Inverzni omjer. Obrnuta proporcionalnost u matematici i životu

Dvije se veličine nazivaju izravno proporcionalan, ako kada se jedan od njih poveća nekoliko puta, drugi se poveća za isti iznos. Prema tome, kada se jedan od njih smanji za nekoliko puta, drugi se smanjuje za isti iznos.

Odnos između takvih veličina izravno je proporcionalan. Izravni primjeri proporcionalna ovisnost:

1) pri konstantnoj brzini, prijeđeni put izravno je proporcionalan vremenu;

2) opseg kvadrata i njegova stranica su izravno proporcionalni;

3) trošak robe kupljene po jednoj cijeni izravno je proporcionalan njezinoj količini.

Da biste razlikovali izravni proporcionalni odnos od obrnutog, možete koristiti poslovicu: "Što dalje u šumu, to je više drva za ogrjev."

Zgodno je rješavati probleme za izravno proporcionalne veličine pomoću proporcija.

1) Za izradu 10 dijelova potrebno je 3,5 kg metala. Koliko će metala biti utrošeno za izradu 12 takvih dijelova?

(Svađamo se ovako:

1. U dovršenom stupcu stavite strelicu u smjeru od više na onaj manji.

2. Što više dijelova, potrebno je više metala za njihovu izradu. Dakle, to je izravno proporcionalan odnos.

Neka je za izradu 12 dijelova potrebno x kg metala. Izrađujemo omjer (u smjeru od početka strelice do njenog kraja):

12:10=x:3,5

Da bismo pronašli , moramo podijeliti proizvod ekstremnih članova poznatim srednjim članom:

To znači da će biti potrebno 4,2 kg metala.

Odgovor: 4,2 kg.

2) 1680 rubalja plaćeno je za 15 metara tkanine. Koliko košta 12 metara takve tkanine?

(1. U popunjeni stupac stavite strelicu u smjeru od najvećeg broja prema najmanjem.

2. Što manje tkanine kupite, manje je morate platiti. Dakle, to je izravno proporcionalan odnos.

3. Stoga je druga strelica usmjerena u istom smjeru kao i prva).

Neka x rubalja košta 12 metara tkanine. Izrađujemo omjer (od početka strelice do njenog kraja):

15:12=1680:x

Da bismo pronašli nepoznati ekstremni član proporcije, umnožak srednjih članova podijelimo s poznatim ekstremnim članom omjera:

Dakle, 12 metara košta 1344 rubalja.

Odgovor: 1344 rubalja.

Proporcionalnost je odnos između dviju veličina, u kojem promjena jedne od njih povlači promjenu druge za isti iznos.

Proporcionalnost je izravna i inverzna. U ovoj lekciji pogledat ćemo svaki od njih.

Izravna proporcionalnost

Pretpostavimo da se automobil kreće brzinom od 50 km/h. Sjećamo se da je brzina put koji se prijeđe u jedinici vremena (1 sat, 1 minuta ili 1 sekunda). U našem primjeru, automobil se kreće brzinom od 50 km / h, odnosno za jedan sat će prijeći udaljenost jednaku pedeset kilometara.

Nacrtajmo udaljenost koju automobil prijeđe za 1 sat.

Neka auto vozi još sat vremena istom brzinom od pedeset kilometara na sat. Tada se ispostavlja da će automobil prijeći 100 km

Kao što se vidi iz primjera, udvostručenje vremena dovelo je do povećanja prijeđene udaljenosti za isti iznos, odnosno dva puta.

Za veličine kao što su vrijeme i udaljenost kaže se da su izravno proporcionalne. Odnos između tih veličina naziva se izravna proporcionalnost.

Izravna proporcionalnost je odnos između dviju veličina, u kojem povećanje jedne od njih povlači povećanje druge za isti iznos.

i obrnuto, ako se jedna vrijednost smanji za određeni broj puta, onda se i druga smanji za isti iznos.

Pretpostavimo da je prvotno bilo planirano da automobil odveze 100 km za 2 sata, no nakon vožnje od 50 km vozač je odlučio napraviti pauzu. Tada se ispostavlja da će se smanjenjem udaljenosti za polovicu vrijeme smanjiti za isti iznos. Drugim riječima, smanjenje prijeđene udaljenosti dovest će do smanjenja vremena za isti faktor.

Zanimljiva značajka izravno proporcionalnih veličina je da je njihov omjer uvijek konstantan. Odnosno, kada se mijenjaju vrijednosti izravno proporcionalnih veličina, njihov omjer ostaje nepromijenjen.

U razmatranom primjeru udaljenost je isprva bila jednaka 50 km, a vrijeme je bilo jedan sat. Omjer udaljenosti i vremena je broj 50.

Ali povećali smo vrijeme kretanja za 2 puta, što ga čini jednakim dva sata. Kao rezultat toga, prijeđena udaljenost povećala se za isti iznos, odnosno postala je jednaka 100 km. Omjer sto kilometara i dva sata opet je broj 50

Zove se broj 50 koeficijent izravne proporcionalnosti. Pokazuje kolika je udaljenost po satu kretanja. U ovom slučaju koeficijent igra ulogu brzine kretanja, budući da je brzina omjer prijeđene udaljenosti i vremena.

Proporcije se mogu napraviti iz izravno proporcionalnih veličina. Na primjer, omjeri i čine omjer:

Pedeset kilometara se odnosi na jedan sat kao sto kilometara na dva sata.

Primjer 2. Trošak i količina kupljene robe izravno su proporcionalni. Ako 1 kg slatkiša košta 30 rubalja, tada će 2 kg istih slatkiša koštati 60 rubalja, 3 kg - 90 rubalja. S povećanjem cijene kupljene robe, njezina količina raste za isti iznos.

Budući da su vrijednost robe i njezina količina izravno proporcionalne, njihov je omjer uvijek stalan.

Zapišimo omjer od trideset rubalja do jednog kilograma

Sada zapišimo koliko je jednak omjer od šezdeset rubalja do dva kilograma. Ovaj će omjer opet biti jednak trideset:

Ovdje je koeficijent izravne proporcionalnosti broj 30. Ovaj koeficijent pokazuje koliko je rubalja po kilogramu slatkiša. NA ovaj primjer koeficijent igra ulogu cijene jednog kilograma robe, budući da je cijena omjer cijene robe i njezine količine.

Obrnuta proporcionalnost

Razmotrimo sljedeći primjer. Udaljenost između dva grada je 80 km. Motociklist je napustio prvi grad, a brzinom od 20 km/h stigao do drugog grada za 4 sata.

Ako je brzina motociklista bila 20 km/h, to znači da je svaki sat prešao udaljenost jednaku dvadeset kilometara. Opišimo na slici udaljenost koju je prešao motociklist i vrijeme njegovog kretanja:

U povratku je brzina motociklista bila 40 km/h, a na istom putu proveo je 2 sata.

Lako je vidjeti da se pri promjeni brzine i vrijeme kretanja promijenilo za isti iznos. Štoviše, promijenio se u suprotnom smjeru - to jest, brzina se povećala, a vrijeme se, naprotiv, smanjilo.

Veličine kao što su brzina i vrijeme nazivaju se obrnuto proporcionalne. Odnos između tih veličina naziva se inverzna proporcionalnost.

Inverzna proporcionalnost je odnos između dviju veličina, u kojem povećanje jedne od njih povlači smanjenje druge za isti iznos.

i obrnuto, ako se jedna vrijednost smanji za određeni broj puta, onda se i druga povećava za isti iznos.

Na primjer, ako je na povratku brzina motociklista bila 10 km / h, tada bi prešao istih 80 km za 8 sati:

Kao što se može vidjeti iz primjera, smanjenje brzine dovelo je do povećanja vremena putovanja za isti faktor.

Posebnost obrnuto proporcionalnih veličina je u tome što je njihov umnožak uvijek stalan. Odnosno, kada se mijenjaju vrijednosti obrnuto proporcionalnih veličina, njihov proizvod ostaje nepromijenjen.

U razmatranom primjeru udaljenost između gradova bila je 80 km. Pri promjeni brzine i vremena motociklista ta je udaljenost uvijek ostala nepromijenjena.

Motociklist bi ovu udaljenost brzinom od 20 km/h mogao prijeći za 4 sata, a brzinom od 40 km/h za 2 sata, a brzinom od 10 km/h za 8 sati. U svim slučajevima umnožak brzine i vremena bio je jednak 80 km

Svidjela ti se lekcija?
Pridružite se našoj novoj grupi Vkontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama

Danas ćemo pogledati koje se količine nazivaju obrnuto proporcionalnim, kako izgleda graf inverzne proporcionalnosti i kako vam sve to može biti od koristi ne samo na satu matematike, već i izvan školskih zidova.

Tako različite proporcije

Proporcionalnost imenovati dvije veličine koje su međusobno zavisne.

Ovisnost može biti izravna i obrnuta. Stoga odnos između veličina opisuje izravnu i obrnutu proporcionalnost.

Izravna proporcionalnost- to je takav odnos između dvije veličine, u kojem povećanje ili smanjenje jedne od njih dovodi do povećanja ili smanjenja druge. Oni. njihov stav se ne mijenja.

Primjerice, što više truda uložite u pripremu za ispite, to će vam biti veće ocjene. Ili što više stvari ponesete sa sobom na planinarenje, teže je nositi ruksak. Oni. količina truda utrošenog na pripremu ispita izravno je proporcionalna dobivenim ocjenama. A broj stvari spakiranih u ruksak izravno je proporcionalan njegovoj težini.

Obrnuta proporcionalnost - ovo je funkcionalna ovisnost, u kojoj smanjenje ili povećanje za nekoliko puta neovisne vrijednosti (naziva se argument) uzrokuje proporcionalno (tj. za isti iznos) povećanje ili smanjenje zavisne vrijednosti (naziva se funkcija).

Ilustrirajte jednostavan primjer. Želite kupiti jabuke na tržnici. Jabuke na pultu i količina novca u vašem novčaniku obrnuto su povezani. Oni. što više jabuka kupite, manje novca ostat ćeš ti.

Funkcija i njen graf

Funkcija inverzne proporcionalnosti može se opisati kao y = k/x. Pri čemu x≠ 0 i k≠ 0.

Ova funkcija ima sljedeća svojstva:

1. Njegovo područje definicije je skup svih realnih brojeva osim x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Raspon su svi realni brojevi osim y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nema maksimalne ni minimalne vrijednosti.
4. Neparan je i njegov graf je simetričan u odnosu na ishodište.
5. Neperiodični.
6. Njegov graf ne prelazi koordinatne osi.
7. Nema nule.
8. Ako je a k> 0 (to jest, argument raste), funkcija se proporcionalno smanjuje na svakom od svojih intervala. Ako je a k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Kako se argument povećava ( k> 0) negativne vrijednosti funkcije su u intervalu (-∞; 0), a pozitivne - (0; +∞). Kada se argument smanjuje ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf funkcije inverzne proporcionalnosti naziva se hiperbola. Prikazano kako slijedi:

Obrnuti proporcionalni zadaci

Da bi bilo jasnije, pogledajmo nekoliko zadataka. Nisu previše komplicirane, a njihovo rješenje pomoći će vam vizualizirati što je inverzni omjer i kako vam to znanje može biti korisno u svakodnevnom životu.

Zadatak broj 1. Automobil se kreće brzinom od 60 km/h. Trebalo mu je 6 sati da stigne na odredište. Koliko će mu trebati da prijeđe istu udaljenost ako se kreće dvostruko većom brzinom?

Možemo započeti tako da zapišemo formulu koja opisuje odnos vremena, udaljenosti i brzine: t = S/V. Slažem se, jako nas podsjeća na funkciju inverzne proporcionalnosti. A pokazuje da su vrijeme koje automobil provede na cesti i brzina kojom se kreće obrnuto proporcionalni.

Da bismo to potvrdili, pronađimo V 2, koji je, prema uvjetu, 2 puta veći: V 2 = 60 * 2 = 120 km / h. Zatim izračunavamo udaljenost pomoću formule S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sada nije teško saznati vrijeme t 2 koje se od nas traži prema uvjetu zadatka: t 2 = 360/120 = 3 sata.

Kao što vidite, vrijeme putovanja i brzina doista su obrnuto proporcionalni: s brzinom 2 puta većom od izvorne, automobil će provesti 2 puta manje vremena na cesti.

Rješenje ovog problema može se napisati i kao proporcija. Zašto pravimo dijagram ovako:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Strelice označavaju inverzni odnos. I također predlažu da se pri sastavljanju omjera desna strana zapisa mora okrenuti: 60/120 \u003d x / 6. Gdje dobivamo x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 sata.

Zadatak broj 2. Radionica zapošljava 6 radnika koji zadanu količinu posla izlaze na kraj za 4 sata. Ako se broj radnika prepolovi, koliko će vremena trebati preostalim radnicima da završe istu količinu posla?

Uvjete zadatka zapisujemo u obliku vizualna shema:

↓ 6 radnika - 4 sata

↓ 3 radnika - x h

Zapišimo ovo kao omjer: 6/3 = x/4. I dobivamo x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 sati Ako ima 2 puta manje radnika, ostali će potrošiti 2 puta više vremena da dovrše sav posao.

Zadatak broj 3. Dvije cijevi vode do bazena. Kroz jednu cijev voda ulazi brzinom od 2 l/s i puni bazen za 45 minuta. Kroz drugu cijev bazen će se napuniti za 75 minuta. Koliko brzo voda ulazi u bazen kroz ovu cijev?

Za početak ćemo sve zadane veličine prema stanju zadatka dovesti na iste mjerne jedinice. Da bismo to učinili, izražavamo brzinu punjenja bazena u litrama po minuti: 2 l / s = 2 * 60 = 120 l / min.

Budući da iz uvjeta proizlazi da se bazen puni sporije kroz drugu cijev, to znači da je brzina dotoka vode manja. Na licu obrnute proporcije. Izrazimo nam nepoznatu brzinu u terminima x i nacrtajmo sljedeću shemu:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

A onda ćemo napraviti omjer: 120 / x = 75/45, odakle je x = 120 * 45/75 = 72 l / min.

U zadatku je brzina punjenja bazena izražena u litrama u sekundi, dovedemo naš odgovor u isti oblik: 72/60 = 1,2 l/s.

Zadatak broj 4. Posjetnice se tiskaju u maloj privatnoj tiskari. Zaposlenik tiskare radi brzinom od 42 posjetnice na sat i radi puno radno vrijeme - 8 sati. Ako je radio brže i tiskao 48 posjetnica na sat, koliko bi prije mogao otići kući?

Idemo na dokazan način i izrađujemo shemu prema stanju problema, označavajući željenu vrijednost kao x:

↓ 42 posjetnice/h – 8 h

↓ 48 posjetnica/h – xh

Pred nama je obrnuto proporcionalan odnos: koliko puta više posjetnica po satu ispiše zaposlenik tiskare, toliko će mu vremena trebati da završi isti posao. Znajući to, možemo postaviti omjer:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 sati.

Dakle, nakon što je posao završio za 7 sati, djelatnik tiskare mogao je otići kući sat vremena ranije.

Zaključak

Čini nam se da su ti problemi inverzne proporcionalnosti doista jednostavni. Nadamo se da ih sada i vi smatrate takvima. I što je najvažnije, znanje o obrnuto proporcionalnoj ovisnosti količina zaista vam može biti korisno više puta.

Ne samo na satovima matematike i ispitima. Ali čak i tada, kada idete na put, ići u kupovinu, odlučite zaraditi za vrijeme praznika itd.

Recite nam u komentarima koje primjere inverzne i izravne proporcionalnosti primjećujete oko sebe. Neka ovo bude igra. Vidjet ćete kako je uzbudljivo. Ne zaboravite podijeliti ovaj članak društvene mreže tako da se i vaši prijatelji i kolege mogu igrati.

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.

Danas ćemo pogledati koje se količine nazivaju obrnuto proporcionalnim, kako izgleda graf inverzne proporcionalnosti i kako vam sve to može biti od koristi ne samo na satu matematike, već i izvan školskih zidova.

Tako različite proporcije

Proporcionalnost imenovati dvije veličine koje su međusobno zavisne.

Ovisnost može biti izravna i obrnuta. Stoga odnos između veličina opisuje izravnu i obrnutu proporcionalnost.

Izravna proporcionalnost- to je takav odnos između dvije veličine, u kojem povećanje ili smanjenje jedne od njih dovodi do povećanja ili smanjenja druge. Oni. njihov stav se ne mijenja.

Primjerice, što više truda uložite u pripremu za ispite, to će vam biti veće ocjene. Ili što više stvari ponesete sa sobom na planinarenje, teže je nositi ruksak. Oni. količina truda utrošenog na pripremu ispita izravno je proporcionalna dobivenim ocjenama. A broj stvari spakiranih u ruksak izravno je proporcionalan njegovoj težini.

Obrnuta proporcionalnost- ovo je funkcionalna ovisnost, u kojoj smanjenje ili povećanje za nekoliko puta neovisne vrijednosti (naziva se argument) uzrokuje proporcionalno (tj. za isti iznos) povećanje ili smanjenje zavisne vrijednosti (naziva se funkcija).

Ilustrirajmo jednostavnim primjerom. Želite kupiti jabuke na tržnici. Jabuke na pultu i količina novca u vašem novčaniku obrnuto su povezani. Oni. što više jabuka kupite, manje vam je novca ostalo.

Funkcija i njen graf

Funkcija inverzne proporcionalnosti može se opisati kao y = k/x. Pri čemu x≠ 0 i k≠ 0.

Ova funkcija ima sljedeća svojstva:

1. Njegovo područje definicije je skup svih realnih brojeva osim x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Raspon su svi realni brojevi osim y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nema maksimalne ni minimalne vrijednosti.
4. Neparan je i njegov graf je simetričan u odnosu na ishodište.
5. Neperiodični.
6. Njegov graf ne prelazi koordinatne osi.
7. Nema nule.
8. Ako je a k> 0 (to jest, argument raste), funkcija se proporcionalno smanjuje na svakom od svojih intervala. Ako je a k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Kako se argument povećava ( k> 0) negativne vrijednosti funkcije su u intervalu (-∞; 0), a pozitivne vrijednosti su u intervalu (0; +∞). Kada se argument smanjuje ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf funkcije inverzne proporcionalnosti naziva se hiperbola. Prikazano kako slijedi:

Obrnuti proporcionalni zadaci

Da bi bilo jasnije, pogledajmo nekoliko zadataka. Nisu previše komplicirane, a njihovo rješenje pomoći će vam vizualizirati što je inverzni omjer i kako vam to znanje može biti korisno u svakodnevnom životu.

Zadatak broj 1. Automobil se kreće brzinom od 60 km/h. Trebalo mu je 6 sati da stigne na odredište. Koliko će mu trebati da prijeđe istu udaljenost ako se kreće dvostruko većom brzinom?

Možemo započeti tako da zapišemo formulu koja opisuje odnos vremena, udaljenosti i brzine: t = S/V. Slažem se, jako nas podsjeća na funkciju inverzne proporcionalnosti. A pokazuje da su vrijeme koje automobil provede na cesti i brzina kojom se kreće obrnuto proporcionalni.

Da bismo to potvrdili, pronađimo V 2, koji je, prema uvjetu, 2 puta veći: V 2 = 60 * 2 = 120 km / h. Zatim izračunavamo udaljenost pomoću formule S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sada nije teško saznati vrijeme t 2 koje se od nas traži prema uvjetu zadatka: t 2 = 360/120 = 3 sata.

Kao što vidite, vrijeme putovanja i brzina doista su obrnuto proporcionalni: s brzinom 2 puta većom od izvorne, automobil će provesti 2 puta manje vremena na cesti.

Rješenje ovog problema može se napisati i kao proporcija. Zašto pravimo dijagram ovako:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Strelice označavaju inverzni odnos. I također predlažu da se pri sastavljanju omjera desna strana zapisa mora okrenuti: 60/120 \u003d x / 6. Gdje dobivamo x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 sata.

Zadatak broj 2. Radionica zapošljava 6 radnika koji zadanu količinu posla izlaze na kraj za 4 sata. Ako se broj radnika prepolovi, koliko će vremena trebati preostalim radnicima da završe istu količinu posla?

Uvjete problema zapisujemo u obliku vizualnog dijagrama:

↓ 6 radnika - 4 sata

↓ 3 radnika - x h

Zapišimo ovo kao omjer: 6/3 = x/4. I dobivamo x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 sati Ako ima 2 puta manje radnika, ostali će potrošiti 2 puta više vremena da dovrše sav posao.

Zadatak broj 3. Dvije cijevi vode do bazena. Kroz jednu cijev voda ulazi brzinom od 2 l/s i puni bazen za 45 minuta. Kroz drugu cijev bazen će se napuniti za 75 minuta. Koliko brzo voda ulazi u bazen kroz ovu cijev?

Za početak ćemo sve zadane veličine prema stanju zadatka dovesti na iste mjerne jedinice. Da bismo to učinili, izražavamo brzinu punjenja bazena u litrama po minuti: 2 l / s = 2 * 60 = 120 l / min.

Budući da iz uvjeta proizlazi da se bazen puni sporije kroz drugu cijev, to znači da je brzina dotoka vode manja. Na licu obrnute proporcije. Izrazimo nam nepoznatu brzinu u terminima x i nacrtajmo sljedeću shemu:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

A onda ćemo napraviti omjer: 120 / x = 75/45, odakle je x = 120 * 45/75 = 72 l / min.

U zadatku je brzina punjenja bazena izražena u litrama u sekundi, dovedemo naš odgovor u isti oblik: 72/60 = 1,2 l/s.

Zadatak broj 4. Posjetnice se tiskaju u maloj privatnoj tiskari. Zaposlenik tiskare radi brzinom od 42 posjetnice na sat i radi puno radno vrijeme - 8 sati. Ako je radio brže i tiskao 48 posjetnica na sat, koliko bi prije mogao otići kući?

Idemo na dokazan način i izrađujemo shemu prema stanju problema, označavajući željenu vrijednost kao x:

↓ 42 posjetnice/h – 8 h

↓ 48 posjetnica/h – xh

Pred nama je obrnuto proporcionalan odnos: koliko puta više posjetnica po satu ispiše zaposlenik tiskare, toliko će mu vremena trebati da završi isti posao. Znajući to, možemo postaviti omjer:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 sati.

Dakle, nakon što je posao završio za 7 sati, djelatnik tiskare mogao je otići kući sat vremena ranije.

Zaključak

Čini nam se da su ti problemi inverzne proporcionalnosti doista jednostavni. Nadamo se da ih sada i vi smatrate takvima. I što je najvažnije, znanje o obrnuto proporcionalnoj ovisnosti količina zaista vam može biti korisno više puta.

Ne samo na satovima matematike i ispitima. Ali čak i tada, kada idete na put, ići u kupovinu, odlučite zaraditi za vrijeme praznika itd.

Recite nam u komentarima koje primjere inverzne i izravne proporcionalnosti primjećujete oko sebe. Neka ovo bude igra. Vidjet ćete kako je uzbudljivo. Ne zaboravite ovaj članak "podijeliti" na društvenim mrežama kako bi se i vaši prijatelji i kolege iz razreda mogli igrati.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.