Dependencia lineal e independencia lineal de vectores.
Base de vectores. Sistema de coordenadas afines

Hay un carrito con chocolates en la audiencia, y hoy cada visitante recibirá una dulce pareja: geometría analítica con álgebra lineal. Este artículo abordará dos secciones de las matemáticas superiores a la vez, y veremos cómo se llevan bien en un mismo envoltorio. ¡Tómate un descanso, come Twix! ... maldita sea, bueno, discutiendo tonterías. Aunque está bien, no anotaré, al final, debe haber una actitud positiva para estudiar.

Dependencia lineal de vectores, independencia lineal de los vectores, base vectorial y otros términos no sólo tienen una interpretación geométrica, sino, sobre todo, un significado algebraico. El concepto mismo de "vector" desde el punto de vista del álgebra lineal está lejos de ser siempre el vector "ordinario" que podemos representar en un plano o en el espacio. No necesita ir muy lejos para encontrar una prueba, intente dibujar un vector de espacio de cinco dimensiones . O el vector meteorológico que acabo de buscar en Gismeteo: - temperatura y Presión atmosférica respectivamente. El ejemplo, por supuesto, es incorrecto desde el punto de vista de las propiedades del espacio vectorial, pero, sin embargo, nadie prohíbe formalizar estos parámetros como un vector. Aliento de otoño...

No, no los voy a aburrir con teoría, espacios vectoriales lineales, la tarea es comprender definiciones y teoremas. Los nuevos términos (dependencia lineal, independencia, combinación lineal, base, etc.) son aplicables a todos los vectores desde un punto de vista algebraico, pero los ejemplos se darán geométricamente. Así, todo es simple, accesible y visual. Además de los problemas de geometría analítica, también consideraremos algunas tareas típicas del álgebra. Para dominar el material, es recomendable familiarizarse con las lecciones. Vectores para tontos y ¿Cómo calcular el determinante?

Dependencia e independencia lineal de vectores planos.
Base plana y sistema de coordenadas afines

Considere el plano de su Escritorio de computadora(solo una mesa, mesita de noche, suelo, techo, lo que quieras). La tarea constará de las siguientes acciones:

1) Seleccionar base de plano. En términos generales, la superficie de la mesa tiene un largo y un ancho, por lo que es intuitivamente claro que se requieren dos vectores para construir la base. Un vector claramente no es suficiente, tres vectores son demasiado.

2) Basado en la base elegida establecer sistema de coordenadas(cuadrícula de coordenadas) para asignar coordenadas a todos los elementos de la tabla.

No se sorprenda, al principio las explicaciones estarán en los dedos. Además, en el tuyo. por favor coloque dedo índice mano izquierda en el borde de la mesa para que mire el monitor. Este será un vector. Ahora coloca dedo meñique mano derecha en el borde de la mesa de la misma manera, de modo que se dirija a la pantalla del monitor. Este será un vector. ¡Sonríe, te ves genial! ¿Qué se puede decir de los vectores? Vectores de datos colineal, lo que significa linealmente expresadas entre sí:
, bien, o viceversa: , donde es un número distinto de cero.

Puedes ver una imagen de esta acción en la lección. Vectores para tontos, donde expliqué la regla para multiplicar un vector por un número.

¿Pondrán tus dedos la base en el plano de la mesa del ordenador? Obviamente no. Los vectores colineales viajan de un lado a otro en solo dirección, mientras que un plano tiene una longitud y un ancho.

Tales vectores se llaman linealmente dependiente.

Referencia: Las palabras "lineal", "lineal" denotan el hecho de que no hay cuadrados, cubos, otras potencias, logaritmos, senos, etc. en ecuaciones matemáticas, expresiones. Solo hay expresiones y dependencias lineales (primer grado).

Dos vectores planos linealmente dependiente si y solo si son colineales.

Cruza los dedos sobre la mesa para que haya cualquier ángulo entre ellos excepto 0 o 180 grados. Dos vectores planoslinealmente no son dependientes si y solo si no son colineales. Entonces, se recibe la base. No debe avergonzarse de que la base resulte ser "oblicua" con vectores no perpendiculares de varias longitudes. Muy pronto veremos que no solo un ángulo de 90 grados es adecuado para su construcción, y no solo vectores unitarios de igual longitud

Ninguna avion vectores la única forma expandido en términos de la base:
, donde están los números reales . Los números se llaman coordenadas vectoriales en esta base.

También dicen que vectorpresentado en forma combinación lineal Vectores de base. Es decir, la expresión se llama descomposición vectorialbase o combinación lineal vectores base.

Por ejemplo, se puede decir que un vector se expande en una base ortonormal del plano, o se puede decir que se representa como una combinación lineal de vectores.

vamos a formular definición de base formalmente: base plana es un par de vectores linealmente independientes (no colineales), , en donde ninguna el vector plano es una combinación lineal de los vectores base.

El punto esencial de la definición es el hecho de que los vectores se toman en cierto orden. bases ¡Estas son dos bases completamente diferentes! Como dicen, el dedo meñique de la mano izquierda no se puede mover al lugar del dedo meñique de la mano derecha.

Descubrimos la base, pero no es suficiente establecer la cuadrícula de coordenadas y asignar coordenadas a cada elemento en el escritorio de su computadora. ¿Por qué no lo suficiente? Los vectores son libres y vagan por todo el plano. Entonces, ¿cómo asignas coordenadas a esos pequeños puntos sucios de la mesa que quedaron de un fin de semana salvaje? Se necesita un punto de partida. Y tal punto de referencia es un punto familiar para todos: el origen de las coordenadas. Entender el sistema de coordenadas:

Comenzaré con el sistema de "escuela". Ya en la lección introductoria Vectores para tontos Destaqué algunas de las diferencias entre un sistema de coordenadas rectangulares y una base ortonormal. Aquí está la imagen estándar:

al hablar de sistema de coordenadas rectangulares, entonces la mayoría de las veces significan el origen de coordenadas, ejes de coordenadas y escala a lo largo de los ejes. Intente escribir "sistema de coordenadas rectangulares" en el motor de búsqueda, y verá que muchas fuentes le informarán sobre los ejes de coordenadas familiares del 5º y 6º grado y cómo trazar puntos en un plano.

Por otro lado, uno tiene la impresión de que un sistema de coordenadas rectangulares puede definirse bien en términos de una base ortonormal. Y casi lo es. La redacción dice así:

origen, y ortonormal conjunto base Sistema de coordenadas cartesianas del plano . Es decir, un sistema de coordenadas rectangulares. definitivamente está definido por un solo punto y dos vectores unitarios ortogonales. Es por eso que ve el dibujo que di arriba: en problemas geométricos, tanto los vectores como los ejes de coordenadas se dibujan a menudo (pero no siempre).

Creo que todos entienden que con la ayuda de un punto (origen) y una base ortonormal CUALQUIER PUNTO del plano y CUALQUIER VECTOR del plano Se pueden asignar coordenadas. Hablando en sentido figurado, "todo en el avión se puede numerar".

¿Los vectores de coordenadas tienen que ser unitarios? No, pueden tener una longitud arbitraria distinta de cero. Considere un punto y dos vectores ortogonales de longitud arbitraria distinta de cero:

Tal base se llama ortogonal. El origen de coordenadas con vectores define la cuadrícula de coordenadas, y cualquier punto del plano, cualquier vector tiene sus propias coordenadas en la base dada. Por ejemplo, o. El inconveniente obvio es que los vectores de coordenadas en general tener varias longitudes, diferente de la unidad. Si las longitudes son iguales a uno, se obtiene la base ortonormal habitual.

! Nota : en la base ortogonal, así como abajo en las bases afines del plano y del espacio, se consideran unidades a lo largo de los ejes CONDICIONAL. Por ejemplo, una unidad a lo largo de la abscisa contiene 4 cm, una unidad a lo largo de la ordenada contiene 2 cm Esta información es suficiente para convertir las coordenadas "no estándar" en "nuestros centímetros habituales" si es necesario.

Y la segunda pregunta, que en realidad ya ha sido respondida, ¿es necesario que el ángulo entre los vectores base sea igual a 90 grados? ¡No! Como dice la definición, los vectores base deben ser solo no colineal. En consecuencia, el ángulo puede ser cualquiera excepto 0 y 180 grados.

Un punto en el plano llamado origen, y no colineal vectores , , colocar sistema de coordenadas afines del plano :

A veces este sistema de coordenadas se llama oblicuo sistema. Los puntos y vectores se muestran como ejemplos en el dibujo:

Como comprenderá, el sistema de coordenadas afines es aún menos conveniente, las fórmulas para las longitudes de vectores y segmentos, que consideramos en la segunda parte de la lección, no funcionan en él. Vectores para tontos, muchas fórmulas deliciosas relacionadas con producto escalar de vectores. Pero las reglas para sumar vectores y multiplicar un vector por un número son válidas, las fórmulas para dividir un segmento a este respecto, así como algunos otros tipos de problemas que pronto consideraremos.

Y la conclusión es que el caso particular más conveniente de un sistema de coordenadas afines es el sistema rectangular cartesiano. Por lo tanto, ella, la suya, la mayoría de las veces tiene que ser vista. ... Sin embargo, todo en esta vida es relativo: hay muchas situaciones en las que es apropiado tener un oblicuo (o algún otro, por ejemplo, polar) sistema coordinado. Sí, y los humanoides tales sistemas pueden venir al gusto =)

Pasemos a la parte práctica. Todos los problemas de esta lección son válidos tanto para un sistema de coordenadas rectangulares como para el caso afín general. Aquí no hay nada complicado, todo el material está al alcance incluso de un colegial.

¿Cómo determinar la colinealidad de los vectores planos?

Cosa típica. Para dos vectores planos son colineales, es necesario y suficiente que sus respectivas coordenadas sean proporcionales.Esencialmente, este es un refinamiento coordenada por coordenada de la relación obvia.

Ejemplo 1

a) Comprobar si los vectores son colineales .
b) ¿Los vectores forman una base? ?

Decisión:
a) Averiguar si existe para los vectores coeficiente de proporcionalidad, tal que se cumplen las igualdades:

Definitivamente les contaré sobre la versión "foppish" de la aplicación de esta regla, que funciona bastante bien en la práctica. La idea es trazar inmediatamente una proporción y ver si es correcta:

Hagamos una proporción a partir de los cocientes de las coordenadas correspondientes de los vectores:

Acortamos:
, por lo que las coordenadas correspondientes son proporcionales, por lo tanto,

Se podría hacer la relación y viceversa, esta es una opción equivalente:

Para la autocomprobación, se puede utilizar el hecho de que los vectores colineales se expresan linealmente entre sí. En este caso, hay igualdades. . Su validez se puede comprobar fácilmente mediante operaciones elementales con vectores:

b) Dos vectores planos forman una base si no son colineales (linealmente independientes). Examinamos la colinealidad de los vectores . Vamos a crear un sistema:

De la primera ecuación se sigue que , de la segunda ecuación se sigue que , lo que significa, el sistema es inconsistente(sin soluciones). Por lo tanto, las coordenadas correspondientes de los vectores no son proporcionales.

Conclusión: los vectores son linealmente independientes y forman una base.

Una versión simplificada de la solución se ve así:

Componer la proporción de las coordenadas correspondientes de los vectores :
, por lo tanto, estos vectores son linealmente independientes y forman una base.

Por lo general, los revisores no rechazan esta opción, pero surge un problema en los casos en que algunas coordenadas son iguales a cero. Me gusta esto: . O así: . O así: . ¿Cómo trabajar a través de la proporción aquí? (En serio, no se puede dividir por cero). Es por esta razón que llamé a la solución simplificada "foppish".

Responder: a) , b) forma.

Un pequeño ejemplo creativo para una solución independiente:

Ejemplo 2

¿A qué valor de los vectores de parámetros será colineal?

En la solución de muestra, el parámetro se encuentra a través de la proporción.

Hay una forma algebraica elegante de verificar la colinealidad de los vectores. Vamos a sistematizar nuestro conocimiento y simplemente agregarlo como el quinto punto:

Para dos vectores planos, las siguientes declaraciones son equivalentes:

2) los vectores forman una base;
3) los vectores no son colineales;

+ 5) el determinante, compuesto por las coordenadas de estos vectores, es distinto de cero.

Respectivamente, las siguientes declaraciones opuestas son equivalentes:
1) los vectores son linealmente dependientes;
2) los vectores no forman una base;
3) los vectores son colineales;
4) los vectores pueden expresarse linealmente entre sí;
+ 5) el determinante, compuesto por las coordenadas de estos vectores, es igual a cero.

Realmente, realmente espero que este momento ya comprende todos los términos y declaraciones cumplidos.

Echemos un vistazo más de cerca al nuevo quinto punto: Vectores de dos avion son colineales si y solo si el determinante compuesto por las coordenadas de los vectores dados es igual a cero:. Para utilizar esta función, por supuesto, debe poder encontrar determinantes.

Nosotros decidiremos Ejemplo 1 de la segunda manera:

a) Calcular el determinante, compuesto por las coordenadas de los vectores :
, por lo que estos vectores son colineales.

b) Dos vectores planos forman una base si no son colineales (linealmente independientes). Calculemos el determinante compuesto por las coordenadas de los vectores :
, por lo tanto, los vectores son linealmente independientes y forman una base.

Responder: a) , b) forma.

Se ve mucho más compacto y bonito que la solución con proporciones.

Con la ayuda del material considerado, es posible establecer no solo la colinealidad de los vectores, sino también probar el paralelismo de los segmentos, las líneas rectas. Considere un par de problemas con formas geométricas específicas.

Ejemplo 3

Se dan los vértices de un cuadrilátero. Demostrar que el cuadrilátero es un paralelogramo.

Prueba: No es necesario construir un dibujo en el problema, ya que la solución será puramente analítica. Recuerda la definición de un paralelogramo:
Paralelogramo Se llama un cuadrilátero, en el que los lados opuestos son paralelos por pares.

Por lo tanto, es necesario probar:
1) paralelismo lados opuestos y ;
2) paralelismo de lados opuestos y .

Probamos:

1) Encuentra los vectores:

2) Encuentra los vectores:

El resultado es el mismo vector ("según la escuela" - vectores iguales). La colinealidad es bastante obvia, pero es mejor tomar la decisión correctamente, con el arreglo. Calcular el determinante, compuesto por las coordenadas de los vectores:
, por lo que estos vectores son colineales, y .

Conclusión: Los lados opuestos de un cuadrilátero son paralelos por pares, por lo que es un paralelogramo por definición. QED.

Más figuras buenas y diferentes:

Ejemplo 4

Se dan los vértices de un cuadrilátero. Demostrar que el cuadrilátero es un trapezoide.

Para una formulación más rigurosa de la prueba, es mejor, por supuesto, obtener una definición de trapezoide, pero es suficiente recordar cómo se ve.

Esta es una tarea para una decisión independiente. Solución completa al final de la lección.

Y ahora es el momento de pasar lentamente del avión al espacio:

¿Cómo determinar la colinealidad de los vectores espaciales?

La regla es muy similar. Para que dos vectores espaciales sean colineales, es necesario y suficiente que sus coordenadas correspondientes sean proporcionales a.

Ejemplo 5

Averigüe si los siguientes vectores espaciales son colineales:

un) ;
b)
en)

Decisión:
a) Comprobar si existe un coeficiente de proporcionalidad para las correspondientes coordenadas de los vectores:

El sistema no tiene solución, lo que significa que los vectores no son colineales.

"Simplificado" se hace comprobando la proporción. En este caso:
– las coordenadas correspondientes no son proporcionales, lo que significa que los vectores no son colineales.

Responder: los vectores no son colineales.

b-c) Estos son puntos para decisión independiente. Pruébelo de dos maneras.

Existe un método para verificar la colinealidad de los vectores espaciales y mediante un determinante de tercer orden, este método se trata en el artículo. producto cruz de vectores.

De manera similar al caso del plano, las herramientas consideradas pueden usarse para estudiar el paralelismo de segmentos espaciales y líneas.

Bienvenidos a la segunda sección:

Dependencia e independencia lineal de vectores espaciales tridimensionales.
Base espacial y sistema de coordenadas afines

Muchas de las regularidades que hemos considerado en el plano serán también válidas para el espacio. Traté de minimizar el resumen de la teoría, ya que la mayor parte de la información ya ha sido masticada. No obstante, le recomiendo que lea detenidamente la parte introductoria, ya que aparecerán nuevos términos y conceptos.

Ahora, en lugar del plano de la mesa de la computadora, examinemos el espacio tridimensional. Primero, vamos a crear su base. Alguien ahora está adentro, alguien está afuera, pero en cualquier caso, no podemos escapar de las tres dimensiones: ancho, largo y alto. Por lo tanto, se requieren tres vectores espaciales para construir la base. Uno o dos vectores no son suficientes, el cuarto es superfluo.

Y nuevamente calentamos en los dedos. Por favor, levante la mano y extiéndala en lados diferentes pulgar, índice y dedo medio. Estos serán vectores, se ven en diferentes direcciones, tienen diferentes longitudes y tienen diferentes ángulos entre ellos. ¡Felicitaciones, la base del espacio tridimensional está lista! Por cierto, no necesita demostrar esto a los maestros, no importa cómo gire los dedos, pero no puede escapar de las definiciones =)

A continuación, hacemos una pregunta importante, si tres vectores cualesquiera forman la base de un espacio tridimensional? Presione tres dedos firmemente sobre la mesa de la computadora. ¿Qué sucedió? Tres vectores están ubicados en el mismo plano y, en términos generales, hemos perdido una de las medidas: la altura. Tales vectores son coplanario y, obviamente, que no se crea la base del espacio tridimensional.

Cabe señalar que los vectores coplanares no tienen que estar en el mismo plano, pueden estar en planos paralelos (simplemente no hagas esto con los dedos, solo Salvador Dalí salió así =)).

Definición: los vectores se llaman coplanario si existe un plano al cual son paralelos. Aquí es lógico agregar que si tal plano no existe, entonces los vectores no serán coplanares.

Tres vectores coplanares son siempre linealmente dependientes, es decir, se expresan linealmente entre sí. Para simplificar, imagine nuevamente que se encuentran en el mismo plano. En primer lugar, los vectores no solo son coplanares, sino que también pueden ser colineales, luego cualquier vector puede expresarse a través de cualquier vector. En el segundo caso, si por ejemplo los vectores no son colineales, entonces el tercer vector se expresa a través de ellos de forma única: (y por qué es fácil de adivinar a partir de los materiales de la sección anterior).

Lo contrario también es cierto: tres vectores no coplanares son siempre linealmente independientes, es decir, de ninguna manera se expresan entre sí. Y, obviamente, solo esos vectores pueden formar la base de un espacio tridimensional.

Definición: La base del espacio tridimensional. se llama un triple de vectores linealmente independientes (no coplanares), tomado en cierto orden, mientras que cualquier vector del espacio la única forma se expande en la base dada, donde son las coordenadas del vector en la base dada

Como recordatorio, también puede decir que un vector se representa como combinación lineal vectores base.

El concepto de un sistema de coordenadas se introduce exactamente de la misma manera que para el caso del plano, un punto y tres vectores linealmente independientes cualesquiera son suficientes:

origen, y no coplanar vectores , tomado en cierto orden, colocar sistema de coordenadas afines del espacio tridimensional :

Por supuesto, la cuadrícula de coordenadas es "oblicua" e inconveniente, pero, sin embargo, el sistema de coordenadas construido nos permite definitivamente determinar las coordenadas de cualquier vector y las coordenadas de cualquier punto en el espacio. Similar al plano, en el sistema de coordenadas afines del espacio, algunas fórmulas que ya he mencionado no funcionarán.

El caso especial más familiar y conveniente de un sistema de coordenadas afines, como todos pueden adivinar, es sistema de coordenadas de espacio rectangular:

punto en el espacio llamado origen, y ortonormal conjunto base Sistema de coordenadas cartesianas del espacio. . imagen familiar:

Antes de pasar a las tareas prácticas, sistematizamos de nuevo la información:

Para tres vectores espaciales, las siguientes declaraciones son equivalentes:
1) los vectores son linealmente independientes;
2) los vectores forman una base;
3) los vectores no son coplanares;
4) los vectores no pueden expresarse linealmente entre sí;
5) el determinante, compuesto por las coordenadas de estos vectores, es diferente de cero.

Las declaraciones opuestas, creo, son comprensibles.

La dependencia/independencia lineal de los vectores espaciales se comprueba tradicionalmente mediante el determinante (elemento 5). El resto de tareas prácticas serán de marcado carácter algebraico. Es hora de colgar un palo geométrico en un clavo y empuñar un bate de béisbol de álgebra lineal:

Tres vectores espaciales son coplanares si y solo si el determinante compuesto por las coordenadas de los vectores dados es igual a cero: .

Llamo la atención sobre un pequeño matiz técnico: las coordenadas vectoriales se pueden escribir no solo en columnas, sino también en filas (el valor del determinante no cambiará a partir de esto; consulte las propiedades de los determinantes). Pero es mucho mejor en columnas, ya que es más beneficioso para resolver algunos problemas prácticos.

Para aquellos lectores que se han olvidado un poco de los métodos para calcular determinantes, o quizás están nada orientados, les recomiendo una de mis lecciones más antiguas: ¿Cómo calcular el determinante?

Ejemplo 6

Comprueba si los siguientes vectores forman una base de un espacio tridimensional:

Decisión: De hecho, toda la solución se reduce a calcular el determinante.

a) Calcular el determinante, compuesto por las coordenadas de los vectores (el determinante se expande en la primera línea):

, lo que significa que los vectores son linealmente independientes (no coplanares) y forman la base de un espacio tridimensional.

Responder: estos vectores forman la base

b) Este es un punto para decisión independiente. Solución completa y respuesta al final de la lección.

También hay tareas creativas:

Ejemplo 7

¿A qué valor del parámetro los vectores serán coplanares?

Decisión: Los vectores son coplanares si y solo si el determinante compuesto por las coordenadas de los vectores dados es igual a cero:

Esencialmente, se requiere resolver una ecuación con un determinante. Volamos hacia ceros como cometas hacia jerbos: es más rentable abrir el determinante en la segunda línea e inmediatamente deshacerse de los menos:

Realizamos más simplificaciones y reducimos el asunto a la ecuación lineal más simple:

Responder: en

Es fácil de verificar aquí, para esto necesita sustituir el valor resultante en el determinante original y asegurarse de que al reabrirlo.

En conclusión, consideremos otro problema típico, que es más de naturaleza algebraica y se incluye tradicionalmente en el curso de álgebra lineal. Es tan común que merece un tema aparte:

Demostrar que 3 vectores forman la base de un espacio tridimensional
y encuentre las coordenadas del cuarto vector en la base dada

Ejemplo 8

Se dan vectores. Muestre que los vectores forman una base del espacio tridimensional y encuentre las coordenadas del vector en esta base.

Decisión: Tratemos primero con la condición. Por condición, se dan cuatro vectores y, como puede ver, ya tienen coordenadas en alguna base. ¿Cuál es la base? No estamos interesados. Y lo siguiente es de interés: tres vectores bien pueden formar una nueva base. Y el primer paso es completamente igual a la solución del Ejemplo 6, hay que comprobar si los vectores son realmente linealmente independientes:

Calcular el determinante, compuesto por las coordenadas de los vectores:

, por tanto, los vectores son linealmente independientes y forman la base de un espacio tridimensional.

! Importante : coordenadas vectoriales necesariamente anote en columnas determinante, no cadenas. De lo contrario, habrá confusión en el algoritmo de solución adicional.

Ejemplo 8

Se dan vectores. Muestre que los vectores forman una base del espacio tridimensional y encuentre las coordenadas del vector en esta base.

Decisión: Primero tratemos la condición. Por condición, se dan cuatro vectores y, como puede ver, ya tienen coordenadas en alguna base. ¿Cuál es la base? No estamos interesados. Y lo siguiente es de interés: tres vectores bien pueden formar una nueva base. Y el primer paso es completamente igual a la solución del Ejemplo 6, hay que comprobar si los vectores son realmente linealmente independientes:

Calcular el determinante, compuesto por las coordenadas de los vectores:

, por tanto, los vectores son linealmente independientes y forman la base de un espacio tridimensional.

! Importante: coordenadas vectoriales necesariamente anote en columnas determinante, no cadenas. De lo contrario, habrá confusión en el algoritmo de solución adicional.

Ahora recordemos la parte teórica: si los vectores forman una base, entonces cualquier vector puede ser la única forma expandir sobre la base dada: , donde están las coordenadas del vector en la base .

Dado que nuestros vectores forman la base de un espacio tridimensional (esto ya se ha demostrado), el vector se puede expandir de forma única en esta base:
, donde están las coordenadas del vector en la base .

Por condición y se requiere encontrar las coordenadas.

Para facilitar la explicación, intercambiaré las partes: . Para encontrarla, esta igualdad debe escribirse en coordenadas:

¿Sobre qué base se ordenan los coeficientes? Todos los coeficientes del lado izquierdo se transfieren exactamente del determinante , las coordenadas del vector están escritas en el lado derecho.

El sistema resultó tres lineales ecuaciones con tres incógnitas. Suele decidirse por fórmulas de Cramer, a menudo incluso en la condición del problema existe tal requisito.

Ya se ha encontrado el principal determinante del sistema:
, por lo que el sistema tiene solución única.

Lo siguiente es una cuestión de tecnología:

Por lo tanto:
es la expansión del vector en términos de la base.

Responder:

Como ya he señalado, el problema es de naturaleza algebraica. Los vectores que se han considerado no son necesariamente aquellos vectores que se pueden dibujar en el espacio, sino, en primer lugar, los vectores abstractos del curso de álgebra lineal. Para el caso de vectores bidimensionales, se puede formular y resolver un problema similar, la solución será mucho más sencilla. Sin embargo, en la práctica, nunca me he encontrado con una tarea así, por lo que la omití en la sección anterior.

Misma tarea con vectores 3D para solución independiente:

Ejemplo 9

Se dan vectores. Muestre que los vectores forman una base y encuentre las coordenadas del vector en esta base. sistema ecuaciones lineales resolver por el método de Cramer.

solución completa y muestra ejemplar refinamiento al final de la lección.

Del mismo modo, uno puede considerar cuatro dimensiones, cinco dimensiones, etc. espacios vectoriales, donde los vectores tienen 4, 5 o más coordenadas, respectivamente. Para estos espacios vectoriales, también existe el concepto de dependencia lineal, independencia lineal de vectores, existe una base, incluso una ortonormal, expansión de un vector en términos de una base. Sí, tales espacios no se pueden dibujar geométricamente, pero en ellos funcionan todas las reglas, propiedades y teoremas de los casos bidimensionales y tridimensionales: álgebra pura. En realidad, ya me vi obligado a hablar sobre cuestiones filosóficas en el artículo. Derivadas parciales de funciones de tres variables, que apareció antes de esta lección.

¡Vectores de amor y los vectores te amarán!

Soluciones y respuestas:

Ejemplo 2: Decisión: componer una proporción a partir de las coordenadas correspondientes de los vectores:

Responder: en

Ejemplo 4: Prueba: Trapecio Un cuadrilátero se llama cuadrilátero en el que dos lados son paralelos y los otros dos lados no son paralelos.
1) Comprobar el paralelismo de los lados opuestos y .
Encontremos los vectores:


, por lo que estos vectores no son colineales y los lados no son paralelos.
2) Comprobar el paralelismo de los lados opuestos y .
Encontremos los vectores:

Calcular el determinante, compuesto por las coordenadas de los vectores:
, por lo que estos vectores son colineales, y .
Conclusión: Dos lados de un cuadrilátero son paralelos, pero los otros dos lados no son paralelos, por lo que es un trapezoide por definición. QED.

Ejemplo 5: Decisión:
b) Comprobar si existe un coeficiente de proporcionalidad para las correspondientes coordenadas de los vectores:

El sistema no tiene solución, lo que significa que los vectores no son colineales.
Diseño más simple:
- las coordenadas segunda y tercera no son proporcionales, lo que significa que los vectores no son colineales.
Responder: los vectores no son colineales.
c) Examinamos los vectores de colinealidad . Vamos a crear un sistema:

Las coordenadas correspondientes de los vectores son proporcionales, por lo que
Aquí es donde el método de diseño "foppish" simplemente no funciona.
Responder:

Ejemplo 6: Decisión: b) Calcular el determinante, compuesto por las coordenadas de los vectores (el determinante se expande en la primera línea):

, lo que significa que los vectores son linealmente dependientes y no forman la base de un espacio tridimensional.
Responder : estos vectores no forman una base

Ejemplo 9: Decisión: Calcular el determinante, compuesto por las coordenadas de los vectores:


Por lo tanto, los vectores son linealmente independientes y forman una base.
Representemos el vector como una combinación lineal de vectores base:

Coordinar:

Resolvemos el sistema usando las fórmulas de Cramer:
, por lo que el sistema tiene solución única.

Responder:Los vectores forman una base,

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Producto vectorial de vectores.
Producto mixto de vectores

En esta lección, veremos dos operaciones más con vectores: producto vectorial de vectores y producto mixto de vectores. Está bien, a veces sucede que para la felicidad completa, además de producto escalar de vectores, cada vez se necesita más. Así es la adicción a los vectores. Uno puede tener la impresión de que nos estamos adentrando en la jungla de la geometría analítica. Esto no es verdad. En esta sección de matemáticas superiores, generalmente hay poca leña, excepto quizás la suficiente para Pinocho. De hecho, el material es muy común y simple, apenas más difícil que el mismo producto escalar , incluso habrá menos tareas típicas. Lo principal en geometría analítica, como muchos verán o ya han visto, es NO EQUIVOCARSE EN LOS CÁLCULOS. Repite como un hechizo, y serás feliz =)

Si los vectores brillan en algún lugar lejano, como un relámpago en el horizonte, no importa, comience con la lección. Vectores para tontos restaurar o readquirir conocimientos básicos sobre vectores. Los lectores más preparados pueden familiarizarse con la información de forma selectiva, traté de recopilar la mayor cantidad posible Colección completa ejemplos que a menudo se encuentran en trabajo practico

¿Qué te hará feliz? Cuando era pequeño, podía hacer malabarismos con dos y hasta tres pelotas. Funcionó bien. Ahora no hay necesidad de hacer malabares en absoluto, ya que consideraremos Vectores de solo espacio, y se omitirán los vectores planos con dos coordenadas. ¿Por qué? Así nacieron estas acciones: el vector y el producto mixto de vectores se definen y funcionan en el espacio tridimensional. ¡Ya más fácil!

Tareas para el trabajo de control.

Tarea 1 - 10. Se dan los vectores. Muestre que los vectores forman una base del espacio tridimensional y encuentre las coordenadas del vector en esta base:

Se dan los vectores ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Muestre que los vectores forman una base del espacio tridimensional y encuentre las coordenadas del vector X en esta base.

Esta tarea consta de dos partes. Primero debe verificar si los vectores forman una base. Los vectores forman una base si el determinante compuesto por las coordenadas de estos vectores es distinto de cero, de lo contrario, los vectores no son base y el vector X no se puede expandir en esta base.

Calcular el determinante de la matriz:

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

El determinante de la matriz es ∆ =37

Dado que el determinante es distinto de cero, los vectores forman una base, por lo tanto, el vector X se puede expandir en esta base. Aquellas. hay tales números α 1 , α 2 , α 3 que la igualdad tiene lugar:

X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3

Escribimos esta igualdad en forma de coordenadas:

(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)

Usando las propiedades de los vectores, obtenemos la siguiente igualdad:

(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)

(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)

Por la propiedad de igualdad de vectores tenemos:

3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3

1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0

6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1

Resolvemos el sistema de ecuaciones resultante método de Gauss o método de Cramer.

X \u003d ε 1 + 2ε 2 - ε 3

La solución fue recibida y ejecutada usando el servicio:

Coordenadas vectoriales en base

Junto con esta tarea, también resuelven:

Solución de ecuaciones matriciales

método Cramer

método de Gauss

Matriz inversa por el método de Jordan-Gauss

Matriz inversa a través de complementos algebraicos

Multiplicación de matrices en línea

La base del espacio Llame a un sistema de vectores en el que todos los demás vectores del espacio se pueden representar como una combinación lineal de vectores incluidos en la base.
En la práctica, todo esto es bastante simple. La base, por regla general, se verifica en un plano o en el espacio, y para esto necesita encontrar el determinante de una matriz de segundo, tercer orden, compuesta por las coordenadas de los vectores. Esquemáticamente escrito a continuación condiciones bajo las cuales los vectores forman una base

Para expandir el vector b en términos de vectores base
e,e...,e[n] es necesario encontrar los coeficientes x, ..., x[n] para los cuales la combinación lineal de los vectores e,e...,e[n] es igual a el vector b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Para hacer esto, la ecuación vectorial debe convertirse a un sistema de ecuaciones lineales y encontrar soluciones. También es bastante fácil de implementar.
Los coeficientes encontrados x, ..., x[n] se denominan coordenadas del vector b en la base e,e...,e[n].
Pasemos al lado práctico del tema.

Descomposición de un vector en vectores base

Tarea 1. Comprueba si los vectores a1, a2 forman una base en el plano

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Solución: Componer el determinante a partir de las coordenadas de los vectores y calcularlo

El determinante no es igual a cero, por lo tanto Los vectores son linealmente independientes, lo que significa que forman una base..

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Solución: Calculamos el determinante compuesto por vectores

El determinante es igual a 13 (no igual a cero); de esto se deduce que los vectores a1, a2 son una base en el plano.

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Considerar ejemplos típicos del programa IAPM en la disciplina "Matemáticas Superiores".

Tarea 2. Muestre que los vectores a1, a2, a3 forman una base de un espacio vectorial tridimensional y expanda el vector b en esta base (utilice el método de Cramer cuando resuelva un sistema de ecuaciones algebraicas lineales).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Solución: Primero, considere el sistema de vectores a1, a2, a3 y verifique el determinante de la matriz A

construida sobre vectores distintos de cero. La matriz contiene un elemento cero, por lo que es más conveniente calcular el determinante como un programa para la primera columna o la tercera fila.

Como resultado de los cálculos, encontramos que el determinante es diferente de cero, por lo tanto los vectores a1, a2, a3 son linealmente independientes.
Por definición, los vectores forman una base en R3. Escribamos el horario del vector b en términos de la base

Los vectores son iguales cuando sus correspondientes coordenadas son iguales.
Por tanto, a partir de la ecuación vectorial obtenemos un sistema de ecuaciones lineales

Resolver SLAE método de Cramer. Para ello, escribimos el sistema de ecuaciones en la forma

El determinante principal de la SLAE es siempre igual al determinante compuesto por vectores base

Por lo tanto, en la práctica no se calcula dos veces. Para encontrar determinantes auxiliares, colocamos una columna de miembros libres en lugar de cada columna del determinante principal. Los determinantes se calculan según la regla de los triángulos.



Sustituye los determinantes encontrados en la fórmula de Cramer



Entonces, la expansión del vector b en términos de la base tiene la forma b=-4a1+3a2-a3 . Las coordenadas del vector b en la base a1, a2, a3 serán (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Solución: Verificamos los vectores para la base: componemos el determinante a partir de las coordenadas de los vectores y lo calculamos

El determinante no es igual a cero, por lo tanto los vectores forman una base en el espacio. Queda por encontrar el horario del vector b en términos de la base dada. Para hacer esto, escribimos la ecuación vectorial

y transformar a un sistema de ecuaciones lineales

Escriba la ecuación matricial

A continuación, para las fórmulas de Cramer, encontramos determinantes auxiliares



Aplicación de las fórmulas de Cramer



Entonces, el vector b dado tiene un horario a través de dos vectores base b=-2a1+5a3, y sus coordenadas en la base son iguales a b(-2,0, 5).