Što je Tesseract? Cybercube - prvi korak u četvrtu dimenziju

Učenja o višedimenzionalnim prostorima počela su se javljati sredinom 19. stoljeća. Znanstvena fantastika je ideju četverodimenzionalnog prostora posudila od znanstvenika. U svojim djelima pričali su svijetu o nevjerojatnim čudima četvrte dimenzije.

Junaci svojih djela, koristeći svojstva četverodimenzionalnog prostora, mogli su pojesti sadržaj jajeta bez oštećenja ljuske, popiti piće bez otvaranja čepa boce. Otmičari su dohvatili blago iz sefa kroz četvrtu dimenziju. Kirurzi su izvodili operacije na unutarnjim organima bez rezanja tkiva pacijentovog tijela.

teserakta

U geometriji, hiperkocka je n-dimenzionalna analogija kvadrata (n = 2) i kocke (n = 3). Četverodimenzionalni analog naše uobičajene 3-dimenzionalne kocke poznat je kao teserakt. Teserakt je za kocku kao što je kocka za kvadrat. Formalnije, teserakt se može opisati kao pravilni konveksni četverodimenzionalni poliedar čija se granica sastoji od osam kubičnih ćelija.

Pokušajmo zamisliti kako će hiperkocka izgledati bez napuštanja trodimenzionalnog prostora.
U jednodimenzionalnom "prostoru" - na liniji - odabiremo odsječak AB duljine L. Na dvodimenzionalnoj ravnini na udaljenosti L od AB povučemo paralelan segment DC i spojimo njihove krajeve. Dobit ćete kvadratni CDBA. Ponavljajući ovu operaciju s ravninom, dobivamo trodimenzionalnu kocku CDBAGHFE. A pomicanjem kocke u četvrtoj dimenziji (okomito na prve tri) za udaljenost L, dobivamo CDBAGHFEKLJOPNM hiperkocku.

Slično, možemo nastaviti rasuđivanje za hiperkocke više dimenzijama, no puno je zanimljivije vidjeti kako će nam, stanovnicima trodimenzionalnog prostora, izgledati četverodimenzionalna hiperkocka.

Uzmimo žičanu kocku ABCDHEFG i pogledajmo je jednim okom sa strane lica. Vidjet ćemo i možemo nacrtati dva kvadrata na ravnini (njezina bliža i udaljena lica), povezana s četiri linije - bočnim rubovima. Slično, četverodimenzionalna hiperkocka u trodimenzionalnom prostoru izgledat će kao dvije kubične "kutije" umetnute jedna u drugu i povezane s osam bridova. U tom slučaju će se same "kutije" - trodimenzionalna lica - projicirati na "naš" prostor, a linije koje ih povezuju protežu se u smjeru četvrte osi. Također možete pokušati zamisliti kocku ne u projekciji, već u prostornoj slici.

Baš kao što trodimenzionalnu kocku čini kvadrat pomaknut za duljinu lica, kocka pomaknuta u četvrtu dimenziju formirat će hiperkocku. Ograničen je s osam kockica, koje će u budućnosti izgledati kao neka prilično složena figura. Sama četverodimenzionalna hiperkocka može se podijeliti na beskonačan broj kocki, kao što se trodimenzionalna kocka može "izrezati" na beskonačan broj ravnih kvadrata.

Rezanjem šest lica trodimenzionalne kocke možete je razložiti u ravnu figuru – mrežu. Imat će kvadrat na svakoj strani izvornog lica, plus još jedan - lice suprotno njemu. Trodimenzionalni razvoj četverodimenzionalne hiperkocke sastojat će se od izvorne kocke, šest kocki koje iz nje "rastu", plus još jedna - konačno "hiperface".

Tesseract je toliko zanimljiva figura da je u više navrata privlačila pozornost pisaca i filmaša.
Robert E. Heinlein je nekoliko puta spomenuo hiperkocke. U The House That Teal Built (1940.) opisao je kuću sagrađenu kao rasplet teserakta, a zatim je uslijed potresa "nastala" u četvrtoj dimenziji i postala "pravi" teserakt. U Heinleinovom romanu Glory Road opisana je hiperdimenzionalna kutija koja je bila veća iznutra nego izvana.

Priča Henryja Kuttnera "Svi Borogovi tenali" opisuje edukativnu igračku za djecu iz daleke budućnosti, po strukturi sličnu teseratu.

Radnja Cube 2: Hypercube usredotočuje se na osam stranaca zarobljenih u "hiperkocki" ili mreži povezanih kocki.

Paralelni svijet

Matematičke apstrakcije oživjele su pojam postojanja paralelnih svjetova. To su stvarnosti koje postoje istodobno s našom, ali neovisno o njoj. Paralelni svijet može imati razne veličine: od malog geografskog područja do cijelog svemira. U paralelnom svijetu događaji se odvijaju na svoj način, može se razlikovati od našeg svijeta, kako u pojedinim detaljima, tako i u gotovo svemu. Istodobno, fizikalni zakoni paralelnog svijeta nisu nužno slični zakonima našeg Svemira.

Ova tema je plodno tlo za pisce znanstvene fantastike.

Raspeće na križu Salvadora Dalija prikazuje teserakt. "Raspeće ili hiperkubično tijelo" - slika španjolskog umjetnika Salvadora Dalija, napisana 1954. godine. Prikazuje raspetoga Isusa Krista na razvoju teserakta. Slika se čuva u Metropolitan Museum of Art u New Yorku.

Sve je počelo 1895. godine kada je H. G. Wells pričom "Vrata u zidu" otkrio postojanje paralelnih svjetova za fantaziju. Godine 1923. Wells se vratio ideji paralelnih svjetova i u jedan od njih smjestio utopijsku zemlju u koju odlaze likovi romana "Ljudi su kao bogovi".

Roman nije prošao nezapaženo. Godine 1926. pojavila se priča G. Denta "Car zemlje" Ako bi "". U Dentovoj priči prvi put se pojavila ideja da bi mogle postojati zemlje (svjetovi) čija bi povijest mogla ići drugačije od povijesti stvarnih zemalja u našem svijetu.A svjetovi ovi nisu ništa manje stvarni od našeg.

Godine 1944. Jorge Luis Borges objavio je kratku priču "Vrt staza koje se račvaju" u svojoj knjizi Izmišljene priče. Ovdje je ideja o grananju vremena konačno izražena s najvećom jasnoćom.
Unatoč pojavi gore navedenih djela, ideja višesvijeta počela se ozbiljno razvijati u znanstvenoj fantastici tek krajem četrdesetih godina XX. stoljeća, otprilike u isto vrijeme kada se slična ideja pojavila u fizici.

Jedan od pionira novog smjera u znanstvenoj fantastici bio je John Bixby, koji je u priči "Jednosmjerna ulica" (1954.) sugerirao da se između svjetova možete kretati samo u jednom smjeru - prešavši iz svog svijeta u paralelni, nećete se vratiti, ali ćete se preseliti iz jednog svijeta u drugi. Međutim, povratak u svoj svijet također nije isključen - za to je potrebno zatvoriti sustav svjetova.

U romanu Clifforda Simaka "Prsten oko Sunca" (1982) opisani su brojni planeti Zemlje, svaki u svom svijetu, ali na istoj orbiti, a ti se svjetovi i ti planeti međusobno razlikuju samo po blagi (za mikrosekundu) pomak u vremenu . Brojne zemlje koje je obišao junak romanske forme jedinstveni sustav svjetova.

Zanimljiv pogled na grananje svjetova iznio je Alfred Bester u priči "Čovjek koji je ubio Mohammeda" (1958.). "Mijenjajući prošlost", tvrdi junak priče, "mijenjate je samo za sebe." Drugim riječima, nakon promjene prošlosti nastaje grana povijesti u kojoj samo za lik koji je napravio promjenu ta promjena postoji.

U priči braće Strugatski "Ponedjeljak počinje subotom" (1962.), putovanja likova u različite varijante opisuju pisci znanstvene fantastike budućnosti - za razliku od putovanja u znanstvenoj fantastici koja su već postojala u razne opcije prošlosti.

Međutim, i jednostavno nabrajanje svih djela koja se bave temom paralelizma svjetova oduzelo bi previše vremena. I premda pisci znanstvene fantastike, u pravilu, znanstveno ne potkrepljuju postulat višedimenzionalnosti, u jednom su u pravu – ovo je hipoteza koja ima pravo na postojanje.
Četvrta dimenzija teserakta još nas čeka da posjetimo.

Viktor Savinov

Što je hiperkocka i četverodimenzionalni prostor

U našem uobičajenom prostoru postoje tri dimenzije. S geometrijskog gledišta, to znači da se u njemu mogu naznačiti tri međusobno okomite linije. To jest, za bilo koju liniju možete pronaći drugu liniju okomitu na prvu, a za par možete pronaći treću liniju okomitu na prva dva. Više neće biti moguće pronaći četvrtu ravnu liniju okomitu na tri postojeće.

Četverodimenzionalni prostor razlikuje se od našeg samo po tome što ima još jedan dodatni smjer. Ako već imate tri međusobno okomite linije, onda možete pronaći četvrtu, takvu da će biti okomita na sve tri.

Hiperkocka je samo kocka u četiri dimenzije.
Je li moguće zamisliti četverodimenzionalni prostor i hiperkocku?

Ovo je pitanje povezano s pitanjem: "je li moguće zamisliti Posljednju večeru gledajući istoimenu sliku (1495-1498) Leonarda da Vincija (1452-1519)?"

S jedne strane, naravno, nećete zamisliti što je Isus vidio (sjedi okrenut prema gledatelju), pogotovo jer nećete osjetiti miris vrta izvan prozora i okus hrane na stolu, nećete čuti ptice pjevanje ... Nećete dobiti potpunu sliku onoga što se događalo te večeri, ali se ne može reći da nećete naučiti ništa novo i da slika ne zanima.

Slična je situacija i s pitanjem hiperkocke. Nemoguće ga je u potpunosti zamisliti, ali možete se približiti razumijevanju o čemu se radi.
Izgradnja hiperkocke
0-dimenzionalna kocka

Krenimo od početka - s 0-dimenzionalnom kockom. Ova kocka sadrži 0 međusobno okomitih strana, odnosno samo je točka.

1-dimenzionalna kocka

U jednodimenzionalnom prostoru imamo samo jedan smjer. Pomičemo točku u ovom smjeru i dobivamo segment.

Ovo je jednodimenzionalna kocka.
2 dimenzionalna kocka

Imamo drugu dimenziju, pomaknemo našu jednodimenzionalnu kocku (segment) u smjeru druge dimenzije i dobijemo kvadrat.

To je kocka u dvije dimenzije.
3 dimenzionalna kocka

S pojavom treće dimenzije činimo isto: pomičemo kvadrat i dobivamo uobičajenu trodimenzionalnu kocku.

4-dimenzionalna kocka (hiperkocka)

Sada imamo četvrtu dimenziju. Odnosno, imamo na raspolaganju smjer okomit na sva tri prethodna. Koristimo ga na isti način. 4D kocka će izgledati ovako.

Naravno, trodimenzionalne i četverodimenzionalne kocke ne mogu se prikazati na dvodimenzionalnoj ravnini ekrana. Ono što sam nacrtao su projekcije. O projekcijama ćemo govoriti nešto kasnije, ali za sada nekoliko golih činjenica i brojki.
Broj vrhova, bridova, lica
Karakteristike kocki raznih dimenzija
1-dimenzija prostora
2-broj vrhova
3-broj rebara
4-broj lica

0 (točka) 1 0 0
1 (crta) 2 1 2 (bodovi)
2 (kvadrat) 4 4 4 (segmenti)
3 (kocka) 8 12 6 (kvadrati)
4 (hiperkocka) 16 32 8 (kocke)
N (opća formula) 2N N 2N-1 2 N

Imajte na umu da je lice hiperkocke naša obična 3D kocka. Ako pažljivo pogledate crtež hiperkocke, zapravo možete pronaći osam kocki.
Projekcije i vizija stanovnika četverodimenzionalnog prostora
Nekoliko riječi o viziji

Živimo u trodimenzionalnom svijetu, ali ga vidimo kao dvodimenzionalni. To je zbog činjenice da se mrežnica naših očiju nalazi u ravnini koja ima samo dvije dimenzije. Zato smo u stanju percipirati dvodimenzionalne slike i smatrati ih sličnima stvarnosti. (Naravno, zahvaljujući akomodaciji, oko može procijeniti udaljenost do objekta, ali to je već nuspojava povezana s optikom ugrađenom u naše oko.)

Oči stanovnika četverodimenzionalnog prostora moraju imati trodimenzionalnu mrežnicu. Takvo stvorenje može odmah u potpunosti vidjeti trodimenzionalni lik: sva njegova lica i unutrašnjost. (Na isti način možemo vidjeti dvodimenzionalni lik, sva njegova lica i unutrašnjost.)

Dakle, uz pomoć naših organa vida nismo u stanju percipirati četverodimenzionalnu kocku na isti način kao što bi je percipirao stanovnik četverodimenzionalnog prostora. jao. Ostaje samo osloniti se na umno oko i fantaziju, koji, na sreću, nemaju fizička ograničenja.

Međutim, kada prikazujem hiperkocku na ravnini, jednostavno je moram projicirati na dvodimenzionalni prostor. Imajte to na umu kada proučavate crteže.
Rubna raskrižja

Naravno, rubovi hiperkocke se ne sijeku. Raskrižja se pojavljuju samo na slikama. No, to ne treba čuditi, jer se rubovi obične kocke na figurama također sijeku.
Duljine rebra

Vrijedi napomenuti da su sva lica i bridovi četverodimenzionalne kocke jednaki. Na slici nisu jednaki samo zato što se nalaze pod različitim kutovima u odnosu na smjer gledanja. Međutim, moguće je rasklopiti hiperkocku tako da sve projekcije imaju istu duljinu.

Inače, na ovoj slici je jasno vidljivo osam kocki, koje su lica hiperkocke.
Hiperkocka iznutra prazna

Teško je povjerovati, ali između kocki koje su povezale hiperkocku postoji nešto prostora (djelić četverodimenzionalnog prostora).

Da bismo to bolje razumjeli, razmotrimo 2D projekciju obične 3D kocke (namjerno sam je napravio pomalo skiciran).

Može li se po njemu pretpostaviti da unutar kocke ima prostora? Da, ali samo uz maštu. Oko ne vidi ovaj prostor. To je zato što su se rubovi smješteni u trećoj dimenziji (koja se ne može prikazati na ravnom crtežu) sada pretvorili u segmente koji leže u ravnini crteža. Više ne daju volumen.

Kvadrati koji su omeđivali prostor kocke međusobno su se preklapali. Ali možete zamisliti da su se u izvornoj slici (trodimenzionalnoj kocki) ti kvadrati nalazili u različite ravnine, a ne jedan na drugi u istoj ravnini, kako se pokazalo na slici.

Isto vrijedi i za hiperkocku. Kockasta lica hiperkocke se zapravo ne preklapaju, kako nam se čini na projekciji, već se nalaze u četverodimenzionalnom prostoru.
Razvrtači

Dakle, stanovnik četverodimenzionalnog prostora može vidjeti trodimenzionalni objekt istovremeno sa svih strana. Možemo li istovremeno vidjeti trodimenzionalnu kocku sa svih strana? S okom, ne. Ali ljudi su smislili način da na ravnom crtežu istovremeno prikažu sva lica trodimenzionalne kocke. Takva se slika naziva sweep.
Rasklapanje 3D kocke

Svi vjerojatno znaju kako nastaje rasplet trodimenzionalne kocke. Ovaj proces je prikazan u animaciji.

Radi jasnoće, rubovi lica kocke su prozirni.

Treba napomenuti da smo u stanju percipirati ovu dvodimenzionalnu sliku samo zahvaljujući mašti. Ako promatramo faze odvijanja s čisto dvodimenzionalne točke gledišta, tada će se proces činiti čudnim i nimalo vizualnim.

Izgleda kao postupno pojavljivanje najprije obrisa iskrivljenih kvadrata, a zatim njihovo širenje na svoje mjesto uz istovremeno usvajanje potrebnog oblika.

Ako gledate kocku koja se rasklapa u smjeru jedne od njezinih strana (s ove točke gledišta kocka izgleda kao kvadrat), tada je proces formiranja razvoja još manje jasan. Sve izgleda kao puzanje iz kvadrata iz početnog kvadrata (ne rasklopljene kocke).

Ali skeniranje nije vizualno samo za oči. Samo zahvaljujući mašti, iz njega se može izvući mnogo informacija.
Rasklapanje 4D kocke

Jednostavno je nemoguće učiniti animirani proces razvijanja hiperkocke barem donekle vizualnim. Ali ovaj proces se može zamisliti. (Da biste to učinili, morate ga pogledati očima četverodimenzionalnog bića.)

Namaz izgleda ovako.

Ovdje je vidljivo svih osam kocki koje omeđuju hiperkocku.

Lica su obojana istim bojama, koje pri preklapanju trebaju biti poravnate. Lica za koja upareni nisu vidljivi ostaju siva. Nakon presavijanja, najgornja strana gornje kocke treba se poravnati s donjom stranom donje kocke. (Slično, razvoj trodimenzionalne kocke je urušen.)

Imajte na umu da će nakon presavijanja sva lica osam kocki doći u kontakt, zatvarajući hiperkocku. I na kraju, kada zamišljate proces presavijanja, nemojte zaboraviti da se tijekom presavijanja kocke ne postavljaju iznad, već se omotavaju oko određene (hiperkubične) četverodimenzionalne površine.

Salvador Dali (1904-1989) je mnogo puta prikazao raspeće, a križevi se pojavljuju na mnogim njegovim slikama. Slika Raspeće (1954.) koristi zamah hiperkocke.
Prostor-vrijeme i euklidski četverodimenzionalni prostor

Nadam se da ste uspjeli zamisliti hiperkocku. Ali jeste li se uspjeli približiti razumijevanju kako funkcionira četverodimenzionalni prostor-vrijeme u kojem živimo? Jao, ne baš.

Ovdje smo govorili o euklidskom četverodimenzionalnom prostoru, ali prostor-vrijeme ima vrlo različita svojstva. Konkretno, pri bilo kojoj rotaciji, segmenti uvijek ostaju nagnuti prema vremenskoj osi, bilo pod kutom manjim od 45 stupnjeva, ili pod kutom većim od 45 stupnjeva.

IZVOR 2

Teserakt je četverodimenzionalna hiperkocka, analogna kocki u četverodimenzionalnom prostoru. Prema Oxfordskom rječniku, riječ "tesseract" skovao je i upotrijebio 1888. Charles Howard Hinton (1853-1907) u svojoj knjizi Novo doba misli. Kasnije su neki ljudi istu figuru nazvali "tetrakub".

Pokušajmo zamisliti kako će hiperkocka izgledati bez napuštanja trodimenzionalnog prostora.
U jednodimenzionalnom "prostoru" - na liniji - odabiremo odsječak AB duljine L. Na dvodimenzionalnoj ravnini na udaljenosti L od AB povučemo paralelan segment DC i spojimo njihove krajeve. Dobiti kvadrat ABCD. Ponavljajući ovu operaciju s ravninom, dobivamo trodimenzionalnu kocku ABCDHEFG. A pomicanjem kocke u četvrtoj dimenziji (okomito na prve tri) za udaljenost L, dobivamo hiperkocku ABCDEFGHIJKLMNOP.

Jednodimenzionalni segment AB služi kao lice dvodimenzionalnog kvadrata ABCD, kvadrat je stranica kocke ABCDHEFG, koja će zauzvrat biti stranica četverodimenzionalne hiperkocke. Pravi segment ima dvije granične točke, kvadrat ima četiri vrha, a kocka osam. U četverodimenzionalnoj hiperkocki, dakle, bit će 16 vrhova: 8 vrhova izvorne kocke i 8 vrhova pomaknutih u četvrtoj dimenziji. Ima 32 brida - po 12 daje početnu i konačnu poziciju originalne kocke, a još 8 bridova "crta" osam njezinih vrhova koji su se preselili u četvrtu dimenziju. Isto se razmišljanje može učiniti za lica hiperkocke. U dvodimenzionalnom prostoru, to je jedan (sam kvadrat), kocka ih ima 6 (dva lica od pomaknutog kvadrata i još četiri će opisati njegove stranice). Četverodimenzionalna hiperkocka ima 24 kvadratna lica - 12 kvadrata izvorne kocke u dva položaja i 12 kvadrata s dvanaest njezinih bridova.

Na sličan način možemo nastaviti razmišljanje o hiperkockama većeg broja dimenzija, no puno je zanimljivije vidjeti kako će četverodimenzionalna hiperkocka izgledati za nas, stanovnike trodimenzionalnog prostora. Upotrijebimo za to već poznatu metodu analogija.
Uzmimo žičanu kocku ABCDHEFG i pogledajmo je jednim okom sa strane lica. Vidjet ćemo i možemo nacrtati dva kvadrata na ravnini (njezina bliža i udaljena lica), povezana s četiri linije - bočnim rubovima. Slično, četverodimenzionalna hiperkocka u trodimenzionalnom prostoru izgledat će kao dvije kubične "kutije" umetnute jedna u drugu i povezane s osam bridova. U tom slučaju će se same "kutije" - trodimenzionalna lica - projicirati na "naš" prostor, a linije koje ih povezuju protežu se u četvrtoj dimenziji. Također možete pokušati zamisliti kocku ne u projekciji, već u prostornoj slici.

Baš kao što trodimenzionalnu kocku čini kvadrat pomaknut za duljinu lica, kocka pomaknuta u četvrtu dimenziju formirat će hiperkocku. Ograničen je s osam kockica, koje će u budućnosti izgledati kao neka prilično složena figura. Njezin dio koji je ostao u "našem" prostoru iscrtan je punim linijama, a dio koji je otišao u hiperprostor iscrtan. Sama četverodimenzionalna hiperkocka sastoji se od beskonačnog broja kocki, baš kao što se trodimenzionalna kocka može "izrezati" na beskonačan broj ravnih kvadrata.

Rezanjem šest lica trodimenzionalne kocke možete je razložiti u ravnu figuru – mrežu. Imat će kvadrat na svakoj strani izvornog lica, plus još jedan - lice suprotno njemu. Trodimenzionalni razvoj četverodimenzionalne hiperkocke sastojat će se od izvorne kocke, šest kocki koje iz nje "rastu", plus još jedna - konačno "hiperface". Svojstva teserakta su proširenje svojstava geometrijski oblici nižu dimenziju u četverodimenzionalni prostor.

Druga imena
heksadekakoron (heksadekakoron)
oktakoron (oktakoron)
tetrakub (tetrakub)
4-kocka (4-kocka)
Hypercube (ako broj dimenzija nije naveden)

10-dimenzionalni prostor
tamo na engleskom.ko ne zna slike su sasvim jasne

http://www.skillopedia.ru/material.php?id=1338

Bodovi (±1, ±1, ±1, ±1). Drugim riječima, može se predstaviti kao sljedeći skup:

Teserakt je ograničen s osam hiperravnina čiji presjek sa samim teseraktom definira njegove trodimenzionalne površine (koje su obične kocke). Svaki par neparalelnih 3D lica sijeku se i tvore 2D lica (kvadrate) i tako dalje. Konačno, teserakt ima 8 3D lica, 24 2D, 32 ruba i 16 vrhova.

Popularni opis

Pokušajmo zamisliti kako će hiperkocka izgledati bez napuštanja trodimenzionalnog prostora.

U jednodimenzionalnom "prostoru" - na liniji - odabiremo odsječak AB duljine L. Na dvodimenzionalnoj ravnini na udaljenosti L od AB povučemo paralelan segment DC i spojimo njihove krajeve. Dobit ćete kvadratni CDBA. Ponavljajući ovu operaciju s ravninom, dobivamo trodimenzionalnu kocku CDBAGHFE. A pomicanjem kocke u četvrtoj dimenziji (okomito na prve tri) za udaljenost L, dobivamo CDBAGHFEKLJOPNM hiperkocku.

Konstrukcija teserakta na ravnini

Jednodimenzionalni segment AB služi kao stranica dvodimenzionalnog kvadrata CDBA, kvadrat je stranica kocke CDBAGHFE, koja će zauzvrat biti stranica četverodimenzionalne hiperkocke. Pravi segment ima dvije granične točke, kvadrat ima četiri vrha, a kocka osam. U četverodimenzionalnoj hiperkocki, dakle, bit će 16 vrhova: 8 vrhova izvorne kocke i 8 vrhova pomaknutih u četvrtoj dimenziji. Ima 32 brida - po 12 daje početnu i konačnu poziciju originalne kocke, a još 8 bridova "crta" osam njezinih vrhova koji su se preselili u četvrtu dimenziju. Isto se razmišljanje može učiniti za lica hiperkocke. U dvodimenzionalnom prostoru, to je jedan (sam kvadrat), kocka ih ima 6 (dva lica od pomaknutog kvadrata i još četiri će opisati njegove stranice). Četverodimenzionalna hiperkocka ima 24 kvadratna lica - 12 kvadrata izvorne kocke u dva položaja i 12 kvadrata s dvanaest njezinih bridova.

Kako su stranice kvadrata 4 jednodimenzionalna segmenta, a stranice (lice) kocke su 6 dvodimenzionalnih kvadrata, tako su za “četverodimenzionalnu kocku” (teseract) stranice 8 trodimenzionalnih kocki. Prostori suprotnih parova teserakt kocki (odnosno trodimenzionalni prostori kojima te kocke pripadaju) su paralelni. Na slici su to kocke: CDBAGHFE i KLJIOPNM, CDBAKLJI i GHFEOPNM, EFBAMNJI i GHDCOPLK, CKIAGOME i DLJBHPNF.

Na sličan način možemo nastaviti razmišljanje o hiperkockama većeg broja dimenzija, no puno je zanimljivije vidjeti kako će četverodimenzionalna hiperkocka izgledati za nas, stanovnike trodimenzionalnog prostora. Upotrijebimo za to već poznatu metodu analogija.

Uzmimo žičanu kocku ABCDHEFG i pogledajmo je jednim okom sa strane lica. Vidjet ćemo i možemo nacrtati dva kvadrata na ravnini (njezina bliža i udaljena lica), povezana s četiri linije - bočnim rubovima. Slično, četverodimenzionalna hiperkocka u trodimenzionalnom prostoru izgledat će kao dvije kubične "kutije" umetnute jedna u drugu i povezane s osam bridova. U tom slučaju će se same "kutije" - trodimenzionalna lica - projicirati na "naš" prostor, a linije koje ih povezuju protežu se u smjeru četvrte osi. Također možete pokušati zamisliti kocku ne u projekciji, već u prostornoj slici.

Baš kao što trodimenzionalnu kocku čini kvadrat pomaknut za duljinu lica, kocka pomaknuta u četvrtu dimenziju formirat će hiperkocku. Ograničen je s osam kockica, koje će u budućnosti izgledati kao neka prilično složena figura. Sama četverodimenzionalna hiperkocka sastoji se od beskonačnog broja kocki, baš kao što se trodimenzionalna kocka može "izrezati" na beskonačan broj ravnih kvadrata.

Rezanjem šest lica trodimenzionalne kocke možete je razložiti u ravnu figuru - razvoj. Imat će kvadrat na svakoj strani izvornog lica, plus još jedan - lice suprotno njemu. Trodimenzionalni razvoj četverodimenzionalne hiperkocke sastojat će se od izvorne kocke, šest kocki koje iz nje "rastu", plus još jedna - konačno "hiperface".

Svojstva teserakta su proširenje svojstava geometrijskih likova manje dimenzije u četverodimenzionalni prostor.

projekcije

na dvodimenzionalni prostor

Ovu strukturu je teško zamisliti, ali je moguće projicirati teserak u 2D ili 3D prostore. Osim toga, projekcija na ravninu olakšava razumijevanje položaja vrhova hiperkocke. Na ovaj način moguće je dobiti slike koje više ne odražavaju prostorne odnose unutar teserakta, ali koje ilustriraju strukturu veze vrhova, kao u sljedećim primjerima:

Treća slika prikazuje teserakt u izometriji, u odnosu na konstrukcijsku točku. Ovaj pogled je zanimljiv kada se teserak koristi kao osnova za topološku mrežu za povezivanje više procesora u paralelnom računanju.

na trodimenzionalni prostor

Jedna od projekcija teserakta na trodimenzionalni prostor su dvije ugniježđene trodimenzionalne kocke, čiji su odgovarajući vrhovi povezani segmentima. Unutarnje i vanjske kocke imaju različite veličine u 3D prostoru, ali u 4D prostoru su jednake kocke. Da bismo razumjeli jednakost svih kocki teserakta, kreiran je rotirajući model teserakta.

• Šest krnje piramide uz rubove teserakta su slike jednakih šest kocki. Međutim, te su kocke za teserak kao što su kvadrati (lice) za kocku. Ali zapravo, teserakt se može podijeliti na beskonačan broj kocaka, kao što se kocka može podijeliti na beskonačan broj kvadrata, ili se kvadrat može podijeliti na beskonačan broj segmenata.

Još jedna zanimljiva projekcija teserakta na trodimenzionalni prostor je rombični dodekaedar s četiri nacrtane dijagonale, povezujući parove suprotnih vrhova pod velikim kutovima rombova. U ovom slučaju, 14 od 16 vrhova teserakta projicira se u 14 vrhova rombičnog dodekaedra, a projekcije preostala 2 se poklapaju u njegovom središtu. U takvoj projekciji na trodimenzionalni prostor očuvana je jednakost i paralelnost svih jednodimenzionalnih, dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih stranica.

stereo par

Stereopar teserakta prikazan je kao dvije projekcije na trodimenzionalni prostor. Ovaj prikaz teserakta osmišljen je da predstavi dubinu kao četvrtu dimenziju. Stereo par se gleda tako da svako oko vidi samo jednu od ovih slika, nastaje stereoskopska slika koja reproducira dubinu teserakta.

Tesseract se odvija

Površina teserakta može se rasklopiti u osam kocki (slično kao što se površina kocke može rasklopiti u šest kvadrata). Postoji 261 različito odvijanje teserakta. Rasklopi teserakta mogu se izračunati ucrtavanjem povezanih kutova na graf.

Tesserakt u umjetnosti

• U New Plain Edwinea A. Abbotta hiperkocka je pripovjedač.
• U jednoj epizodi Pustolovine Jimmyja Neutrona, "dječak genij" Jimmy izmišlja četverodimenzionalnu hiperkocku, identičnu preklopnoj kutiji iz romana Glory Road (1963.) Roberta Heinleina.
• Robert E. Heinlein spomenuo je hiperkocke u najmanje tri znanstvenofantastične priče. U The House of Four Dimensions (The House That Teel Built) opisao je kuću izgrađenu kao rasplet teserakta, a potom se uslijed potresa “formirala” u četvrtoj dimenziji i postala “pravi” teserak.
• U Heinleinovom romanu Glory Road opisana je hiperdimenzionalna kutija koja je bila veća iznutra nego izvana.
• Priča Henryja Kuttnera "Svi Borogovi tenali" opisuje edukativnu igračku za djecu iz daleke budućnosti, po strukturi sličnu teseratu.
• U romanu Alexa Garlanda ( ), izraz "teserakt" koristi se za trodimenzionalno odvijanje četverodimenzionalne hiperkocke, a ne same hiperkocke. Ovo je metafora osmišljena da pokaže da spoznajni sustav treba biti širi od spoznajnog.
• Radnja The Cube 2: Hypercube usredotočuje se na osam stranaca zarobljenih u "hiperkocki" ili mreži povezanih kocki.
• TV serija Andromeda koristi teseraktne generatore kao uređaj za zavjeru. Oni su prvenstveno namijenjeni kontroli prostora i vremena.
• Slika "Raspeće" (Corpus Hypercubus) Salvadora Dalija ().
• Nextwave strip prikazuje vozilo koje uključuje 5 teserakt zona.
• Na albumu Voivod Nothingface jedna od pjesama se zove "U mojoj hiperkocki".
• U romanu Route Cube Anthonyja Piercea, jedan od IDA-inih orbitalnih mjeseci naziva se teseraktom koji je komprimiran u 3 dimenzije.
• U seriji "Škola" Black Hole "" u trećoj sezoni nalazi se epizoda "Tesseract". Lucas pritisne tajni gumb i škola počinje "poprimati oblik kao matematički teserakt".
• Izraz "tesseract" i pojam "tesse" koji je izveden iz njega nalazi se u priči Madeleine L'Engle "Bora vremena".
• TesseracT je naziv britanskog dent benda.
• U seriji filmova Marvel Cinematic Universe, Tesseract je ključni element radnje, kozmički artefakt u obliku hiperkocke.
• U priči Roberta Sheckleyja "Gospođica miš i četvrta dimenzija", jedan ezoterični pisac, autorov poznanik, pokušava vidjeti teserak, gledajući satima u napravu koju je dizajnirao: loptu na nozi sa šipkama zabodenim u nju, na koje su kocke zalijepljene, zalijepljene sa svima redom ezoterijski simboli. U priči se spominje Hintonov rad.
• U filmovima Prvi osvetnik, Osvetnici. Tesserakt je energija cijelog svemira

Druga imena

• hexadecachoron (engleski) Heksadekakoron)
• oktokoron (engleski) Oktakoron)
• tetrakub
• 4-kocka
• Hypercube (ako broj dimenzija nije naveden)

Bilješke

Književnost

• Charles H Hinton. Četvrta dimenzija, 1904. ISBN 0-405-07953-2
• Martin Gardner, Matematički karneval, 1977. ISBN 0-394-72349-X
• Ian Stewart, Koncepti moderne matematike, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Linkovi

• Program Transformator4D. Formiranje modela trodimenzionalnih projekcija četverodimenzionalnih objekata (uključujući Hypercube).
• Program koji implementira konstrukciju teserakta i sve njegove afine transformacije, s C++ izvorima.

Na engleskom

• Mushware Limited je izlazni program teserakta ( Tesseract trener, licenciran pod GPLv2) i 4D pucač iz prvog lica ( Adanaxis; grafika, uglavnom trodimenzionalna; postoji GPL verzija u spremištima OS-a).

Zaklada Wikimedia. 2010 .

Učenja o višedimenzionalnim prostorima počela su se javljati sredinom 19. stoljeća u djelima G. Grassmanna, A. Cayleyja, B. Riemanna, W. Clifforda, L. Schläflija i drugih matematičara. Početkom 20. stoljeća, pojavom teorije relativnosti A. Einsteina i ideja G. Minkowskog, fizika je počela koristiti četverodimenzionalni prostor-vremenski koordinatni sustav.

Tada su pisci znanstvene fantastike posudili ideju četverodimenzionalnog prostora od znanstvenika. U svojim djelima pričali su svijetu o nevjerojatnim čudima četvrte dimenzije. Junaci svojih djela, koristeći svojstva četverodimenzionalnog prostora, mogli su pojesti sadržaj jajeta bez oštećenja ljuske, popiti piće bez otvaranja čepa boce. Otmičari su dohvatili blago iz sefa kroz četvrtu dimenziju. Karike lanca mogu se lako odvojiti, a čvor na užetu može se odvezati bez dodirivanja njegovih krajeva. Kirurzi su izvodili operacije na unutarnjim organima bez rezanja tkiva pacijentovog tijela. Mistici su duše mrtvih smjestili u četvrtu dimenziju. Za obična osoba ideja o četverodimenzionalnom prostoru ostala je neshvatljiva i tajanstvena, a mnogi općenito smatraju četverodimenzionalni prostor plodom mašte znanstvenika i pisaca znanstvene fantastike, što nema veze sa stvarnošću.

Problem percepcije

Tradicionalno se vjeruje da osoba ne može percipirati i predstavljati četverodimenzionalne figure, budući da je trodimenzionalno biće. Subjekt percipira trodimenzionalne figure uz pomoć mrežnice koja je dvodimenzionalna. Za percepciju četverodimenzionalnih figura potrebna je trodimenzionalna mrežnica, ali osoba nema takvu priliku.

Da bismo dobili vizualni prikaz četverodimenzionalnih figura, koristit ćemo analogije iz prostora niže dimenzije za ekstrapolaciju na figure veće dimenzije, koristiti metodu modeliranja, primijeniti metode analiza sustava tražiti uzorke između elemenata četverodimenzionalnih figura. Predloženi modeli trebali bi adekvatno opisivati ​​svojstva četverodimenzionalnih figura, ne proturječiti jedni drugima i dati dovoljnu predodžbu o četverodimenzionalnoj figuri i, prije svega, o njenoj geometrijski oblik. Budući da nema sustavnog i vizualni opisčetverodimenzionalnih figura, a postoje samo njihova imena koja ukazuju na neka svojstva, predlažemo da započnemo proučavanje četverodimenzionalnih figura s najjednostavnijim - četverodimenzionalnom kockom, koja se naziva hiperkocka.

Definicija hiperkocke

hiperkockanaziva se pravilan politop čija je ćelija kocka.

Politop je četverodimenzionalni lik, čija se granica sastoji od poliedra. Analog ćelije politopa je lice poliedra. Hiperkocka je analogna trodimenzionalnoj kocki.

Imat ćemo ideju o hiperkocki ako znamo njezina svojstva. Subjekt percipira neki objekt, predstavljajući ga u obliku nekog modela. Koristimo ovu metodu i predstavimo ideju hiperkocke u obliku raznih modela.

Analitički model

Jednodimenzionalni prostor (pravac) ćemo smatrati uređenim skupom točakaM(x), gdje xje koordinata proizvoljne točke na pravoj liniji. Tada se jedinični segment daje navođenjem dvije točke:A(0) i B(1).

Ravninu (dvodimenzionalni prostor) možemo promatrati kao uređeni skup točaka M(x; y). Jedinični kvadrat bit će u potpunosti definiran sa svoja četiri vrha: A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1), D(0; 1). Koordinate vrhova kvadrata dobivaju se tako da se koordinatama segmenta doda nula, a zatim jedan.

Trodimenzionalni prostor - uređeni skup točaka M(x; y; z). Za definiranje 3D kocke potrebno je osam točaka:

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0),

E(0; 0; 1), F(1; 0; 1), G(1; 1; 1), H(0; 1; 1).

Koordinate kocke dobivaju se iz koordinata kvadrata dodavanjem nule, a zatim jedan.

Četverodimenzionalni prostor je uređen skup točaka M(x; y; z; t). Da biste odredili hiperkocku, morate odrediti koordinate njenih šesnaest vrhova:

A(0; 0; 0; 0), B(1; 0; 0; 0), C(1; 1; 0; 0), D(0; 1; 0; 0),

E(0; 0; 1; 0), F(1; 0; 1; 0), G(1; 1; 1; 0), H(0; 1; 1; 0),

K(0; 0; 0; 1), L(1; 0; 0; 1), M(1; 1; 0; 1), N(0; 1; 0; 1),

O(0; 0; 1; 1), P(1; 0; 1; 1), R(1; 1; 1; 1), S(0; 1; 1; 1).

Koordinate hiperkocke dobivaju se iz koordinata 3D kocke dodavanjem četvrte koordinate jednake nuli, a zatim jedan.

Koristeći formule analitičke geometrije za četverodimenzionalni euklidski prostor, mogu se dobiti svojstva hiperkocke.
Kao primjer, razmotrite izračun duljine glavne dijagonale hiperkocke. Neka je potrebno pronaći udaljenost između točaka A(0, 0, 0, 0) i R(1, 1, 1, 1). Da bismo to učinili, koristimo formulu udaljenosti u četverodimenzionalnom euklidskom prostoru.

U dvodimenzionalnom prostoru (na ravnini), udaljenost između točaka A(x 1 , y 1) i B(x 2 , y 2) izračunava se po formuli

Ova formula slijedi iz Pitagorinog teorema.

Odgovarajuća formula za udaljenost između točaka A(x 1 , y 1 , z 1) i B(x 2 , y 2 , z 2) u trodimenzionalni prostor ima oblik

I u jednodimenzionalnom prostoru (na ravnoj liniji) između točaka A( x 1) i B( x 2) možete napisati odgovarajuću formulu udaljenosti:

Slično, udaljenost između točaka A(x 1 , y 1 , z 1 , t 1) i B(x 2 , y 2 , z 2 , t 2) u četverodimenzionalnom prostoru izračunat će se po formuli:

Za predloženi primjer nalazimo

Dakle, hiperkocka postoji analitički, a njena svojstva se mogu opisati ništa gore od svojstava trodimenzionalne kocke.

Dinamički model

Analitički model hiperkocke je vrlo apstraktan, pa razmotrimo još jedan model – dinamički.

Točka (nuldimenzionalni lik), koja se kreće u jednom smjeru, generira segment (jednodimenzionalni lik). Segment, koji se kreće u smjeru okomitom na sebe, stvara kvadrat (dvodimenzionalni lik). Kvadrat, krećući se u smjeru okomitom na ravninu kvadrata, stvara kocku (trodimenzionalni lik).

Kocka, krećući se okomito na trodimenzionalni prostor u kojem se prvobitno nalazila, stvara hiperkocku (četverodimenzionalni lik).

Granica hiperkocke je trodimenzionalna, konačna i zatvorena. Sastoji se od trodimenzionalne kocke u početnoj poziciji, trodimenzionalne kocke u konačnoj poziciji i šest kocki nastalih pomicanjem kvadrata izvorne kocke u smjeru četvrte dimenzije. Cijela granica hiperkocke sastoji se od 8 trodimenzionalnih kocki (stanica).

Pri kretanju u početnom položaju kocka je imala 8 vrhova, au konačnom položaju također 8 vrhova. Dakle, hiperkocka ima ukupno 16 vrhova.

Iz svakog vrha izlaze četiri međusobno okomita brida. Sveukupno hiperkocka ima 32 brida.U početnoj poziciji imala je 12 bridova, u konačnoj poziciji također 12 bridova, a 8 bridova je činilo vrhove kocke pri kretanju u četvrtoj dimenziji.

Dakle, granica hiperkocke sastoji se od 8 kocki, koje se sastoje od 24 kvadrata. Naime, 6 kvadrata u početnoj poziciji, 6 u konačnoj poziciji i 12 kvadrata nastalih pomicanjem 12 bridova u smjeru četvrte dimenzije.

geometrijski model

Dinamički model hiperkocke može se činiti nedovoljno jasnim. Stoga razmotrite geometrijski model hiperkocke. Kako dobivamo geometrijski model 3D kocke? Rasklapamo ga, a iz rasklopa “lijepimo” model kocke. Razvoj trodimenzionalne kocke sastoji se od kvadrata na čije je stranice pričvršćen kvadrat plus još jedan kvadrat. Okrećemo susjedne kvadrate oko stranica kvadrata, a susjedne stranice kvadrata međusobno povezujemo. A preostale četiri strane zatvaramo zadnjim kvadratom (slika 1).

Slično, razmislite o odvijanju hiperkocke. Njegov razvoj bit će trodimenzionalna figura, koja se sastoji od izvorne trodimenzionalne kocke, šest kocki uz svaku stranu izvorne kocke i još jedne kocke. Ukupno je osam trodimenzionalnih kocki (slika 2). Kako bi se iz ovog razvoja dobila četverodimenzionalna kocka (hiperkocka), svaka od susjednih kockica mora se zarotirati za 90 stupnjeva. Ove susjedne kocke bit će smještene u drugom 3D prostoru. Spojite međusobno susjedne strane (kvadrate) kocki. Osmu kocku s plohama ugradite u preostali nepopunjeni prostor. Dobivamo četverodimenzionalni lik - hiperkocku, čija se granica sastoji od osam trodimenzionalnih kocki.

Slika hiperkocke

Gore je prikazano kako "zalijepiti" model hiperkocke iz trodimenzionalnog zamaha. Slike dobivamo pomoću projekcije. Središnja projekcija trodimenzionalne kocke (njena slika na ravnini) izgleda ovako (slika 3). Unutar trga je još jedan kvadrat. Odgovarajući vrhovi kvadrata povezani su segmentima. Susjedni kvadrati su prikazani kao trapezi, iako su kvadrati u 3D prostoru. Unutarnji i vanjski kvadrati su različite veličine, ali u stvarnom 3D prostoru su jednaki kvadrati.

Slično, središnja projekcija četverodimenzionalne kocke na trodimenzionalni prostor izgledat će ovako: unutar jedne kocke je druga kocka. Odgovarajući vrhovi kocke povezani su segmentima. Unutarnja i vanjska kocka imaju različite veličine u 3D prostoru, ali su jednake kocke u 4D prostoru (slika 4).

Šest skraćenih piramida slike su šest jednakih ćelija (kocki) četverodimenzionalne kocke.

Ova trodimenzionalna projekcija može se nacrtati na ravnini i možete provjeriti istinitost svojstava hiperkocke dobivene pomoću dinamičkog modela.

Hiperkocka ima 16 vrhova, 32 brida, 24 lica (kvadrata), 8 ćelija (kocke). Iz svakog vrha izlaze četiri međusobno okomita brida. Granica hiperkocke je trodimenzionalni zatvoreni konveksni lik, čiji je volumen (bočni volumen hiperkocke) jednak osam jediničnih trodimenzionalnih kocki. Unutar sebe ova figura sadrži jediničnu hiperkocku, čiji je hipervolumen jednak hipervolumu jedinične hiperkocke.

Zaključak

U ovom radu cilj je bio dati početno upoznavanje s četverodimenzionalnim prostorom. To je učinjeno na primjeru najjednostavnije figure - hiperkocke.

Svijet četverodimenzionalnog prostora je nevjerojatan! U njemu se, uz slične figure u trodimenzionalnom prostoru, nalaze i figure koje nemaju analoga u trodimenzionalnom prostoru.

Mnogi fenomeni materijalnog svijeta, makrokozmosa i megasvijeta, unatoč grandioznim uspjesima u fizici, kemiji i astronomiji, ostali su neobjašnjivi.

Ne postoji jedinstvena teorija koja objašnjava sve sile prirode. Ne postoji zadovoljavajući model svemira koji objašnjava njegovu strukturu i isključuje paradokse.

Poznavajući svojstva četverodimenzionalnog prostora i posuđujući neke ideje iz četverodimenzionalne geometrije, bit će moguće ne samo izgraditi rigoroznije teorije i modele materijalnog svijeta, već i stvoriti alate i sustave koji funkcioniraju prema zakonima. četverodimenzionalnog svijeta, tada će ljudske sposobnosti biti još impresivnije.