Definicija.
Pravokutnik To je četverokut s dvije suprotne stranice jednake i sva četiri kuta jednaka.Pravokutnici se međusobno razlikuju samo po omjeru duge i kratke strane, ali sva četiri su u pravu, odnosno svaki po 90 stupnjeva.
Duga stranica pravokutnika naziva se dužina pravokutnika, i kratki širina pravokutnika.
Stranice pravokutnika su ujedno i njegove visine.
Osnovna svojstva pravokutnika
Pravokutnik može biti paralelogram, kvadrat ili romb.
1. Suprotne strane pravokutnika imaju istu duljinu, odnosno jednake su:
AB=CD, BC=AD
2. Suprotne strane pravokutnika su paralelne:
3. Susjedne stranice pravokutnika uvijek su okomite:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Sva četiri ugla pravokutnika su ravna:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Zbroj kutova pravokutnika je 360 stupnjeva:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Dijagonale pravokutnika imaju istu duljinu:
7. Zbroj kvadrata dijagonale pravokutnika jednak je zbroju kvadrata stranica:
2d2 = 2a2 + 2b2
8. Svaka dijagonala pravokutnika dijeli pravokutnik na dva identična lika, odnosno pravokutne trokute.
9. Dijagonale pravokutnika sijeku se i dijele na pola u točki presjeka:
| AO=BO=CO=DO= | d | ||
| 2 |
10. Točka presjeka dijagonala naziva se središtem pravokutnika i također je središte opisane kružnice
11. Dijagonala pravokutnika je promjer opisane kružnice
12. Krug se uvijek može opisati oko pravokutnika, budući da je zbroj suprotnih kutova 180 stupnjeva:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. Krug se ne može upisati u pravokutnik čija dužina nije jednaka širini, jer su zbroji suprotne strane nisu jednake jedna drugoj (možete upisati samo krug poseban slučaj pravokutnik - kvadrat).
Stranice pravokutnika
Definicija.
Dužina pravokutnika nazovimo duljinu duljeg para njegovih stranica. Širina pravokutnika imenovati duljinu kraćeg para njegovih stranica.Formule za određivanje duljina stranica pravokutnika
1. Formula za stranicu pravokutnika (dužinu i širinu pravokutnika) u smislu dijagonale i druge strane:
a = √ d 2 - b 2
b = √ d 2 - a 2
2. Formula za stranicu pravokutnika (dužinu i širinu pravokutnika) u smislu površine i druge strane:
| b = dcos | β |
| 2 |
Dijagonala pravokutnika
Definicija.
Dijagonalni pravokutnik Svaki segment koji povezuje dva vrha suprotnih kutova pravokutnika naziva se.Formule za određivanje duljine dijagonale pravokutnika
1. Formula za dijagonalu pravokutnika u terminima dviju stranica pravokutnika (preko Pitagorinog teorema):
d = √ a 2 + b 2
2. Formula za dijagonalu pravokutnika u smislu površine i bilo koje stranice:
4. Formula za dijagonalu pravokutnika u smislu polumjera opisane kružnice:
d=2R
5. Formula za dijagonalu pravokutnika u smislu promjera opisane kružnice:
d = D o
6. Formula dijagonale pravokutnika u smislu sinusa kuta uz dijagonalu i duljine stranice suprotne ovom kutu:
8. Formula za dijagonalu pravokutnika u smislu sinusa oštar kut između dijagonala i površine pravokutnika
d = √2S: sinβ
Opseg pravokutnika
Definicija.
Opseg pravokutnika je zbroj duljina svih stranica pravokutnika.Formule za određivanje duljine opsega pravokutnika
1. Formula za opseg pravokutnika u smislu dviju stranica pravokutnika:
P = 2a + 2b
P = 2(a+b)
2. Formula za opseg pravokutnika u smislu površine i bilo koje stranice:
| P= | 2S + 2a 2 | = | 2S + 2b 2 |
| a | b |
3. Formula za opseg pravokutnika u smislu dijagonale i bilo koje stranice:
P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)
4. Formula za opseg pravokutnika u smislu polumjera opisane kružnice i bilo koje stranice:
P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)
5. Formula za opseg pravokutnika u smislu promjera opisane kružnice i bilo koje stranice:
P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)
Područje pravokutnika
Definicija.
Područje pravokutnika naziva se prostor omeđen stranicama pravokutnika, odnosno unutar opsega pravokutnika.Formule za određivanje površine pravokutnika
1. Formula za površinu pravokutnika u smislu dvije stranice:
S = a b
2. Formula za površinu pravokutnika kroz perimetar i bilo koju stranu:
5. Formula za površinu pravokutnika u smislu polumjera opisane kružnice i bilo koje stranice:
S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2
6. Formula za površinu pravokutnika u smislu promjera opisane kružnice i bilo koje stranice:
S \u003d a √ D o 2 - a 2= b √ D o 2 - b 2
Krug opisan oko pravokutnika
Definicija.
Krug opisan oko pravokutnika Kružnicom se naziva kružnica koja prolazi kroz četiri vrha pravokutnika, čije središte leži na sjecištu dijagonala pravokutnika.Formule za određivanje polumjera kružnice opisane oko pravokutnika
1. Formula za polumjer kružnice opisane oko pravokutnika kroz dvije stranice:
Perimetar (drugo - grč. περίμετρον - krug, drugo - grč. περιμετρέο - mjerim okolo) - ukupna duljina granice figure (najčešće na ravnini). Ima istu dimenziju kao i dužina. Ponekad se perimetar naziva granicom geometrijskog lika.
Područje - brojčana karakteristika dvodimenzionalne (ravne ili zakrivljene) geometrijske figure, neformalno govoreći, koja pokazuje veličinu ove figure. Povijesno gledano, izračun površine nazivao se kvadraturom. Lik koji ima površinu naziva se kvadrat. Specifična vrijednost područja za jednostavne figure nedvosmisleno slijedi iz praktično važnih zahtjeva(Pogledaj ispod). Slike s istom površinom nazivaju se jednake površine.
Opseg figure ima samo jedan parametar - duljinu, ili duljinu, izraženu u jedinicama duljine: metar, jard, aršin, lakat. Ili njihove izvedenice: kilometar, centimetar, decimetar.
Područje figure ima dva parametra - na primjer, duljinu i širinu, ili polumjer i pi, ovisno o obliku. Veličina površine izražava se u jedinicama na kvadrat: četvornih metara, hektara, kvadratnih milja
Perimetar i njegova definicija
Opseg se obično naziva duljinom granice ravne figure, koja se sastoji od ravnih segmenata, pri čemu početak svakog sljedećeg graniči s krajem prethodnog.
Strogo govoreći, krug također ima perimetar, ali za krivocrtne granice uobičajeno je govoriti o opsegu ili duljini luka
Da biste odredili duljinu perimetra, potrebno je izmjeriti, odnosno izračunati, duljinu svake strane figure, a zatim zbrojiti rezultirajuće brojeve.
Područje lika i njegova definicija
Područje protozoa geometrijski oblici određena formulama.
Površina pravokutnika jednaka je umnošku duljina stranica.
Površina kruga jednaka je umnošku kvadrata polumjera i broja Pi \u003d 3,1415
Postoje formule za trokut, sektor, trapez, paralelogram.
Površina složenih krivolinijskih figura izračunava se integralom. Uzimanje integrala formule koja opisuje granicu figure rezultirat će područjem. Ovo je geometrijsko značenje integrala – on izračunava površinu omeđenu grafom funkcije u danom području.
Složena figura, lkz za koju ne postoji opća formula, mentalno se dijeli na jednostavne figure za određivanje površine. Područja jednostavnih figura se izračunavaju i zatim zbrajaju.
Opseg i površina geometrijske figure su povezani i jedan parametar se uvijek može izračunati iz drugog s minimalnim dodatnim podacima.
Perimetar je zbroj duljina svih strana poligona.
- Za izračunavanje opsega geometrijskih oblika koriste se posebne formule, gdje je perimetar označen slovom "P". Preporuča se ispisati naziv figure malim slovima ispod znaka "P" kako biste znali čiji obod nalazite.
- Opseg se mjeri u jedinicama duljine: mm, cm, m, km itd.
Prepoznatljive značajke pravokutnika
- Pravokutnik je četverokut.
- Sve paralelne stranice su jednake
- Svi kutovi = 90º.
- Na primjer, u Svakidašnjica pravokutnik se može naći u obliku knjige, monitora, pokrova stola ili vrata.
Kako izračunati opseg pravokutnika
Postoje 2 načina da ga pronađete:
- 1 način. Zbrojite sve strane. P = a + a + b + b
- 2 način. Dodajte širinu i dužinu i pomnožite s 2. P = (a + b) 2. ILI P \u003d 2 a + 2 b. Stranice pravokutnika koje leže jedna nasuprot drugoj (nasuprot) nazivaju se duljina i širina.
"a"- duljina pravokutnika, duži par njegovih stranica.
"b"- širina pravokutnika, kraći par njegovih stranica.
Primjer problema za izračunavanje opsega pravokutnika:
Izračunaj opseg pravokutnika ako mu je širina 3 cm, a duljina 6.
Zapamtite formule za izračunavanje opsega pravokutnika!
Poluperimetar je zbroj jedne dužine i jedne širine .
- Poluperimetar pravokutnika - kada izvršite prvu radnju u zagradama - (a+b).
- Da biste dobili opseg od poluopseg, trebate ga povećati za 2 puta, t.j. pomnoži sa 2.
Kako pronaći površinu pravokutnika
Formula površine pravokutnika S=a*b
Ako su duljina jedne strane i duljina dijagonale poznate u uvjetu, tada se područje može pronaći pomoću Pitagorinog teorema u takvim problemima, to vam omogućuje da pronađete duljinu stranice pravokutni trokut ako su poznate duljine drugih dviju stranica.
- : a 2 + b 2 = c 2, gdje su a i b stranice trokuta, a c hipotenuza, najduža stranica.
Zapamtiti!
- Svi kvadrati su pravokutnici, ali nisu svi pravokutnici kvadrati. Kao:
- Pravokutnik je četverokut sa svim pravim kutovima.
- Kvadrat Pravokutnik sa svim stranama jednakim.
- Ako pronađete površinu, odgovor će uvijek biti u kvadratnim jedinicama (mm 2, cm 2, m 2, km 2, itd.)
Prilikom rješavanja potrebno je uzeti u obzir da rješavanje problema pronalaženja površine pravokutnika samo iz duljine njegovih stranica Zabranjeno je.
To je lako provjeriti. Neka je opseg pravokutnika 20 cm. To će biti točno ako su njegove stranice 1 i 9, 2 i 8, 3 i 7 cm. Sva ova tri pravokutnika imat će isti opseg, jednak dvadeset centimetara. (1 + 9) * 2 = 20 isto kao (2 + 8) * 2 = 20 cm.
Kao što vidite, možemo birati beskonačan broj opcija dimenzije stranica pravokutnika, čiji će opseg biti jednak zadanoj vrijednosti.
Područje pravokutnika s zadanim perimetrom od 20 cm, ali s različitim stranama bit će različito. Za navedeni primjer - 9, 16 i 21 četvorni centimetar, respektivno.
S 1 \u003d 1 * 9 = 9 cm 2
S 2 \u003d 2 * 8 \u003d 16 cm 2
S 3 \u003d 3 * 7 \u003d 21 cm2
Kao što možete vidjeti, postoji beskonačan broj opcija za područje figure s danim perimetrom.
Dakle, da bi se izračunala površina pravokutnika iz njegovog perimetra, potrebno je znati ili omjer njegovih strana ili duljinu jedne od njih. Jedina figura koja ima nedvosmislenu ovisnost svoje površine o perimetru je krug. Samo za krug a možda i rješenje.
U ovoj lekciji:
- Zadatak 4. Promijenite duljinu stranica uz zadržavanje površine pravokutnika
Zadatak 1. Nađite stranice pravokutnika iz površine
Opseg pravokutnika je 32 centimetra, a zbroj površina kvadrata izgrađenih na svakoj od njegovih strana je 260 četvornih centimetara. Pronađite stranice pravokutnika.Odluka.
2(x+y)=32
Prema uvjetu zadatka, zbroj površina kvadrata izgrađenih na svakoj od njegovih strana (kvadrata, odnosno četiri) bit će jednak
2x2+2y2=260
x+y=16
x=16-y
2(16-y) 2 +2y 2 =260
2(256-32y+y2)+2y2=260
512-64y+4y 2 -260=0
4y2 -64y+252=0
D=4096-16x252=64
x1=9
x2=7
Sada uzmimo u obzir to na temelju činjenice da je x+y=16 (vidi gore) na x=9, zatim y=7 i obrnuto, ako je x=7, tada je y=9
Odgovor: Stranice pravokutnika su 7 i 9 centimetara
Zadatak 2. Nađi stranice pravokutnika iz opsega
Opseg pravokutnika je 26 cm, a zbroj površina kvadrata izgrađenih na njegove dvije susjedne strane je 89 četvornih metara. vidi Pronađi stranice pravokutnika.
Odluka.
Označimo stranice pravokutnika sa x i y.
Tada je opseg pravokutnika:
2(x+y)=26
Zbroj površina kvadrata izgrađenih na svakoj od njegovih strana (postoje dva kvadrata, odnosno, a to su kvadrati širine i visine, budući da su stranice susjedne) bit će jednak
x2+y2=89
Rezultirajući sustav jednadžbi rješavamo. Iz prve jednadžbe to zaključujemo
x+y=13
y=13-y
Sada izvodimo zamjenu u drugoj jednadžbi, zamjenjujući x s njegovim ekvivalentom.
(13.) 2 +y 2 =89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y2 -26y+80=0
Rješavamo rezultirajuću kvadratnu jednadžbu.
D=676-640=36
x1=5
x2=8
Sada uzmimo u obzir to na temelju činjenice da je x+y=13 (vidi gore) na x=5, zatim y=8 i obrnuto, ako je x=8, tada je y=5
Odgovor: 5 i 8 cm
Zadatak 3. Nađite površinu pravokutnika iz omjera njegovih stranica
Nađi površinu pravokutnika ako je njegov opseg 26 cm, a stranice su proporcionalne 2 prema 3.
Odluka.
Označimo stranice pravokutnika koeficijentom proporcionalnosti x.
Odakle će duljina jedne strane biti jednaka 2x, a druga - 3x.
Zatim:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Sada, na temelju dobivenih podataka, određujemo površinu pravokutnika:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 cm2
Zadatak 4. Promjena duljine stranica uz zadržavanje površine pravokutnika
Duljina pravokutnika povećana za 25%. Za koji postotak treba smanjiti širinu da joj se površina ne bi promijenila?Odluka.
Površina pravokutnika je
S=ab
U našem slučaju jedan od faktora je povećan za 25%, što znači a 2 = 1,25a. Tako, novi trg pravokutnik bi trebao biti jednak
S 2 \u003d 1,25ab
Dakle, kako bi se površina pravokutnika vratila na početnu vrijednost, onda
S2 = S / 1,25
S 2 \u003d 1,25ab / 1,25
Budući da se nova veličina a ne može promijeniti, onda
S 2 \u003d (1.25a) b / 1.25
1 / 1,25 = 0,8
Dakle, vrijednost druge strane mora se smanjiti za (1 - 0,8) * 100% = 20%
Odgovor: Širina treba smanjiti za 20%.
Prije rješavanja zadataka o pronalaženju opsega i površine geometrijskih oblika, podsjetit ću vas da ....
I razina
1. Duljina pravokutnika je 8 dm, širina 7 dm. Pronađite njegovu površinu.
2. Duljina stranice kvadrata je 6 cm.. Doznaj površinu i opseg kvadrata.
3. Pravokutnik je duljine 7 cm, širine 5 cm. Odredi površinu i opseg pravokutnika.
4. Nađi opseg i površinu pravokutnika sa stranicama 6 cm i 8 cm.
5. Duljina pravokutnika je 8 dm, širina je 5 dm. Pronađite njegovu površinu.
6. Izračunaj površinu pravokutnika čije su stranice 6 mm i 8 mm.
7. Širina pravokutnika je 7 dm, a duljina 12 dm. Izračunaj površinu.
8. Duljina pravokutnika je 9 dm, širina 7 cm. Nađi njegovu površinu.
9. Duljina stranice kvadrata je 6 cm. Odredi površinu.
10. Izračunaj opseg kvadrata sa stranicom 4 cm.
11. Širina pravokutnika je 9 dm, a duljina 6 dm više. Pronađite njegovu površinu.
12. Duljina pravokutnika je 5 dm, širina je 4 cm manja. Pronađite P i S ovog pravokutnika.
13. Nacrtaj pravokutnik čija je duljina jedne strane 2 cm, a duljina druge 3 puta veća. Pronađite njegov opseg i površinu.
14. Nacrtaj pravokutnik čija je duljina jedne strane 6 cm, a duljina druge 2 puta veća. Pronađite njegov opseg i površinu.
15. Nacrtaj pravokutnik širine 2 cm i duljine 3 cm više. Izračunaj njegov opseg.
16. Stranica kvadrata je 3 cm Koliki je opseg?
17. List papira ima kvadratni oblik. Njegova stranica je 10 cm. Koliki je opseg?
18. Nacrtaj kvadrat sa stranicom 6 cm.Nađi njegov opseg. Opseg kvadrata je 28 cm Kolika mu je stranica?
19.Širina prozora pravokutnog oblika 4 dm, a dužina je 2 puta veća. Izračunajte površinu prozora.
20. Širina pravokutnika je 4 dm, a duljina je 5 puta veća od širine. Pronađite površinu pravokutnika.
21. Površina pravokutnika je 36 cm², njegova duljina je 9 cm. Kolika je širina pravokutnika?
II razina
1. Nacrtaj pravokutnik čija je duljina jedne strane 2 cm, a duljina druge 4 puta duža. Pronađite njegov opseg i površinu.
2. Duljina pravokutnika je 5 dm, širina je 4 cm manja. Pronađite P i S ovog pravokutnika.
3. Dano: pravokutnik, a \u003d 8 dm, b - 2 cm manje. Pronađite R i S.
4. Duljina pravokutnika je 12 cm, a širina mu je 2 cm manja. Nađi površinu i opseg pravokutnika.
5. Zbroj dviju stranica kvadrata je 12 dm. Pronađite opseg i površinu kvadrata.
6. Odredite duljinu pravokutnika po širini - 8 dm i opsegu - 30 dm.
7. Opseg kvadrata je 32 cm Kolika mu je stranica?
8. Opseg trokuta je 21 cm. Stavite na duljinu treće stranice ovog trokuta ako su duljine dviju stranica 7 cm i 8 cm.
9. Opseg pravokutnika je 20 cm Duljina njegove stranice je 6 cm. Odredi širinu pravokutnika i nacrtaj ga.
10. Površina pravokutnika je 270 kvadratnih cm, njegova duljina je 9 dm. Nađi opseg ovog pravokutnika.
11.Perimetar pravokutnik je 54 m. Nađite površinu ovog pravokutnika ako je jedna od njegovih stranica 18 m.
12. Nađite površinu kvadrata čiji je opseg 360 mm.
13. Opseg pravokutnika je 40 cm Jedna strana je 5 cm. Kolika je njegova površina?
14. Nacrtaj kvadrat čiji je opseg jednak opsegu pravokutnika sa stranicama 2 cm i 6 cm.
15. Seoska vikendica pravokutnog oblika ima duljinu od 20 m i širinu 12 m. Koliko dugo treba postaviti ogradu oko mjesta?
16. Opseg kvadrata jednak je opsegu trokuta sa stranicama 6 cm, 3 cm i 7 cm Kolika je duljina stranice kvadrata?
17. Koji lik ima površinu veću i za koliko: kvadrat sa stranicom 4 cm ili pravokutnik sa stranicama 2 cm i 6 cm?
18. Opseg pravokutnika je 54 m. Nađi površinu ovog pravokutnika ako je jedna od njegovih stranica 18 m.
19. Opseg kvadratnog pješčanika je 12 m. Pronađite površinu ovog pješčanika.
20. Napiši sve moguće opcije duljina i širina pravokutnika ako mu je opseg 24 cm.
Sastavila Kislova Ljudmila Borisovna
