidhje me tangjentën ose lartësinë e ekranit.

• fillon në 0 dhe mund të shkojë pafundësisht lart. Mund ta shtrini ekranin lart e më lart në mur për të marrë vetëm një kanavacë të pafund për të parë filmin tuaj të preferuar! (Për një të tillë të madh, natyrisht, do të duhet të shpenzoni shumë para).
• tangjentja është vetëm një version i zmadhuar i sinusit! Dhe ndërsa rritja e sinusit ngadalësohet ndërsa lëvizni drejt majës së kupolës, tangjentja vazhdon të rritet!

Sekansu gjithashtu ka diçka për t'u mburrur:

• sekanti fillon në 1 (shkalla është në dysheme, larg jush drejt murit) dhe fillon të ngjitet që andej
• Sekanti është gjithmonë më i gjatë se tangjentja. Shkallët e pjerrëta me të cilat varni ekranin tuaj duhet të jenë më të gjata se vetë ekrani, apo jo? (Për madhësi joreale, kur ekrani është shumë i gjatë dhe shkalla duhet të vendoset pothuajse vertikalisht, madhësitë e tyre janë pothuajse të njëjta. Por edhe atëherë sekanti do të jetë pak më i gjatë).

Mos harroni se vlerat janë për qind. Nëse vendosni ta varni ekranin në një kënd 50 gradë, tan(50)=1,19. Ekrani juaj është 19% më i madh se distanca nga muri (rrezja e kupolës).

(Fut x=0 dhe provo intuitën tënde - tan(0) = 0 dhe sec(0) = 1.)

Kotangjent dhe kosekant. Tavani

Në mënyrë të pabesueshme, fqinji juaj tani ka vendosur të ndërtojë një tavan mbi kupolën tuaj. (Çfarë është me të? Ai me sa duket nuk dëshiron që ju t'i përgjoni ndërsa ai ecën në oborr lakuriq...)

Epo, është koha për të ndërtuar një dalje në çati dhe për të folur me fqinjin. Ju zgjidhni këndin e prirjes dhe filloni të ndërtoni:

• distanca vertikale midis daljes së çatisë dhe dyshemesë është gjithmonë 1 (rrezja e kupolës)
• cotangent(x) = cot(x) = distanca midis majës së kupolës dhe pikës së daljes
• cosecant(x) = csc(x) = gjatësia e shtegut tuaj deri në çati

Tangjentja dhe sekantja përshkruajnë murin, ndërsa kotangjentja dhe kosekantja përshkruajnë dyshemenë.

Përfundimet tona intuitive këtë herë janë të ngjashme me ato të mëparshme:

• Nëse merrni një kënd prej 0°, dalja juaj në çati do të zgjasë përgjithmonë pasi nuk do të arrijë kurrë në tavan. Problem.
• "Shkallët" më të shkurtra në çati do të merren nëse e ndërtoni atë në një kënd prej 90 gradë në dysheme. Kotangjentja do të jetë e barabartë me 0 (ne nuk lëvizim fare përgjatë çatisë, dalim rreptësisht pingul), dhe kosekanti do të jetë i barabartë me 1 ("gjatësia e shkallës" do të jetë minimale).

Vizualizoni lidhjet

Nëse të tre rastet vizatohen në një kombinim kube-mur-dysheme, do të përftohen sa vijon:

Epo, uau, është i njëjti trekëndësh, i zmadhuar në madhësi për të arritur murin dhe tavanin. Kemi brinjë vertikale (sinus, tangjente), brinjë horizontale (kosinus, kotangjent) dhe "hipotenuse" (sekant, kosekant). (Ju mund të shihni nga shigjetat se sa larg arrin secili element. Kosekanti është distanca totale nga ju në çati).

Pak magji. Të gjithë trekëndëshat ndajnë të njëjtat barazi:

Nga teorema e Pitagorës (a 2 + b 2 = c 2) shohim se si janë të lidhura brinjët e secilit trekëndësh. Për më tepër, raportet lartësi-gjerësi duhet të jenë gjithashtu të njëjta për të gjithë trekëndëshat. (Vetëm kthehuni nga trekëndëshi më i madh në atë më të vogël. Po, madhësia ka ndryshuar, por përmasat e anëve do të mbeten të njëjta).

Duke ditur se cila anë në çdo trekëndësh është 1 (rrezja e kupolës), mund të llogarisim lehtësisht se "sin/cos = tan/1".

Gjithmonë jam përpjekur t'i kujtoj këto fakte përmes vizualizimit të thjeshtë. Në foto mund t'i shihni qartë këto varësi dhe të kuptoni se nga vijnë ato. Kjo teknikë është shumë më e mirë se memorizimi i formulave të thata.

Mos harroni kënde të tjera

Shh... Nuk ka nevojë të vareni në një grafik, duke menduar se tangjentja është gjithmonë më e vogël se 1. Nëse rritni këndin, mund të arrini në tavan pa arritur në mur:

Lidhjet e Pitagorës gjithmonë funksionojnë, por madhësitë relative mund të jenë të ndryshme.

(Me siguri e keni vënë re se raporti i sinusit dhe kosinusit është gjithmonë më i vogli sepse ato janë të mbyllura brenda një kupole.)

Për ta përmbledhur: çfarë duhet të kujtojmë?

Për shumicën prej nesh, do të thosha se kjo do të jetë e mjaftueshme:

• trigonometria shpjegon anatominë e objekteve matematikore si rrathët dhe intervalet e përsëritura
• analogjia kube/mur/çati tregon lidhjen ndërmjet funksioneve të ndryshme trigonometrike
• rezultati i funksioneve trigonometrike janë përqindjet që aplikojmë në skenarin tonë.

Nuk keni nevojë të mësoni përmendësh formula si 1 2 + cot 2 = csc 2 . Ato janë të përshtatshme vetëm për teste budallaqe në të cilat njohja e një fakti paraqitet si kuptim i tij. Merrni një minutë për të vizatuar një gjysmërreth në formën e një kube, një mur dhe një çati, nënshkruani elementet dhe të gjitha formulat do t'ju kërkohen në letër.

Aplikimi: Funksionet e anasjellta

Çdo funksion trigonometrik merr një kënd si hyrje dhe e kthen rezultatin si përqindje. sin(30) = 0.5. Kjo do të thotë që një kënd prej 30 gradë zë 50% të lartësisë maksimale.

Funksioni trigonometrik i anasjelltë shkruhet si sin -1 ose arcsin ("arxine"). Gjithashtu shpesh shkruhet si në gjuhë të ndryshme programimi.

Nëse lartësia jonë është 25% e lartësisë së kupolës, cili është këndi ynë?

Në tabelën tonë të përmasave, mund të gjeni raportin ku sekanti ndahet me 1. Për shembull, sekanti me 1 (hipotenuza në horizontale) do të jetë e barabartë me 1 pjesëtuar me kosinusin:

Le të themi se sekanti ynë është 3.5, d.m.th. 350% e rrezes së rrethit të njësisë. Me cilin kënd të prirjes ndaj murit korrespondon kjo vlerë?

Shtojca: Disa shembuj

Detyrë e mërzitshme. Le ta komplikojmë "gjeni sinusin" banal në "Sa është lartësia si përqindje e maksimumit (hipotenuzë)?".

Së pari, vini re se trekëndëshi është rrotulluar. Nuk ka asgjë të keqe me këtë. Trekëndëshi gjithashtu ka një lartësi, ai është paraqitur në të gjelbër në figurë.

Me çfarë është e barabartë hipotenuza? Nga teorema e Pitagorës, ne e dimë se:

3 2 + 4 2 = hipotenuzë 2 25 = hipotenuzë 2 5 = hipotenuzë

mirë! Sinusi është përqindja e lartësisë nga ana më e gjatë e trekëndëshit, ose hipotenuza. Në shembullin tonë, sinusi është 3/5 ose 0,60.

Sigurisht, ne mund të shkojmë në disa mënyra. Tani e dimë se sinusi është 0.60 dhe thjesht mund të gjejmë harkun:

Asin(0.6)=36.9

Dhe këtu është një qasje tjetër. Vini re se trekëndëshi është "ballë për ballë me murin", kështu që ne mund të përdorim tangjentën në vend të sinusit. Lartësia është 3, distanca nga muri është 4, kështu që tangjentja është ¾ ose 75%. Ne mund të përdorim tangjentën e harkut për të shkuar nga përqindja prapa në kënd:

Tan = 3/4 = 0,75 atan (0,75) = 36,9 Shembull: A do të notosh deri në breg?

Jeni në një varkë dhe keni karburant të mjaftueshëm për të lundruar 2 km. Tani jeni 0,25 km nga bregu. Në çfarë këndi maksimal me bregun mund të notoni drejt tij në mënyrë që të keni karburant të mjaftueshëm? Shtesë në kushtin e problemit: kemi vetëm një tabelë të vlerave të kosinusit të harkut.

Çfarë kemi ne? vija bregdetare mund të imagjinohet si një "mur" në trekëndëshin tonë të famshëm dhe "gjatësia e një shkalle" të ngjitur në mur është distanca maksimale e mundshme e kapërcyeshme me varkë deri në breg (2 km). Shfaqet një sekant.

Së pari, duhet të kaloni në përqindje. Ne kemi 2 / 0,25 = 8, që do të thotë se mund të notojmë 8 herë më shumë se distanca e drejtë deri në breg (ose në mur).

Shtrohet pyetja “Çfarë është sekanti 8?”. Por ne nuk mund t'i japim një përgjigje, pasi kemi vetëm kosinus me hark.

Ne përdorim varësitë tona të derivuara më parë për të hartuar sekantin në kosinus: "sek/1 = 1/cos"

Sekanti i 8 është i barabartë me kosinusin e ⅛. Një kënd kosinusi i të cilit është ⅛ është akos(1/8) = 82,8. Dhe ky është këndi më i madh që mund të përballojmë në një varkë me sasinë e caktuar të karburantit.

Jo keq, apo jo? Pa analogjinë kube-mur-tavan, do të hutohesha në një mori formulash dhe llogaritjesh. Vizualizimi i problemit thjeshton shumë kërkimin e një zgjidhjeje, përveç kësaj, është interesante të shihet se cili funksion trigonometrik do të ndihmojë përfundimisht.

Për secilën detyrë, mendoni kështu: a jam i interesuar për një kube (sin/cos), një mur (tan/sec) apo një tavan (krevat/csc)?

Dhe trigonometria do të bëhet shumë më e këndshme. Llogaritje të lehta për ju!

Sinus këndi akut α i një trekëndëshi kënddrejtë është raporti e kundërt kateteri në hipotenuzë.
Ajo shënohet si më poshtë: sin α.

Kosinusi këndi akut α i një trekëndëshi kënddrejtë është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën.
Ajo shënohet si më poshtë: cos α.

Tangjente këndi akut α është raporti i këmbës së kundërt me këmbën ngjitur.
Ajo shënohet si më poshtë: tg α.

Kotangjente këndi akut α është raporti i këmbës ngjitur me atë të kundërt.
Përcaktohet si më poshtë: ctg α.

Sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja e një këndi varen vetëm nga madhësia e këndit.

Rregullat:

Identitetet bazë trigonometrike në një trekëndësh kënddrejtë:

(α - kënd akut përballë këmbës b dhe ngjitur me këmbën a . Anësore me - hipotenuzë. β - këndi i dytë akut).

Me rritjen e këndit akutsiνα dhetg α rritje, dhecos α zvogëlohet.

Për çdo kënd akut α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = mëkat α

Shembull shpjegues:

Lëreni një trekëndësh kënddrejtë ABC
AB = 6,
BC = 3,
këndi A = 30º.

Gjeni sinusin e këndit A dhe kosinusin e këndit B.

Vendimi .

1) Së pari, gjejmë vlerën e këndit B. Gjithçka është e thjeshtë këtu: pasi në një trekëndësh kënddrejtë shuma e këndeve akute është 90º, atëherë këndi B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Llogaritni mëkatin A. Ne e dimë se sinusi është i barabartë me raportin e këmbës së kundërt me hipotenuzën. Për këndin A, këmba e kundërt është ana BC. Kështu që:

BC 3 1
mëkat A = -- = - = -
AB 6 2

3) Tani llogarisim cos B. Ne e dimë se kosinusi është i barabartë me raportin e këmbës ngjitur me hipotenuzën. Për këndin B, këmba ngjitur është e njëjta anë BC. Kjo do të thotë që ne përsëri duhet të ndajmë BC në AB - domethënë të kryejmë të njëjtat veprime si kur llogaritim sinusin e këndit A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Rezultati është:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Nga kjo rrjedh se në një trekëndësh kënddrejtë sinusi i një këndi akut është i barabartë me kosinusin e një këndi tjetër akut - dhe anasjelltas. Kjo është pikërisht ajo që nënkuptojnë dy formulat tona:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = mëkat α

Le ta kontrollojmë përsëri:

1) Le të a = 60º. Duke zëvendësuar vlerën e α në formulën e sinusit, marrim:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Le të jetë α = 30º. Duke zëvendësuar vlerën e α në formulën e kosinusit, marrim:
cos (90° - 30º) = mëkat 30º.
cos 60° = mëkat 30º.

(Për më shumë mbi trigonometrinë, shihni seksionin Algjebër)