El momento de la fuerza sobre el eje de sus propiedades. Momento de fuerza sobre el eje

Al resolver problemas de movimiento de objetos, en algunos casos se desprecian sus dimensiones espaciales, introduciendo el concepto de punto material. Para otro tipo de problemas, en los que se consideran cuerpos en reposo o en rotación, es importante conocer sus parámetros y los puntos de aplicación de fuerzas externas. En este caso, estamos hablando del momento de las fuerzas con respecto al eje de rotación. Consideremos este problema en el artículo.

El concepto de momento de fuerza.

Antes de generar un eje fijo de rotación, es necesario aclarar de qué fenómeno se hablará. A continuación se muestra una figura que muestra una llave de longitud d, en su extremo se aplica una fuerza F. Es fácil imaginar que el resultado de su acción será la rotación de la llave en sentido antihorario y desenroscar la tuerca.

Según la definición, el momento de la fuerza respecto al eje de rotación es el producto del hombro (d en este caso) y la fuerza (F), es decir, se puede escribir la siguiente expresión: M = d * F. Debe notarse de inmediato que la fórmula anterior está escrita en forma escalar, es decir, le permite calcular el valor absoluto del momento M. Como se puede ver en la fórmula, la unidad de medida de la cantidad en consideración es newtons por metro (N*m).

- cantidad vectorial

Como se discutió anteriormente, el momento M es en realidad un vector. Para aclarar esta afirmación, considere otra figura.

Aquí vemos una palanca de longitud L, que está fija en el eje (que se muestra con la flecha). Se aplica una fuerza F en su extremo con un ángulo Φ. No es difícil imaginar que esta fuerza hará que la palanca se eleve. La fórmula del momento en forma vectorial en este caso se escribirá de la siguiente manera: M¯ = L¯*F¯, aquí la barra sobre el símbolo significa que la cantidad en cuestión es un vector. Cabe aclarar que L¯ se dirige desde al punto de aplicación de la fuerza F¯.

La expresión anterior es un producto vectorial. Su vector resultante (M¯) será perpendicular al plano formado por L¯ y F¯. Para determinar la dirección del momento M¯, existen varias reglas ( mano derecha, barrena). Para no memorizarlos y no confundirse en el orden de multiplicación de los vectores L¯ y F¯ (la dirección de M¯ depende de ello), debe recordar una cosa simple: el momento de la fuerza estará dirigido en tal de manera que si miras desde el final de su vector, entonces la fuerza actuante F ¯ hará girar la palanca en sentido contrario a las manecillas del reloj. Esta dirección del momento se toma condicionalmente como positiva. Si el sistema gira en el sentido de las agujas del reloj, entonces el momento de fuerzas resultante tiene un valor negativo.

Así, en el caso considerado con la palanca L, el valor de M¯ se dirige hacia arriba (de la figura al lector).

En forma escalar, la fórmula para el momento se escribe como: M = L*F*sin(180-Φ) o M = L*F*sin(Φ) (sin(180-Φ) = sin(Φ)). Según la definición del seno, podemos escribir la igualdad: M = d*F, donde d = L*sin(Φ) (ver la figura y el correspondiente triángulo rectángulo). La última fórmula es similar a la dada en el párrafo anterior.

Los cálculos anteriores demuestran cómo trabajar con cantidades vectoriales y escalares de momentos de fuerzas para evitar errores.

El significado físico de M¯

Dado que los dos casos considerados en los párrafos anteriores están asociados con el movimiento de rotación, uno puede adivinar qué significado tiene el momento de la fuerza. Si la fuerza que actúa sobre un punto material es una medida del aumento de la velocidad del desplazamiento lineal de este último, entonces el momento de la fuerza es una medida de su capacidad de rotación en relación con el sistema considerado.

vamos a traer buen ejemplo. Cualquier persona abre la puerta sujetando su manilla. También se puede hacer empujando la puerta en la zona del tirador. ¿Por qué nadie lo abre empujando el área de la bisagra? Muy simple: cuanto más cerca se aplica la fuerza a las bisagras, más difícil es abrir la puerta, y viceversa. La derivación de la oración anterior se sigue de la fórmula para el momento (M = d*F), que muestra que para M = const, los valores de d y F están en relación inversa.

Momento de fuerza - cantidad aditiva

En todos los casos considerados anteriormente, solo había una fuerza actuante. Al decidir tareas reales el asunto es mucho más complicado. Por lo general, los sistemas que giran o están en equilibrio están sujetos a varias fuerzas de torsión, cada una de las cuales crea su propio momento. En este caso, la solución de problemas se reduce a encontrar el momento total de las fuerzas con respecto al eje de rotación.

El momento total se encuentra por la suma habitual de los momentos individuales de cada fuerza, sin embargo, recuerda usar el signo correcto para cada una de ellas.

Ejemplo de solucion de problema

Para consolidar los conocimientos adquiridos, se propone resolver el siguiente problema: es necesario calcular el momento de fuerza total para el sistema que se muestra en la siguiente figura.

Vemos que tres fuerzas (F1, F2, F3) actúan sobre una palanca de 7 m de largo y tienen diferentes puntos aplicaciones relativas al eje de rotación. Dado que la dirección de las fuerzas es perpendicular a la palanca, no es necesario utilizar una expresión vectorial para el momento de torsión. Es posible calcular el momento total M usando la fórmula escalar y recordando la configuración signo deseado. Dado que las fuerzas F1 y F3 tienden a girar la palanca en el sentido contrario a las agujas del reloj, y F2 en el sentido de las agujas del reloj, el momento de rotación para el primero será positivo y para el segundo, negativo. Tenemos: M \u003d F1 * 7-F2 * 5 + F3 * 3 \u003d 140-50 + 75 \u003d 165 N * m. Es decir, el momento total es positivo y dirigido hacia arriba (hacia el lector).

El momento de la fuerza con respecto al eje de rotación se llama cantidad física igual al producto de la fuerza sobre su hombro.

El momento de fuerza está determinado por la fórmula:

M - FI, donde F es la fuerza, I es el brazo de la fuerza.

El hombro de la fuerza es la distancia más corta desde la línea de acción de la fuerza hasta el eje de rotación del cuerpo.

En la fig. 1.33, a muestra un cuerpo rígido que puede girar alrededor de un eje. El eje de rotación de este cuerpo es perpendicular al plano de la figura y pasa por el punto indicado con la letra O. El hombro de la fuerza F aquí es la distancia 1X desde el eje de rotación hasta la línea de acción de la fuerza . Encuéntralo de la siguiente manera. Primero dibuja la línea de acción de la fuerza. Luego, desde el punto O, por donde pasa el eje de rotación del cuerpo, se baja una perpendicular a la línea de acción de la fuerza. La longitud de esta perpendicular es el brazo de la fuerza dada.

El momento de fuerza caracteriza la acción giratoria de la fuerza. Esta acción depende tanto de la fuerza como del apalancamiento. Cuanto más grande sea el brazo, menos fuerza se debe aplicar para obtener el resultado deseado, es decir, el mismo momento de fuerza (ver (1.33)). Por eso es mucho más difícil abrir la puerta empujándola cerca de las bisagras que sujetando la manilla, y es mucho más fácil desatornillar la tuerca con una llave larga que con una llave corta.

La unidad de momento de fuerza en SI se toma como un momento de fuerza de 1 N, cuyo brazo es 1 m, un newton metro (N m).

regla del momento

Un cuerpo rígido capaz de girar alrededor de un eje fijo está en equilibrio si el momento de la fuerza M, que lo hace girar en el sentido de las agujas del reloj, es igual al momento de la fuerza M2, que lo hace girar en el sentido contrario a las agujas del reloj:

M1 \u003d -M2 o F 1 ll \u003d - F 2 l 2.

La regla de los momentos es consecuencia de uno de los teoremas de la mecánica, formulado por el científico francés P. Varignon en 1687.

Si dos fuerzas iguales y de direcciones opuestas que no se encuentran en la misma línea recta actúan sobre un cuerpo, entonces dicho cuerpo no está en equilibrio, ya que el momento resultante de estas fuerzas con respecto a cualquier eje no es igual a cero, ya que ambas fuerzas tienen momentos dirigidos en la misma dirección. Dos de estas fuerzas que actúan simultáneamente sobre un cuerpo se denominan par de fuerzas. Si el cuerpo está fijo en un eje, entonces, bajo la acción de un par de fuerzas, girará. Si se aplica un par de fuerzas a un cuerpo libre, este girará alrededor de un eje que pasa por el centro de gravedad del cuerpo, figura 1. 1.33b.

El momento de un par de fuerzas es el mismo respecto a cualquier eje perpendicular al plano del par. El momento total M de un par es siempre igual al producto de una de las fuerzas F y la distancia I entre las fuerzas, lo que se denomina brazo del par, independientemente de qué segmentos y /2 divide la posición del eje de el brazo de la pareja:

M = Fll + Fl2=F(l1 + l2) = Fl.

El momento de varias fuerzas, cuya resultante es igual a cero, será el mismo con respecto a todos los ejes paralelos entre sí, por lo que la acción de todas estas fuerzas sobre el cuerpo puede ser reemplazada por la acción de un par de fuerzas. con el mismo momento.

Momento de poder (sinónimos: par, par, par, par) es una cantidad física vectorial igual al producto vectorial del radio vector trazado desde el eje de rotación hasta el punto de aplicación de la fuerza por el vector de esta fuerza. Caracteriza la acción rotacional de la fuerza sobre un cuerpo rígido.

Los conceptos de momentos de “rotación” y “torque” generalmente no son idénticos, ya que en tecnología el concepto de momento de “rotación” se considera como una fuerza externa aplicada a un objeto, y “torque” es una fuerza interna que ocurre en un objeto. bajo la acción de cargas aplicadas (este concepto se utiliza en la resistencia de materiales).

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Momento de gravedad.Mancuerna y mano.

Fuerza y ​​masa

Momento de poder. Palancas en la naturaleza, la tecnología, la vida cotidiana | Física Grado 7 #44 | lección de información

Dependencia de la aceleración angular en el momento de las fuerzas 1

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Información general

Ocasiones especiales

Fórmula de momento de palanca

Se presenta un caso especial muy interesante como la definición del momento de fuerza en el campo:

El problema con esta representación es que no da la dirección del momento de la fuerza, sino solo su magnitud. Si la fuerza es perpendicular al vector r → (\displaystyle (\vec(r))), el momento de la palanca será igual a la distancia al centro y el momento de fuerza será máximo:

Fuerza en un ángulo

si la fuerza F → (\displaystyle (\vec (F))) dirigido en un ángulo θ (\ estilo de visualización \ theta) a la palanca r, entonces METRO = r F pecado ⁡ θ (\displaystyle M=rF\sin \theta ).

Equilibrio estático

Para que un objeto esté en equilibrio, no solo la suma de todas las fuerzas debe ser igual a cero, sino también la suma de todos los momentos de fuerza alrededor de cualquier punto. Para un caso bidimensional con fuerzas horizontales y verticales: la suma de fuerzas en dos dimensiones ΣH=0, ΣV=0 y el momento de fuerza en la tercera dimensión ΣM=0.

Momento de fuerza en función del tiempo.

METRO → = re L → re t (\displaystyle (\vec (M))=(\frac (d(\vec (L)))(dt))),

dónde L → (\displaystyle (\vec(L)))- momento angular.

Tomemos un cuerpo rígido. El movimiento de un cuerpo rígido se puede representar como el movimiento de un punto específico y la rotación alrededor de él.

El momento angular con respecto al punto O de un cuerpo rígido se puede describir mediante el producto del momento de inercia y la velocidad angular con respecto al centro de masa y el movimiento lineal del centro de masa.

Consideraremos los movimientos de rotación en el sistema de coordenadas de Koenig, ya que es mucho más difícil describir el movimiento de un cuerpo rígido en el sistema de coordenadas mundial.

Derivemos esta expresión con respecto al tiempo. Y si yo (\displaystyle yo) es una constante en el tiempo, entonces

dónde α → (\displaystyle (\vec (\alpha )))- aceleración angular, medida en radianes por segundo por segundo (rad / s 2). Ejemplo: Un disco uniforme está girando.

Si el tensor de inercia cambia con el tiempo, entonces el movimiento alrededor del centro de masa se describe utilizando la ecuación dinámica de Euler:

METRO C → = yo C re ω → re t + [ w → , yo C w → ] (\displaystyle (\vec (M_(c)))=I_(c)(\frac (d(\vec (\omega))) (dt))+[(\vec (w)),I_(c)(\vec (w))]).

En física, la consideración de problemas con cuerpos en rotación o sistemas que se encuentran en equilibrio se realiza utilizando el concepto de "momento de fuerza". Este artículo considerará la fórmula para el momento de fuerza, así como su uso para resolver este tipo de problemas.

en física

Como se señaló en la introducción, este artículo se centrará en los sistemas que pueden girar alrededor de un eje o alrededor de un punto. Considere un ejemplo de tal modelo, que se muestra en la siguiente figura.

Vemos que la palanca color gris fijo en el eje de rotación. Al final de la palanca hay un cubo negro de cierta masa, sobre el que actúa una fuerza (flecha roja). Es intuitivamente claro que el resultado de esta fuerza será la rotación de la palanca alrededor del eje en sentido antihorario.

El momento de la fuerza es una cantidad en física, que es igual al producto vectorial del radio que conecta el eje de rotación y el punto de aplicación de la fuerza (vector verde en la figura), y la fuerza externa misma. Es decir, la fuerza relativa al eje se escribe de la siguiente manera:

El resultado de este producto será el vector M¯. Su dirección se determina a partir del conocimiento de los vectores multiplicadores, es decir, r¯ y F¯. Según la definición del producto vectorial, M¯ debe ser perpendicular al plano, formado por vectores r¯ y F¯, y se dirige de acuerdo con la regla de la mano derecha (si los cuatro dedos de la mano derecha se colocan a lo largo del primer vector multiplicado hacia el final del segundo, entonces el pulgar apartado indicará dónde está el se dirige el vector deseado). En la figura se puede ver hacia dónde se dirige el vector M¯ (flecha azul).

Notación escalar M¯

En la figura del párrafo anterior, la fuerza (flecha roja) actúa sobre la palanca en un ángulo de 90º. En el caso general, se puede aplicar en absolutamente cualquier ángulo. Considere la imagen de abajo.

Aquí vemos que la fuerza F ya está actuando sobre la palanca L en un cierto ángulo Φ. Para este sistema, la fórmula del momento de fuerza relativo a un punto (indicado por una flecha) en forma escalar toma la forma:

METRO = L * F * sen(Φ)

De la expresión se deduce que el momento de la fuerza M será tanto mayor cuanto más cerca esté la dirección de acción de la fuerza F del ángulo de 90° con respecto a L. Por el contrario, si F actúa a lo largo de L, entonces sen(0) = 0, y la fuerza no crea ningún momento ( M = 0).

Al considerar el momento de fuerza en forma escalar, a menudo se usa el concepto de "palanca de fuerza". Este valor es la distancia entre el eje (punto de pivote) y el vector F. Aplicando esta definición a la figura anterior, podemos decir que d = L * sin(Φ) es la palanca de fuerza (la igualdad se sigue de la definición Funcion trigonometrica"seno"). A través de la palanca de fuerza, la fórmula para el momento M se puede reescribir de la siguiente manera:

El significado físico de la cantidad M

La cantidad física considerada determina la capacidad de la fuerza externa F para ejercer un efecto de rotación sobre el sistema. Para llevar el cuerpo al movimiento de rotación, necesita impartir algún momento M.

Un excelente ejemplo de este proceso es abrir o cerrar la puerta de una habitación. Sosteniendo la manija, la persona hace un esfuerzo y gira la puerta sobre sus goznes. Todo el mundo puede hacerlo. Si intenta abrir la puerta actuando sobre ella cerca de las bisagras, deberá hacer un gran esfuerzo para moverla.

Otro ejemplo es aflojar una tuerca con una llave. Cuanto más corta sea esta clave, más difícil será completar la tarea.

Estas características están demostradas por la fórmula para el momento de fuerza sobre el hombro, que se dio en el párrafo anterior. Si M se considera un valor constante, entonces cuanto menor d, mayor F se debe aplicar para crear momento dado fuerza.

Varias fuerzas actuantes en el sistema.

Los casos se consideraron anteriormente cuando solo una fuerza F actúa sobre un sistema capaz de rotar, pero ¿qué pasa si hay varias de esas fuerzas? En efecto, esta situación es más frecuente, ya que sobre el sistema pueden actuar fuerzas de diversa naturaleza (gravitacionales, eléctricas, de fricción, mecánicas y otras). En todos estos casos, el momento resultante de la fuerza M¯ se puede obtener utilizando la suma vectorial de todos los momentos M i ¯, es decir:

M¯ = ∑ i (M i ¯), donde i es el número de la fuerza F i

Una conclusión importante se deriva de la propiedad de la aditividad de los momentos, que se denomina teorema de Varignon, llamado así por el matemático de finales del siglo XVII y principios del XVIII, el francés Pierre Varignon. Dice: "La suma de los momentos de todas las fuerzas que actúan sobre el sistema en consideración se puede representar como un momento de una fuerza, que es igual a la suma de todas las demás y se aplica en un punto determinado". Matemáticamente, el teorema se puede escribir de la siguiente manera:

∑ yo (METRO yo ¯) = METRO¯ = re * ∑ yo (F yo ¯)

Este importante teorema se usa a menudo en la práctica para resolver problemas sobre la rotación y el equilibrio de los cuerpos.

¿El momento de la fuerza realiza trabajo?

Analizando las fórmulas anteriores en forma escalar o vectorial, podemos concluir que el valor de M es algo de trabajo. En efecto, su dimensión es N*m, que en el SI corresponde al julio (J). De hecho, el momento de fuerza no es trabajo, sino solo una cantidad que es capaz de hacerlo. Para que esto suceda, es necesario que haya un movimiento circular en el sistema y una acción a largo plazo M. Por lo tanto, la fórmula para el trabajo del momento de la fuerza se escribe de la siguiente manera:

En esta expresión, θ es el ángulo a través del cual giró el momento de la fuerza M. Como resultado, la unidad de trabajo se puede escribir como N * m * rad o J * rad. Por ejemplo, un valor de 60 J * rad indica que cuando se gira 1 radián (aproximadamente 1/3 del círculo), la fuerza F que crea el momento M realizó un trabajo de 60 julios. Esta fórmula se suele utilizar a la hora de resolver problemas en sistemas donde actúan fuerzas de rozamiento, que se mostrarán a continuación.

Momento de fuerza y ​​momento de impulso

Como se mostró, la acción del momento M sobre el sistema conduce a la aparición de un movimiento de rotación en el mismo. Este último se caracteriza por una cantidad llamada "momentum". Se puede calcular usando la fórmula:

Aquí I es el momento de inercia (un valor que juega el mismo papel en la rotación que la masa en el movimiento lineal del cuerpo), ω es la velocidad angular, está relacionado con la velocidad lineal por la fórmula ω = v / r .

Ambos momentos (cantidad de movimiento y fuerza) están relacionados entre sí por la siguiente expresión:

M = I * α, donde α = dω / dt es la aceleración angular.

Aquí hay otra fórmula que es importante para resolver problemas para el trabajo de momentos de fuerzas. Usando esta fórmula, puedes calcular la energía cinética de un cuerpo giratorio. Ella se ve así:

Equilibrio de varios cuerpos.

El primer problema está relacionado con el equilibrio de un sistema en el que actúan varias fuerzas. La siguiente figura muestra un sistema que está sujeto a tres fuerzas. Es necesario calcular qué masa debe suspender el objeto de esta palanca y en qué punto debe hacerlo para que este sistema esté en equilibrio.

De la condición del problema, se puede entender que para resolverlo, se debe usar el teorema de Varignon. La primera parte del problema se puede responder inmediatamente, ya que el peso del objeto a colgar de la palanca será igual a:

P \u003d F 1 - F 2 + F 3 \u003d 20 - 10 + 25 \u003d 35 N

Los signos aquí se eligen teniendo en cuenta que la fuerza que gira la palanca en sentido contrario a las agujas del reloj crea un momento negativo.

La posición del punto d, donde se debe colgar este peso, se calcula mediante la fórmula:

METRO 1 - METRO 2 + METRO 3 = re * P = 7 * 20 - 5 * 10 + 3 * 25 = re * 35 => re = 165/35 = 4,714 m

Tenga en cuenta que usando la fórmula para el momento de la gravedad, calculamos el valor equivalente M del creado por tres fuerzas. Para que el sistema esté en equilibrio, es necesario suspender un cuerpo que pesa 35 N en un punto a 4,714 m del eje del otro lado de la palanca.

Problema de disco en movimiento

La solución del siguiente problema se basa en el uso de la fórmula para el momento de la fuerza de fricción y la energía cinética de un cuerpo de revolución. Tarea: Dado un disco con radio r = 0,3 metros, que gira a una velocidad de ω = 1 rad/s. Es necesario calcular qué distancia puede recorrer en la superficie si el coeficiente de fricción de rodadura es μ = 0.001.

Este problema es más fácil de resolver usando la ley de conservación de la energía. Tenemos la energía cinética inicial del disco. Cuando empieza a rodar, toda esta energía se gasta en calentar la superficie por la acción de la fuerza de fricción. Igualando ambas cantidades, obtenemos la expresión:

yo * ω 2 /2 = μ * N/r * r * θ

La primera parte de la fórmula es la energía cinética del disco. La segunda parte es el trabajo del momento de la fuerza de fricción F = μ * N/r aplicada al borde del disco (M=F * r).

Dado que N = m * g y I = 1/2m * r 2 , calculamos θ:

θ = metro * r 2 * ω 2 / (4 * μ * m * g) = r 2 * ω 2 / (4 * μ * g) = 0,3 2 * 1 2 / (4 * 0,001 * 9,81 ) = 2,29358 rad

Dado que 2pi radianes corresponden a una longitud de 2pi * r, entonces obtenemos que la distancia requerida que recorrerá el disco es:

s = θ * r = 2,29358 * 0,3 = 0,688 m o unos 69 cm

Tenga en cuenta que la masa del disco no afecta este resultado.

Momento de fuerza con respecto a un centro arbitrario en el plano de acción de la fuerza, se llama el producto del módulo de fuerza y ​​el brazo.

Hombro- la distancia más corta desde el centro O hasta la línea de acción de la fuerza, pero no hasta el punto de aplicación de la fuerza, porque vector de deslizamiento de fuerza.

Signo de momento:

En el sentido de las agujas del reloj-menos, en el sentido contrario a las agujas del reloj-más;

El momento de la fuerza se puede expresar como un vector. Esta es una perpendicular al plano según la regla de Gimlet.

Si en el plano se ubican varias fuerzas o un sistema de fuerzas, entonces la suma algebraica de sus momentos nos dará Punto principal sistemas de fuerza.

Considere el momento de fuerza sobre el eje, calcule el momento de fuerza sobre el eje Z;

Proyecte F sobre XY;

Fxy =F porque= abdominales

m 0 (F xy)=m z (F), es decir, m z =F xy * h= F porque* h

El momento de la fuerza con respecto al eje es igual al momento de su proyección sobre un plano perpendicular al eje, tomado en la intersección de los ejes y el plano

Si la fuerza es paralela al eje o lo cruza, entonces m z (F)=0

Expresión del momento de fuerza como expresión vectorial

Dibuja r a hasta el punto A. Considera OA x F.

Este es el tercer vector m o perpendicular al plano. El módulo del producto cruzado se puede calcular utilizando el doble del área del triángulo sombreado.

Expresión analítica de la fuerza relativa a los ejes de coordenadas.

Supongamos que los ejes Y y Z, X están asociados al punto O con vectores unitarios i, j, k Considerando que:

r x = X * Fx ; r y = Y * F y ; r z =Z * F y obtenemos: m o (F)=x =

Expande el determinante y obtén:

m x = YF z - ZF y

m y = ZF x - XF z

m z =XF y - YF x

Estas fórmulas permiten calcular la proyección del vector de momento en el eje y luego el propio vector de momento.

Teorema de Varignon sobre el momento de la resultante

Si el sistema de fuerzas tiene una resultante, entonces su momento con respecto a cualquier centro es igual a la suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas con respecto a este punto

Si aplicamos Q= -R, entonces el sistema (Q,F 1 ... F n) estará igualmente balanceado.

La suma de los momentos con respecto a cualquier centro será igual a cero.

Condición de equilibrio analítico para un sistema plano de fuerzas

Este es un sistema plano de fuerzas, cuyas líneas de acción están ubicadas en el mismo plano.

Propósito del cálculo de la tarea de este tipo- determinación de reacciones de enlaces externos. Para ello se utilizan las ecuaciones básicas en un sistema plano de fuerzas.

Se pueden utilizar 2 o 3 ecuaciones de momento.

Ejemplo

Hagamos una ecuación para la suma de todas las fuerzas en los ejes X e Y.