Pitanja sfere i lopte. Geometrijski pojam kugle: formula, svojstva, površina našeg planeta

Definicija.

Kugla se može opisati kao trodimenzionalni lik koji nastaje rotacijom kruga oko svog promjera za 180° ili polukruga oko promjera za 360°.

Definicija.

Kugla se može opisati kao trodimenzionalni lik koji nastaje rotacijom kruga oko svog promjera za 180° ili polukruga oko promjera za 360°.

Definicija. Radijus sfere (kuglice).(R) je udaljenost od središta kugle (kuglice) O na bilo koju točku kugle (površine lopte).

Definicija. Promjer kugle (kuglice).(D) je segment koji spaja dvije točke kugle (površine kugle) i prolazi kroz njezino središte.

Formula. Volumen lopte:

Formula. Površina sfere kroz polumjer ili promjer:

S = 4π R 2 = π D 2

Jednadžba sfere

1. Jednadžba kugle s polumjerom R i središtem u ishodištu kartezijanskog koordinatnog sustava:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Jednadžba kugle polumjera R i centra u točki s koordinatama (x 0 , y 0 , z 0) u kartezijanskom koordinatnom sustavu:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definicija. dijametralno suprotne točke su bilo koje dvije točke na površini kugle (sfere) koje su povezane promjerom.

Osnovna svojstva kugle i lopte

1. Sve točke kugle jednako su udaljene od središta.

2. Svaki presjek kugle ravninom je kružnica.

3. Svaki presjek kugle ravninom je kružnica.

4. Kugla ima najveći volumen među svim prostornim figurama s istom površinom.

5. Kroz bilo koje dvije dijametralno suprotne točke možete nacrtati mnogo velikih krugova za kuglu ili krugova za loptu.

6. Kroz bilo koje dvije točke, osim dijametralno suprotnih točaka, moguće je nacrtati samo jedan veliki krug za kuglu ili veliki krug za loptu.

7. Bilo koje dvije velike kružnice jedne lopte sijeku se duž ravne linije koja prolazi kroz središte lopte, a kružnice se sijeku u dvije dijametralno suprotne točke.

8. Ako je udaljenost između središta bilo koje dvije kuglice manja od zbroja njihovih polumjera i veća od modula razlike njihovih polumjera, tada takve kuglice presijecati, a u ravnini presjeka nastaje kružnica.

Sekans, tetiva, sekantna ravnina sfere i njihova svojstva

Definicija. Sekansa sfera je ravna crta koja siječe kuglu u dvije točke. Točke presjeka se nazivaju punkcijska mjesta površine ili ulazne i izlazne točke na površini.

Definicija. Akord kugle (lopte) je segment koji spaja dvije točke kugle (površine lopte).

Definicija. rezna ravnina je ravnina koja siječe kuglu.

Definicija. Promjerna ravnina- ovo je sekantna ravnina koja prolazi središtem kugle ili kugle, presjek se oblikuje, odnosno veliki krug i veliki krug. Veliki krug i veliki krug imaju središte koje se poklapa sa središtem kugle (lopte).

Svaka tetiva koja prolazi središtem kugle (kuglice) je promjer.

Tetiva je odsječak sekantne linije.

Udaljenost d od središta kugle do sekante uvijek je manja od polumjera kugle:

d< R

Udaljenost m između rezne ravnine i središta kugle uvijek je manja od polumjera R:

m< R

Presjek rezne ravnine na kugli uvijek će biti manji krug, a na lopti će dionica biti mali krug. Mali krug i mali krug imaju svoja središta koja se ne poklapaju sa središtem kugle (kuglice). Polumjer r takve kružnice može se pronaći po formuli:

r \u003d √ R 2 - m2,

Gdje je R polumjer kugle (kuglice), m je udaljenost od središta lopte do rezne ravnine.

Definicija. hemisfera (hemisfera)- ovo je polovica kugle (kuglice), koja nastaje kada se presječe dijametralnom ravninom.

Tangenta, tangentna ravnina na sferu i njihova svojstva

Definicija. Tangenta na sferu je ravna crta koja dodiruje kuglu samo u jednoj točki.

Definicija. Tangentna ravnina na sferu je ravnina koja dodiruje kuglu samo u jednoj točki.

Tangentna linija (ravnina) uvijek je okomita na polumjer kugle povučene do točke dodira

Udaljenost od središta kugle do tangentne linije (ravnine) jednaka je polumjeru kugle.

Definicija. segment lopte- ovo je dio lopte koji je reznom ravninom odsječen od lopte. Okosnica segmenta nazovite krug koji je nastao na mjestu presjeka. visina segmenta h je duljina okomice povučene od sredine baze segmenta do površine segmenta.

Formula. Vanjska površina segmenta sfere s visinom h u smislu polumjera kugle R:

S = 2π Rh

U 2. poglavlju nastavit ćemo s „gradnjom geometrije“ i govoriti o strukturi i svojstvima najvažnijih prostornih figura – kugle i kugle, cilindara i stožaca, prizme i piramide. Većina objekata stvorenih ljudskom rukom su građevine, automobili, namještaj, pribor, itd., itd., sastoji se od dijelova koji imaju oblik ovih figura.

§ 4. KUGLA I LOPTA

Nakon ravnih linija i ravnina, kugla i lopta su najjednostavniji, ali vrlo važni i bogati raznim svojstvima. prostorne figure. O geometrijskim svojstvima lopte i njezine površine – kugle napisane su cijele knjige. Neka od tih svojstava bila su poznata već starim grčkim geometrima, a neka su pronađena sasvim nedavno, u posljednjih godina. Ova svojstva (zajedno sa zakonima prirodnih znanosti) objašnjavaju zašto, na primjer, nebeska tijela i riblja jaja imaju oblik lopte, zašto se batiskafi i nogometne lopte izrađuju u obliku lopte, zašto su kuglični ležajevi tako česti u tehnologija itd. Možemo dokazati samo najjednostavnija svojstva lopte. Dokaz drugih svojstava, iako vrlo važan, često zahtijeva korištenje metoda koje nisu nimalo elementarne, iako formulacije takvih svojstava mogu biti vrlo jednostavne: na primjer, među svim tijelima s danom površinom, kugla ima najveći volumen.

4.1. Definicije sfere i sfere.

Kugla i kugla definirane su u prostoru na potpuno isti način kao kružnica i kružnica na ravnini. Kugla je lik koji se sastoji od svih točaka u prostoru udaljenih od danog

upućuju na istu (pozitivnu) udaljenost.

Ta se točka naziva središte kugle, a udaljenost njezin polumjer (slika 4.1).

Dakle, kugla sa središtem O i polumjerom R je lik kojeg čine sve točke X prostora za koji

Kugla je lik kojeg čine sve točke u prostoru koje se nalaze na udaljenosti ne većoj od zadane (pozitivne) udaljenosti od zadane točke. Ta se točka naziva središte lopte, a ta udaljenost naziva se njezin polumjer.

Dakle, lopta sa središtem O i polumjerom R je lik kojeg čine sve točke X prostora za koji

One točke X lopte sa središtem O i polumjerom R za koje tvore kuglu. Kaže se da ta sfera omeđuje danu kuglu, ili da je ona njezina površina.

Simbol globusa je globalnost globusa Zemlje. Simbol budućnosti, razlikuje se od križa po tome što potonji personificira patnju i ljudsku smrt. NA Drevni Egipt prvi došao do zaključka da je Zemlja sferna. Ova pretpostavka poslužila je kao osnova za brojna razmišljanja o besmrtnosti zemlje i mogućnosti besmrtnosti živih organizama koji na njoj žive.

Ova točka(O) se naziva središte sfere. Svaki segment koji povezuje središte i neku točku kugle naziva se polumjer kugle (R-radijus kugle). Odsječak koji spaja dvije točke kugle i prolazi kroz njezino središte naziva se promjer kugle. Očito je promjer kugle 2R.

Definicija kugle Kugla je tijelo koje se sastoji od svih točaka u prostoru koje se nalaze na udaljenosti ne većoj od zadane udaljenosti od zadane točke (ili lika omeđenog kuglom). Tijelo omeđeno kuglom naziva se kugla. Središte, polumjer i promjer kugle također se nazivaju središtem, polumjerom i promjerom kugle. Lopta

Ravnina koja prolazi središtem lopte naziva se dijametralna ravnina, a ravnina koja prolazi središtem lopte naziva se dijametralna ravnina. Presjek lopte dijametralnom ravninom naziva se velika kružnica, a presjek kugle veliki krug. Presjek lopte dijametralnom ravninom naziva se velika kružnica, a presjek kugle naziva se veliki krug.

X²+y²=R²-d² Ako je d>R, tada kugla i ravnina nemaju zajedničkih točaka. R, tada kugla i ravnina nemaju zajedničkih točaka."> R, tada kugla i ravnina nemaju zajedničkih točaka."> R, tada kugla i ravnina nemaju zajedničkih točaka." title="(!LANG:x²+ y²=R² -d² Ako je d>R, tada kugla i ravnina nemaju zajedničke točke."> title="x²+y²=R²-d² Ako je d>R, tada kugla i ravnina nemaju zajedničkih točaka."> !}

Tangentna ravnina na kuglu tangentnom ravninom na kuglu Ravnina koja ima samo jednu zajedničku točku sa kuglom naziva se tangentna ravnina na kuglu, tangentna točka A ravnine i kugle. A njihova zajednička točka naziva se tangentna točka A ravnine i kugle.

Teorem: Polumjer kugle nacrtan u točki dodira kugle i ravnine okomit je na tangentnu ravninu. Dokaz: Razmotrimo ravninu α tangentnu na kuglu sa središtem O u točki A. Dokaži da je OA okomita na α. Pretpostavimo da nije. Tada je polumjer OA nagnut prema ravnini α, te je stoga udaljenost od središta kugle do ravnine manja od polumjera kugle. Stoga se sfera i ravnina sijeku u kružnici. To je suprotno onome što je tangentno, t.j. Kugla i ravnina imaju samo jednu zajedničku točku. Dobivena kontradikcija dokazuje da je OA okomita na α.

Kugla i lopta

Riječ "sfera" dolazi od grčke riječi "sfire", koja je prevedena na ruski kao "lopta".

SHAR je simbol budućnosti.

Simbol globusa je globalnost globusa Zemlje. Simbol budućnosti, razlikuje se od križa po tome što potonji personificira patnju i ljudsku smrt. U starom Egiptu prvi su došli do zaključka da je Zemlja sferna. Ova pretpostavka poslužila je kao osnova za brojna razmišljanja o besmrtnosti zemlje i mogućnosti besmrtnosti živih organizama koji na njoj žive.

Čovjek koji drži loptu u rukama simbolizira subjekt koji nosi teret svijeta. Nije slučajno da su neke postaje u zapadnoj Europi, na primjer, u Helsinkiju, ukrašene sličnim skulpturama: ovdje su tereti koji padaju na ramena putnika su prikazani.

Dakle, lopta i globus su znakovi providnosti, ponašanja, vječnosti, moći i moći okrunjenih osoba.

Kamena hemisfera sfere utjelovljena je u vjerskim hramovima - kupolama pravoslavne crkve u Rusiji; stupe povezane s prebivalištem bodhisattvi u Indiji. U Indoneziji stupe su dobile oblik zvona s kamenim tornjem na vrhu i nazivaju se dagobama.

U grčko-rimskoj mitologiji lopta je simbolizirala sreću, sudbinu, povezivala se s Tihe (srećom) koja je stajala na lopti. Poznata Picassova slika "Djevojka na lopti" je rasplesana sreća.

Kuglasti oblik u prirodi Mnoge bobice imaju kuglični oblik.

Planeti su sferni.

Neka stabla su sferna.

Definicija kugle Kugla je površina koja se sastoji od svih točaka u prostoru koje se nalaze na određenoj udaljenosti od dane točke.

Kugla je površina dobivena rotacijom polukruga oko promjera

Ova točka (O) naziva se središte sfere. Svaki segment koji povezuje središte i neku točku kugle naziva se polumjer kugle (R-radijus kugle). Odsječak koji spaja dvije točke kugle i prolazi kroz njezino središte naziva se promjer kugle. Očito je promjer kugle 2R.

Definicija kugle Kugla je tijelo koje se sastoji od svih točaka u prostoru koje se nalaze na udaljenosti ne većoj od zadane udaljenosti od zadane točke (ili lika omeđenog kuglom). Tijelo omeđeno kuglom naziva se kugla. Središte, polumjer i promjer kugle također se nazivaju središtem, polumjerom i promjerom kugle.

Sferni segment Sferni segment je dio lopte odsječen od njega nekom ravninom.

Sferni sloj Sferni sloj je dio sfere zatvoren između dvije paralelne rezne ravnine.

Sferni sektor Sferni sektor je tijelo dobiveno rotacijom kružnog sektora pod kutom manjim od 900 oko ravne crte koja sadrži jedan od polumjera koji omeđuju kružni sektor.

Ravnina koja prolazi središtem lopte naziva se dijametralna ravnina. Presjek kugle s dijametralnom ravninom naziva se velika kružnica, a presjek kugle velika kružnica. Loptasti dio

Popravljamo Riješite problem br. 573, br. 574 (a)

Jednadžba kugle u pravokutnom koordinatnom sustavu M(x;y;z) je proizvoljna točka koja pripada sferi. /MC/= v(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 MC=R, tada (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2

Zadatak 1. Pronađite koordinate središta i polumjera kugle date jednadžbom: x?+y?+z?=49 (X-3)?+(y+2)?+z?=2 2. Napišite jednadžba za kuglu polumjera R sa središtem And ako je A(2;-4;7) R=3 A(0;0;0) R=v2 A(2;0;0) R=4 3. Riješite zadatak br. 577(a)

Međusobni raspored kugle i ravnine Označimo polumjer kugle slovom R, a udaljenost od njezina središta do ravnine? slovom d. Uvedimo koordinatni sustav tako da se ravnina Oxy poklapa s ravninom?, a središte C kugle leži na pozitivnoj poluosi Oz.

U ovom koordinatnom sustavu, točka C (o; o; d), pa sfera ima jednadžbu x2+y2+(z-d)2=R? Ravnina se poklapa s koordinatnom ravninom Oxy, pa je njezina jednadžba z=0

Dakle, pitanje međusobnog rasporeda kugle i ravnine svodi se na proučavanje sustava jednadžbi. Zamjenom z=0 u drugu jednadžbu, dobivamo x?+y?=R?-d? Moguća su 3 slučaja:

x?+y?=R?-d? Ako je d>R, tada kugla i ravnina nemaju zajedničkih točaka.

x?+y?=R?-d? Ako je d=R, tada kugla i ravnina imenuju samo jednu zajedničku točku. U ovom slučaju? naziva tangentnom ravninom na sferu

x?+y?=R?-d? Ako d

Popravljamo Riješite problem br. 580, br. 581

Tangentna ravnina na kuglu Ravnina koja sa kuglom ima samo jednu zajedničku točku naziva se tangentna ravnina na kuglu, a njihova zajednička točka naziva se tangentna točka A ravnine i kugle.

Teorem: Polumjer kugle nacrtan u točki dodira kugle i ravnine okomit je na tangentnu ravninu. Dokaz: Razmislite o ravnini koja dodiruje kuglu sa središtem O u točki A. Dokažite da je OA okomita na?. Pretpostavimo da nije. Tada je polumjer OA nagnut prema ravnini?, te je, posljedično, udaljenost od središta kugle do ravnine manja od polumjera kugle. Stoga se sfera i ravnina sijeku u kružnici. To je suprotno onome što je tangentno, t.j. Kugla i ravnina imaju samo jednu zajedničku točku. Dobivena kontradikcija dokazuje da je OA okomita?.

Obrnuti teorem: Ako je polumjer kugle okomit na ravninu koja prolazi njezinim krajem koji leži na kugli, tada je ta ravnina tangentna na sferu.

Popravljamo Riješite problem br. 592

Područje sfere Kugla se ne može izravnati! Poliedar opisan u blizini kugle je poliedar čija sva lica dodiruje kugla. Za kuglu se kaže da je upisana u poliedar

Zadatak: Površina poprečnog presjeka kugle koja prolazi kroz njeno središte je 9m2. Pronađite površinu kugle. Rješenje: Presjek koji prolazi središtem kugle je kružnica. Ssec =?r2, 9=?R2, R=v9/? . Sfere=4 ?r2, Sfere=4? · devet/? =36m2