Ako si zapamätať vzorce na redukciu goniometrických funkcií? Je to jednoduché, ak použijete asociáciu.Túto asociáciu som nevymyslel ja. Ako už bolo spomenuté, dobrá asociácia by mala „chytiť“, to znamená vyvolať živé emócie. Emócie vyvolané touto asociáciou nemôžem nazvať pozitívnymi. Ale dáva výsledok - umožňuje vám zapamätať si redukčné vzorce, čo znamená, že má právo na existenciu. Koniec koncov, ak sa vám to nepáči, nemusíte to používať, nie?
Redukčné vzorce majú tvar: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Pamätajte, že +α dáva pohyb proti smeru hodinových ručičiek, - α dáva pohyb v smere hodinových ručičiek.
Na prácu s redukčnými vzorcami potrebujete dva body:
1) dajte znamienko, ktoré má začiatočná funkcia (v učebniciach píšu: redukovateľná. Ale aby ste sa neplietli, je lepšie nazvať ju začiatočnou), ak za uhol prvej štvrtiny považujeme α, tzn. , malý.
2) Horizontálny priemer - π±α, 2π±α, 3π±α... - vo všeobecnosti, keď nie je zlomok, názov funkcie sa nemení. Vertikálne π/2±α, 3π/2±α, 5π/2±α... - pri zlomku sa mení názov funkcie: sínus - na kosínus, kosínus - na sínus, dotyčnica - na kotangens a kotangens — k dotyčnici. 
Teraz vlastne asociácia:
vertikálny priemer (je tam zlomok) -
stáť opitý. Čo sa s ním stane skôr?
alebo uz je neskoro? Presne tak, padne.
Názov funkcie sa zmení.
Ak je priemer vodorovný, pijan už leží. Pravdepodobne spí. Nič sa mu nestane, už zaujal vodorovnú polohu. V súlade s tým sa názov funkcie nemení.
Teda sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α) atď. dať ±cosα,
a sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … - ±sinα.
Už vieme ako.
Ako to funguje? Pozrime sa na príklady.
1) cos(π/2+α)=?
Stávame sa π/2. Keďže +α znamená, že ideme dopredu, proti smeru hodinových ručičiek. Ocitáme sa v druhej štvrtine, kde má kosínus znamienko „-“. Názov funkcie sa mení („opitý stojí“, čo znamená, že spadne). takže,
cos(π/2+α)=-sin α.
Poďme na 2π. Keďže -α - ideme dozadu, teda v smere hodinových ručičiek. Ocitáme sa v IV štvrtine, kde má dotyčnica znamienko „-“. Názov funkcie sa nemení (priemer je vodorovný, „opilec už leží“). Teda tan(2π-α)=- tanα.
3) ctg²(3π/2-α)=?
Príklady, v ktorých je funkcia zvýšená na párnu mocninu, sú ešte jednoduchšie na riešenie. Párny stupeň „-“ ho odstráni, to znamená, že stačí zistiť, či sa názov funkcie zmení alebo zostane. Priemer je vertikálny (je tam zlomok, „stojí opitý“, spadne), názov funkcie sa zmení. Získame: ctg²(3π/2-α)= tan²α.
A ešte jedna úloha B11 na tú istú tému – zo skutočnej Jednotnej štátnej skúšky z matematiky.
Úloha. Nájdite význam výrazu:
V tomto krátkom videonávode sa naučíme, ako aplikovať redukčné vzorce za riešenie reálnych úloh B11 z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Ako vidíte, máme dva trigonometrické výrazy, z ktorých každý obsahuje sínusy a kosínusy, ako aj dosť brutálne číselné argumenty.
Pred riešením týchto problémov si pripomeňme, čo sú redukčné vzorce. Takže, ak máme výrazy ako:
Potom sa prvého člena (tvaru k · π/2) môžeme zbaviť podľa špeciálnych pravidiel. Narysujme si trigonometrickú kružnicu a označme na nej hlavné body: 0, π/2; π; 3π/2 a 2π. Potom sa pozrieme na prvý člen pod znamienkom goniometrickej funkcie. Máme:
- Ak člen, ktorý nás zaujíma, leží na zvislej osi trigonometrickej kružnice (napríklad: 3π/2; π/2 atď.), potom je pôvodná funkcia nahradená kofunkciou: sínus je nahradený kosínusom, a kosínus, naopak, sínusom.
- Ak náš člen leží na vodorovnej osi, potom sa pôvodná funkcia nemení. Jednoducho odstránime prvý výraz vo výraze a je to.
Získame tak goniometrickú funkciu, ktorá neobsahuje členy tvaru k · π/2. Tým sa však práca s redukčnými vzorcami nekončí. Faktom je, že naša nová funkcia získaná po „vyradení“ prvého termínu môže mať pred sebou znamienko plus alebo mínus. Ako identifikovať toto znamenie? Teraz to zistíme.
Predstavme si, že uhol α zostávajúci vo vnútri goniometrickej funkcie po transformáciách má veľmi malú mieru. Čo však znamená „malá miera“? Povedzme α ∈ (0; 30°) - to je celkom dosť. Zoberme si príklad funkcie:
Potom, podľa našich predpokladov, že α ∈ (0; 30°) dospejeme k záveru, že uhol 3π/2 − α leží v tretej súradnicovej štvrtine, t.j. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Pamätajme na znak pôvodnej funkcie, t.j. y = sin x na tomto intervale. Je zrejmé, že sínus v tretej súradnicovej štvrtine je záporný, pretože podľa definície je sínus ordinátou konca pohyblivého polomeru (v skratke, sínus je súradnica y). Súradnica y v dolnej polrovine má vždy záporné hodnoty. To znamená, že v treťom štvrťroku je y tiež záporné.
Na základe týchto úvah môžeme zapísať konečný výraz:
Problém B11 - Možnosť 1
Tieto isté techniky sú celkom vhodné na riešenie problému B11 z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Jediný rozdiel je v tom, že v mnohých reálnych úlohách B11 sa namiesto radiánovej miery (t.j. čísla π, π/2, 2π atď.) používa miera stupňov (t.j. 90°, 180°, 270° atď.). Pozrime sa na prvú úlohu:
Najprv sa pozrime na čitateľa. cos 41° je netabuľková hodnota, takže s tým nemôžeme nič robiť. Zatiaľ to nechajme tak.
Teraz sa pozrime na menovateľa:
sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°
Je zrejmé, že ide o redukčný vzorec, takže sínus je nahradený kosínusom. Okrem toho na segmente leží uhol 41° (0°; 90°), t.j. v prvom súradnicovom kvadrante - presne tak, ako je to potrebné na použitie redukčných vzorcov. Ale potom je 90° + 41° druhá súradnicová štvrtina. Pôvodná funkcia y = sin x je tam kladná, takže v poslednom kroku dáme pred kosínus znamienko plus (inými slovami, nevložili sme nič).
Zostáva sa zaoberať posledným prvkom:
cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5
Tu vidíme, že 180° je horizontálna os. V dôsledku toho sa samotná funkcia nezmení: bol tam kosínus - a kosínus tiež zostane. Opäť sa však vynára otázka: objaví sa plus alebo mínus pred výsledným výrazom cos 60°? Všimnite si, že 180° je tretia súradnicová štvrtina. Kosínus je tam záporný, preto bude mať nakoniec pred ním znamienko mínus. Celkovo dostaneme konštrukciu −cos 60° = −0,5 - to je tabuľková hodnota, takže všetko sa dá ľahko vypočítať.
Teraz dosadíme výsledné čísla do pôvodného vzorca a dostaneme:
Ako vidíte, číslo cos 41° v čitateli a menovateli zlomku sa ľahko zníži a zostane obvyklý výraz, ktorý sa rovná −10. V tomto prípade môže byť mínus buď vyňaté a umiestnené pred zlomkom, alebo „ponechané“ vedľa druhého faktora až do posledného kroku výpočtov. V každom prípade bude odpoveď -10. To je všetko, problém B11 je vyriešený!
Problém B14 - možnosť 2
Prejdime k druhej úlohe. Opäť máme pred sebou zlomok:
No, 27° leží v prvej súradnicovej štvrti, takže tu nič nezmeníme. Ale hriech 117° treba napísať (zatiaľ bez štvorčeka):
sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°
Samozrejme, opäť pred nami redukčný vzorec: 90° je vertikálna os, preto sa sínus zmení na kosínus. Okrem toho uhol α = 117° = 90° + 27° leží v druhom súradnicovom kvadrante. Pôvodná funkcia y = sin x je tam kladná, preto je po všetkých transformáciách stále znamienko plus pred kosínusom. Inými slovami, nič sa tam nepridáva - necháme to tak: cos 27°.
Vrátime sa k pôvodnému výrazu, ktorý je potrebné vypočítať:
Ako vidíme, po transformáciách vznikla hlavná goniometrická identita v menovateli: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Spolu −4: 1 = −4 - tak sme našli odpoveď na druhú úlohu B11.
Ako vidíte, pomocou redukčných vzorcov sa takéto problémy z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky riešia doslova v niekoľkých riadkoch. Žiadny sínus súčtu a kosínus rozdielu. Všetko, čo si musíme zapamätať, je len trigonometrický kruh.
Tento článok je venovaný podrobnému štúdiu trigonometrických redukčných vzorcov. Uvádza sa úplný zoznam redukčných vzorcov, príklady ich použitia a dôkaz o správnosti vzorcov. Článok tiež poskytuje mnemotechnické pravidlo, ktoré vám umožňuje odvodiť redukčné vzorce bez toho, aby ste si každý vzorec zapamätali.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Redukčné vzorce. Zoznam
Redukčné vzorce umožňujú zredukovať základné goniometrické funkcie uhlov ľubovoľnej veľkosti na funkcie uhlov ležiacich v rozsahu od 0 do 90 stupňov (od 0 do π 2 radiány). Operácia s uhlami od 0 do 90 stupňov je oveľa pohodlnejšia ako práca s ľubovoľne veľkými hodnotami, a preto sa pri riešení úloh trigonometrie široko používajú redukčné vzorce.
Skôr než si zapíšeme samotné vzorce, objasnime si niekoľko dôležitých bodov pre pochopenie.
- Argumenty goniometrických funkcií v redukčných vzorcoch sú uhly tvaru ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z. Tu z je akékoľvek celé číslo a α je ľubovoľný uhol natočenia.
- Nie je potrebné naučiť sa všetky redukčné vzorce, ktorých počet je dosť pôsobivý. Existuje mnemotechnické pravidlo, ktoré uľahčuje odvodenie požadovaného vzorca. O mnemotechnickom pravidle si povieme neskôr.
Teraz prejdime priamo k redukčným vzorcom.
Redukčné vzorce vám umožňujú prejsť od práce s ľubovoľnými a ľubovoľne veľkými uhlami k práci s uhlami v rozsahu od 0 do 90 stupňov. Napíšme všetky vzorce do tabuľky.
Redukčné vzorce
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cosα π - . + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α, c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
V tomto prípade sú vzorce napísané v radiánoch. Môžete ich však napísať aj pomocou stupňov. Stačí previesť radiány na stupne a nahradiť π o 180 stupňov.
Príklady použitia redukčných vzorcov
Ukážeme si, ako používať redukčné vzorce a ako sa tieto vzorce používajú pri riešení praktických príkladov.
Uhol pod znamienkom goniometrickej funkcie môže byť reprezentovaný nie jedným, ale mnohými spôsobmi. Napríklad argument goniometrickej funkcie môže byť reprezentovaný v tvare ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Poďme si to ukázať.
Zoberme si uhol α = 16 π 3. Tento uhol možno zapísať takto:
α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π
V závislosti od znázornenia uhla sa použije príslušný redukčný vzorec.
Zoberme si rovnaký uhol α = 16 π 3 a vypočítajme jeho dotyčnicu
Príklad 1: Použitie redukčných vzorcov
α = 16 π 3, t g α = ?
Predstavme si uhol α = 16 π 3 ako α = π + π 3 + 2 π 2
Toto znázornenie uhla bude zodpovedať redukčnému vzorcu
t g (π + α + 2 π z) = t g α
t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3
Pomocou tabuľky uvádzame hodnotu dotyčnice
Teraz použijeme iné znázornenie uhla α = 16 π 3.
Príklad 2: Použitie redukčných vzorcov
α = 16 π 3, t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3
Nakoniec pre tretie znázornenie uhla píšeme
Príklad 3. Použitie redukčných vzorcov
α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c = t g 3π 6
Teraz uveďme príklad použitia zložitejších redukčných vzorcov
Príklad 4: Použitie redukčných vzorcov
Predstavme si hriech 197° cez sínus a kosínus ostrého uhla.
Aby ste mohli použiť redukčné vzorce, musíte v jednej z foriem znázorniť uhol α = 197 °
± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Podľa podmienok problému musí byť uhol ostrý. V súlade s tým máme dva spôsoby, ako to reprezentovať:
197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°
Dostaneme
hriech 197° = hriech (180° + 17°) hriech 197° = hriech (270° - 73°)
Teraz sa pozrime na redukčné vzorce pre sínusy a vyberieme si tie vhodné
sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = hriech (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 °
Mnemotechnické pravidlo
Existuje veľa redukčných vzorcov a, našťastie, nie je potrebné sa ich učiť naspamäť. Existujú zákonitosti, pomocou ktorých možno odvodiť redukčné vzorce pre rôzne uhly a goniometrické funkcie. Tieto vzory sa nazývajú mnemotechnické pravidlá. Mnemotechnika je umenie memorovania. Mnemotechnické pravidlo pozostáva z troch častí alebo obsahuje tri stupne.
Mnemotechnické pravidlo
1. Argument pôvodnej funkcie je reprezentovaný v jednej z nasledujúcich foriem:
± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz
Uhol α musí ležať medzi 0 a 90 stupňami.
2. Určí sa znamienko pôvodnej goniometrickej funkcie. Funkcia napísaná na pravej strane vzorca bude mať rovnaké znamienko.
3. Pre uhly ± α + 2 πz a π ± α + 2 πz zostáva názov pôvodnej funkcie nezmenený a pre uhly π 2 ± α + 2 πz a 3 π 2 ± α + 2 πz sa zmení na „kofunkcia“. Sínus – kosínus. Tangenta - kotangens.
Ak chcete použiť mnemotechnickú príručku pre redukčné vzorce, musíte vedieť určiť znamienka goniometrických funkcií na základe štvrtín jednotkového kruhu. Pozrime sa na príklady použitia mnemotechnického pravidla.
Príklad 1: Použitie mnemotechnického pravidla
Zapíšme si redukčné vzorce pre cos π 2 - α + 2 πz a t g π - α + 2 πz. α je log za prvý štvrťrok.
1. Keďže podľa podmienky α je logaritmus prvej štvrtiny, preskočíme prvý bod pravidla.
2. Určte znamienka funkcií cos π 2 - α + 2 πz a t g π - α + 2 πz. Uhol π 2 - α + 2 πz je tiež uhol prvej štvrtiny a uhol π - α + 2 πz je uhol druhej štvrtiny. V prvom štvrťroku je funkcia kosínus kladná a dotyčnica v druhom štvrťroku má znamienko mínus. Napíšme si, ako budú v tejto fáze vyzerať požadované vzorce.
cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -
3. Podľa tretieho bodu sa pre uhol π 2 - α + 2 π zmení názov funkcie na Konfuciov a pre uhol π - α + 2 πz zostáva rovnaký. Zapíšme si:
cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α
Teraz sa pozrime na vyššie uvedené vzorce a uistite sa, že mnemotechnické pravidlo funguje.
Pozrime sa na príklad so špecifickým uhlom α = 777°. Zredukujme sínus alfa na trigonometrickú funkciu ostrého uhla.
Príklad 2: Použitie mnemotechnického pravidla
1. Predstavte si uhol α = 777 ° v požadovanom tvare
777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2
2. Pôvodný uhol je uhol prvej štvrtiny. To znamená, že sínus uhla má kladné znamienko. V dôsledku toho máme:
3. sin 777° = sin (57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = sin (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°
Teraz sa pozrime na príklad, ktorý ukazuje, aké dôležité je správne určiť znamienko goniometrickej funkcie a správne znázorniť uhol pri použití mnemotechnického pravidla. Zopakujme si to ešte raz.
Dôležité!
Uhol α musí byť ostrý!
Vypočítajme tangens uhla 5 π 3. Z tabuľky hodnôt hlavných goniometrických funkcií môžete okamžite prevziať hodnotu t g 5 π 3 = - 3, ale použijeme mnemotechnické pravidlo.
Príklad 3: Použitie mnemotechnického pravidla
Predstavme si uhol α = 5 π 3 v požadovanom tvare a použijeme pravidlo
t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3
Ak znázorníme uhol alfa v tvare 5 π 3 = π + 2 π 3, potom výsledok aplikácie mnemotechnického pravidla bude nesprávny.
t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3
Nesprávny výsledok je spôsobený tým, že uhol 2 π 3 nie je ostrý.
Dôkaz redukčných vzorcov je založený na vlastnostiach periodicity a symetrie goniometrických funkcií, ako aj na vlastnosti posunu o uhly π 2 a 3 π 2. Dôkaz platnosti všetkých redukčných vzorcov je možné vykonať bez zohľadnenia členu 2 πz, pretože označuje zmenu uhla o celý počet plných otáčok a presne odráža vlastnosť periodicity.
Prvých 16 vzorcov vyplýva priamo z vlastností základných goniometrických funkcií: sínus, kosínus, tangens a kotangens.
Tu je dôkaz redukčných vzorcov pre sínusy a kosínusy
sin π 2 + α = cos α a cos π 2 + α = - sin α
Pozrime sa na jednotkovú kružnicu, ktorej začiatočný bod po otočení o uhol α ide do bodu A 1 x, y a po otočení o uhol π 2 + α - do bodu A 2. Z oboch bodov nakreslíme kolmice na os x.
Dva pravouhlé trojuholníky O A 1 H 1 a O A 2 H 2 sú rovnaké v preponách a susedných uhloch. Z umiestnenia bodov na kružnici a rovnosti trojuholníkov môžeme usúdiť, že bod A 2 má súradnice A 2 - y, x. Pomocou definícií sínusu a kosínusu píšeme:
sin α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y
sin π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α
Berúc do úvahy základné identity trigonometrie a to, čo bolo práve dokázané, môžeme písať
t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - t g a
Aby sme dokázali redukčné vzorce s argumentom π 2 - α, musí byť uvedený v tvare π 2 + (- α). Napríklad:
cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α
Dôkaz využíva vlastnosti goniometrických funkcií s argumentmi opačných znamienok.
Všetky ostatné redukčné vzorce sa dajú dokázať na základe vyššie napísaných.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Redukčné vzorce sú vzťahy, ktoré vám umožňujú prejsť od sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu s uhlami `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` na rovnaké funkcie uhla `\alpha`, ktorý sa nachádza v prvej štvrtine jednotkového kruhu. Redukčné vzorce nás teda „vedú“ k práci s uhlami v rozsahu od 0 do 90 stupňov, čo je veľmi výhodné.
Spolu existuje 32 redukčných vzorcov. Nepochybne sa budú hodiť počas Jednotnej štátnej skúšky, skúšok a testov. Hneď vás však upozorníme, že sa ich netreba učiť naspamäť! Musíte stráviť trochu času a pochopiť algoritmus ich aplikácie, potom pre vás nebude ťažké odvodiť potrebnú rovnosť v správnom čase.
Najprv si napíšme všetky redukčné vzorce:
Pre uhol (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) alebo (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pre uhol (`\pi \pm \alpha`) alebo (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Pre uhol (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) alebo (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pre uhol (`2\pi \pm \alpha`) alebo (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \\alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \\alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Často môžete nájsť redukčné vzorce vo forme tabuľky, kde sú uhly napísané v radiánoch:
Aby sme ho mohli použiť, musíme vybrať riadok s funkciou, ktorú potrebujeme, a stĺpec s požadovaným argumentom. Napríklad, ak chcete pomocou tabuľky zistiť, čomu sa bude rovnať ` sin(\pi + \alpha)`, stačí nájsť odpoveď na priesečníku riadku ` sin \beta` a stĺpca ` \pi + \alpha`. Dostaneme ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
A druhá, podobná tabuľka, kde sú uhly napísané v stupňoch:
Mnemotechnické pravidlo pre redukčné vzorce alebo ako si ich zapamätať
Ako sme už spomínali, nie je potrebné učiť sa naspamäť všetky vyššie uvedené vzťahy. Ak ste si ich pozorne prezreli, pravdepodobne ste si všimli nejaké vzory. Umožňujú nám sformulovať mnemotechnické pravidlo (mnemotechnické – pamätaj), pomocou ktorého ľahko získame akýkoľvek redukčný vzorec.
Okamžite si všimnime, že ak chcete použiť toto pravidlo, musíte byť dobrí v identifikácii (alebo zapamätaní) znakov goniometrických funkcií v rôznych štvrtiach jednotkového kruhu. 
Samotná vakcína obsahuje 3 fázy:
- Argument funkcie musí byť reprezentovaný ako `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha` a `\alpha` je nevyhnutne ostrý uhol (od 0 do 90 stupňov).
- Pre argumenty `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` sa goniometrická funkcia transformovaného výrazu zmení na kofunkciu, teda opačnú (sínus na kosínus, dotyčnicu na kotangens a naopak). Pre argumenty `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` sa funkcia nemení.
- Je určené znamienko pôvodnej funkcie. Výsledná funkcia na pravej strane bude mať rovnaké znamienko.
Aby sme videli, ako možno toto pravidlo uplatniť v praxi, transformujme niekoľko výrazov:
1. `cos(\pi + \alpha)`.
Funkcia nie je obrátená. Uhol `\pi + \alpha` je v tretej štvrtine, kosínus v tejto štvrtine má znamienko „-“, takže transformovaná funkcia bude mať aj znamienko „-“.
Odpoveď: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.
Podľa mnemotechnického pravidla bude funkcia obrátená. Uhol `\frac (3\pi)2 - \alpha` je v tretej štvrtine, sínus tu má znamienko „-“, takže výsledok bude mať aj znamienko „-“.
Odpoveď: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. "cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)".
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alfa)). Predstavme si `3\pi` ako `2\pi+\pi`. `2\pi` je obdobie funkcie.
Dôležité: Funkcie `cos \alpha` a `sin \alpha` majú periódu `2\pi` alebo `360^\circ`, ich hodnoty sa nezmenia, ak sa argument zvýši alebo zníži o tieto hodnoty.
Na základe toho môžeme náš výraz zapísať takto: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Dvojitým použitím mnemotechnického pravidla dostaneme: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Odpoveď: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
Pravidlo koňa
Druhý bod mnemotechnického pravidla opísaného vyššie sa nazýva aj konské pravidlo redukčných vzorcov. Pýtam sa prečo kone?
Takže máme funkcie s argumentmi `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, body `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` sú kľúčové, nachádzajú sa na súradnicových osiach. `\pi` a `2\pi` sú na horizontálnej osi x a `\frac (\pi)2` a `\frac (3\pi)2` sú na zvislej osi.
Kladieme si otázku: „Mení sa funkcia na kofunkciu? Ak chcete odpovedať na túto otázku, musíte posunúť hlavu pozdĺž osi, na ktorej sa nachádza kľúčový bod.
To znamená, že na argumenty s kľúčovými bodmi umiestnenými na horizontálnej osi odpovedáme „nie“ potrasením hlavy do strán. A pre rohy s kľúčovými bodmi umiestnenými na zvislej osi odpovedáme „áno“ kývaním hlavy zhora nadol, ako kôň :)
Odporúčame pozrieť si videonávod, v ktorom autor podrobne vysvetľuje, ako si zapamätať redukčné vzorce bez toho, aby ste si ich pamätali.
Praktické príklady použitia redukčných vzorcov
Používanie redukčných vzorcov sa začína v 9. a 10. ročníku. Mnohé problémy s ich používaním boli predložené na jednotnú štátnu skúšku. Tu sú niektoré z problémov, pri ktorých budete musieť použiť tieto vzorce:
- úlohy na riešenie pravouhlého trojuholníka;
- transformácia číselných a abecedných goniometrických výrazov, výpočet ich hodnôt;
- stereometrické úlohy.
Príklad 1. Vypočítajte pomocou redukčných vzorcov a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.
Riešenie: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
Príklad 2. Po vyjadrení kosínusu cez sínus pomocou redukčných vzorcov porovnajte čísla: 1) `sin \frac (9\pi)8` a `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` a `cos \frac (3\pi)10`.
Riešenie: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Najprv dokážme dva vzorce pre sínus a kosínus argumentu `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \\alpha` a `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Ostatné sú odvodené od nich. Zoberme si jednotkovú kružnicu a na nej bod A so súradnicami (1,0). Nechajte po otočení na Vychádzajúc z definície tangens a kotangens dostaneme ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` a ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, čo dokazuje redukčné vzorce pre tangens a kotangens uhla `\frac (\pi)2 + \alpha`. Na dôkaz vzorcov s argumentom `\frac (\pi)2 - \alpha` stačí reprezentovať ho ako `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` a postupovať rovnakou cestou ako vyššie. Napríklad `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`. Uhly `\pi + \alpha` a `\pi - \alpha` môžu byť reprezentované ako `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` a `\frac (\pi ) 2 + (\frac (\pi)2-\alpha)`. A `\frac (3\pi)2 + \alpha` a `\frac (3\pi)2 - \alpha` ako `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` a `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`. Patria do trigonometrickej časti matematiky. Ich podstatou je zredukovať goniometrické funkcie uhlov do „jednoduchej“ podoby. O dôležitosti ich poznania sa dá napísať veľa. Týchto vzorcov je už 32! Nezľaknite sa, nemusíte sa ich učiť, ako mnohé iné vzorce v kurze matematiky. Netreba si zapĺňať hlavu zbytočnými informáciami, treba si zapamätať „kľúče“ či zákony a zapamätať si či odvodiť požadovaný vzorec nebude problém. Mimochodom, keď v článkoch píšem “...treba sa učiť!!!” - to znamená, že sa to naozaj treba naučiť. Ak nepoznáte redukčné vzorce, jednoduchosť ich odvodenia vás príjemne prekvapí - existuje „zákon“, pomocou ktorého sa to dá ľahko urobiť. A môžete napísať ktorýkoľvek z 32 vzorcov za 5 sekúnd. Uvediem len niektoré z problémov, ktoré sa objavia na Jednotnej štátnej skúške z matematiky, kde bez znalosti týchto vzorcov je vysoká pravdepodobnosť zlyhania pri ich riešení. Napríklad: – úlohy na riešenie pravouhlého trojuholníka, kde hovoríme o vonkajšom uhle a úlohy na vnútorné uhly, niektoré z týchto vzorcov sú tiež potrebné. - úlohy na výpočet hodnôt goniometrických výrazov; prevod numerických goniometrických výrazov; prevod doslovných goniometrických výrazov. – úlohy na dotyčnici a geometrický význam dotyčnice, je potrebný redukčný vzorec pre dotyčnicu, ako aj iné úlohy. – stereometrické úlohy, pri riešení je často potrebné určiť sínus alebo kosínus uhla, ktorý leží v rozsahu od 90 do 180 stupňov. A to sú práve tie body, ktoré sa týkajú Jednotnej štátnej skúšky. A v samotnom kurze algebry je veľa problémov, ktorých riešenie sa jednoducho nezaobíde bez znalosti redukčných vzorcov. K čomu to teda vedie a ako nám zadané vzorce uľahčujú riešenie problémov? Napríklad musíte určiť sínus, kosínus, tangens alebo kotangens ľubovoľného uhla od 0 do 450 stupňov: uhol alfa sa pohybuje od 0 do 90 stupňov * * *
Takže je potrebné pochopiť „zákon“, ktorý tu funguje: 1. Určte znamienko funkcie v príslušnom kvadrante. Dovoľte mi pripomenúť vám: 2. Pamätajte na nasledovné: funkcia sa mení na kofunkciu
funkcia sa nemení na kofunkciu
Čo znamená pojem – funkcia sa mení na kofunkciu?
Odpoveď: sínus sa mení na kosínus alebo naopak, dotyčnica na kotangens alebo naopak.
To je všetko! Teraz si podľa predloženého zákona sami napíšeme niekoľko redukčných vzorcov: Tento uhol leží v treťom štvrťroku, kosínus v treťom štvrťroku je záporný. Funkciu nemeníme na kofunkciu, pretože máme 180 stupňov, čo znamená: Uhol leží v prvej štvrtine, sínus v prvej štvrtine je kladný. Funkciu nemeníme na kofunkciu, pretože máme 360 stupňov, čo znamená: Tu je ďalšie dodatočné potvrdenie, že sínusy susedných uhlov sú rovnaké: Uhol leží v druhej štvrtine, sínus v druhej štvrtine je kladný. Funkciu nemeníme na kofunkciu, pretože máme 180 stupňov, čo znamená: Prepracujte každý vzorec v duchu alebo písomne a budete presvedčení, že na tom nie je nič zložité. ***
V článku o riešení bola zaznamenaná nasledujúca skutočnosť - sínus jedného ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku sa rovná kosínusu iného ostrého uhla v ňom.
uhla `\alpha` prejde do bodu `A_1(x, y)` a po otočení o uhol `\frac (\pi)2 + \alpha` do bodu `A_2(-y, x)`. Keď pustíme kolmice z týchto bodov na priamku OX, vidíme, že trojuholníky `OA_1H_1` a `OA_2H_2` sú rovnaké, pretože ich prepony a susedné uhly sú rovnaké. Potom na základe definícií sínusu a kosínusu môžeme napísať `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Kde môžeme napísať, že ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` a `cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, čo dokazuje zníženie vzorce pre sínusové a kosínusové uhly `\frac (\pi)2 + \alpha`.
