Geometrický význam modulu a argument analytickej funkcie. Nechajte funkciu w=f(z) je analytický v nejakej oblasti D. Vyberme si ľubovoľný bod a nakreslíme ním ľubovoľnú hladkú krivku ležiacu úplne v ňom D. Funkcia f(z) zobrazuje oblasť D komplexná rovina ( z) na región G komplexná rovina ( w). Nech je bod namapovaný na bod a krivka na krivku. Označme uhlom, ktorý zviera dotyčnica k bodu s osou Vôl, a cez - uhol, ktorý zviera dotyčnica v bode s osou Ou. Od funkcie f(z) analytický, potom existuje derivát v ktoromkoľvek bode oblasti D. Predpokladajme, že v D. Derivát môže byť reprezentovaný v exponenciálnej forme, t.j. napíšte to v tvare:
Vyberme si spôsob snaženia, pri ktorom body ležia na krivke. Potom zodpovedajúce body Komplexné čísla a v rovine budú reprezentované vektormi sečnými ku krivkám a a sú dĺžky sečnicových vektorov a sú uhly vytvorené týmito vektormi a kladnými osami. Keď sa tieto sečnové vektory stanú dotyčnicami ku krivkám a v bodoch a Z rovnosti (10) vyplýva, že , t.j. derivačný argument má geometrický význam rozdielu medzi uhlom vektora dotyčnice krivky a uhlom vektora dotyčnice. Keďže derivácia nezávisí od spôsobu prechodu na limitu, bude rovnaká pre akúkoľvek inú krivku prechádzajúcu bodom. Inými slovami, oblúky prechádzajúce bodom z 0 na povrchu z pri zobrazení w=f(z) otočte o rovnaký uhol v rovine w. Keď je uhol medzi ľubovoľnými krivkami v rovine ( z), prechádzajúci bodom z 0, sa rovná uhlu medzi krivkami a na rovine ( w), potom sa to nazýva vlastnosť zachovanie (konzervativizmus) uhlov.
Podobne z rovnosti (10) dostaneme: , t.j. do množstiev vyššieho rádu malosti platí rovnosť: .
Posledný vzťah tiež nezávisí od spôsobu výberu krivky a jeho geometrickým významom je, že keď sa mapovanie vykonáva analytickou funkciou, ktorá spĺňa podmienku, podobne sa transformujú nekonečne malé lineárne prvky (nekonečne malé oblúky). modul derivátu sa nazýva koeficient podobnosti. Táto vlastnosť tohto mapovania sa nazýva vlastnosť neustále naťahovanie, Preto k tiež nazývaný strečový faktor. Hovoria, že kedy k>1 – strečing a kedy k<1 – сжатие.
Definícia konformného zobrazenia a základné vlastnosti. Definícia 17. Jednotné mapovanie oblasti D komplexná rovina ( z) na región G komplexná rovina ( w) volal konformný, ak je vo všetkých bodoch z D má vlastnosť udržiavania uhlov a neustáleho naťahovania.
Veta 6. V záujme komplexnej funkcie w=f(z) konformne zmapované územie D lietadlo ( z) na región G lietadlo ( w), je potrebné a postačujúce, aby bol analytický v D a nie na žiadnom mieste v regióne D.
□ Nevyhnutnosť. Predpokladajme. aká je funkcia w=f(z) vykonáva konformné mapovanie. Podľa definície to znamená splnenie vlastností zachovania uhlov a neustáleho naťahovania. Zoberme si to do lietadla zľubovoľný bod z 0 a v jeho blízkosti sú dva body: z 1 A z2. Na povrchu w budú zodpovedať bodom w 0, w 1, w 2
S presnosťou až nekonečne malých veličín budú splnené vzťahy: , a zo stálosti uhlov vyplýva: . Z rovnosti pre argumenty vyplýva, že uhly sú rovnaké nielen v absolútnej hodnote, ale aj v smere. V dôsledku toho dostaneme: .
Z posledných dvoch rovníc teda s presnosťou na nekonečne malé množstvá vyplýva, že sú splnené nasledujúce rovnosti: . Vzhľadom na svojvoľnosť výberu bodu z 0 a body z 1, z 2 z jeho blízkosti vyplýva, že existuje Primeranosť. Nech derivácia existuje a nie je v oblasti rovná nule D, potom z geometrického významu derivácie vyplýva, že vlastnosti zachovania uhlov a stálosti predĺženia sú splnené, a to podľa definície znamená, že funkcia vykonáva konformné zobrazenie. ■
Konformné mapovanie sa používa na riešenie problémov v matematickej fyzike, hydrodynamike a aerodynamike, teórii pružnosti a teórii elektromagnetických a tepelných polí. Hlavnou úlohou teórie konformného zobrazovania je nájsť funkciu komplexnej premennej w=f(z), ktorý by zobrazoval danú oblasť D lietadlo z do danej oblasti G lietadlo w. Pri riešení tohto problému hrá dôležitú úlohu teorém.
Veta 7. Akýkoľvek jednoducho pripojený región D komplexná rovina z, ktorého hranica pozostáva z viac ako jedného bodu, môže byť konformne mapovaná do vnútra jednotkovej kružnice<1 комплексной плоскости w.(žiadny dôkaz).
Táto veta implikuje možnosť konformného zobrazenia danej oblasti D do danej oblasti G, ak hranica každého regiónu pozostáva z viac ako jedného bodu. Potom mapujte tieto oblasti pomocný kruh <1, мы получим искомое отображение. Конформное отображение многосвязной области на односвязную область невозможно, но в ряде случаев возможно конформное отображение областей одинаковой связности. Рассмотрим два конформных отображения.
Lineárne zobrazenie. Lineárne je zobrazenie uskutočnené lineárnou funkciou kde a A b- komplexné čísla.
Takéto mapovanie je individuálne a konformné v celej komplexnej rovine, pretože lineárne mapovanie ponecháva dva body fixné:
Predstavme si lineárne zobrazenie vo forme troch najjednoduchších.
1) Transformácia rotácie celej roviny z o uhol okolo počiatku:
2) Transformácia podobnosti s centrom podobnosti v počiatku, t.j. natiahnutie pri >1 a stlačenie pri 0< <1:
3) Paralelný prenos do vektora b:
Príklad 4. Nájdite funkciu, ktorá zobrazí trojuholník s danými vrcholmi zi = -1, z2 = i, z3 = 1 do trojuholníka s vrcholmi w1=0, w2=-2+2i, w3=4i.
Riešenie. Zostavme požadovanú funkciu ako superpozíciu troch elementárnych transformácií.
1) - otočte o uhol proti smeru hodinových ručičiek;
2) - dvojitý úsek;
3) - posun o dve jednotky vyššie;
Požadovaná funkcia má tvar:
Zlomkové lineárne zobrazenie. Zlomková lineárna funkcia, kde a B C d- implementujú sa komplexné čísla zlomkové lineárne mapovanie rozšírená komplexná rovina z w. Poďme nájsť derivát: ak .
Definícia 18. Body z 1 A z 2 sa volajú symetrické okolo kruhu, ak ležia na tom istom lúči prechádzajúcom bodmi z 1, z 2 a bod z 0 , a .
Inverzia vzhľadom na kružnicu je transformácia rozšírenej komplexnej roviny na seba, ktorá zaberá každý bod z 1 rovina do bodu z 2, symetrické okolo tohto kruhu. Uvažujme mapovanie definované funkciou a označme Pomocou vlastnosti modulu môžeme zapísať: . Z toho vyplýva, že príslušné mapovanie je inverziou vzhľadom na kruh s polomerom R, so stredom v počiatku, za ktorým nasleduje zrkadlový obraz vzhľadom na skutočnú os.
Analogicky s lineárnym zobrazením si predstavme zlomkové lineárne zobrazenie ako superpozíciu jednoduchých transformácií. Najprv vyberieme celú časť zlomku:
Najjednoduchšie transformácie budú nasledujúce:
1) paralelný prenos na: ;
2) inverzná transformácia vzhľadom na kruh s polomerom R so stredom v počiatku, za ktorým nasleduje zrkadlový obraz okolo skutočnej osi: ;
3) rotácia vzhľadom k počiatku: ;
4) paralelný prenos na: .
Príklad 5. Nájdite oblasť, do ktorej kruh pôjde pod lineárnym zlomkovým mapovaním.
Riešenie.
Toto bude kruh, ktorý sa získa po nasledujúcich transformáciách:
1) posun o 1 nadol:
2) inverzia vzhľadom na , smer obchvatu sa zmení:
3) otočiť o 90 stupňov:
4) posun o 1 nadol:
Vlastnosti zlomkového lineárneho zobrazenia. Bez dôkazu formulujeme nasledujúce vlastnosti.
1.Zhoda. Lineárna zlomková funkcia konformne mapuje rozšírenú komplexnú rovinu z do rozšírenej komplexnej roviny w.
2. Jedinečnosť. Existuje jedinečná lineárna zlomková funkcia, ktorá má tri rôzne body z 1, z 2, z 3 lietadlo z zobrazuje v troch rôznych bodoch w 1, w 2, w 3 lietadlo w a toto zobrazenie je dané rovnosťou: .
3. Kruhový majetok. Pri zlomkovom lineárnom zobrazení je obrazom akéhokoľvek kruhu v širšom zmysle kruh (v širšom zmysle, t. j. kruh alebo akákoľvek priamka).
4. Princíp zobrazovania hraníc. Pri zlomkovom lineárnom zobrazení sa oblasť ležiaca vo vnútri kruhu transformuje na oblasť ležiacu buď vo vnútri alebo mimo transformovaného kruhu (hranica je mapovaná na hranicu).
5. Princíp Riemannovej-Schwartzovej symetrie. Pri zlomkovom lineárnom zobrazení sa body, ktoré sú symetrické vzhľadom na kružnicu, mapujú na body, ktoré sú symetrické vzhľadom na transformovaný kruh (symetria v zmysle inverzie).
Príklad 6. Je určená horná polrovina roviny z a ľubovoľný bod z 0. Nájdite funkciu, ktorá ju priradí k jednotkovej kružnici roviny w takže z 0 zobrazené v strede kruhu.
Riešenie.
Nech , potom podľa princípu mapovania hraníc, skutočná os v rovine z budú mapované do kruhu s jednotkovým polomerom. Podľa vlastnosti symetrie bude bod mapovaný do bodu. Ak to vezmeme do úvahy, vytvoríme funkciu. Ak vezmeme do úvahy body z, ležiace na reálnej osi, a to sú body tvaru: , potom budú pre ne splnené rovnosti: , pretože všetky sú rovnako vzdialené od bodu ležiaceho na reálnej osi, t.j. máme, že všetky body reálnej osi budú mapované do všetkých bodov jednotkovej kružnice, a tak zistíme, že ak vezmeme do úvahy modul, požadované zobrazenie bude mať tvar: .
Vyriešte ďalší problém lineárneho zlomkového mapovania a vložte oba do prvého modulu!
Prednáška č.4.
Geometricky funkcia komplexnej premennej w=f(z) určuje zobrazenie určitej množiny z– roviny do určitej množiny w-lietadlo. Bodka wÎ G volal spôsobom bodov z pri zobrazení w=f(z), bodka zÎ D – prototyp bodov w.
Ak všetci z zhoduje sa iba jedna hodnota w=f(z), potom sa zavolá funkcia jednoznačné (w=|z|,w=,w= Re z atď.) Ak nejaké z zodpovedá viac ako jednej hodnote w, funkcia sa volá polysémantický (w= Arg z).
Ak (t. j. na rôznych miestach v oblasti D funkcia nadobúda rôzne hodnoty), potom funkcia w=f(z) sa nazýva jednolistové v oblasti D.
Inými slovami, univalentná funkcia w=f(z) mapuje oblasť jedna k jednej D na G. S jednolistovým displejom w=f(z) inverzný obraz ľubovoľného bodu wÎ G pozostáva z jedného prvku: : . Preto z možno považovať za funkciu premennej w, definované na G. Je určený a nazývaný inverzná funkcia .
Ak v oblasti D existuje aspoň jeden pár bodov, potom funkcia f(z) sa volajú viaclistový v oblasti D.
Ak sa zobrazí w=f(z) je viaclistový D(Napríklad, w=z n), potom v tomto prípade nejaké hodnoty wÎ G zhoduje viac ako jeden bod zÎ D:f(z)=w. Preto inverzné zobrazenie nie je jednohodnotové, je to viachodnotová funkcia.
Jedna číslica na ploche D funkciu w=f(z) sa nazýva vetva viachodnotovej funkcie F, ak hodnota f v ktoromkoľvek bode zÎ D zodpovedá jednej z hodnôt F v tomto bode.
Aby ste izolovali jednohodnotové vetvy viachodnotovej funkcie, postupujte nasledovne: plocha D rozdeliť funkcie do domén univalencie w=f(z), aby žiadne dva z regiónov nemali spoločné vnútorné body a aby každý bod zÎ D patrili do niektorej z týchto oblastí alebo k hraniciam niektorých z nich. V každej z týchto domén univalencie je definovaná inverzná funkcia w=f(z). Je to jednohodnotová vetva viachodnotovej funkcie.
Koncept konformného mapovania
Príklad. Nájdite koeficient roztiahnutia a uhol natočenia v bode z=2i pri zobrazovaní.
■ Nájdite deriváciu a jej hodnotu v danom bode.
Pomer roztiahnutia k rovný modulu derivátu: .
Uhol natočenia j sa rovná argumentu derivácie. Pointa leží v štvrtom štvrťroku, teda . ■
Príklad 3.5. Určte, ktorá časť roviny je zobrazená w=z 2 je natiahnutý a ktorý z nich je stlačený.
■ Nájdenie derivácie w¢=2 z. Faktor napätia v akomkoľvek bode z rovná sa k=|w¢( z)|=2|z|. Množina bodov v komplexnej rovine, pre ktorú k>1, teda 2| z|>1 alebo , tvorí časť roviny, ktorá sa pri zobrazení natiahne. Preto pri zobrazovaní w=z 2 je vonkajšia strana kruhu natiahnutá a vnútorná strana stlačená. ■
Displej w=f(z) sa nazýva konformný (t.j. zachováva svoj tvar) v bode, ak zachováva uhly medzi krivkami a má vlastnosť konštantného predlžovania okolia bodu.
Akékoľvek mapovanie vytvorené pomocou analytickej funkcie f(z) je konformný vo všetkých bodoch, kde .
Mapovanie sa nazýva konformný v regióne , ak je konformný v každom bode tejto oblasti.
Nazýva sa konformné zobrazenie, v ktorom je zachovaný smer referencie uhlov konformné mapovanie prvého druhu . Nazýva sa konformné zobrazenie, v ktorom je smer uhlov obrátený konformné mapovanie rodu ΙΙ (Napríklad, ).
V teórii a praxi konformných zobrazení sú kladené a riešené dva problémy.
Prvou úlohou je nájsť obraz danej čiary alebo oblasti pod daným mapovaním - priama úloha .
Druhým je nájsť funkciu, ktorá mapuje danú čiaru alebo oblasť na inú danú čiaru alebo oblasť - inverzný problém .
Pri riešení priameho problému sa berie do úvahy, že obraz bodu z 0 pri zobrazení w=f(z) je bod w 0, také že w 0 =f(z 0), teda výsledok suplovania z 0 palcov f(z). Preto, aby ste našli obrázok množiny, musíte vyriešiť systém pozostávajúci z dvoch vzťahov. Jeden z nich špecifikuje funkciu mapovania w=f(z), druhým je rovnica priamky, ak sa rieši problém nájdenia obrazu priamky, alebo nerovnosť, ktorá určuje množinu bodov predobrazu, ak sa rieši problém mapovania oblastí. V oboch prípadoch sa postup riešenia redukuje na elimináciu premennej z z dvoch daných pomerov.
Pravidlo 3.3. Na nájdenie obrazu priamky danej rovnicou F(X,r)=0 (alebo explicitne r=j(X)), pri zobrazovaní w=f(z) potrebné:
1. Vyberte reálnu a imaginárnu časť funkcie f(z): u= Re f(z), v= Im f(z).
2. Vylúčte zo systému X A u. Výsledný vzťah je rovnicou obrazu tejto priamky.
Pravidlo 3.4. Ak chcete nájsť obrázok daného riadku pri zobrazení w=f(z) potrebné:
1. Napíšte rovnicu priamky v parametrickom tvare z=z(t) alebo v komplexnej forme.
2. V závislosti od typu priamkovej rovnice zvážte zodpovedajúci prípad:
Ak je riadok zadaný v parametrickom tvare, nahraďte výraz z(t) V w=f(z);
Ak je riadok uvedený v zložitom tvare, potom vyjadrite z od w=f(z), teda a . Potom by ste mali nahradiť z a v rovnici priamky. Výsledný vzťah je rovnicou obrazu tejto priamky.
Pravidlo 3.5. Ak chcete nájsť obrázok danej oblasti, mali by ste použiť jednu z dvoch metód.
Prvý spôsob.
1. Napíšte rovnicu hranice tejto oblasti. Nájdite obrázok hranice danej oblasti pomocou pravidiel 3.3 alebo 3.4.
2. Vyberte ľubovoľný vnútorný bod danej oblasti a nájdite jeho obraz pod daným mapovaním. Oblasť, do ktorej patrí výsledný bod, je požadovaným obrazom danej oblasti.
Druhý spôsob.
1. Express z z pomeru w=f(z).
2. Nahraďte to, čo ste dostali v kroku 1. výraz v nerovnosti, ktorý definuje danú oblasť. Výsledný pomer je požadovaný obrázok.
Príklad. Nájdite obrázok kruhu | z|=1 pri zobrazení pomocou funkcie w=z 2 .
■ 1 spôsob(podľa pravidla 3.3).
1. Nechajte z=x+iy, w=u+iv. Potom u+iv =X 2 -r 2 +i 2xy. Dostaneme:
2. Vylúčme X A pri z týchto rovníc. Ak to chcete urobiť, utvorte druhú a druhú rovnicu na druhú a pridajte:
u 2 +v 2 =X 4 -2X 2 r 2 +r 4 +2X 2 r 2 =X 4 +2X 2 r 2 +r 4 =(X 2 +r 2) 2 .
Ak vezmeme do úvahy tretiu rovnicu systému, dostaneme: u 2 +v 2 = 1 alebo | w| 2 = 1, teda | w|=1. Takže, obraz kruhu | z|=1 je kruh | w|=1, priechodné dvakrát. Vyplýva to zo skutočnosti, že od r w=z 2 potom Arg w= 2 Arg z+2pk. Takže keď bod z opisuje úplný kruh | z|=1, potom jeho obrázok opisuje kruh | w|=1 dvakrát.
Metóda 2(podľa pravidla 3.4).
1. Napíšme rovnicu jednotkovej kružnice v parametrickom tvare: z=e to (0£ t 2 £ p).
2. Nahradíme z=e to v pomere w=z 2: w=e i 2 t=cos2 t+i hriech2 t. Preto | w| 2 = cos 2 2 t+ hriech 22 t=1, teda | w|=1 – obrazová rovnica. ■
Príklad. Nájdite rovnicu obrazu priamky y=x pri zobrazení w=z 3 .
■ Keďže krivka je daná explicitne, aplikujeme pravidlo 3.3.
1. w=z 3 =(X+iy) 3 =X 3 +3X 2 iy+3X(iy) 2 +(iy) 3 =X 3 - 3xy 2 +i(3X 2 y-y 3).
2. Vo výslednom systéme dosadíme y=x: Nepočítajúc X z týchto rovníc dostaneme v=-u.
Takže obraz osy súradnicových uhlov I a III systému xOy je osou súradnicových uhlov II a IV systému uOv. ■
1. Lineárna funkcia
Lineárna funkcia nazývaná funkcia formulára
w=az+b, (4.1)
Kde A, b- komplexné konštanty.
Táto funkcia je definovaná pomocou , . Preto, ak , potom lineárna funkcia vytvára konformné zobrazenie celej roviny komplexnej premennej. V tomto prípade sú dotyčnice všetkých kriviek otočené o rovnaký uhol Arg a a napätie vo všetkých bodoch je rovnaké. Ak a= 1, potom nedochádza k naťahovaniu ani otáčaniu. V tomto prípade dostaneme w=z+b. Toto zobrazenie posunie celú rovinu o vektor.
Vo všeobecnom prípade prechodom na exponenciálnu formu zápisu komplexného čísla získame. Preto je lineárne zobrazenie zložením troch geometrických transformácií:
w 1 =rz- podobnosť s koeficientom r=|a|;
w 2 =e i j w 1 =rze i j- otočiť pod uhlom j=arg a okolo bodu O;
w=w 2 +b=re i j z+b- paralelný prenos do vektora.
Preto mapovanie w=az+b zmení lineárne rozmery ľubovoľného rovinného útvaru v | a| raz otočí toto číslo o uhol j=arg a okolo počiatku a posunie ho v smere vektora o jeho hodnotu.
Lineárne zobrazenie má kruhovú vlastnosť, to znamená, že mapuje kruhy z- lietadlá v kruhu w-lietadlo (a naopak); prevádza priame čiary na priame čiary.
Príklad. Nájdite obrázok osi OU pri zobrazení w=2iz-3i.
■ 1 spôsob(podľa pravidla 3.4). Osovú rovnicu volíme v parametrickom tvare.
1. Keďže v reálnej podobe rovnica osi Oj: X=0, -¥<r<+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy, -¥<r<+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран pri.
2. Nahradíme z=iy do prejavu w=2iz-3i: w=-2r-3i, -¥<r<+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (pri- parameter). Po izolovaní reálnej a imaginárnej časti získame obrazovú rovnicu v reálnej podobe: u=-2r, v=-3 alebo v=-3, -¥<u<+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv rovnobežne so skutočnou osou.
Metóda 2. Využívame kruhovú vlastnosť lineárnej transformácie – obrazom priamky je priamka. Keďže priamka je definovaná zadaním dvoch bodov, stačí na osi OU vyberte ľubovoľné dva body a nájdite ich obrázky. Priamka prechádzajúca nájdenými bodmi bude požadovaná. Vyberme body z 1 =0, z 2 =i, ich obrázky w 1 =-3i, w 2 =-2-3i pri mapovaní ležia na čiare Im w= -3. Preto obraz os OU je priamka v=-3.
3 spôsob(geometrická). Zo vzťahu w=2iz-3i z toho vyplýva a=2i, b=-3i, |a|=2, . To znamená, že daná priamka (os OU) sa musí otočiť o uhol vzhľadom k počiatku a potom posunúť o 3 jednotky nadol. Dvojnásobné natiahnutie nezmení geometrický vzhľad pôvodnej čiary, pretože prechádza cez začiatok. ■
Príklad. Nájdite nejakú lineárnu funkciu predstavujúcu kruh | z-i|=1 na obvod | w- 3|=2.
■ Nastolený problém je inverzný problém teórie zobrazení - pri danom obrázku a predobraze nájdite zodpovedajúce zobrazenie. Bez dodatočných podmienok nemá problém jedinečné riešenie. Predstavme si geometrické riešenie.
1. Presuňte stred kruhu do počiatku. Na tento účel použijeme mapovanie w 1 =z-i.
2. V rovine w 1 aplikujme mapovanie, ktoré dáva 2-násobné natiahnutie, tzn w 2 =2w 1 .
3. Posuňte kruh o 3 jednotky doprava: w=w 2 + 3. Nakoniec dostaneme: w=2(z-i)+3, w= 2z+3-2i– požadovaná funkcia.
Môžete si zvoliť iné poradie vykonávania geometrických operácií – najskôr neposúvajte, ale otáčajte alebo naťahujte. ■
2. Zlomková lineárna funkcia
Zlomková lineárna nazývaná funkcia formulára
Kde a, b,c,d- komplexné čísla také, že , .
Vlastnosti zlomkovej lineárnej transformácie
1°Zhoda
Displej w=L(z) je konformný vo všetkých koncových bodoch komplexnej roviny okrem .
2° Kruhový majetok
Obraz priamky alebo kruhu v zlomkovom lineárnom zobrazení w=L(z) je priamka alebo kruh (a obrazom priamky môže byť kruh alebo priamka a obrazom kruhu môže byť priamka aj kruh). Je ľahké to zistiť pri zobrazovaní w=L(z) všetky priamky a kružnice prechádzajúce bodom idú do priamych rovín ( w) a všetky priame čiary alebo kružnice, ktoré neprechádzajú bodom d, - po obvode roviny ( w).
3°Invariantnosť dvojitého vzťahu
Vzťah je zachovaný pri zlomkovom lineárnom zobrazení, to znamená, že je jeho invariant. Tento vzťah sa nazýva dvojnásobný pomer štyroch bodov. Zlomková lineárna transformácia je teda jednoznačne určená špecifikovaním troch bodov a ich obrázkov: . Pomocou týchto párov môžete nájsť zlomkovú lineárnu funkciu pomocou vzorca:
Tento vzorec je možné použiť aj v prípade, že niektoré z čísel z k A týždeň premeniť na ¥, ak použijete pravidlo: rozdiel, v ktorom sa vyskytuje symbol ¥, by ste mali nahradiť 1.
4°Zachovanie symetrie
Ak body z 1 a z 2 sú symetrické okolo nejakej čiary alebo kruhu g potom pre akékoľvek zlomkové lineárne zobrazenie w=L(z) ich obrázky w 1 a w 2 bude symetrický vzhľadom k obrázku g: .
Symetria okolo priamky sa chápe v bežnom zmysle.
Body z A z* sa volajú symetrické okolo kruhu |z-z 0 |=R, ak ležia na tom istom lúči vychádzajúcom zo stredu kruhu a súčin ich vzdialeností od stredu kruhu sa rovná štvorcu jeho polomeru, tj.
|z-z 0 |×| z*-z 0 |=R 2 . (4.4)
Bod symetrický k bodu z 0 – stred kruhu je zjavne bod v nekonečne.
5°Princíp hraničného prechodu (zobrazenie oblastí ohraničených čiarami alebo kruhmi)
Ak je v zlomkovom lineárnom zobrazení priamka alebo kruh g sa zmení na priamku alebo kruh g¢, potom oblasť D, ktorá je obmedzená g, sa premení na jednu z dvoch oblastí, ktoré sú ohraničené o g¢. V tomto prípade prebieha princíp korešpondencie hraničného obchvatu: ak pri nejakom obchvate trate g regiónu D sa ukáže byť vľavo (vpravo), potom so zodpovedajúcim prechodom čiary g¢ regiónu D¢ by mal byť tiež vľavo (vpravo).
Príklad. Nájdite zlomkovú lineárnu funkciu w=L(z), také, že w(i)=2i, w(¥)=1, w(-1)=¥.
■ Označme z 1 =i, z 2 = ¥, z 3 = -1 a w 1 =2i, w 2 =1, w 3 = ¥. Použime vzorec (4.3), ktorý nahradí rozdiely obsahujúce z 2 a w 3 až ¥:
Poďme previesť: - w-wi+ 2ja- 2=wz-wi-z+i Û w(z+1)=z-2+iÛ je požadovaná funkcia. ■ :w = 1 a Im w=0.
2. Teraz v súlade s odsekom 2. Pravidlo 3.5, vyberte ľubovoľný bod, napr. z= -1 О D. Jeho obraz pod daným mapovaním je , ležiaci medzi čiarami Im w=1 a Im w=0. Preto bude obraz danej oblasti pásik 0< Imw<1. ■
3. Exponenciálna funkcia
Exponenciálna funkcia komplexnej premennejz=x+iy sa nazýva funkcia označená exp z(čítaj „exponent“ z") a definované vzorcom
Vlastnosti exp z
1° Ak , tak exp z=exp X=e x, t.j. na reálnej osi sa exponenciálna funkcia komplexnej premennej zhoduje s exponenciálnou funkciou reálnej premennej. Preto spolu so zápisom exp z p rovnobežne so skutočnou osou:
Ak napríklad , tak .
8° Exponenciálna funkcia je analytická na , (exp z)¢=exp z.
Príklad. Nájdite skutočnú, imaginárnu časť, modul a hlavnú hodnotu argumentu pre číslo e 2- i.
■ Používame definíciu exponenciálnej funkcie komplexnej premennej. Nechaj z=2-i, X= Re z=2, r= Im z=-1.
Potom . teda
Namiesto definície môžete použiť aj vetu o sčítaní a Eulerov vzorec (1.7). ■
Displejw =exp z
CONFORMAL MAPPING (konformná transformácia), mapovanie jednej oblasti (v rovine alebo v priestore) do inej oblasti so zachovaním uhlov medzi krivkami. Najjednoduchším príkladom konformného zobrazenia sú podobnostné transformácie a rotácie (ortogonálne transformácie).
Konformné mapovanie sa používa v kartografii, keď je potrebné zobraziť časť povrchu zemegule na rovine (mape) pri zachovaní hodnôt všetkých uhlov; príkladmi takýchto konformných zobrazení sú stereografická projekcia a Mercatorova projekcia (pozri Mapové projekcie). Osobitné miesto zaujímajú konformné zobrazenia niektorých oblastí roviny na iné; ich teória má významné uplatnenie v aero- a mechanike tekutín, elektrostatike a teórii pružnosti. Riešenie mnohých dôležitých problémov sa dá ľahko získať, keď oblasť, pre ktorú je problém položený, má pomerne jednoduchú formu (napríklad kruh alebo polrovinu). Ak je problém položený pre zložitejšiu doménu, potom sa ukáže, že stačí konformne namapovať najjednoduchšiu oblasť na danú, aby sa zo známeho riešenia získalo riešenie nového problému. Presne touto cestou sa uberal N. E. Žukovskij pri vytváraní teórie krídla lietadla.
Nie všetky oblasti roviny pripúšťajú navzájom konformné zobrazenia. Napríklad kruhový prstenec ohraničený sústrednými kruhmi nemožno konformne zmapovať na prstenec s iným pomerom polomerov. Akékoľvek dve oblasti, z ktorých každá je ohraničená len jednou krivkou (jednoducho spojené oblasti), však môžu byť na seba konformne mapované (Riemannova veta). Pokiaľ ide o oblasti ohraničené niekoľkými krivkami, takáto oblasť môže byť vždy konformne zmapovaná na oblasť ohraničenú rovnakým počtom paralelných priamych úsečiek (Hilbertova veta) alebo kružníc (Köbeho veta), ale veľkosti a vzájomné polohy týchto úsečiek alebo kruhy nie je možné nastaviť ľubovoľne .
Ak zavedieme komplexné premenné z a w do pôvodnej a obrazovej roviny, potom premenná w, uvažovaná v konformnom zobrazení ako funkcia z, je buď analytickou funkciou, alebo funkčne komplexne konjugovanou s analytickou. Naopak, každá funkcia, ktorá je analytická v danej doméne a nadobúda rôzne hodnoty v rôznych bodoch domény (taká funkcia sa nazýva univalentná), konformne mapuje túto doménu na inú doménu. Preto sa štúdium konformných zobrazení rovinných oblastí redukuje na štúdium univalentných analytických funkcií.
Akékoľvek konformné mapovanie trojrozmerných oblastí transformuje gule a roviny na sféry a roviny a redukuje sa buď na transformáciu podobnosti, alebo na jednu inverznú transformáciu a jednu transformáciu podobnosti vykonávanú postupne (Liouvilleova veta). Preto konformné zobrazenia trojrozmerných (a vo všeobecnosti viacrozmerných) oblastí nemajú taký veľký význam a také rôznorodé aplikácie ako konformné zobrazenia dvojrozmerných oblastí.
Začiatok teórie konformného zobrazovania položil L. Euler (1777), ktorý objavil súvislosť medzi funkciami komplexnej premennej a problémom konformného zobrazovania častí gule do roviny (na zostavovanie geografických máp). Štúdium všeobecného problému konformného mapovania jednej plochy na druhú priviedlo K. Gaussa (1822) k rozvoju všeobecnej teórie plôch. B. Riemann (1851) formuloval podmienky, za ktorých je možné konformné mapovanie jednej oblasti roviny na inú, ale ním načrtnutý prístup bol podložený až začiatkom 20. storočia (A. Poincaré a C. Carathéodory). Štúdie N. E. Zhukovského a S. A. Chaplygina, ktorí otvorili široké pole aplikácií konformného mapovania v aero- a hydromechanike, slúžili ako silný stimul pre rozvoj teórie konformného mapovania ako veľkého odvetvia teórie analytických funkcií.
Lit.: Goluzin G.M. Geometrická teória funkcií komplexnej premennej. 2. vyd. M., 1966; Markushevich A.I. Teória analytických funkcií. 2. vyd. M., 1968. T. 2; Lavrentyev M.A., Shabat B.V. Metódy teórie funkcií komplexnej premennej. 6. vyd. M., 2002.
Nech je jednohodnotová funkcia definovaná v určitej oblasti a body a nech patria do oblasti.
Definícia. Ak existuje konečná hranica pomeru, keď má podľa akéhokoľvek zákona tendenciu k nule, potom:
1) táto hranica sa nazýva derivácia funkcie v bode a je označený symbolom
2) v tomto prípade sa volá funkcia v bode rozlíšiteľné.
Všetky pravidlá a vzorce pre derivačné funkcie reálnej premennej zostávajú v platnosti pre funkcie komplexnej premennej.
Veta. Aby bola funkcia v bode diferencovateľná 
, je potrebné a postačujúce, aby:
1) reálne funkcie a boli diferencovateľné v bode *);
2) v tomto bode boli podmienky splnené
, (4.2)
volal Cauchy-Riemannove podmienky(C.-R.)alebo d'Alembert-Euler.
Ak sú splnené podmienky ( C.-R.) deriváciu funkcie možno nájsť pomocou jedného z nasledujúcich vzorcov:
Uveďme dve definície, ktoré majú zásadný význam v teórii funkcií komplexnej premennej.
Definícia.Funkcia volal analytické v teréne, ak je diferencovateľná v každom bode tejto oblasti.
Definícia.Funkcia volal analytické v bode, ak je analytický v niektorom okolí bodu, t.j. ak je funkcia diferencovateľná nielen v danom bode, ale aj v jeho okolí.
Z vyššie uvedených definícií je zrejmé, že pojmy analyticita a diferencovateľnosť funkcie v doméne sa zhodujú, ale analyticita funkcie v bode a diferencovateľnosť v bode sú odlišné pojmy. Ak je funkcia v určitom bode analytická, potom je tam určite diferencovateľná, ale opak nemusí byť pravdou. Funkcia môže byť diferencovateľná v bode, ale nemôže byť diferencovateľná v žiadnom susedstve tohto bodu, v takom prípade nebude v danom bode analytická.
Podmienkou, aby funkcia bola analytická v doméne, je, že Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené pre všetky body v tejto doméne.
Vzťah medzi analytickými funkciami a harmonickými. Môže ktorákoľvek funkcia dvoch premenných slúžiť ako reálna a imaginárna časť nejakej analytickej funkcie?
Ak je funkcia v doméne analytická, potom sú funkcie harmonické, to znamená, že spĺňajú Laplaceovu rovnicu.
A 
.
Ak sú však funkcie ľubovoľne zvolené harmonické funkcie, potom funkcia 
, všeobecne povedané, nebude analytický, t.j. podmienky pre ne nebudú vždy splnené.
Analytickú funkciu môžete zostaviť z jednej danej harmonickej funkcie (napr. 
), vyzdvihnutie ďalšieho 
tak, aby boli splnené podmienky. Podmienky (4.2) nám umožňujú určiť neznámu funkciu (napr. ) svojimi dvoma parciálnymi deriváciami alebo, čo je to isté, svojim celkovým diferenciálom. Nájsť harmonickú funkciu z jej diferenciálu je problém integrácie celkového diferenciálu funkcie dvoch premenných, známy z reálnej analýzy.
Geometrický význam modulu a argument derivácie. Nech je funkcia diferencovateľná v doméne a . Funkcia bude mapovať rovinný bod na rovinný bod, krivku prechádzajúcu bodom na krivku prechádzajúcu cez (obr. 4.1).
Derivačný modul 
je hranica pomeru nekonečnej vzdialenosti medzi mapovanými bodmi a k nekonečne malej vzdialenosti medzi ich prototypmi a . Preto možno veličinu považovať geometricky za koeficient roztiahnutia (if ) v bode pri mapovaní oblasti do oblasti, vykonávanej funkciou
 |  |
V každom bode v oblasti v každom smere bude koeficient napínania odlišný. Pre derivačný argument môžeme písať
kde a sú uhly a že vektory a tvoria so skutočnou osou (obr. 4.1). Nech uhly zvierajú dotyčnice ku krivke a v bodoch a so skutočnou osou. Potom pre , a , teda 
definuje uhol, o ktorý sa musí otočiť dotyčnica ku krivke v bode, aby sa získal smer k dotyčnici ku krivke v bode.
Ak vezmeme do úvahy dve krivky a , a , potom uhly a (obr. 4.1) medzi ich dotyčnicami sú vo všeobecnosti nerovnaké.
Definícia. Mapovanie domény na doménu, ktorá má vlastnosti konštantných dilatácií () v akomkoľvek smere a zachovanie (alebo konzervativizmus) uhlov medzi dvoma krivkami pretínajúcimi sa v bode, sa nazýva konformný(podobne v malom). Mapovanie uskutočnené analytickou funkciou je konformné vo všetkých bodoch, v ktorých .
CVIČENIA
55. Ukážte, že funkcia je diferencovateľná a analytická v celej komplexnej rovine. Vypočítajte jeho deriváciu.
Riešenie. Poďme nájsť a. Podľa definície máme . teda 
.
, 
,
Kde 
, 
.
Ako je možné vidieť, parciálne derivácie sú spojité v celej rovine a funkcie a sú diferencovateľné v každom bode roviny. Podmienky sú splnené. V dôsledku toho je diferencovateľný v každom bode roviny, a preto je analytický v celej rovine. Preto možno derivát nájsť pomocou jedného zo vzorcov (4.3):
Nakoniec deriváciu možno nájsť pomocou pravidiel formálnej diferenciácie: .
56. Zistite, či je funkcia analytická:
Riešenie. a) Odkiaľ teda, odkiaľ 
. Ako je možné vidieť, prvá podmienka (4.2) nie je splnená pre žiadne a . V dôsledku toho funkcia nie je diferencovateľná v žiadnom bode v rovine, a preto nie je analytická.
b) Máme. Funkcia 
A 
sú diferencovateľné v každom bode roviny, pretože ich parciálne derivácie sú spojité v celej rovine. Ale podmienky nie sú splnené v žiadnom bode v rovine, okrem bodu, kde sú všetky parciálne derivácie rovné nule. V dôsledku toho je funkcia diferencovateľná iba v jednom bode, ale nie je tam analytická, pretože podľa definície vyžaduje diferenciovateľnosť v blízkosti tohto bodu.
Funkcia teda nie je analytická pre žiadnu hodnotu. Z vyššie uvedeného príkladu je jasné, že analyticita funkcie v bode je silnejšou požiadavkou ako jej diferencovateľnosť v tomto bode.
57. Existuje analytická funkcia, pre ktorú? 
?
Riešenie. Skontrolujeme, či je funkcia 
harmonický. Na tento účel nájdeme
A 
. Z posledného vzťahu vyplýva, že nemôže byť reálnou, ani imaginárnou súčasťou analytickej funkcie.
58. Nájdite, ak je to možné, analytickú funkciu z jej reálnej časti 
.
Riešenie. Najprv skontrolujte, či je funkcia 
harmonický. Nájdeme,, 
, 
A 
. Funkcia, ktorá je harmonická v celej rovine, je spojená s Cauchy-Riemannovými podmienkami, . Z týchto podmienok získame, 
. Z prvej rovnice systému ju nájdeme integráciou cez , za predpokladu konštanty.
kde sa má určiť ľubovoľná funkcia. Poďme to odtiaľto nájsť 
a prirovnať ho k predtým nájdenému výrazu: . Získame diferenciálnu rovnicu na určenie funkcie 
, kde
Takže, . Potom, t.j. v tomto bode dochádza k rotácii o uhol a zvieraniu uhla medzi sebou, sú zobrazené v lúčoch a zvierajú medzi sebou uhol 
. Preto je v určitom bode narušená konformita mapovania v dôsledku skutočnosti, že je narušená vlastnosť uhlového konzervativizmu: uhly nie sú zachované, ale sú strojnásobené.
Elektródové systémy s komplexnými dvojrozmernými elektrostatickými poľami možno vypočítať pomocou metódy konformného mapovania. Hlavnou myšlienkou tejto metódy je nahradiť zložité polia jednoduchými poľami, pre ktoré sú známe riešenia. Takéto jednoduché polia zahŕňajú polia plochého alebo valcového kondenzátora od ich okrajov. Metóda konformných zobrazení je praktickou aplikáciou teórie funkcií komplexnej premennej. Konformné mapovanie je spojité mapovanie, ktoré zachováva tvar infinitezimálnych (nekonečne malých) obrazcov. Pre konformné zobrazenie je splnená vlastnosť stálosti uhlov a stálosti rozšírení. Názov pochádza z neskorej latinčiny - conformis– podobné súvislé mapovanie, ktoré zachováva tvar nekonečne malých útvarov: napríklad b.m. kruh zostáva b.m. všade okolo; uhly medzi čiarami v bode ich vzájomného priesečníka sa nemenia. Oblasťou použitia metódy konformného mapovania na výpočet elektrických polí sú dvojrozmerné elektrostatické polia.
Konformná transformácia mapuje každý bod z=X+j×y skutočné výpočtové pole opísané zložitou rovinou do bodu w=u+j×vďalšia komplexná rovina s jednoduchšou konfiguráciou poľa. Hlavnou ťažkosťou metódy je nájdenie typu funkcie pre daný skutočný elektródový systém. V praxi, keď sa snažia nájsť funkciu konformného mapovania, používajú buď špeciálne katalógy konformných zobrazení, alebo ju hľadajú postupnými pokusmi.
Predpokladajme, že poznáme formu nejakej transformácie z=f(w) alebo spätná konverzia w=f(z), ktorý stanovuje korešpondenciu jedna ku jednej medzi dvoma komplexnými rovinami s komplexným ( z) a jednoduché ( w) konfigurácia poľa. Konverzným faktorom je pomer dw/dz.
Používajú sa tu nasledujúce vzťahy:
, 
. (2.94)
Podobne môžeme napísať:
. (2.95)
Dve komplexné čísla sú rovnaké, ak sú ich skutočné a imaginárne časti rovnaké. Porovnaním hodnôt konverzného koeficientu uvedených vo výrazoch (2,93) a (2,95) môžeme napísať:
Výrazy (2.96) sú známe ako Cauchyho-Riemannove podmienky. Použitím rôznych foriem reprezentácie komplexných čísel možno prevodný koeficient zapísať ako:
Kde 
je koeficient zmeny dĺžky segmentov počas transformácie a tg(j) = b/a(j je uhol natočenia segmentov počas transformácie). Z Cauchy-Riemannových vzťahov získame:
(2.99)
Zo vzťahov (2,97) – (2,98) vyplýva, že koeficient konformnej transformácie M je relatívna intenzita elektrického poľa a každá z funkcií u A v možno vybrať ako potenciál v novej komplexnej rovine w=f(u,v). Tento záver možno overiť aj iným spôsobom. Ak funkcie u A v možno vybrať ako potenciál, potom každý z nich musí spĺňať Laplaceovu rovnicu: D u=0 a D v=0. Dá sa to overiť priamou opätovnou diferenciáciou Cauchy-Riemannových podmienok. Rozlišujme prvú podmienku vzhľadom na X, a ten druhý pri; zrátajte výsledok; Presuňme všetky významné derivácie na ľavú stranu notácie a nulu necháme na pravej:
; ; . (2.100)
Z výsledného výrazu vyplýva, že funkcia u spĺňa Laplaceovu rovnicu (1.25), (1.30) a možno ju brať ako potenciál. Rozlišujme 1. podmienku vzhľadom na pri, a 2. - tým X:
; ; , (2.101)
tie. a funkciu v spĺňa aj Laplaceovu rovnicu a možno ju brať aj ako potenciálnu. Keďže siločiary a ekvipotenciálne čiary na rovine z=f(x,y) sú vzájomne kolmé a konformná transformácia ponechá nezmenené uhly medzi priamkami v bode ich priesečníka, potom z (2.97) ¸ (2.101) vyplýva, že ak funkcia u braný napríklad ako potenciál, potom línia s v=const – je siločiara. Ak v– teda potenciál u=konšt – elektrické vedenie. Ktorá z funkcií u alebo v je potenciál, a ktorý je siločiarou, by sa mal určiť z analýzy konformnej transformácie poľa na pôvodnej rovine z=f(x,y) v poli na rovine w=f(u,v). Akákoľvek funkcia z=f(w)(alebo w=f(z)) nám dáva riešenie akéhokoľvek problému v elektrostatike. Môžete prísť s ľubovoľnou funkciou, nájsť pre ňu riešenia a potom vybrať vhodný systém elektród pre nájdené riešenia. Mnoho riešení elektrostatických problémov sa našlo pomocou tejto metódy (spätne).
Pri zisťovaní intenzity elektrického poľa pomocou metódy konformného mapovania je potrebné vziať do úvahy nasledujúcu dôležitú okolnosť. Vzor elektrického poľa je úplne určený geometrickými parametrami systému elektród, bez ohľadu na priestorovú mierku a použité napätie. Preto môže byť pole opísané intenzitou na jednotku napätia alebo dĺžky. Výrazy (2.97)-(2.98) predstavujú práve takéto relatívne napätie. Na získanie skutočného napätia je potrebné vziať do úvahy skutočné aplikované napätie a skutočnú vzdialenosť medzi elektródami. To sa dosiahne vynásobením výrazov (2,97)-(2,98) koeficientom mierky K m. Nechajte vzdialenosť medzi elektródami v rovine w rovná sa u 2 -u 1 (v 2 -v 1), ak funkcie u alebo v, resp. Potom má mierkový faktor tvar:
K m= U/(u 2 -u 1) alebo K m= U/(v 2 -v 1). (2.102)
Cylindrický kondenzátor. Aj keď je výpočet elektrostatického poľa valcového kondenzátora uvedený v §2.5, považujeme ho za príklad aplikácie metódy konformného mapovania. Pole cylindrického kondenzátora (pole dvoch sústredných kružníc) v rovine xy môže byť mapované na rovnomerné pole (pole paralelného kondenzátora) nasledujúcou transformáciou:
z = e w; x + j × y = e u+jv = EÚ(Cos v+j× Hriech v).
Oddeľme skutočnú a imaginárnu časť:
Priamka na skutočnej rovine z, prechádzajúci počiatkom s uhlom sklonu k osi X rovný v=const sa stáva priamkou na rovine w rovnobežne s osou x.
O u= konšt. na rovine w získa sa systém priamych čiar rovnobežných s osou ordinátov. Na povrchu z zodpovedajú sústave sústredných kruhov. Je zrejmé, že linky s u= const by sa malo brať ako potenciálne čiary a v- mimo siločiar. Napätie vypočítame pomocou vzorca (2.97):
Dĺžka malého segmentu, ktorý sa prevádza pri prenose z roviny z do lietadla w mení sa na 1/ rčasy kde r– vzdialenosť od stredu kruhov. Čím ďalej od stredu, tým menší je koeficient zmeny dĺžok segmentov. Prenesený segment je otočený o uhol j = arctg(- y/x). Uhol medzi lúčom vychádzajúcim z počiatku do stredu konvertovaného segmentu a osou X sa rovná nule. Všetky rádiusy zapnuté z- lietadlá sa menia na w- roviny v priamke rovnobežnej s osou u. Mierka
Napätie
(2.103)
Výsledný vzorec (2.103) sa zhoduje, ako by sa dalo očakávať vďaka teorému jedinečnosti, s výrazom (2.18) získaným pomocou Ostrogradského-Gaussovej vety.
Pole vo vnútri pravého uhla tvoreného dvoma rovinami
Ako ďalší príklad aplikácie metódy konformných zobrazení uvažujme pole tvorené dvoma nekonečnými vodivými navzájom kolmými rovinami. Je zrejmé, že takýto elektródový systém má translačnú symetriu s nekonečne malým krokom translácie pozdĺž rovín a rovinu symetrie prechádzajúcu pod uhlom 45° ku každej z rovín. Takéto pole sa redukuje na dvojrozmerné pole a na určenie jeho parametrov stačí vypočítať charakteristiky poľa medzi jednou z rovín a rovinou symetrie. Pre dvojrozmerné polia možno použiť metódu konformného mapovania. Pole v z– rovina kolmá na priesečník nabitých rovín, znázornená na obr. 2.20a. Za nápravami X A pri priesečníky nabitých rovín s z- plochý. Pole vo vnútri pravého uhla vytvoreného dvoma rovinami sa transformáciou premení na rovnomerné pole w = z 2. Ukážme si toto:
w= u+jv = z 2 = (X+jy) 2 = X 2 + j 2xy – r 2 ; u = X 2 – r 2 ; v = + j 2xy.
O u= konštantné čiary rovnobežné s osou v na povrchu w, sú transformované do rodiny rovnostranných hyperbol X 2 – r 2 = A 2 v lietadle z. Os 0 X je skutočná (ohnisková) os hyperbol a os pri jeho pomyselnú os. Priamka prechádzajúca počiatkom pod uhlom 45° k osi X (u = 0; r = X), predstavuje priesečník z– rovina s rovinou symetrie a je asymptotou hyperbol. Uhol priesečníka hyperbol s osou X rovný 90°, t.j. funkčné línie u=X 2 -pri 2 kolmo na ekvipotenciálnu čiaru X(povrch nabitej roviny X).
Funkcie v = 2xy pri rôznych hodnotách v opísať ďalšiu rodinu rovnostranných hyperbol, ktorých osi X A pri sú asymptoty a čiara pri = X je ohnisková os. Obrázok 2.20a ukazuje hyperboly s v= 4, 16, 36. Kedy v= 0 hyperbola degeneruje v súradnicovej osi X A pri, ktoré sa zhodujú s nabitými rovinami. Keďže povrch nabitých rovín je povrchom s rovnakým potenciálom, je zrejmé, že ide o funkciu v treba brať ako potenciálnu funkciu v rovine w. V tomto prípade funkcia u predstavuje silovú funkciu. Pole dvoch nekonečných vzájomne kolmých rovín (os X A pri na z– rovina) sa zmení na rovnomerné pole nekonečnej nabitej roviny (os v na w– lietadlá).
Konformná transformácia pri zachovaní tvaru nekonečne malých útvarov môže výrazne zmeniť tvar konečných útvarov. Príkladom takejto zmeny je premena štvorca a B C d so súradnicami A(0,8;0,8), b(0,8;4), c(4;4), d(4;0,8) na z- roviny do krivočiareho štvoruholníka a¢b¢c¢d¢ so súradnicami a¢(0;1,28), b¢(-15,36;6,4), c¢(0;32), d¢(15,36; 6,4) na w- lietadlá.
Určme relatívnu silu elektrostatického poľa nabitých rovín na obr. 2.20a. Z dvoch vzorcov (2.97) a (2.98) použijeme (2.98) na určenie napätia, keďže ide o funkciu v = 2xy popisuje sústavu ekvipotenciálnych plôch (čiar). Lineárny konverzný faktor:
, (2.104)
Dĺžka konvertovaného malého segmentu pri prenose z z- lietadlá na w- rovina sa zvýši o 2 rčasy kde r=X 2 +pri 2 – vzdialenosť pri z- rovina od začiatku po stred segmentu. Prenesený segment je otočený o uhol j = arctan( y/x). Medzi lúčom idúcim od začiatku do stredu segmentu a osou je zdvojnásobenie uhla X. Mierka K m = U/(v 2 -v 1) = U/(2X 2 r 2 -2X 1 r 1). Intenzita poľa sa určí vynásobením relatívnej intenzity mierkovým faktorom: E=E¢×K m. Nech je mierkový faktor K m= 100 v/m. Určme intenzitu poľa v dvoch bodoch nabitej roviny: bližšie k uhlu priesečníka rovín n 1(1;0) a vzdialené od neho n 2 (5;0).
V/m, xv/m.
Čím bližšie k rohu, tým nižšia je intenzita poľa. Tento výsledok možno očakávať z obrázku poľa na Obr. 2.20: vzdialenosť medzi ekvipotenciálnymi čiarami sa zmenšuje so vzdialenosťou od rohu. Akákoľvek priehlbina (preliačina, priehlbina, kaverna, prasklina atď.) na povrchu elektródy môže byť približne opísaná uvažovaným problémom. Potom, berúc do úvahy výsledky predchádzajúceho odseku, môžeme dospieť k záveru: v blízkosti hrotu alebo výčnelku sa intenzita elektrického poľa zvyšuje a v blízkosti priehlbiny alebo otvoru sa oslabuje. Podobný obrázok na Obr. 2.20a správania sa sily a ekvipotenciálnych čiar je pozorovaný v blízkosti bodu rozvetvenia poľa z dvoch nábojov rovnakého mena (§2.11).
Pole na okraji plochého kondenzátora (profil Rogowski)
Počiatok súradníc umiestnime na z- roviny tak, že os X bola rovnobežná s rovinami dosiek kondenzátora a bola od nich v rovnakej vzdialenosti a. Os pri kolmo na dosky a prechádza cez ich okraje. Funkciu mapovania poľa na okraji plochého kondenzátora do rovnomerného poľa získal Yu.K. Maxwell v roku 1881 v tvare:
. (2.105)
Po oddelení premenných dostaneme:
O v I= 0, r = 0, 
. O v II= p, r= a, 
.
Je zrejmé, že potenciálna funkcia by mala byť zvolená ako v.
, 
Zvažujem to K m=U/(v II -v I) = U/str
(2.106)
O u < -5 в области от v I= 0 až v II=p, získa sa takmer rovnomerné pole so silou U/a. O u®0 napätie na elektróde ( v=v II = p)silne narastá a smeruje k nekonečnu ako u=0. Najvyššie napätie v reálnych systémoch nezmizne:
. (2.107)
Pri konečnej hrúbke dosky kondenzátora v¹p a napätie zostáva konečné. Veľkosť v by mala byť zvolená tak, aby sa ekvipotenciálna plocha zhodovala so skutočným povrchom dosky kondenzátora. Nechaj v= 174° = 29p/30, potom pomer napätia na okraji elektródy k priemernému napätiu:
.
Je vidieť, že aj pri dosť tupej hrane sa napätie prudko zvyšuje. Tento pomer sa môže priblížiť k jednotke, ak je povrch elektródy vyrobený vo forme ekvipotenciálneho povrchu s v£ p/2. Tento profil elektródy sa nazýva Rogowského profil (obr. 2.21c). Na diaľku A= p (vzdialenosť medzi doskami je 2p) má súradnicu v= p/2 a za to X = u+1; r= p/2+ EÚ, t.j. pri= p/2+ e (X-1) (2.108)
Rogowského profil má veľký praktický význam pri experimentoch s rozpadom v poli blízkom rovnomernému, aby sa eliminoval okrajový efekt. V strede zariadenia s Rogowského elektródami je rovnomerné pole.
Pole delených drôtov.
Vo vysokonapäťových elektrických vedeniach je fázový vodič rozdelený na niekoľko vodičov, aby sa znížili straty prenášaného výkonu v dôsledku korónového výboja. Na opis rozdeleného poľa
drôty môžete použiť funkciu zobrazenia, kde n –
počet jednotlivých vodičov, na ktoré je fázový vodič rozdelený. Na ilustráciu metódy konformného mapovania zvážte rozdelenie na dva vodiče ( n=2). (Upozorňujeme, že tento prípad možno vyriešiť celkom jednoducho pomocou obrázkovej metódy)
Nechajte lietadlo z kolmo na rozdelené drôty. Vyberme si os X na z rovine tak, aby prechádzala osami drôtov. Nechajte os r prechádza stredom segmentu medzi drôtmi. Riešenie sa výrazne zjednoduší, ak nájdeme nefunkcie x, y=f(u,v) a funkcie u,v = f(x,y). Oddelením skutočných a imaginárnych častí dostaneme:
, 
Ekvipotenciálne čiary zodpovedajú funkcii u. K funkcii u bol rovný nule, logaritmus sa musí rovnať nule a výraz v hranatých zátvorkách musí byť rovný 1. Potom platí vzťah:
(X 2 +pri 2) 2 = 2A 2 (X 2 -pri 2)
Táto funkcia prechádza cez pôvod z- lietadlá. O u v rozmedzí -1,28< u < 0 на z- rovina, napravo a naľavo od osi sa pozorujú kruhové oblasti pri. O u£ -1,28 sú prakticky body so súradnicami X = -A A X = A. O u> 0 riešení sú uzavreté krivky, ktoré s rastúcou u blížiace sa tvaru kruhov. Tieto krivky predstavujú potenciálne siločiary dvoch valcov s nábojmi rovnakého znamienka, t.j. polia dvoch vodičov s rovnakým potenciálom. Body na povrchu drôtov sú najviac zaujímavé R 2 a R 1, v ktorom sú pozorované najvyššie a najnižšie intenzity poľa. Bodka R 2 sa nachádza na povrchu drôtu v bode najviac vzdialenom od druhého drôtu a má súradnice:
, 
Ak vezmeme do úvahy mierkový faktor pre bod p 2, dostaneme:
. (2.109)
Pri s®0 sa elektródový systém zmení na systém dvoch koaxiálnych valcov ( b=0, s=0) (pozri (2.18)):
Typicky pre elektrické vedenie p ³ 200.
Samotestovacie otázky
1. Uveďte základné Laplaceove rovnice v priestore, homogénne a planparalelné pole.
2. Uveďte vzorce na výpočet potenciálu a intenzity poľa bodového náboja. Určte kapacitu jednej kovovej gule.
3. Uveďte vzorce na výpočet potenciálu a intenzity poľa jedného nekonečne tenkého rovného drôtu nekonečnej dĺžky.
4. Kde sú oblasti s maximálnou intenzitou poľa koaxiálneho kábla. Nájdite optimálny priemer vnútorného jadra pre danú veľkosť vonkajšieho obalu a potenciálny rozdiel medzi nimi. Určte lineárnu kapacitu koaxiálneho kábla.
5. Prečo sa káble vyrábajú s izoláciou z rôznych druhov dielektrík?
6. Vysvetlite konštrukciu vstupu kondenzátora a jeho účel.
7. Čo je to metóda prekrytia a čo je čiastočná kapacita?
8. Čo je to elektrický dipól, aké sú charakteristiky dipólového poľa? Na vysvetlenie, aké javy sa používa pojem dipól?
9. Aké sú podobnosti a rozdiely medzi poľami dvoch podobných a rozdielnych poplatkov?
10. Graficky znázornite pole dvoch opačne nabitých nekonečných osí. Uveďte vzorce na výpočet takéhoto systému a označte body s maximálnou intenzitou poľa.
11. Čo je to metóda odrazu? Vysvetlite podstatu metódy na príklade výpočtu parametrov poľa jedného drôtu nad zemou.
12. Uveďte metódu výpočtu parametrov poľa bodového náboja nachádzajúceho sa v blízkosti kovovej gule.
13. Určte intenzitu elektrického poľa na povrchu jedného drôtu umiestneného nad zemou.
14. Ako určiť parametre poľa trojfázového vedenia?
15. Určte maximálne napätie guľôčkovej medzery.
16. Uveďte metódu na zistenie parametrov poľa vytvoreného vodičom konečnej dĺžky.
17. Uveďte metódu na zistenie parametrov poľa vytvoreného prstencovým nábojom.
18. Uveďte metódu na zistenie parametrov poľa vytvoreného nabitým diskom.
19. Ako závisia parametre poľa od polomeru zakrivenia povrchu elektródy? Prečo by mali byť povrchy vysokonapäťových elektród vyhladené a brúsené?
20. Vysvetlite podstatu metódy konformného mapovania a uveďte postupnosť výpočtov pomocou tejto metódy.
21. Čo je profil Rogowského?
22. Ako vzniká priestorový náboj a ako mení charakteristiku elektrického poľa?
23. Ktorá z charakteristík elektrického poľa je analógom energie?
24. Ktorá z charakteristík elektrického poľa je obdobou sily?
25. Na aký účel je vodič jednej fázy rozdelený na niekoľko paralelných vodičov na elektrických vedeniach s menovitým napätím 330 kV a vyšším? Označte body s maximálnym napätím na delených drôtoch. Aké sú vzdialenosti medzi delenými vodičmi?
26. Kde je intenzita elektrického poľa pri povrchu zeme vyššia: v priehlbine (diera, roklina) alebo na vyvýšenine (kopec, kopca)? Svoju odpoveď vysvetlite graficky a pomocou výpočtov.
27. Ako sa mení intenzita elektrického poľa na úrovni zeme pod jednokruhovým elektrickým vedením s horizontálnymi fázovými vodičmi?
28. Uveďte algoritmus na výpočet uzemňovacej kapacity trojfázového nadzemného vedenia.
29. Na aký účel sa inštalujú kruhové clony na vysokonapäťové zariadenia?
30. Odvoďte vzorce na výpočet parametrov valcového kondenzátora.
