Vrste ovisnosti
Razmislite o punjenju baterije. Kao prvu vrijednost, uzmimo vrijeme potrebno za punjenje. Druga vrijednost je vrijeme koje će raditi nakon punjenja. Što se baterija dulje puni, dulje će trajati. Proces će se nastaviti sve dok se baterija potpuno ne napuni.
Ovisnost trajanja baterije o vremenu punjenja
Napomena 1
Ova ovisnost se zove ravno:
Kako se jedna vrijednost povećava, povećava se i druga. Kako se jedna vrijednost smanjuje, smanjuje se i druga vrijednost.
Razmotrimo još jedan primjer.
Što više knjiga učenik pročita, to više manje grešaka radit će u diktatu. Ili što se više penjete na planine, to će biti niži atmosferski tlak.
Napomena 2
Ova ovisnost se zove obrnuto:
Kako se jedna vrijednost povećava, druga se smanjuje. Kako se jedna vrijednost smanjuje, druga vrijednost se povećava.
Dakle, u slučaju izravna ovisnost obje se količine mijenjaju na isti način (obje se ili povećavaju ili smanjuju), a u slučaju inverzni odnos- suprotno (jedno se povećava, a drugo smanjuje ili obrnuto).
Određivanje ovisnosti između veličina
Primjer 1
Vrijeme potrebno za posjetu prijatelju je 20$ minuta. S povećanjem brzine (prve vrijednosti) za 2$ puta, otkrit ćemo kako će se promijeniti vrijeme (druga vrijednost) koje će se potrošiti na putu do prijatelja.
Očito, vrijeme će se smanjiti za 2$ puta.
Napomena 3
Ova ovisnost se zove proporcionalan:
Koliko se puta mijenja jedna vrijednost, koliko puta će se promijeniti druga.
Primjer 2
Za kruh od 2 dolara u trgovini morate platiti 80 rubalja. Ako trebate kupiti kruh od 4$ (količina kruha se povećava 2$ puta), koliko ćete još morati platiti?
Očito, trošak će se također povećati za 2$ puta. Imamo primjer proporcionalna ovisnost.
U oba su primjera razmatrane proporcionalne ovisnosti. Ali u primjeru s hljebovima vrijednosti se mijenjaju u jednom smjeru, pa je ovisnost ravno. A u primjeru s putovanjem do prijatelja odnos brzine i vremena je obrnuto. Dakle, postoji izravno proporcionalni odnos i obrnuto proporcionalni odnos.
Izravna proporcionalnost
Uzmite u obzir proporcionalne količine od 2$: broj kruhova i njihovu cijenu. Neka kruh od 2$ košta 80$ rubalja. S povećanjem broja bacanja za $4$ puta ($8$ role), njihova Ukupni trošak bit će 320 $ rubalja.
Omjer broja valjaka: $\frac(8)(2)=4$.
Omjer cijene role: $\frac(320)(80)=4$.
Kao što vidite, ovi omjeri su međusobno jednaki:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
Definicija 1
Jednakost dvaju odnosa naziva se proporcija.
S izravno proporcionalnim odnosom, omjer se dobiva kada je promjena prve i druge vrijednosti jednaka:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
Definicija 2
Dvije se veličine nazivaju izravno proporcionalna ako se pri promjeni (povećanju ili smanjenju) jedne od njih druga vrijednost promijeni (shodno tome povećava ili smanjuje) za isti iznos.
Primjer 3
Auto je prešao 180$ km za 2$ sata. Pronađite vrijeme koje mu je potrebno da pređe 2$ puta udaljenost s istom brzinom.
Odluka.
Vrijeme je izravno proporcionalno udaljenosti:
$t=\frac(S)(v)$.
Koliko puta će se udaljenost povećati, pri konstantnoj brzini, vrijeme će se povećati za isti iznos:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Automobil je prešao 180$ km - u vremenu od 2$ sata
Auto prijeđe 180$ \cdot 2=360$ km - u vremenu od $x$ sati
Što auto prijeđe veću udaljenost, to će mu trebati više vremena. Stoga je odnos između veličina izravno proporcionalan.
Napravimo proporciju:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Odgovor: Automobilu će trebati 4$ sata.
Obrnuta proporcionalnost
Definicija 3
Odluka.
Vrijeme je obrnuto proporcionalno brzini:
$t=\frac(S)(v)$.
Koliko se puta povećava brzina, s istom putanjom, vrijeme se smanjuje za isti iznos:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Zapišimo uvjet problema u obliku tablice:
Automobil je prešao 60$ km - u vremenu od 6$$ sati
Automobil prijeđe 120$ km - u vremenu od $x$ sati
Što je auto brži, to će mu trebati manje vremena. Stoga je odnos između veličina obrnuto proporcionalan.
Napravimo proporciju.
Jer proporcionalnost je inverzna, drugi omjer okrećemo proporcionalno:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Odgovor: Automobilu će trebati 3$ sata.
§ 129. Preliminarna pojašnjenja.
Čovjek se neprestano bavi najrazličitijim količinama. Zaposlenik i radnik pokušavaju doći do servisa, raditi do određenog vremena, pješak žuri do određenog mjesta najkraćim putem, ložač parno grijanje brine da temperatura u kotlu polako raste, voditelj poslovanja planira smanjenje troškova proizvodnje itd.
Moglo bi se navesti bilo koji broj takvih primjera. Vrijeme, udaljenost, temperatura, cijena - sve su to razne količine. U prvom i drugom dijelu ove knjige upoznali smo se s nekim posebno uobičajenim veličinama: površina, volumen, težina. U proučavanju fizike i drugih znanosti susrećemo se s mnogim veličinama.
Zamislite da ste u vlaku. S vremena na vrijeme pogledate na sat i primijetite koliko ste već dugo na putu. Kažete, na primjer, da je od polaska vašeg vlaka prošlo 2, 3, 5, 10, 15 sati itd. Ovi brojevi označavaju različita vremenska razdoblja; nazivaju se vrijednostima ove količine (vrijeme). Ili gledate kroz prozor i pratite stupove ceste za udaljenost koju vaš vlak putuje. Pred vama bljeskaju brojevi 110, 111, 112, 113, 114 km. Ovi brojevi predstavljaju razne udaljenosti prošao vlakom od polazišta. Nazivaju se i vrijednostima, ovaj put s drugom vrijednošću (put ili udaljenost između dvije točke). Dakle, jedna vrijednost, na primjer, vrijeme, udaljenost, temperatura, može poprimiti bilo koju različita značenja.
Obratite pažnju na to da osoba gotovo nikada ne razmatra samo jednu vrijednost, već je uvijek povezuje s nekim drugim vrijednostima. Mora istovremeno raditi s dvije, tri i više količina. Zamislite da u školu trebate stići do 9 sati. Pogledate na sat i vidite da imate 20 minuta. Tada brzo odlučite hoćete li ići tramvajem ili ćete imati vremena za pješačenje do škole. Nakon razmišljanja, odlučite prošetati. Imajte na umu da ste u trenutku kada ste razmišljali rješavali neki problem. Ovaj zadatak je postao jednostavan i poznat, jer takve probleme rješavate svaki dan. U njemu ste brzo usporedili nekoliko vrijednosti. Vi ste gledali na sat, što znači da ste uzeli u obzir vrijeme, zatim ste mentalno zamišljali udaljenost od svoje kuće do škole; na kraju ste usporedili dvije veličine: brzinu vašeg koraka i brzinu tramvaja i zaključili da ćete u zadanom vremenu (20 minuta) imati vremena hodati. Iz ovog jednostavnog primjera možete vidjeti da su u našoj praksi neke veličine međusobno povezane, odnosno ovise jedna o drugoj
U dvanaestom poglavlju govorilo se o omjeru homogenih količina. Na primjer, ako je jedan segment 12 m, a drugi 4 m, tada će omjer tih segmenata biti 12: 4.
Rekli smo da je to omjer dviju homogenih veličina. Drugim riječima, to je omjer dva broja jedno ime.
Sada kada smo se bolje upoznali s količinama i uveli pojam vrijednosti veličine, možemo na nov način iznijeti definiciju relacije. Doista, kada smo razmatrali dva segmenta 12 m i 4 m, govorili smo o jednoj vrijednosti - dužini, a 12 m i 4 m - to su bila samo dva različita značenja ovu vrijednost.
Stoga ćemo u budućnosti, kada počnemo govoriti o omjeru, razmatrati dvije vrijednosti jedne od nekih veličina, a omjer jedne vrijednosti veličine prema drugoj vrijednosti iste količine zvati ćemo kvocijent dijeljenja prvu vrijednost drugom.
§ 130. Količine su izravno proporcionalne.
Razmotrimo problem čiji uvjet uključuje dvije veličine: udaljenost i vrijeme.
Zadatak 1. Tijelo koje se giba pravocrtno i u svakoj sekundi jednoliko prijeđe 12 cm Odredi put koji je tijelo prešlo za 2, 3, 4, ..., 10 sekundi.
Napravimo tablicu po kojoj bi bilo moguće pratiti promjenu vremena i udaljenosti.
Tablica nam daje priliku da usporedimo ove dvije serije vrijednosti. Iz toga vidimo da kada se vrijednosti prve količine (vrijeme) postupno povećavaju za 2, 3, ..., 10 puta, tada se vrijednosti druge količine (udaljenosti) također povećavaju za 2, 3, ..., 10 puta. Dakle, kada se vrijednosti jedne veličine povećaju nekoliko puta, vrijednosti druge veličine rastu za isti iznos, a kada se vrijednosti jedne veličine smanje nekoliko puta, vrijednosti druge veličine se smanjuju za isti iznos.
Razmotrimo sada problem koji uključuje dvije takve veličine: količinu materije i njezinu cijenu.
Zadatak 2. 15 m tkanine košta 120 rubalja. Izračunajte cijenu ove tkanine za nekoliko drugih količina metara navedenih u tablici.
Iz ove tablice možemo vidjeti kako se vrijednost neke robe postupno povećava, ovisno o porastu njezine količine. Unatoč činjenici da se u ovom problemu pojavljuju potpuno različite količine (u prvom problemu - vrijeme i udaljenost, a ovdje - količina robe i njezin trošak), ipak se u ponašanju tih količina može pronaći velika sličnost.
Doista, u gornjem retku tablice nalaze se brojevi koji označavaju broj metara tkanine, ispod svakog od njih je napisan broj koji izražava trošak odgovarajuće količine robe. Čak i letimičan pogled na ovu tablicu pokazuje da se brojevi u gornjim i donjim redovima povećavaju; pažljivijim proučavanjem tablice i usporedbom pojedinih stupaca ispada da se u svim slučajevima vrijednosti druge veličine povećavaju za isti faktor kao i vrijednosti prve, tj. ako se vrijednost prve veličine povećala se, recimo, 10 puta, tada je vrijednost druge vrijednosti također porasla 10 puta.
Ako pogledamo tablicu s desna na lijevo, vidjet ćemo da će se naznačene vrijednosti količina smanjiti za isti broj jednom. U tom smislu postoji bezuvjetna sličnost između prvog i drugog zadatka.
Parovi veličina koje smo susreli u prvom i drugom zadatku nazivaju se izravno proporcionalan.
Dakle, ako su dvije veličine međusobno povezane na način da s povećanjem (smanjenjem) vrijednosti jedne od njih nekoliko puta, vrijednost druge raste (smanjuje) za isti iznos, tada se takve veličine nazivaju izravno proporcionalne.
O takvim količinama također kažu da su međusobno povezane izravno proporcionalnom ovisnošću.
U prirodi i životu oko nas ima mnogo takvih količina. Evo nekoliko primjera:
1. Vrijeme rad (dan, dva dana, tri dana itd.) i zarada primljene za to vrijeme na dnevnice.
2. Volumen bilo koji predmet izrađen od homogenog materijala, i težina ovu stavku.
§ 131. Svojstvo izravno razmjernih veličina.
Uzmimo problem koji uključuje sljedeće dvije veličine: radno vrijeme i zarade. Ako je dnevna zarada 20 rubalja, tada će zarada za 2 dana biti 40 rubalja, itd. Najprikladnije je sastaviti tablicu u kojoj će određena zarada odgovarati određenom broju dana.
Gledajući ovu tablicu, vidimo da su obje veličine poprimile 10 različitih vrijednosti. Svaka vrijednost prve vrijednosti odgovara određenoj vrijednosti druge vrijednosti, na primjer, 40 rubalja odgovara 2 dana; 5 dana odgovara 100 rubalja. U tablici su ti brojevi upisani jedan ispod drugog.
Već znamo da ako su dvije veličine izravno proporcionalne, onda se svaka od njih, u procesu svoje promjene, povećava za isti iznos kao i druga. Iz ovoga odmah slijedi: ako uzmemo omjer bilo koje dvije vrijednosti prve veličine, onda će on biti jednak omjeru dviju odgovarajućih vrijednosti druge veličine. Doista:
Zašto se ovo događa? Ali budući da su te vrijednosti izravno proporcionalne, odnosno kada se jedna od njih (vrijeme) poveća za 3 puta, onda se druga (zarada) poveća za 3 puta.
Stoga smo došli do sljedećeg zaključka: ako uzmemo bilo koje dvije vrijednosti prve veličine i podijelimo ih jednu s drugom, a zatim jednu s drugom podijelimo vrijednosti druge veličine koja im odgovara, tada u oba slučaja će se dobiti jedan te isti broj, tj. isti odnos. To znači da se dva odnosa koja smo gore napisali mogu povezati znakom jednakosti, t.j.
Nema sumnje da bismo uzeli ne ove odnose, nego druge, i to pogrešnim redoslijedom, ali obrnutim redoslijedom, također dobili jednakost odnosa. Doista, razmotrit ćemo vrijednosti naših količina s lijeva na desno i uzeti treću i devetu vrijednost:
60:180 = 1 / 3 .
Tako možemo napisati:
To podrazumijeva sljedeći zaključak: ako su dvije veličine izravno proporcionalne, tada je omjer dvije proizvoljno uzete vrijednosti prve veličine jednak omjeru dviju odgovarajućih vrijednosti druge veličine.
§ 132. Formula izravne proporcionalnosti.
Napravimo tablicu troškova raznih količina slatkiša, ako 1 kg njih košta 10,4 rubalja.
Učinimo to na ovaj način. Uzmimo bilo koji broj drugog retka i podijelimo ga s odgovarajućim brojem prvog retka. Na primjer:
Vidite da se u kvocijentu stalno dobiva isti broj. Stoga je za zadani par izravno proporcionalnih veličina kvocijent dijeljenja bilo koje vrijednosti jedne veličine s odgovarajućom vrijednošću druge veličine stalan broj (to jest, ne mijenja se). U našem primjeru, ovaj kvocijent je 10,4. Ovaj konstantni broj naziva se faktor proporcionalnosti. U ovom slučaju izražava cijenu mjerne jedinice, odnosno jednog kilograma robe.
Kako pronaći ili izračunati faktor proporcionalnosti? Da biste to učinili, trebate uzeti bilo koju vrijednost jedne količine i podijeliti je s odgovarajućom vrijednošću druge.
Označimo ovu proizvoljnu vrijednost jedne veličine slovom na , te odgovarajuću vrijednost druge količine - slovo x , zatim koeficijent proporcionalnosti (označavamo ga Do) pronaći dijeljenjem:
U ovoj jednakosti na - djeljiv x - razdjelnik i Do- količnik, a budući da je po svojstvu dijeljenja dividenda jednaka djelitelju pomnoženom s količnikom, možemo napisati:
y= K x
Rezultirajuća jednakost se zove formula izravne proporcionalnosti. Koristeći ovu formulu, možemo izračunati bilo koji broj vrijednosti jedne od izravno proporcionalnih veličina, ako znamo odgovarajuće vrijednosti druge veličine i koeficijent proporcionalnosti.
Primjer. Iz fizike znamo da je težina R bilo kojeg tijela jednaka je njegovoj specifičnoj težini d pomnoženo s volumenom ovog tijela V, tj. R = d V.
Uzmite pet željeznih ingota različitih veličina; znajući specifična gravitacijaželjezo (7,8), možemo izračunati težine ovih praznina pomoću formule:
R = 7,8 V.
Uspoređujući ovu formulu s formulom na = Do x , to vidimo y= R, x = V, i koeficijent proporcionalnosti Do= 7,8. Formula je ista, samo su slova različita.
Koristeći ovu formulu, napravimo tablicu: neka volumen 1. praznine bude 8 kubičnih metara. cm, tada je njegova težina 7,8 8 \u003d 62,4 (g). Volumen 2. praznine je 27 kubičnih metara. cm. Njegova težina je 7,8 27 \u003d 210,6 (g). Tablica će izgledati ovako:
Pomoću formule sami izračunajte brojeve koji nedostaju u ovoj tablici R= d V.
§ 133. Drugi načini rješavanja zadataka s izravno proporcionalnim veličinama.
U prethodnom odlomku riješili smo problem čiji je uvjet uključivao izravno proporcionalne veličine. U tu svrhu smo prethodno izveli formulu izravne proporcionalnosti, a zatim primijenili ovu formulu. Sada ćemo pokazati još dva načina rješavanja sličnih problema.
Napravimo zadatak prema brojčanim podacima danim u tablici prethodnog stavka.
Zadatak. Prazan s volumenom od 8 kubičnih metara. cm teži 62,4 g. Koliko će težiti prazan prostor zapremine 64 kubična metra? cm?
Odluka. Težina željeza, kao što znate, proporcionalna je njegovom volumenu. Ako 8 cu. cm teži 62,4 g, zatim 1 cu. cm će težiti 8 puta manje, t.j.
62,4:8 = 7,8 (g).
Prazan dio s volumenom od 64 kubična metra. cm će težiti 64 puta više od praznine od 1 cu. cm, tj.
7,8 64 = 499,2 (g).
Naš problem smo riješili svođenjem na jedinstvo. Značenje ovog naziva opravdano je činjenicom da smo, da bismo ga riješili, u prvom pitanju morali pronaći težinu jedinice volumena.
2. Metoda razmjera. Isti problem riješimo metodom proporcija.
Budući da su težina željeza i njegov volumen izravno proporcionalne veličine, omjer dviju vrijednosti jedne količine (volumena) jednak je omjeru dviju odgovarajućih vrijednosti druge količine (težine), tj.
(pismo R označili smo nepoznatu težinu praznine). Odavde:
(G).
Problem se rješava metodom proporcija. To znači da je za njegovo rješavanje proporcija sastavljena od brojeva uključenih u uvjet.
§ 134. Količine su obrnuto proporcionalne.
Razmotrite sljedeći problem: "Pet zidara može dodati zidovi od opeke kod kuće sa 168 dana. Odredi za koliko dana bi 10, 8, 6 itd. zidari mogli obaviti isti posao.
Ako bi 5 zidara srušilo zidove kuće u 168 dana, tada bi (uz istu produktivnost rada) 10 zidara to moglo učiniti dvostruko brže, budući da u prosjeku 10 ljudi radi dvostruko više posla od 5 ljudi.
Napravimo tablicu prema kojoj bi bilo moguće pratiti promjenu broja radnih sati i radnih sati.
Na primjer, da biste saznali koliko će dana trebati 6 radnika, prvo morate izračunati koliko je dana potrebno jednom radniku (168 5 = 840), a zatim šest radnika (840: 6 = 140). Gledajući ovu tablicu, vidimo da su obje veličine dobile šest različitih vrijednosti. Svaka vrijednost prve veličine više odgovara; vrijednost druge vrijednosti, na primjer, 10 odgovara 84, broj 8 - broj 105, itd.
Ako razmotrimo vrijednosti obje vrijednosti s lijeva na desno, vidjet ćemo da se vrijednosti gornje vrijednosti povećavaju, a vrijednosti donje vrijednosti smanjuju. Uzlazno i silazno su predmet sljedeći zakon: vrijednosti broja radnika rastu za isti faktor kao što se smanjuju vrijednosti utrošenog radnog vremena. Još jednostavnije, ova se ideja može izraziti na sljedeći način: što je više radnika zaposleno u bilo kojem poslu, manje im je vremena potrebno za obavljanje određenog posla. Dvije veličine na koje smo naišli u ovom problemu nazivaju se obrnuto proporcionalan.
Dakle, ako su dvije veličine međusobno povezane tako da s povećanjem (smanjenjem) vrijednosti jedne od njih nekoliko puta, vrijednost druge opada (povećava) za isti iznos, tada se takve veličine nazivaju obrnuto proporcionalne.
Mnogo je takvih stvari u životu. Navedimo primjere.
1. Ako za 150 rubalja. trebate kupiti nekoliko kilograma slatkiša, tada će broj slatkiša ovisiti o cijeni jednog kilograma. Što je cijena viša, tim se novcem može kupiti manje robe; to se vidi iz tabele:
S povećanjem cijene slatkiša nekoliko puta, broj kilograma slatkiša koji se mogu kupiti za 150 rubalja smanjuje se za isti iznos. U ovom slučaju, dvije količine (težina proizvoda i njegova cijena) su obrnuto proporcionalne.
2. Ako je udaljenost između dva grada 1200 km, tada se može prijeći u različito vrijeme ovisno o brzini kretanja. postojati različiti putevi prijevoz: pješice, na konju, biciklom, čamcem, automobilom, vlakom, avionom. Što je brzina manja, to je više vremena potrebno za kretanje. To se može vidjeti iz tablice:
S povećanjem brzine nekoliko puta, vrijeme kretanja se smanjuje za isti iznos. Dakle, pod danim uvjetima, brzina i vrijeme su obrnuto proporcionalni.
§ 135. Svojstvo obrnuto proporcionalnih veličina.
Uzmimo drugi primjer, koji smo razmotrili u prethodnom odlomku. Tu smo imali posla s dvije veličine – brzinom kretanja i vremenom. Ako u tablici razmotrimo vrijednosti ovih veličina s lijeva na desno, vidjet ćemo da se vrijednosti prve veličine (brzine) povećavaju, a vrijednosti druge (vrijeme) smanjuju, a brzina raste za isti faktor kako se vrijeme smanjuje. Lako je shvatiti da ako napišete omjer nekih vrijednosti jedne veličine, onda on neće biti jednak omjeru odgovarajućih vrijednosti druge veličine. Doista, ako uzmemo omjer četvrte vrijednosti gornje vrijednosti i sedme vrijednosti (40: 80), onda neće biti jednak omjeru četvrte i sedme vrijednosti donje vrijednosti (30: 15 ). Može se napisati ovako:
40:80 nije jednako 30:15 ili 40:80 =/= 30:15.
Ali ako umjesto jednog od ovih omjera uzmemo suprotno, onda ćemo dobiti jednakost, tj. iz tih omjera će biti moguće napraviti proporciju. Na primjer:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
Na temelju prethodno navedenog možemo izvući sljedeći zaključak: ako su dvije veličine obrnuto proporcionalne, tada je omjer dviju proizvoljno uzetih vrijednosti jedne veličine jednak obrnutom omjeru odgovarajućih vrijednosti druge veličine.
§ 136. Formula obrnute proporcionalnosti.
Razmotrite problem: “Postoji 6 komada svilene tkanine različite veličine i različite sorte. Svi komadi su iste cijene. U jednom komadu 100 m tkanine po cijeni od 20 rubalja. po metru. Koliko metara ima svaki od ostalih pet komada, ako metar tkanine u tim komadima košta 25, 40, 50, 80, 100 rubalja? Napravimo tablicu za rješavanje ovog problema:
Moramo popuniti prazne ćelije u gornjem redu ove tablice. Pokušajmo prvo odrediti koliko metara ima drugi komad. To se može učiniti na sljedeći način. Iz uvjeta zadatka poznato je da je cijena svih komada ista. Trošak prvog komada je lako odrediti: ima 100 m i svaki metar košta 20 rubalja, što znači da je u prvom komadu svile za 2000 rubalja. Budući da drugi komad svile sadrži isti broj rubalja, onda, dijeleći 2000 rubalja. po cijeni jednog metra, odnosno na 25, nalazimo vrijednost drugog komada: 2.000 : 25 = 80 (m). Na isti način ćemo pronaći veličinu svih ostalih komada. Tablica će izgledati ovako:
Lako je vidjeti da postoji inverzni odnos između broja metara i cijene.
Ako sami napravite potrebne izračune, primijetit ćete da svaki put morate broj 2000 podijeliti s cijenom 1 m. Obrnuto, ako sada počnete množiti veličinu komada u metrima s cijenom od 1 m, uvijek će dobiti broj 2000. i bilo je za očekivati, budući da svaki komad košta 2000 rubalja.
Iz ovoga možemo izvući sljedeći zaključak: za zadani par obrnuto proporcionalnih veličina, umnožak bilo koje vrijednosti jedne veličine na odgovarajuću vrijednost druge veličine je stalan broj (tj. ne mijenja se).
U našem zadatku ovaj je umnožak jednak 2000. Provjerite da je u prethodnom zadatku, koji je govorio o brzini kretanja i vremenu potrebnom za prelazak iz jednog grada u drugi, također postojao konstantan broj za taj zadatak (1200).
Uzimajući u obzir sve rečeno, lako je izvesti formulu obrnute proporcionalnosti. Slovom označimo neku vrijednost jedne veličine x , a odgovarajuća vrijednost druge vrijednosti - slovo na . Zatim, na temelju navedenog rada x na na mora biti jednaka nekoj konstantnoj vrijednosti, koju označavamo slovom Do, tj.
x y = Do.
U ovoj jednakosti x - množitelj, na - množitelj i K- rad. Po svojstvu množenja množitelj je jednak umnošku podijeljenom s množenjem. Sredstva,
Ovo je formula obrnute proporcionalnosti. Koristeći ga, možemo izračunati bilo koji broj vrijednosti jedne od obrnuto proporcionalnih veličina, znajući vrijednosti druge i konstantan broj Do.
Razmotrimo još jedan problem: “Autor jednog eseja izračunao je da bi njegova knjiga u uobičajenom formatu imala 96 stranica, ali da je džepni format, onda bi imala 300 stranica. On je pokušao različite varijante, počeo s 96 stranica, a onda je dobio 2500 slova po stranici. Zatim je uzeo broj stranica naveden u donjoj tablici i ponovno izračunao koliko bi slova bilo na stranici.
Pokušajmo izračunati koliko će slova biti na stranici ako knjiga ima 100 stranica.
U cijeloj knjizi ima 240.000 slova, budući da je 2.500 96 = 240.000.
Uzimajući to u obzir, koristimo formulu obrnute proporcionalnosti ( na - broj slova po stranici x - broj stranica):
U našem primjeru Do= 240 000, dakle,
Dakle, na stranici ima 2400 slova.
Slično tome, saznajemo da ako knjiga ima 120 stranica, tada će broj slova na stranici biti:
Naš stol će izgledati ovako:
Ostale ćelije popunite sami.
§ 137. Drugi načini rješavanja zadataka s obrnuto proporcionalnim veličinama.
U prethodnom odlomku rješavali smo zadatke koji su uključivali obrnuto proporcionalne veličine. Prethodno smo izveli formulu obrnute proporcionalnosti, a zatim primijenili ovu formulu. Sada ćemo pokazati još dva načina rješavanja takvih problema.
1. Metoda svođenja na jedinstvo.
Zadatak. 5 tokara može obaviti neki posao za 16 dana. Za koliko dana 8 tokara može završiti ovaj posao?
Odluka. Postoji obrnuti odnos između broja okretača i radnog vremena. Ako 5 tokara obavi posao u 16 dana, tada će jednoj osobi za to trebati 5 puta više vremena, t.j.
5 tokara obavi posao za 16 dana,
1 tokar završit će ga za 16 5 = 80 dana.
Problem se pita za koliko dana će 8 tokara završiti posao. Očito će obaviti posao 8 puta brže od 1 tokara, tj. za
80: 8 = 10 (dana).
Ovo je rješenje problema metodom redukcije na jedinstvo. Ovdje je prije svega trebalo odrediti vrijeme za obavljanje poslova jednog radnika.
2. Metoda razmjera. Isti problem riješimo na drugi način.
Budući da postoji inverzni odnos između broja radnika i radnog vremena, možemo napisati: trajanje rada 5 tokara novi broj tokara (8) trajanje rada 8 tokara prijašnji broj tokara (5 ) Označimo slovom željeno trajanje rada x i zamjena u omjeru izraženom riječima, potrebni brojevi:
Isti problem rješava se metodom proporcija. Da bismo ga riješili, morali smo napraviti proporciju brojeva uključenih u uvjet problema.
Bilješka. U prethodnim odlomcima razmatrali smo pitanje izravne i inverzne proporcionalnosti. Priroda i život nam daju mnoge primjere izravnih i inverznih omjera količina. Međutim, treba napomenuti da su ove dvije vrste ovisnosti samo najjednostavnije. Uz njih, postoje i drugi, složeniji odnosi između veličina. Osim toga, ne treba misliti da ako se bilo koje dvije veličine istovremeno povećavaju, onda između njih nužno postoji izravna proporcionalnost. Ovo je daleko od istine. Na primjer, cijena karte za željeznička pruga raste s udaljenosti: što dalje idemo, više plaćamo, ali to ne znači da je plaćanje proporcionalno udaljenosti.
Dvije se veličine nazivaju izravno proporcionalna, ako kada se jedan od njih poveća nekoliko puta, drugi se poveća za isti iznos. Prema tome, kada se jedan od njih smanji za nekoliko puta, drugi se smanjuje za isti iznos.
Odnos između takvih veličina izravno je proporcionalan. Primjeri izravno proporcionalnog odnosa:
1) pri konstantnoj brzini, prijeđeni put izravno je proporcionalan vremenu;
2) opseg kvadrata i njegova stranica su izravno proporcionalni;
3) trošak robe kupljene po jednoj cijeni izravno je proporcionalan njezinoj količini.
Da biste razlikovali izravni proporcionalni odnos od obrnutog, možete koristiti poslovicu: "Što dalje u šumu, to je više drva za ogrjev."
Zgodno je rješavati probleme za izravno proporcionalne veličine pomoću proporcija.
1) Za izradu 10 dijelova potrebno je 3,5 kg metala. Koliko će metala biti utrošeno za izradu 12 takvih dijelova?
(Svađamo se ovako:
1. U dovršenom stupcu stavite strelicu u smjeru od više na onaj manji.
2. Što više dijelova, potrebno je više metala za njihovu izradu. Dakle, to je izravno proporcionalan odnos.
Neka je za izradu 12 dijelova potrebno x kg metala. Izrađujemo omjer (u smjeru od početka strelice do njenog kraja):
12:10=x:3,5
Da bismo pronašli , moramo podijeliti proizvod ekstremnih članova poznatim srednjim članom:
To znači da će biti potrebno 4,2 kg metala.
Odgovor: 4,2 kg.
2) 1680 rubalja plaćeno je za 15 metara tkanine. Koliko košta 12 metara takve tkanine?
(1. U popunjeni stupac stavite strelicu u smjeru od najvećeg broja prema najmanjem.
2. Što manje tkanine kupite, manje je morate platiti. Dakle, to je izravno proporcionalan odnos.
3. Stoga je druga strelica usmjerena u istom smjeru kao i prva).
Neka x rubalja košta 12 metara tkanine. Izrađujemo omjer (od početka strelice do njenog kraja):
15:12=1680:x
Da bismo pronašli nepoznati ekstremni član proporcije, umnožak srednjih članova podijelimo s poznatim ekstremnim članom omjera:
Dakle, 12 metara košta 1344 rubalja.
Odgovor: 1344 rubalja.
Danas ćemo pogledati koje se količine nazivaju obrnuto proporcionalnim, kako izgleda graf inverzne proporcionalnosti i kako vam sve to može biti od koristi ne samo na satu matematike, već i izvan školskih zidova.
Tako različite proporcije
Proporcionalnost imenovati dvije veličine koje su međusobno zavisne.
Ovisnost može biti izravna i obrnuta. Stoga odnos između veličina opisuje ravnu liniju i inverzna proporcionalnost.
Izravna proporcionalnost- to je takav odnos između dvije veličine, u kojem povećanje ili smanjenje jedne od njih dovodi do povećanja ili smanjenja druge. Oni. njihov stav se ne mijenja.
Primjerice, što više truda uložite u pripremu za ispite, to će vam biti veće ocjene. Ili što više stvari ponesete sa sobom na planinarenje, teže je nositi ruksak. Oni. količina truda utrošenog na pripremu ispita izravno je proporcionalna dobivenim ocjenama. A broj stvari spakiranih u ruksak izravno je proporcionalan njegovoj težini.
Obrnuta proporcionalnost- ovo je funkcionalna ovisnost, u kojoj smanjenje ili povećanje za nekoliko puta neovisne vrijednosti (naziva se argument) uzrokuje proporcionalno (tj. za isti iznos) povećanje ili smanjenje zavisne vrijednosti (naziva se funkcija).
Ilustrirajte jednostavan primjer. Želite kupiti jabuke na tržnici. Jabuke na pultu i količina novca u vašem novčaniku obrnuto su povezani. Oni. što više jabuka kupite, manje novca ostat ćeš ti.
Funkcija i njen graf
Funkcija inverzne proporcionalnosti može se opisati kao y = k/x. Pri čemu x≠ 0 i k≠ 0.
Ova funkcija ima sljedeća svojstva:
- Njegovo područje definicije je skup svih realnih brojeva osim x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Raspon su svi realni brojevi osim y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Nema maksimalne ni minimalne vrijednosti.
- Neparan je i njegov graf je simetričan u odnosu na ishodište.
- Neperiodični.
- Njegov graf ne prelazi koordinatne osi.
- Nema nule.
- Ako je a k> 0 (to jest, argument raste), funkcija se proporcionalno smanjuje na svakom od svojih intervala. Ako je a k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Kako se argument povećava ( k> 0) negativne vrijednosti funkcije su u intervalu (-∞; 0), a pozitivne - (0; +∞). Kada se argument smanjuje ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Graf funkcije inverzne proporcionalnosti naziva se hiperbola. Prikazano kako slijedi:
Obrnuti proporcionalni zadaci
Da bi bilo jasnije, pogledajmo nekoliko zadataka. Nisu previše komplicirane, a njihovo rješenje pomoći će vam vizualizirati što je inverzni omjer i kako vam to znanje može koristiti u svakodnevnom životu.
Zadatak broj 1. Automobil se kreće brzinom od 60 km/h. Trebalo mu je 6 sati da stigne na odredište. Koliko će mu trebati da prijeđe istu udaljenost ako se kreće dvostruko većom brzinom?
Možemo započeti tako da zapišemo formulu koja opisuje odnos vremena, udaljenosti i brzine: t = S/V. Slažem se, jako nas podsjeća na funkciju inverzne proporcionalnosti. A pokazuje da su vrijeme koje automobil provede na cesti i brzina kojom se kreće obrnuto proporcionalni.
Da bismo to potvrdili, pronađimo V 2, koji je, prema uvjetu, 2 puta veći: V 2 = 60 * 2 = 120 km / h. Zatim izračunavamo udaljenost pomoću formule S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sada nije teško saznati vrijeme t 2 koje se od nas traži prema uvjetu zadatka: t 2 = 360/120 = 3 sata.
Kao što možete vidjeti, vrijeme putovanja i brzina doista su obrnuto proporcionalni: s brzinom 2 puta većom od izvorne, automobil će provesti 2 puta manje vremena na cesti.
Rješenje ovog problema može se napisati i kao proporcija. Zašto pravimo dijagram ovako:
↓ 60 km/h – 6 h
↓120 km/h – x h
Strelice označavaju inverzni odnos. I također predlažu da se pri sastavljanju omjera desna strana zapisa mora okrenuti: 60/120 \u003d x / 6. Gdje dobivamo x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 sata.
Zadatak broj 2. Radionica zapošljava 6 radnika koji zadanu količinu posla izlaze na kraj za 4 sata. Ako se broj radnika prepolovi, koliko će vremena trebati preostalim radnicima da završe istu količinu posla?
Uvjete zadatka zapisujemo u obliku vizualna shema:
↓ 6 radnika - 4 sata
↓ 3 radnika - x h
Zapišimo ovo kao omjer: 6/3 = x/4. I dobivamo x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 sati Ako ima 2 puta manje radnika, ostali će potrošiti 2 puta više vremena da dovrše sav posao.
Zadatak broj 3. Dvije cijevi vode do bazena. Kroz jednu cijev voda ulazi brzinom od 2 l/s i puni bazen za 45 minuta. Kroz drugu cijev bazen će se napuniti za 75 minuta. Koliko brzo voda ulazi u bazen kroz ovu cijev?
Za početak ćemo sve zadane veličine prema stanju zadatka dovesti na iste mjerne jedinice. Da bismo to učinili, izražavamo brzinu punjenja bazena u litrama po minuti: 2 l / s = 2 * 60 = 120 l / min.
Budući da iz uvjeta proizlazi da se bazen puni sporije kroz drugu cijev, to znači da je brzina dotoka vode manja. Na licu obrnute proporcije. Izrazimo nam nepoznatu brzinu u terminima x i nacrtajmo sljedeću shemu:
↓ 120 l/min - 45 min
↓ x l/min – 75 min
A onda ćemo napraviti omjer: 120 / x = 75/45, odakle je x = 120 * 45/75 = 72 l / min.
U zadatku je brzina punjenja bazena izražena u litrama u sekundi, dovedemo naš odgovor u isti oblik: 72/60 = 1,2 l/s.
Zadatak broj 4. Posjetnice se tiskaju u maloj privatnoj tiskari. Zaposlenik tiskare radi brzinom od 42 posjetnice na sat i radi puno radno vrijeme - 8 sati. Ako je radio brže i tiskao 48 posjetnica na sat, koliko bi prije mogao otići kući?
Idemo na dokazan način i izrađujemo shemu prema stanju problema, označavajući željenu vrijednost kao x:
↓ 42 posjetnice/h – 8 h
↓ 48 posjetnica/h – xh
Pred nama je obrnuto proporcionalan odnos: koliko puta više posjetnica po satu ispiše zaposlenik tiskare, toliko će mu vremena trebati da završi isti posao. Znajući to, možemo postaviti omjer:
42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 sati.
Dakle, nakon što je posao završio za 7 sati, djelatnik tiskare mogao je otići kući sat vremena ranije.
Zaključak
Čini nam se da su ti problemi inverzne proporcionalnosti doista jednostavni. Nadamo se da ih sada i vi smatrate takvima. I što je najvažnije, znanje o obrnuto proporcionalnoj ovisnosti količina zaista vam može biti korisno više puta.
Ne samo na satovima matematike i ispitima. Ali čak i tada, kada ste na putu na put, idite u kupovinu, odlučite zaraditi nešto novca za vrijeme praznika itd.
Recite nam u komentarima koje primjere inverzne i izravne proporcionalnosti primjećujete oko sebe. Neka ovo bude igra. Vidjet ćete kako je uzbudljivo. Ne zaboravite podijeliti ovaj članak društvene mreže tako da se i vaši prijatelji i kolege mogu igrati.
stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.
