Mövzu üzrə dərs və təqdimat: "Ədədlər ardıcıllığı. Həndəsi irəliləmə"
Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, rəy, rəy, təkliflərinizi bildirməyi unutmayın! Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılır.
9-cu sinif üçün "İnteqral" onlayn mağazasında tədris vəsaitləri və simulyatorlar
Səlahiyyətlər və Köklər Funksiyalar və Qrafiklər
Uşaqlar, bu gün başqa bir inkişaf növü ilə tanış olacağıq.
Bugünkü dərsimizin mövzusu həndəsi irəliləmədir.
Həndəsi irəliləmə
Tərif. İkincidən başlayaraq hər bir üzvün əvvəlki ilə bəzi sabit ədədin hasilinə bərabər olan ədədi ardıcıllığa həndəsi irəliləyiş deyilir.Ardıcıllığımızı rekursiv olaraq təyin edək: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
burada b və q müəyyən verilmiş ədədlərdir. q ədədi irəliləyişin məxrəci adlanır.
Misal. 1,2,4,8,16… Birinci üzv birə bərabər olan həndəsi irəliləyiş və $q=2$.
Misal. 8,8,8,8… Birinci həddi səkkiz olan həndəsi irəliləyiş,
və $q=1$.
Misal. 3,-3,3,-3,3... Birinci həddi üç olan həndəsi irəliləyiş,
və $q=-1$.
Həndəsi irəliləyiş monotonluq xüsusiyyətlərinə malikdir.
Əgər $b_(1)>0$, $q>1$,
sonra ardıcıllıq artır.
Əgər $b_(1)>0$, $0 Ardıcıllıq adətən belə işarələnir: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Arifmetik irəliləyişdə olduğu kimi, həndəsi irəliləyişdə də elementlərin sayı sonludursa, o zaman irəliləyiş sonlu həndəsi irəliləmə adlanır.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Qeyd edək ki, əgər ardıcıllıq həndəsi irəliləyişdirsə, kvadrat hədlər ardıcıllığı da həndəsi irəliləyişdir. İkinci ardıcıllığın birinci termini $b_(1)^2$ və məxrəc $q^2$-a malikdir.
Həndəsi proqresiyanın n-ci üzvünün düsturu
Həndəsi irəliləmə analitik formada da göstərilə bilər. Bunu necə edəcəyinə baxaq:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Nümunəni asanlıqla görə bilərik: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Bizim düsturumuz “həndəsi irəliləyişin n-ci üzvünün düsturu” adlanır.
Nümunələrimizə qayıdaq.
Misal. 1,2,4,8,16... Birinci həddi birə bərabər olan həndəsi irəliləyiş,
və $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Misal. 16,8,4,2,1,1/2… Birinci həddi on altı və $q=\frac(1)(2)$ olan həndəsi irəliləyiş.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Misal. 8,8,8,8… Birinci hədd səkkiz və $q=1$ olduğu həndəsi irəliləyiş.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Misal. 3,-3,3,-3,3… Birinci həddi üç və $q=-1$ olan həndəsi irəliləyiş.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Misal. $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ həndəsi irəliləyiş verilmişdir.
a) Məlumdur ki, $b_(1)=6, q=3$. $b_(5)$ tapın.
b) Məlumdur ki, $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. n tapın.
c) Məlumdur ki, $q=-2, b_(6)=96$. $b_(1)$ tapın.
d) Məlumdur ki, $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. q tapın.
Qərar.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$-dan bəri $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Misal. Həndəsi proqresiyanın yeddinci və beşinci üzvlərinin fərqi 192, irəliləyişin beşinci və altıncı üzvlərinin cəmi 192-dir. Bu irəliləyişin onuncu üzvünü tapın.
Qərar.
Biz bunu bilirik: $b_(7)-b_(5)=192$ və $b_(5)+b_(6)=192$.
Biz də bilirik: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Sonra:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Bir tənlik sistemi əldə etdik:
$\begin(hallar)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(hallar)$.
Tənliklərimizi bərabərləşdirərək əldə edirik:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
İki həll yolu q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
İkinci tənliyi ardıcıl olaraq əvəz edin:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ həll yoxdur.
Bunu əldə etdik: $b_(1)=4, q=2$.
Onuncu həddi tapaq: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Sonlu həndəsi irəliləyişin cəmi
Tutaq ki, sonlu həndəsi irəliləyişimiz var. Gəlin, arifmetik irəliləyiş üçün də onun üzvlərinin cəmini hesablayaq.Sonlu həndəsi irəliləmə verilsin: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Üzvlərinin cəminin qeydini təqdim edək: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
$q=1$ olduğu halda. Həndəsi proqresiyanın bütün üzvləri birinci üzvə bərabərdir, onda $S_(n)=n*b_(1)$ olduğu aydın olur.
İndi $q≠1$ məsələsinə nəzər salın.
Yuxarıdakı məbləği q-a vurun.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Qeyd:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Sonlu həndəsi irəliləyişin cəminin düsturunu əldə etdik.
Misal.
Birinci həddi 4, məxrəci 3 olan həndəsi proqresiyanın ilk yeddi üzvünün cəmini tapın.
Qərar.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Misal.
Məlum olan həndəsi proqresiyanın beşinci üzvünü tapın: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Qərar.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Həndəsi proqresiyanın xarakterik xassəsi
Uşaqlar, həndəsi irəliləyiş verilmişdir. Onun üç ardıcıl üzvünü nəzərdən keçirək: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.Biz bilirik ki:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Sonra:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Əgər irəliləyiş sonludursa, bu bərabərlik birinci və sonuncudan başqa bütün şərtlərə aiddir.
Ardıcıllığın hansı növ ardıcıllığa malik olduğu əvvəlcədən məlum deyilsə, lakin məlumdur ki: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Onda əminliklə deyə bilərik ki, bu həndəsi irəliləyişdir.
Ədəd ardıcıllığı o zaman həndəsi irəliləyiş sayılır ki, onun hər bir üzvünün kvadratı proqresiyanın iki qonşu həddinin hasilinə bərabər olsun. Bunun üçün unutmayaq sonlu irəliləyiş bu şərt birinci və sonuncu üzv üçün təmin edilmir.
Gəlin bu eyniliyə baxaq: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ orta adlanır həndəsi ədədlər a və b.
Həndəsi proqresiyanın hər hansı üzvünün modulu ona bitişik olan iki üzvün həndəsi ortasına bərabərdir.
Misal.
X tapın ki, $x+2; 2x+2; 3x+3$ həndəsi proqresiyanın üç ardıcıl üzvü idi.
Qərar.
Xarakterik xassədən istifadə edək:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ və $x_(2)=-1$.
Orijinal ifadədə ardıcıllıqla əvəz edin, həllərimiz:
$x=2$ ilə ardıcıllığı əldə etdik: 4;6;9 $q=1.5$ olan həndəsi irəliləyişdir.
$x=-1$ ilə ardıcıllığı əldə etdik: 1;0;0.
Cavab: $x=2.$
Müstəqil həll üçün tapşırıqlar
1. Həndəsi proqresiyanın səkkizinci birinci üzvünü tapın 16;-8;4;-2 ....2. 11,22,44... həndəsi proqresiyanın onuncu üzvünü tapın.
3. Məlumdur ki, $b_(1)=5, q=3$. $b_(7)$ tapın.
4. Məlumdur ki, $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. n tapın.
5. 3;12;48... həndəsi proqresiyanın ilk 11 üzvünün cəmini tapın.
6. X tapın ki, $3x+4; 2x+4; x+5$ həndəsi proqresiyanın üç ardıcıl üzvüdür.
Bir sıra nəzərdən keçirək.
7 28 112 448 1792...
Tamamilə aydındır ki, onun hər hansı elementinin dəyəri əvvəlkindən düz dörd dəfə böyükdür. Beləliklə, bu seriya bir irəliləyişdir.
Həndəsi irəliləyiş sonsuz ədədlər ardıcıllığıdır əsas xüsusiyyət hansısa konkret ədədə vurmaqla əvvəlki rəqəmdən növbəti ədədin alınmasıdır. Bu, aşağıdakı düsturla ifadə edilir.
a z +1 =a z q, burada z seçilmiş elementin nömrəsidir.
Müvafiq olaraq, z ∈ N.
Məktəbdə həndəsi proqresiyanın öyrənildiyi dövr 9-cu sinifdir. Nümunələr konsepsiyanı başa düşməyə kömək edəcək:
0.25 0.125 0.0625...
Bu düstura əsasən, irəliləyişin məxrəcini aşağıdakı kimi tapmaq olar:
Nə q, nə də b z sıfır ola bilməz. Həmçinin, irəliləyişin elementlərinin hər biri sıfıra bərabər olmamalıdır.
Müvafiq olaraq, seriyadakı növbəti rəqəmi tapmaq üçün sonuncunu q-a vurmaq lazımdır.
Bu irəliləyişi təyin etmək üçün onun birinci elementini və məxrəcini göstərməlisiniz. Bundan sonra sonrakı şərtlərdən hər hansı birini və onların cəmini tapmaq mümkündür.
Çeşidlər
q və a 1-dən asılı olaraq bu irəliləyiş bir neçə növə bölünür:
- Əgər həm 1, həm də q birdən böyükdürsə, onda belə ardıcıllıq hər növbəti elementlə artan həndəsi irəliləyişdir. Belə bir nümunə aşağıda təqdim olunur.
Misal: a 1 =3, q=2 - hər iki parametr birdən böyükdür.
Onda ədədi ardıcıllığı belə yazmaq olar:
3 6 12 24 48 ...
- Əgər |q| birdən kiçik, yəni ona vurma bölməyə bərabərdir, onda oxşar şərtlərə malik irəliləyiş azalan həndəsi irəliləyişdir. Belə bir nümunə aşağıda təqdim olunur.
Misal: a 1 =6, q=1/3 - a 1 birdən böyükdür, q kiçikdir.
Onda ədədi ardıcıllıq aşağıdakı kimi yazıla bilər:
6 2 2/3 ... - hər hansı element ondan sonrakı elementdən 3 dəfə böyükdür.
- İşarə dəyişən. Əgər q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Misal: a 1 = -3 , q = -2 - hər iki parametr sıfırdan kiçikdir.
Sonra ardıcıllığı belə yazmaq olar:
3, 6, -12, 24,...
Düsturlar
Həndəsi irəliləyişlərin rahat istifadəsi üçün bir çox düstur var:
- z-ci üzvün düsturu. Əvvəlki nömrələri hesablamadan müəyyən bir nömrə altında elementi hesablamağa imkan verir.
Misal:q = 3, a 1 = 4. Proqresiyanın dördüncü elementini hesablamaq tələb olunur.
Qərar:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Sayı olan ilk elementlərin cəmi z. -ə qədər ardıcıllığın bütün elementlərinin cəmini hesablamağa imkan verira zdaxil olmaqla.
ildən (1-q) məxrəcdədir, onda (1 - q)≠ 0, deməli, q 1-ə bərabər deyil.
Qeyd: əgər q=1 olarsa, onda irəliləyiş sonsuz təkrarlanan ədəd silsiləsi olacaqdır.
Həndəsi irəliləyişin cəmi, nümunələr:a 1 = 2, q= -2. S 5 hesablayın.
Qərar:S 5 = 22 - düsturla hesablama.
- Məbləğ əgər |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Misal:a 1 = 2 , q= 0,5. Məbləği tapın.
Qərar:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Bəzi xüsusiyyətlər:
- xarakterik xüsusiyyət. Aşağıdakı şərt olarsa hər hansı üçün həyata keçirilirz, onda verilmiş ədəd silsiləsi həndəsi irəliləyişdir:
a z 2 = a z -1 · az+1
- Həmçinin, həndəsi irəliləyişin istənilən ədədinin kvadratı, bu elementdən bərabər məsafədə yerləşirsə, verilmiş sıradakı hər hansı digər iki ədədin kvadratlarını toplamaqla tapılır.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , haradatbu ədədlər arasındakı məsafədir.
- Elementlərq ilə fərqlənirbir dəfə.
- Proqressiya elementlərinin loqarifmləri də bir irəliləyiş təşkil edir, lakin artıq arifmetikdir, yəni onların hər biri əvvəlkindən müəyyən sayda böyükdür.
Bəzi klassik problemlərin nümunələri
Həndəsi irəliləyişin nə olduğunu daha yaxşı başa düşmək üçün 9-cu sinif üçün həlli olan nümunələr kömək edə bilər.
- Şərtlər:a 1 = 3, a 3 = 48. Tapınq.
Həll yolu: hər bir sonrakı element əvvəlkindən böyükdürq bir dəfə.Məxrəcdən istifadə edərək bəzi elementləri digərləri vasitəsilə ifadə etmək lazımdır.
Beləliklə,a 3 = q 2 · a 1
Əvəz edərkənq= 4
- Şərtlər:a 2 = 6, a 3 = 12. S 6-nı hesablayın.
Qərar:Bunun üçün birinci element olan q-ı tapmaq və onu düsturda əvəz etmək kifayətdir.
a 3 = q· a 2 , deməli,q= 2
a 2 = q a 1,Buna görə də a 1 = 3
S 6 = 189
- · a 1 = 10, q= -2. Proqresiyanın dördüncü elementini tapın.
Həlli: bunun üçün dördüncü elementi birinci və məxrəc vasitəsilə ifadə etmək kifayətdir.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Tətbiq nümunəsi:
- Bankın müştərisi 10.000 rubl məbləğində əmanət qoydu, onun şərtlərinə görə, müştəri hər il onun 6% -ni əsas məbləğə əlavə edəcəkdir. 4 ildən sonra hesabda nə qədər pul olacaq?
Həll yolu: İlkin məbləğ 10 min rubl təşkil edir. Beləliklə, investisiyadan bir il sonra hesabda 10.000 + 10.000-a bərabər bir məbləğ olacaq · 0,06 = 10000 1,06
Müvafiq olaraq, bir ildən sonra hesabdakı məbləğ aşağıdakı kimi ifadə ediləcək:
(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000
Yəni, hər il bu məbləğ 1,06 dəfə artır. Bu o deməkdir ki, 4 ildən sonra hesabda olan vəsaitin məbləğini tapmaq üçün birinci elementin 10 minə bərabər verdiyi irəliləyişin dördüncü elementini, 1,06-ya bərabər məxrəci tapmaq kifayətdir.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Məbləğin hesablanması üçün tapşırıqların nümunələri:
Müxtəlif məsələlərdə həndəsi irəliləyişdən istifadə olunur. Cəmi tapmaq üçün bir nümunə aşağıdakı kimi verilə bilər:
a 1 = 4, q= 2, hesablayınS5.
Həll yolu: hesablama üçün lazım olan bütün məlumatlar məlumdur, sadəcə onları formulda əvəz etmək lazımdır.
S 5 = 124
- a 2 = 6, a 3 = 18. İlk altı elementin cəmini hesablayın.
Qərar:
Geom. irəliləyiş, hər növbəti element əvvəlkindən q dəfə böyükdür, yəni cəmi hesablamaq üçün elementi bilmək lazımdır.a 1 və məxrəcq.
a 2 · q = a 3
q = 3
Eynilə, biz də tapmalıyıqa 1 , bilməka 2 vəq.
a 1 · q = a 2
a 1 =2
S 6 = 728.
Əgər hər natural ədəd n real rəqəmə uyğundur a n , sonra verilən deyirlər nömrə ardıcıllığı :
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .
Deməli, ədədi ardıcıllıq təbii arqumentin funksiyasıdır.
Nömrə a 1 çağırdı ardıcıllığın ilk üzvü , nömrə a 2 — ardıcıllığın ikinci üzvü , nömrə a 3 — üçüncü və s. Nömrə a n çağırdı ardıcıllığın n-ci üzvü , a natural ədəd n — onun nömrəsi .
İki qonşu üzvdən a n və a n +1 üzv ardıcıllıqları a n +1 çağırdı sonrakı (doğru a n ), a a n — əvvəlki (doğru a n +1 ).
Ardıcıllığı təyin etmək üçün istənilən nömrə ilə ardıcıllıq üzvünü tapmağa imkan verən metodu göstərməlisiniz.
Çox vaxt ardıcıllıq ilə verilir n-ci dövr düsturları , yəni sıra üzvünü onun nömrəsinə görə təyin etməyə imkan verən düstur.
Misal üçün,
düsturla müsbət tək ədədlərin ardıcıllığı verilə bilər
a n= 2n- 1,
və dəyişmə ardıcıllığı 1 və -1 - düstur
b n = (-1)n +1 . ◄
Ardıcıllığı müəyyən etmək olar təkrarlanan formula, yəni bəzilərindən başlayaraq ardıcıllığın istənilən üzvünü əvvəlki (bir və ya bir neçə) üzv vasitəsilə ifadə edən düstur.
Misal üçün,
əgər a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5
a 1 = 1,
a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Əgər a a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , sonra ədədi ardıcıllığın ilk yeddi üzvü aşağıdakı kimi təyin olunur:
a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,
a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Ardıcıllıq ola bilər final və sonsuz .
Ardıcıllıq deyilir son onun məhdud sayda üzvləri varsa. Ardıcıllıq deyilir sonsuz əgər onun sonsuz sayda üzvü varsa.
Misal üçün,
ikirəqəmli natural ədədlərin ardıcıllığı:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
final.
Baş ədədlərin ardıcıllığı:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
sonsuz. ◄
Ardıcıllıq deyilir artır , əgər onun üzvlərinin hər biri, ikincidən başlayaraq, əvvəlkindən böyükdürsə.
Ardıcıllıq deyilir zəifləyən , əgər onun üzvlərinin hər biri ikincidən başlayaraq əvvəlkindən azdırsa.
Misal üçün,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . artan ardıcıllıqdır;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . azalan ardıcıllıqdır. ◄
Elementləri sayı artdıqca azalmayan və ya əksinə artmayan ardıcıllığa deyilir monoton ardıcıllıq .
Xüsusilə monoton ardıcıllıqlar artan ardıcıllıqlar və azalan ardıcıllıqlardır.
Arifmetik irəliləyiş
Arifmetik irəliləyiş ardıcıllıq çağırılır, hər bir üzvü ikincidən başlayaraq əvvəlkinə bərabərdir, ona eyni nömrə əlavə olunur.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .
hər hansı natural ədəd üçün arifmetik irəliləyişdir n şərt yerinə yetirilir:
a n +1 = a n + d,
harada d - bəzi rəqəm.
Beləliklə, verilmiş arifmetik irəliləyişin növbəti və əvvəlki üzvləri arasındakı fərq həmişə sabitdir:
a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.
Nömrə d çağırdı arifmetik irəliləyişin fərqi.
Arifmetik irəliləyiş təyin etmək üçün onun birinci həddi və fərqini göstərmək kifayətdir.
Misal üçün,
əgər a 1 = 3, d = 4 , onda ardıcıllığın ilk beş şərti aşağıdakı kimi tapılır:
a 1 =3,
a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,
a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Birinci hədd ilə arifmetik irəliləyiş üçün a 1 və fərq d onun n
a n = a 1 + (n- 1)d.
Misal üçün,
arifmetik irəliləyişin otuzuncu həddini tapın
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, d = 3,
bir 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
a n-1 = a 1 + (n- 2)d,
a n= a 1 + (n- 1)d,
a n +1 = a 1 + nd,
sonra açıq-aydın
| a n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
ikincidən başlayaraq arifmetik proqresiyanın hər bir üzvü əvvəlki və sonrakı üzvlərin arifmetik ortasına bərabərdir.
a, b və c ədədləri bəzi arifmetik proqresiyanın ardıcıl üzvləridir, o halda ki, onlardan biri digər ikisinin arifmetik ortasına bərabər olsun.
Misal üçün,
a n = 2n- 7 , arifmetik irəliləyişdir.
Yuxarıdakı ifadədən istifadə edək. Bizdə:
a n = 2n- 7,
a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Beləliklə,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = a n,
|
| 2
| 2
|
◄
Qeyd edək ki n arifmetik irəliləyişin -ci üzvü təkcə vasitəsilə deyil a 1 , həm də hər hansı əvvəlki a k
a n = a k + (n- k)d.
Misal üçün,
üçün a 5 yazmaq olar
a 5 = a 1 + 4d,
a 5 = a 2 + 3d,
a 5 = a 3 + 2d,
a 5 = a 4 + d. ◄
a n = a n-k + kd,
a n = a n+k - kd,
sonra açıq-aydın
| a n=
| a n-k
+ a n+k
|
| 2
|
arifmetik proqresiyanın hər hansı üzvü, ikincidən başlayaraq, bu arifmetik irəliləyişin ondan bərabər məsafədə olan üzvlərinin cəminin yarısına bərabərdir.
Bundan əlavə, hər hansı arifmetik irəliləyiş üçün bərabərlik doğrudur:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Misal üçün,
arifmetik irəliləyişdə
1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;
2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kimi
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,
birinci n arifmetik proqresiyanın üzvləri ekstremal həddlərin cəminin yarısının hədlərin sayına hasilinə bərabərdir:
Buradan, xüsusən, belə çıxır ki, əgər şərtləri ümumiləşdirmək lazımdırsa
a k, a k +1 , . . . , a n,
onda əvvəlki düstur öz strukturunu saxlayır:
Misal üçün,
arifmetik irəliləyişdə 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Əgər verilirsə arifmetik irəliləyiş, sonra miqdarlar a 1 , a n, d, n vəS n iki düsturla əlaqələndirilir:
Buna görə də, bu kəmiyyətlərdən üçünün qiymətləri verilirsə, digər iki kəmiyyətin müvafiq dəyərləri iki naməlum olan iki tənlik sisteminə birləşdirilən bu düsturlardan müəyyən edilir.
Arifmetik irəliləyiş monoton ardıcıllıqdır. Burada:
- əgər d > 0 , sonra artır;
- əgər d < 0 , sonra azalır;
- əgər d = 0 , onda ardıcıllıq stasionar olacaq.
Həndəsi irəliləmə
həndəsi irəliləyiş ardıcıllıq çağırılır, hər bir müddəti ikincidən başlayaraq əvvəlki birinə bərabərdir, eyni ədədə vurulur.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
hər hansı natural ədəd üçün həndəsi irəliləyişdir n şərt yerinə yetirilir:
b n +1 = b n · q,
harada q ≠ 0 - bəzi rəqəm.
Beləliklə, bu həndəsi irəliləyişin növbəti həddinin əvvəlki birinə nisbəti sabit ədəddir:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Nömrə q çağırdı həndəsi irəliləyişin məxrəci.
Həndəsi irəliləyiş təyin etmək üçün onun birinci həddi və məxrəcini göstərmək kifayətdir.
Misal üçün,
əgər b 1 = 1, q = -3 , onda ardıcıllığın ilk beş şərti aşağıdakı kimi tapılır:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 və məxrəc q onun n -ci həddi düsturla tapmaq olar:
b n = b 1 · q n -1 .
Misal üçün,
həndəsi proqresiyanın yeddinci həddi tapın 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n,
sonra açıq-aydın
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
ikincidən başlayaraq həndəsi proqresiyanın hər bir üzvü əvvəlki və sonrakı üzvlərin həndəsi ortasına (mütənasib) bərabərdir.
Bunun əksi də doğru olduğundan, aşağıdakı iddia doğrudur:
a, b və c ədədləri bəzi həndəsi proqresiyanın ardıcıl üzvləridir, o halda ki, onlardan birinin kvadratı digər ikisinin hasilinə bərabər olsun, yəni ədədlərdən biri digər ikisinin həndəsi ortası olsun.
Misal üçün,
düsturla verilmiş ardıcıllığın olduğunu sübut edək b n= -3 2 n , həndəsi irəliləyişdir. Yuxarıdakı ifadədən istifadə edək. Bizdə:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
Beləliklə,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
tələb olunan iddianı sübut edir. ◄
Qeyd edək ki n həndəsi proqresiyanın üçüncü hədini təkcə vasitəsilə tapmaq olmaz b 1 , həm də hər hansı əvvəlki termin b k , bunun üçün düsturdan istifadə etmək kifayətdir
b n = b k · q n - k.
Misal üçün,
üçün b 5 yazmaq olar
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · q n - k,
b n = b n - k · q k,
sonra açıq-aydın
b n 2 = b n - k· b n + k
ikincidən başlayaraq həndəsi proqresiyanın hər hansı üzvünün kvadratı ondan bərabər məsafədə olan bu irəliləyişin üzvlərinin hasilinə bərabərdir.
Bundan əlavə, hər hansı həndəsi irəliləyiş üçün bərabərlik doğrudur:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ l.
Misal üçün,
eksponent olaraq
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kimi
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
birinci n məxrəci olan həndəsi proqresiyanın üzvləri q ≠ 0 düsturla hesablanır:
Və nə zaman q = 1 - düstura görə
S n= n.b. 1
Qeyd edək ki, şərtləri cəmləmək lazımdırsa
b k, b k +1 , . . . , b n,
sonra formula istifadə olunur:
| S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q n -
k +1
| . |
| 1 - q
|
Misal üçün,
eksponent olaraq 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Əgər həndəsi irəliləyiş verilirsə, onda kəmiyyətlər b 1 , b n, q, n və S n iki düsturla əlaqələndirilir:
Buna görə də, bu kəmiyyətlərdən hər hansı üçünün qiyməti verilirsə, digər iki kəmiyyətin müvafiq dəyərləri iki naməlum olan iki tənlik sisteminə birləşdirilən bu düsturlardan müəyyən edilir.
Birinci hədd ilə həndəsi irəliləyiş üçün b 1 və məxrəc q aşağıdakılar baş verir monotonluq xüsusiyyətləri :
- Aşağıdakı şərtlərdən biri yerinə yetirildikdə irəliləyiş artır:
b 1 > 0 və q> 1;
b 1 < 0 və 0 < q< 1;
- Aşağıdakı şərtlərdən biri yerinə yetirildikdə irəliləyiş azalır:
b 1 > 0 və 0 < q< 1;
b 1 < 0 və q> 1.
Əgər a q< 0 , onda həndəsi irəliləyiş işarə ilə növbələşir: onun tək nömrəli üzvləri birinci həddi ilə eyni işarəyə, cüt nömrəli üzvləri isə əks işarəyə malikdir. Aydındır ki, dəyişən həndəsi irəliləyiş monoton deyil.
Birincinin məhsulu n həndəsi irəliləyişin şərtləri düsturla hesablana bilər:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
Misal üçün,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Sonsuz azalan həndəsi irəliləmə
Sonsuz azalan həndəsi irəliləmə məxrəc modulu -dən kiçik olan sonsuz həndəsi irəliləmə adlanır 1 , yəni
|q| < 1 .
Nəzərə alın ki, sonsuz azalan həndəsi irəliləyiş azalan ardıcıllıq olmaya bilər. Bu vəziyyətə uyğun gəlir
1 < q< 0 .
Belə məxrəclə ardıcıllıq işarə ilə növbələşir. Misal üçün,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Sonsuz azalan həndəsi irəliləmənin cəmi birincinin cəminin gəldiyi ədədi adlandırın n sayının qeyri-məhdud artması ilə irəliləyiş şərtləri n . Bu ədəd həmişə sonludur və düsturla ifadə edilir
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
Misal üçün,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Arifmetik və həndəsi irəliləyişlər arasında əlaqə
Arifmetika və həndəsi irəliləyiş sıx bağlıdırlar. Gəlin yalnız iki nümunəyə nəzər salaq.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , sonra
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
Misal üçün,
1, 3, 5, . . . — fərqlə arifmetik irəliləyiş 2 və
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . məxrəci olan həndəsi irəliləyişdir 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . məxrəci olan həndəsi irəliləyişdir q , sonra
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — fərqlə arifmetik irəliləyiş log aq .
Misal üçün,
2, 12, 72, . . . məxrəci olan həndəsi irəliləyişdir 6 və
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — fərqlə arifmetik irəliləyiş lg 6 . ◄
Arifmetika ilə yanaşı həndəsi irəliləmə də vacibdir ədədi sıra 9-cu sinifdə məktəb cəbri kursunda öyrənilən . Bu yazıda həndəsi irəliləyişin məxrəcini və onun dəyərinin xassələrinə necə təsir etdiyini nəzərdən keçirəcəyik.
Həndəsi irəliləmənin tərifi
Əvvəlcə bunu müəyyən edək nömrə seriyası. Həndəsi irəliləyiş bir sıradır rasional ədədlər, ilk elementinin məxrəc adlanan sabit ədədə ardıcıl çarpılması ilə əmələ gəlir.
Məsələn, 3, 6, 12, 24, ... seriyasındakı ədədlər həndəsi irəliləyişdir, çünki 3-ü (birinci elementi) 2-yə vursaq, 6-nı alırıq. 6-nı 2-yə vursaq, alırıq. 12 və s.
Baxılan ardıcıllığın üzvləri adətən ai simvolu ilə işarələnir, burada i seriyadakı elementin sayını göstərən tam ədəddir.
Proqresiyanın yuxarıdakı tərifini riyaziyyat dilində belə yazmaq olar: an = bn-1 * a1, burada b məxrəcdir. Bu düsturu yoxlamaq asandır: əgər n = 1, onda b1-1 = 1 və biz a1 = a1 alırıq. Əgər n = 2 olarsa, onda an = b * a1 və biz yenidən nəzərdən keçirilən ədədlər seriyasının tərifinə gəlirik. Oxşar mülahizələri davam etdirmək olar böyük dəyərlər n.
Həndəsi irəliləyişin məxrəci
B rəqəmi bütün nömrələr seriyasının hansı simvola sahib olacağını tamamilə müəyyənləşdirir. Məxrəc b müsbət, mənfi və ya birdən böyük və ya kiçik ola bilər. Yuxarıda göstərilən bütün seçimlər müxtəlif ardıcıllığa səbəb olur:
- b > 1. Rasional ədədlərin artan sırası var. Məsələn, 1, 2, 4, 8, ... a1 elementi mənfi olarsa, onda bütün ardıcıllıq yalnız modul olaraq artacaq, lakin rəqəmlərin işarəsini nəzərə alaraq azalacaq.
- b = 1. Çox vaxt belə bir hal irəliləmə adlandırılmır, çünki müntəzəm sıra eyni rasional ədədlər. Məsələn, -4, -4, -4.
Cəmi üçün düstur
Nəzərdən keçirilən irəliləyiş növünün məxrəcindən istifadə edərək konkret problemlərin nəzərdən keçirilməsinə keçməzdən əvvəl onun ilk n elementinin cəmi üçün mühüm düstur verilməlidir. Düstur belədir: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Proqresiyanın üzvlərinin rekursiv ardıcıllığını nəzərə alsanız, bu ifadəni özünüz əldə edə bilərsiniz. Onu da qeyd edək ki, yuxarıdakı düsturda ixtiyari sayda şərtlərin cəmini tapmaq üçün yalnız birinci elementi və məxrəci bilmək kifayətdir.
Sonsuz azalan ardıcıllıq
Yuxarıda bunun nə olduğu izah edildi. İndi Sn-in düsturunu bilərək, onu bu ədədlər seriyasına tətbiq edək. Modulu 1-dən çox olmayan hər hansı bir ədəd böyük dərəcələrə qaldırıldıqda sıfıra meylli olduğundan, yəni -1 olarsa b∞ => 0 olar.
Fərq (1 - b) məxrəcin qiymətindən asılı olmayaraq həmişə müsbət olacağından, sonsuz azalan həndəsi irəliləyişin cəminin işarəsi S∞ onun birinci elementinin işarəsi ilə unikal şəkildə təyin olunur a1.
İndi biz bir neçə problemi nəzərdən keçirəcəyik, burada əldə edilmiş bilikləri konkret ədədlərə necə tətbiq edəcəyimizi göstərəcəyik.
Tapşırıq nömrəsi 1. Proqresiyanın naməlum elementlərinin və cəminin hesablanması
Həndəsi proqressiyanın məxrəci 2, birinci elementi isə 3-dür. Onun 7-ci və 10-cu hədləri nə qədər olacaq və onun yeddi başlanğıc elementinin cəmi neçəyə bərabərdir?
Problemin şərti olduqca sadədir və yuxarıda göstərilən düsturların birbaşa istifadəsini nəzərdə tutur. Beləliklə, n rəqəmi olan elementi hesablamaq üçün an = bn-1 * a1 ifadəsindən istifadə edirik. 7-ci element üçün əlimizdədir: a7 = b6 * a1, məlum məlumatları əvəz edərək, alırıq: a7 = 26 * 3 = 192. 10-cu üzv üçün də eyni şeyi edirik: a10 = 29 * 3 = 1536.
Biz cəmi üçün məlum düsturdan istifadə edirik və seriyanın ilk 7 elementi üçün bu dəyəri təyin edirik. Bizdə var: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Tapşırıq nömrəsi 2. Proqresiyanın ixtiyari elementlərinin cəminin müəyyən edilməsi
-2 eksponensial irəliləmənin məxrəcinə bərabər olsun bn-1 * 4, burada n tam ədəddir. Bu seriyanın 5-ci elementindən 10-cu elementinə qədər olan cəmini müəyyən etmək lazımdır.
Qarşıya qoyulan problemi bilavasitə məlum düsturlardan istifadə etməklə həll etmək mümkün deyil. 2 ilə həll edə bilərsiniz müxtəlif üsullar. Tamlıq naminə hər ikisini təqdim edirik.
Metod 1. Onun ideyası sadədir: birinci şərtlərin iki müvafiq cəmini hesablamaq, sonra isə birindən digərini çıxarmaq lazımdır. Daha kiçik məbləği hesablayın: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. İndi böyük məbləği hesablayırıq: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Qeyd edək ki, in son ifadə cəmi 4 şərt yekunlaşdırılıb, çünki 5-cisi artıq problemin şərtinə uyğun olaraq hesablanması lazım olan məbləğə daxildir. Nəhayət, fərqi götürürük: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metod 2. Ədədləri əvəz etmədən və saymadan əvvəl sözügedən silsilənin m və n şərtləri arasındakı cəmi üçün düstur ala bilərsiniz. Biz 1-ci üsulla eyni şəkildə hərəkət edirik, yalnız biz əvvəlcə cəmin simvolik təsviri ilə işləyirik. Bizdə: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Siz çıxan ifadədə məlum ədədləri əvəz edə və yekun nəticəni hesablaya bilərsiniz: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Tapşırıq nömrəsi 3. Məxrəc nədir?
a1 = 2 olsun, həndəsi proqresiyanın məxrəcini tapın, bu şərtlə ki, onun sonsuz cəmi 3 olsun və bu, azalan ədədlər silsiləsi olduğu məlum olsun.
Problemin şərtinə görə, onu həll etmək üçün hansı düsturdan istifadə edilməli olduğunu təxmin etmək çətin deyil. Təbii ki, sonsuz azalan irəliləyişin cəmi üçün. Bizdə var: S∞ = a1 / (1 - b). Məxrəci ifadə etdiyimiz yerdən: b = 1 - a1 / S∞. Əvəz etmək qalır məlum dəyərlər və tələb olunan rəqəmi əldə edin: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 və ya -0,333 (3). Bu növ ardıcıllıq üçün modulun b 1-dən kənara çıxmamalı olduğunu xatırlasaq, bu nəticəni keyfiyyətcə yoxlaya bilərik. Gördüyünüz kimi, |-1 / 3|
Tapşırıq nömrəsi 4. Bir sıra nömrələrin bərpası
Ədəd sırasının 2 elementi verilsin, məsələn, 5-cisi 30-a, 10-cusu isə 60-a bərabər olsun, həndəsi irəliləyişin xassələrini təmin etdiyini bilə-bilə bu verilənlərdən bütün seriyanı bərpa etmək lazımdır.
Problemi həll etmək üçün əvvəlcə hər bir məlum üzv üçün uyğun ifadəni yazmalısınız. Bizdə var: a5 = b4 * a1 və a10 = b9 * a1. İndi ikinci ifadəni birinciyə bölürük, alırıq: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Buradan məsələnin şərtindən məlum olan üzvlərin nisbətinin beşinci dərəcəli kökünü götürərək məxrəci təyin edirik, b = 1,148698. Alınan ədəd ifadələrdən birinə əvəz edilir məlum element, alırıq: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Beləliklə, bn irəliləyişinin məxrəcinin nə olduğunu və həndəsi irəliləmənin bn-1 * 17,2304966 = an olduğunu, burada b = 1,148698 olduğunu tapdıq.
Həndəsi irəliləyişlər harada istifadə olunur?
Əgər bu ədədi silsilənin praktikada tətbiqi olmasaydı, onun öyrənilməsi sırf nəzəri marağa çevrilərdi. Ancaq belə bir tətbiq var.
Ən məşhur 3 nümunə aşağıda verilmişdir:
- Çevik Axillesin yavaş tısbağaya çata bilmədiyi Zenon paradoksu, sonsuz azalan ədədlər ardıcıllığı anlayışından istifadə etməklə həll edilir.
- Əgər şahmat taxtasının hər hücrəsinə buğda dənələri qoyulsa ki, 1-ci xanada 1, 2-də 2, 3-də və s. yerləşsin, onda bütün xanaları doldurmaq üçün 18446744073709551615 dənə lazım olacaq. lövhə!
- "Hanoy qalası" oyununda diskləri bir çubuqdan digərinə dəyişdirmək üçün 2n - 1 əməliyyat yerinə yetirmək lazımdır, yəni onların sayı istifadə olunan disklərin sayından eksponent olaraq artır.
Təlimat
10, 30, 90, 270...
Həndəsi irəliləyişin məxrəcini tapmaq tələb olunur.
Qərar:
1 seçim. Proqresiyanın ixtiyari üzvünü götürək (məsələn, 90) və onu əvvəlkinə (30) bölək: 90/30=3.
Əgər həndəsi irəliləyişin bir neçə üzvünün cəmi və ya azalan həndəsi irəliləyişin bütün üzvlərinin cəmi məlumdursa, irəliləmənin məxrəcini tapmaq üçün müvafiq düsturlardan istifadə edin:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), burada Sn həndəsi irəliləyişin ilk n üzvünün cəmidir və
S = b1/(1-q), burada S sonsuz azalan həndəsi irəliləyişin cəmidir (məxrəci birdən kiçik olan irəliləyişin bütün üzvlərinin cəmi).
Misal.
Azalan həndəsi proqresiyanın birinci həddi birə, bütün üzvlərinin cəmi ikiyə bərabərdir.
Bu irəliləyişin məxrəcini müəyyən etmək tələb olunur.
Qərar:
Tapşırıqdakı məlumatları düsturla əvəz edin. Alın:
2=1/(1-q), buradan – q=1/2.
Proqressiya ədədlər ardıcıllığıdır. Həndəsi irəliləyişdə hər bir sonrakı hədd əvvəlkini irəliləyişin məxrəci adlanan müəyyən q ədədinə vurmaqla əldə edilir.
Təlimat
Həndəsi b(n+1) və b(n) iki qonşu üzvü məlumdursa, məxrəci almaq üçün böyük ədədi özündən əvvəlkinə bölmək lazımdır: q=b(n). +1)/b(n). Bu, irəliləyişin və onun məxrəcinin tərifindən irəli gəlir. Vacib şərt odur ki, irəliləyişin birinci həddi və məxrəci sıfıra bərabər olmasın, əks halda qeyri-müəyyən sayılır.
Beləliklə, proqressiyanın üzvləri arasında aşağıdakı əlaqələr qurulur: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. b(n)=b1 q^(n-1) düsturu ilə məxrəci q və b1 üzvü məlum olan həndəsi proqresiyanın istənilən üzvü hesablana bilər. Həmçinin, irəliləyiş modulunun hər biri qonşu üzvlərinin orta qiymətinə bərabərdir: |b(n)|=√, buna görə də irəliləyiş özünün .
Həndəsi irəliləyişin analoqu y=a^x ən sadə eksponensial funksiyadır, burada x eksponentdədir, a bəzi ədəddir. Bu zaman irəliləyişin məxrəci birinci hədlə üst-üstə düşür və a rəqəminə bərabər olur. y funksiyasının qiyməti kimi başa düşülə bilər n-ci üzv x arqumenti natural ədəd n (sayğac) kimi qəbul edilərsə, irəliləyişlər.
