La estática es una sección de la mecánica teórica que estudia las condiciones de equilibrio de los cuerpos materiales bajo la acción de fuerzas, así como los métodos para convertir fuerzas en sistemas equivalentes.

Por estado de equilibrio, en estática, se entiende el estado en el que todas las partes del sistema mecánico están en reposo con respecto a algún sistema de coordenadas inercial. Uno de los objetos básicos de la estática son las fuerzas y los puntos de su aplicación.

La fuerza que actúa sobre un punto material con un radio vector desde otros puntos es una medida de la influencia de otros puntos sobre el punto considerado, como resultado de lo cual recibe aceleración en relación con el marco de referencia inercial. Valor fuerza está determinada por la fórmula:
,
donde m es la masa del punto, un valor que depende de las propiedades del punto mismo. Esta fórmula se llama segunda ley de Newton.

Aplicación de la estática en la dinámica.

Una característica importante de las ecuaciones de movimiento de un cuerpo absolutamente rígido es que las fuerzas se pueden convertir en sistemas equivalentes. Con tal transformación, las ecuaciones de movimiento conservan su forma, pero el sistema de fuerzas que actúan sobre el cuerpo puede transformarse en un sistema más simple. Así, el punto de aplicación de la fuerza puede moverse a lo largo de su línea de acción; las fuerzas se pueden expandir de acuerdo con la regla del paralelogramo; las fuerzas aplicadas en un punto pueden ser reemplazadas por su suma geométrica.

Un ejemplo de tales transformaciones es la gravedad. Actúa sobre todos los puntos de un cuerpo rígido. Pero la ley del movimiento del cuerpo no cambiará si la fuerza de gravedad distribuida sobre todos los puntos se reemplaza por un solo vector aplicado en el centro de masa del cuerpo.

Resulta que si agregamos un sistema equivalente al sistema principal de fuerzas que actúan sobre el cuerpo, en el que las direcciones de las fuerzas se invierten, entonces el cuerpo, bajo la acción de estos sistemas, estará en equilibrio. Así, la tarea de determinar sistemas de fuerzas equivalentes se reduce al problema del equilibrio, es decir, al problema de la estática.

La tarea principal de la estática. es el establecimiento de leyes para la transformación de un sistema de fuerzas en sistemas equivalentes. Así, los métodos de la estática se utilizan no sólo en el estudio de cuerpos en equilibrio, sino también en la dinámica de un cuerpo rígido, en la transformación de fuerzas en sistemas equivalentes más simples.

Estática puntual de material

Considere un punto material que está en equilibrio. Y sean n fuerzas las que actúen sobre él, k = 1, 2, ..., norte.

Si el punto material está en equilibrio, entonces la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero:
(1) .

En equilibrio, la suma geométrica de las fuerzas que actúan sobre un punto es cero.

Interpretación geométrica. Si el comienzo del segundo vector se coloca al final del primer vector, y el comienzo del tercero se coloca al final del segundo vector, y luego se continúa este proceso, entonces el final del último, n-ésimo vector será combinarse con el comienzo del primer vector. Es decir, obtenemos una figura geométrica cerrada, cuyas longitudes de los lados son iguales a los módulos de los vectores. Si todos los vectores se encuentran en el mismo plano, entonces obtenemos un polígono cerrado.

A menudo es conveniente elegir sistema de coordenadas rectangulares Oxyz. Entonces las sumas de las proyecciones de todos los vectores de fuerza en los ejes de coordenadas son iguales a cero:

Si elegimos cualquier dirección definida por algún vector, entonces la suma de las proyecciones de los vectores de fuerza en esta dirección es igual a cero:
.
Multiplicamos la ecuación (1) escalarmente por el vector:
.
Aquí está el producto escalar de los vectores y .
Tenga en cuenta que la proyección de un vector sobre la dirección del vector está determinada por la fórmula:
.

Estática de cuerpo rígido

Momento de fuerza respecto a un punto

Determinación del momento de fuerza

Momento de fuerza, aplicado al cuerpo en el punto A, relativo al centro fijo O, se llama vector igual al producto vectorial de los vectores y:
(2) .

Interpretación geométrica

El momento de la fuerza es igual al producto de la fuerza F y el brazo OH.

Deje que los vectores y estén ubicados en el plano de la figura. Según la propiedad del producto vectorial, el vector es perpendicular a los vectores y, es decir, perpendicular al plano de la figura. Su dirección está determinada por la regla del tornillo derecho. En la figura, el vector de momentos está dirigido hacia nosotros. El valor absoluto del momento:
.
Desde entonces
(3) .

Usando la geometría, se puede dar otra interpretación del momento de la fuerza. Para hacer esto, dibuje una línea recta AH a través del vector de fuerza. Desde el centro O dejamos caer la perpendicular OH a esta línea. La longitud de esta perpendicular se llama hombro de fuerza. Después
(4) .
Como , las fórmulas (3) y (4) son equivalentes.

De este modo, valor absoluto del momento de fuerza con respecto al centro O es producto de fuerza sobre el hombro esta fuerza relativa al centro elegido O .

Cuando se calcula el momento, a menudo es conveniente descomponer la fuerza en dos componentes:
,
dónde . La fuerza pasa por el punto O. Por lo tanto, su cantidad de movimiento es cero. Después
.
El valor absoluto del momento:
.

Componentes de momento en coordenadas rectangulares

Si elegimos un sistema de coordenadas rectangulares Oxyz con centro en el punto O, entonces el momento de la fuerza tendrá las siguientes componentes:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Aquí están las coordenadas del punto A en el sistema de coordenadas seleccionado:
.
Los componentes son los valores del momento de fuerza sobre los ejes, respectivamente.

Propiedades del momento de fuerza con respecto al centro.

El momento con respecto al centro O, de la fuerza que pasa por este centro, es igual a cero.

Si el punto de aplicación de la fuerza se mueve a lo largo de una línea que pasa por el vector de fuerza, entonces el momento, durante dicho movimiento, no cambiará.

El momento de la suma vectorial de las fuerzas aplicadas en un punto del cuerpo es igual a la suma vectorial de los momentos de cada una de las fuerzas aplicadas en el mismo punto:
.

Lo mismo se aplica a las fuerzas cuyas líneas de extensión se cruzan en un punto.

Si la suma vectorial de las fuerzas es cero:
,
entonces la suma de los momentos de estas fuerzas no depende de la posición del centro, con respecto al cual se calculan los momentos:
.

pareja de poder

pareja de poder- son dos fuerzas iguales en valor absoluto y de direcciones opuestas, aplicadas en diferentes puntos del cuerpo.

Un par de fuerzas se caracteriza por el momento en que se crean. Dado que la suma vectorial de las fuerzas incluidas en el par es cero, el momento creado por el par no depende del punto con respecto al cual se calcula el momento. Desde el punto de vista del equilibrio estático, la naturaleza de las fuerzas en el par es irrelevante. Un par de fuerzas se usa para indicar que un momento de fuerzas actúa sobre el cuerpo, teniendo un cierto valor.

Momento de fuerza sobre un eje dado

A menudo, hay casos en los que no necesitamos conocer todos los componentes del momento de fuerza sobre un punto seleccionado, sino que solo necesitamos conocer el momento de fuerza sobre un eje seleccionado.

El momento de la fuerza con respecto al eje que pasa por el punto O es la proyección del vector del momento de la fuerza con respecto al punto O, en la dirección del eje.

Propiedades del momento de fuerza con respecto al eje.

El momento sobre el eje de la fuerza que pasa a través de este eje es igual a cero.

El momento alrededor de un eje de una fuerza paralela a este eje es cero.

Cálculo del momento de fuerza alrededor de un eje.

Deje que una fuerza actúe sobre el cuerpo en el punto A. Encontremos el momento de esta fuerza con respecto al eje O′O′′.

Construyamos un sistema de coordenadas rectangulares. Deje que el eje de Oz coincida con O′O′′. Del punto A bajamos la perpendicular OH a O′O′′ . Por los puntos O y A trazamos el eje Ox. Dibujamos el eje Oy perpendicular a Ox y Oz. Descomponemos la fuerza en componentes a lo largo de los ejes del sistema de coordenadas:
.
La fuerza cruza el eje O′O′′. Por lo tanto, su cantidad de movimiento es cero. La fuerza es paralela al eje O′O′′. Por lo tanto, su momento también es cero. Por la fórmula (5.3) encontramos:
.

Nótese que la componente está dirigida tangencialmente a la circunferencia cuyo centro es el punto O . La dirección del vector está determinada por la regla del tornillo derecho.

Condiciones de equilibrio para un cuerpo rígido

En equilibrio, la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es igual a cero y la suma vectorial de los momentos de estas fuerzas con respecto a un centro fijo arbitrario es igual a cero:
(6.1) ;
(6.2) .

Hacemos hincapié en que el centro O , con respecto al cual se calculan los momentos de las fuerzas, se puede elegir arbitrariamente. El punto O puede pertenecer al cuerpo o estar fuera de él. Por lo general, se elige el centro O para facilitar los cálculos.

Las condiciones de equilibrio se pueden formular de otra manera.

En equilibrio, la suma de las proyecciones de fuerzas en cualquier dirección dada por un vector arbitrario es igual a cero:
.
La suma de momentos de fuerzas alrededor de un eje arbitrario O′O′′ también es igual a cero:
.

A veces estas condiciones son más convenientes. Hay ocasiones en las que, eligiendo ejes, se pueden simplificar los cálculos.

Centro de gravedad del cuerpo

Considere una de las fuerzas más importantes: la gravedad. Aquí, las fuerzas no se aplican en ciertos puntos del cuerpo, sino que se distribuyen continuamente sobre su volumen. Para cada parte del cuerpo con un volumen infinitesimal ∆V, actúa la fuerza gravitacional. Aquí ρ es la densidad de la sustancia del cuerpo, es la aceleración de caída libre.

Sea la masa de una parte infinitamente pequeña del cuerpo. Y sea el punto Ak el que define la posición de esta sección. Encontremos las cantidades relacionadas con la fuerza de gravedad, que están incluidas en las ecuaciones de equilibrio (6).

Encontremos la suma de las fuerzas de gravedad formadas por todas las partes del cuerpo:
,
donde es la masa del cuerpo. Por lo tanto, la suma de las fuerzas de gravedad de las partes infinitesimales individuales del cuerpo puede reemplazarse por un vector de gravedad de todo el cuerpo:
.

Encontremos la suma de los momentos de las fuerzas de gravedad, relativas al centro O elegido de forma arbitraria:

.
Aquí hemos introducido el punto C que se llama centro de gravedad cuerpo. La posición del centro de gravedad, en un sistema de coordenadas centrado en el punto O, está determinada por la fórmula:
(7) .

Entonces, al determinar el equilibrio estático, la suma de las fuerzas de gravedad de las secciones individuales del cuerpo puede reemplazarse por la resultante
,
aplicado al centro de masa del cuerpo C , cuya posición está determinada por la fórmula (7).

La posición del centro de gravedad de varias formas geométricas se puede encontrar en los libros de referencia correspondientes. Si el cuerpo tiene un eje o plano de simetría, entonces el centro de gravedad se encuentra en este eje o plano. Entonces, los centros de gravedad de una esfera, círculo o círculo están ubicados en los centros de los círculos de estas figuras. Los centros de gravedad de un paralelepípedo rectangular, un rectángulo o un cuadrado también se encuentran en sus centros, en los puntos de intersección de las diagonales.

Carga distribuida uniformemente (A) y linealmente (B).

También existen casos similares a la fuerza de gravedad, cuando las fuerzas no se aplican en determinados puntos del cuerpo, sino que se distribuyen de forma continua sobre su superficie o volumen. Tales fuerzas se llaman fuerzas distribuidas o .

(Figura A). Además, como en el caso de la gravedad, puede ser reemplazada por la fuerza resultante de magnitud , aplicada en el centro de gravedad del diagrama. Dado que el diagrama de la figura A es un rectángulo, el centro de gravedad del diagrama está en su centro, el punto C: | CA| = | BC |.

(foto B). También puede ser reemplazada por la resultante. El valor de la resultante es igual al área del diagrama:
.
El punto de aplicación está en el centro de gravedad de la parcela. El centro de gravedad de un triángulo, de altura h, está a una distancia de la base. Es por eso .

Fuerzas de fricción

Fricción de deslizamiento. Deja que el cuerpo esté sobre una superficie plana. Y sea una fuerza perpendicular a la superficie con la que la superficie actúa sobre el cuerpo (fuerza de presión). Entonces la fuerza de fricción por deslizamiento es paralela a la superficie y dirigida hacia un lado, impidiendo que el cuerpo se mueva. Su mayor valor es:
,
donde f es el coeficiente de fricción. El coeficiente de fricción es una cantidad adimensional.

fricción de rodadura. Deje que el cuerpo redondeado ruede o pueda rodar sobre la superficie. Y sea la fuerza de presión perpendicular a la superficie con la que la superficie actúa sobre el cuerpo. Luego, sobre el cuerpo, en el punto de contacto con la superficie, actúa el momento de las fuerzas de fricción, que impide el movimiento del cuerpo. El mayor valor del momento de fricción es:
,
donde δ es el coeficiente de fricción de rodadura. Tiene la dimensión de longitud.

Referencias:
S. M. Targ, Curso Corto de Mecánica Teórica, Escuela Superior, 2010.

El curso cubre: cinemática de un punto y un cuerpo rígido (y desde diferentes puntos de vista se propone considerar el problema de la orientación de un cuerpo rígido), problemas clásicos de la dinámica de sistemas mecánicos y la dinámica de un cuerpo rígido, elementos de mecánica celeste, movimiento de sistemas de composición variable, teoría del impacto, ecuaciones diferenciales de dinámica analítica.

El curso cubre todas las secciones tradicionales de la mecánica teórica, pero se presta especial atención a las secciones más significativas y valiosas para la teoría y las aplicaciones de la dinámica y los métodos de la mecánica analítica; la estática se estudia como una sección de la dinámica, y en la sección de cinemática se introducen en detalle los conceptos necesarios para la sección de dinámica y el aparato matemático.

Recursos informativos

Gantmakher FR Conferencias sobre Mecánica Analítica. - 3ra ed. – M.: Fizmatlit, 2001.
Zhuravlev V. F. Fundamentos de la mecánica teórica. - 2ª ed. - M.: Fizmatlit, 2001; 3ra ed. – M.: Fizmatlit, 2008.
Markeev AP Mecánica teórica. - Moscú - Izhevsk: Centro de Investigación "Dinámicas Regulares y Caóticas", 2007.

Requisitos

El curso está diseñado para estudiantes que poseen el aparato de geometría analítica y álgebra lineal en el ámbito del programa de primer año de una universidad técnica.

programa del curso

1. Cinemática de un punto
1.1. Problemas de cinemática. Sistema de coordenadas Cartesianas. Descomposición de un vector en base ortonormal. Radio vector y coordenadas de punto. Punto de velocidad y aceleración. Trayectoria del movimiento.
1.2. Triangulares naturales. Expansión de la velocidad y la aceleración en los ejes de un triedro natural (teorema de Huygens).
1.3. Coordenadas de puntos curvilíneos, ejemplos: sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Componentes de velocidad y proyecciones de aceleración en los ejes de un sistema de coordenadas curvilíneas.

2. Métodos para especificar la orientación de un cuerpo rígido
2.1. Sólido. Sistemas de coordenadas fijos y ligados al cuerpo.
2.2. Matrices de rotación ortogonal y sus propiedades. Teorema de los giros finitos de Euler.
2.3. Puntos de vista activos y pasivos sobre la transformación ortogonal. Adición de vueltas.
2.4. Ángulos de rotación finitos: ángulos de Euler y ángulos de "avión". Expresión de una matriz ortogonal en términos de ángulos de rotación finitos.

3. Movimiento espacial de un cuerpo rígido
3.1. Movimiento de traslación y rotación de un cuerpo rígido. Velocidad angular y aceleración angular.
3.2. Distribución de velocidades (fórmula de Euler) y aceleraciones (fórmula de Rivals) de puntos de un cuerpo rígido.
3.3. Invariantes cinemáticas. Tornillo cinemático. Eje de tornillo instantáneo.

4. Movimiento plano-paralelo
4.1. El concepto de movimiento plano-paralelo del cuerpo. Velocidad angular y aceleración angular en el caso de movimiento plano-paralelo. Centro instantáneo de velocidad.

5. Movimiento complejo de un punto y un cuerpo rígido
5.1. Sistemas de coordenadas fijas y móviles. Movimiento absoluto, relativo y figurativo de un punto.
5.2. El teorema de la suma de velocidades en el caso de un movimiento complejo de un punto, velocidades relativas y figurativas de un punto. El teorema de Coriolis sobre la suma de aceleraciones para un movimiento complejo de un punto, aceleraciones relativas, de traslación y de Coriolis de un punto.
5.3. Velocidad angular absoluta, relativa y portátil y aceleración angular de un cuerpo.

6. Movimiento de un cuerpo rígido con un punto fijo (presentación de cuaterniones)
6.1. El concepto de números complejos e hipercomplejos. Álgebra de cuaterniones. Producto de cuaternión. Cuaternión conjugado e inverso, norma y módulo.
6.2. Representación trigonométrica de la unidad cuaternión. Método de cuaternión para especificar la rotación del cuerpo. Teorema de los giros finitos de Euler.
6.3. Relación entre componentes de cuaterniones en diferentes bases. Adición de vueltas. Parámetros de Rodrigues-Hamilton.

7. Trabajo de examen

8. Conceptos básicos de dinámica.
8.1 Cantidad de movimiento, cantidad de movimiento angular (momento cinético), energía cinética.
8.2 Potencia de fuerzas, trabajo de fuerzas, energía potencial y total.
8.3 Centro de masa (centro de inercia) del sistema. El momento de inercia del sistema con respecto al eje.
8.4 Momentos de inercia sobre ejes paralelos; el teorema de Huygens-Steiner.
8.5 Tensor y elipsoide de inercia. Ejes principales de inercia. Propiedades de los momentos axiales de inercia.
8.6 Cálculo del momento angular y la energía cinética del cuerpo mediante el tensor de inercia.

9. Teoremas básicos de la dinámica en marcos de referencia inerciales y no inerciales.
9.1 Teorema sobre el cambio en el momento del sistema en un marco de referencia inercial. El teorema del movimiento del centro de masa.
9.2 Teorema sobre el cambio en el momento angular del sistema en un marco de referencia inercial.
9.3 Teorema sobre el cambio en la energía cinética del sistema en un marco de referencia inercial.
9.4 Fuerzas potenciales, giroscópicas y disipativas.
9.5 Teoremas básicos de la dinámica en marcos de referencia no inerciales.

10. Movimiento de un cuerpo rígido con un punto fijo por inercia.
10.1 Ecuaciones dinámicas de Euler.
10.2 Caso de Euler, primeras integrales de ecuaciones dinámicas; rotaciones permanentes.
10.3 Interpretaciones de Poinsot y Macculag.
10.4 Precesión regular en el caso de simetría dinámica del cuerpo.

11. Movimiento de un cuerpo rígido pesado con un punto fijo.
11.1 Formulación general del problema del movimiento de un cuerpo rígido pesado alrededor.
punto fijo. Ecuaciones dinámicas de Euler y sus primeras integrales.
11.2 Análisis cualitativo del movimiento de un cuerpo rígido en el caso de Lagrange.
11.3 Precesión regular forzada de un cuerpo rígido dinámicamente simétrico.
11.4 La fórmula básica de la giroscopia.
11.5 El concepto de la teoría elemental de los giroscopios.

12. Dinámica de un punto en el campo central.
12.1 Ecuación de Binet.
12.2 Ecuación de órbita. Leyes de Kepler.
12.3 El problema de la dispersión.
12.4 El problema de los dos cuerpos. Ecuaciones de movimiento. Integral de área, integral de energía, integral de Laplace.

13. Dinámica de sistemas de composición variable.
13.1 Conceptos básicos y teoremas sobre el cambio de magnitudes dinámicas básicas en sistemas de composición variable.
13.2 Movimiento de un punto material de masa variable.
13.3 Ecuaciones de movimiento de un cuerpo de composición variable.

14. Teoría de los movimientos impulsivos.
14.1 Conceptos básicos y axiomas de la teoría de los movimientos impulsivos.
14.2 Teoremas sobre el cambio de las cantidades dinámicas básicas durante el movimiento impulsivo.
14.3 Movimiento impulsivo de un cuerpo rígido.
14.4 Colisión de dos cuerpos rígidos.
14.5 Teoremas de Carnot.

15. Trabajo de control

Los resultados del aprendizaje

Como resultado del dominio de la disciplina, el estudiante debe:

• Saber:
  • conceptos y teoremas básicos de la mecánica y los métodos para estudiar el movimiento de los sistemas mecánicos que surgen de ellos;
• Ser capaz de:
  • formular correctamente problemas en términos de mecánica teórica;
  • desarrollar modelos mecánicos y matemáticos que reflejen adecuadamente las principales propiedades de los fenómenos bajo consideración;
  • aplicar los conocimientos adquiridos para resolver problemas específicos relevantes;
• Propio:
  • habilidades en la resolución de problemas clásicos de mecánica teórica y matemáticas;
  • las habilidades para estudiar los problemas de la mecánica y construir modelos mecánicos y matemáticos que describan adecuadamente una variedad de fenómenos mecánicos;
  • habilidades en el uso práctico de métodos y principios de la mecánica teórica para resolver problemas: cálculo de fuerza, determinación de las características cinemáticas de los cuerpos con varios métodos de puesta en movimiento, determinación de la ley del movimiento de los cuerpos materiales y sistemas mecánicos bajo la acción de fuerzas;
  • habilidades para dominar de forma independiente nueva información en el proceso de producción y actividades científicas, utilizando modernas tecnologías educativas y de información;

Cinemática puntual.

1. El tema de la mecánica teórica. Abstracciones básicas.

Mecánica teóricaes una ciencia en la que se estudian las leyes generales del movimiento mecánico y la interacción mecánica de los cuerpos materiales

movimiento mecanicoSe denomina movimiento de un cuerpo en relación con otro cuerpo, que se produce en el espacio y el tiempo.

Interacción mecánica Se llama tal interacción de cuerpos materiales, que cambia la naturaleza de su movimiento mecánico.

Estática - Es una rama de la mecánica teórica, que estudia métodos para convertir sistemas de fuerzas en sistemas equivalentes y establece las condiciones para el equilibrio de fuerzas aplicadas a un cuerpo sólido.

Cinemática - es la rama de la mecánica teórica que se ocupa de el movimiento de los cuerpos materiales en el espacio desde un punto de vista geométrico, independientemente de las fuerzas que actúen sobre ellos.

Dinámica - Es una rama de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos materiales en el espacio, en función de las fuerzas que actúan sobre ellos.

Objetos de estudio en mecánica teórica:

punto material,

sistema de puntos materiales,

Cuerpo absolutamente rígido.

El espacio absoluto y el tiempo absoluto son independientes entre sí. espacio absoluto - Espacio euclidiano tridimensional, homogéneo, inmóvil. tiempo absoluto - Fluye del pasado al futuro continuamente, es homogéneo, el mismo en todos los puntos del espacio y no depende del movimiento de la materia.

2. El tema de la cinemática.

Cinemática - esta es una rama de la mecánica que estudia las propiedades geométricas del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta su inercia (es decir, la masa) y las fuerzas que actúan sobre ellos

Para determinar la posición de un cuerpo en movimiento (o punto) con el cuerpo en relación con el cual se estudia el movimiento de este cuerpo, rígidamente, se conecta algún sistema de coordenadas, que junto con el cuerpo forma sistema de referencia.

La tarea principal de la cinemática. consiste en, conociendo la ley del movimiento de un cuerpo dado (punto), determinar todas las cantidades cinemáticas que caracterizan su movimiento (velocidad y aceleración).

3. Métodos para especificar el movimiento de un punto

· una manera natural

Debe ser conocido:

Trayectoria de movimiento del punto;

Inicio y dirección del conteo;

La ley de movimiento de un punto a lo largo de una trayectoria dada en la forma (1.1)

· Método de coordenadas

Las ecuaciones (1.2) son las ecuaciones de movimiento del punto M.

La ecuación para la trayectoria del punto M se puede obtener eliminando el parámetro de tiempo « t » de las ecuaciones (1.2)

· forma vectorial

(1.3) Relación entre los métodos de coordenadas y vectores para especificar el movimiento de un punto (1.4)

Conexión entre coordenadas y formas naturales de especificar el movimiento de un punto

Determine la trayectoria del punto, excluyendo el tiempo de las ecuaciones (1.2);

-- encuentre la ley de movimiento de un punto a lo largo de una trayectoria (utilice la expresión para el arco diferencial)

Después de la integración, obtenemos la ley de movimiento de un punto a lo largo de una trayectoria dada:

La conexión entre los métodos de coordenadas y vectores para especificar el movimiento de un punto está determinada por la ecuación (1.4)

4. Determinación de la velocidad de un punto con el método vectorial de especificación del movimiento.

Deja en el momentotla posición del punto está determinada por el radio vector , y en el momento del tiempot 1 – radio-vector , luego por un período de tiempo el punto se moverá.

(1.5) punto de velocidad promedio, la dirección del vector es la misma que la del vector

La velocidad de un punto en un momento dado

Para obtener la velocidad de un punto en un momento dado de tiempo, es necesario realizar un paso al límite

(1.6)

(1.7)

El vector de velocidad de un punto en un momento dado es igual a la primera derivada del radio vector con respecto al tiempo y se dirige tangencialmente a la trayectoria en un punto dado.

(unidad¾ m/s, km/h)

vector aceleración media tiene la misma dirección que el vectorΔ v , es decir, dirigida hacia la concavidad de la trayectoria.

Vector de aceleración de un punto en un momento dado es igual a la primera derivada del vector velocidad o la segunda derivada del vector radio del punto con respecto al tiempo.

(unidad - )

¿Cómo se ubica el vector en relación con la trayectoria del punto?

En el movimiento rectilíneo, el vector se dirige a lo largo de la línea recta a lo largo de la cual se mueve el punto. Si la trayectoria del punto es una curva plana, entonces el vector aceleración , así como el vector cp, se encuentran en el plano de esta curva y están dirigidos hacia su concavidad. Si la trayectoria no es una curva plana, entonces el vector cp estará dirigido hacia la concavidad de la trayectoria y estará en el plano que pasa por la tangente a la trayectoria en el puntoMETRO y una recta paralela a la tangente en un punto adyacenteMETRO 1 . EN límite cuando el puntoMETRO 1 tiende a METRO este plano ocupa la posición del llamado plano contiguo. Por tanto, en el caso general, el vector aceleración se encuentra en el plano contiguo y está dirigido hacia la concavidad de la curva.

Teoremas generales de la dinámica de un sistema de cuerpos. Teoremas sobre el movimiento del centro de masa, sobre la variación de la cantidad de movimiento, sobre la variación del momento principal de la cantidad de movimiento, sobre la variación de la energía cinética. Principios de d'Alembert, y posibles desplazamientos. Ecuación general de la dinámica. Las ecuaciones de Lagrange.

Contenido

El trabajo realizado por la fuerza, es igual al producto escalar de los vectores fuerza y ​​el desplazamiento infinitesimal del punto de su aplicación :
,
es decir, el producto de los módulos de los vectores F y ds y el coseno del ángulo entre ellos.

El trabajo realizado por el momento de la fuerza., es igual al producto escalar de los vectores del momento y el ángulo infinitesimal de rotación :
.

principio de d'Alembert

La esencia del principio de d'Alembert es reducir los problemas de la dinámica a los problemas de la estática. Para ello se supone (o se sabe de antemano) que los cuerpos del sistema tienen ciertas aceleraciones (angulares). A continuación, se introducen las fuerzas de inercia y (o) los momentos de inercia, que son iguales en magnitud y recíprocos en dirección a las fuerzas y momentos de fuerzas que, según las leyes de la mecánica, crearían determinadas aceleraciones o aceleraciones angulares.

Considere un ejemplo. El cuerpo realiza un movimiento de traslación y sobre él actúan fuerzas externas. Además, suponemos que estas fuerzas crean una aceleración del centro de masa del sistema. Según el teorema del movimiento del centro de masa, el centro de masa de un cuerpo tendría la misma aceleración si sobre el cuerpo actuara una fuerza. A continuación, introducimos la fuerza de inercia:
.
Después de eso, la tarea de la dinámica es:
.
;
.

Para el movimiento de rotación proceda de manera similar. Deje que el cuerpo gire alrededor del eje z y que los momentos externos de las fuerzas M e zk actúen sobre él. Suponemos que estos momentos crean una aceleración angular ε z . A continuación, presentamos el momento de las fuerzas de inercia M И = - J z ε z . Después de eso, la tarea de la dinámica es:
.
Se convierte en una tarea estática:
;
.

El principio de los posibles movimientos.

El principio de los posibles desplazamientos se utiliza para resolver problemas de estática. En algunos problemas, da una solución más corta que escribir ecuaciones de equilibrio. Esto es especialmente cierto para sistemas con conexiones (por ejemplo, sistemas de cuerpos conectados por hilos y bloques), que consisten en muchos cuerpos

El principio de los posibles movimientos..
Para el equilibrio de un sistema mecánico con restricciones ideales, es necesario y suficiente que la suma de los trabajos elementales de todas las fuerzas activas que actúan sobre él para cualquier posible desplazamiento del sistema sea igual a cero.

Posible reubicación del sistema- este es un pequeño desplazamiento, en el que las conexiones impuestas al sistema no se rompen.

Conexiones perfectas- estos son enlaces que no hacen trabajo cuando se mueve el sistema. Más precisamente, la suma del trabajo realizado por los propios enlaces al mover el sistema es cero.

Ecuación general de la dinámica (d'Alembert - Principio de Lagrange)

El principio de d'Alembert-Lagrange es una combinación del principio de d'Alembert con el principio de los posibles desplazamientos. Es decir, al resolver el problema de la dinámica, introducimos las fuerzas de inercia y reducimos el problema al problema de la estática, que resolvemos utilizando el principio de los posibles desplazamientos.

Principio de d'Alembert-Lagrange.
Cuando un sistema mecánico se mueve con restricciones ideales en cada momento del tiempo, la suma de los trabajos elementales de todas las fuerzas activas aplicadas y todas las fuerzas de inercia sobre cualquier posible desplazamiento del sistema es igual a cero:
.
Esta ecuación se llama ecuación general de la dinámica.

Ecuaciones de Lagrange

Coordenadas generalizadas q 1 , q 2 , ..., q norte es un conjunto de n valores que determinan de forma única la posición del sistema.

El número de coordenadas generalizadas n coincide con el número de grados de libertad del sistema.

Velocidades generalizadas son las derivadas de las coordenadas generalizadas con respecto al tiempo t.

Fuerzas generalizadas Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Considere un posible desplazamiento del sistema, en el que la coordenada q k recibirá un desplazamiento δq k . El resto de las coordenadas permanecen sin cambios. Sea δA k el trabajo realizado por fuerzas externas durante dicho desplazamiento. Después
δA k = Q k δq k , o
.

Si, con un posible desplazamiento del sistema, todas las coordenadas cambian, entonces el trabajo realizado por fuerzas externas durante dicho desplazamiento tiene la forma:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q norte δq norte.
Entonces las fuerzas generalizadas son derivadas parciales del trabajo de desplazamiento:
.

Para fuerzas potenciales con potencial Π,
.

Ecuaciones de Lagrange son las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico en coordenadas generalizadas:

Aquí T es la energía cinética. Es una función de coordenadas generalizadas, velocidades y posiblemente tiempo. Por lo tanto, su derivada parcial también es una función de coordenadas generalizadas, velocidades y tiempo. A continuación, debe tener en cuenta que las coordenadas y las velocidades son funciones del tiempo. Por lo tanto, para encontrar la derivada del tiempo total, debe aplicar la regla de diferenciación de una función compleja:
.

Referencias:
S. M. Targ, Curso Corto de Mecánica Teórica, Escuela Superior, 2010.