Abrimos los paréntesis de la expresión correcta. Cómo abrir corchetes en expresiones y ecuaciones. reglas de las matemáticas

La función principal de los corchetes es cambiar el orden de las acciones al calcular valores. por ejemplo, en la expresión numérica \(5 3+7\) se calculará primero la multiplicación, y luego la suma: \(5 3+7 =15+7=22\). Pero en la expresión \(5·(3+7)\), primero se calculará la suma entre paréntesis, y solo después la multiplicación: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Ejemplo. Expanda el corchete: \(-(4m+3)\).
Decisión : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Ejemplo. Expande el paréntesis y da los términos similares \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Decisión : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Ejemplo. Expanda los corchetes \(5(3-x)\).
Decisión : Tenemos \(3\) y \(-x\) entre paréntesis, y cinco delante del paréntesis. Esto quiere decir que cada miembro del paréntesis se multiplica por \(5\) - les recuerdo que el signo de multiplicación entre un número y un paréntesis en matemáticas no se escribe para reducir el tamaño de los registros.

Ejemplo. Expanda los corchetes \(-2(-3x+5)\).
Decisión : Como en el ejemplo anterior, \(-3x\) y \(5\) entre paréntesis se multiplican por \(-2\).

Ejemplo. Simplifica la expresión: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Decisión : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Queda por considerar la última situación.

Al multiplicar paréntesis por paréntesis, cada término del primer paréntesis se multiplica por cada término del segundo:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

Ejemplo. Expanda los corchetes \((2-x)(3x-1)\).
Decisión : Tenemos un producto de paréntesis y se puede abrir inmediatamente usando la fórmula anterior. Pero para no confundirnos, hagamos todo paso a paso.
Paso 1. Retire el primer soporte: cada uno de sus miembros se multiplica por el segundo soporte:

Paso 2. Expande los productos del soporte por el factor como se describe arriba:
- el primero primero...

Luego el segundo.

Paso 3. Ahora multiplicamos y traemos términos semejantes:

No es necesario pintar todas las transformaciones en detalle, puedes multiplicarlas inmediatamente. Pero si solo está aprendiendo a abrir corchetes, escriba en detalle, habrá menos posibilidades de cometer un error.

Nota para toda la sección. De hecho, no necesitas recordar las cuatro reglas, solo necesitas recordar una, esta: \(c(a-b)=ca-cb\) . ¿Por qué? Porque si sustituimos uno en lugar de c, obtenemos la regla \((a-b)=a-b\) . Y si sustituimos menos uno, obtenemos la regla \(-(a-b)=-a+b\) . Bueno, si sustituyes otro paréntesis en lugar de c, puedes obtener la última regla.

paréntesis dentro de paréntesis

A veces, en la práctica, hay problemas con los corchetes anidados dentro de otros corchetes. He aquí un ejemplo de tal tarea: simplificar la expresión \(7x+2(5-(3x+y))\).

Para tener éxito en estas tareas, necesita:
- comprenda cuidadosamente el anidamiento de los soportes: cuál está en cuál;
- abra los paréntesis secuencialmente, empezando, por ejemplo, por el más interior.

Es importante al abrir uno de los soportes no toques el resto de la expresión, simplemente reescribiéndolo como está.
Tomemos la tarea anterior como ejemplo.

Ejemplo. Abre los paréntesis y da los términos similares \(7x+2(5-(3x+y))\).
Decisión:

Ejemplo. Expande los paréntesis y da términos semejantes \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Decisión :

La apertura de corchetes es una habilidad básica en matemáticas. Sin esta habilidad, es imposible tener una calificación superior a tres en los grados 8 y 9. Por lo tanto, recomiendo una buena comprensión de este tema.

Los paréntesis se utilizan para indicar el orden en que se realizan las acciones en expresiones numéricas y alfabéticas, así como en expresiones con variables. Es conveniente pasar de una expresión entre paréntesis a idénticamente igual a expresión sin paréntesis. Esta técnica se llama apertura de paréntesis.

Expandir corchetes significa eliminar la expresión de estos corchetes.

Otro punto merece especial atención, que se refiere a las peculiaridades de escribir soluciones al abrir corchetes. Podemos escribir la expresión inicial entre paréntesis y el resultado obtenido tras abrir los paréntesis como igualdad. Por ejemplo, después de abrir los paréntesis, en lugar de la expresión
3−(5−7) obtenemos la expresión 3−5+7. Podemos escribir ambas expresiones como la igualdad 3−(5−7)=3−5+7.

y uno mas punto importante. En matemáticas, para reducir las entradas, se acostumbra no escribir un signo más si es el primero de una expresión o entre paréntesis. Por ejemplo, si sumamos dos números positivos, por ejemplo, siete y tres, entonces no escribimos +7 + 3, sino simplemente 7 + 3, a pesar de que siete también es un número positivo. Del mismo modo, si ve, por ejemplo, la expresión (5 + x), sepa que hay un signo más delante del corchete, que no está escrito, y hay un signo más + (+5 + x) delante del cinco.

Regla de expansión de paréntesis para la suma

Al abrir corchetes, si hay un signo más antes de los corchetes, este signo más se omite junto con los corchetes.

Ejemplo. Abra los paréntesis en la expresión 2 + (7 + 3) Antes de los paréntesis más, entonces los caracteres delante de los números entre paréntesis no cambian.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

La regla para expandir corchetes al restar

Si hay un menos antes de los corchetes, entonces este menos se omite junto con los corchetes, pero los términos que estaban entre paréntesis cambian su signo al contrario. La ausencia de un signo antes del primer término entre paréntesis implica un signo +.

Ejemplo. Abra los corchetes en la expresión 2 − (7 + 3)

Hay un signo menos antes de los corchetes, por lo que debe cambiar los signos antes de los números de los corchetes. No hay ningún signo entre paréntesis antes del número 7, lo que significa que el siete es positivo, se considera que el signo + está delante de él.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Al abrir los corchetes, eliminamos el signo menos del ejemplo, que estaba antes de los corchetes, y los corchetes mismos 2 − (+ 7 + 3), y cambiamos los signos que estaban entre paréntesis por los opuestos.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Expansión de paréntesis al multiplicar

Si hay un signo de multiplicación delante de los paréntesis, entonces cada número dentro de los paréntesis se multiplica por el factor delante de los paréntesis. Al mismo tiempo, multiplicar un menos por un menos da un más, y multiplicar un menos por un más, como multiplicar un más por un menos, da un menos.

Por lo tanto, los paréntesis en los productos se expanden de acuerdo con la propiedad distributiva de la multiplicación.

Ejemplo. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Al multiplicar paréntesis por paréntesis, cada término del primer paréntesis se multiplica por cada término del segundo paréntesis.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

De hecho, no es necesario recordar todas las reglas, basta con recordar solo una, esta: c(a−b)=ca−cb. ¿Por qué? Porque si sustituimos uno en lugar de c, obtenemos la regla (a−b)=a−b. Y si sustituimos menos uno, obtenemos la regla −(a−b)=−a+b. Bueno, si sustituyes otro paréntesis en lugar de c, puedes obtener la última regla.

Expandir paréntesis al dividir

Si hay un signo de división después de los paréntesis, entonces cada número dentro de los paréntesis es divisible por el divisor después de los paréntesis y viceversa.

Ejemplo. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

Cómo expandir paréntesis anidados

Si la expresión contiene corchetes anidados, se expanden en orden, comenzando con externo o interno.

Al mismo tiempo, al abrir uno de los corchetes, es importante no tocar los otros corchetes, simplemente volver a escribirlos tal como están.

Ejemplo. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

En este artículo, veremos más de cerca las reglas básicas de tales tema importante curso de matemáticas, como la apertura de paréntesis. Debe conocer las reglas para expandir corchetes para resolver correctamente las ecuaciones en las que se usan.

Cómo abrir correctamente los paréntesis al sumar

Expanda los corchetes precedidos por el signo "+"

Este es el caso más simple, porque si hay un signo de adición delante de los corchetes, cuando se abren los corchetes, los signos dentro de ellos no cambian. Ejemplo:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Cómo abrir corchetes precedidos por un signo "-"

En este caso, debe volver a escribir todos los términos sin corchetes, pero al mismo tiempo cambiar todos los signos dentro de ellos por los opuestos. Los signos cambian únicamente para los términos de aquellos corchetes que fueron precedidos por el signo "-". Ejemplo:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Cómo abrir corchetes al multiplicar

Los paréntesis van precedidos de un multiplicador

En este caso, debe multiplicar cada término por un factor y abrir los paréntesis sin cambiar de signo. Si el multiplicador tiene el signo "-", entonces, al multiplicar, los signos de los términos se invierten. Ejemplo:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Cómo abrir dos corchetes con un signo de multiplicación entre ellos

En este caso, debe multiplicar cada término del primer paréntesis con cada término del segundo paréntesis y luego sumar los resultados. Ejemplo:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Cómo abrir corchetes en un cuadrado

Si la suma o diferencia de dos términos está elevada al cuadrado, los paréntesis deben expandirse de acuerdo con la siguiente fórmula:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

En el caso de un signo menos dentro de los corchetes, la fórmula no cambia. Ejemplo:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Cómo abrir paréntesis en un grado diferente

Si la suma o la diferencia de los términos se eleva, por ejemplo, a la tercera o cuarta potencia, entonces solo necesita dividir el grado del corchete en "cuadrados". Se suman las potencias de los mismos factores, y al dividir se resta el grado del divisor al grado del dividendo. Ejemplo:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Cómo abrir 3 corchetes

Hay ecuaciones en las que se multiplican 3 paréntesis a la vez. En este caso, primero debes multiplicar los términos de los dos primeros corchetes entre sí, y luego multiplicar la suma de esta multiplicación por los términos del tercer corchete. Ejemplo:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Estas reglas de apertura de paréntesis se aplican por igual a las ecuaciones lineales y trigonométricas.

En esta lección, aprenderá cómo transformar una expresión que contiene paréntesis en una expresión que no contiene paréntesis. Aprenderá a abrir corchetes precedidos por un signo más y un signo menos. Recordaremos cómo abrir paréntesis usando la ley distributiva de la multiplicación. Los ejemplos considerados permitirán vincular material nuevo y previamente estudiado en un todo único.

Tema: Resolución de ecuaciones

Lección: Expansión de paréntesis

Cómo abrir corchetes precedidos por un signo "+". Uso de la ley asociativa de la suma.

Si necesita sumar la suma de dos números a un número, puede sumar el primer término a este número y luego el segundo.

A la izquierda del signo igual hay una expresión entre paréntesis y a la derecha hay una expresión sin paréntesis. Esto quiere decir que al pasar del lado izquierdo de la igualdad al lado derecho, se abrieron los paréntesis.

Considere ejemplos.

Ejemplo 1

Expandiendo los paréntesis, cambiamos el orden de las operaciones. Contar se ha vuelto más conveniente.

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Tenga en cuenta que en los tres ejemplos, simplemente eliminamos los paréntesis. Formulemos la regla:

Comentario.

Si el primer término entre paréntesis no tiene signo, debe escribirse con un signo más.

Puedes seguir el ejemplo paso a paso. Primero, suma 445 a 889. Esta acción mental se puede realizar, pero no es muy fácil. Abramos los paréntesis y veamos que el cambio en el orden de las operaciones simplificará enormemente los cálculos.

Si sigue el orden de acciones indicado, primero debe restar 345 de 512 y luego agregar al resultado 1345. Al expandir los corchetes, cambiaremos el orden de las acciones y simplificaremos enormemente los cálculos.

Ejemplo ilustrativo y regla.

Considere un ejemplo: . Puedes encontrar el valor de la expresión sumando 2 y 5, y luego tomando el número resultante con el signo opuesto. Obtenemos -7.

Por otro lado, se puede obtener el mismo resultado sumando los números opuestos.

Formulemos la regla:

Ejemplo 1

Ejemplo 2

La regla no cambia si no hay dos, sino tres o más términos entre paréntesis.

Ejemplo 3

Comentario. Los signos se invierten solo delante de los términos.

Para abrir los paréntesis, en este caso, necesitamos recordar la propiedad distributiva.

Primero, multiplica el primer paréntesis por 2 y el segundo por 3.

El primer corchete está precedido por un signo "+", lo que significa que los signos deben dejarse sin cambios. El segundo está precedido por un signo "-", por lo tanto, todos los signos deben invertirse

Bibliografía

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1. Pruebas de matemáticas en línea ().
2. Puede descargar los especificados en la cláusula 1.2. libros().

Tarea

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matemáticas 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (ver enlace 1.2)
2. Tarea: No. 1254, No. 1255, No. 1256 (b, d)
3. Otras asignaciones: No. 1258(c), No. 1248

La expansión de corchetes es un tipo de transformación de expresión. En esta sección, describiremos las reglas para expandir los corchetes, y consideraremos los ejemplos más comunes de problemas.

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¿Qué es la expansión de paréntesis?

Los paréntesis se utilizan para indicar el orden en que se realizan las acciones en expresiones numéricas y alfabéticas, así como en expresiones con variables. Es conveniente pasar de una expresión con corchetes a una expresión idénticamente igual sin corchetes. Por ejemplo, reemplace la expresión 2 (3 + 4) con una expresión como 2 3 + 2 4 sin paréntesis. Esta técnica se llama apertura de paréntesis.

Definición 1

Bajo la apertura de corchetes, nos referimos a los métodos para deshacerse de los corchetes y generalmente se consideran en relación con expresiones que pueden contener:

• signos "+" o "-" delante de corchetes que contienen sumas o diferencias;
• el producto de un número, letra o varias letras, y la suma o diferencia, que se pone entre paréntesis.

Así es como solíamos considerar el proceso de apertura de corchetes en el transcurso del currículo escolar. Sin embargo, nadie nos impide mirar esta acción más ampliamente. Podemos llamar expansión de paréntesis a la transición de una expresión que contiene números negativos entre paréntesis a una expresión que no tiene paréntesis. Por ejemplo, podemos pasar de 5 + (− 3) − (− 7) a 5 − 3 + 7 . De hecho, esto también es una expansión de paréntesis.

De la misma forma, podemos reemplazar el producto de expresiones entre paréntesis de la forma (a + b) · (c + d) por la suma a · c + a · d + b · c + b · d . Esta técnica tampoco contradice el significado de la expansión de paréntesis.

Aquí hay otro ejemplo. Podemos suponer que en las expresiones, en lugar de números y variables, se puede usar cualquier expresión. Por ejemplo, la expresión x 2 1 a - x + sin (b) corresponderá a una expresión sin paréntesis de la forma x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) .

Un punto más merece especial atención, que se refiere a las peculiaridades de escribir soluciones al abrir corchetes. Podemos escribir la expresión inicial entre paréntesis y el resultado obtenido tras abrir los paréntesis como igualdad. Por ejemplo, después de abrir los paréntesis, en lugar de la expresión 3 − (5 − 7) obtenemos la expresión 3 − 5 + 7 . Podemos escribir ambas expresiones como la igualdad 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .

La realización de acciones con expresiones engorrosas puede requerir el registro de resultados intermedios. Entonces la solución tendrá la forma de una cadena de igualdades. Por ejemplo, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 o 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Reglas para abrir corchetes, ejemplos

Comencemos con las reglas para abrir paréntesis.

Números únicos entre paréntesis

Los números negativos entre paréntesis suelen aparecer en las expresiones. Por ejemplo, (− 4) y 3 + (− 4) . Los números positivos entre paréntesis también tienen lugar.

Formulemos la regla para abrir corchetes que contienen números positivos únicos. Supongamos que a es cualquier número positivo. Entonces podemos reemplazar (a) con a, + (a) con + a, - (a) con - a. Si en lugar de a tomamos un número específico, entonces de acuerdo con la regla: el número (5) se escribirá como 5 , la expresión 3 + (5) sin paréntesis tomará la forma 3 + 5 , ya que + (5) se sustituye por + 5 , y la expresión 3 + (− 5) es equivalente a la expresión 3 − 5 , como + (− 5) es reemplazado por − 5 .

Los números positivos generalmente se escriben sin usar paréntesis, ya que los paréntesis son redundantes en este caso.

Ahora considere la regla para abrir corchetes que contienen un solo un numero negativo. + (−a) reemplazamos con − un, − (− a) se sustituye por + a . Si la expresión comienza con un número negativo (-un), que se escribe entre corchetes, entonces se omiten los corchetes y en lugar de (-un) restos − un.

Aquí hay unos ejemplos: (− 5) se puede escribir como − 5 , (− 3) + 0 , 5 se convierte en − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) se convierte en 4 − 3 , y − (− 4) − (− 3) después de abrir los corchetes toma la forma 4 + 3 , ya que − (− 4) y − (− 3) se reemplaza por + 4 y + 3 .

Debe entenderse que la expresión 3 · (− 5) no se puede escribir como 3 · − 5. Esto será discutido en los siguientes párrafos.

Veamos en qué se basan las reglas de expansión de paréntesis.

Según la regla, la diferencia a − b es igual a a + (− b) . En base a las propiedades de las acciones con números, podemos hacer una cadena de igualdades (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a que será justo. Esta cadena de igualdades, en virtud del significado de la resta, prueba que la expresión a + (− b) es la diferencia a-b.

Basado en propiedades números opuestos y las reglas para restar números negativos, podemos afirmar que − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

Hay expresiones que se componen de un número, signos menos y varios pares de corchetes. El uso de las reglas anteriores le permite deshacerse secuencialmente de los corchetes, pasando de los corchetes internos a los externos o viceversa. Un ejemplo de tal expresión sería − (− ((− (5)))) . Abramos los paréntesis, moviéndonos de adentro hacia afuera: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Este ejemplo también se puede analizar a la inversa: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Por debajo un y b pueden entenderse no solo como números, sino también como expresiones numéricas o literales arbitrarias con un "+" delante que no son sumas ni diferencias. En todos estos casos, puede aplicar las reglas de la misma manera que lo hicimos con números únicos entre paréntesis.

Por ejemplo, después de abrir los corchetes, la expresión − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) toma la forma 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2: z . ¿Cómo lo hicimos? Sabemos que − (− 2 x) es + 2 x , y dado que esta expresión viene primero, entonces + 2 x se puede escribir como 2 x , - (x2) = -x2, + (− 1 x) = − 1 x y − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

En los productos de dos números

Comencemos con la regla para expandir paréntesis en el producto de dos números.

pretendamos que un yb son dos números positivos. En este caso, el producto de dos números negativos − un y − b de la forma (− a) (− b) pueden ser reemplazados por (a b) , y los productos de dos números con signos opuestos de la forma (− a) b y a (− b) se sustituyen por (− un segundo). Multiplicar un menos por un menos da un más, y multiplicar un menos por un más, como multiplicar un más por un menos, da un menos.

La corrección de la primera parte de la regla escrita está confirmada por la regla para multiplicar números negativos. Para confirmar la segunda parte de la regla, podemos usar las reglas para multiplicar números con diferentes signos.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Considere el algoritmo para abrir paréntesis en el producto de dos números negativos - 4 3 5 y - 2 , de la forma (- 2) · - 4 3 5 . Para hacer esto, reemplazamos la expresión original con 2 · 4 3 5 . Expandamos los paréntesis y obtengamos 2 · 4 3 5 .

Y si tomamos el cociente de números negativos (− 4) : (− 2) , entonces el registro después de abrir los corchetes se verá como 4: 2

En lugar de números negativos − un y − b puede ser cualquier expresión con un signo menos inicial que no sea suma o diferencia. Por ejemplo, estos pueden ser productos, parciales, fracciones, grados, raíces, logaritmos, funciones trigonométricas etc.

Abramos los paréntesis en la expresión - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Según la regla, podemos hacer las siguientes transformaciones: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .

Expresión (−3) 2 se puede convertir a la expresión (− 3 2) . Después de eso, puede abrir los corchetes: − 3 2.

2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5

La división de números con diferentes signos también puede requerir la expansión preliminar de corchetes: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 y 2 3 4: (- 3 , 5) = - 2 3 4: 3 , 5 = - 2 3 4: 3 , 5 .

La regla se puede utilizar para realizar multiplicaciones y divisiones de expresiones con diferentes signos. Pongamos dos ejemplos.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

sen (x) (- x 2) \u003d (- sen (x) x 2) \u003d - sen (x) x 2

En los productos de tres o más números

Pasemos al producto y los cocientes, que contienen gran cantidad números. Para expandir paréntesis, aquí actuará siguiente regla. En número par números negativos, puede omitir los paréntesis, reemplazando los números con sus opuestos. Después de eso, debe encerrar la expresión resultante entre corchetes nuevos. Para un número impar de números negativos, omitiendo los corchetes, reemplace los números con sus opuestos. Después de eso, la expresión resultante debe tomarse entre paréntesis nuevos y colocarse un signo menos delante.

Ejemplo 2

Por ejemplo, tomemos la expresión 5 · (− 3) · (− 2) , que es el producto de tres números. Hay dos números negativos, entonces podemos escribir la expresión como (5 3 2) y finalmente abre los corchetes, obteniendo la expresión 5 3 2 .

En el producto (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) cinco números son negativos. entonces (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1 , 25: 1) . Finalmente abriendo los paréntesis, obtenemos −2,5 3:2 4:1,25:1.

La regla anterior se puede justificar de la siguiente manera. Primero, podemos reescribir tales expresiones como un producto, reemplazando por multiplicación por número recíproco división. Representamos cada número negativo como el producto de un multiplicador y reemplazamos - 1 o - 1 con (− 1) un.

Usando la propiedad conmutativa de la multiplicación, intercambiamos los factores y transferimos todos los factores iguales a − 1 , al principio de la expresión. El producto de un número par menos unos es igual a 1, y un número impar es igual a − 1 , que nos permite usar el signo menos.

Si no usáramos la regla, entonces la cadena de acciones para abrir corchetes en la expresión - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 se vería así:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

La regla anterior se puede usar cuando se expanden corchetes en expresiones que son productos y cocientes con un signo menos que no son sumas ni diferencias. Tomemos por ejemplo la expresión

x 2 (- x) : (- 1 x) x - 3: 2 .

Se puede reducir a una expresión sin paréntesis x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .

Paréntesis de apertura precedidos por un signo +

Considere una regla que se puede aplicar para expandir corchetes que están precedidos por un signo más y los "contenidos" de esos corchetes no se multiplican ni dividen por ningún número o expresión.

De acuerdo con la regla, se omiten los paréntesis junto con el signo que los antecede, mientras que se conservan los signos de todos los términos entre paréntesis. Si no hay ningún signo delante del primer término entre paréntesis, debe colocar un signo más.

Ejemplo 3

Por ejemplo, damos la expresión (12 − 3 , 5) − 7 . Al omitir los corchetes, mantenemos los signos de los términos entre paréntesis y ponemos un signo más delante del primer término. La entrada se verá como (12 − ​​​​3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . En el ejemplo anterior, no es necesario anteponer un signo al primer término, ya que + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.

Ejemplo 4

Consideremos un ejemplo más. Toma la expresión x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x y realiza acciones con ella x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Aquí hay otro ejemplo de paréntesis expansivos:

Ejemplo 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2

Cómo expandir paréntesis precedidos por un signo menos

Considere los casos en los que hay un signo menos delante de los corchetes y que no se multiplican (o dividen) por ningún número o expresión. De acuerdo con la regla para expandir los corchetes precedidos por el signo “-”, se omiten los corchetes con el signo “-”, mientras que se invierten los signos de todos los términos dentro de los corchetes.

Ejemplo 6

Por ejemplo:

1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2

Las expresiones variables se pueden convertir usando la misma regla:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

obtenemos x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 .

Abrir paréntesis al multiplicar un número por un paréntesis, expresiones por un paréntesis

Aquí consideraremos casos en los que es necesario abrir corchetes que se multiplican o dividen por cualquier número o expresión. Aquí fórmulas de la forma (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) o b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), donde un 1 , un 2 , ... , un norte y b son algunos números o expresiones.

Ejemplo 7

Por ejemplo, expandamos los paréntesis en la expresión (3 - 7) 2. De acuerdo con la regla, podemos hacer las siguientes transformaciones: (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . Obtenemos 3 · 2 − 7 · 2 .

Expandiendo los paréntesis en la expresión 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, obtenemos 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Multiplicar un paréntesis por un paréntesis

Considere el producto de dos corchetes de la forma (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Esto nos ayudará a obtener una regla para expandir paréntesis al multiplicar un paréntesis por otro paréntesis.

Para resolver el ejemplo anterior, denotamos la expresión (b 1 + b 2) como b. Esto nos permitirá usar la regla de multiplicación de paréntesis-expresión. Obtenemos (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b . Haciendo una sustitución inversa b en (b 1 + b 2), aplique nuevamente la regla para multiplicar la expresión por el paréntesis: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (un 1 segundo 1 + un 1 segundo 2) + (un 2 segundo 1 + un 2 segundo 2) = = un 1 segundo 1 + un 1 segundo 2 + un 2 segundo 1 + un 2 segundo 2

Gracias a una serie de trucos sencillos, podemos llegar a la suma de los productos de cada uno de los términos del primer paréntesis y cada uno de los términos del segundo paréntesis. La regla se puede extender a cualquier número de términos dentro de los corchetes.

Formulemos las reglas para multiplicar paréntesis por paréntesis: para multiplicar dos sumas entre sí, es necesario multiplicar cada uno de los términos de la primera suma por cada uno de los términos de la segunda suma y sumar los resultados.

La fórmula se verá así:

(un 1 + un 2 + . . . + un metro) (segundo 1 + segundo 2 + . . . + segundo norte) = = un 1 segundo 1 + un 1 segundo 2 + . . . + un 1 segundo norte + + un 2 segundo 1 + un 2 segundo 2 + . . . + un 2 segundo norte + + . . . + + un metro segundo 1 + un metro segundo 1 + . . . un m b n

Expandamos los paréntesis en la expresión (1 + x) · (x 2 + x + 6) Es un producto de dos sumas. Escribamos la solución: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Por separado, vale la pena detenerse en aquellos casos en los que hay un signo menos entre paréntesis junto con signos más. Por ejemplo, tomemos la expresión (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Primero, representamos las expresiones entre paréntesis como sumas: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)). Ahora podemos aplicar la regla: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 x y + ( − x) (− 2 x y 3))

Expandamos los paréntesis: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .

Expansión de paréntesis en productos de varios corchetes y expresiones

Si hay tres o más expresiones entre corchetes en la expresión, es necesario expandir los corchetes secuencialmente. Es necesario comenzar la transformación con el hecho de que los dos primeros factores se toman entre paréntesis. Dentro de estos corchetes, podemos realizar transformaciones de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente. Por ejemplo, los paréntesis en la expresión (2 + 4) 3 (5 + 7 8) .

La expresión contiene tres factores a la vez. (2 + 4) , 3 y (5 + 7 8) . Ampliaremos los paréntesis secuencialmente. Encerramos los dos primeros factores en un paréntesis más, que pondremos en rojo para mayor claridad: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

De acuerdo con la regla de multiplicar un paréntesis por un número, podemos realizar las siguientes acciones: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .

Multiplica paréntesis por paréntesis: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

paréntesis en especie

Potencias cuya base son unas expresiones escritas entre paréntesis, con indicadores naturales puede pensarse como un producto de varios paréntesis. Además, según las reglas de los dos párrafos anteriores, pueden escribirse sin estos corchetes.

Considere el proceso de transformar la expresión (a + b + c) 2 . Se puede escribir como producto de dos corchetes (a + b + c) (a + b + c). Multiplicamos paréntesis por paréntesis y obtenemos a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c .

Tomemos otro ejemplo:

Ejemplo 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2

Dividir un paréntesis entre un número y un paréntesis entre paréntesis

Dividir un paréntesis por un número sugiere que debe dividir por el número todos los términos entre paréntesis. Por ejemplo, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

La división se puede reemplazar preliminarmente por la multiplicación, después de lo cual puede usar regla adecuada corchetes de apertura en una obra. La misma regla se aplica al dividir un paréntesis por un paréntesis.

Por ejemplo, necesitamos abrir los corchetes en la expresión (x + 2) : 2 3 . Para hacer esto, primero reemplaza la división multiplicando por el recíproco de (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Multiplica el paréntesis por el número (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .

Aquí hay otro ejemplo de división entre paréntesis:

Ejemplo 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Reemplacemos la división con la multiplicación: 1 x + x + 1 1 x + 2 .

Hagamos la multiplicación: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .

Orden de expansión del soporte

Ahora considere el orden de aplicación de las reglas discutidas anteriormente en las expresiones vista general, es decir. en expresiones que contienen sumas con diferencias, productos con cocientes, paréntesis en especie.

El orden de las acciones:

• el primer paso es elevar los paréntesis a una potencia natural;
• en la segunda etapa se abren tramos en obras y privados;
• el paso final es abrir los paréntesis en las sumas y diferencias.

Consideremos el orden de las acciones usando el ejemplo de la expresión (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Transformemos las expresiones 3 (− 2) : (− 4) y 6 (− 7) , que deben tomar la forma (32:4) y (− 6 7) . Sustituyendo los resultados obtenidos en la expresión original, obtenemos: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) − (− 6 7 ). Expande los paréntesis: − 5 + 3 2: 4 + 6 7 .

Cuando se trata de expresiones que contienen paréntesis dentro de paréntesis, es conveniente realizar transformaciones de adentro hacia afuera.

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