Kvadratická rovnica - ľahké riešenie! *Ďalej v texte „KU“. Priatelia, zdalo by sa, že v matematike to môže byť jednoduchšie ako riešenie takejto rovnice. Niečo mi však hovorilo, že veľa ľudí s ním má problémy. Rozhodol som sa zistiť, koľko zobrazení poskytuje Yandex na žiadosť za mesiac. Tu je to, čo sa stalo, pozrite sa:

Čo to znamená? To znamená, že mesačne hľadá asi 70 000 ľudí táto informácia, čo s tým má spoločné toto leto a čo sa medzi nimi stane školský rok- požiadavky budú dvakrát väčšie. Nie je to prekvapujúce, pretože tieto informácie hľadajú chlapci a dievčatá, ktorí už dávno ukončili školu a pripravujú sa na skúšku, a školáci sa tiež snažia osviežiť svoju pamäť.

Napriek tomu, že existuje veľa stránok, ktoré hovoria, ako vyriešiť túto rovnicu, rozhodol som sa tiež prispieť a materiál zverejniť. Po prvé, chcem, aby návštevníci prišli na moju stránku na základe tejto žiadosti; po druhé, v iných článkoch, keď príde reč „KU“, dám odkaz na tento článok; po tretie, poviem vám o jeho riešení trochu viac, ako sa zvyčajne uvádza na iných stránkach. Začnime! Obsah článku:

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare:

kde koeficienty a,ba s ľubovoľnými číslami, s a≠0.

V školskom kurze sa látka podáva v nasledujúci formulár- podmienečne sú rovnice rozdelené do troch tried:

1. Mať dva korene.

2. * Mať len jeden koreň.

3. Nemať korene. Tu stojí za zmienku, že nemajú skutočné korene

Ako sa vypočítavajú korene? Len!

Vypočítame diskriminant. Pod týmto „strašným“ slovom sa skrýva veľmi jednoduchý vzorec:

Koreňové vzorce sú nasledovné:

*Tieto vzorce musíte poznať naspamäť.

Môžete okamžite napísať a rozhodnúť sa:

Príklad:

1. Ak D > 0, potom rovnica má dva korene.

2. Ak D = 0, potom rovnica má jeden koreň.

3. Ak D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pozrime sa na rovnicu:

Pri tejto príležitosti, keď je diskriminant nula, školský kurz hovorí, že sa získa jeden koreň, tu sa rovná deviatim. To je pravda, ale...

Toto znázornenie je trochu nesprávne. V skutočnosti existujú dva korene. Áno, áno, nečudujte sa, ukáže sa, že dva rovnaké korene, a aby sme boli matematicky presní, mali by byť v odpovedi napísané dva korene:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ale je to tak - malá odbočka. V škole si môžete zapísať a povedať, že koreň je len jeden.

Teraz nasledujúci príklad:

Ako vieme, koreň záporného čísla sa neextrahuje, takže riešenia v tento prípadč.

To je celý rozhodovací proces.

Kvadratická funkcia.

Takto vyzerá riešenie geometricky. Toto je mimoriadne dôležité pochopiť (v budúcnosti v jednom z článkov podrobne rozoberieme riešenie kvadratickej nerovnosti).

Toto je funkcia formulára:

kde x a y sú premenné

a, b, c sú dané čísla, kde a ≠ 0

Graf je parabola:

To znamená, že sa ukáže, že riešením kvadratickej rovnice s "y" rovným nule nájdeme priesečníky paraboly s osou x. Môžu existovať dva z týchto bodov (diskriminant je kladný), jeden (diskriminant je nula) alebo žiadny (diskriminant je záporný). Podrobnosti o kvadratickej funkcie Môžete zobraziťčlánok Inny Feldmanovej.

Zvážte príklady:

Príklad 1: Rozhodnite sa 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odpoveď: x 1 = 8 x 2 = -12

* Ľavú a pravú stranu rovnice by ste mohli okamžite vydeliť 2, teda zjednodušiť ju. Výpočty budú jednoduchšie.

Príklad 2: Rozhodnite sa x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Dostali sme, že x 1 \u003d 11 a x 2 \u003d 11

V odpovedi je dovolené napísať x = 11.

Odpoveď: x = 11

Príklad 3: Rozhodnite sa x 2 – 8 x + 72 = 0

a = 1 b = -8 c = 72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant je záporný, v reálnych číslach neexistuje riešenie.

Odpoveď: žiadne riešenie

Diskriminant je negatívny. Existuje riešenie!

Tu si povieme o riešení rovnice v prípade, že dostaneme záporný diskriminant. Vieš niečo o komplexných číslach? Nebudem sa tu rozpisovať o tom, prečo a kde vznikli a aká je ich špecifická úloha a nevyhnutnosť v matematike, to je téma na veľký samostatný článok.

Koncept komplexného čísla.

Trochu teórie.

Komplexné číslo z je číslo tvaru

z = a + bi

kde a a b sú reálne čísla, i je takzvaná imaginárna jednotka.

a+bi je JEDNO ČÍSLO, nie sčítanie.

Imaginárna jednotka sa rovná odmocnine mínus jedna:

Teraz zvážte rovnicu:

Získajte dva konjugované korene.

Neúplná kvadratická rovnica.

Zvážte špeciálne prípady, keď sa koeficient "b" alebo "c" rovná nule (alebo sa oba rovnajú nule). Riešia sa jednoducho bez akýchkoľvek diskriminačných činidiel.

Prípad 1. Koeficient b = 0.

Rovnica má tvar:

Poďme sa transformovať:

Príklad:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Prípad 2. Koeficient c = 0.

Rovnica má tvar:

Transformovať, faktorizovať:

*Súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule.

Príklad:

9x 2 – 45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 alebo x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Prípad 3. Koeficienty b = 0 a c = 0.

Tu je jasné, že riešenie rovnice bude vždy x = 0.

Užitočné vlastnosti a vzorce koeficientov.

Existujú vlastnosti, ktoré umožňujú riešiť rovnice s veľkými koeficientmi.

aX 2 + bx+ c=0 rovnosť

a + b+ c = 0, potom

— ak pre koeficienty rovnice aX 2 + bx+ c=0 rovnosť

a+ s =b, potom

Tieto vlastnosti pomáhajú určitý druh rovnice.

Príklad 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Súčet koeficientov je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, takže

Príklad 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Rovnosť a+ s =b, znamená

Zákonitosti koeficientov.

1. Ak v rovnici ax 2 + bx + c \u003d 0 je koeficient „b“ (a 2 +1) a koeficient „c“ sa číselne rovná koeficientu „a“, potom jeho korene sú

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Ak v rovnici ax 2 - bx + c \u003d 0 je koeficient „b“ (a 2 +1) a koeficient „c“ sa číselne rovná koeficientu „a“, potom sú jeho korene

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 15x 2 – 226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ak v rovnici ax 2 + bx - c = 0 koeficient "b" rovná sa (2 – 1) a koeficient „c“ číselne sa rovná koeficientu "a", potom sú jeho korene rovnaké

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Ak sa v rovnici ax 2 - bx - c \u003d 0 koeficient "b" rovná (a 2 - 1) a koeficient c sa číselne rovná koeficientu "a", potom sú jeho korene

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Príklad. Zvážte rovnicu 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietov teorém.

Vietova veta je pomenovaná po slávnom francúzskom matematikovi Francoisovi Vietovi. Pomocou Vietovej vety je možné vyjadriť súčet a súčin koreňov ľubovoľnej KU pomocou jej koeficientov.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Suma sumárum, číslo 14 dáva len 5 a 9. Toto sú korene. S určitou zručnosťou, pomocou prezentovanej vety, môžete vyriešiť veľa kvadratických rovníc okamžite ústne.

Navyše Vietova veta. pohodlné, pretože po vyriešení kvadratickej rovnice zvyčajným spôsobom (cez diskriminant) možno výsledné korene skontrolovať. Odporúčam to robiť stále.

SPÔSOB PRENOSU

Pri tejto metóde sa koeficient „a“ vynásobí voľným členom, akoby sa naň „preniesla“, preto je tzv. spôsob prenosu. Táto metóda sa používa, keď je ľahké nájsť korene rovnice pomocou Vietovej vety a čo je najdôležitejšie, keď je diskriminantom presný štvorec.

Ak a± b+c≠ 0, potom sa použije technika prenosu, napríklad:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Podľa Vietovej vety v rovnici (2) je ľahké určiť, že x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Získané korene rovnice je potrebné vydeliť 2 (keďže boli „vyhodené“ z x 2), dostaneme

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Aké je zdôvodnenie? Pozrite sa, čo sa deje.

Diskriminanty rovníc (1) a (2) sú:

Ak sa pozrieme na korene rovníc, dostaneme len rôznych menovateľov a výsledok závisí od koeficientu pri x 2:

Druhé (upravené) korene sú 2-krát väčšie.

Preto výsledok vydelíme 2.

*Ak hodíme trojicu, tak výsledok vydelíme 3 atď.

Odpoveď: x 1 = 5 x 2 = 0,5

sq ur-ie a skúšku.

O jeho dôležitosti poviem stručne – MALI BY STE SA SCHOPNI ROZHODNÚŤ rýchlo a bez rozmýšľania, treba poznať vzorce koreňov a rozlišovača naspamäť. Mnoho úloh, ktoré sú súčasťou úloh USE, spočíva v riešení kvadratickej rovnice (vrátane geometrických).

Čo stojí za povšimnutie!

1. Tvar rovnice môže byť „implicitný“. Napríklad je možný nasledujúci záznam:

15+ 9x 2 - 45x = 0 alebo 15x+42+9x 2 - 45x=0 alebo 15 -5x+10x 2 = 0.

Musíte ho priviesť štandardný pohľad(aby ste sa pri rozhodovaní nezmiatli).

2. Pamätajte, že x je neznáma hodnota a možno ju označiť ľubovoľným iným písmenom - t, q, p, h a inými.

Kvadratické rovnice. Diskriminačný. Riešenie, príklady.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Typy kvadratických rovníc

Čo je to kvadratická rovnica? Ako to vyzerá? Z hľadiska kvadratická rovnica kľúčové slovo je "námestie". Znamená to, že v rovnici nevyhnutne tam musí byť x na druhú. Okrem toho v rovnici môže byť (alebo nemusí byť!) len x (do prvého stupňa) a len číslo (voľný člen). A nemali by tam byť x v stupni väčšom ako dva.

Z matematického hľadiska je kvadratická rovnica rovnicou v tvare:

Tu a, b a c- nejaké čísla. b a c- úplne akékoľvek, ale a- všetko okrem nuly. Napríklad:

Tu a =1; b = 3; c = -4

Tu a =2; b = -0,5; c = 2,2

Tu a =-3; b = 6; c = -18

No, chápete...

V týchto kvadratických rovniciach je vľavo Plný setčlenov. x na druhú s koeficientom a, x na prvú mocninu s koeficientom b a voľný člen

Takéto kvadratické rovnice sa nazývajú kompletný.

Čo ak b= 0, čo získame? Máme X zmizne na prvom stupni. Stane sa to pri násobení nulou.) Ukázalo sa napríklad:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2+4x=0

Atď. A ak oba koeficienty b a c sa rovnajú nule, potom je to ešte jednoduchšie:

2x 2 \u003d 0,

-0,3 x 2 \u003d 0

Takéto rovnice, kde niečo chýba, sa nazývajú neúplné kvadratické rovnice.Čo je celkom logické.) Upozorňujeme, že x na druhú je prítomné vo všetkých rovniciach.

Mimochodom prečo a nemôže byť nula? A namiesto toho nahrádzate a nula.) X v štvorci zmizne! Rovnica sa stane lineárnou. A robí sa to inak...

Tu sú všetky hlavné typy kvadratické rovnice. Úplné a neúplné.

Riešenie kvadratických rovníc.

Riešenie úplných kvadratických rovníc.

Kvadratické rovnice sa dajú ľahko vyriešiť. Podľa vzorcov a jasných jednoduchých pravidiel. V prvej fáze je potrebné uviesť danú rovnicu do štandardného tvaru, t.j. na pohľad:

Ak je rovnica už uvedená v tejto forme, nemusíte robiť prvú fázu.) Hlavná vec je správne určiť všetky koeficienty, a, b a c.

Vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice vyzerá takto:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminačný. Ale viac o ňom nižšie. Ako vidíte, na nájdenie x používame iba a, b a c. Tie. koeficienty z kvadratickej rovnice. Len opatrne nahraďte hodnoty a, b a c do tohto vzorca a počítať. Náhradník s tvojimi znakmi! Napríklad v rovnici:

a =1; b = 3; c= -4. Tu píšeme:

Príklad takmer vyriešený:

Toto je odpoveď.

Všetko je veľmi jednoduché. A čo myslíte, nemôžete sa pokaziť? No áno, ako...

Najčastejšími chybami je zámena so znakmi hodnôt a, b a c. Alebo skôr nie s ich znakmi (kde sa to má zamieňať?), Ale s nahradením záporných hodnôt do vzorca na výpočet koreňov. Tu sa uloží podrobný záznam vzorca s konkrétnymi číslami. Ak sa vyskytnú problémy s výpočtami, tak to urob!

Predpokladajme, že musíme vyriešiť nasledujúci príklad:

Tu a = -6; b = -5; c = -1

Povedzme, že viete, že odpovede na prvýkrát dostanete len zriedka.

No nebuď lenivý. Napísanie ďalšieho riadku bude trvať 30 sekúnd a počet chýb prudko klesne. Píšeme teda podrobne so všetkými zátvorkami a znakmi:

Zdá sa neuveriteľne ťažké maľovať tak starostlivo. Ale to sa len zdá. Skús to. No, alebo si vyberte. Čo je lepšie, rýchle alebo správne? Okrem toho ťa poteším. Po chvíli už nebude potrebné všetko tak starostlivo maľovať. Vyjde to tak akurát. Najmä ak použijete praktické techniky, ktoré sú popísané nižšie. Tento zlý príklad s kopou mínusov sa vyrieši jednoducho a bez chýb!

Kvadratické rovnice však často vyzerajú trochu inak. Napríklad takto:

Vedeli ste?) Áno! to neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc.

Môžu byť tiež vyriešené všeobecným vzorcom. Musíte len správne zistiť, čo sa tu rovná a, b a c.

Realizované? V prvom príklade a = 1; b = -4; a c? Vôbec neexistuje! No áno, je to tak. V matematike to znamená c = 0 ! To je všetko. Namiesto nuly do vzorca nahraďte nulu c, a všetko nám vyjde. Podobne s druhým príkladom. Len nulu tu nemáme S, a b !

Neúplné kvadratické rovnice sa však dajú vyriešiť oveľa jednoduchšie. Bez akýchkoľvek vzorcov. Zvážte prvú neúplnú rovnicu. Čo sa dá robiť na ľavej strane? Môžete vyňať X zo zátvoriek! Vyberme to.

A čo z toho? A skutočnosť, že súčin sa rovná nule vtedy a len vtedy, ak sa niektorý z faktorov rovná nule! neveríš? Potom vymyslite dve nenulové čísla, ktoré po vynásobení dajú nulu!
Nefunguje? Niečo...
Preto môžeme s istotou napísať: x 1 = 0, x 2 = 4.

Všetko. Toto budú korene našej rovnice. Obaja sa hodia. Pri dosadení ktorejkoľvek z nich do pôvodnej rovnice dostaneme správnu identitu 0 = 0. Ako vidíte, riešenie je oveľa jednoduchšie ako všeobecný vzorec. Mimochodom, ktorý X bude prvý a ktorý druhý - je úplne ľahostajné. Jednoduché písanie v poradí x 1- podľa toho, čo je menej x 2- čo je viac.

Druhá rovnica sa dá tiež ľahko vyriešiť. Posúvame 9 na pravú stranu. Dostaneme:

Zostáva extrahovať koreň z 9 a je to. Získajte:

aj dva korene . x 1 = -3, x 2 = 3.

Takto sa riešia všetky neúplné kvadratické rovnice. Buď vytiahnutím x zo zátvoriek, alebo jednoduchý prenosčísla vpravo, po ktorej nasleduje extrakcia koreňa.
Je mimoriadne ťažké zamieňať tieto metódy. Jednoducho preto, že v prvom prípade budete musieť extrahovať koreň z X, čo je nejako nepochopiteľné, a v druhom prípade nie je čo vytiahnuť zo zátvoriek ...

Diskriminačný. Diskriminačný vzorec.

Čarovné slovo diskriminačný ! Vzácny stredoškolák toto slovo ešte nepočul! Fráza „rozhodnite sa prostredníctvom diskriminujúceho“ je upokojujúca a upokojujúca. Pretože nie je potrebné čakať na triky od diskriminujúceho! Je jednoduchý a bezproblémový na používanie.) Pripomínam najvšeobecnejší vzorec na riešenie akýkoľvek kvadratické rovnice:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminant. Diskriminant sa zvyčajne označuje písmenom D. Diskriminačný vzorec:

D = b2-4ac

A čo je na tomto výraze také zvláštne? Prečo si zaslúži špeciálne pomenovanie? Čo zmysel slova diskriminant? Po všetkom -b, alebo 2a v tomto vzorci konkrétne nepomenúvajú ... Písmená a písmená.

Ide o to. Pri riešení kvadratickej rovnice pomocou tohto vzorca je to možné len tri prípady.

1. Diskriminant je pozitívny. To znamená, že z nej môžete extrahovať koreň. Či je koreň extrahovaný dobre alebo zle, je iná otázka. Dôležité je, čo sa v princípe extrahuje. Potom má vaša kvadratická rovnica dva korene. Dve rôzne riešenia.

2. Diskriminant je nula. Potom máte jedno riešenie. Keďže pripočítaním alebo odčítaním nuly v čitateli sa nič nemení. Presne povedané, nejde o jeden koreň, ale dve rovnaké. Ale v zjednodušená verzia, je zvykom rozprávať jedno riešenie.

3. Diskriminant je negatívny. Záporné číslo nemá druhú odmocninu. No dobre. To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Úprimne povedané, o jednoduché riešenie kvadratických rovníc, pojem diskriminant nie je zvlášť potrebný. Dosadíme hodnoty koeficientov do vzorca a zvážime. Tam sa všetko ukáže samo, a dva korene a jeden, a nie jeden. Pri riešení zložitejších úloh však bez znalostí význam a diskriminačný vzorec nedostatočné. Najmä - v rovniciach s parametrami. Takéto rovnice sú akrobaciou pre GIA a jednotnú štátnu skúšku!)

takze ako riešiť kvadratické rovnice cez rozlišovač, ktorý si si spomenul. Alebo naučené, čo tiež nie je zlé.) Viete sa správne identifikovať a, b a c. Vieš ako opatrne nahradiť ich do koreňového vzorca a opatrne spočítať výsledok. Pochopili ste, že kľúčové slovo je tu - opatrne?

Teraz si všimnite praktické techniky, ktoré výrazne znižujú počet chýb. Práve tie, ktoré sú spôsobené nepozornosťou ... Pre ktoré je to potom bolestivé a urážlivé ...

Prvý príjem . Nebuďte leniví pred riešením kvadratickej rovnice, aby ste ju dostali do štandardného tvaru. Čo to znamená?
Predpokladajme, že po akejkoľvek transformácii dostanete nasledujúcu rovnicu:

Neponáhľajte sa písať vzorec koreňov! Takmer určite si pomiešate šance a, b a c. Správne zostavte príklad. Najprv x na druhú, potom bez štvorca, potom voľný člen. Páči sa ti to:

A opäť, neponáhľajte sa! Mínus pred x na druhú vás môže poriadne rozladiť. Zabudnúť na to je ľahké... Zbavte sa mínusov. ako? Áno, ako sa učí v predchádzajúcej téme! Musíme celú rovnicu vynásobiť -1. Dostaneme:

A teraz si môžete pokojne zapísať vzorec pre korene, vypočítať diskriminant a doplniť príklad. Rozhodnite sa sami. Mali by ste skončiť s koreňmi 2 a -1.

Druhý príjem. Skontrolujte svoje korene! Podľa Vietovej vety. Neboj sa, všetko ti vysvetlím! Kontrola posledná vec rovnica. Tie. ten, ktorým sme zapísali vzorec koreňov. Ak (ako v tomto príklade) koeficient a = 1, ľahko skontrolujte korene. Stačí ich namnožiť. Mali by ste dostať voľný termín, t.j. v našom prípade -2. Pozor, nie 2, ale -2! voľný člen s tvojím znamením . Ak to nevyšlo, znamená to, že sa už niekde pokazili. Hľadajte chybu.

Ak to vyšlo, musíte zložiť korene. Posledná a posledná kontrola. Mal by byť pomer b S opak znamenie. V našom prípade -1+2 = +1. A koeficient b, ktorý je pred x, sa rovná -1. Takže, všetko je správne!
Škoda, že je to také jednoduché len pre príklady, kde x na druhú je čisté, s koeficientom a = 1. Ale overte si aspoň takéto rovnice! Všetko menej chýb bude.

Tretia recepcia . Ak má vaša rovnica zlomkové koeficienty, zbavte sa zlomkov! Vynásobte rovnicu spoločným menovateľom podľa popisu v lekcii "Ako riešiť rovnice? Transformácie identity". Pri práci so zlomkami chyby z nejakého dôvodu stúpajú ...

Mimochodom, sľúbil som zlý príklad s kopou mínusov na zjednodušenie. Prosím! Tu je.

Aby sme sa nemýlili v mínusoch, rovnicu vynásobíme -1. Dostaneme:

To je všetko! Rozhodovanie je zábava!

Zopakujme si teda tému.

Praktické tipy:

1. Pred riešením uvedieme kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru, postavíme ju správny.

2. Ak je pred x v štvorci záporný koeficient, odstránime ho vynásobením celej rovnice -1.

3. Ak sú koeficienty zlomkové, zlomky odstránime vynásobením celej rovnice príslušným koeficientom.

4. Ak je x na druhú čistú, koeficient pre ňu je rovný jednej, riešenie možno ľahko skontrolovať Vietovou vetou. Urob to!

Teraz sa môžete rozhodnúť.)

Riešiť rovnice:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3 x + 8 = 0

x 2 - 4 x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Odpovede (v neporiadku):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - ľubovoľné číslo

x 1 = -3
x 2 = 3

žiadne riešenia

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Sedí všetko? Výborne! Kvadratické rovnice nie sú vaše bolesť hlavy. Prvé tri dopadli, ale zvyšok nie? Potom problém nie je v kvadratických rovniciach. Problém je v identických transformáciách rovníc. Pozrite si odkaz, je to užitočné.

Celkom to nefunguje? Alebo to nefunguje vôbec? Potom vám pomôže sekcia 555. Tam sú všetky tieto príklady zoradené podľa kostí. Zobrazuje sa hlavné chyby v riešení. Samozrejme hovorí aj o využití identické premeny pri riešení rôznych rovníc. Veľa pomáha!

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Viac jednoduchým spôsobom. Ak to chcete urobiť, vyberte z zátvoriek. Dostanete: z(az + b) = 0. Faktory možno zapísať: z=0 a az + b = 0, pretože výsledkom oboch môže byť nula. V zápise az + b = 0 posunieme druhého doprava s iným znamienkom. Odtiaľ dostaneme z1 = 0 a z2 = -b/а. Toto sú korene originálu.

Ak existuje neúplná rovnica v tvare az² + c \u003d 0, v tomto prípade sa nájdu jednoduchým prenesením voľného termínu na pravú stranu rovnice. Zmeňte aj jeho znamenie. Získate záznam az² \u003d -s. Vyjadrite z² = -c/a. Vezmite koreň a napíšte dve riešenia - pozitívne a negatívny význam odmocnina.

Poznámka

Ak sú v rovnici zlomkové koeficienty, vynásobte celú rovnicu príslušným faktorom, aby ste sa zlomkov zbavili.

Znalosť riešenia kvadratických rovníc je potrebná pre školákov aj študentov, niekedy môže pomôcť aj dospelému v bežný život. Existuje niekoľko špecifických metód rozhodovania.

Riešenie kvadratických rovníc

Kvadratická rovnica v tvare a*x^2+b*x+c=0. Koeficient x je požadovaná premenná, a, b, c - číselné koeficienty. Pamätajte, že znamienko „+“ sa môže zmeniť na znamienko „-“.

Na vyriešenie tejto rovnice musíte použiť Vietovu vetu alebo nájsť diskriminant. Najbežnejším spôsobom je nájsť diskriminant, pretože pre niektoré hodnoty a, b, c nie je možné použiť Vietovu vetu.

Ak chcete nájsť diskriminant (D), musíte napísať vzorec D=b^2 - 4*a*c. Hodnota D môže byť väčšia, menšia alebo rovná nule. Ak je D väčšie ako alebo menej ako nula, potom budú dva korene, ak D \u003d 0, zostane iba jeden koreň, presnejšie môžeme povedať, že D má v tomto prípade dva ekvivalentné korene. Dosaďte do vzorca známe koeficienty a, b, c a vypočítajte hodnotu.

Potom, čo ste našli diskriminant, na nájdenie x použite vzorce: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a kde sqrt je funkcia s významom extrakt odmocnina z tohto čísla. Po výpočte týchto výrazov nájdete dva korene vašej rovnice, po ktorých sa rovnica považuje za vyriešenú.

Ak je D menšie ako nula, potom má stále korene. V škole sa tento úsek prakticky neštuduje. Vysokoškoláci by si mali uvedomiť, že pod odmocninou sa objavuje záporné číslo. Eliminuje sa oddelením imaginárnej časti, to znamená, že -1 pod odmocninou sa vždy rovná imaginárnemu prvku „i“, ktorý sa vynásobí odmocninou s rovnakým kladné číslo. Napríklad, ak D=sqrt(-20), po transformácii sa získa D=sqrt(20)*i. Po tejto transformácii sa riešenie rovnice zredukuje na rovnaké zistenie koreňov, ako je opísané vyššie.

Vietov teorém spočíva vo výbere hodnôt x(1) a x(2). Používajú sa dve rovnaké rovnice: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. A veľmi dôležitý bod je znamienko pred koeficientom b, nezabudnite, že toto znamienko je opačné ako v rovnici. Na prvý pohľad sa zdá, že výpočet x(1) a x(2) je veľmi jednoduchý, no pri riešení narazíte na to, že čísla bude treba vybrať presne.

Prvky na riešenie kvadratických rovníc

Podľa pravidiel matematiky môžu byť niektoré faktorizované: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, ak sa vám podarilo transformovať túto kvadratickú rovnicu týmto spôsobom pomocou matematických vzorcov, potom neváhajte napíšte odpoveď. x(1) a x(2) sa budú rovnať susedným koeficientom v zátvorkách, ale s opačné znamenie.

Tiež nezabudnite na neúplné kvadratické rovnice. Možno vám chýbajú niektoré pojmy, ak áno, potom sa všetky jeho koeficienty jednoducho rovnajú nule. Ak pred x^2 alebo x nič nepredchádza, potom sa koeficienty a a b rovnajú 1.

Bibliografický popis: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metódy riešenia kvadratických rovníc // Mladý vedec. - 2016. - č. 6.1. - S. 17-20..02.2019).



Náš projekt je venovaný spôsobom riešenia kvadratických rovníc. Účel projektu: naučiť sa riešiť kvadratické rovnice spôsobmi, ktoré nie sú zahrnuté v školských osnovách. Úloha: nájsť všetko možné spôsoby vyriešte kvadratické rovnice a naučte sa ich používať sami a zoznámte spolužiakov s týmito metódami.

Čo sú to „kvadratické rovnice“?

Kvadratická rovnica- rovnica tvaru sekera2 + bx + c = 0, kde a, b, c- nejaké čísla ( a ≠ 0), X- neznámy.

Čísla a, b, c sa nazývajú koeficienty kvadratickej rovnice.

• a sa nazýva prvý koeficient;
• b sa nazýva druhý koeficient;
• c - voľný člen.

A kto ako prvý „vynašiel“ kvadratické rovnice?

Niektoré algebraické techniky na riešenie lineárnych a kvadratických rovníc boli známe už pred 4000 rokmi v starovekom Babylone. Nájdené staroveké babylonské hlinené tabuľky, datované niekde medzi 1800 a 1600 pred Kristom, sú najskorším dôkazom štúdia kvadratických rovníc. Rovnaké tablety obsahujú metódy na riešenie určitých typov kvadratických rovníc.

Potreba riešiť rovnice nielen prvého, ale aj druhého stupňa v dávnych dobách bola spôsobená potrebou riešiť problémy súvisiace s hľadaním výmer pôdy a zemné práce vojenského charakteru, ako aj s rozvojom astronómie a samotnej matematiky.

Pravidlo na riešenie týchto rovníc uvedené v babylonských textoch sa v podstate zhoduje s tým moderným, ale nie je známe, ako Babylončania k tomuto pravidlu prišli. Takmer všetky doteraz nájdené klinopisné texty uvádzajú len problémy s riešeniami uvedenými vo forme receptov, bez uvedenia spôsobu ich nájdenia. Napriek tomu vysoký stupeň vývoj algebry v Babylone, v klinopisných textoch neexistuje pojem záporného čísla a bežné metódy riešenia kvadratických rovníc.

Babylonskí matematici približne zo 4. storočia pred Kristom. použil metódu štvorcového doplnku na riešenie rovníc s kladnými koreňmi. Okolo roku 300 p.n.l. Euklides prišiel so všeobecnejšou metódou geometrického riešenia. Prvým matematikom, ktorý našiel riešenia rovnice so zápornými koreňmi vo forme algebraického vzorca, bol indický vedec. Brahmagupta(India, 7. storočie nášho letopočtu).

Brahmagupta načrtol všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukovaných na jednu kanonickú formu:

ax2 + bx = c, a>0

V tejto rovnici môžu byť koeficienty záporné. Brahmaguptove pravidlo sa v podstate zhoduje s naším.

V Indii boli verejné súťaže v riešení zložitých problémov bežné. V jednej zo starých indických kníh sa o takýchto súťažiach hovorí: „Ako slnko prežiari hviezdy svojou žiarou, tak vzdelaný človek zažiari slávu na verejných stretnutiach, kde navrhuje a rieši algebraické problémy.“ Úlohy sa často obliekali do poetickej podoby.

V algebraickom pojednaní Al-Khwarizmi je uvedená klasifikácia lineárnych a kvadratických rovníc. Autor uvádza 6 typov rovníc, pričom ich vyjadruje takto:

1) „Štvorce sa rovnajú koreňom“, t.j. ax2 = bx.

2) „Štvorce sa rovnajú číslu“, t.j. ax2 = c.

3) "Korene sa rovnajú číslu", t.j. ax2 = c.

4) „Štvorce a čísla sa rovnajú koreňom“, t.j. ax2 + c = bx.

5) „Štvorce a odmocniny sa rovnajú číslu“, t.j. ax2 + bx = c.

6) „Odmocniny a čísla sa rovnajú štvorcom“, t.j. bx + c == ax2.

Pre Al-Khwarizmiho, ktorý sa vyhýbal použitiu záporné čísla, členy každej z týchto rovníc sú členy, nie odčítanie. V tomto prípade sa zjavne neberú do úvahy rovnice, ktoré nemajú kladné riešenia. Autor načrtáva metódy riešenia týchto rovníc pomocou metód al-jabr a al-muqabala. Jeho rozhodnutie sa, samozrejme, úplne nezhoduje s naším. Nehovoriac o tom, že ide čisto o rétoriku, treba si napríklad uvedomiť, že pri riešení neúplnej kvadratickej rovnice prvého typu Al-Khwarizmi, ako všetci matematici pred 17. storočím, neberie do úvahy nulu. riešenie, pravdepodobne preto, že pri konkrétnych praktických úlohách na tom nezáleží. Pri riešení úplných kvadratických rovníc Al-Khwarizmi stanovuje pravidlá ich riešenia pomocou konkrétnych numerických príkladov a následne ich geometrických dôkazov.

Formuláre na riešenie kvadratických rovníc na modeli Al-Khwarizmi v Európe boli prvýkrát opísané v „Knihe počítadla“, napísanej v roku 1202. taliansky matematik Leonard Fibonacci. Autor nezávisle vyvinul niektoré nové algebraické príklady riešenie problémov a ako prvý v Európe pristúpil k zavedeniu záporných čísel.

Táto kniha prispela k rozšíreniu algebraických poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách. Mnohé úlohy z tejto knihy sa preniesli takmer do všetkých európskych učebníc 14. – 17. storočia. Všeobecné pravidlo riešenia kvadratických rovníc redukovaných na jeden kanonický tvar x2 + bx = c so všetkými možnými kombináciami znakov a koeficientov b, c, bol sformulovaný v Európe v roku 1544. M. Stiefel.

Odvodenie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice v všeobecný pohľad Viet má, ale Viet uznával len pozitívne korene. talianski matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli medzi prvými v 16. storočí. brať do úvahy okrem pozitívnych aj negatívne korene. Až v XVII storočí. vďaka práci Girard, Descartes, Newton a ďalších vedcov naberá spôsob riešenia kvadratických rovníc modernú podobu.

Zvážte niekoľko spôsobov riešenia kvadratických rovníc.

Štandardné spôsoby riešenia kvadratických rovníc zo školských osnov:

1. Faktorizácia ľavej strany rovnice.
2. Metóda výberu plného štvorca.
3. Riešenie kvadratických rovníc podľa vzorca.
4. Grafické riešenie kvadratickej rovnice.
5. Riešenie rovníc pomocou Vietovej vety.

Zastavme sa podrobnejšie pri riešení redukovaných a neredukovaných kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety.

Pripomeňme, že na vyriešenie vyššie uvedených kvadratických rovníc stačí nájsť dve čísla, ktorých súčin sa rovná voľnému členu a súčet sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom.

Príklad.X 2 -5x+6=0

Musíte nájsť čísla, ktorých súčin je 6 a súčet je 5. Tieto čísla budú 3 a 2.

Odpoveď: x 1 = 2, x 2 =3.

Túto metódu však môžete použiť pre rovnice, ktorých prvý koeficient sa nerovná jednej.

Príklad.3x 2 +2x-5=0

Zoberieme prvý koeficient a vynásobíme ho voľným členom: x 2 +2x-15=0

Korene tejto rovnice budú čísla, ktorých súčin je - 15 a súčet - 2. Tieto čísla sú 5 a 3. Aby sme našli korene pôvodnej rovnice, vydelíme získané korene prvým koeficientom.

Odpoveď: x 1 = -5/3, x 2 =1

6. Riešenie rovníc metódou „prenosu“.

Uvažujme kvadratickú rovnicu ax 2 + bx + c = 0, kde a≠0.

Vynásobením oboch jej častí a dostaneme rovnicu a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Nech ax = y, odkiaľ x = y/a; potom dospejeme k rovnici y 2 + by + ac = 0, ktorá je ekvivalentná danej rovnici. Jeho korene nájdeme v 1 a 2 pomocou Vietovej vety.

Nakoniec dostaneme x 1 = y 1 /a a x 2 = y 2 /a.

Pri tejto metóde sa koeficient a násobí voľným členom, akoby sa naň "preniesol", preto sa nazýva "prenosová" metóda. Táto metóda sa používa, keď je ľahké nájsť korene rovnice pomocou Vietovej vety a čo je najdôležitejšie, keď je diskriminantom presný štvorec.

Príklad.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Koeficient 2 "prenesieme" na voľný člen a náhradou dostaneme rovnicu y 2 - 11y + 30 = 0.

Podľa Vietovej inverznej vety

y1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Odpoveď: x 1 = 2,5; X 2 = 3.

7. Vlastnosti koeficientov kvadratickej rovnice.

Nech je daná kvadratická rovnica ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Ak a + b + c \u003d 0 (t. j. súčet koeficientov rovnice je nula), potom x 1 \u003d 1.

2. Ak a - b + c \u003d 0 alebo b \u003d a + c, potom x 1 \u003d - 1.

Príklad.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Pretože a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), potom x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Odpoveď: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Príklad.132x 2 + 247x + 115 = 0

Pretože a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), potom x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Odpoveď: x 1 = -1; X 2 =- 115/132

Existujú aj ďalšie vlastnosti koeficientov kvadratickej rovnice. ale ich použitie je zložitejšie.

8. Riešenie kvadratických rovníc pomocou nomogramu.

Obr 1. Nomogram

Ide o starú a v súčasnosti zabudnutú metódu riešenia kvadratických rovníc, umiestnenú na strane 83 zbierky: Bradis V.M. Štvormiestne matematické tabuľky. - M., Vzdelávanie, 1990.

Tabuľka XXII. Nomogram na riešenie rovníc z2 + pz + q = 0. Tento nomogram umožňuje bez riešenia kvadratickej rovnice určiť korene rovnice jej koeficientmi.

Krivková stupnica nomogramu je zostavená podľa vzorcov (obr. 1):

Za predpokladu OS = p, ED = q, OE = a(všetky v cm), z obr. 1 podobnosť trojuholníkov SAN a CDF dostaneme pomer

odkiaľ po zámenách a zjednodušeniach nasleduje rovnica z 2 + pz + q = 0, a list z znamená označenie akéhokoľvek bodu na zakrivenej stupnici.

Ryža. 2 Riešenie kvadratickej rovnice pomocou nomogramu

Príklady.

1) Pre rovnicu z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram dáva korene z 1 = 8,0 a z 2 = 1,0

Odpoveď: 8,0; 1,0.

2) Riešte rovnicu pomocou nomogramu

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Koeficienty tejto rovnice vydelíme 2, dostaneme rovnicu z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogram dáva korene z 1 = 4 az 2 = 0,5.

Odpoveď: 4; 0,5.

9. Geometrická metóda riešenia kvadratických rovníc.

Príklad.X 2 + 10x = 39.

V origináli je tento problém formulovaný nasledovne: "Druhá mocnina a desať odmocnín sa rovnajú 39."

Zoberme si štvorec so stranou x, na jeho stranách sú postavené obdĺžniky tak, že druhá strana každého z nich je 2,5, teda plocha každého z nich je 2,5x. Výsledný obrazec sa potom doplní do nového štvorca ABCD, pričom v rohoch sa doplnia štyri rovnaké štvorce, pričom strana každého z nich je 2,5 a plocha je 6,25.

Ryža. 3 Grafický spôsob riešenie rovnice x 2 + 10x = 39

Plochu S štvorca ABCD možno znázorniť ako súčet plôch: pôvodný štvorec x 2, štyri obdĺžniky (4∙2,5x = 10x) a štyri pripojené štvorce (6,25∙4 = 25), t.j. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Nahradením x 2 + 10x číslom 39 dostaneme S \u003d 39 + 25 \u003d 64, čo znamená, že strana štvorca ABCD, t.j. segment AB \u003d 8. Pre požadovanú stranu x pôvodného štvorca dostaneme

10. Riešenie rovníc pomocou Bezoutovej vety.

Bezoutova veta. Zvyšok po delení polynómu P(x) binomom x - α sa rovná P(α) (teda hodnote P(x) pri x = α).

Ak je číslo α koreňom polynómu P(x), potom je tento polynóm bezo zvyšku deliteľný x -α.

Príklad.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Vydeľte P(x) (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 alebo x-3=0, x=3; Odpoveď: x1 = 2, x2 =3.

záver: Schopnosť rýchlo a racionálne riešiť kvadratické rovnice je jednoducho potrebná na riešenie zložitejších rovníc, napríklad zlomkových racionálnych rovníc, rovníc vyšších stupňov, bikvadratických rovníc a na strednej škole trigonometrických, exponenciálnych a logaritmické rovnice. Po preštudovaní všetkých nájdených spôsobov riešenia kvadratických rovníc môžeme poradiť spolužiakom, okrem štandardnými spôsobmi, riešenie prenosovou metódou (6) a riešenie rovníc vlastnosťou koeficientov (7), keďže sú prístupnejšie na pochopenie.

Literatúra:

1. Bradis V.M. Štvormiestne matematické tabuľky. - M., Vzdelávanie, 1990.
2. Algebra ročník 8: učebnica pre ročník 8. všeobecné vzdelanie inštitúcie Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15. vydanie, prepracované. - M.: Osveta, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. História matematiky v škole. Príručka pre učiteľov. / Ed. V.N. Mladší. - M.: Osveta, 1964.

Vzorce pre korene kvadratickej rovnice. Zvažujú sa prípady skutočných, viacnásobných a zložitých koreňov. Faktorizácia štvorcového trojčlenu. Geometrická interpretácia. Príklady určovania koreňov a faktorizácie.

Základné vzorce

Zvážte kvadratickú rovnicu:
(1) .
Korene kvadratickej rovnice(1) sa určujú podľa vzorcov:
; .
Tieto vzorce je možné kombinovať takto:
.
Keď sú známe korene kvadratickej rovnice, potom môže byť polynóm druhého stupňa reprezentovaný ako súčin faktorov (faktorovaný):
.

Ďalej predpokladáme, že ide o reálne čísla.
Zvážte diskriminant kvadratickej rovnice:
.
Ak je diskriminant kladný, potom kvadratická rovnica (1) má dva rôzne reálne korene:
; .
Potom má rozklad štvorcového trojčlenu tvar:
.
Ak je diskriminant nulový, potom kvadratická rovnica (1) má dva viacnásobné (rovnaké) skutočné korene:
.
Faktorizácia:
.
Ak je diskriminant záporný, potom kvadratická rovnica (1) má dva komplexne konjugované korene:
;
.
Tu je pomyselná jednotka, ;
a sú skutočnými a imaginárnymi časťami koreňov:
; .
Potom

.

Grafická interpretácia

Ak stavať funkčný graf
,
čo je parabola, potom priesečníky grafu s osou budú koreňmi rovnice
.
Keď , graf pretína os x (os) v dvoch bodoch.
Keď sa graf dotkne osi x v jednom bode.
Keď , graf nepretína os x.

Nižšie sú uvedené príklady takýchto grafov.

Užitočné vzorce súvisiace s kvadratickou rovnicou

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice

Vykonávame transformácie a aplikujeme vzorce (f.1) a (f.3):




,
kde
; .

Takže sme dostali vzorec pre polynóm druhého stupňa v tvare:
.
Z toho vidno, že rovnica

vykonaná o
a .
To je a sú koreňmi kvadratickej rovnice
.

Príklady určenia koreňov kvadratickej rovnice

Príklad 1

(1.1) .

Riešenie

.
V porovnaní s našou rovnicou (1.1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdenie diskriminantu:
.
Keďže diskriminant je kladný, rovnica má dva skutočné korene:
;
;
.

Odtiaľ dostaneme rozklad štvorcového trinomu na faktory:

.

Graf funkcie y = 2 x 2 + 7 x + 3 pretína os x v dvoch bodoch.

Nakreslíme funkciu
.
Graf tejto funkcie je parabola. Pretína os x (os) v dvoch bodoch:
a .
Tieto body sú koreňmi pôvodnej rovnice (1.1).

Odpoveď

;
;
.

Príklad 2

Nájdite korene kvadratickej rovnice:
(2.1) .

Riešenie

Kvadratickú rovnicu napíšeme vo všeobecnom tvare:
.
V porovnaní s pôvodnou rovnicou (2.1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdenie diskriminantu:
.
Keďže diskriminant je nula, rovnica má dva viacnásobné (rovnaké) korene:
;
.

Potom má rozklad trojčlenu tvar:
.

Graf funkcie y = x 2 - 4 x + 4 sa v jednom bode dotýka osi x.

Nakreslíme funkciu
.
Graf tejto funkcie je parabola. Dotýka sa osi x (osi) v jednom bode:
.
Tento bod je koreňom pôvodnej rovnice (2.1). Pretože tento koreň je rozdelený dvakrát:
,
potom sa takýto koreň nazýva násobok. To znamená, že sa domnievajú, že existujú dva rovnaké korene:
.

Odpoveď

;
.

Príklad 3

Nájdite korene kvadratickej rovnice:
(3.1) .

Riešenie

Kvadratickú rovnicu napíšeme vo všeobecnom tvare:
(1) .
Prepíšme pôvodnú rovnicu (3.1):
.
V porovnaní s (1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdenie diskriminantu:
.
Diskriminant je negatívny, . Preto neexistujú žiadne skutočné korene.

Môžete nájsť zložité korene:
;
;
.

Potom


.

Graf funkcie nepretína os x. Neexistujú žiadne skutočné korene.

Nakreslíme funkciu
.
Graf tejto funkcie je parabola. Nepretína abscisu (os). Preto neexistujú žiadne skutočné korene.

Odpoveď

Neexistujú žiadne skutočné korene. Komplexné korene:
;
;
.