Multiplicación fracciones ordinarias Veamos varias opciones posibles.
Multiplicar una fracción por una fracción
Este es el caso más simple, en el que necesita usar lo siguiente reglas de multiplicación de fracciones.
Para multiplicar una fraccion por una fraccion, necesario:
- multiplicar el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y escribir su producto en el numerador de la nueva fracción;
- multiplicar el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y escribir su producto en el denominador de la nueva fracción;
- Sumar fracciones con los mismos denominadores
- Sumar fracciones con diferente denominador
Antes de multiplicar numeradores y denominadores, verifica si las fracciones se pueden reducir. La reducción de fracciones en los cálculos facilitará enormemente sus cálculos.
Multiplicar una fracción por un número natural
a fracción multiplicar por número natural necesitas multiplicar el numerador de la fracción por este número y dejar el denominador de la fracción sin cambios.
Si el resultado de la multiplicación es una fracción impropia, no olvides convertirla en un número mixto, es decir, seleccionar la parte entera.
Multiplicación de números mixtos
Para multiplicar números mixtos, primero debes convertirlos en fracciones impropias y luego multiplicar según la regla para multiplicar fracciones ordinarias.
Otra forma de multiplicar una fracción por un número natural
A veces, en los cálculos, es más conveniente usar un método diferente para multiplicar una fracción ordinaria por un número.
Para multiplicar una fracción por un número natural, debe dividir el denominador de la fracción por este número y dejar el numerador igual.
Como se puede ver en el ejemplo, esta versión de la regla es más conveniente si el denominador de la fracción es divisible sin resto por un número natural.
Acciones con fracciones
Sumar fracciones con los mismos denominadores
La suma de fracciones es de dos tipos:
Comencemos con la suma de fracciones con los mismos denominadores. Todo es simple aquí. Para sumar fracciones con los mismos denominadores, debe sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios. Por ejemplo, vamos a sumar las fracciones y . Sumamos los numeradores y dejamos el denominador sin cambios:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en cuatro partes. Si le agregas pizza a la pizza, obtienes pizza:
Ejemplo 2 Sumar fracciones y .
Nuevamente, agregue los numeradores y deje el denominador sin cambios:
La respuesta es una fracción impropia. Si llega el final de la tarea, es costumbre deshacerse de las fracciones impropias. Para deshacerse de una fracción impropia, debe seleccionar la parte entera en ella. En nuestro caso, la parte entera se asigna fácilmente: dos dividido por dos es igual a uno:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en dos partes. Si agrega más pizzas a la pizza, obtiene una pizza entera:
Ejemplo 3. Sumar fracciones y .
Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en tres partes. Si agrega más pizzas a la pizza, obtiene pizzas:
Ejemplo 4 Encontrar el valor de una expresión. 
Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Se deben sumar los numeradores y dejar el denominador sin cambios:
Intentemos representar nuestra solución usando una imagen. Si agregas pizzas a una pizza y agregas más pizzas, obtienes 1 pizza entera y más pizzas.
Como puedes ver, sumar fracciones con los mismos denominadores no es difícil. Es suficiente entender las siguientes reglas:
- Para sumar fracciones con el mismo denominador, debe sumar sus numeradores y dejar el denominador igual;
- Si la respuesta resultó ser una fracción impropia, entonces debe seleccionar la parte completa.
- Encuentra el MCM de los denominadores de fracciones;
- Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un multiplicador adicional para cada fracción;
- Multiplicar los numeradores y denominadores de fracciones por sus factores adicionales;
- Suma fracciones que tienen los mismos denominadores;
- Si la respuesta resultó ser una fracción impropia, seleccione su parte entera;
- Resta de fracciones con el mismo denominador
- Resta de fracciones con diferente denominador
Sumar fracciones con diferente denominador
Ahora vamos a aprender a sumar fracciones con diferentes denominadores. Al sumar fracciones, los denominadores de esas fracciones deben ser iguales. Pero no siempre son los mismos.
Por ejemplo, se pueden sumar fracciones porque tienen el mismo denominador.
Pero las fracciones no se pueden sumar a la vez, porque estas fracciones tienen diferentes denominadores. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).
Hay varias formas de reducir fracciones al mismo denominador. Hoy consideraremos solo uno de ellos, ya que el resto de los métodos pueden parecer complicados para un principiante.
La esencia de este método es que primero se busca el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores de ambas fracciones. Luego se divide el MCM por el denominador de la primera fracción y se obtiene el primer factor adicional. Hacen lo mismo con la segunda fracción: se divide el NOC por el denominador de la segunda fracción y se obtiene el segundo factor adicional.
Luego, los numeradores y denominadores de las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas acciones, las fracciones que tenían distintos denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar tales fracciones.
Ejemplo 1. suma fracciones y
Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que debes llevarlas al mismo denominador (común).
En primer lugar, encontramos el mínimo común múltiplo de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 2. El mínimo común múltiplo de estos números es 6
MCM (2 y 3) = 6
Ahora volvamos a las fracciones y . Primero, dividimos el MCM por el denominador de la primera fracción y obtenemos el primer factor adicional. MCM es el número 6, y el denominador de la primera fracción es el número 3. Divida 6 entre 3, obtenemos 2.
El número resultante 2 es el primer factor adicional. Lo escribimos hasta la primera fracción. Para hacer esto, hacemos una pequeña línea oblicua sobre la fracción y escribimos el factor adicional encontrado arriba:
Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción y obtenemos el segundo factor adicional. MCM es el número 6, y el denominador de la segunda fracción es el número 2. Divida 6 entre 2, obtenemos 3.
El número resultante 3 es el segundo factor adicional. Lo escribimos en la segunda fracción. Nuevamente, hacemos una pequeña línea oblicua sobre la segunda fracción y escribimos el factor adicional encontrado arriba:
Ahora estamos listos para agregar. Queda por multiplicar los numeradores y denominadores de fracciones por sus factores adicionales:
Fíjate bien a lo que hemos llegado. Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar tales fracciones. Completemos este ejemplo hasta el final:
Así termina el ejemplo. Para agregar resulta.
Intentemos representar nuestra solución usando una imagen. Si le agregas pizzas a una pizza, obtienes una pizza entera y otro sexto de pizza:
La reducción de fracciones al mismo denominador (común) también se puede representar usando una imagen. Llevando las fracciones y a un denominador común, obtenemos las fracciones y . Estas dos fracciones estarán representadas por las mismas rebanadas de pizza. La única diferencia será que esta vez se dividirán en partes iguales (reducidas al mismo denominador).
El primer dibujo muestra una fracción (cuatro piezas de seis) y la segunda imagen muestra una fracción (tres piezas de seis). Juntando estas piezas obtenemos (siete piezas de seis). Esta fracción es incorrecta, por lo que hemos resaltado la parte entera en ella. El resultado fue (una pizza entera y otra sexta pizza).
Tenga en cuenta que hemos pintado ejemplo dado demasiado detallado EN Instituciones educacionales no se acostumbra escribir de manera tan detallada. Debe poder encontrar rápidamente el MCM de ambos denominadores y factores adicionales, así como multiplicar rápidamente los factores adicionales encontrados por sus numeradores y denominadores. Estando en la escuela, tendríamos que escribir este ejemplo de la siguiente manera:
Pero también está la otra cara de la moneda. Si no se toman notas detalladas en las primeras etapas del estudio de las matemáticas, entonces las preguntas del tipo “¿De dónde viene ese número?”, “¿Por qué las fracciones de repente se convierten en fracciones completamente diferentes? «.
Para que sea más fácil sumar fracciones con diferentes denominadores, puede usar las siguientes instrucciones paso a paso:
Ejemplo 2 Encontrar el valor de una expresión. 
.
Usemos el diagrama de arriba.
Paso 1. Encuentra el MCM para los denominadores de fracciones
Encontramos el MCM para los denominadores de ambas fracciones. Los denominadores de las fracciones son los números 2, 3 y 4. Necesitas encontrar el MCM para estos números:
Paso 2. Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un multiplicador adicional para cada fracción
Divide el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la primera fracción es el número 2. Dividimos 12 entre 2, obtenemos 6. Obtuvimos el primer factor adicional 6. Lo escribimos sobre la primera fracción:
Ahora dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Dividimos 12 por 3, obtenemos 4. Obtuvimos el segundo factor adicional 4. Lo escribimos sobre la segunda fracción:
Ahora dividimos el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la tercera fracción es el número 4. Dividimos 12 entre 4, obtenemos 3. Obtuvimos el tercer factor adicional 3. Lo escribimos sobre la tercera fracción:
Paso 3. Multiplica los numeradores y denominadores de fracciones por tus factores adicionales
Multiplicamos los numeradores y denominadores por nuestros factores adicionales:
Paso 4. Suma fracciones que tienen el mismo denominador
Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tienen los mismos denominadores (comunes). Queda por sumar estas fracciones. Agregar:
La suma no cabía en una línea, así que movimos la expresión restante a la siguiente línea. Esto está permitido en matemáticas. Cuando una expresión no cabe en una línea, se traslada a la línea siguiente y es necesario poner un signo igual (=) al final de la primera línea y al principio. nueva línea. El signo igual en la segunda línea indica que esta es una continuación de la expresión que estaba en la primera línea.
Paso 5. Si la respuesta resultó ser una fracción impropia, seleccione su parte entera
Nuestra respuesta es una fracción impropia. Debemos destacar toda la parte de ella. Resaltamos:
tengo una respuesta
Resta de fracciones con el mismo denominador
Hay dos tipos de resta de fracciones:
Primero, aprendamos a restar fracciones con los mismos denominadores. Todo es simple aquí. Para restar otro de una fracción, debe restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador igual.
Por ejemplo, busquemos el valor de la expresión . Para resolver este ejemplo, es necesario restar el numerador de la segunda fracción al numerador de la primera fracción, y dejar igual el denominador. Hagámoslo:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en cuatro partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:
Ejemplo 2 Halla el valor de la expresión.
Nuevamente, del numerador de la primera fracción, reste el numerador de la segunda fracción y deje el denominador igual:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en tres partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:
Ejemplo 3 Encontrar el valor de una expresión. 
Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Del numerador de la primera fracción, debe restar los numeradores de las fracciones restantes:
La respuesta es una fracción impropia. Si el ejemplo está completo, entonces es costumbre deshacerse de la fracción impropia. Eliminemos la fracción incorrecta en la respuesta. Para hacer esto, seleccione su parte completa:
Como puedes ver, no hay nada complicado en restar fracciones con los mismos denominadores. Es suficiente entender las siguientes reglas:
Resta de fracciones con diferente denominador
Por ejemplo, una fracción se puede restar de una fracción, ya que estas fracciones tienen los mismos denominadores. Pero una fracción no se puede restar de una fracción, porque estas fracciones tienen diferentes denominadores. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).
El denominador común se encuentra de acuerdo con el mismo principio que usamos al sumar fracciones con diferentes denominadores. En primer lugar, encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Luego se divide el MCM por el denominador de la primera fracción y se obtiene el primer factor adicional, que se escribe sobre la primera fracción. De igual forma, se divide el MCM por el denominador de la segunda fracción y se obtiene un segundo factor adicional, el cual se escribe sobre la segunda fracción.
Luego, las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas operaciones, las fracciones que tenían diferentes denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar tales fracciones.
Ejemplo 1 Encuentra el valor de una expresión:
Primero, encontramos el MCM de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 4. El mínimo común múltiplo de estos números es 12
MCM (3 y 4) = 12
Ahora volvamos a las fracciones y
Encontremos un factor adicional para la primera fracción. Para ello, dividimos el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la primera fracción es el número 3. Divida 12 entre 3, obtenemos 4. Escribimos el cuatro sobre la primera fracción:
Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la segunda fracción es el número 4. Dividimos 12 entre 4, obtenemos 3. Escribimos el triple sobre la segunda fracción:
Ahora estamos listos para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:
Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar tales fracciones. Completemos este ejemplo hasta el final:
tengo una respuesta
Intentemos representar nuestra solución usando una imagen. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas.
Esta es la versión detallada de la solución. Estando en la escuela, tendríamos que resolver este ejemplo de una manera más corta. Tal solución se vería así:
La reducción de fracciones ya un denominador común también se puede representar usando una imagen. Llevando estas fracciones a un denominador común, obtenemos las fracciones y . Estas fracciones estarán representadas por las mismas porciones de pizza, pero esta vez estarán divididas en las mismas fracciones (reducidas al mismo denominador):
El primer dibujo muestra una fracción (ocho piezas de doce), y la segunda imagen muestra una fracción (tres piezas de doce). Al cortar tres piezas de ocho piezas, obtenemos cinco piezas de doce. La fracción describe estas cinco piezas.
Ejemplo 2 Encontrar el valor de una expresión. 
Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que primero debes llevarlas al mismo denominador (común).
Encuentra el MCM de los denominadores de estas fracciones.
Los denominadores de las fracciones son los números 10, 3 y 5. El mínimo común múltiplo de estos números es 30
MCM(10, 3, 5) = 30
Ahora encontramos factores adicionales para cada fracción. Para ello, dividimos el MCM por el denominador de cada fracción.
Encontremos un factor adicional para la primera fracción. MCM es el número 30, y el denominador de la primera fracción es el número 10. Al dividir 30 entre 10, obtenemos el primer factor adicional 3. Lo escribimos sobre la primera fracción:
Ahora encontramos un factor adicional para la segunda fracción. Divide el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 30, y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Al dividir 30 entre 3, obtenemos el segundo factor adicional 10. Lo escribimos sobre la segunda fracción:
Ahora encontramos un factor adicional para la tercera fracción. Divide el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 30, y el denominador de la tercera fracción es el número 5. Dividiendo 30 entre 5, obtenemos el tercer factor adicional 6. Lo escribimos sobre la tercera fracción:
Ahora todo está listo para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:
Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tienen los mismos denominadores (comunes). Y ya sabemos cómo restar tales fracciones. Terminemos este ejemplo.
La continuación del ejemplo no cabe en una línea, por lo que movemos la continuación a la siguiente línea. No te olvides del signo igual (=) en la nueva línea:
La respuesta resultó ser una fracción correcta, y todo parece encajarnos, pero es demasiado engorroso y feo. Deberíamos hacerlo más simple y estéticamente más agradable. ¿Qué se puede hacer? Puedes reducir esta fracción. Recuerda que la reducción de una fracción es la división del numerador y el denominador por el mayor común divisor numerador y denominador.
Para reducir correctamente una fracción, debes dividir su numerador y denominador por el máximo común divisor (MCD) de los números 20 y 30.
No confunda GCD con NOC. El error más común que cometen muchos principiantes. MCD es el máximo común divisor. Lo encontramos para la reducción de fracciones.
Y MCM es el mínimo común múltiplo. Lo encontramos para llevar fracciones al mismo denominador (común).
Ahora encontraremos el máximo común divisor (mcd) de los números 20 y 30.
Entonces, encontramos el MCD para los números 20 y 30:
MCD (20 y 30) = 10
Ahora volvemos a nuestro ejemplo y dividimos el numerador y el denominador de la fracción por 10:
Tengo una buena respuesta
Multiplicar una fracción por un número
Para multiplicar una fracción por un número, debes multiplicar el numerador de la fracción dada por este número y dejar el mismo denominador.
Ejemplo 1. Multiplica la fracción por el número 1.
Multiplica el numerador de la fracción por el número 1
La entrada puede entenderse como tomando la mitad 1 vez. Por ejemplo, si tomas pizza 1 vez, obtienes pizza
De las leyes de la multiplicación, sabemos que si el multiplicando y el multiplicador se intercambian, el producto no cambiará. Si la expresión se escribe como , entonces el producto seguirá siendo igual a . Nuevamente, la regla para multiplicar un número entero y una fracción funciona:
Esta entrada puede entenderse como tomando la mitad de la unidad. Por ejemplo, si hay 1 pizza entera y tomamos la mitad, entonces tendremos pizza:
Ejemplo 2. Encontrar el valor de una expresión.
Multiplica el numerador de la fracción por 4
La expresión se puede entender como tomando dos cuartos 4 veces. Por ejemplo, si tomas pizzas 4 veces, obtienes dos pizzas enteras.
Y si intercambiamos el multiplicando y el multiplicador en lugares, obtenemos la expresión. También será igual a 2. Esta expresión se puede entender como tomar dos pizzas de cuatro pizzas enteras:
Multiplicación de fracciones
Para multiplicar fracciones, necesitas multiplicar sus numeradores y denominadores. Si la respuesta es una fracción impropia, debe seleccionar la parte entera en ella.
Ejemplo 1 Halla el valor de la expresión.
Obtuve una respuesta. Es deseable reducir fracción dada. La fracción se puede reducir en 2. Entonces la solución final tomará la siguiente forma:
La expresión puede entenderse como tomar una pizza de media pizza. Digamos que tenemos media pizza:
¿Cómo sacar dos tercios de esta mitad? Primero debes dividir esta mitad en tres partes iguales:
Y toma dos de estas tres piezas:
Conseguiremos pizza. Recuerda cómo se ve una pizza dividida en tres partes:
Una rebanada de esta pizza y las dos rebanadas que tomamos tendrán las mismas dimensiones:
En otras palabras, estamos hablando del mismo tamaño de pizza. Por lo tanto, el valor de la expresión es
Ejemplo 2. Encontrar el valor de una expresión.
Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:
La respuesta es una fracción impropia. Tomemos una parte entera:
Ejemplo 3 Encontrar el valor de una expresión.
La respuesta resultó ser una fracción correcta, pero será buena si se reduce. Para reducir esta fracción, se debe dividir por el mcd del numerador y el denominador. Entonces, encontremos el MCD de los números 105 y 450:
MCD para (105 y 150) es 15
Ahora dividimos el numerador y el denominador de nuestra respuesta al MCD:
Representar un número entero como una fracción
Cualquier número entero se puede representar como una fracción. Por ejemplo, el número 5 se puede representar como . De esto, el cinco no cambiará su significado, ya que la expresión significa “el número cinco dividido por uno”, y esto, como sabes, es igual a cinco:
números inversos
Ahora nos familiarizaremos con tema interesante en matemáticas. Se llama "números inversos".
Definición. Invertir al número un es el número que, cuando se multiplica por un da una unidad.
Sustituyamos en esta definición en lugar de una variable un número 5 e intenta leer la definición:
Invertir al número 5 es el número que, cuando se multiplica por 5 da una unidad.
¿Es posible encontrar un número que multiplicado por 5 dé como resultado uno? Resulta que puedes. Representemos cinco como una fracción:
Luego multiplica esta fracción por sí misma, simplemente intercambia el numerador y el denominador. En otras palabras, multiplica la fracción por sí misma, solo que invertida:
¿Cuál será el resultado de esto? Si continuamos resolviendo este ejemplo, obtenemos uno:
Esto quiere decir que el inverso del número 5 es el número, ya que al multiplicar 5 por uno se obtiene uno.
El recíproco también se puede encontrar para cualquier otro número entero.
- el recíproco de 3 es una fracción
- el recíproco de 4 es una fracción
También puedes encontrar el recíproco de cualquier otra fracción. Para hacer esto, es suficiente darle la vuelta.
Multiplicar un número entero por una fracción es una tarea sencilla. Pero hay sutilezas que probablemente entendiste en la escuela, pero que desde entonces has olvidado.
Cómo multiplicar un número entero por una fracción: algunos términos
Si recuerdas qué son el numerador y el denominador y en qué se diferencia una fracción propia de una impropia, sáltate este párrafo. Es para aquellos que han olvidado por completo la teoría.
el numerador es parte superior fracciones son lo que dividimos. El denominador es el de abajo. Esto es lo que compartimos.
Una fracción propia es aquella cuyo numerador es menor que el denominador. Una fracción impropia es una fracción cuyo numerador es mayor o igual que el denominador.
Cómo multiplicar un número entero por una fracción
La regla para multiplicar un número entero por una fracción es muy simple: multiplicamos el numerador por el número entero y no tocamos el denominador. Por ejemplo: dos multiplicado por un quinto - obtenemos dos quintos. Cuatro por tres dieciseisavos es doce dieciseisavos.
Reducción
En el segundo ejemplo, la fracción resultante se puede reducir.
¿Qué significa? Tenga en cuenta que tanto el numerador como el denominador de esta fracción son divisibles por cuatro. Dividir ambos números por un divisor común se llama reducir la fracción. Obtenemos tres cuartos.
fracciones impropias
Pero supongamos que multiplicamos cuatro por dos quintos. Tengo ocho quintos. Esta es la fracción incorrecta.
Debe ser llevado a forma correcta. Para hacer esto, debe seleccionar una parte completa de ella.
Aquí necesitas usar la división con un resto. Obtenemos uno y tres en el resto.
Un entero y tres quintos es nuestra fracción propia.
Corregir treinta y cinco octavos es un poco más difícil, el número más cercano a treinta y siete que es divisible por ocho es treinta y dos. Cuando se divide, obtenemos cuatro. Restamos treinta y dos de treinta y cinco, obtenemos tres. Resultado: cuatro enteros y tres octavos.
Igualdad del numerador y denominador. Y aquí todo es muy simple y hermoso. Cuando el numerador y el denominador son iguales, el resultado es solo uno.
En este artículo analizaremos multiplicacion de numeros mixtos. Primero, expresaremos la regla para multiplicar números mixtos y consideraremos la aplicación de esta regla al resolver ejemplos. A continuación, hablaremos de la multiplicación de un número mixto y un número natural. Finalmente, aprenderemos a multiplicar un número mixto y una fracción ordinaria.
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Multiplicación de números mixtos.
Multiplicación de números mixtos puede reducirse a multiplicar fracciones ordinarias. Para hacer esto, basta con convertir números mixtos en fracciones impropias.
vamos a escribir regla de multiplicacion para numeros mixtos:
- Primero, los números mixtos a multiplicar deben ser reemplazados por fracciones impropias;
- En segundo lugar, debe usar la regla de multiplicar una fracción por una fracción.
Considere ejemplos de la aplicación de esta regla al multiplicar un número mixto por un número mixto.
Realiza multiplicaciones de números mixtos y .
Primero, representamos los números mixtos multiplicados como fracciones impropias: 
y 
. Ahora podemos reemplazar la multiplicación de números mixtos con la multiplicación de fracciones ordinarias: 
. Aplicando la regla de la multiplicación de fracciones, obtenemos 
. La fracción resultante es irreducible (ver fracciones reducibles e irreducibles), pero es incorrecta (ver fracciones regulares e impropias), por lo tanto, para obtener la respuesta final, resta extraer la parte entera de la fracción impropia: .
Escribamos la solución completa en una línea: .
.
Para consolidar las habilidades de multiplicar números mixtos, considere la solución de otro ejemplo.
Haz la multiplicación.
Números divertidos y son iguales a las fracciones 13/5 y 10/9, respectivamente. Entonces 
. En esta etapa, es hora de recordar acerca de la reducción de fracciones: reemplacemos todos los números en la fracción con sus desarrollos en factores primos, y realizar la reducción de los mismos factores.
Multiplicación de un número mixto y un número natural
Después de reemplazar el número mixto, fracción propia, multiplicar un numero mixto y un numero natural se reduce a la multiplicación de una fracción ordinaria y un número natural.
Multiplica el número mixto y el número natural 45 .
Un número mixto es una fracción, entonces 
. Reemplacemos los números en la fracción resultante con sus desarrollos en factores primos, hagamos una reducción, después de lo cual seleccionamos la parte entera: .
.
La multiplicación de un número mixto y un número natural a veces se hace convenientemente usando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. En este caso, el producto de un número mixto y un número natural es igual a la suma de los productos de la parte entera por el número natural dado y la parte fraccionaria por el número natural dado, es decir, 
.
Calcular el producto.
Reemplazamos el número mixto con la suma de las partes entera y fraccionaria, después de lo cual aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación: .
Multiplicar un número mixto y una fracción común lo más conveniente es reducir a la multiplicación de fracciones ordinarias, representando el número mixto multiplicado como una fracción impropia.
Multiplica el número mixto por la fracción común 4/15.
Sustituyendo el número mixto por una fracción, obtenemos 
.
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Multiplicación de números fraccionarios
§ 140. Definiciones. 1) La multiplicación de un número fraccionario por un número entero se define de la misma manera que la multiplicación de números enteros, a saber: multiplicar un número (multiplicador) por un número entero (multiplicador) significa hacer una suma de términos idénticos, en la que cada término es igual al multiplicando, y el número de términos es igual al multiplicador.
Así que multiplicar por 5 significa encontrar la suma:
2) Multiplicar algún número (multiplicador) por una fracción (multiplicador) significa encontrar esta fracción del multiplicando.
Así, al encontrar una fracción de un número dado, que consideramos antes, ahora llamaremos multiplicación por una fracción.
3) Multiplicar un número (multiplicador) por un número mixto (factor) significa multiplicar el multiplicador primero por el número entero del factor, luego por la fracción del factor, y sumar los resultados de estas dos multiplicaciones.
Por ejemplo:
El número obtenido después de la multiplicación se llama en todos estos casos trabaja, es decir, de la misma forma que cuando se multiplican números enteros.
De estas definiciones queda claro que la multiplicación de números fraccionarios es una acción que siempre es posible y siempre sin ambigüedades.
§ 141. Oportunidad de estas definiciones. Para comprender la conveniencia de introducir las dos últimas definiciones de multiplicación en la aritmética, tomemos el siguiente problema:
Tarea. El tren, moviéndose uniformemente, viaja a 40 km por hora; ¿Cómo saber cuántos kilómetros recorrerá este tren en un número determinado de horas?
Si nos hubiésemos quedado con aquella única definición de multiplicación, que se indica en la aritmética de los números enteros (suma de términos iguales), entonces nuestro problema tendría tres soluciones diferentes, a saber:
Si el número de horas dado es un número entero (por ejemplo, 5 horas), entonces para resolver el problema, se deben multiplicar 40 km por este número de horas.
Si un número dado de horas se expresa como una fracción (por ejemplo, horas), entonces tendrás que encontrar el valor de esta fracción a partir de 40 km.
Finalmente, si el número dado de horas es mixto (por ejemplo, horas), entonces será necesario multiplicar 40 km por un número entero contenido en el número mixto, y agregar al resultado una fracción de 40 km como está en el numero mixto.
Las definiciones que hemos dado nos permiten dar una respuesta general a todos estos casos posibles:
Hay que multiplicar 40 km por el número de horas dado, cualquiera que sea.
Así, si la tarea se presenta en vista general Asi que:
Un tren que se mueve uniformemente recorre v km por hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá el tren en t horas?
entonces, cualesquiera que sean los números vyt, podemos expresar una respuesta: el número deseado se expresa mediante la fórmula v · t.
Nota. Encontrar alguna fracción de un número dado, según nuestra definición, significa lo mismo que multiplicar un número dado por esta fracción; por lo tanto, por ejemplo, encontrar el 5% (es decir, cinco centésimas) de un número dado significa lo mismo que multiplicar el número dado por o por; encontrar el 125% de un número dado es lo mismo que multiplicar ese número por o por, etc.
§ 142. Una nota sobre cuándo un número aumenta y cuándo disminuye a partir de la multiplicación.
De la multiplicación por una fracción propia, el número decrece, y de la multiplicación por fracción impropia el número aumenta si esta fracción impropia es mayor que uno, y permanece invariable si es igual a uno.
Comentario. Al multiplicar números fraccionarios, así como enteros, el producto se toma igual a cero si alguno de los factores es igual a cero, entonces,.
§ 143. Derivación de reglas de multiplicación.
1) Multiplicar una fracción por un número entero. Que la fracción se multiplique por 5. Esto significa aumentar por 5 veces. Para aumentar una fracción en 5, basta con aumentar su numerador o disminuir su denominador 5 veces (§ 127).
Asi que:
Regla 1. Para multiplicar una fracción por un entero, debes multiplicar el numerador por este entero, y dejar igual el denominador; en cambio, también puedes dividir el denominador de la fracción por el entero dado (si es posible) y dejar el numerador igual.
Comentario. El producto de una fracción y su denominador es igual a su numerador.
Asi que:
regla 2 Para multiplicar un número entero por una fracción, debe multiplicar el número entero por el numerador de la fracción y convertir este producto en el numerador, y firmar el denominador de la fracción dada como denominador.
Regla 3. Para multiplicar una fracción por otra fracción, necesitas multiplicar el numerador por el numerador y el denominador por el denominador y hacer que el primer producto sea el numerador y el segundo el denominador del producto.
Comentario. Esta regla también se puede aplicar a la multiplicación de una fracción por un entero y un entero por una fracción, si sólo consideramos el entero como una fracción con denominador uno. Asi que:
Por lo tanto, las tres reglas ahora enunciadas están contenidas en una, que puede expresarse en términos generales de la siguiente manera:
4) Multiplicación de números mixtos.
Regla 4. Para multiplicar números mixtos, debe convertirlos en fracciones impropias y luego multiplicar de acuerdo con las reglas para multiplicar fracciones. Por ejemplo:
§ 144. Reducción en la multiplicación. Al multiplicar fracciones, si es posible, se debe hacer una reducción preliminar, como se puede ver en los siguientes ejemplos:
Tal reducción se puede hacer porque el valor de la fracción no cambiará si el numerador y el denominador se reducen en el mismo numero una vez.
§ 145. Cambio de producto con cambio de factores. Cuando los factores cambian, el producto de números fraccionarios cambiará exactamente de la misma manera que el producto de números enteros (§ 53), es decir: si aumenta (o disminuye) cualquier factor varias veces, entonces el producto aumentará (o disminuirá) por la misma cantidad.
Entonces, si en el ejemplo:
para multiplicar varias fracciones es necesario multiplicar sus numeradores entre sí y los denominadores entre sí y hacer que el primer producto sea el numerador y el segundo el denominador del producto.
Comentario. Esta regla también se puede aplicar a aquellos productos en los que algunos factores del número son enteros o mixtos, si consideramos el número entero como una fracción cuyo denominador es uno, y convertimos los números mixtos en fracciones impropias. Por ejemplo:
§ 147. Propiedades básicas de la multiplicación. Aquellas propiedades de la multiplicación que hemos indicado para los números enteros (§ 56, 57, 59) también pertenecen a la multiplicación de números fraccionarios. Especifiquemos estas propiedades.
1) El producto no cambia al cambiar los lugares de los factores.
Por ejemplo:
En efecto, según la regla del párrafo anterior, el primer producto es igual a la fracción y el segundo es igual a la fracción. Pero estas fracciones son iguales, porque sus términos difieren solo en el orden de los factores enteros, y el producto de los números enteros no cambia cuando cambian los lugares de los factores.
2) El producto no cambiará si cualquier grupo de factores es reemplazado por su producto.
Por ejemplo:
Los resultados son los mismos.
De esta propiedad de la multiplicación, se puede deducir la siguiente conclusión:
para multiplicar un número por un producto, puedes multiplicar este número por el primer factor, multiplicar el número resultante por el segundo, y así sucesivamente.
Por ejemplo:
3) La ley distributiva de la multiplicación (con respecto a la suma). Para multiplicar la suma por algún número, puedes multiplicar cada término por este número por separado y sumar los resultados.
Esta ley ha sido explicada por nosotros (§ 59) aplicada a números enteros. Sigue siendo cierto sin ningún cambio para los números fraccionarios.
Demostremos, de hecho, que la igualdad
(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .
(la ley distributiva de la multiplicación con respecto a la suma) sigue siendo verdadera incluso cuando las letras significan números fraccionarios. Consideremos tres casos.
1) Suponga primero que el factor m es un número entero, por ejemplo m = 3 (a, b, c son números cualesquiera). De acuerdo con la definición de multiplicación por un número entero, uno puede escribir (limitado por simplicidad a tres términos):
(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).
Con base en la ley asociativa de la suma, podemos omitir todos los corchetes en el lado derecho; aplicando la ley conmutativa de la suma, y luego nuevamente la ley de la combinación, obviamente podemos reescribir el lado derecho de la siguiente manera:
(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).
(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.
Por tanto, se confirma la ley distributiva en este caso.
Multiplicación y división de fracciones
La última vez aprendimos a sumar y restar fracciones (ver la lección "Sumar y restar fracciones"). El momento más difícil de esas acciones fue llevar fracciones a un denominador común.
Ahora es el momento de lidiar con la multiplicación y la división. La buena noticia es que estas operaciones son incluso más fáciles que la suma y la resta. Para empezar, considere el caso más simple, cuando hay dos fracciones positivas sin una parte entera distinguida.
Para multiplicar dos fracciones, necesitas multiplicar sus numeradores y denominadores por separado. El primer número será el numerador de la nueva fracción y el segundo será el denominador.
Para dividir dos fracciones, necesitas multiplicar la primera fracción por el segundo "invertido".
De la definición se sigue que la división de fracciones se reduce a la multiplicación. Para voltear una fracción, simplemente intercambia el numerador y el denominador. Por lo tanto, toda la lección consideraremos principalmente la multiplicación.
Como resultado de la multiplicación, puede surgir una fracción reducida (y a menudo surge), por supuesto, debe reducirse. Si, después de todas las reducciones, la fracción resultara incorrecta, deberá distinguirse en ella la parte entera. Pero lo que definitivamente no sucederá con la multiplicación es la reducción a un denominador común: sin métodos cruzados, factores máximos y mínimos comunes múltiplos.
Por definición tenemos:
Multiplicación de fracciones con parte entera y fracciones negativas
Si hay una parte entera en las fracciones, deben convertirse en impropias, y solo luego multiplicarse de acuerdo con los esquemas descritos anteriormente.
Si hay un signo menos en el numerador de una fracción, en el denominador o delante de él, se puede sacar de los límites de la multiplicación o eliminarlo por completo de acuerdo con las siguientes reglas:
- Más veces menos da menos;
- Dos negativos hacen un afirmativo.
Hasta ahora, estas reglas solo se han encontrado al sumar y restar fracciones negativas, cuando se requería deshacerse de la parte entera. Para un producto, se pueden generalizar para "quemar" varias desventajas a la vez:
- Tachamos los menos en pares hasta que desaparezcan por completo. En un caso extremo, uno menos puede sobrevivir: el que no encontró una coincidencia;
- Si no quedan menos, la operación está completa; puede comenzar a multiplicar. Si el último menos no está tachado, ya que no encontró un par, lo sacamos de los límites de la multiplicación. Obtienes una fracción negativa.
Tarea. Encuentre el valor de la expresión:
Traducimos todas las fracciones a impropias y luego sacamos los menos fuera de los límites de la multiplicación. Lo que queda se multiplica según las reglas habituales. Obtenemos:
Permíteme recordarte una vez más que el signo menos que precede a una fracción con una parte entera resaltada se refiere específicamente a la fracción completa, y no solo a su parte entera (esto se aplica a los dos últimos ejemplos).
También presta atención a números negativos: Cuando se multiplican, se encierran entre paréntesis. Esto se hace para separar los signos menos de los signos de multiplicación y hacer que toda la notación sea más precisa.
Reducir fracciones sobre la marcha
La multiplicación es una operación muy laboriosa. Los números aquí son bastante grandes y, para simplificar la tarea, puede intentar reducir la fracción aún más. antes de la multiplicación. De hecho, en esencia, los numeradores y los denominadores de las fracciones son factores ordinarios y, por lo tanto, se pueden reducir utilizando la propiedad básica de una fracción. Echa un vistazo a los ejemplos:
Tarea. Encuentre el valor de la expresión:
Por definición tenemos:
En todos los ejemplos, los números que se han reducido y lo que queda de ellos están marcados en rojo.
Tenga en cuenta: en el primer caso, los multiplicadores se redujeron por completo. Las unidades permanecieron en su lugar, lo que, en general, puede omitirse. En el segundo ejemplo, no fue posible lograr una reducción completa, pero la cantidad total de cálculos aún disminuyó.
Sin embargo, ¡en ningún caso no utilice esta técnica al sumar y restar fracciones! Sí, a veces hay números similares que solo quieres reducir. Aquí, mira:
¡No puedes hacer eso!
El error ocurre debido a que al sumar una fracción, en el numerador de una fracción aparece la suma, y no el producto de números. Por lo tanto, es imposible aplicar la propiedad principal de una fracción, ya que esta propiedad se ocupa específicamente de la multiplicación de números.
Simplemente no hay otra razón para reducir fracciones, así que solucion correcta la tarea anterior se ve así:
Como puede ver, la respuesta correcta resultó no ser tan hermosa. En general, tenga cuidado.
Multiplicación de fracciones.
Para multiplicar correctamente una fracción por una fracción o una fracción por un número, necesitas saber reglas simples. Ahora analizaremos estas reglas en detalle.
Multiplicar una fracción por una fracción.
Para multiplicar una fracción por otra fracción, necesitas calcular el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de estas fracciones.
Considere un ejemplo:
Multiplicamos el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y también multiplicamos el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción.
Multiplicar una fracción por un número.
Empecemos con la regla cualquier número se puede representar como una fracción \(\bf n = \frac \) .
Usemos esta regla para la multiplicación.
La fracción impropia \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) se convirtió en fracción mixta.
En otras palabras, Al multiplicar un número por una fracción, multiplique el número por el numerador y deje el denominador sin cambios. Ejemplo:
Multiplicación de fracciones mixtas.
Para multiplicar fracciones mixtas, primero debes representar cada fracción mixta como una fracción impropia y luego usar la regla de la multiplicación. El numerador se multiplica por el numerador, el denominador se multiplica por el denominador.
Multiplicación de fracciones y números recíprocos.
Preguntas relacionadas:
¿Cómo multiplicar una fracción por una fracción?
Respuesta: el producto de fracciones ordinarias es la multiplicación del numerador con el numerador, el denominador con el denominador. Para obtener el producto de fracciones mixtas, debes convertirlas en una fracción impropia y multiplicarlas de acuerdo con las reglas.
¿Cómo multiplicar fracciones con diferente denominador?
Respuesta: no importa si los denominadores de las fracciones son iguales o diferentes, la multiplicación ocurre de acuerdo con la regla para encontrar el producto del numerador con el numerador, el denominador con el denominador.
¿Cómo multiplicar fracciones mixtas?
Respuesta: en primer lugar, debe convertir la fracción mixta en una fracción impropia y luego encontrar el producto de acuerdo con las reglas de la multiplicación.
¿Cómo multiplicar un número por una fracción?
Respuesta: Multiplicamos el número por el numerador, y dejamos igual el denominador.
Ejemplo 1:
Calcula el producto: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)
Ejemplo #2:
Calcular el producto de un número y una fracción: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)
Ejemplo #3:
Escribe el recíproco de la fracción \(\frac \)?
Respuesta: \(\frac = 3\)
Ejemplo #4:
Calcular el producto de dos recíprocos: a) \(\frac \times \frac \)
Ejemplo #5:
Las fracciones mutuamente inversas pueden ser:
a) ambas fracciones propias;
b) simultáneamente fracciones impropias;
c) números naturales al mismo tiempo?
Decisión:
a) Usemos un ejemplo para responder la primera pregunta. La fracción \(\frac \) es correcta, su recíproco será igual a \(\frac \) - una fracción impropia. Respuesta: no.
b) en casi todas las enumeraciones de fracciones no se cumple esta condición, pero hay algunos números que cumplen la condición de ser fracción impropia al mismo tiempo. Por ejemplo, la fracción impropia es \(\frac \) , su recíproco es \(\frac \). Obtenemos dos fracciones impropias. Respuesta: no siempre bajo ciertas condiciones, cuando el numerador y el denominador son iguales.
c) los números naturales son los números que usamos al contar, por ejemplo, 1, 2, 3, .... Si tomamos el número \(3 = \frac \), entonces su recíproco será \(\frac \). La fracción \(\frac \) no es un número natural. Si repasamos todos los números, el recíproco siempre es una fracción, excepto el 1. Si tomamos el número 1, entonces su recíproco será \(\frac = \frac = 1\). El número 1 es un número natural. Respuesta: pueden ser simultáneamente números naturales solo en un caso, si este número es 1.
Ejemplo #6:
Realiza el producto de fracciones mixtas: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)
Decisión:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)
Ejemplo #7:
¿Pueden dos mutuamente recíprocos ser simultáneamente números mixtos?
Veamos un ejemplo. Toma una fracción mixta \(1\frac \), encuéntrala recíproco, para ello lo traducimos a una fracción impropia \(1\frac = \frac \) . Su recíproco será igual a \(\frac \) . La fracción \(\frac \) es una fracción propia. Respuesta: Dos fracciones mutuamente inversas no pueden ser números mixtos al mismo tiempo.
Multiplicar un decimal por un número natural
Presentación para la lección
¡Atención! La vista previa de la diapositiva es solo para fines informativos y es posible que no represente la extensión total de la presentación. Si estás interesado este trabajo por favor descargue la versión completa.
- De una manera divertida, presente a los estudiantes la regla de multiplicar una fracción decimal por un número natural, por una unidad de bit y la regla de expresar una fracción decimal como un porcentaje. Desarrollar la capacidad de aplicar los conocimientos adquiridos en la resolución de ejemplos y problemas.
- desarrollar y activar pensamiento lógico estudiantes, la capacidad de identificar patrones y generalizarlos, fortalecer la memoria, la capacidad de cooperar, brindar asistencia, evaluar su trabajo y el trabajo de los demás.
- Cultivar el interés por las matemáticas, la actividad, la movilidad, la capacidad de comunicación.
Equipo: pizarra interactiva, un cartel con un cyphergram, carteles con declaraciones de matemáticos.
- Organizando el tiempo.
- El conteo oral es una generalización de material previamente estudiado, preparación para el estudio de material nuevo.
- Explicación del nuevo material.
- Asignación de tareas.
- Educación física matemática.
- Generalización y sistematización de los conocimientos adquiridos de forma lúdica con la ayuda de un ordenador.
- calificación
2. Chicos, nuestra lección de hoy será algo inusual, porque no la pasaré solo, sino con mi amigo. Y mi amigo también es inusual, ahora lo verás. (Aparece una computadora de dibujos animados en la pantalla). Mi amigo tiene un nombre y puede hablar. ¿Cuál es tu nombre, amigo? Komposha responde: "Mi nombre es Komposha". ¿Estás listo para ayudarme hoy? ¡SÍ! Bueno, entonces, comencemos la lección.
Hoy recibí un cyphergram encriptado, muchachos, que debemos resolver y descifrar juntos. (Se coloca un cartel en la pizarra con conteo oral para la suma y resta de fracciones decimales, como resultado de lo cual los chicos obtienen el siguiente código 523914687. )
Komposha ayuda a descifrar el código recibido. Como resultado de la decodificación, se obtiene la palabra MULTIPLICACIÓN. La multiplicación es la palabra clave del tema de la lección de hoy. El tema de la lección se muestra en el monitor: "Multiplicar una fracción decimal por un número natural"
Chicos, sabemos cómo se realiza la multiplicación de números naturales. Hoy vamos a ver la multiplicación. numeros decimales a un número natural. La multiplicación de una fracción decimal por un número natural puede considerarse como la suma de términos, cada uno de los cuales es igual a esta fracción decimal, y el número de términos es igual a este número natural. Por ejemplo: 5,21 3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Entonces 5,21 3 = 15,63. Representando 5.21 como una fracción ordinaria de un número natural, obtenemos
Y en este caso, obtuvimos el mismo resultado de 15.63. Ahora, ignorando la coma, tomemos el número 521 en lugar del número 5.21 y multipliquemos por el número natural dado. Aquí debemos recordar que en uno de los factores la coma se mueve dos lugares a la derecha. Al multiplicar los números 5, 21 y 3, obtenemos un producto igual a 15,63. Ahora, en este ejemplo, moveremos la coma dos dígitos hacia la izquierda. Por lo tanto, por cuántas veces se incrementó uno de los factores, el producto se redujo tantas veces. Con base en los puntos similares de estos métodos, sacamos una conclusión.
Multiplicar decimal a un número natural, necesitas:
1) ignorando la coma, realiza la multiplicación de números naturales;
2) en el producto resultante, separar con una coma a la derecha tantos caracteres como hay en una fracción decimal.
En el monitor se muestran los siguientes ejemplos, que analizamos junto con Komposha y los chicos: 5,21 3 = 15,63 y 7,624 15 = 114,34. Después de mostrar la multiplicación por número redondeado 12,6 50 = 630. A continuación, paso a la multiplicación de una fracción decimal por una unidad de bit. Muestro los siguientes ejemplos: 7.423 100 \u003d 742.3 y 5.2 1000 \u003d 5200. Entonces, presento la regla para multiplicar una fracción decimal por una unidad de bit:
Para multiplicar una fracción decimal por las unidades de bit 10, 100, 1000, etc., es necesario desplazar la coma hacia la derecha en esta fracción tantos dígitos como ceros haya en el registro de unidad de bit.
Termino la explicación con la expresión de una fracción decimal como porcentaje. Entro en la regla:
Para expresar un decimal como porcentaje, multiplícalo por 100 y agrega el signo %.
Doy un ejemplo en una computadora 0.5 100 = 50 o 0.5 = 50%.
4. Al final de la explicación, les doy a los chicos tarea, que también se muestra en el monitor de la computadora: № 1030, № 1034, № 1032.
5. Para que los chicos descansen un poco, para consolidar el tema, hacemos una sesión de educación física matemática junto con Komposha. Todos se ponen de pie, muestran a la clase los ejemplos resueltos y deben responder si el ejemplo es correcto o incorrecto. Si el ejemplo se resuelve correctamente, levantan las manos por encima de la cabeza y aplauden. Si el ejemplo no se resuelve correctamente, los chicos estiran los brazos hacia los lados y amasan los dedos.
6. Y ahora que tienes un pequeño descanso, puedes resolver las tareas. Abre tu libro de texto en la página 205, № 1029. en esta tarea es necesario calcular el valor de las expresiones:
Las tareas aparecen en la computadora. A medida que se resuelven, aparece un cuadro con la imagen de un barco que, cuando está completamente ensamblado, zarpa.
Resolviendo esta tarea en una computadora, el cohete se desarrolla gradualmente, resolviendo el último ejemplo, el cohete se va volando. El profesor da una pequeña información a los alumnos: “Cada año desde la tierra kazaja desde el cosmódromo de Baikonur despega hacia las estrellas naves espaciales. Cerca de Baikonur, Kazajstán está construyendo su propia nuevo puerto espacial Baiterek.
¿Qué distancia recorrerá un automóvil en 4 horas si la velocidad es coche de pasajeros 74,8 km/h.
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) y el denominador por el denominador (obtenemos el denominador del producto).
Fórmula de multiplicación de fracciones:
Por ejemplo:
Antes de proceder con la multiplicación de numeradores y denominadores, es necesario verificar la posibilidad de reducción de fracciones. Si logras reducir la fracción, entonces te será más fácil seguir haciendo cálculos.
División de una fracción ordinaria por una fracción.
División de fracciones que involucran un número natural.
No es tan aterrador como parece. Como en el caso de la suma, convertimos un número entero en una fracción con una unidad en el denominador. Por ejemplo:
Multiplicación de fracciones mixtas.
Reglas para multiplicar fracciones (mixtas):
- convertir fracciones mixtas a impropias;
- multiplicar los numeradores y denominadores de fracciones;
- reducimos la fracción;
- si obtenemos una fracción impropia, entonces convertimos la fracción impropia en una mixta.
¡Nota! Para multiplicar una fracción mixta por otra fracción mixta, primero debe llevarlas a la forma de fracciones impropias y luego multiplicar de acuerdo con la regla para multiplicar fracciones ordinarias.
La segunda forma de multiplicar una fracción por un número natural.
Es más conveniente usar el segundo método de multiplicar una fracción ordinaria por un número.
¡Nota! Para multiplicar una fracción por un número natural, es necesario dividir el denominador de la fracción por este número y dejar el numerador sin cambios.
Del ejemplo anterior, está claro que esta opción es más conveniente cuando el denominador de una fracción se divide sin resto por un número natural.
Fracciones multinivel.
En la escuela secundaria, a menudo se encuentran fracciones de tres pisos (o más). Ejemplo:
Para llevar dicha fracción a su forma habitual, se usa la división a través de 2 puntos:
¡Nota! Al dividir fracciones, el orden de división es muy importante. Tenga cuidado, es fácil confundirse aquí.
Nota, Por ejemplo:
Al dividir uno entre cualquier fracción, el resultado será la misma fracción, solo que invertida:
Consejos prácticos para multiplicar y dividir fracciones:
1. Lo más importante al trabajar con expresiones fraccionarias es la precisión y la atención. Haga todos los cálculos con cuidado y precisión, concentración y claridad. Es mejor escribir algunas líneas extra en un borrador que confundirse con los cálculos en la cabeza.
2. En tareas con diferentes tipos fracciones - ir a la forma de fracciones ordinarias.
3. Reducimos todas las fracciones hasta que ya no sea posible reducir.
4. Traemos expresiones fraccionarias de varios niveles a expresiones ordinarias, usando la división a través de 2 puntos.
5. Dividimos la unidad en una fracción en nuestra mente, simplemente dándole la vuelta a la fracción.
Multiplicación de fracciones ordinarias
Considere un ejemplo.
Que haya $\frac(1)(3)$ parte de una manzana en el plato. Necesitamos encontrar la parte $\frac(1)(2)$. La parte requerida es el resultado de multiplicar las fracciones $\frac(1)(3)$ y $\frac(1)(2)$. El resultado de multiplicar dos fracciones comunes es una fracción común.
Multiplicar dos fracciones comunes
Regla para multiplicar fracciones ordinarias:
El resultado de multiplicar una fracción por otra fracción es una fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores de las fracciones multiplicadas, y el denominador es igual al producto de los denominadores:
Ejemplo 1
Multiplica las fracciones ordinarias $\frac(3)(7)$ y $\frac(5)(11)$.
Decisión.
Usemos la regla de la multiplicación de fracciones ordinarias:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Responder:$\frac(15)(77)$
Si como resultado de la multiplicación de fracciones se obtiene una fracción cancelable o impropia, entonces es necesario simplificarla.
Ejemplo 2
Multiplica las fracciones $\frac(3)(8)$ y $\frac(1)(9)$.
Decisión.
Usamos la regla para multiplicar fracciones ordinarias:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Como resultado, obtuvimos una fracción reducible (sobre la base de la división por $3$. Dividiendo el numerador y el denominador de la fracción por $3$, obtenemos:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Solución corta:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Responder:$\frac(1)(24).$
Al multiplicar fracciones, puedes reducir los numeradores y denominadores para encontrar su producto. En este caso, el numerador y el denominador de la fracción se descomponen en factores simples, luego de lo cual se reducen los factores repetidos y se encuentra el resultado.
Ejemplo 3
Calcula el producto de las fracciones $\frac(6)(75)$ y $\frac(15)(24)$.
Decisión.
Usemos la fórmula para multiplicar fracciones ordinarias:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Obviamente, el numerador y el denominador contienen números que se pueden reducir en pares por los números $2$, $3$ y $5$. Descomponemos el numerador y el denominador en factores simples y hacemos la reducción:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Responder:$\frac(1)(20).$
Al multiplicar fracciones, se puede aplicar la ley conmutativa:
Multiplicar una fracción por un número natural
La regla para multiplicar una fracción ordinaria por un número natural:
El resultado de multiplicar una fracción por un número natural es una fracción en la que el numerador es igual al producto del numerador de la fracción multiplicada por el número natural, y el denominador es igual al denominador de la fracción multiplicada:
donde $\frac(a)(b)$ es una fracción común, $n$ es un número natural.
Ejemplo 4
Multiplica la fracción $\frac(3)(17)$ por $4$.
Decisión.
Usemos la regla de multiplicar una fracción ordinaria por un número natural:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Responder:$\frac(12)(17).$
No te olvides de comprobar el resultado de la multiplicación por la contractibilidad de una fracción o por una fracción impropia.
Ejemplo 5
Multiplica la fracción $\frac(7)(15)$ por $3$.
Decisión.
Usemos la fórmula para multiplicar una fracción por un número natural:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Por el criterio de división por el número $3$), se puede determinar que la fracción resultante se puede reducir:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
El resultado es una fracción impropia. Tomemos la parte entera:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Solución corta:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
También fue posible reducir fracciones reemplazando los números en el numerador y el denominador con sus expansiones en factores primos. En este caso, la solución podría escribirse de la siguiente manera:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Responder:$1\frac(2)(5).$
Al multiplicar una fracción por un número natural, puedes usar la ley conmutativa:
División de fracciones ordinarias
La operación de división es la inversa de la multiplicación y su resultado es una fracción por la que debes multiplicar una fracción conocida para obtener un producto conocido de dos fracciones.
División de dos fracciones comunes
La regla para dividir fracciones ordinarias: Obviamente, el numerador y el denominador de la fracción resultante se pueden descomponer en factores simples y reducir:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
Como resultado, obtuvimos una fracción impropia, de la cual seleccionamos la parte entera:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Responder:$1\frac(5)(9).$
