¿Cómo recordar fórmulas para reducir funciones trigonométricas? Es fácil si usas una asociación. Esta asociación no la inventé yo. Como ya se mencionó, una buena asociación debe "captar", es decir, evocar emociones vívidas. No puedo calificar de positivas las emociones provocadas por esta asociación. Pero da un resultado: le permite recordar fórmulas de reducción, lo que significa que tiene derecho a existir. Después de todo, si no te gusta, no tienes por qué usarlo, ¿verdad?
Las fórmulas de reducción tienen la forma: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Recuerde que +α da movimiento en sentido antihorario, - α da movimiento en sentido horario.
Para trabajar con fórmulas de reducción, necesitas dos puntos:
1) poner el signo que tiene la función inicial (en los libros de texto escriben: reducible. Pero para no confundirse es mejor llamarla inicial), si consideramos que α es el ángulo del primer cuarto, es decir , pequeño.
2) Diámetro horizontal - π±α, 2π±α, 3π±α... - en general, cuando no hay fracción, el nombre de la función no cambia. Vertical π/2±α, 3π/2±α, 5π/2±α... - cuando hay una fracción, el nombre de la función cambia: seno - a coseno, coseno - a seno, tangente - a cotangente y cotangente - a tangente. 
Ahora, en realidad, la asociación:
diámetro vertical (hay una fracción) -
borracho de pie. ¿Qué pasará con él temprano?
¿O es demasiado tarde? Así es, caerá.
El nombre de la función cambiará.
Si el diámetro es horizontal, el borracho ya está acostado. Probablemente esté dormido. No le sucederá nada; ya ha asumido una posición horizontal. En consecuencia, el nombre de la función no cambia.
Es decir, pecado(π/2±α), pecado(3π/2±α), pecado(5π/2±α), etc. dar ±cosα,
y pecado(π±α), pecado(2π±α), pecado(3π±α),… - ±sinα.
Ya sabemos cómo.
¿Cómo funciona? Veamos ejemplos.
1) cos(π/2+α)=?
Nos convertimos en π/2. Dado que +α significa que avanzamos, en sentido antihorario. Nos encontramos en el segundo cuarto, donde el coseno tiene el signo “-“. El nombre de la función cambia (“un borracho está de pie”, lo que significa que se caerá). Entonces,
cos(π/2+α)=-sin α.
Vayamos a 2π. Desde -α - vamos hacia atrás, es decir, en el sentido de las agujas del reloj. Nos encontramos en el cuarto cuarto, donde la tangente tiene el signo “-”. El nombre de la función no cambia (el diámetro es horizontal, “el borracho ya está acostado”). Por lo tanto, tan(2π-α)=- tanα.
3) ctg²(3π/2-α)=?
Los ejemplos en los que una función se eleva a una potencia par son aún más sencillos de resolver. El grado par “-” lo elimina, es decir, solo hay que saber si el nombre de la función cambia o permanece. El diámetro es vertical (hay una fracción, “parado borracho”, caerá), el nombre de la función cambia. Obtenemos: ctg²(3π/2-α)= tan²α.
Y otro problema B11 sobre el mismo tema: del examen estatal unificado real de matemáticas.
Tarea. Encuentra el significado de la expresión:
En este breve vídeo tutorial aprenderemos cómo aplicar fórmulas de reducción para la resolución de problemas reales B11 del Examen Estatal Unificado de Matemáticas. Como puedes ver, tenemos dos expresiones trigonométricas, cada una de las cuales contiene senos y cosenos, así como algunos argumentos numéricos bastante brutales.
Antes de solucionar estos problemas, recordemos qué son las fórmulas de reducción. Entonces, si tenemos expresiones como:
Entonces podemos deshacernos del primer término (de la forma k · π/2) según reglas especiales. Dibujemos un círculo trigonométrico y marquemos en él los puntos principales: 0, π/2; π; 3π/2 y 2π. Luego miramos el primer término bajo el signo de la función trigonométrica. Tenemos:
- Si el término que nos interesa se encuentra en el eje vertical del círculo trigonométrico (por ejemplo: 3π/2; π/2, etc.), entonces la función original se reemplaza por una cofunción: el seno se reemplaza por el coseno, y coseno, por el contrario, por seno.
- Si nuestro término se encuentra en el eje horizontal, entonces la función original no cambia. Simplemente eliminamos el primer término de la expresión y listo.
Así, obtenemos una función trigonométrica que no contiene términos de la forma k · π/2. Sin embargo, el trabajo con fórmulas de reducción no termina ahí. El hecho es que nuestra nueva función, obtenida después de "descartar" el primer término, puede tener un signo más o menos delante. ¿Cómo identificar este signo? Ahora lo descubriremos.
Imaginemos que el ángulo α que queda dentro de la función trigonométrica después de las transformaciones tiene una medida en grados muy pequeña. Pero ¿qué significa “pequeña medida”? Digamos α ∈ (0; 30°): esto es suficiente. Tomemos un ejemplo de la función:
Luego, siguiendo nuestras suposiciones de que α ∈ (0; 30°), concluimos que el ángulo 3π/2 − α se encuentra en el tercer cuarto de coordenadas, es decir 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Recordemos el signo de la función original, es decir y = sen x en este intervalo. Obviamente, el seno en el tercer cuarto de coordenadas es negativo, ya que, por definición, el seno es la ordenada del final del radio en movimiento (en resumen, el seno es la coordenada y). Bueno, la coordenada y en el semiplano inferior siempre toma valores negativos. Esto significa que en el tercer trimestre y también es negativo.
A partir de estas reflexiones podemos escribir la expresión final:
Problema B11 - Opción 1
Estas mismas técnicas son bastante adecuadas para resolver el problema B11 del Examen Estatal Unificado de Matemáticas. La única diferencia es que en muchos problemas reales de B11, en lugar de una medida en radianes (es decir, números π, π/2, 2π, etc.) se utiliza una medida en grados (es decir, 90°, 180°, 270°, etc.). Veamos la primera tarea:
Veamos primero el numerador. cos 41° es un valor no tabular, por lo que no podemos hacer nada con él. Dejémoslo así por ahora.
Ahora veamos el denominador:
sen 131° = sen (90° + 41°) = cos 41°
Obviamente, esta es una fórmula de reducción, por lo que el seno se reemplaza por un coseno. Además, el ángulo 41° se encuentra en el segmento (0°; 90°), es decir en el primer cuadrante de coordenadas, exactamente como se requiere para aplicar las fórmulas de reducción. Pero entonces 90° + 41° es el segundo cuarto de coordenadas. La función original y = sen x es positiva allí, por lo que colocamos un signo más delante del coseno en el último paso (en otras palabras, no pusimos nada).
Queda por abordar el último elemento:
cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5
Aquí vemos que 180° es el eje horizontal. En consecuencia, la función en sí no cambiará: había un coseno, y el coseno también permanecerá. Pero surge nuevamente la pregunta: ¿aparecerá más o menos antes de la expresión resultante cos 60°? Tenga en cuenta que 180° es el tercer cuarto de coordenadas. El coseno allí es negativo, por lo tanto, eventualmente tendrá un signo menos delante. En total, obtenemos la construcción −cos 60° = −0,5; este es un valor tabular, por lo que todo es fácil de calcular.
Ahora sustituimos los números resultantes en la fórmula original y obtenemos:
Como puedes ver, el número cos 41° en el numerador y denominador de la fracción se reduce fácilmente y queda la expresión habitual, que es igual a −10. En este caso, el menos se puede quitar y colocar delante del signo de fracción, o “mantenerse” junto al segundo factor hasta el último paso de los cálculos. En cualquier caso, la respuesta será −10. Eso es todo, ¡el problema B11 está resuelto!
Problema B14 - opción 2
Pasemos a la segunda tarea. Volvemos a tener una fracción ante nosotros:
Bueno, 27° se encuentra en el primer cuarto de coordenadas, por lo que no cambiaremos nada aquí. Pero es necesario escribir el sen 117° (sin ningún cuadrado por ahora):
sen 117° = sen (90° + 27°) = cos 27°
Obviamente, ante nosotros otra vez. fórmula de reducción: 90° es el eje vertical, por lo tanto el seno cambiará a coseno. Además, el ángulo α = 117° = 90° + 27° se encuentra en el segundo cuadrante de coordenadas. La función original y = sin x es positiva allí, por lo tanto, después de todas las transformaciones, todavía queda un signo más delante del coseno. En otras palabras, allí no se añade nada, lo dejamos así: cos 27°.
Volvemos a la expresión original que hay que calcular:
Como vemos, después de las transformaciones, la identidad trigonométrica principal surgió en el denominador: sen 2 27° + cos 2 27° = 1. Total −4: 1 = −4 - entonces encontramos la respuesta al segundo problema B11.
Como puede ver, con la ayuda de fórmulas de reducción, estos problemas del Examen Estatal Unificado de Matemáticas se resuelven literalmente en un par de líneas. Sin seno de la suma y coseno de la diferencia. Todo lo que necesitamos recordar es simplemente el círculo trigonométrico.
Este artículo está dedicado a un estudio detallado de las fórmulas de reducción trigonométrica. Se proporciona una lista completa de fórmulas de reducción, se muestran ejemplos de su uso y se proporciona prueba de la exactitud de las fórmulas. El artículo también proporciona una regla mnemotécnica que le permite derivar fórmulas de reducción sin memorizar cada fórmula.
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Fórmulas de reducción. Lista
Las fórmulas de reducción le permiten reducir funciones trigonométricas básicas de ángulos de magnitud arbitraria a funciones de ángulos que se encuentran en el rango de 0 a 90 grados (de 0 a π 2 radianes). Operar con ángulos de 0 a 90 grados es mucho más conveniente que trabajar con valores arbitrariamente grandes, razón por la cual las fórmulas de reducción se usan ampliamente para resolver problemas de trigonometría.
Antes de escribir las fórmulas en sí, aclaremos varios puntos importantes para su comprensión.
- Los argumentos de las funciones trigonométricas en fórmulas de reducción son ángulos de la forma ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z. Aquí z es cualquier número entero y α es un ángulo de rotación arbitrario.
- No es necesario aprender todas las fórmulas de reducción, cuyo número es bastante impresionante. Existe una regla mnemotécnica que facilita derivar la fórmula deseada. Hablaremos de la regla mnemotécnica más adelante.
Ahora pasemos directamente a las fórmulas de reducción.
Las fórmulas de reducción le permiten pasar de trabajar con ángulos arbitrarios y arbitrariamente grandes a trabajar con ángulos que oscilan entre 0 y 90 grados. Escribamos todas las fórmulas en forma de tabla.
Fórmulas de reducción
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sen α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sen 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
En este caso las fórmulas se escriben en radianes. Sin embargo, también puedes escribirlos usando grados. Basta con convertir radianes a grados, reemplazando π por 180 grados.
Ejemplos de uso de fórmulas de reducción.
Mostraremos cómo utilizar fórmulas de reducción y cómo se utilizan estas fórmulas para resolver ejemplos prácticos.
El ángulo bajo el signo de una función trigonométrica se puede representar no de una, sino de muchas formas. Por ejemplo, el argumento de una función trigonométrica se puede representar en la forma ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Demostremos esto.
Tomemos el ángulo α = 16 π 3. Este ángulo se puede escribir así:
α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π
Dependiendo de la representación del ángulo se utiliza la fórmula de reducción adecuada.
Tomemos el mismo ángulo α = 16 π 3 y calculemos su tangente
Ejemplo 1: uso de fórmulas de reducción
α = 16 π 3 , t gramo α = ?
Representemos el ángulo α = 16 π 3 como α = π + π 3 + 2 π 2
Esta representación del ángulo corresponderá a la fórmula de reducción.
t gramo (π + α + 2 π z) = t gramo α
t gramo 16 π 3 = t gramo π + π 3 + 2 π 2 = t gramo π 3
Usando la tabla, indicamos el valor de la tangente.
Ahora usamos otra representación del ángulo α = 16 π 3.
Ejemplo 2: uso de fórmulas de reducción
α = 16 π 3 , t gramo α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3
Finalmente, para la tercera representación del ángulo escribimos
Ejemplo 3. Usar fórmulas de reducción
α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3
Ahora demos un ejemplo del uso de fórmulas de reducción más complejas.
Ejemplo 4: uso de fórmulas de reducción
Imaginemos sen 197° a través del seno y el coseno de un ángulo agudo.
Para poder aplicar fórmulas de reducción, es necesario representar el ángulo α = 197 ° en una de las formas
± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Según las condiciones del problema, el ángulo debe ser agudo. En consecuencia, tenemos dos formas de representarlo:
197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°
Obtenemos
sen 197° = sen (180° + 17°) sen 197° = sen (270° - 73°)
Ahora veamos las fórmulas de reducción de senos y elijamos las adecuadas.
sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = pecado (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 °
regla mnemotécnica
Existen muchas fórmulas de reducción y, afortunadamente, no es necesario memorizarlas. Existen regularidades mediante las cuales se pueden derivar fórmulas de reducción para diferentes ángulos y funciones trigonométricas. Estos patrones se denominan reglas mnemotécnicas. La mnemónica es el arte de la memorización. La regla mnemotécnica consta de tres partes o contiene tres etapas.
regla mnemotécnica
1. El argumento de la función original se representa en una de las siguientes formas:
± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz
El ángulo α debe estar entre 0 y 90 grados.
2. Se determina el signo de la función trigonométrica original. La función escrita en el lado derecho de la fórmula tendrá el mismo signo.
3. Para los ángulos ± α + 2 πz y π ± α + 2 πz, el nombre de la función original permanece sin cambios, y para los ángulos π 2 ± α + 2 πz y 3 π 2 ± α + 2 πz, respectivamente, cambia a “cofunción”. Seno - coseno. Tangente - cotangente.
Para utilizar la guía mnemotécnica para fórmulas de reducción, debe poder determinar los signos de funciones trigonométricas basándose en los cuartos del círculo unitario. Veamos ejemplos del uso de la regla mnemotécnica.
Ejemplo 1: uso de una regla mnemotécnica
Anotemos las fórmulas de reducción para cos π 2 - α + 2 πz y t g π - α + 2 πz. α es el log del primer trimestre.
1. Dado que por condición α es el log del primer trimestre, nos saltamos el primer punto de la regla.
2. Determine los signos de las funciones cos π 2 - α + 2 πz y t g π - α + 2 πz. El ángulo π 2 - α + 2 πz es también el ángulo del primer cuarto, y el ángulo π - α + 2 πz está en el segundo cuarto. En el primer cuarto, la función coseno es positiva y la tangente en el segundo cuarto tiene signo menos. Anotemos cómo se verán las fórmulas requeridas en esta etapa.
cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -
3. Según el tercer punto, para el ángulo π 2 - α + 2 π el nombre de la función cambia a Confucio, y para el ángulo π - α + 2 πz sigue siendo el mismo. Anotemos:
cos π 2 - α + 2 πz = + pecado α t g π - α + 2 πz = - t g α
Ahora veamos las fórmulas dadas anteriormente y asegurémonos de que la regla mnemotécnica funcione.
Veamos un ejemplo con un ángulo específico α = 777°. Reduzcamos el seno alfa a la función trigonométrica de un ángulo agudo.
Ejemplo 2: uso de una regla mnemotécnica
1. Imagine el ángulo α = 777 ° en la forma requerida.
777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2
2. El ángulo original es el ángulo del primer cuarto. Esto significa que el seno del ángulo tiene signo positivo. Como resultado tenemos:
3. sen 777° = sen (57° + 360° 2) = sen 57° sen 777° = sen (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°
Ahora veamos un ejemplo que muestra lo importante que es determinar correctamente el signo de la función trigonométrica y representar correctamente el ángulo cuando se usa la regla mnemotécnica. Repitámoslo de nuevo.
¡Importante!
¡El ángulo α debe ser agudo!
Calculemos la tangente del ángulo 5 π 3. De la tabla de valores de las principales funciones trigonométricas, puedes tomar inmediatamente el valor t g 5 π 3 = - 3, pero aplicaremos la regla mnemotécnica.
Ejemplo 3: uso de una regla mnemotécnica
Imaginemos el ángulo α = 5 π 3 en la forma requerida y usemos la regla
t gramo 5 π 3 = t gramo 3 π 2 + π 6 = - c t gramo π 6 = - 3 t gramo 5 π 3 = t gramo 2 π - π 3 = - t gramo π 3 = - 3
Si representamos el ángulo alfa en la forma 5 π 3 = π + 2 π 3, entonces el resultado de aplicar la regla mnemotécnica será incorrecto.
t gramo 5 π 3 = t gramo π + 2 π 3 = - t gramo 2 π 3 = - (- 3) = 3
El resultado incorrecto se debe a que el ángulo 2 π 3 no es agudo.
La prueba de las fórmulas de reducción se basa en las propiedades de periodicidad y simetría de las funciones trigonométricas, así como en la propiedad de desplazamiento de los ángulos π 2 y 3 π 2. La prueba de la validez de todas las fórmulas de reducción se puede realizar sin tener en cuenta el término 2 πz, ya que denota un cambio de ángulo en un número entero de revoluciones completas y refleja con precisión la propiedad de periodicidad.
Las primeras 16 fórmulas se derivan directamente de las propiedades de las funciones trigonométricas básicas: seno, coseno, tangente y cotangente.
Aquí hay una prueba de las fórmulas de reducción de senos y cosenos.
pecado π 2 + α = cos α y cos π 2 + α = - pecado α
Consideremos un círculo unitario, cuyo punto inicial, después de una rotación en un ángulo α, va al punto A 1 x, y, y después de una rotación en un ángulo π 2 + α, a un punto A 2. Desde ambos puntos trazamos perpendiculares al eje de abscisas.
Dos triángulos rectángulos O A 1 H 1 y O A 2 H 2 son iguales en hipotenusa y ángulos adyacentes. De la ubicación de los puntos en el círculo y la igualdad de los triángulos, podemos concluir que el punto A 2 tiene coordenadas A 2 - y, x. Usando las definiciones de seno y coseno, escribimos:
pecado α = y, cos α = x, pecado π 2 + α = x, cos π 2 + α = y
pecado π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - pecado α
Teniendo en cuenta las identidades básicas de la trigonometría y lo que se acaba de demostrar, podemos escribir
t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - t g α
Para probar fórmulas de reducción con argumento π 2 - α, se debe presentar en la forma π 2 + (- α). Por ejemplo:
cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - pecado (- α) = pecado α
La prueba utiliza las propiedades de funciones trigonométricas con argumentos de signos opuestos.
Todas las demás fórmulas de reducción se pueden probar basándose en las escritas anteriormente.
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Las fórmulas de reducción son relaciones que permiten pasar del seno, coseno, tangente y cotangente con ángulos `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` a las mismas funciones del ángulo `\alpha`, que se ubica en el primer cuarto del círculo unitario. Así, las fórmulas de reducción nos “llevan” a trabajar con ángulos en el rango de 0 a 90 grados, lo cual es muy conveniente.
En total hay 32 fórmulas de reducción. Sin duda, serán útiles durante el Examen Estatal Unificado, exámenes y pruebas. ¡Pero permítanos advertirle inmediatamente que no es necesario memorizarlos! Debe dedicar un poco de tiempo y comprender el algoritmo para su aplicación, entonces no le resultará difícil obtener la igualdad necesaria en el momento adecuado.
Primero, anotemos todas las fórmulas de reducción:
Para ángulo (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) o (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Para ángulo (`\pi \pm \alpha`) o (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Para ángulo (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) o (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Para ángulo (`2\pi \pm \alpha`) o (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
A menudo puedes encontrar fórmulas de reducción en forma de tabla donde los ángulos están escritos en radianes:
Para usarlo, debemos seleccionar la fila con la función que necesitamos y la columna con el argumento deseado. Por ejemplo, para saber mediante una tabla a qué será igual ` sin(\pi + \alpha)`, basta con encontrar la respuesta en la intersección de la fila ` sin \beta` y la columna ` \pi + \alfa`. Obtenemos ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
Y la segunda tabla similar, donde los ángulos se escriben en grados:
Regla mnemotécnica para fórmulas de reducción o cómo recordarlas
Como ya mencionamos, no es necesario memorizar todas las relaciones anteriores. Si los miraste con atención, probablemente notaste algunos patrones. Nos permiten formular una regla mnemotécnica (mnemotécnica, recuerde), con la ayuda de la cual podemos obtener fácilmente cualquier fórmula de reducción.
Notemos de inmediato que para aplicar esta regla es necesario ser bueno identificando (o recordando) los signos de funciones trigonométricas en diferentes cuartos del círculo unitario. 
La vacuna en sí contiene 3 etapas:
- El argumento de la función debe representarse como `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, y `\alpha` es necesariamente un ángulo agudo (de 0 a 90 grados).
- Para los argumentos `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` la función trigonométrica de la expresión transformada cambia a una cofunción, es decir, lo opuesto (seno a coseno, tangente a cotangente y viceversa). Para los argumentos `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` la función no cambia.
- Se determina el signo de la función original. La función resultante del lado derecho tendrá el mismo signo.
Para ver cómo se puede aplicar esta regla en la práctica, transformemos varias expresiones:
1. `cos(\pi + \alfa)`.
La función no se invierte. El ángulo `\pi + \alpha` está en el tercer cuarto, el coseno en este cuarto tiene el signo “-”, por lo que la función transformada también tendrá el signo “-”.
Respuesta: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.
Según la regla mnemotécnica, la función se invertirá. El ángulo `\frac (3\pi)2 - \alpha` está en el tercer cuarto, el seno aquí tiene un signo “-”, por lo que el resultado también tendrá un signo “-”.
Respuesta: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi )2-\alfa))`. Representemos `3\pi` como `2\pi+\pi`. `2\pi` es el período de la función.
Importante: Las funciones `cos \alpha` y `sin \alpha` tienen un período de `2\pi` o `360^\circ`, sus valores no cambiarán si el argumento aumenta o disminuye en estos valores.
En base a esto, nuestra expresión se puede escribir de la siguiente manera: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Aplicando la regla mnemotécnica dos veces, obtenemos: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Respuesta: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
regla del caballo
El segundo punto de la regla mnemotécnica descrita anteriormente también se denomina regla del caballo de las fórmulas de reducción. Me pregunto ¿por qué caballos?
Entonces, tenemos funciones con argumentos `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, los puntos `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` son claves, están ubicados en los ejes de coordenadas. `\pi` y `2\pi` están en el eje x horizontal, y `\frac (\pi)2` y `\frac (3\pi)2` están en la ordenada vertical.
Nos hacemos la pregunta: “¿Una función se transforma en una cofunción?” Para responder a esta pregunta, debe mover la cabeza a lo largo del eje en el que se encuentra el punto clave.
Es decir, para argumentos con puntos clave ubicados en el eje horizontal, respondemos "no" moviendo la cabeza hacia los lados. Y para las esquinas con puntos clave ubicados en el eje vertical, respondemos "sí" asintiendo con la cabeza de arriba a abajo, como un caballo :)
Recomendamos ver un vídeo tutorial en el que el autor explica detalladamente cómo recordar fórmulas de reducción sin memorizarlas.
Ejemplos prácticos de uso de fórmulas de reducción.
El uso de fórmulas reductoras comienza en los grados 9 y 10. Muchos problemas al usarlos se presentaron al Examen Estatal Unificado. Estos son algunos de los problemas en los que tendrás que aplicar estas fórmulas:
- problemas para resolver un triángulo rectángulo;
- transformación de expresiones trigonométricas numéricas y alfabéticas, cálculo de sus valores;
- Tareas estereométricas.
Ejemplo 1. Calcule usando fórmulas de reducción a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.
Solución: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
Ejemplo 2. Habiendo expresado el coseno a través del seno usando fórmulas de reducción, compare los números: 1) `sin \frac (9\pi)8` y `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` y `cos \frac (3\pi)10`.
Solución: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`
`pecado \frac (\pi)8 `pecado \frac (\pi)8 Primero demostremos dos fórmulas para el seno y el coseno del argumento `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` y ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. El resto se deriva de ellos. Tomemos un círculo unitario y apuntemos A con coordenadas (1,0). Dejar después de girar a Partiendo de la definición de tangente y cotangente, obtenemos ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` y ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, lo que demuestra la fórmulas de reducción para la tangente y la cotangente del ángulo `\frac (\pi)2 + \alpha`. Para probar fórmulas con el argumento `\frac (\pi)2 - \alpha`, basta con representarlo como `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` y seguir el mismo camino que el anterior. Por ejemplo, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`. Los ángulos `\pi + \alpha` y `\pi - \alpha` se pueden representar como `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` y `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` respectivamente. Y `\frac (3\pi)2 + \alpha` y `\frac (3\pi)2 - \alpha` como `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` y `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`. Pertenecen a la sección de trigonometría de las matemáticas. Su esencia es reducir las funciones trigonométricas de los ángulos a una forma "simple". Se puede escribir mucho sobre la importancia de conocerlos. ¡Ya existen 32 de estas fórmulas! No te alarmes, no es necesario aprenderlas, como muchas otras fórmulas en un curso de matemáticas. No es necesario que se llene la cabeza con información innecesaria, es necesario recordar las "claves" o leyes, y recordar o deducir la fórmula requerida no será un problema. Por cierto, cuando escribo en artículos “... ¡¡¡necesitas aprender!!!” - Esto significa que realmente hay que aprenderlo. Si no está familiarizado con las fórmulas de reducción, la simplicidad de su derivación le sorprenderá gratamente: existe una "ley" con la que esto se puede hacer fácilmente. Y puedes escribir cualquiera de las 32 fórmulas en 5 segundos. Enumeraré solo algunos de los problemas que aparecerán en el Examen Estatal Unificado de Matemáticas, donde sin el conocimiento de estas fórmulas existe una alta probabilidad de reprobarlas. Por ejemplo: – problemas para resolver un triángulo rectángulo, donde hablamos del ángulo externo, y problemas para ángulos internos, algunas de estas fórmulas también son necesarias. – tareas de cálculo de los valores de expresiones trigonométricas; convertir expresiones trigonométricas numéricas; convertir expresiones trigonométricas literales. – problemas sobre la tangente y el significado geométrico de la tangente; se requiere una fórmula de reducción para la tangente, así como otros problemas. – problemas estereométricos, al resolverlos a menudo es necesario determinar el seno o el coseno de un ángulo que se encuentra en el rango de 90 a 180 grados. Y estos son solo los puntos que se relacionan con el Examen Estatal Unificado. Y en el curso de álgebra en sí hay muchos problemas cuya solución simplemente no se puede realizar sin el conocimiento de las fórmulas de reducción. Entonces, ¿a qué conduce esto y cómo las fórmulas especificadas nos facilitan la resolución de problemas? Por ejemplo, necesita determinar el seno, coseno, tangente o cotangente de cualquier ángulo de 0 a 450 grados: el ángulo alfa varía de 0 a 90 grados * * *
Entonces, es necesario entender la “ley” que funciona aquí: 1. Determina el signo de la función en el cuadrante correspondiente. Déjame recordarte: 2. Recuerda lo siguiente: la función cambia a cofunción
la función no cambia a cofunción
¿Qué significa el concepto: una función se convierte en una cofunción?
Respuesta: el seno cambia a coseno o viceversa, la tangente a cotangente o viceversa.
¡Eso es todo! Ahora, de acuerdo con la ley presentada, nosotros mismos anotaremos varias fórmulas de reducción: Este ángulo se encuentra en el tercer cuarto, el coseno en el tercer cuarto es negativo. No cambiamos la función a cofunción, ya que tenemos 180 grados, lo que significa: El ángulo se encuentra en el primer cuarto, el seno en el primer cuarto es positivo. No cambiamos la función a cofunción, ya que tenemos 360 grados, lo que significa: Aquí hay otra confirmación adicional de que los senos de los ángulos adyacentes son iguales: El ángulo está en el segundo cuarto, el seno en el segundo cuarto es positivo. No cambiamos la función a cofunción, ya que tenemos 180 grados, lo que significa: Trabaja cada fórmula mentalmente o por escrito y estarás convencido de que no hay nada complicado. ***
En el artículo sobre la solución, se observó el siguiente hecho: el seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es igual al coseno de otro ángulo agudo en él.
ángulo `\alpha` irá al punto `A_1(x, y)`, y después de girar en ángulo `\frac (\pi)2 + \alpha` al punto `A_2(-y, x)`. Al soltar las perpendiculares desde estos puntos a la recta OX, vemos que los triángulos `OA_1H_1` y `OA_2H_2` son iguales, ya que sus hipotenusas y ángulos adyacentes son iguales. Luego, basándonos en las definiciones de seno y coseno, podemos escribir `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. ¿Dónde podemos escribir que ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` y ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, lo que demuestra la reducción fórmulas para ángulos seno y coseno `\frac (\pi)2 + \alpha`.
