Objem rotačného telesa okolo osi oh je vzorec. III Výpočet objemov rotačných telies. Plocha plochej postavy

Ako vypočítať objem rotačného telesa
pomocou určitého integrálu?

Vo všeobecnosti existuje veľa zaujímavých aplikácií v integrálnom počte; pomocou určitého integrálu môžete vypočítať plochu postavy, objem rotačného telesa, dĺžku oblúka, povrchovú plochu rotácia a oveľa viac. Takže to bude zábava, buďte optimistickí!

Predstavte si nejakú plochú postavu v rovine súradníc. Predstavený? ... som zvedavý, kto čo prezentoval... =))) Jej areál sme už našli. Okrem toho sa však toto číslo môže tiež otáčať a otáčať dvoma spôsobmi:

- okolo osi x;
- okolo zvislej osi.

Tento článok bude skúmať oba prípady. Zaujímavý je najmä druhý spôsob otáčania, ktorý spôsobuje najväčšie ťažkosti, no v skutočnosti je riešenie takmer rovnaké ako pri bežnejšom otáčaní okolo osi x. Ako bonus sa k tomu vrátim problém nájsť oblasť postavy, a poviem vám, ako nájsť oblasť druhým spôsobom - pozdĺž osi. Nie je to ani taký bonus, pretože materiál dobre zapadá do témy.

Začnime s najobľúbenejším typom rotácie.

plochá postava okolo osi

Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním útvaru ohraničeného priamkami okolo osi.

Riešenie: Rovnako ako v prípade problému s nájdením oblasti, riešenie začína kresbou plochej postavy. To znamená, že v rovine je potrebné zostrojiť obrazec ohraničený čiarami a nezabudnite, že rovnica určuje os. Ako efektívnejšie a rýchlejšie dokončiť kresbu nájdete na stránkach Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií A . Toto je čínska pripomienka a na tomto mieste sa nebudem ďalej zdržiavať.

Nákres je tu celkom jednoduchý:

Požadovaná plochá figúrka je vytieňovaná modrou farbou, je to tá, ktorá sa otáča okolo osi, výsledkom rotácie je mierne vajcovitý lietajúci tanier, ktorý je symetrický okolo osi. V skutočnosti má telo matematický názov, ale som príliš lenivý na to, aby som niečo objasnil v referenčnej knihe, takže ideme ďalej.

Ako vypočítať objem rotačného telesa?

Objem rotačného telesa možno vypočítať pomocou vzorca:

Vo vzorci musí byť číslo prítomné pred integrálom. Tak sa aj stalo – všetko, čo sa v živote točí, je spojené s touto konštantou.

Myslím, že je ľahké uhádnuť, ako nastaviť hranice integrácie „a“ a „byť“ z dokončeného výkresu.

Funkcia... čo je táto funkcia? Pozrime sa na výkres. Rovinný obrazec je ohraničený grafom paraboly v hornej časti. Toto je funkcia, ktorá je zahrnutá vo vzorci.

V praktických úlohách môže byť plochá postava niekedy umiestnená pod osou. To nič nemení - integrand vo vzorci je odmocnený: , teda integrál je vždy nezáporný, čo je veľmi logické.

Vypočítajme objem rotačného telesa pomocou tohto vzorca:

Ako som už poznamenal, integrál sa takmer vždy ukáže ako jednoduchý, hlavnou vecou je byť opatrný.

Odpoveď:

Vo svojej odpovedi musíte uviesť rozmer - kubické jednotky. To znamená, že v našom rotačnom tele je približne 3,35 „kociek“. Prečo kubický Jednotky? Pretože najuniverzálnejšia formulácia. Môžu tam byť kubické centimetre, môžu tam byť kubické metre, môžu byť kubické kilometre atď., toľko zelených mužíkov dokáže vaša fantázia vložiť do lietajúceho taniera.

Nájdite objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi obrazca ohraničeného priamkami , ,

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Uvažujme o dvoch zložitejších problémoch, s ktorými sa v praxi tiež často stretávame.

Vypočítajte objem telesa získaného rotáciou okolo osi x úsečky obrazca ohraničeného priamkami , , a

Riešenie: Ukážme si na výkrese plochý útvar ohraničený čiarami , , , , pričom nezabúdajme, že rovnica definuje os:

Požadovaná figúrka je vytieňovaná modrou farbou. Keď sa točí okolo svojej osi, ukáže sa, že je to neskutočná šiška so štyrmi rohmi.

Vypočítajme objem rotačného telesa ako rozdiel v objemoch telies.

Najprv sa pozrime na postavu zakrúžkovanú červenou farbou. Keď sa otáča okolo osi, získa sa zrezaný kužeľ. Označme objem tohto zrezaného kužeľa .

Zvážte postavu, ktorá je zakrúžkovaná zelenou farbou. Ak otočíte tento obrazec okolo osi, získate tiež zrezaný kužeľ, len o niečo menší. Jeho objem označme .

A samozrejme, rozdiel v objemoch je presne objemom našej „šišky“.

Na zistenie objemu rotujúceho telesa používame štandardný vzorec:

1) Číslo zakrúžkované červenou farbou je ohraničené priamkou, preto:

2) Zelený zakrúžkovaný obrázok je ohraničený priamkou, preto:

3) Objem požadovaného rotačného telesa:

Odpoveď:

Je zvláštne, že v tomto prípade je možné riešenie skontrolovať pomocou školského vzorca na výpočet objemu zrezaného kužeľa.

Samotné rozhodnutie je často napísané kratšie, asi takto:

Teraz si trochu oddýchneme a povieme vám o geometrických ilúziách.

Ľudia majú často ilúzie spojené so zväzkami, čo si v knihe všimol aj Perelman (iný). Zábavná geometria. Pozrite sa na plochý obrázok v riešenom probléme - zdá sa, že je malý na plochu a objem rotačného telesa je len niečo málo cez 50 kubických jednotiek, čo sa zdá byť príliš veľké. Mimochodom, priemerný človek vypije za celý život ekvivalent miestnosti 18 metrov štvorcových tekutiny, čo sa mu naopak zdá príliš malý objem.

Po lyrickej odbočke je vhodné vyriešiť kreatívnu úlohu:

Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi plochého útvaru ohraničeného priamkami , , kde .

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Upozorňujeme, že všetky prípady sa vyskytujú v pásme, inými slovami, hotové limity integrácie sú vlastne dané. Správne nakreslite grafy goniometrických funkcií, dovoľte mi pripomenúť vám lekciu o geometrické transformácie grafov: ak je argument delený dvoma: , potom sa grafy roztiahnu dvakrát pozdĺž osi. Je vhodné nájsť aspoň 3-4 body podľa trigonometrických tabuliek pre presnejšie dokončenie výkresu. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny. Mimochodom, úloha sa dá vyriešiť racionálne a nie veľmi racionálne.

Výpočet objemu telesa vzniknutého rotáciou
plochá postava okolo osi

Druhý odsek bude ešte zaujímavejší ako prvý. Úloha vypočítať objem rotačného telesa okolo súradnicovej osi je tiež pomerne častým hosťom v testovacej práci. Po ceste sa bude zvažovať problém nájsť oblasť postavy druhá metóda je integrácia pozdĺž osi, čo vám umožní nielen zlepšiť svoje zručnosti, ale tiež vás naučí nájsť najziskovejšie riešenie. Je v tom aj praktický zmysel života! Ako s úsmevom spomínala moja učiteľka metód výučby matematiky, mnohí absolventi jej ďakovali slovami: „Váš predmet nám veľmi pomohol, teraz sme efektívni manažéri a optimálne riadime zamestnancov.“ Využívajúc túto príležitosť, vyjadrujem jej tiež veľkú vďaku, najmä preto, že získané vedomosti využívam na zamýšľaný účel =).

Odporúčam všetkým, aj úplným maškrtníkom. Okrem toho materiál získaný v druhom odseku poskytne neoceniteľnú pomoc pri výpočte dvojitých integrálov.

Daný plochý obrazec ohraničený čiarami , , .

1) Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú týmito čiarami.
2) Nájdite objem telesa získaný otočením plochého útvaru ohraničeného týmito čiarami okolo osi.

Pozor! Aj keď si chcete prečítať iba druhý bod, určite si najprv prečítajte prvý!

Riešenie: Úloha pozostáva z dvoch častí. Začnime námestím.

1) Urobme si kresbu:

Je ľahké vidieť, že funkcia špecifikuje hornú vetvu paraboly a funkcia špecifikuje dolnú vetvu paraboly. Pred nami je triviálna parabola, ktorá „leží na boku“.

Požadovaná postava, ktorej oblasť sa má nájsť, je zatienená modrou farbou.

Ako nájsť oblasť postavy? Dá sa nájsť „bežným“ spôsobom, o ktorom sa diskutovalo v triede Určitý integrál. Ako vypočítať plochu obrázku. Okrem toho sa plocha obrázka zistí ako súčet plôch:
- na segmente ;
- na segmente.

Preto:

Prečo je obvyklé riešenie v tomto prípade zlé? Po prvé, máme dva integrály. Po druhé, pod integrálmi sú korene a korene v integráloch nie sú darom a okrem toho sa môžete zmiasť pri nahrádzaní hraníc integrácie. V skutočnosti integrály, samozrejme, nie sú ničivé, ale v praxi môže byť všetko oveľa smutnejšie, len som pre problém vybral „lepšie“ funkcie.

Existuje racionálnejšie riešenie: pozostáva z prechodu na inverzné funkcie a integrácie pozdĺž osi.

Ako sa dostať k inverzným funkciám? Zhruba povedané, musíte vyjadriť „x“ cez „y“. Najprv sa pozrime na parabolu:

To je dosť, ale uistite sa, že rovnakú funkciu je možné odvodiť z nižšej vetvy:

S rovnou čiarou je to jednoduchšie:

Teraz sa pozrite na os: pravidelne nakláňajte hlavu doprava o 90 stupňov, ako vysvetľujete (toto nie je vtip!). Obrázok, ktorý potrebujeme, leží na segmente, ktorý je označený červenou bodkovanou čiarou. V tomto prípade je na segmente priamka umiestnená nad parabolou, čo znamená, že oblasť obrázku by sa mala nájsť pomocou už známeho vzorca: . Čo sa zmenilo vo vzorci? Len list a nič viac.

! Poznámka: Mali by byť stanovené limity integrácie pozdĺž osi striktne zdola nahor!

Nájdenie oblasti:

V segmente teda:

Všimnite si prosím, ako som vykonal integráciu, je to najracionálnejší spôsob a v ďalšom odseku úlohy bude jasné prečo.

Pre čitateľov, ktorí pochybujú o správnosti integrácie, nájdem deriváty:

Získa sa pôvodná funkcia integrand, čo znamená, že integrácia bola vykonaná správne.

Odpoveď:

2) Vypočítajme objem telesa vytvoreného rotáciou tohto obrazca okolo osi.

Výkres prekreslím do trochu iného dizajnu:

Postava vytieňovaná modrou sa teda otáča okolo osi. Výsledkom je „vznášajúci sa motýľ“, ktorý sa otáča okolo svojej osi.

Aby sme našli objem rotačného telesa, budeme integrovať pozdĺž osi. Najprv musíme prejsť k inverzným funkciám. Toto už bolo urobené a podrobne popísané v predchádzajúcom odseku.

Teraz opäť nakloníme hlavu doprava a študujeme našu postavu. Je zrejmé, že objem rotačného telesa by sa mal nájsť ako rozdiel v objemoch.

Otáčame figúrku zakrúžkovanú červenou farbou okolo osi, výsledkom čoho je zrezaný kužeľ. Označme tento zväzok .

Zeleno zakrúžkovaný obrazec otáčame okolo osi a označíme ho objemom výsledného rotačného telesa.

Objem nášho motýľa sa rovná rozdielu v objemoch.

Na zistenie objemu rotačného telesa používame vzorec:

Aký je rozdiel od vzorca v predchádzajúcom odseku? Iba v liste.

Ale výhoda integrácie, o ktorej som nedávno hovoril, sa hľadá oveľa ľahšie , skôr ako najprv zvýšiť integrand na 4. mocninu.

Odpoveď:

Upozorňujeme, že ak sa rovnaká plochá figúrka otočí okolo osi, získate úplne iné telo otáčania, prirodzene s iným objemom.

Daná plochá postava ohraničená čiarami a osou.

1) Prejdite na inverzné funkcie a nájdite oblasť rovinného útvaru ohraničenú týmito čiarami integráciou cez premennú.
2) Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním plochého útvaru ohraničeného týmito čiarami okolo osi.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Záujemcovia môžu nájsť plochu figúry aj „obvyklým“ spôsobom, a tým skontrolovať bod 1). Ale ak, opakujem, otočíte plochú postavu okolo osi, dostanete úplne iné telo otáčania s iným objemom, mimochodom, správna odpoveď (aj pre tých, ktorí radi riešia problémy).

Kompletné riešenie dvoch navrhnutých bodov úlohy je na konci hodiny.

Áno, a nezabudnite nakloniť hlavu doprava, aby ste pochopili rotáciu a limity integrácie!

Chystal som sa dokončiť článok, ale dnes priniesli zaujímavý príklad práve na zistenie objemu rotačného telesa okolo osi y. Čerstvé:

Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi obrazca ohraničeného krivkami a .

Riešenie: Urobme kresbu:

Po ceste sa oboznamujeme s grafmi niektorých ďalších funkcií. Tu je zaujímavý graf párnej funkcie...

C je obsiahnutá v intervale. Takto opäť získame langrangovskú formu dodatočného termínu. 5. Záver. V práci sú uvedené definície určitého a nevlastného integrálu a jeho typy a sú posúdené otázky niektorých aplikácií určitého integrálu. Najmä Wallisov vzorec, ktorý má historický význam ako prvé vyjadrenie čísla p ako limity ľahko vypočítateľného...

Určitý integrál typovej funkcie numericky predstavuje plochu krivočiareho lichobežníka ohraničenú krivkami x=0, y=a, y=ba y= (obr. 1). Na výpočet tejto plochy alebo určitého integrálu existujú dve metódy - lichobežníková metóda (obr. 2) a metóda priemerných obdĺžnikov (obr. 3). Ryža. 1. Krivočiary lichobežník. Ryža. 2. Lichobežníková metóda. Ryža. 3. Metóda priemerných obdĺžnikov. Metódami...

N (zvyšovaním počtu integrácií) sa zvyšuje presnosť približného výpočtu integrálov Zadanie laboratórnej práce 1) Napíšte programy na výpočet určitého integrálu metódami: stredný, pravý obdĺžnik, lichobežník a Simpsonova metóda. Vykonajte integráciu nasledujúcich funkcií: 1. f(x)=x f(x)=x2 f(x)= x3 f(x)= x4 na segmente s krokom, 2. f(x)= f(x) = f(x)= ...

... (postup TABL) a integrál. 4. Záver a závery. Je teda zrejmé, že pri výpočte určitých integrálov pomocou kvadratúrnych vzorcov, a najmä pomocou Čebyševovho vzorca, nám to nedáva presnú hodnotu, ale len približnú. Aby ste sa čo najviac priblížili spoľahlivej hodnote integrálu, musíte vedieť správne zvoliť metódu a vzorec, podľa ktorého sa bude výpočet vykonávať. Tiež...

plochá postava okolo osi

Príklad 3

Daný plochý obrazec ohraničený čiarami , , .

1) Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú týmito čiarami.

2) Nájdite objem telesa získaný otočením plochého útvaru ohraničeného týmito čiarami okolo osi.

Pozor! Aj keď si chcete prečítať len druhý bod, najprv Nevyhnutne prečítajte si prvý!

Riešenie: Úloha pozostáva z dvoch častí. Začnime námestím.

1) Urobme si kresbu:

Je ľahké vidieť, že funkcia špecifikuje hornú vetvu paraboly a funkcia špecifikuje dolnú vetvu paraboly. Pred nami je triviálna parabola, ktorá „leží na boku“.

Požadovaná postava, ktorej oblasť sa má nájsť, je zatienená modrou farbou.

Ako nájsť oblasť postavy? Dá sa nájsť „normálnym“ spôsobom. Okrem toho sa plocha obrázka zistí ako súčet plôch:

– na segmente;

- na segmente.

Preto:

Existuje racionálnejšie riešenie: pozostáva z prechodu na inverzné funkcie a integrácie pozdĺž osi.

Ako sa dostať k inverzným funkciám? Zhruba povedané, musíte vyjadriť „x“ cez „y“. Najprv sa pozrime na parabolu:

To je dosť, ale uistite sa, že rovnakú funkciu je možné odvodiť z nižšej vetvy:

S rovnou čiarou je to jednoduchšie:

Teraz sa pozrite na os: pravidelne nakláňajte hlavu doprava o 90 stupňov, ako vysvetľujete (toto nie je vtip!). Obrázok, ktorý potrebujeme, leží na segmente, ktorý je označený červenou bodkovanou čiarou. V tomto prípade je na segmente priamka umiestnená nad parabolou, čo znamená, že oblasť obrázku by sa mala nájsť pomocou vzorca, ktorý už poznáte:. Čo sa zmenilo vo vzorci? Len list a nič viac.

! Poznámka : Limity integrácie osi by mali byť umiestnenéstriktne zdola nahor !

Nájdenie oblasti:

V segmente teda:

Všimnite si prosím, ako som vykonal integráciu, je to najracionálnejší spôsob a v ďalšom odseku úlohy bude jasné prečo.

Pre čitateľov, ktorí pochybujú o správnosti integrácie, nájdem deriváty:

Získa sa pôvodná funkcia integrand, čo znamená, že integrácia bola vykonaná správne.

Odpoveď:

2) Vypočítajme objem telesa vytvoreného rotáciou tohto obrazca okolo osi.

Výkres prekreslím do trochu iného dizajnu:

Postava vytieňovaná modrou sa teda otáča okolo osi. Výsledkom je „vznášajúci sa motýľ“, ktorý sa otáča okolo svojej osi.

Aby sme našli objem rotačného telesa, budeme integrovať pozdĺž osi. Najprv musíme prejsť k inverzným funkciám. Toto už bolo urobené a podrobne popísané v predchádzajúcom odseku.

Teraz opäť nakloníme hlavu doprava a študujeme našu postavu. Je zrejmé, že objem rotačného telesa by sa mal nájsť ako rozdiel v objemoch.

Otáčame figúrku zakrúžkovanú červenou farbou okolo osi, výsledkom čoho je zrezaný kužeľ. Označme tento zväzok .

Zeleno zakrúžkovaný obrazec otáčame okolo osi a označíme ho objemom výsledného rotačného telesa.

Objem nášho motýľa sa rovná rozdielu v objemoch.

Na zistenie objemu rotačného telesa používame vzorec:

Aký je rozdiel od vzorca v predchádzajúcom odseku? Iba v liste.

Ale výhodu integrácie, o ktorej som nedávno hovoril, je oveľa jednoduchšie nájsť, ako najprv zvýšiť integrand na 4. mocninu.

Odpoveď:

Upozorňujeme, že ak sa rovnaká plochá figúrka otočí okolo osi, získate úplne iné telo otáčania, prirodzene s iným objemom.

Príklad 7

Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi obrazca ohraničeného krivkami a .

Riešenie: Urobme kresbu:

Po ceste sa oboznamujeme s grafmi niektorých ďalších funkcií. Tu je zaujímavý graf párnej funkcie...

Na zistenie objemu rotačného telesa stačí použiť pravú polovicu postavy, ktorú som vytieňoval modrou farbou. Obe funkcie sú párne, ich grafy sú symetrické okolo osi a naša postava je symetrická. Zatienená pravá časť, otáčajúca sa okolo osi, sa teda určite zhoduje s ľavou nezatienenou časťou. alebo . V skutočnosti sa sám vždy poistím dosadením niekoľkých bodov grafu do nájdenej inverznej funkcie.

Teraz nakloníme hlavu doprava a všimneme si nasledovné:

– na segmente nad osou je graf funkcie;

Je logické predpokladať, že objem rotačného telesa treba hľadať ako súčet objemov rotačných telies!

Používame vzorec:

V tomto prípade.

Okrem toho nájdenie plochy rovinného útvaru pomocou určitého integrálu najdôležitejšou aplikáciou témy je výpočet objemu rotačného telesa. Materiál je jednoduchý, ale čitateľ musí byť pripravený: musíte byť schopní vyriešiť neurčité integrály stredná zložitosť a aplikujte Newtonov-Leibnizov vzorec v určitý integrál . Rovnako ako pri probléme s hľadaním oblasti potrebujete sebavedomé kreslenie - to je takmer najdôležitejšia vec (keďže samotné integrály budú často jednoduché). Pomocou metodického materiálu môžete zvládnuť kompetentné a rýchle techniky mapovania . Ale v skutočnosti som o dôležitosti kresieb hovoril už niekoľkokrát na hodinách. .

Vo všeobecnosti existuje veľa zaujímavých aplikácií v integrálnom počte; pomocou určitého integrálu môžete vypočítať plochu postavy, objem rotačného telesa, dĺžku oblúka, povrchovú plochu telo a oveľa viac. Takže to bude zábava, buďte optimistickí!

– okolo osi x; – okolo zvislej osi.

Tento článok bude skúmať oba prípady. Zaujímavý je najmä druhý spôsob otáčania, ktorý spôsobuje najväčšie ťažkosti, no v skutočnosti je riešenie takmer rovnaké ako pri bežnejšom otáčaní okolo osi x. Ako bonus sa k tomu vrátim problém nájsť oblasť postavy , a poviem vám, ako nájsť oblasť druhým spôsobom - pozdĺž osi. Nie je to ani taký bonus, pretože materiál dobre zapadá do témy.

Začnime s najobľúbenejším typom rotácie.

Výpočet objemu telesa vytvoreného rotáciou plochého útvaru okolo osi

Príklad 1

Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním útvaru ohraničeného priamkami okolo osi.

Riešenie: Rovnako ako v prípade problému s hľadaním oblasti, riešenie začína kresbou plochej postavy. To znamená, že v rovine je potrebné zostrojiť obrazec ohraničený čiarami a nezabudnite, že rovnica určuje os. Ako efektívnejšie a rýchlejšie dokončiť kresbu nájdete na stránkach Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií A Určitý integrál. Ako vypočítať plochu obrázku . Toto je čínska pripomienka a na tomto mieste sa nebudem ďalej zdržiavať.

Nákres je tu celkom jednoduchý:

Požadovaná plochá postava je vytieňovaná modrou farbou, je to tá, ktorá sa otáča okolo osi. Výsledkom rotácie je mierne vajcovitý lietajúci tanier, ktorý je symetrický okolo osi. V skutočnosti má telo matematický názov, ale som príliš lenivý na to, aby som sa pozrel do referenčnej knihy, takže ideme ďalej.

Ako vypočítať objem rotačného telesa?

Objem rotačného telesa možno vypočítať pomocou vzorca:

Vo vzorci musí byť číslo prítomné pred integrálom. Tak sa aj stalo – všetko, čo sa v živote točí, je spojené s touto konštantou.

Myslím, že je ľahké uhádnuť, ako nastaviť hranice integrácie „a“ a „byť“ z dokončeného výkresu.

Funkcia... čo je táto funkcia? Pozrime sa na výkres. Rovinný obrazec je ohraničený grafom paraboly v hornej časti. Toto je funkcia, ktorá je zahrnutá vo vzorci.

V praktických úlohách môže byť plochá postava niekedy umiestnená pod osou. To nič nemení - funkcia vo vzorci je odmocnená: , teda objem rotačného telesa je vždy nezáporný, čo je veľmi logické.

Vypočítajme objem rotačného telesa pomocou tohto vzorca:

Ako som už poznamenal, integrál sa takmer vždy ukáže ako jednoduchý, hlavnou vecou je byť opatrný.

odpoveď:

Príklad 2

Nájdite objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi obrazca ohraničeného priamkami , ,

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Uvažujme o dvoch zložitejších problémoch, s ktorými sa v praxi tiež často stretávame.

Príklad 3

Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním okolo osi x úsečky obrazca ohraničeného priamkami , , a

Riešenie: Ukážme si na výkrese plochý obrazec ohraničený čiarami , , , , pričom nezabúdajme, že rovnica definuje os: