Ponekad u životu postoje situacije kada morate zadubiti u svoje pamćenje u potrazi za davno zaboravljenim školskim znanjem. Na primjer, morate odrediti površinu zemljišne čestice trokutastog oblika ili je došao red na sljedeći popravak u stanu ili privatnoj kući i morate izračunati koliko će materijala biti potrebno za površinu trokutastog oblika. Bilo je vrijeme kada ste mogli riješiti takav problem u nekoliko minuta, a sada se očajnički pokušavate sjetiti kako odrediti površinu trokuta?

Ne morate brinuti o ovome! Uostalom, sasvim je normalno kada ljudski mozak odluči dugo neiskorišteno znanje prebaciti negdje u zabačeni kutak, odakle ga ponekad nije tako lako izvući. Kako ne biste morali patiti s potragom za zaboravljenim školskim znanjem za rješavanje takvog problema, ovaj članak sadrži razne metode, koji olakšavaju pronalaženje željenog područja trokuta.

Dobro je poznato da je trokut vrsta poligona koja je ograničena na minimum mogući broj strane. U načelu, bilo koji mnogokut može se podijeliti na nekoliko trokuta spajanjem njegovih vrhova segmentima koji ne sijeku njegove stranice. Stoga, znajući trokut, možete izračunati površinu gotovo bilo koje figure.

Među svim mogućim trokutima koji se pojavljuju u životu mogu se razlikovati sljedeći posebni tipovi: i pravokutni.

Najlakši način za izračunavanje površine trokuta je kada je jedan od njegovih kutova prav, odnosno u slučaju pravokutni trokut. Lako je vidjeti da je to polovica pravokutnika. Stoga je njegova površina jednaka polovici umnoška stranica koje čine pravi kut između njih.

Ako znamo visinu trokuta spuštenu s jednog od njegovih vrhova na suprotna strana, a duljina ove stranice, koja se zove baza, tada se površina izračunava kao polovica umnoška visine i baze. Ovo je napisano pomoću sljedeće formule:

S = 1/2*b*h, u kojem

S je željena površina trokuta;

b, h - odnosno visina i baza trokuta.

Tako je lako izračunati površinu jednakokračan trokut, jer će visina prepoloviti suprotnu stranu i može se lako izmjeriti. Ako je područje određeno, tada je prikladno uzeti duljinu jedne od stranica koje čine pravi kut kao visinu.

Sve je to svakako dobro, ali kako odrediti je li jedan od kutova trokuta pravi ili ne? Ako je veličina naše figure mala, tada možete upotrijebiti građevni kut, trokut za crtanje, razglednicu ili drugi predmet s pravokutnog oblika.

Ali što ako imamo trokutasti zemljišna parcela? U tom slučaju postupite na sljedeći način: brojite od vrha predloženog pravi kut s jedne strane mjeri se višekratnik udaljenosti 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), a s druge strane u istom omjeru višekratnik udaljenosti 4 (40 cm, 160 cm, 4 m). Sada morate izmjeriti udaljenost između krajnjih točaka ova dva segmenta. Ako je vrijednost višekratnik broja 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), tada se može tvrditi da je kut pravi.

Ako je poznata vrijednost duljine svake od tri strane naše figure, tada se površina trokuta može odrediti pomoću Heronove formule. Kako bi imao jednostavniji oblik, koristi se nova vrijednost koja se naziva poluopseg. Ovo je zbroj svih strana našeg trokuta, podijeljen na pola. Nakon što je izračunat poluperimetar, možete početi određivati ​​područje pomoću formule:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdje je

kvadrat- Korijen;

p je vrijednost poluperimetra (p =(a+b+c)/2);

a, b, c - rubovi (stranice) trokuta.

Ali što ako trokut ima nepravilnog oblika? Ovdje postoje dva moguća načina. Prvi od njih je pokušati podijeliti takav lik na dva pravokutna trokuta, čiji se zbroj površina izračunava zasebno, a zatim zbraja. Ili, ako su poznati kut između dviju stranica i veličina tih stranica, primijenite formulu:

S = 0,5 * ab * sinC, gdje je

a,b - stranice trokuta;

c je kut između ovih stranica.

Potonji slučaj je rijedak u praksi, ali ipak, sve je moguće u životu, tako da gornja formula neće biti suvišna. Sretno s izračunima!

Trokut je dobro poznata figura. I to, unatoč bogatoj raznolikosti njegovih oblika. Pravokutan, jednakostraničan, šiljast, jednakokračan, tup. Svaki od njih je nešto drugačiji. Ali za sve je potrebno znati područje trokuta.

Uobičajene formule za sve trokute koje koriste duljine stranica ili visine

Oznake usvojene u njima: strane - a, b, c; visine na odgovarajućim stranama na a, n in, n s.

1. Površina trokuta izračunava se kao umnožak ½, stranice i visine spuštene na nju. S = ½ * a * n a. Slično, treba napisati formule za druge dvije strane.

2. Heronova formula, u kojoj se pojavljuje poluopseg (uobičajeno je označavati ga malim slovom p, za razliku od punog oboda). Polu-opseg se mora izračunati na sljedeći način: zbrojite sve strane i podijelite ih s 2. Polu-opseg formula: p \u003d (a + b + c) / 2. Zatim jednakost za površinu \ u200b\u200bfigura izgleda ovako: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Ako ne želite koristiti polu-perimetar, tada će vam dobro doći takva formula u kojoj su prisutne samo duljine stranica: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Nešto je duži od prethodnog, ali će vam pomoći ako ste zaboravili pronaći poluopseg.

Opće formule u kojima se pojavljuju kutovi trokuta

Oznake potrebne za čitanje formula: α, β, γ - kutovi. Leže nasuprot stranicama a, b, c.

1. Prema njemu, polovica proizvoda dviju strana i sinusa kuta između njih jednaka je površini trokuta. To je: S = ½ a * b * sin γ. Formule za druga dva slučaja treba napisati na sličan način.

2. Površina trokuta može se izračunati iz jedne strane i tri poznata kuta. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Postoji još jedna formula s jednim poznata stranka i dva susjedna ugla. To izgleda ovako: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Posljednje dvije formule nisu najjednostavnije. Prilično ih je teško zapamtiti.

Opće formule za situaciju kada su poznati polumjeri upisane ili opisane kružnice

Dodatne oznake: r, R — radijusi. Prvi se koristi za radijus upisane kružnice. Drugi je za opisani.

1. Prva formula kojom se izračunava površina trokuta odnosi se na poluopseg. S = r * r. Na drugi način, može se napisati na sljedeći način: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. U drugom slučaju, morat ćete pomnožiti sve stranice trokuta i podijeliti ih s četverostrukim polumjerom opisane kružnice. U doslovnom smislu, to izgleda ovako: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. Treća situacija vam omogućuje da ne znate strane, ali trebate vrijednosti sva tri kuta. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Poseban slučaj: pravokutni trokut

Ovo je najjednostavnija situacija, jer je potrebna samo duljina obje noge. Označavaju se latiničnim slovima a i b. Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovici površine pravokutnika koja mu je dodana.

Matematički to izgleda ovako: S = ½ a * b. Nju je najlakše zapamtiti. Budući da izgleda kao formula za površinu pravokutnika, pojavljuje se samo razlomak koji označava polovicu.

Poseban slučaj: jednakokračni trokut

Budući da su mu dvije strane jednake, neke formule za njegovu površinu izgledaju pomalo pojednostavljene. Na primjer, Heronova formula, koja izračunava površinu jednakokračnog trokuta, ima sljedeći oblik:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Ako ga pretvorite, postat će kraći. U ovom slučaju, Heronova formula za jednakokračni trokut napisana je na sljedeći način:

S = ¼ u √(4 * a 2 - b 2).

Formula površine izgleda nešto jednostavnije nego za proizvoljni trokut ako su poznate stranice i kut između njih. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Poseban slučaj: jednakostranični trokut

Obično se u problemima oko njega strana zna ili se može nekako prepoznati. Tada je formula za pronalaženje područja takvog trokuta sljedeća:

S = (a 2 √3) / 4.

Zadaci za određivanje površine ako je trokut prikazan na kariranom papiru

Najjednostavnija situacija je kada je pravokutni trokut nacrtan tako da mu se kraci poklapaju s linijama papira. Tada samo trebate prebrojati broj stanica koje stanu u noge. Zatim ih pomnožite i podijelite s dva.

Kada je trokut šiljast ili tup, mora se povući u pravokutnik. Tada će u rezultirajućoj slici biti 3 trokuta. Jedan je onaj zadan u zadatku. A druga dva su pomoćna i pravokutna. Područja posljednja dva moraju se odrediti gore opisanom metodom. Zatim izračunajte površinu pravokutnika i od njega oduzmite one izračunate za pomoćne. Određuje se površina trokuta.

Mnogo je teža situacija u kojoj se niti jedna stranica trokuta ne podudara s linijama papira. Zatim se mora upisati u pravokutnik tako da vrhovi izvorne figure leže na njegovim stranama. U ovom slučaju bit će tri pomoćna pravokutna trokuta.

Primjer zadatka na Heronovoj formuli

Stanje. Neki trokut ima stranice. One su jednake 3, 5 i 6 cm, a morate znati njegovu površinu.

Sada možete izračunati površinu trokuta pomoću gornje formule. Pod kvadratnim korijenom nalazi se umnožak četiri broja: 7, 4, 2 i 1. To jest, površina je √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Ako vam nije potrebna veća preciznost, možete izvaditi kvadratni korijen iz 14. To je 3,74. Tada će površina biti jednaka 7,48.

Odgovor. S \u003d 2 √14 cm 2 ili 7,48 cm 2.

Primjer zadatka s pravokutnim trokutom

Stanje. Jedna kateta pravokutnog trokuta je 31 cm duža od druge. Potrebno je saznati njihove duljine ako je površina trokuta 180 cm 2.
Riješenje. Morate riješiti sustav dviju jednadžbi. Prvi se odnosi na područje. Drugi je s omjerom nogu, koji je dan u problemu.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Prvo, vrijednost "a" mora se zamijeniti u prvoj jednadžbi. Ispada: 180 \u003d ½ (in + 31) * in. Ima samo jednu nepoznatu količinu, pa ju je lako riješiti. Nakon otvaranja zagrada dobivamo kvadratna jednadžba: in 2 + 31 in - 360 = 0. Daje dvije vrijednosti za "in": 9 i - 40. Drugi broj nije prikladan kao odgovor, budući da duljina stranice trokuta ne može biti negativna vrijednost.

Ostaje izračunati drugu nogu: dobivenom broju dodajte 31. Ispada 40. To su količine koje se traže u problemu.

Odgovor. Kraci trokuta su 9 i 40 cm.

Zadatak određivanja stranice kroz površinu, stranicu i kut trokuta

Stanje. Površina nekog trokuta je 60 cm2. Potrebno je izračunati jednu njegovu stranu ako je druga stranica 15 cm, a kut između njih 30º.

Riješenje. Na temelju prihvaćenih oznaka, željena stranica je "a", poznata "b", zadani kut je "γ". Tada se formula površine može prepisati na sljedeći način:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Ovdje je sinus od 30 stupnjeva 0,5.

Nakon transformacija, "a" ispada da je jednako 60 / (0,5 * 0,5 * 15). To je 16.

Odgovor. Željena stranica je 16 cm.

Problem kvadrata upisanog u pravokutni trokut

Stanje. Vrh kvadrata sa stranicom 24 cm poklapa se s pravim kutom trokuta. Druga dvojica leže na nogama. Trećina pripada hipotenuzi. Duljina jedne od krakova je 42 cm. Kolika je površina pravokutnog trokuta?

Riješenje. Promotrimo dva pravokutna trokuta. Prvi je naveden u zadatku. Drugi se temelji na poznatom kraku izvornog trokuta. Slični su jer imaju zajednički kut i tvore ih paralelni pravci.

Tada su im omjeri kateta jednaki. Kraci manjeg trokuta su 24 cm (stranica kvadrata) i 18 cm (dana kateta 42 cm umanjena za stranicu kvadrata 24 cm). Odgovarajuće noge velikog trokuta su 42 cm i x cm. To je "x" koji je potreban da bi se izračunala površina trokuta.

18/42 \u003d 24 / x, odnosno x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Tada je površina jednaka umnošku 56 i 42, podijeljenom s dva, odnosno 1176 cm 2.

Odgovor. Željena površina je 1176 cm 2.

Iz suprotnog vrha) i dobiveni umnožak podijelite s dva. U obliku to izgleda ovako:

S = ½ * a * h,

gdje:
S je površina trokuta,
a je duljina njegove stranice,
h je visina spuštena na ovu stranu.

Duljina i visina stranice moraju biti prikazane u istim jedinicama. U ovom slučaju, površina trokuta će se pokazati u odgovarajućim jedinicama "".

Primjer.
Na jednu od stranica skalenskog trokuta duljine 20 cm spuštena je okomica iz suprotnog vrha duljine 10 cm.
Potrebno je područje trokuta.
Riješenje.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Ako znate duljine bilo koje dvije stranice razmjernog trokuta i kut između njih, upotrijebite formulu:

S = ½ * a * b * sinγ,

gdje su: a, b duljine dviju proizvoljnih stranica, a γ kut između njih.

U praksi, na primjer, pri mjerenju zemljišta, korištenje gornjih formula ponekad je teško, jer zahtijeva dodatne konstrukcije i mjerenje kutova.

Ako znate duljine sve tri stranice razmjernog trokuta, upotrijebite Heronovu formulu:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c su duljine stranica trokuta,
r – poluopseg: p = (a+b+c)/2.

Ako je uz duljine svih stranica poznat i polumjer kružnice upisane u trokut, upotrijebite sljedeću kompaktnu formulu:

gdje je: r polumjer upisane kružnice (p poluopseg).

Za izračun površine razmjernog trokuta opisane kružnice i duljine njegovih stranica upotrijebite formulu:

gdje je: R polumjer opisane kružnice.

Ako je poznata duljina jedne od stranica trokuta i triju kutova (u načelu su dovoljna dva - vrijednost trećeg izračunava se iz jednakosti zbroja triju kutova trokuta - 180º), tada se koristi formula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

gdje je α vrijednost kuta nasuprot stranici a;
β, γ su vrijednosti preostala dva kuta trokuta.

Potreba za pronalaženjem različitih elemenata, uključujući područje trokut, pojavio se mnogo stoljeća prije naše ere među astronomima Drevna grčka. Kvadrat trokut može se izračunati različiti putevi korištenjem različite formule. Način izračuna ovisi o tome koji elementi trokut znan.

Uputa

Ako iz uvjeta znamo vrijednosti dviju stranica b, c i kut koji one čine?, tada je površina trokut ABC se nalazi po formuli:
S = (bcsin?)/2.

Ako iz uvjeta znamo vrijednosti dviju stranica a, b i kut koji one ne čine?, tada je površina trokut ABC se nalazi na sljedeći način:
Pronalaženje kuta?, sin? = bsin? / a, dalje na tablici određujemo sam kut.
Pronalaženje kuta? = 180°-?-?.
Pronađite samu površinu S = (absin?)/2.

Ako iz uvjeta znamo vrijednosti samo triju strana trokut a, b i c, zatim područje trokut ABC se nalazi po formuli:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdje je p poluperimetar p = (a+b+c)/2

Ako iz uvjeta zadatka znamo visinu trokut h i strana na koju je ta visina spuštena, zatim površina trokut ABC po formuli:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Ako znamo vrijednosti stranica trokut a, b, c i polumjer opisane blizu zadane trokut R, zatim područje ovoga trokut ABC se određuje formulom:
S = abc/4R.
Ako su poznate tri stranice a, b, c i polumjer upisane, tada je površina trokut ABC se nalazi po formuli:
S = pr, gdje je p poluperimetar, p = (a+b+c)/2.

Ako je ABC jednakostraničan, tada se površina nalazi prema formuli:
S = (a^2v3)/4.
Ako je trokut ABC jednakokračan, tada se površina određuje formulom:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, gdje je c trokut.
Ako je trokut ABC pravokutni trokut, tada je površina određena formulom:
S = ab/2, gdje su a i b krakovi trokut.
Ako je trokut ABC pravokutni jednakokračni trokut, tada se površina određuje formulom:
S = c^2/4 = a^2/2, gdje je c hipotenuza trokut, a=b - krak.

Slični Videi

Izvori:

• kako izmjeriti površinu trokuta

Savjet 3: Kako pronaći površinu trokuta ako znate kut

Za određivanje površine nije dovoljno znati samo jedan parametar (vrijednost kuta). tre kvadrat . Ako postoje dodatne dimenzije, tada za određivanje područja možete odabrati jednu od formula u kojoj se vrijednost kuta također koristi kao jedna od poznatih varijabli. Dolje je navedeno nekoliko najčešće korištenih formula.

Uputa

Ako se osim kuta (γ) koji tvore dvije stranice tre kvadrat , poznate su i duljine ovih stranica (A i B). kvadrat(S) brojke mogu se definirati kao polovica umnoška duljina stranica i sinusa ovog poznatog kuta: S=½×A×B×sin(γ).

Pojam područja

Koncept područja bilo kojeg geometrijski lik, posebno trokut, povezat ćemo s takvom figurom kao kvadrat. Za jedinicu površine bilo koje geometrijske figure uzet ćemo površinu kvadrata čija je stranica jednaka jedan. Za cjelovitost, prisjećamo se dva osnovna svojstva za koncept područja geometrijskih oblika.

Svojstvo 1: Ako su geometrijski likovi jednaki, jednake su im i površine.

Svojstvo 2: Svaka figura se može podijeliti na nekoliko figura. Štoviše, površina izvorne figure jednaka je zbroju vrijednosti površina svih figura koje je čine.

Razmotrite primjer.

Primjer 1

Očito je da je jedna od stranica trokuta dijagonala pravokutnika koji ima jednu stranicu duljine $5$ (od $5$ ćelija), a drugu $6$ (od $6$ ćelija). Stoga će površina ovog trokuta biti jednaka polovici takvog pravokutnika. Površina pravokutnika je

Tada je površina trokuta

Odgovor: 15 dolara.

Zatim razmotrite nekoliko metoda za pronalaženje područja trokuta, naime pomoću visine i baze, koristeći Heronovu formulu i područje jednakostraničnog trokuta.

Kako pronaći površinu trokuta pomoću visine i baze

Teorem 1

Površina trokuta može se pronaći kao polovica umnoška duljine stranice i visine povučene na tu stranicu.

Matematički to izgleda ovako

$S=\frac(1)(2)αh$

gdje je $a$ duljina stranice, $h$ je visina povučena na nju.

Dokaz.

Promotrimo trokut $ABC$ gdje je $AC=α$. Na ovu stranicu povučena je visina $BH$ i jednaka je $h$. Izgradimo ga do kvadrata $AXYC$ kao na slici 2.

Površina pravokutnika $AXBH$ je $h\cdot AH$, a pravokutnika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Zatim

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Stoga je željena površina trokuta, prema svojstvu 2, jednaka

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorem je dokazan.

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta na donjoj slici, ako ćelija ima površinu jednaku jedan

Osnovica ovog trokuta je $9$ (jer je $9$ $9$ ćelija). Visina je također $9$. Tada prema teoremu 1 dobivamo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Odgovor: 40,5 dolara.

Heronova formula

Teorem 2

Ako su nam dane tri stranice trokuta $α$, $β$ i $γ$, tada se njegova površina može pronaći na sljedeći način

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ovdje $ρ$ znači poluopseg ovog trokuta.

Dokaz.

Razmotrite sljedeću sliku:

Po Pitagorinoj teoremi, iz trokuta $ABH$ dobivamo

Iz trokuta $CBH$, po Pitagorinom teoremu, imamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iz ove dvije relacije dobivamo jednakost

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Kako je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, onda je $α+β+γ=2ρ$, dakle

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Prema teoremu 1, dobivamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Trokut je najjednostavniji geometrijski lik koji se sastoji od tri stranice i tri vrha. Zbog svoje jednostavnosti, trokut se od davnina koristi za držanje razna mjerenja, a danas figura može biti korisna za rješavanje praktičnih i svakodnevnih problema.

Značajke trokuta

Slika se koristila za izračune od davnih vremena, na primjer, geodeti i astronomi koriste svojstva trokuta za izračunavanje površina i udaljenosti. Kroz područje ove figure lako je izraziti područje bilo kojeg n-kuta, a ovo svojstvo koristili su drevni znanstvenici za izvođenje formula za površine poligona. Stalni rad s trokutima, posebno s pravokutnim trokutom, postao je osnova za cijeli dio matematike - trigonometriju.

geometrija trokuta

Svojstva geometrijskog lika proučavana su od davnina: najraniji podaci o trokutu pronađeni su u egipatskim papirusima starim 4000 godina. Zatim je lik proučavan u staroj Grčkoj, a najveći doprinos geometriji trokuta dali su Euklid, Pitagora i Heron. Proučavanje trokuta nikada nije prestalo, au 18. stoljeću Leonhard Euler uveo je koncept ortocentra figure i Eulerove kružnice. Na prijelazu iz 19. u 20. stoljeće, kada se činilo da se o trokutu zna apsolutno sve, Frank Morley je formulirao teorem o trisektorima kuta, a Vaclav Sierpinski predložio je fraktalni trokut.

Postoji nekoliko vrsta ravnih trokuta koji su nam poznati iz školskog tečaja geometrije:

• oštrokutni - svi kutovi figure su oštri;
• tup - lik ima jedan tup kut(više od 90 stupnjeva);
• pravokutni - lik sadrži jedan pravi kut jednak 90 stupnjeva;
• jednakokračan - trokut s dvije jednake stranice;
• jednakostraničan - trokut sa svim jednakim stranicama.
• NA stvaran život postoje sve vrste trokuta, au nekim slučajevima možda ćemo morati izračunati površinu geometrijske figure.

Površina trokuta

Površina je procjena koliki dio ravnine figura ograničava. Površina trokuta može se pronaći na šest načina, pomoću stranica, visine, kutova, polumjera upisane ili opisane kružnice, kao i korištenjem Heronove formule ili izračunavanjem dvostrukog integrala duž linija koje ograničavaju ravninu. Najjednostavnija formula za izračunavanje površine trokuta je:

gdje je a stranica trokuta, h njegova visina.

Međutim, u praksi nam nije uvijek zgodno pronaći visinu geometrijske figure. Algoritam našeg kalkulatora omogućuje vam izračunavanje površine, znajući:

• tri strane;
• dvije stranice i kut između njih;
• jednu stranu i dva ugla.

Za određivanje površine u smislu tri strane koristimo Heronovu formulu:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

gdje je p poluopseg trokuta.

Izračun površine na dvije strane i kuta vrši se prema klasičnoj formuli:

S = a × b × sin(alfa),

gdje je alfa kut između stranica a i b.

Za određivanje površine kroz jednu stranicu i dva ugla koristimo relaciju koja:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gama)

Jednostavnom proporcijom odredimo duljinu druge stranice, nakon čega izračunamo površinu pomoću formule S = a × b × sin(alfa). Ovaj algoritam potpuno automatiziran i samo trebate unijeti navedene varijable i dobiti rezultat. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjeri iz stvarnog života

ploče za popločavanje

Recimo da želite popločiti pod trokutastim pločicama i odrediti količinu potreban materijal, trebali biste saznati površinu jedne pločice i površinu poda. Pretpostavimo da trebate obraditi 6 četvornih metara površine pomoću pločice čije su dimenzije a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Očito, kalkulator koristi Heronovu formulu za izračunavanje površine trokuta i dati rezultat:

Dakle, površina jednog elementa pločice bit će 0,021 četvornih metara, a trebat će vam 6 / 0,021 \u003d 285 trokuta za poboljšanje poda. Brojevi 20, 21 i 29 čine Pitagorin trostruki broj koji zadovoljava . I to je točno, naš kalkulator također je izračunao sve kutove trokuta, a gama kut je točno 90 stupnjeva.

školski zadatak

U školskom problemu trebate pronaći površinu trokuta, znajući da je stranica a = 5 cm, a kutovi alfa i beta rane su 30, odnosno 50 stupnjeva. Da bismo ručno riješili ovaj problem, prvo bismo pronašli vrijednost stranice b koristeći omjer širine i visine stranice i sinuse suprotnih kutova, a zatim bismo odredili površinu pomoću jednostavne formule S = a × b × sin(alfa). Uštedimo vrijeme, unesi podatke u obrazac kalkulatora i dobij instant odgovor

Kada koristite kalkulator, važno je ispravno odrediti kutove i strane, inače će rezultat biti netočan.

Zaključak

Trokut je jedinstvena figura koja se pojavljuje iu stvarnom životu iu apstraktnim izračunima. Upotrijebite naš online kalkulator da biste pronašli površinu trokuta bilo koje vrste.