Na vyplnenie testu č.3

Inštrukcie

(témy 12-16)

Téma 12. Diferenciálne rovnice 1. rádu.

Piskunov, kap. VIII, § 1-8, býv. 1-68

Danko, časť II, kap. IV, §1

12.1 Definícia diferenciálnej rovnice prvého rádu.

1.Definícia. Rovnosť týkajúca sa nezávislej premennej X, funkcia pri a derivácie (alebo diferenciály) tejto funkcie sa nazývajú diferenciálna rovnica prvého poriadku (DY 1) tie.

F(x,y,y")=0 alebo y"=f (x,y)

Vyriešte diferenciálnu rovnicu prvého rádu- znamená nájdenie neznámej funkcie r.

2.Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice prvého rádu sa nazýva funkcia y=j(x,c), Kde C- konštanta, ktorá po dosadení do diferenciálnej rovnice prvého poriadku z nej urobí identitu. Na povrchu XOY spoločné rozhodnutie y=j(x,c) vyjadruje rodinu integrálnych kriviek.

3. Každé rozhodnutie y= j (x,С 0) získané zo všeobecného riešenia pri špecifickej hodnote C=C0 volal súkromné ​​riešenie diferenciálna rovnica prvého rádu.

4. Problém nájdenia konkrétneho riešenia diferenciálnej rovnice prvého rádu, ktorá spĺňa počiatočnú podmienku

Alebo alebo

5. -DE 1 s oddeliteľnými premennými.

6. - ODR 1 – homogénna diferenciálna rovnica 1. rádu alebo , kde , sú homogénne funkcie jednej dimenzie. Používa sa substitúcia

7. , kde . DE 1, redukovaný na homogénny substitúciou

Kde je priesečník čiar

Ak , potom sa použije substitúcia

8. , kde - sa nazýva totálna diferenciálna rovnica.

Kde je celkový diferenciál funkcie

Vyriešenie tejto rovnice znamená nájdenie funkcie A.

9. - lineárne diaľkové ovládanie 1 (LDU 1)

Ak , potom je rovnica nehomogénna,

Ak , potom je rovnica homogénna.

LDU 1 je integrovaný:

1) Bernoulliho metóda (pomocou substitúcie y = andv, Kde u A v-zatiaľ neznáme funkcie)

2) Použitie Lagrangeovej metódy, zmena ľubovoľnej konštanty.

10. , kde m- číslo, m¹0, m¹1- Bernoulliho diferenciálna rovnica, riešená buď substitúciou y= uv alebo Lagrangeova metóda (pozri odsek 9).

12.2. Príklady riešenia problémov.

Úloha 1. Nájdite konkrétne riešenie pre DE 1, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku.

Riešenie: Toto je rovnica s oddeliteľnými premennými.

Pretože , potom bude mať rovnica tvar:

Alebo - po oddelení premenných.

Integráciou oboch strán poslednej rovnice dostaneme:

Alebo - všeobecné riešenie

Pomocou počiatočnej podmienky nájdeme . Potom sa zo všeobecného riešenia extrahuje konkrétne riešenie:

Úloha 2.

Riešenie: Táto rovnica je homogénna, keďže koeficienty pre dx A D Y sú homogénne funkcie rovnakej dimenzie (druhej) vzhľadom na premenné X A r. Aplikovanie substitúcie y=xt, Kde t- nejaká argumentačná funkcia X. Ak y=xt, potom diferenciál dy = d(xt) = tdx+ xdt a táto rovnica bude mať tvar:

2xxtdt+(x²t²-x²) (tdx+xdt)= 0

Znížené o x², bude mať:

2tdx+(t²-1) (tdx+xdt)=0

2tdx+(t²-1) tdx+x (t²-1)dt=0

t(2+t2-1) dx+x (t2-1)dt=0

t(1+t2)dx= x(1-t2)dt;.

Získali sme oddelenú premennú rovnicu vzhľadom na X A t. Integráciou nájdeme všeobecné riešenie tejto rovnice:

Potenciovaním nájdeme , príp x(1+t²)=Ct. Zo zavedenej substitúcie vyplýva, že . Preto, resp x²+y²= Cy je všeobecné riešenie tejto rovnice.

Úloha 3. Nájdite všeobecné riešenie rovnice y"-y tg x = 2 x s x.

Riešenie: Táto rovnica je lineárna, pretože obsahuje požadovanú funkciu y a jej deriváciu y" na prvom stupni a neobsahuje ich diela.

Aplikovanie substitúcie y=uv, Kde u A v–niektoré neznáme argumentové funkcie X. Ak y=uv, To y"= (uv)"= u"v+uv" a táto rovnica bude mať tvar: u"v+uv"-uvtg x= 2x sek x,

v(u"-utg x)+ uv"= 2xs x. (1)

Od požadovanej funkcie r je prezentovaný ako súčin dvoch ďalších neznámych funkcií, potom je možné jednu z nich zvoliť ľubovoľne. Vyberieme funkciu u aby sa výraz v zátvorkách na ľavej strane nerovnosti (1) stal nulou, čiže zvolíme funkciu u aby bola rovnosť

u"-utg x= 0 (2)

Pri tejto voľbe funkcie u dostane rovnica (1) tvar

uv"= 2x sek x. (3)

Rovnica (2) je separovateľná rovnica vzhľadom na u a x. Poďme vyriešiť túto rovnicu:

ln u= -ln cos x, alebo

(Na to, aby nastala rovnosť (2), stačí nájsť jedno konkrétne riešenie, ktoré vyhovuje tejto rovnici. Preto pre jednoduchosť pri integrácii tejto rovnice nájdeme také konkrétne riešenie, ktoré zodpovedá hodnote ľubovoľnej konštanty C = 0 .) Dosadenie do (3) nájdeného výrazu za ty dostaneme:

secxv"= 2xsecx; v"= 2X; dv= 2xdx. Integrácia, chápeme v=x²+C. Potom y=secx(x²+C) je všeobecné riešenie tejto rovnice.

12.3.Otázky na sebaovládanie.

1. Aká rovnica sa nazýva diferenciálna?

2. Ako sa určuje poradie rovnice? Príklady.

3. Čo znamená rozhodnúť sa?

4. Ktorá funkcia sa nazýva riešenie?

5. Ktoré riešenie sa nazýva všeobecné, konkrétne?

6. Ako nájsť konkrétne riešenie na základe počiatočných podmienok? Zapíšte si plán operácií vykonaných pri riešení príkladu y"- 2x= 0 pri počiatočných podmienkach r(-2)= 4.

7. Formulujte geometrický význam všeobecných a partikulárnych riešení.

Najjednoduchšia rovnica 1 je rovnica tvaru Ako je známe z priebehu integrálneho počtu, funkcia r sa nachádza integráciou

Definícia. Rovnica tvaru sa nazýva diferenciálna rovnica s oddelené premenné. Môže byť napísaný vo forme

Integrujeme obe strany rovnice a získame takzvaný všeobecný integrál (alebo všeobecné riešenie).

Príklad.

Riešenie. Napíšeme rovnicu do tvaru
Integrujme obe strany rovnice:

(všeobecný integrál diferenciálnej rovnice).

Definícia. Rovnica tvaru sa nazýva rovnica s oddeliteľnými premennými, ak možno funkcie reprezentovať ako súčin funkcií

t.j. rovnica má tvar

Aby sme takúto diferenciálnu rovnicu vyriešili, musíme ju zredukovať do tvaru diferenciálnej rovnice so separovanými premennými, pre ktorú rovnicu rozdelíme na súčin
Skutočne, delenie všetkých členov rovnice súčinom
,

–diferenciálna rovnica s oddelenými premennými.

Na jeho vyriešenie stačí integrovať termín po termíne

Pri riešení diferenciálnej rovnice s oddeliteľnými premennými sa môžete riadiť nasledujúcim algoritmus (pravidlo) na oddeľovanie premenných.

Prvý krok. Ak diferenciálna rovnica obsahuje deriváciu , malo by byť napísané ako pomer diferenciálov:

Druhý krok. Vynásobte rovnicu
, potom zoskupíme členy obsahujúce diferenciál funkcie a diferenciál nezávisle premennej
.

Tretí krok. Výrazy získané pomocou
, predstavujú ho ako súčin dvoch faktorov, z ktorých každý obsahuje len jednu premennú (
). Ak sa potom rovnica stane viditeľnou, vydelte ju súčinom
, získame diferenciálnu rovnicu s oddelenými premennými.

Štvrtý krok. Integráciou rovnice člen po člene získame všeobecné riešenie pôvodnej rovnice (alebo jej všeobecného integrálu).

Zvážte rovnice

№ 2.

№ 3.

Diferenciálna rovnica #1 je podľa definície separovateľná diferenciálna rovnica. Rozdeľte rovnicu súčinom
Dostaneme rovnicu

Integrácia, chápeme

alebo

Posledný vzťah je všeobecný integrál tejto diferenciálnej rovnice.

V diferenciálnej rovnici č.2 nahrádzame
vynásobiť
, dostaneme

všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.

Diferenciálna rovnica č. 3 nie je rovnica s oddeliteľnými premennými, pretože je napísaná v tvare

alebo
,

vidíme, že výraz
vo forme súčinu dvoch faktorov (jeden –

iba s y, druhý – len s X) je nemožné si predstaviť. Všimnite si, že niekedy je potrebné vykonať algebraické transformácie, aby ste videli, že daná diferenciálna rovnica je so separovateľnými premennými.

Príklad č.4. Vzhľadom na rovnicu transformujte rovnicu posunutím spoločného faktora doľava
Vydeľte ľavú a pravú stranu rovnice súčinom
dostaneme

Integrujme obe strany rovnice:

kde
je všeobecný integrál tejto rovnice. (A)

Všimnite si, že ak je integračná konštanta zapísaná vo forme
, potom všeobecný integrál tejto rovnice môže mať rôzny tvar:

alebo
– všeobecný integrál. (b)

Všeobecný integrál tej istej diferenciálnej rovnice teda môže mať rôzne formy. V každom prípade je dôležité dokázať, že výsledný všeobecný integrál vyhovuje danej diferenciálnej rovnici. Aby ste to dosiahli, musíte rozlišovať podľa X obe strany rovnosti definujúce všeobecný integrál, berúc do úvahy to r existuje funkcia od X. Po odstránení s získame identické diferenciálne rovnice (pôvodné). Ak všeobecný integrál
, (vyhliadka ( A)), To

Ak všeobecný integrál
(typ (b)), potom

Získame rovnakú rovnicu ako v predchádzajúcom prípade (a).

Uvažujme teraz o jednoduchých a dôležitých triedach rovníc prvého rádu, ktoré možno zredukovať na rovnice so separovateľnými premennými.

Diferenciálnej rovnice je vzťah, ktorý vyzerá F(x 1 , x 2 , x 3 ,..,y,y′,y′′,...y (n)) = 0 a ktorý súvisí s nezávislými premennými x 1, x 2, x 3,... funkcie y týchto nezávislých premenných a jej derivátov až n- poradie. Navyše funkcia F je definovaná a dostatočne diferencovaná v určitom rozsahu zmien vo svojich argumentoch.

Obyčajné diferenciálne rovnice sú diferenciálne rovnice obsahujúce iba jednu nezávislú premennú.

Parciálne diferenciálne rovnice- ide o diferenciálne rovnice, ktoré obsahujú 2 alebo viac nezávislých premenných.

Diferenciálna rovnica 1. rádu vo všeobecnom prípade obsahuje:

1) nezávislá premenná X;

2) závislá premenná r(funkcia);

3) prvá derivácia funkcie: r’ .

V niektorých rovniciach prvého rádu nemusia byť žiadne X alebo/a r, ale to nie je podstatné - dôležité je, aby diferenciálne rovnice mali 1. deriváciu r’ a neexistovali žiadne deriváty vyššieho rádu - r’’ , r’’’ a tak ďalej.

Diferenciálnej rovnice- rovnica, ktorá spája hodnotu derivácie funkcie so samotnou funkciou, hodnotami nezávislej premennej a číslami (parametrami). Poradie derivátov zahrnutých v rovnici môže byť rôzne (formálne nie je obmedzené). Deriváty, funkcie, nezávislé premenné a parametre môžu byť zahrnuté do rovnice v rôznych kombináciách, alebo môžu úplne chýbať všetky okrem aspoň 1. derivácie. Nie každá rovnica, ktorá obsahuje derivácie neznámej funkcie, sa ukáže ako diferenciálna rovnica. Napríklad, nie je diferenciálna rovnica.

Diferenciálnu rovnicu vyššieho rádu ako 1. možno transformovať na systém rovníc 1. rádu, v ktorom sa počet rovníc rovná rádu počiatočnej rovnice.

Klasifikácia diferenciálnych rovníc.

Poradie diferenciálnej rovnice je poradie najvyššej derivácie, ktorá je v nej zahrnutá.

Stupeň diferenciálnej rovnice je exponent, na ktorý sa zvyšuje derivácia najvyššieho rádu.

Napríklad, rovnica 1. rádu 2. stupňa:

Napríklad, rovnica 4. rádu 1. stupňa:

Niekedy sa diferenciálne rovnice píšu ako (zahŕňa diferenciály):

(X 2 - 3 xy 2 ) dx + (xy 2 - 3 X 2 r) D Y = 0;

V tomto prípade premenné X A r treba považovať za rovnocenné. V prípade potreby je možné takúto rovnicu zredukovať na formu, ktorá explicitne obsahuje deriváciu y". Deliť podľa dx:

Keďže a , znamená to, že rovnica má tvar, ktorý obsahuje deriváciu 1. rádu.

Diferenciálne rovnice prvého rádu

Vlastnosti diferenciálnych rovníc prvého rádu

Pri riešení rovníc prvého rádu treba funkciu y a premennú x považovať za rovnocenné. To znamená, že riešenie môže byť vo forme a vo forme .

Diferenciálne rovnice prvého rádu vyriešené s ohľadom na deriváciu

Oddeliteľné rovnice

Rovnice redukujúce na separovateľné rovnice

Homogénne rovnice

Rovnice redukujúce na homogénne

Zovšeobecnené homogénne rovnice

Lineárne diferenciálne rovnice

• Lineárne v r
• Lineárne v f(y)
• Lineárne v x
• Lineárne v f(x)

Bernoulliho rovnice

Riccatiho rovnice

Jacobiho rovnice

Rovnice v totálnych diferenciáloch

vzhľadom na to

Integračný faktor

Ak diferenciálnu rovnicu prvého rádu nemožno redukovať na žiadny z uvedených typov, mali by ste sa pokúsiť nájsť integračný faktor, ktorý ju zredukuje na totálnu diferenciálnu rovnicu.

Neriešené rovnice pre deriváciu y′

Rovnice, ktoré možno vyriešiť vzhľadom na deriváciu y′

Najprv sa musíte pokúsiť vyriešiť rovnicu vzhľadom na deriváciu y′. Ak je to možné, rovnicu možno zredukovať na jeden z vyššie uvedených typov.

Rovnice, ktoré možno faktorizovať

Rovnice neobsahujúce x a y

Rovnice neobsahujúce x alebo y

Alebo

Rovnice vyriešené pre y

Clairautove rovnice

Lagrangeove rovnice

Rovnice vedúce k Bernoulliho rovnici

Diferenciálne rovnice vyššieho rádu

Diferenciálne rovnice umožňujúce redukciu rádu

Rovnice riešené priamou integráciou

Rovnice neobsahujúce y

Rovnice neobsahujúce x

Rovnice homogénne vzhľadom na y, y′, y′′, ...

Lineárne nehomogénne rovnice so špeciálnou nehomogénnou časťou

,
kde sú polynómy stupňov a .

Eulerove rovnice

Referencie:
V.V. Stepanov, Priebeh diferenciálnych rovníc, "LKI", 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbierka úloh z vyššej matematiky, „Lan“, 2003.

Diferenciálne rovnice prvého rádu. Príklady riešení.
Diferenciálne rovnice so separovateľnými premennými

Diferenciálne rovnice (DE). Tieto dve slová zvyčajne vydesia bežného človeka. Zdá sa, že diferenciálne rovnice sú pre mnohých študentov niečo zakázané a ťažko zvládnuteľné. Uuuuuu... diferenciálne rovnice, ako to všetko prežijem?!

Tento názor a tento postoj je zásadne nesprávny, pretože v skutočnosti DIFERENCIÁLNE ROVNICE – JE TO JEDNODUCHÉ A AJ ZÁBAVNÉ. Čo potrebujete vedieť a vedieť, aby ste sa naučili riešiť diferenciálne rovnice? Ak chcete úspešne študovať difúzy, musíte byť dobrí v integrácii a rozlišovaní. Čím lepšie sa témy študujú Derivácia funkcie jednej premennej A Neurčitý integrál, tým ľahšie bude porozumieť diferenciálnym rovniciam. Poviem viac, ak máte viac-menej slušné integračné schopnosti, tak téma je takmer zvládnutá! Čím viac integrálov rôznych typov dokážete vyriešiť, tým lepšie. prečo? Budete musieť veľa integrovať. A rozlišovať. Tiež vysoko odporucany naučiť sa nájsť.

V 95 % prípadov testovacie papiere obsahujú 3 typy diferenciálnych rovníc prvého rádu: oddeliteľné rovnice na ktoré sa pozrieme v tejto lekcii; homogénne rovnice A lineárne nehomogénne rovnice. Pre tých, ktorí začínajú študovať difúzory, vám odporúčam, aby ste si prečítali lekcie presne v tomto poradí a po preštudovaní prvých dvoch článkov nebude na škodu upevniť si svoje zručnosti na ďalšom workshope - rovnice redukujúce na homogénne.

Existujú ešte zriedkavejšie typy diferenciálnych rovníc: totálne diferenciálne rovnice, Bernoulliho rovnice a niektoré ďalšie. Najdôležitejšie z posledných dvoch typov sú rovnice v totálnych diferenciáloch, keďže okrem tejto diferenciálnej rovnice uvažujem aj o novom materiáli - čiastočná integrácia.

Ak vám zostáva len deň alebo dva, To pre ultra rýchlu prípravu Existuje bleskový kurz vo formáte pdf.

Takže orientačné body sú nastavené - poďme na to:

Najprv si spomeňme na obvyklé algebraické rovnice. Obsahujú premenné a čísla. Najjednoduchší príklad: . Čo znamená vyriešiť obyčajnú rovnicu? To znamená nájsť súbor čísel, ktoré spĺňajú túto rovnicu. Je ľahké si všimnúť, že detská rovnica má jeden koreň: . Len pre zábavu, poďme skontrolovať a nahradiť nájdený koreň do našej rovnice:

– získa sa správna rovnosť, čo znamená, že riešenie bolo nájdené správne.

Difúzory sú navrhnuté v podstate rovnakým spôsobom!

Diferenciálnej rovnice prvá objednávka všeobecne obsahuje:
1) nezávislá premenná;
2) závislá premenná (funkcia);
3) prvá derivácia funkcie: .

V niektorých rovniciach 1. rádu nemusia byť žiadne „x“ a/alebo „y“, ale to nie je podstatné – dôležitéísť do riadiacej miestnosti bol prvá derivácia a nemal deriváty vyšších rádov – atď.

Čo znamená ? Riešenie diferenciálnej rovnice znamená hľadanie súbor všetkých funkcií, ktoré spĺňajú túto rovnicu. Takáto množina funkcií má často tvar (– ľubovoľná konštanta), ktorý sa nazýva všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.

Príklad 1

Riešiť diferenciálnu rovnicu

Plná munícia. Kde začať Riešenie?

Najprv musíte prepísať derivát do trochu inej podoby. Pripomíname si ťažkopádne označenie, ktoré sa mnohým z vás zrejme zdalo smiešne a zbytočné. Toto vládne v difúzoroch!

V druhom kroku sa pozrime, či je to možné samostatné premenné?Čo to znamená oddeliť premenné? Zhruba povedané, na ľavej strane musíme odísť len "Gréci", A napravo organizovať iba "X". Rozdelenie premenných sa vykonáva pomocou „školských“ manipulácií: ich vyňatie zo zátvoriek, prenos termínov z časti do časti so zmenou znamienka, prenos faktorov z časti do časti podľa pravidla proporcie atď.

Diferenciály a sú plnými multiplikátormi a aktívnymi účastníkmi nepriateľských akcií. V uvažovanom príklade sú premenné ľahko oddelené prehodením faktorov podľa pravidla proporcie:

Premenné sú oddelené. Na ľavej strane sú len „Y“, na pravej strane iba „X“.

Ďalšia fáza - integrácia diferenciálnej rovnice. Je to jednoduché, integrály dávame na obe strany:

Samozrejme, musíme brať integrály. V tomto prípade sú tabuľkové:

Ako si pamätáme, konštanta je priradená akejkoľvek primitívnej derivácii. Sú tu dva integrály, ale konštantu stačí napísať raz (keďže konštanta + konštanta sa stále rovná inej konštante). Vo väčšine prípadov je umiestnený na pravej strane.

Presne povedané, po zobratí integrálov sa diferenciálna rovnica považuje za vyriešenú. Jediná vec je, že naše „y“ nie je vyjadrené pomocou „x“, to znamená, že je prezentované riešenie v implicitnom formulár. Riešenie diferenciálnej rovnice v implicitnom tvare sa nazýva všeobecný integrál diferenciálnej rovnice. To znamená, že ide o všeobecný integrál.

Odpoveď v tejto forme je celkom prijateľná, existuje však lepšia možnosť? Skúsme sa dostať spoločné rozhodnutie.

prosím, pamätajte na prvú techniku, je veľmi bežný a často sa používa v praktických úlohách: ak sa po integrácii objaví logaritmus na pravej strane, potom je v mnohých prípadoch (nie vždy!) vhodné zapísať konštantu aj pod logaritmus. A určite si zapíšte, či sú výsledkom iba logaritmy (ako v uvažovanom príklade).

teda NAMIESTO záznamy sa zvyčajne píšu .

Prečo je to potrebné? A aby sa uľahčilo vyjadrenie „hry“. Použitie vlastnosti logaritmov . V tomto prípade:

Teraz je možné odstrániť logaritmy a moduly:

Funkcia je uvedená explicitne. Toto je všeobecné riešenie.

Odpoveď: spoločné rozhodnutie: .

Odpovede na mnohé diferenciálne rovnice sa dajú pomerne ľahko skontrolovať. V našom prípade sa to robí celkom jednoducho, vezmeme nájdené riešenie a rozlíšime ho:

Potom deriváciu dosadíme do pôvodnej rovnice:

– získa sa správna rovnosť, čo znamená, že všeobecné riešenie vyhovuje rovnici, čo je potrebné skontrolovať.

Zadaním rôznych hodnôt konštanty môžete získať nekonečný počet súkromné ​​riešenia Diferenciálnej rovnice. Je zrejmé, že niektorá z funkcií , atď. vyhovuje diferenciálnej rovnici.

Niekedy sa nazýva všeobecné riešenie rodina funkcií. V tomto príklade je to všeobecné riešenie je rodina lineárnych funkcií, alebo presnejšie, rodina priamej úmernosti.

Po dôkladnom preštudovaní prvého príkladu je vhodné odpovedať na niekoľko naivných otázok o diferenciálnych rovniciach:

1)V tomto príklade sa nám podarilo oddeliť premenné. Dá sa to urobiť vždy? Nie vždy. A ešte častejšie sa premenné nedajú oddeliť. Napríklad v homogénne rovnice prvého poriadku, najprv ho musíte vymeniť. V iných typoch rovníc, napríklad v lineárnej nehomogénnej rovnici prvého rádu, musíte na nájdenie všeobecného riešenia použiť rôzne techniky a metódy. Rovnice so separovateľnými premennými, o ktorých uvažujeme v prvej lekcii, sú najjednoduchším typom diferenciálnych rovníc.

2) Je vždy možné integrovať diferenciálnu rovnicu? Nie vždy. Je veľmi ľahké prísť s „vymyslenou“ rovnicou, ktorá sa nedá integrovať; okrem toho existujú integrály, ktoré nemožno vziať. Ale takéto DE možno vyriešiť približne pomocou špeciálnych metód. D’Alembert a Cauchy zaručujú... ...fuj, číha viac. aby som práve teraz veľa čítal, takmer som dodal „z druhého sveta“.

3) V tomto príklade sme dostali riešenie vo forme všeobecného integrálu . Je vždy možné nájsť všeobecné riešenie zo všeobecného integrálu, teda explicitne vyjadriť „y“? Nie vždy. Napríklad: . No, ako tu môžete vyjadriť „grécky“?! V takýchto prípadoch by mala byť odpoveď napísaná ako všeobecný integrál. Okrem toho je niekedy možné nájsť všeobecné riešenie, ale je napísané tak ťažkopádne a nemotorne, že je lepšie nechať odpoveď vo forme všeobecného integrálu

4) ...možno to zatiaľ stačí. V prvom príklade sme sa stretli ďalší dôležitý bod, ale aby som „atrapy“ nezasypal lavínou nových informácií, nechám to na ďalšiu hodinu.

Nebudeme sa ponáhľať. Ďalšie jednoduché diaľkové ovládanie a ďalšie typické riešenie:

Príklad 2

Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku

Riešenie: podľa stavu treba nájsť súkromné ​​riešenie DE, ktoré spĺňa danú počiatočnú podmienku. Táto formulácia otázky sa nazýva aj Cauchy problém.

Najprv nájdeme všeobecné riešenie. V rovnici nie je žiadna premenná „x“, ale to by nemalo zmiasť, hlavná vec je, že má prvú deriváciu.

Deriváciu prepíšeme do požadovaného tvaru:

Je zrejmé, že premenné môžu byť oddelené, chlapci vľavo, dievčatá vpravo:

Integrujme rovnicu:

Získa sa všeobecný integrál. Tu som nakreslil konštantu s hviezdičkou, faktom je, že veľmi skoro sa zmení na inú konštantu.

Teraz sa pokúsime transformovať všeobecný integrál na všeobecné riešenie (explicitne vyjadrite „y“). Pripomeňme si staré dobré veci zo školy: . V tomto prípade:

Konštanta v ukazovateli vyzerá akosi nekóšer, takže je zvyčajne privedená k zemi. V detailoch sa to deje takto. Pomocou vlastnosti stupňov prepíšeme funkciu takto:

Ak je konštanta, potom je tiež nejaká konštanta, premenme ju na písmeno:
– v tomto prípade odstránime modul, po ktorom môže konštanta „ce“ nadobúdať kladné aj záporné hodnoty

Pamätajte, že „zbúranie“ je konštanta druhá technika, ktorý sa často používa pri riešení diferenciálnych rovníc. Na čistej verzii môžete okamžite prejsť k, ale vždy buďte pripravení vysvetliť tento prechod.

Takže všeobecné riešenie je: . Toto je pekná rodina exponenciálnych funkcií.

V záverečnej fáze musíte nájsť konkrétne riešenie, ktoré spĺňa danú počiatočnú podmienku. Toto je tiež jednoduché.

aká je úloha? Treba vyzdvihnúť taký hodnotu konštanty tak, aby bola podmienka splnená.

Dá sa naformátovať rôznymi spôsobmi, ale toto bude asi najprehľadnejší spôsob. Vo všeobecnom riešení namiesto „X“ nahradíme nulu a namiesto „Y“ nahradíme dvojku:



teda

Štandardné prevedenie:

Teraz dosadíme nájdenú hodnotu konštanty do všeobecného riešenia:
– toto je konkrétne riešenie, ktoré potrebujeme.

Odpoveď: súkromné ​​riešenie:

Skontrolujme to. Kontrola súkromného riešenia zahŕňa dve fázy:

Najprv musíte skontrolovať, či konkrétne nájdené riešenie skutočne spĺňa počiatočnú podmienku? Namiesto „X“ dosadíme nulu a uvidíme, čo sa stane:
- áno, skutočne bola prijatá dvojka, čo znamená, že počiatočná podmienka je splnená.

Druhá etapa je už známa. Zoberieme výsledné konkrétne riešenie a nájdeme deriváciu:

Do pôvodnej rovnice dosadíme:

– dosiahne sa správna rovnosť.

Záver: konkrétne riešenie bolo nájdené správne.

Prejdime k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 3

Riešiť diferenciálnu rovnicu

Riešenie: Deriváciu prepíšeme do tvaru, ktorý potrebujeme:

Hodnotíme, či je možné oddeliť premenné? Môcť. Posúvame druhý výraz na pravú stranu so zmenou znamienka:

A prenášame multiplikátory podľa pravidla proporcie:

Premenné sú oddelené, integrujme obe časti:

Musím vás varovať, blíži sa súdny deň. Ak ste sa dobre neučili neurčité integrály, máte vyriešených niekoľko príkladov, potom už nie je kam ísť - teraz ich budete musieť zvládnuť.

Integrál ľavej strany je ľahké nájsť; s integrálom kotangens sa zaoberáme štandardnou technikou, na ktorú sme sa pozreli v lekcii Integrácia goniometrických funkcií minulý rok:

Výsledkom je, že sme dostali iba logaritmy a podľa môjho prvého technického odporúčania definujeme konštantu aj ako logaritmus.

Teraz sa pokúsime zjednodušiť všeobecný integrál. Keďže máme iba logaritmy, je celkom možné (a nevyhnutné) sa ich zbaviť. Používaním známe vlastnosti Logaritmy „balíme“ čo najviac. Napíšem to veľmi podrobne:

Obal je dokončený tak, aby bol barbarsky potrhaný:
, a hneď uvádzame všeobecný integrál Mimochodom, pokiaľ je to možné:

Vo všeobecnosti to nie je potrebné, ale vždy je užitočné potešiť profesora ;-)

V zásade možno toto majstrovské dielo napísať ako odpoveď, ale tu je stále vhodné obe časti umocniť a premenovať konštantu:

odpoveď: všeobecný integrál:

! Poznámka: Všeobecný integrál možno často zapísať viacerými spôsobmi. Ak sa teda váš výsledok nezhoduje s predtým známou odpoveďou, neznamená to, že ste rovnicu vyriešili nesprávne.

Dá sa vyjadriť „hra“? Môcť. Vyjadrime všeobecné riešenie:

Získaný výsledok je samozrejme vhodný na odpoveď, ale všimnite si, že všeobecný integrál vyzerá kompaktnejšie a riešenie je kratšie.

Tretí technický tip:ak na získanie všeobecného riešenia potrebujete vykonať značný počet akcií, potom je vo väčšine prípadov lepšie zdržať sa týchto akcií a ponechať odpoveď vo forme všeobecného integrálu. To isté platí pre „zlé“ akcie, keď potrebujete vyjadriť inverznú funkciu, zvýšiť na mocninu, extrahovať koreň atď. Faktom je, že všeobecné riešenie bude vyzerať domýšľavo a ťažkopádne - s veľkými koreňmi, znakmi a iným matematickým odpadom.

Ako skontrolovať? Kontrola môže byť vykonaná dvoma spôsobmi. Prvá metóda: vezmite si všeobecné riešenie , nájdeme derivát a dosaďte ich do pôvodnej rovnice. Skúste to sami!

Druhým spôsobom je diferenciácia všeobecného integrálu. Je to celkom jednoduché, hlavná vec je vedieť nájsť derivácia funkcie špecifikovanej implicitne:

rozdeľte každý výraz podľa:

a na:

Pôvodná diferenciálna rovnica bola získaná presne, čo znamená, že všeobecný integrál bol nájdený správne.

Príklad 4

Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku. Vykonajte kontrolu.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami.

Dovoľte mi pripomenúť, že algoritmus pozostáva z dvoch fáz:
1) nájdenie všeobecného riešenia;
2) nájdenie požadovaného konkrétneho riešenia.

Kontrola sa tiež vykonáva v dvoch krokoch (pozri príklad v príklade č. 2), je potrebné:
1) uistite sa, že konkrétne nájdené riešenie spĺňa počiatočnú podmienku;
2) skontrolujte, či konkrétne riešenie vo všeobecnosti vyhovuje diferenciálnej rovnici.

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Príklad 5

Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice , ktoré spĺňajú počiatočnú podmienku. Vykonajte kontrolu.

Riešenie: Najprv nájdime všeobecné riešenie.Táto rovnica už obsahuje hotové diferenciály a preto je riešenie zjednodušené. Oddeľujeme premenné:

Integrujme rovnicu:

Integrál vľavo je tabuľkový, integrál vpravo je braný metóda subsumovania funkcie pod diferenciálne znamienko:

Všeobecný integrál bol získaný, je možné úspešne vyjadriť všeobecné riešenie? Môcť. Logaritmy zavesíme na obe strany. Keďže sú kladné, znamienka modulu sú zbytočné:

(Dúfam, že každý chápe premenu, také veci by už mali byť známe)

Takže všeobecné riešenie je:

Nájdime konkrétne riešenie zodpovedajúce danej počiatočnej podmienke.
Vo všeobecnom riešení namiesto „X“ nahradíme nulu a namiesto „Y“ nahradíme logaritmus dvoch:

Známejší dizajn:

Nájdenú hodnotu konštanty dosadíme do všeobecného riešenia.

odpoveď: súkromné ​​riešenie:

Kontrola: Najprv skontrolujte, či je splnená počiatočná podmienka:
- všetko je dobré.

Teraz skontrolujme, či nájdené konkrétne riešenie vôbec vyhovuje diferenciálnej rovnici. Nájdenie derivátu:

Pozrime sa na pôvodnú rovnicu: – uvádza sa v diferenciáloch. Existujú dva spôsoby kontroly. Je možné vyjadriť diferenciál z nájdenej derivácie:

Nájdené partikulárne riešenie a výsledný diferenciál dosadíme do pôvodnej rovnice :

Používame základnú logaritmickú identitu:

Získa sa správna rovnosť, čo znamená, že konkrétne riešenie bolo nájdené správne.

Druhá metóda kontroly je zrkadlová a známejšia: z rovnice Vyjadrime deriváciu, aby sme to urobili, rozdelíme všetky časti takto:

A do transformovanej DE dosadíme získané parciálne riešenie a nájdenú deriváciu. V dôsledku zjednodušení by sa mala dosiahnuť aj správna rovnosť.

Príklad 6

Nájdite všeobecný integrál rovnice a uveďte odpoveď vo forme.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami, úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Aké ťažkosti číhajú pri riešení diferenciálnych rovníc so separovateľnými premennými?

1) Nie vždy je zrejmé (najmä pre „čajník“), že premenné možno oddeliť. Zoberme si podmienený príklad: . Tu musíte vyňať faktory zo zátvoriek: a oddeliť korene: . Je jasné, čo robiť ďalej.

2) Ťažkosti so samotnou integráciou. Integrály často nie sú najjednoduchšie a ak existujú nedostatky v zručnostiach vyhľadávania neurčitý integrál, potom to bude s mnohými difúzormi ťažké. Navyše, medzi zostavovateľmi zbierok a tréningových príručiek je populárna logika „keďže diferenciálna rovnica je jednoduchá, nech sú integrály aspoň komplikovanejšie“.

3) Transformácie s konštantou. Ako si každý všimol, s konštantou v diferenciálnych rovniciach sa dá narábať celkom voľne a niektoré transformácie nie sú začiatočníkovi vždy jasné. Pozrime sa na ďalší podmienený príklad: . Odporúča sa vynásobiť všetky výrazy 2: . Výsledná konštanta je tiež nejaký druh konštanty, ktorú možno označiť: . Áno, a keďže máme iba logarimy, je vhodné prepísať konštantu vo forme inej konštanty: .

Problém je v tom, že sa často neobťažujú indexmi a používajú rovnaké písmeno. Výsledkom je, že záznam o rozhodnutí má nasledujúcu formu:

Čo do pekla?! Sú tam chyby! Presne povedané, áno. Z vecného hľadiska však k chybám nedochádza, pretože v dôsledku transformácie premennej konštanty sa získa ekvivalentná premenná konštanta.

Alebo iný príklad, predpokladajme, že v priebehu riešenia rovnice sa získa všeobecný integrál. Táto odpoveď vyzerá škaredo, preto je vhodné zmeniť znamienko každého výrazu: . Formálne je tu ešte jedna chyba - malo by to byť napísané vpravo. Neformálne sa však rozumie, že „mínus ce“ je stále konštanta, ktorá rovnako dobre nadobúda rovnaký súbor hodnôt, a preto nemá zmysel uvádzať „mínus“.

Pokúsim sa vyhnúť nedbalému prístupu a pri prepočítavaní stále priraďujem konštantám rôzne indexy. Čo vám radím.

Príklad 7

Riešiť diferenciálnu rovnicu. Vykonajte kontrolu.

Riešenie: Táto rovnica umožňuje oddelenie premenných. Oddeľujeme premenné:

Poďme integrovať:

Konštantu tu nie je potrebné definovať ako logaritmus, pretože z toho nebude nič užitočné.

odpoveď: všeobecný integrál:

A, samozrejme, tu nie je potrebné výslovne vyjadrovať „y“, pretože sa ukáže, že je to odpad (pamätajte na tretí technický tip).

Vyšetrenie: Diferencujte odpoveď (implicitná funkcia):

Zlomkov sa zbavíme vynásobením oboch výrazov:

Pôvodná diferenciálna rovnica bola získaná, čo znamená, že všeobecný integrál bol nájdený správne.

Príklad 8

Nájdite konkrétne riešenie DE.
,