Neka se daju dvije točke M(x 1 ,U 1) i N(x 2,g 2). Nađimo jednadžbu pravca koji prolazi kroz te točke.
Budući da ovaj pravac prolazi točkom M, tada prema formuli (1.13) njezina jednadžba ima oblik
U – Y 1 = K(X–x 1),
Gdje K– nepoznati kutni koeficijent.
Vrijednost ovog koeficijenta određuje se iz uvjeta da kroz točku prolazi željena pravac N, što znači da njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbu (1.13)
Y 2 – Y 1 = K(x 2 – x 1),
Odavde možete pronaći nagib ove linije:
,
Ili nakon obraćenja
(1.14)
Formula (1.14) određuje Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke M(x 1, Y 1) i N(x 2, Y 2).
U posebnom slučaju kada točke M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, leže na koordinatnim osima, jednadžba (1.14) će poprimiti jednostavniji oblik
Jednadžba (1.15) nazvao Jednadžba pravca u segmentima, Ovdje A I B označavaju segmente odsječene ravnom linijom na osi (slika 1.6).
Slika 1.6
Primjer 1.10. Napišite jednadžbu za pravac koji prolazi kroz točke M(1, 2) i B(3, –1).
. Prema (1.14) jednadžba tražene linije ima oblik
2(Y – 2) = -3(x – 1).
Prebacujući sve članove na lijevu stranu, konačno dobivamo željenu jednadžbu
3x + 2Y – 7 = 0.
Primjer 1.11. Napiši jednadžbu za pravac koji prolazi točkom M(2, 1) i točku sjecišta pravaca x+ Y – 1 = 0, X – y+ 2 = 0.
. Koordinate točke presjeka pravaca pronaći ćemo zajedničkim rješavanjem ovih jednadžbi
Ako zbrojimo ove jednadžbe član po član, dobit ćemo 2 x+ 1 = 0, odakle . Zamjenom pronađene vrijednosti u bilo koju jednadžbu, nalazimo vrijednost ordinate U:
Napišimo sada jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke (2, 1) i:
ili .
Stoga ili –5( Y – 1) = x – 2.
Na kraju dobijemo jednadžbu željenog pravca u obliku x + 5Y – 7 = 0.
Primjer 1.12. Pronađite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke M(2.1) i N(2,3).
Pomoću formule (1.14) dobivamo jednadžbu
To nema smisla jer je drugi nazivnik nula. Iz uvjeta zadatka jasno je da apscise obiju točaka imaju istu vrijednost. To znači da je željena ravna linija paralelna s osi OY a njegova jednadžba je: x = 2.
Komentar . Ako se pri pisanju jednadžbe pravca pomoću formule (1.14) pokaže da je jedan od nazivnika jednak nuli, tada se željena jednadžba može dobiti izjednačavanjem odgovarajućeg brojnika s nulom.
Razmotrimo druge načine definiranja pravca na ravnini.
1. Neka je vektor različit od nule okomit na zadani pravac L, i točka M 0(x 0, Y 0) leži na ovoj liniji (slika 1.7).
Slika 1.7
Označimo M(x, Y) bilo koja točka na pravcu L. Vektori i 
Ortogonalno. Koristeći uvjete ortogonalnosti ovih vektora, dobivamo odn A(x – x 0) + B(Y – Y 0) = 0.
Dobili smo jednadžbu pravca koji prolazi točkom M 0 je okomit na vektor. Ovaj vektor se zove Normalni vektor na ravnu liniju L. Rezultirajuća jednadžba može se prepisati kao
Oh + Wu + S= 0, gdje je S = –(Ax 0 + Po 0), (1.16),
Gdje A I U– koordinate vektora normale.
Dobivamo opću jednadžbu pravca u parametarskom obliku.
2. Pravac na ravnini može se definirati na sljedeći način: neka je vektor različit od nule paralelan sa zadanim pravcem L i točka M 0(x 0, Y 0) leži na ovoj liniji. Uzmimo opet proizvoljnu točku M(x, y) na ravnoj liniji (slika 1.8).
Slika 1.8
Vektori i 
kolinearni.
Zapišimo uvjet kolinearnosti ovih vektora: , gdje je T– proizvoljan broj koji se naziva parametar. Zapišimo ovu jednakost u koordinatama:
Ove se jednadžbe nazivaju Parametarske jednadžbe Ravno. Isključimo parametar iz ovih jednadžbi T:
Ove se jednadžbe inače mogu napisati kao
. (1.18)
Dobivena jednadžba naziva se Kanonska jednadžba pravca. Vektor se zove Usmjeravajući vektor je ravan .
Komentar . Lako je vidjeti da je if vektor normale na pravac L, tada njegov vektor smjera može biti vektor budući da , tj.
Primjer 1.13. Napiši jednadžbu pravca koji prolazi točkom M 0(1, 1) paralelno s pravcem 3 x + 2U– 8 = 0.
Riješenje . Vektor je vektor normale na zadani i željeni pravac. Upotrijebimo jednadžbu pravca koji prolazi točkom M 0 sa zadanim vektorom normale 3( x –1) + 2(U– 1) = 0 ili 3 x + 2u– 5 = 0. Dobili smo jednadžbu traženog pravca.
Ovaj članak otkriva kako dobiti jednadžbu pravca koji prolazi kroz dva zadanih bodova u pravokutnom koordinatnom sustavu koji se nalazi na ravnini. Izvedimo jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke u pravokutnom koordinatnom sustavu. Jasno ćemo prikazati i riješiti nekoliko primjera vezanih uz pređeno gradivo.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Prije dobivanja jednadžbe pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke potrebno je obratiti pozornost na neke činjenice. Postoji aksiom koji kaže da je kroz dvije divergentne točke na ravnini moguće povući ravnu liniju i to samo jednu. Drugim riječima, dvije zadane točke na ravnini određene su ravnom crtom koja prolazi kroz te točke.
Ako je ravnina definirana pravokutnim koordinatnim sustavom Oxy, tada će svaka ravna linija prikazana u njoj odgovarati jednadžbi ravne linije na ravnini. Postoji i veza s vektorom usmjerivača pravca.Ovaj podatak dovoljan je za sastavljanje jednadžbe pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke.
Pogledajmo primjer rješavanja sličnog problema. Potrebno je izraditi jednadžbu za ravnu liniju a koja prolazi kroz dvije divergentne točke M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2), koje se nalaze u Kartezijevom koordinatnom sustavu.
U kanonskoj jednadžbi pravca na ravnini, koja ima oblik x - x 1 a x = y - y 1 a y, zadan je pravokutni koordinatni sustav O x y s pravcem koji se s njim siječe u točki s koordinatama M 1 (x 1, y 1) s vektorom vodičem a → = (a x , a y) .
Potrebno je izraditi kanoničku jednadžbu pravca a, koji će prolaziti kroz dvije točke s koordinatama M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2).
Ravnica a ima vektor smjera M 1 M 2 → s koordinatama (x 2 - x 1, y 2 - y 1), budući da siječe točke M 1 i M 2. Dobili smo potrebne podatke za transformaciju kanonske jednadžbe s koordinatama vektora pravca M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) i koordinatama točaka M 1 koje leže na njima. (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) . Dobivamo jednadžbu oblika x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ili x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.
Razmotrite sliku u nastavku.
Nakon izračuna, zapisujemo parametarske jednadžbe pravca na ravnini koji prolazi kroz dvije točke s koordinatama M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2). Dobivamo jednadžbu oblika x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ ili x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .
Pogledajmo pobliže rješavanje nekoliko primjera.
Primjer 1
Napišite jednadžbu pravca koji prolazi kroz 2 zadane točke s koordinatama M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.
Riješenje
Kanonska jednadžba za pravac koji se siječe u dvije točke s koordinatama x 1, y 1 i x 2, y 2 ima oblik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Prema uvjetima zadatka, imamo da je x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Numeričke vrijednosti potrebno je zamijeniti u jednadžbu x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Odavde dobivamo da kanonička jednadžba ima oblik x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Odgovor: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Ako trebate riješiti problem s drugom vrstom jednadžbe, tada prvo možete prijeći na kanoničku, budući da je od nje lakše doći do bilo koje druge.
Primjer 2
Sastavite opću jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke s koordinatama M 1 (1, 1) i M 2 (4, 2) u O x y koordinatnom sustavu.
Riješenje
Prvo morate napisati kanoničku jednadžbu zadanog pravca koji prolazi kroz zadane dvije točke. Dobivamo jednadžbu oblika x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
Dovedemo kanoničku jednadžbu u željeni oblik, tada dobivamo:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Odgovor: x - 3 y + 2 = 0 .
O primjerima takvih zadataka govorilo se u školskim udžbenicima na satu algebre. Školski zadaci razlikovali su se po tome što je bila poznata jednadžba pravca s kutnim koeficijentom oblika y = k x + b. Ako trebate pronaći vrijednost nagiba k i broja b za koje jednadžba y = k x + b definira liniju u O x y sustavu koja prolazi kroz točke M 1 (x 1, y 1) i M 2 ( x 2, y 2) , gdje je x 1 ≠ x 2. Kada je x 1 = x 2 , tada kutni koeficijent poprima vrijednost beskonačnosti, a pravac M 1 M 2 definiran je općom nepotpunom jednadžbom oblika x - x 1 = 0 .
Jer bodovi M 1 I M 2 nalaze se na ravnoj liniji, tada njihove koordinate zadovoljavaju jednadžbu y 1 = k x 1 + b i y 2 = k x 2 + b. Potrebno je riješiti sustav jednadžbi y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b za k i b.
Da bismo to učinili, nalazimo k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ili k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
S ovim vrijednostima k i b, jednadžba pravca koji prolazi kroz zadane dvije točke poprima sljedeći pogled y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ili y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Nemoguće je zapamtiti tako veliki broj formula odjednom. Za to je potrebno povećati broj ponavljanja u rješavanju zadataka.
Primjer 3
Napišite jednadžbu pravca s kutnim koeficijentom koji prolazi kroz točke s koordinatama M 2 (2, 1) i y = k x + b.
Riješenje
Za rješavanje problema koristimo formulu s kutnim koeficijentom oblika y = k x + b. Koeficijenti k i b moraju imati takvu vrijednost da ova jednadžba odgovara ravnoj liniji koja prolazi kroz dvije točke s koordinatama M 1 (- 7, - 5) i M 2 (2, 1).
Bodovi M 1 I M 2 nalaze se na ravnoj liniji, tada njihove koordinate moraju činiti jednadžbu y = k x + b pravom jednakošću. Iz ovoga dobivamo da je - 5 = k · (- 7) + b i 1 = k · 2 + b. Spojimo jednadžbu u sustav - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b i riješimo.
Nakon zamjene dobivamo to
5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Sada su vrijednosti k = 2 3 i b = - 1 3 zamijenjene u jednadžbu y = k x + b. Pronalazimo da će tražena jednadžba koja prolazi kroz zadane točke biti jednadžba oblika y = 2 3 x - 1 3 .
Ova metoda rješenja unaprijed određuje potrošnju velika količina vrijeme. Postoji način na koji se zadatak rješava doslovno u dva koraka.
Napišimo kanonsku jednadžbu pravca koji prolazi kroz M 2 (2, 1) i M 1 (- 7, - 5) u obliku x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Sada prijeđimo na jednadžbu nagiba. Dobivamo da je: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.
Odgovor: y = 2 3 x - 1 3 .
Ako u trodimenzionalnom prostoru postoji pravokutni koordinatni sustav O x y z s dvije zadane nepoklapajuće točke s koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), ravna linija M koja prolazi kroz njih 1 M 2 , potrebno je dobiti jednadžbu ove linije.
Imamo da su kanonske jednadžbe oblika x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z i parametarske jednadžbe oblika x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ mogu definirati pravac u koordinatnom sustavu O x y z, koji prolazi kroz točke s koordinatama (x 1, y 1, z 1) s vektorom smjera a → = (a x, a y, a z).
Ravno M 1 M 2 ima vektor smjera oblika M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), gdje pravac prolazi točkom M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2 , y 2 , z 2), stoga kanonska jednadžba može biti oblika x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ili x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, zauzvrat parametarski x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ili x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .
Razmotrite crtež koji prikazuje 2 zadane točke u prostoru i jednadžbu pravca.
Primjer 4
Napišite jednadžbu pravca definiranog u pravokutnom koordinatnom sustavu O x y z trodimenzionalnog prostora, koji prolazi kroz zadane dvije točke s koordinatama M 1 (2, - 3, 0) i M 2 (1, - 3, - 5).
Riješenje
Potrebno je pronaći kanoničku jednadžbu. Budući da govorimo o trodimenzionalnom prostoru, to znači da kada pravac prolazi kroz zadane točke, željena kanonska jednadžba će poprimiti oblik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
Po uvjetu imamo da je x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Slijedi da će se potrebne jednadžbe napisati na sljedeći način:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Odgovor: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Neka se daju dvije točke M 1 (x 1,y 1) I M 2 (x 2, y 2). Napišimo jednadžbu pravca u obliku (5), gdje je k još nepoznati koeficijent:
Od točke M 2 pripada zadanoj liniji, tada njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbu (5): 
. Izražavanjem odavde i zamjenom u jednadžbu (5), dobivamo traženu jednadžbu:
Ako 
ova se jednadžba može prepisati u obliku koji je prikladniji za pamćenje:
(6)
Primjer. Napišite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke M 1 (1,2) i M 2 (-2,3)
Riješenje. 
. Koristeći svojstvo proporcije i izvodeći potrebne transformacije, dobivamo opću jednadžbu ravne linije:
Kut između dviju ravnih linija
Razmotrimo dvije ravne linije l 1 I l 2:
l 1: , , i
l 2: , ,
φ je kut između njih (). Iz slike 4 jasno je: .
 |
Odavde 
, ili
Pomoću formule (7) možete odrediti jedan od kutova između ravnih linija. Drugi kut je jednak .
Primjer. Dvije ravne crte dane su jednadžbama y=2x+3 i y=-3x+2. nađite kut između ovih pravaca.
Riješenje. Iz jednadžbi je jasno da je k 1 =2, a k 2 =-3. Zamjenom ovih vrijednosti u formulu (7), nalazimo
. Dakle, kut između ovih linija je jednak.
Uvjeti paralelnosti i okomitosti dviju ravnih linija
Ako je ravno l 1 I l 2 paralelni su, dakle φ=0 I tgφ=0. iz formule (7) slijedi da je , odakle k 2 =k 1. Dakle, uvjet za paralelnost dvaju pravaca je jednakost njihovih kutnih koeficijenata.
Ako je ravno l 1 I l 2 okomiti su, dakle φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . 
. Dakle, uvjet za okomitost dviju ravnih linija je da su njihovi kutni koeficijenti inverzne veličine i suprotnog predznaka.
Udaljenost od točke do linije
Teorema. Ako je dana točka M(x 0, y 0), tada se udaljenost do pravca Ax + Bu + C = 0 određuje kao
Dokaz. Neka je točka M 1 (x 1, y 1) osnovica okomice spuštene iz točke M na zadanu ravnicu. Tada je udaljenost između točaka M i M 1:
Koordinate x 1 i y 1 mogu se pronaći rješavanjem sustava jednadžbi:
Druga jednadžba sustava je jednadžba pravca koji prolazi kroz ovu točku M 0 je okomit na zadanu ravnu liniju.
Ako prvu jednadžbu sustava transformiramo u oblik:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
tada rješavanjem dobivamo:
Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (1), nalazimo:
Teorem je dokazan.
Primjer. Odredite kut između pravaca: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.
Primjer. Pokažite da su pravci 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 okomiti.
Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dakle, linije su okomite.
Primjer. Zadani su vrhovi trokuta A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Nađite jednadžbu visine povučene iz vrha C.
Nalazimo jednadžbu stranice AB: ; 4x = 6y – 6;
2x – 3y + 3 = 0;
Tražena jednadžba visine ima oblik: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b.
k= . Tada je y = . Jer visina prolazi kroz točku C, tada njegove koordinate zadovoljavaju ovu jednadžbu: odakle je b = 17. Ukupno: .
Odgovor: 3x + 2y – 34 = 0.
Udaljenost od točke do pravca određena je duljinom okomice povučene iz točke na pravac.
Ako je pravac paralelan s ravninom projekcije (h | | P 1), zatim da bi se odredila udaljenost od točke A na ravnu liniju h potrebno je spustiti okomicu s točke A na horizontalu h.
Razmotrimo više složen primjer, kada ravna linija traje opći položaj. Neka je potrebno odrediti udaljenost od točke M na ravnu liniju A opći položaj.
Zadatak utvrđivanja udaljenosti između paralelnih pravaca rješava se slično kao i prethodni. Na jednom pravcu se uzme točka i s nje se spusti okomica na drugi pravac. Duljina okomice jednaka je udaljenosti između usporednih pravaca.
Krivulja drugog reda je pravac definiran jednadžbom drugog stupnja u odnosu na trenutne kartezijeve koordinate. U općem slučaju, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
gdje su A, B, C, D, E, F realni brojevi i barem jedan od brojeva A 2 + B 2 + C 2 ≠0.
Krug
Središte kruga– to je geometrijsko mjesto točaka u ravnini jednako udaljenih od točke u ravnini C(a,b).
Krug je dan sljedećom jednadžbom:
Gdje su x,y koordinate proizvoljne točke na krugu, R je polumjer kruga.
Predznak jednadžbe kruga
1. Nedostaje član s x, y
2. Koeficijenti za x 2 i y 2 su jednaki
Elipsa
Elipsa naziva se geometrijsko mjesto točaka u ravnini, od kojih se zbroj udaljenosti svake od dviju zadanih točaka ove ravnine naziva žarištima (stalna vrijednost).
Kanonička jednadžba elipsa:
X i y pripadaju elipsi.
a – velika poluos elipse
b – mala poluos elipse
Elipsa ima 2 osi simetrije OX i OU. Osi simetrije elipse su njene osi, a točka njihovog sjecišta je središte elipse. Os na kojoj se nalaze žarišta naziva se žarišna os. Sjecište elipse s osima je vrh elipse.
Omjer kompresije (napetosti): ε = s/a– ekscentričnost (karakterizira oblik elipse), što je manja, to je elipsa manje izvučena duž žarišne osi.
Ako središta elipse nisu u središtu C(α, β)
Hiperbola
Hiperbola naziva se geometrijsko mjesto točaka u ravnini, apsolutna vrijednost razlike u udaljenostima, od kojih je svaka od dviju danih točaka ove ravnine, zvanih žarišta, konstantna vrijednost različita od nule.
Jednadžba kanonske hiperbole
Hiperbola ima 2 osi simetrije:
a – realna poluos simetrije
b – zamišljena poluos simetrije
Asimptote hiperbole:
Parabola
Parabola je geometrijsko mjesto točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke F, koja se naziva žarište, i zadanog pravca, koji se naziva direktrisa.
Kanonska jednadžba parabole:
U 2 =2rh, gdje je r udaljenost od fokusa do direktrise (parabole parabole)
Ako je vrh parabole C (α, β), tada je jednadžba parabole (y-β) 2 = 2r(x-α)
Ako se žarišna os uzme kao ordinatna os, tada će jednadžba parabole imati oblik: x 2 =2qu
Svojstva pravca u euklidskoj geometriji.
Kroz bilo koju točku može se povući beskonačan broj ravnih linija.
Kroz bilo koje dvije točke koje se ne podudaraju može se povući jedna ravna crta.
Dvije divergentne linije u ravnini se sijeku u jednoj točki ili se
paralelno (slijedi iz prethodnog).
U trodimenzionalni prostor Postoje tri opcije za relativni položaj dviju linija:
- linije se sijeku;
- linije su paralelne;
- ravne linije se sijeku.
Ravno crta— algebarska krivulja prvog reda: ravna crta u Kartezijevom koordinatnom sustavu
dana je na ravnini jednadžbom prvog stupnja (linearna jednadžba).
Opća jednadžba pravca.
Definicija. Bilo koja ravna crta na ravnini može se odrediti jednadžbom prvog reda
Ax + Wu + C = 0,
i konstantan A, B nisu u isto vrijeme jednaki nuli. Ova jednadžba prvog reda zove se Općenito
jednadžba ravne linije. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B I S Mogući su sljedeći posebni slučajevi:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- ravna linija prolazi kroz ishodište
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- ravna linija paralelna s osi Oh
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ravna linija paralelna s osi OU
. B = C = 0, A ≠0- ravna linija se poklapa s osi OU
. A = C = 0, B ≠0- ravna linija se poklapa s osi Oh
Jednadžba ravne linije može se prikazati u u raznim oblicima ovisno o bilo kojoj danosti
početni uvjeti.
Jednadžba pravca iz točke i normalnog vektora.
Definicija. U kartezijevom pravokutnom koordinatnom sustavu vektor s komponentama (A, B)
okomito na pravac zadan jednadžbom
Ax + Wu + C = 0.
Primjer. Pronađite jednadžbu pravca koji prolazi točkom A(1, 2) okomito na vektor (3, -1).
Riješenje. Uz A = 3 i B = -1, sastavimo jednadžbu ravne linije: 3x - y + C = 0. Da bismo pronašli koeficijent C
Zamijenimo u dobiveni izraz koordinate zadane točke A. Dobivamo: 3 - 2 + C = 0, dakle
C = -1. Ukupno: tražena jednadžba: 3x - y - 1 = 0.
Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke.
Neka su u prostoru zadane dvije točke M 1 (x 1, y 1, z 1) I M2 (x 2, y 2, z 2), Zatim jednadžba pravca,
prolazeći kroz ove točke:
Ako je bilo koji od nazivnika nula, odgovarajući brojnik treba postaviti na nulu. Na
ravnine, gore napisana jednadžba ravne linije je pojednostavljena:
Ako x 1 ≠ x 2 I x = x 1, Ako x 1 = x 2 .
Frakcija = k nazvao nagib ravno.
Primjer. Nađite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke A(1, 2) i B(3, 4).
Riješenje. Primjenom gore napisane formule dobivamo:
Jednadžba pravca pomoću točke i nagiba.
Ako je opća jednadžba pravca Ax + Wu + C = 0 dovesti do:
i odrediti 
, tada se rezultirajuća jednadžba naziva
jednadžba pravca s nagibom k.
Jednadžba pravca iz točke i vektora smjera.
Analogno s točkom koja razmatra jednadžbu pravca kroz normalni vektor, možete unijeti zadatak
pravac kroz točku i smjerni vektor pravca.
Definicija. Svaki vektor različit od nule (α 1, α 2), čije komponente zadovoljavaju uvjet
Aα 1 + Bα 2 = 0 nazvao vektor usmjeravanja pravca.
Ax + Wu + C = 0.
Primjer. Nađite jednadžbu pravca s vektorom smjera (1, -1) koji prolazi točkom A(1, 2).
Riješenje. Jednadžbu željenog pravca tražit ćemo u obliku: Ax + By + C = 0. Prema definiciji,
koeficijenti moraju zadovoljiti sljedeće uvjete:
1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.
Tada jednadžba pravca ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0.
na x = 1, y = 2 dobivamo C/A = -3, tj. potrebna jednadžba:
x + y - 3 = 0
Jednadžba pravca u segmentima.
Ako je u općoj jednadžbi ravne linije Ah + Vu + S = 0 S≠0, tada, dijeljenjem s -S, dobivamo:
ili gdje
Geometrijsko značenje koeficijenata je da je koeficijent a koordinata presječne točke
ravno s osi Oh, A b- koordinata sjecišta pravca s osi OU.
Primjer. Dana je opća jednadžba pravca x - y + 1 = 0. Pronađite jednadžbu ovog pravca u segmentima.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Normalna jednadžba pravca.
Ako obje strane jednadžbe Ax + Wu + C = 0 podijeliti brojem 
koji se zove
faktor normalizacije, onda dobivamo
xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalna jednadžba pravca.
Predznak ± normalizirajućeg faktora mora biti odabran tako da μ*C< 0.
R- duljina okomice spuštene iz ishodišta na ravnu crtu,
A φ - kut koji čini ova okomica s pozitivnim smjerom osi Oh.
Primjer. Dana je opća jednadžba pravca 12x - 5y - 65 = 0. Obavezan za pisanje Različite vrste jednadžbe
ovu ravnu liniju.
Jednadžba ovog pravca u segmentima:
Jednadžba ove linije s nagibom: (podijeli s 5)
Jednadžba pravca:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Treba napomenuti da se svaka ravna linija ne može prikazati jednadžbom u segmentima, na primjer, ravne linije,
paralelno s osi ili prolazeći kroz ishodište.
Kut između ravnih linija u ravnini.
Definicija. Ako su zadane dvije crte y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, To oštar kut između ovih redaka
definirat će se kao
Dva pravca su paralelna ako k 1 = k 2. Dvije linije su okomite
Ako k 1 = -1/ k 2 .
Teorema.
Direktno Ax + Wu + C = 0 I A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralelno kada su koeficijenti proporcionalni
A 1 = λA, B 1 = λB. Ako također S 1 = λS, onda se linije podudaraju. Koordinate točke presjeka dviju linija
nalaze se kao rješenje sustava jednadžbi ovih pravaca.
Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani pravac.
Definicija. Pravac koji prolazi točkom M 1 (x 1, y 1) a okomito na pravac y = kx + b
predstavljena jednadžbom:
Udaljenost od točke do pravca.
Teorema. Ako se da bod M(x 0, y 0), zatim udaljenost do pravca Ax + Wu + C = 0 definirano kao:
Dokaz. Neka točka M 1 (x 1, y 1)- osnovica okomice spuštene s točke M za dano
direktno. Zatim udaljenost između točaka M I M 1:
(1)
Koordinate x 1 I u 1 može se pronaći kao rješenje sustava jednadžbi:
Druga jednadžba sustava je jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku M 0 okomito
dana ravna linija. Ako prvu jednadžbu sustava transformiramo u oblik:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
tada rješavanjem dobivamo:
Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (1), nalazimo:
Teorem je dokazan.
Neka pravac prolazi kroz točke M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2). Jednadžba pravca koja prolazi točkom M 1 ima oblik y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)
Gdje k - još nepoznati koeficijent.
Budući da pravac prolazi točkom M 2 (x 2 y 2), koordinate te točke moraju zadovoljiti jednadžbu (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).
Odavde nalazimo Zamjena pronađene vrijednosti k
u jednadžbu (10.6), dobivamo jednadžbu pravca koji prolazi točkama M 1 i M 2: 
Pretpostavlja se da je u ovoj jednadžbi x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Ako je x 1 = x 2, tada je pravac koji prolazi kroz točke M 1 (x 1,y I) i M 2 (x 2,y 2) paralelan s osi ordinata. Njegova jednadžba je x = x 1 .
Ako je y 2 = y I, tada se jednadžba pravca može napisati kao y = y 1, pravac M 1 M 2 je paralelan s osi apscisa.
Jednadžba pravca u segmentima
Neka pravac siječe os Ox u točki M 1 (a;0), a os Oy u točki M 2 (0;b). Jednadžba će imati oblik: 
oni. 
. Ova se jednadžba zove jednadžba pravca u segmentima, jer brojevi a i b označavaju koje segmente linija odsijeca na koordinatnim osima.
Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani vektor
Nađimo jednadžbu pravca koji prolazi kroz zadanu točku Mo (x O; y o) okomito na zadani vektor n = (A; B).
Uzmimo proizvoljnu točku M(x; y) na pravcu i razmotrimo vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (vidi sliku 1). Budući da su vektori n i M o M okomiti, njihov je skalarni produkt jednak nuli: tj.
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Jednadžba (10.8) naziva se jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani vektor .
Vektor n= (A; B), okomit na pravac, nazivamo normalom vektor normale ove linije .
Jednadžba (10.8) može se prepisati kao Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
gdje su A i B koordinate vektora normale, C = -Ax o - Vu o je slobodni član. Jednadžba (10.9) je opća jednadžba pravca(vidi sliku 2).
sl.1 sl.2
Kanonske jednadžbe pravca
,
Gdje 
- koordinate točke kroz koju pravac prolazi, i 
- vektor smjera.
Krivulje drugog reda Krug
Kružnica je skup svih točaka ravnine jednako udaljenih od dane točke, koja se naziva središtem.
Kanonska jednadžba kruga radijusa
R centriran u točki 
:
Konkretno, ako se središte udjela podudara s ishodištem koordinata, tada će jednadžba izgledati ovako: 
Elipsa
Elipsa je skup točaka na ravnini, zbroj udaljenosti od svake od njih do dvije zadane točke
I 
, koji se nazivaju žarišta, konstantna je veličina 
, veća od udaljenosti između žarišta 
.
Kanonska jednadžba elipse čiji fokusi leže na Ox osi, a ishodište koordinata u sredini između fokusa ima oblik 
G 
de a duljina polu-velike osi; b – duljina male poluosi (slika 2).
