Sférické a loptové otázky. Geometrický koncept gule: vzorec, vlastnosti, povrch našej planéty

Definícia.

Guľu možno opísať ako trojrozmerný obrazec, ktorý vznikne otočením kruhu okolo jej priemeru o 180° alebo polkruhu okolo jej priemeru o 360°.

Definícia.

Guľu možno opísať ako trojrozmernú figúrku, ktorá vzniká otočením kruhu okolo jej priemeru o 180° alebo polkruhu okolo jej priemeru o 360°.

Definícia. Polomer gule (guličky).(R) je vzdialenosť od stredu gule (gule) O do akéhokoľvek bodu gule (povrchu gule).

Definícia. Priemer gule (guličky).(D) je úsečka spájajúca dva body gule (povrch gule) a prechádzajúca jej stredom.

Vzorec. Objem lopty:

Vzorec. Povrchová plocha gule cez polomer alebo priemer:

S = 4π R2 = π D2

Sférická rovnica

1. Rovnica gule s polomerom R a stredom v počiatku karteziánskeho súradnicového systému:

x2 + y2 + z2 = R2

2. Rovnica gule s polomerom R a stredom v bode so súradnicami (x 0 , y 0 , z 0) v karteziánskom súradnicovom systéme:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definícia. diametrálne odlišné body sú akékoľvek dva body na povrchu gule (gule), ktoré sú spojené priemerom.

Základné vlastnosti gule a gule

1. Všetky body gule sú rovnako vzdialené od stredu.

2. Akýkoľvek rez gule rovinou je kruh.

3. Akýkoľvek rez gule rovinou je kruh.

4. Guľa má najväčší objem medzi všetkými priestorovými obrazcami s rovnakou plochou.

5. Cez ľubovoľné dva diametrálne opačné body môžete nakresliť veľa veľkých kruhov pre guľu alebo kruhov pre loptu.

6. Cez ľubovoľné dva body, okrem diametrálne opačných bodov, je možné nakresliť iba jeden veľký kruh pre guľu alebo veľký kruh pre guľu.

7. Akékoľvek dva veľké kruhy jednej gule sa pretínajú pozdĺž priamky prechádzajúcej stredom gule a kruhy sa pretínajú v dvoch diametrálne opačných bodoch.

8. Ak je vzdialenosť medzi stredmi akýchkoľvek dvoch guľôčok menšia ako súčet ich polomerov a väčšia ako modul rozdielu medzi ich polomermi, potom také guľôčky pretínajú a v rovine priesečníka sa vytvorí kružnica.

Sečna, tetiva, sečnová rovina gule a ich vlastnosti

Definícia. Sekans sfér je priamka, ktorá pretína guľu v dvoch bodoch. Priesečníky sú tzv bodové body povrch alebo vstupné a výstupné body na povrchu.

Definícia. Tetiva gule (lopta) je úsečka spájajúca dva body gule (povrch gule).

Definícia. rovina rezu je rovina, ktorá pretína guľu.

Definícia. Diametrálna rovina- ide o sečnú rovinu prechádzajúcu stredom gule alebo gule, rez tvorí, resp veľký kruh a veľký kruh. Veľký kruh a veľký kruh majú stred, ktorý sa zhoduje so stredom gule (lopty).

Akákoľvek tetiva prechádzajúca stredom gule (gule) je priemer.

Akord je segment sečnice.

Vzdialenosť d od stredu gule po sečnicu je vždy menšia ako polomer gule:

d< R

Vzdialenosť m medzi rovinou rezu a stredom gule je vždy menšia ako polomer R:

m< R

Rez rovinou rezu na guli bude vždy vedľajší kruh, a na lopte bude sekcia malý kruh. Malý kruh a malý kruh majú svoje stredy, ktoré sa nezhodujú so stredom gule (gule). Polomer r takéhoto kruhu možno nájsť podľa vzorca:

r \u003d √ R 2 - m2,

Kde R je polomer gule (gule), m je vzdialenosť od stredu gule k rovine rezu.

Definícia. Hemisféra (pologuľa)- to je polovica gule (gule), ktorá vznikne pri prerezaní diametrálnou rovinou.

Dotyková rovina ku gule a ich vlastnosti

Definícia. Tangenta ku gule je priamka, ktorá sa gule dotýka len v jednom bode.

Definícia. Dotyková rovina ku gule je rovina, ktorá sa gule dotýka len v jednom bode.

Dotyková čiara (rovina) je vždy kolmá na polomer gule nakreslenej k bodu dotyku

Vzdialenosť od stredu gule k dotyčnici (rovine) sa rovná polomeru gule.

Definícia. guľový segment- je to časť lopty, ktorá je odrezaná od lopty reznou rovinou. Chrbtica segmentu zavolajte kruh, ktorý sa vytvoril na mieste sekcie. výška segmentu h je dĺžka kolmice vedenej od stredu základne segmentu k povrchu segmentu.

Vzorec. Vonkajší povrch segmentu gule s výškou h z hľadiska polomeru gule R:

S = 2π Rh

V kapitole 2 budeme pokračovať v „geometrii stavieb“ a povieme si o štruktúre a vlastnostiach najdôležitejších priestorových útvarov – gule a gule, valcov a kužeľov, hranolov a pyramíd Väčšina predmetov vytvorených ľudskou rukou sú budovy, autá, nábytok, riad, atď., atď., pozostáva z častí, ktoré majú tvar týchto figúrok.

§ 4. GUĽA A GUĽA

Po priamkach a rovinách sú guľa a guľa najjednoduchšie, no veľmi dôležité a bohaté na rôzne vlastnosti. priestorové postavy. O geometrických vlastnostiach lopty a jej povrchu – gule boli napísané celé knihy. Niektoré z týchto vlastností boli známe už starovekým gréckym geometrom a niektoré sa našli pomerne nedávno, v r posledné roky. Tieto vlastnosti (spolu so zákonmi prírodných vied) vysvetľujú, prečo napríklad nebeské telesá a rybie ikry majú tvar lopty, prečo sa batyskafy a futbalové lopty vyrábajú v tvare lopty, prečo sú guľôčkové ložiská také bežné v technológie atď. Dokážeme len tie najjednoduchšie vlastnosti lopty. Dôkaz iných vlastností, aj keď je veľmi dôležitý, si často vyžaduje použitie metód, ktoré nie sú vôbec elementárne, hoci formulácia takýchto vlastností môže byť veľmi jednoduchá: napríklad medzi všetkými telesami s daným povrchom má guľa najväčší objem.

4.1. Definície sféry a sféry.

Guľa a guľa sú v priestore definované presne tak, ako kruh a kruh v rovine. Guľa je obrazec pozostávajúci zo všetkých bodov v priestore vzdialených od daného

ukazujú na rovnakú (kladnú) vzdialenosť.

Tento bod sa nazýva stred gule a vzdialenosť sa nazýva jej polomer (obr. 4.1).

Guľa so stredom O a polomerom R je teda útvar tvorený všetkými bodmi X priestoru, pre ktorý

Guľa je obrazec tvorený všetkými bodmi v priestore, ktoré nie sú vo vzdialenosti väčšej ako daná (kladná) vzdialenosť od daného bodu. Tento bod sa nazýva stred lopty a táto vzdialenosť sa nazýva jej polomer.

Guľa so stredom O a polomerom R je teda útvar tvorený všetkými bodmi X priestoru, pre ktorý

Tie body X gule so stredom O a polomerom R, pre ktoré tvoria guľu. Hovorí sa, že táto guľa danú guľu ohraničuje, alebo že je jej povrchom.

Symbol zemegule je globálnosť zemegule Zeme. Symbol budúcnosti, ktorý sa líši od kríža tým, že tento kríž zosobňuje utrpenie a ľudskú smrť. AT Staroveký Egypt najprv dospel k záveru, že Zem je guľová. Tento predpoklad slúžil ako základ pre mnohé úvahy o nesmrteľnosti Zeme a možnosti nesmrteľnosti živých organizmov, ktoré ju obývajú.

Tento bod(O) sa nazýva stred gule. Akýkoľvek segment spájajúci stred a niektorý bod gule sa nazýva polomer gule (R-polomer gule). Úsečka spájajúca dva body gule a prechádzajúca jej stredom sa nazýva priemer gule. Je zrejmé, že priemer gule je 2R.

Definícia lopty Lopta je teleso, ktoré sa skladá zo všetkých bodov v priestore, ktoré sú od daného bodu (alebo útvaru ohraničeného guľou) vo vzdialenosti nie väčšej ako daná vzdialenosť. Teleso ohraničené guľou sa nazýva guľa. Stred, polomer a priemer gule sa nazývajú aj stred, polomer a priemer gule. Lopta

Rovina prechádzajúca stredom gule sa nazýva diametrálna rovina Rovina prechádzajúca stredom gule sa nazýva diametrálna rovina. Prierez gule diametrálnou rovinou sa nazýva veľká kružnica a časť gule sa nazýva veľká kružnica. Prierez gule diametrálnou rovinou sa nazýva veľká kružnica a časť gule sa nazýva veľký kruh.

X²+y²=R²-d² Ak d>R, potom guľa a rovina nemajú spoločné body. R, potom guľa a rovina nemajú spoločné body."> R, potom guľa a rovina nemajú spoločné body."> R, potom guľa a rovina nemajú spoločné body." title="(!LANG:x²+ y²=R² -d² Ak d>R, potom guľa a rovina nemajú spoločné body."> title="x²+y²=R²-d² Ak d>R, potom guľa a rovina nemajú spoločné body."> !}

Dotyková rovina gule dotykovou rovinou gule Rovina, ktorá má s guľou len jeden spoločný bod, sa nazýva dotyková rovina gule, dotykový bod A roviny a gule a ich spoločný bod sa nazýva dotykový bod A roviny a gule.

Veta: Polomer gule nakreslenej v bode dotyku gule a roviny je kolmý na dotykovú rovinu. Dôkaz: Uvažujme rovinu α dotýkajúcu sa gule so stredom O v bode A. Dokážte, že OA je kolmá na α. Predpokladajme, že nie. Potom je polomer OA naklonený k rovine α a v dôsledku toho je vzdialenosť od stredu gule k rovine menšia ako polomer gule. Preto sa guľa a rovina pretínajú v kruhu. To je v rozpore s tým, čo je dotyčnica, t.j. Guľa a rovina majú iba jeden spoločný bod. Výsledný rozpor dokazuje, že OA je kolmá na α.

Guľa a lopta

Slovo „guľa“ pochádza z gréckeho slova „oheň“, ktoré sa do ruštiny prekladá ako „guľa“.

SHAR je symbolom budúcnosti.

Symbol zemegule je globálnosť zemegule Zeme. Symbol budúcnosti, ktorý sa líši od kríža tým, že tento kríž zosobňuje utrpenie a ľudskú smrť. V starovekom Egypte prvýkrát prišli na to, že Zem má guľový tvar. Tento predpoklad slúžil ako základ pre mnohé úvahy o nesmrteľnosti Zeme a možnosti nesmrteľnosti živých organizmov, ktoré ju obývajú.

Muž držiaci v rukách loptu symbolizuje subjekt nesúci bremená sveta Nie náhodou sú niektoré stanice v západnej Európe, napríklad v Helsinkách, zdobené podobnými sochami: tu bremená, ktoré padajú na plecia cestovateľa sú zobrazené.

Guľa a zemeguľa sú teda znakmi prozreteľnosti, správania, večnosti, moci a moci korunovaných osôb.

Kamenná hemisféra gule je stelesnená v náboženských chrámoch - kupolách Pravoslávne kostoly v Rusku; stúpy spojené s pobytom bódhisattvov v Indii. V Indonézii stúpy nadobudli tvar zvona s kamennou vežou na vrchole a nazývajú sa dagoby.

V grécko-rímskej mytológii lopta symbolizovala šťastie, osud, ktorý bol spojený s Tihe (Fortune) stojacim na lopte. Slávny obraz od Picassa „Dievča na lopte“ je tancujúce bohatstvo.

Tvar gule v prírode Mnohé bobule majú tvar gule.

Planéty sú sférické.

Niektoré stromy sú guľovité.

Definícia gule Guľa je plocha pozostávajúca zo všetkých bodov v priestore umiestnených v danej vzdialenosti od daného bodu.

Guľa je povrch získaný otáčaním polkruhu okolo priemeru

Tento bod (O) sa nazýva stred gule. Akýkoľvek segment spájajúci stred a niektorý bod gule sa nazýva polomer gule (R-polomer gule). Úsečka spájajúca dva body gule a prechádzajúca jej stredom sa nazýva priemer gule. Je zrejmé, že priemer gule je 2R.

Definícia lopty Lopta je teleso, ktoré sa skladá zo všetkých bodov v priestore, ktoré sú od daného bodu (alebo útvaru ohraničeného guľou) vo vzdialenosti nie väčšej ako daná vzdialenosť. Teleso ohraničené guľou sa nazýva guľa. Stred, polomer a priemer gule sa nazývajú aj stred, polomer a priemer gule.

Guľový segment Guľový segment je časť gule odrezaná od nej nejakou rovinou.

Guľová vrstva Guľová vrstva je časť gule uzavretá medzi dvoma rovnobežnými reznými rovinami.

Guľový sektor Guľový sektor je teleso získané otáčaním kruhového sektora s uhlom menším ako 900 okolo priamky obsahujúcej jeden z polomerov ohraničujúcich kruhový sektor.

Rovina prechádzajúca stredom gule sa nazýva diametrálna rovina. Prierez gule s priemernou rovinou sa nazýva veľký kruh a prierez gule sa nazýva veľký kruh. Loptová časť

Opravujeme Vyriešte problém č. 573, č. 574 (a)

Rovnica gule v pravouhlom súradnicovom systéme M(x;y;z) je ľubovoľný bod patriaci do gule. /MC/= v(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 MC=R, potom (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2

Úloha 1. Nájdite súradnice stredu a polomeru gule dané rovnicou: x?+y?+z?=49 (X-3)?+(y+2)?+z?=2 2. Napíšte rovnica pre guľu s polomerom R so stredom A ak A(2;-4;7) R=3 A(0;0;0) R=v2 A(2;0;0) R=4 3. Vyriešte úlohu č. 577(a)

Vzájomné usporiadanie gule a roviny Polomer gule označme písmenom R a vzdialenosť od jej stredu k rovine? písmenom d. Zavedme súradnicový systém tak, že rovina Oxy sa zhoduje s rovinou? a stred C gule leží na kladnej poloosi Oz.

V tomto súradnicovom systéme je bod C (o; o; d), takže guľa má rovnicu x2+y2+(z-d)2=R? Rovina sa zhoduje so súradnicovou rovinou Oxy, a preto je jej rovnica z=0

Otázka vzájomného usporiadania gule a roviny sa teda redukuje na štúdium sústavy rovníc. Dosadením z=0 do druhej rovnice dostaneme x?+y?=R?-d? Možné sú 3 prípady:

x?+y?=R2-d? Ak d>R, potom guľa a rovina nemajú spoločné body.

x?+y?=R2-d? Ak d=R, potom guľa a rovina označujú iba jeden spoločný bod. V tomto prípade? nazývaná dotyková rovina ku gule

x?+y?=R2-d? Ak d

Opravujeme Vyriešte problém č. 580, č. 581

Dotyková rovina gule Rovina, ktorá má s guľou len jeden spoločný bod, sa nazýva dotyková rovina gule a ich spoločný bod sa nazýva dotykový bod A roviny a gule.

Veta: Polomer gule nakreslenej v bode dotyku gule a roviny je kolmý na dotykovú rovinu. Dôkaz: Uvažujme rovinu?, ktorá sa dotýka gule so stredom O v bode A. Dokážte, že OA je kolmá na?. Predpokladajme, že nie. Potom je polomer OA naklonený k rovine? a v dôsledku toho je vzdialenosť od stredu gule k rovine menšia ako polomer gule. Preto sa guľa a rovina pretínajú v kruhu. To je v rozpore s tým, čo je dotyčnica, t.j. Guľa a rovina majú iba jeden spoločný bod. Výsledný rozpor dokazuje, že OA je kolmá?.

Konverzná veta: Ak je polomer gule kolmý na rovinu prechádzajúcu jej koncom ležiacim na gule, potom sa táto rovina dotýka gule.

Opravujeme riešenie problému č. 592

Oblasť gule Guľa sa nedá vyrovnať! Mnohosten opísaný v blízkosti gule je mnohosten, ktorého všetky tváre sa guľa dotýkajú. Hovorí sa, že guľa je vpísaná do mnohostenu

Úloha: Plocha prierezu gule prechádzajúcej jej stredom je 9 m2. Nájdite oblasť gule. Riešenie: Úsek prechádzajúci stredom gule je kruh. Ssec = A r2, 9 = A R2, R = v9/? . guľôčky=4 ?r2, guľôčky=4? · 9/? = 36 m2