El material presentado a continuación es una continuación lógica de la teoría del artículo titulado MCM: mínimo común múltiplo, definición, ejemplos, conexión entre MCM y MCD. Aquí hablaremos de encontrar el mínimo común múltiplo (MCM), y prestaremos especial atención a la resolución de ejemplos. Primero, mostraremos cómo se calcula el MCM de dos números utilizando el MCD de estos números. A continuación, veremos cómo encontrar el mínimo común múltiplo factorizando números en factores primos. Después de esto, nos centraremos en encontrar el MCM de tres o más números y también prestaremos atención a calcular el MCM de números negativos.
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Calcular el mínimo común múltiplo (LCM) mediante MCD
Una forma de encontrar el mínimo común múltiplo se basa en la relación entre MCM y MCD. La conexión existente entre MCM y MCD nos permite calcular el mínimo común múltiplo de dos enteros positivos a través de un máximo común divisor conocido. La fórmula correspondiente es MCM(a, b)=a b:MCD(a, b) . Veamos ejemplos de cómo encontrar el MCM usando la fórmula dada.
Ejemplo.
Encuentra el mínimo común múltiplo de dos números 126 y 70.
Solución.
En este ejemplo a=126, b=70. Usemos la conexión entre MCM y MCD, expresada por la fórmula MCM(a, b)=a b:MCD(a, b). Es decir, primero tenemos que encontrar el máximo común divisor de los números 70 y 126, después de lo cual podemos calcular el MCM de estos números usando la fórmula escrita.
Encontremos MCD(126, 70) usando el algoritmo euclidiano: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, por lo tanto, MCD(126, 70)=14.
Ahora encontramos el mínimo común múltiplo requerido: MCD(126, 70)=126·70: MCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Respuesta:
MCM(126, 70)=630.
Ejemplo.
¿A qué es igual MCM(68, 34)?
Solución.
Porque 68 es divisible por 34, entonces MCD(68, 34)=34. Ahora calculamos el mínimo común múltiplo: MCD(68, 34)=68·34: MCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Respuesta:
MCM(68, 34)=68.
Tenga en cuenta que el ejemplo anterior se ajusta a la siguiente regla para encontrar el MCM para enteros positivos a y b: si el número a es divisible por b, entonces el mínimo común múltiplo de estos números es a.
Encontrar el MCM factorizando números en factores primos
Otra forma de encontrar el mínimo común múltiplo se basa en factorizar números en factores primos. Si compones un producto de todos los factores primos de números dados y luego excluyes de este producto todos los factores primos comunes presentes en las descomposiciones de los números dados, entonces el producto resultante será igual al mínimo común múltiplo de los números dados. .
La regla establecida para encontrar el MCM se deriva de la igualdad MCM(a, b)=a b:MCD(a, b). De hecho, el producto de los números a y b es igual al producto de todos los factores involucrados en la expansión de los números a y b. A su vez, MCD(a, b) es igual al producto de todos los factores primos presentes simultáneamente en las expansiones de los números a y b (como se describe en la sección sobre cómo encontrar el MCD usando la expansión de números en factores primos).
Pongamos un ejemplo. Sepamos que 75=3·5·5 y 210=2·3·5·7. Compongamos el producto a partir de todos los factores de estas expansiones: 2·3·3·5·5·5·7 . Ahora de este producto excluimos todos los factores presentes tanto en la expansión del número 75 como en la expansión del número 210 (estos factores son 3 y 5), entonces el producto tomará la forma 2·3·5·5·7 . El valor de este producto es igual al mínimo común múltiplo de 75 y 210, es decir, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.
Ejemplo.
Factoriza los números 441 y 700 en factores primos y encuentra el mínimo común múltiplo de estos números.
Solución.
Factoricemos los números 441 y 700 en factores primos:
Obtenemos 441=3·3·7·7 y 700=2·2·5·5·7.
Ahora creemos un producto de todos los factores involucrados en la expansión de estos números: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Excluyamos de este producto todos los factores que están presentes simultáneamente en ambas expansiones (solo hay uno de esos factores: este es el número 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. De este modo, MCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Respuesta:
NOC(441, 700)= 44 100 .
La regla para encontrar el MCM mediante la factorización de números en factores primos se puede formular de manera un poco diferente. Si los factores faltantes de la expansión del número b se suman a los factores de la expansión del número a, entonces el valor del producto resultante será igual al mínimo común múltiplo de los números a y b..
Por ejemplo, tomemos los mismos números 75 y 210, sus descomposiciones en factores primos son las siguientes: 75=3·5·5 y 210=2·3·5·7. A los factores 3, 5 y 5 del desarrollo del número 75 le sumamos los factores que faltan 2 y 7 del desarrollo del número 210, obtenemos el producto 2·3·5·5·7, cuyo valor es igual a MCM(75, 210).
Ejemplo.
Encuentra el mínimo común múltiplo de 84 y 648.
Solución.
Primero obtenemos las descomposiciones de los números 84 y 648 en factores primos. Parecen 84=2·2·3·7 y 648=2·2·2·3·3·3·3. A los factores 2, 2, 3 y 7 de la expansión del número 84 le sumamos los factores faltantes 2, 3, 3 y 3 de la expansión del número 648, obtenemos el producto 2 2 2 3 3 3 3 7, que es igual a 4 536 . Por lo tanto, el mínimo común múltiplo deseado de 84 y 648 es 4536.
Respuesta:
MCM(84, 648)=4,536 .
Encontrar el MCM de tres o más números
El mínimo común múltiplo de tres o más números se puede encontrar encontrando secuencialmente el MCM de dos números. Recordemos el teorema correspondiente, que proporciona una forma de encontrar el MCM de tres o más números.
Teorema.
Sean dados los números enteros positivos a 1 , a 2 , …, a k, el mínimo común múltiplo m k de estos números se encuentra calculando secuencialmente m 2 = MCM(a 1 , a 2), m 3 = MCM(m 2 , a 3) , … , m k = MCM(m k−1 , a k) .
Consideremos la aplicación de este teorema usando el ejemplo de encontrar el mínimo común múltiplo de cuatro números.
Ejemplo.
Encuentra el MCM de cuatro números 140, 9, 54 y 250.
Solución.
En este ejemplo, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
primero encontramos metro 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Para ello, utilizando el algoritmo euclidiano, determinamos MCD(140, 9), tenemos 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, por lo tanto, MCD(140, 9)=1 , de donde MCD(140, 9)=140 9: MCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Es decir, m 2 = 1 260.
ahora encontramos m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Calculémoslo mediante MCD(1 260, 54), que también determinamos mediante el algoritmo euclidiano: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Entonces mcd(1,260, 54)=18, de donde mcd(1,260, 54)= 1,260·54:mcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Es decir, m 3 = 3 780.
Todo lo que queda es encontrar m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Para hacer esto, encontramos MCD(3,780, 250) usando el algoritmo euclidiano: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Por lo tanto, MCD(3,780, 250)=10, de donde MCD(3,780, 250)= 3 780 250: MCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Es decir, m4 = 94.500.
Entonces, el mínimo común múltiplo de los cuatro números originales es 94,500.
Respuesta:
MCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
En muchos casos, es conveniente encontrar el mínimo común múltiplo de tres o más números usando factorizaciones primas de los números dados. En este caso, debes cumplir con la siguiente regla. El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto, el cual se compone de la siguiente manera: los factores faltantes del desarrollo del segundo número se suman a todos los factores del desarrollo del primer número, los factores faltantes del desarrollo del el tercer número se suma a los factores resultantes, y así sucesivamente.
Veamos un ejemplo de cómo encontrar el mínimo común múltiplo usando factorización prima.
Ejemplo.
Encuentra el mínimo común múltiplo de los cinco números 84, 6, 48, 7, 143.
Solución.
Primero, obtenemos descomposiciones de estos números en factores primos: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 es un número primo, coincide con su descomposición en factores primos) y 143=11·13.
Para encontrar el MCM de estos números, a los factores del primer número 84 (son 2, 2, 3 y 7), debes sumar los factores que faltan de la expansión del segundo número 6. La descomposición del número 6 no contiene factores faltantes, ya que tanto el 2 como el 3 ya están presentes en la descomposición del primer número 84. A continuación, a los factores 2, 2, 3 y 7 sumamos los factores 2 y 2 que faltan de la expansión del tercer número 48, obtenemos un conjunto de factores 2, 2, 2, 2, 3 y 7. No será necesario agregar multiplicadores a este conjunto en el siguiente paso, ya que 7 ya está contenido en él. Finalmente, a los factores 2, 2, 2, 2, 3 y 7 le sumamos los factores que faltan 11 y 13 de la expansión del número 143. Obtenemos el producto 2·2·2·2·3·7·11·13, que es igual a 48.048.
Para entender cómo calcular el MCM, primero debe determinar el significado del término "múltiple".
Un múltiplo de A es un número natural divisible sin resto por A. Así, los números que son múltiplos de 5 pueden considerarse 15, 20, 25, etc.
Puede haber un número limitado de divisores de un número determinado, pero hay un número infinito de múltiplos.
Un múltiplo común de los números naturales es un número que es divisible entre ellos sin dejar resto.
Cómo encontrar el mínimo común múltiplo de números
El mínimo común múltiplo (MCM) de números (dos, tres o más) es el número natural más pequeño que es divisible por todos estos números.
Para encontrar la LOC, puedes utilizar varios métodos.
Para números pequeños, es conveniente anotar todos los múltiplos de estos números en una línea hasta encontrar algo común entre ellos. Los múltiplos se indican con la letra K mayúscula.
Por ejemplo, los múltiplos de 4 se pueden escribir así:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24,...)
k(6) = (12, 18, 24,...)
Así, puedes ver que el mínimo común múltiplo de los números 4 y 6 es el número 24. Esta notación se hace de la siguiente manera:
MCM(4, 6) = 24
Ahora escribe los factores comunes de ambos números. En nuestra versión son dos y cinco. Sin embargo, en otros casos este número puede ser de uno, dos o tres dígitos o incluso más. A continuación necesitas trabajar con títulos. Elija la potencia más pequeña para cada factor. En el ejemplo es dos elevado a la segunda potencia y cinco elevado a la primera.
Finalmente, sólo necesitas multiplicar los números resultantes. En nuestro caso, todo es sumamente simple: dos al cuadrado multiplicado por cinco es igual a 20. Así, el número 20 se puede llamar el máximo común divisor de 60 y 80.
Vídeo sobre el tema.
nota
Recuerda que un factor primo es un número que tiene sólo 2 divisores: uno y el número mismo.
Consejo útil
Además de este método, también puedes utilizar el algoritmo euclidiano. Su descripción completa, presentada en forma geométrica, se puede encontrar en el libro "Elementos" de Euclides.
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La suma y resta de fracciones naturales solo es posible si tienen el mismo denominador. Para no complicar los cálculos a la hora de llevarlos a un solo denominador, busca el mínimo común divisor de los denominadores y realiza el cálculo.
Necesitará
- - capacidad de factorizar números en factores primos;
- - capacidad para realizar operaciones con fracciones.
Instrucciones
Escribe la suma de fracciones. Luego, encuentra su mínimo común múltiplo. Para ello, realice la siguiente secuencia de acciones: 1. Imagine cada uno de los denominadores en números primos (un número primo, un número que es divisible solo por 1 y por sí mismo sin resto, por ejemplo 2, 3, 5, 7, etc.).2. Agrupa todas las sencillas que están escritas, indicando sus grados. 3. Elige las potencias más grandes de cada uno de estos factores primos que aparecen en estos números. 4. Multiplica las potencias escritas.
Por ejemplo, el denominador común de fracciones con denominadores 15, 24 y 36 será un número que se puede calcular de la siguiente manera: 15=3 5; 24 = 2 ^ 3 3; 36 = 2 ^ 3 3 ^ 2. Escribe las potencias máximas de todos los divisores primos de estos números: 2 ^ 3 3 ^ 2 5 = 360.
Divide el denominador común entre cada uno y los denominadores de las fracciones que se suman. Multiplica sus numeradores por el número resultante. Debajo de la línea común de la fracción, escribe el dividendo mínimo común, que también es el mínimo común denominador. En el numerador, suma los números que resultan de multiplicar cada numerador por el cociente del mínimo común divisor dividido por el denominador de la fracción. La suma de todos los numeradores y dividida por el mínimo común denominador será el número deseado.
Por ejemplo, para el 15/04, el 24/07 y el 36/11, haga esto. Encuentra el mínimo común denominador, que es 360. Luego divide 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10. Multiplica el número 4, que es el numerador de la primera fracción, por 24 (4 24=96), el número 7 por 15 (7 15=105), el número 11 por 10 (11 10=110). Luego suma estos números (96+105+110=301). Obtenemos el resultado 4/15+7/24+11/36=301/360.
Fuentes:
- cómo encontrar el número más pequeño
Los números enteros son una variedad de números matemáticos que tienen muchas aplicaciones en la vida cotidiana. Los números enteros no negativos se utilizan para indicar el número de cualquier objeto, los números negativos, en mensajes sobre pronósticos meteorológicos, etc. MCD y LCM son características naturales de los números enteros asociados con las operaciones de división.
Instrucciones
El MCD es fácil de calcular utilizando el algoritmo euclidiano o el método binario. Según el algoritmo de Euclides para determinar el mcd de los números a y b, uno de los cuales no es cero, existe una secuencia de números r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n, en la que r_1 es igual al resto de la división el primer número por el segundo. Y los demás miembros de la secuencia son iguales a los restos de dividir el miembro anterior por el anterior, y el penúltimo elemento se divide por el último sin resto.
Matemáticamente, la secuencia se puede representar como:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(norte - 1) = r_n*k_n,
donde k_i es un factor entero.
MCD (a, b) = r_n.
Ejemplo.
Encuentre MCD (36, 120). Según el algoritmo euclidiano, resta de 120 un número que es múltiplo de 36, en este caso es 120 – 36*3 = 12. Ahora resta un número que es múltiplo de 12 de 120, obtienes 120 – 12* 10 = 0. Por lo tanto, MCD (36, 120) = 12.
El algoritmo binario para encontrar GCD se basa en la teoría de cambios. Según este método, el mcd de dos números tiene las siguientes propiedades:
MCD (a, b) = 2*MCD (a/2, b/2) incluso para a y b
MCD (a, b) = MCD (a/2, b) para a par y b impar (lo contrario es cierto para MCD (a, b) = MCD (a, b/2))
MCD (a, b) = MCD ((a - b)/2, b) para impar a > b
MCD (a, b) = MCD ((b - a)/2, a) para impar b > a
Por lo tanto, mcd (36, 120) = 2*mcd (18, 60) = 4*mcd (9, 30) = 4* mcd (9, 15) = 4*mcd ((15 - 9)/2=3, 9) = 4*3 = 12.
El mínimo común múltiplo (MCM) de dos números enteros es el número entero más pequeño que es divisible por ambos números originales sin dejar resto.
El MCM se puede calcular usando MCD: MCM (a, b) = |a*b|/MCD (a, b).
La segunda forma de calcular el MCM es la factorización canónica de números en factores primos:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
donde r_i son números primos y k_i y m_i son números enteros ≥ 0.
MCM se representa en forma de los mismos factores primos, donde el máximo de dos números se toma como potencias.
Ejemplo.
Encuentre el MCM (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
MCM (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
MCM: mínimo común múltiplo. Un número que dividirá todos los números dados sin resto.
Por ejemplo, si los números dados son 2, 3, 5, entonces MCM=2*3*5=30
Y si los números dados son 2,4,8, entonces MCM =8
¿Qué es el GCD?
MCD es el máximo común divisor. Un número que se puede utilizar para dividir cada uno de los números dados sin dejar resto.
Es lógico que si los números dados son primos, entonces el mcd sea igual a uno.
Y si los números dados son 2, 4, 8, entonces MCD es igual a 2.
No lo describiremos en términos generales, sino que simplemente mostraremos la solución con un ejemplo.
Dados dos números 126 y 44. Encuentra MCD.
Entonces si nos dan dos números de la forma
Entonces el MCD se calcula como
donde min es el valor mínimo de todas las potencias del número pn
y NOC como
donde max es el valor máximo de todas las potencias del número pn
Al observar las fórmulas anteriores, puede demostrar fácilmente que el mcd de dos o más números será igual a uno, cuando entre al menos un par de valores dados haya números relativamente primos.
Por lo tanto, es fácil responder a la pregunta de cuál es el mcd de números como 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 sin calcular nada.
Los números 3 y 7 son coprimos y por lo tanto mcd = 1.
Veamos un ejemplo.
Dados tres números 24654, 25473 y 954
Cada número se descompone en los siguientes factores
O, si lo escribimos en una forma alternativa
Es decir, el mcd de estos tres números es igual a tres
Bueno, podemos calcular el MCM de manera similar, y es igual a
Nuestro bot te ayudará a calcular el MCD y el MCM de cualquier número entero, dos, tres o diez.
Continuamos la conversación sobre el mínimo común múltiplo, que comenzamos en la sección "MCM - mínimo común múltiplo, definición, ejemplos". En este tema, veremos formas de encontrar el MCM de tres o más números y analizaremos la cuestión de cómo encontrar el MCM de un número negativo.
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Calcular el mínimo común múltiplo (LCM) mediante MCD
Ya hemos establecido la relación entre el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor. Ahora aprendamos cómo determinar el LCM mediante MCD. Primero, descubramos cómo hacer esto con números positivos.
Definición 1
Puedes encontrar el mínimo común múltiplo hasta el máximo común divisor usando la fórmula MCM (a, b) = a · b: MCD (a, b).
Ejemplo 1
Necesitas encontrar el MCM de los números 126 y 70.
Solución
Tomemos a = 126, b = 70. Sustituyamos los valores en la fórmula para calcular el mínimo común múltiplo hasta el máximo común divisor MCM (a, b) = a · b: MCD (a, b) .
Calcula el mcd de los números 70 y 126. Para esto necesitamos el algoritmo euclidiano: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, por lo tanto MCD (126 , 70) = 14 .
Calculemos el MCM: MCD (126, 70) = 126 70: MCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Respuesta: MCM(126, 70) = 630.
Ejemplo 2
Encuentra el número 68 y 34.
Solución
MCD en este caso no es difícil de encontrar, ya que 68 es divisible por 34. Calculemos el mínimo común múltiplo usando la fórmula: MCM (68, 34) = 68 34: MCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Respuesta: MCM(68, 34) = 68.
En este ejemplo, usamos la regla para encontrar el mínimo común múltiplo de enteros positivos a y b: si el primer número es divisible por el segundo, el MCM de esos números será igual al primer número.
Encontrar el MCM factorizando números en factores primos
Ahora veamos el método para encontrar el MCM, que se basa en factorizar números en factores primos.
Definición 2
Para encontrar el mínimo común múltiplo, debemos realizar una serie de sencillos pasos:
- componemos el producto de todos los factores primos de los números para los cuales necesitamos encontrar el MCM;
- excluimos todos los factores primos de sus productos resultantes;
- el producto obtenido tras eliminar los factores primos comunes será igual al mcm de los números dados.
Este método para encontrar el mínimo común múltiplo se basa en la igualdad MCM (a, b) = a · b: MCD (a, b). Si nos fijamos en la fórmula, quedará claro: el producto de los números a y b es igual al producto de todos los factores que participan en la descomposición de estos dos números. En este caso, el mcd de dos números es igual al producto de todos los factores primos que están presentes simultáneamente en las factorizaciones de estos dos números.
Ejemplo 3
Tenemos dos números 75 y 210. Podemos factorizarlos de la siguiente manera: 75 = 3 5 5 Y 210 = 2 3 5 7. Si compones el producto de todos los factores de los dos números originales, obtienes: 2 3 3 5 5 5 7.
Si excluimos los factores comunes a los números 3 y 5, obtenemos un producto de la siguiente forma: 2 3 5 5 7 = 1050. Este producto será nuestro LCM para los números 75 y 210.
Ejemplo 4
Encuentra el MCM de los números 441 Y 700 , factorizando ambos números en factores primos.
Solución
Encontremos todos los factores primos de los números dados en la condición:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Obtenemos dos cadenas de números: 441 = 3 3 7 7 y 700 = 2 2 5 5 7.
El producto de todos los factores que participaron en la descomposición de estos números tendrá la forma: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Encontremos factores comunes. Este es el número 7. Excluyémoslo del producto total: 2 2 3 3 5 5 7 7. Resulta que NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Respuesta: LOC(441, 700) = 44,100.
Demos otra formulación del método para encontrar el MCM descomponiendo números en factores primos.
Definición 3
Anteriormente, excluimos del número total de factores comunes a ambos números. Ahora lo haremos de otra manera:
- Factoricemos ambos números en factores primos:
- sumar al producto de los factores primos del primer número los factores faltantes del segundo número;
- obtenemos el producto, que será el mcm deseado de dos números.
Ejemplo 5
Volvamos a los números 75 y 210, para los cuales ya buscamos el MCM en uno de los ejemplos anteriores. Dividámoslos en factores simples: 75 = 3 5 5 Y 210 = 2 3 5 7. Al producto de los factores 3, 5 y 5 números 75 suman los factores que faltan 2 Y 7 números 210. Obtenemos: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Este es el MCM de los números 75 y 210.
Ejemplo 6
Es necesario calcular el MCM de los números 84 y 648.
Solución
Factoricemos los números de la condición en factores simples: 84 = 2 2 3 7 Y 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Sumemos al producto los factores 2, 2, 3 y 7
números 84 factores faltantes 2, 3, 3 y
3
números 648. Obtenemos el producto 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Este es el mínimo común múltiplo de 84 y 648.
Respuesta: MCM(84, 648) = 4,536.
Encontrar el MCM de tres o más números
Independientemente de con cuántos números estemos tratando, el algoritmo de nuestras acciones siempre será el mismo: encontraremos secuencialmente el MCM de dos números. Hay un teorema para este caso.
Teorema 1
Supongamos que tenemos números enteros. un 1 , un 2 , ... , un k. CON mk estos números se encuentran calculando secuencialmente m 2 = MCM (a 1, a 2), m 3 = MCM (m 2, a 3), ..., m k = MCM (m k − 1, a k).
Ahora veamos cómo se puede aplicar el teorema para resolver problemas específicos.
Ejemplo 7
Necesitas calcular el mínimo común múltiplo de cuatro números 140, 9, 54 y 250 .
Solución
Introduzcamos la notación: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Comencemos calculando m 2 = MCM (a 1, a 2) = MCM (140, 9). Apliquemos el algoritmo euclidiano para calcular el MCD de los números 140 y 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Obtenemos: MCD (140, 9) = 1, MCD (140, 9) = 140 9: MCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. Por tanto, m2 = 1.260.
Ahora calculemos usando el mismo algoritmo m 3 = MCM (m 2 , a 3) = MCM (1 260, 54). Durante los cálculos obtenemos m 3 = 3 780.
Sólo tenemos que calcular m 4 = MCM (m 3 , a 4) = MCM (3 780, 250). Seguimos el mismo algoritmo. Obtenemos m 4 = 94 500.
El MCM de los cuatro números de la condición de ejemplo es 94500.
Respuesta: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.
Como puede ver, los cálculos son simples, pero bastante laboriosos. Para ahorrar tiempo, puedes ir por otro camino.
Definición 4
Le ofrecemos el siguiente algoritmo de acciones:
- descomponemos todos los números en factores primos;
- al producto de los factores del primer número le sumamos los factores que faltan del producto del segundo número;
- al producto obtenido en la etapa anterior le sumamos los factores faltantes del tercer número, etc.;
- el producto resultante será el mínimo común múltiplo de todos los números de la condición.
Ejemplo 8
Necesitas encontrar el MCM de cinco números 84, 6, 48, 7, 143.
Solución
Factoricemos los cinco números en factores primos: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Los números primos, que es el número 7, no se pueden descomponer en factores primos. Estos números coinciden con su descomposición en factores primos.
Ahora tomemos el producto de los factores primos 2, 2, 3 y 7 del número 84 y sumémosles los factores que faltan del segundo número. Descompusimos el número 6 en 2 y 3. Estos factores ya están en el producto del primer número. Por tanto, los omitimos.
Seguimos sumando los multiplicadores que faltan. Pasemos al número 48, de cuyo producto de factores primos tomamos 2 y 2. Luego sumamos el factor primo de 7 del cuarto número y los factores de 11 y 13 del quinto. Obtenemos: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Este es el mínimo común múltiplo de los cinco números originales.
Respuesta: MCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.
Encontrar el mínimo común múltiplo de números negativos
Para encontrar el mínimo común múltiplo de números negativos, estos números primero deben reemplazarse por números con el signo opuesto y luego los cálculos deben realizarse utilizando los algoritmos anteriores.
Ejemplo 9
MCM (54, − 34) = MCM (54, 34) y MCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = MCM (622, 46, 54, 888).
Tales acciones están permitidas debido al hecho de que si aceptamos que a Y − un– números opuestos,
entonces el conjunto de los múltiplos de un número a coincide con el conjunto de múltiplos de un número − un.
Ejemplo 10
Es necesario calcular el MCM de números negativos. − 145 Y − 45 .
Solución
Reemplacemos los números − 145 Y − 45 a sus números opuestos 145 Y 45 . Ahora, usando el algoritmo, calculamos el MCM (145, 45) = 145 · 45: MCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, habiendo determinado previamente el MCD usando el algoritmo euclidiano.
Obtenemos que el MCM de los números es − 145 y − 45 es igual 1 305 .
Respuesta: MCM (− 145, − 45) = 1.305.
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Veamos tres formas de encontrar el mínimo común múltiplo.
Hallar por factorización
El primer método consiste en encontrar el mínimo común múltiplo factorizando los números dados en factores primos.
Digamos que necesitamos encontrar el MCM de los números: 99, 30 y 28. Para hacer esto, factoricemos cada uno de estos números en factores primos:
Para que el número deseado sea divisible entre 99, 30 y 28, es necesario y suficiente que incluya todos los factores primos de estos divisores. Para hacer esto, necesitamos llevar todos los factores primos de estos números a la mayor potencia posible y multiplicarlos entre sí:
2 2 3 2 5 7 11 = 13.860
Por lo tanto, MCM (99, 30, 28) = 13 860. Ningún otro número menor que 13 860 es divisible por 99, 30 o 28.
Para encontrar el mínimo común múltiplo de números dados, los factorizas en sus factores primos, luego tomas cada factor primo con el exponente más grande en el que aparece y multiplicas esos factores.
Como los números primos relativos no tienen factores primos comunes, su mínimo común múltiplo es igual al producto de estos números. Por ejemplo, tres números: 20, 49 y 33 son primos relativos. Es por eso
MCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.
Se debe hacer lo mismo al encontrar el mínimo común múltiplo de varios números primos. Por ejemplo, MCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Encontrar por selección
El segundo método consiste en encontrar el mínimo común múltiplo mediante selección.
Ejemplo 1. Cuando el mayor de los números dados se divide por otro número dado, entonces el MCM de estos números es igual al mayor de ellos. Por ejemplo, dados cuatro números: 60, 30, 10 y 6. Cada uno de ellos es divisible por 60, por lo tanto:
MCM(60, 30, 10, 6) = 60
En otros casos, para encontrar el mínimo común múltiplo se utiliza el siguiente procedimiento:
- Determina el número más grande de los números dados.
- A continuación, encontramos los números que son múltiplos del número mayor multiplicándolo por números naturales en orden creciente y comprobando si el producto resultante es divisible por los números dados restantes.
Ejemplo 2. Dados tres números 24, 3 y 18. Determinamos el mayor de ellos: este es el número 24. A continuación, encontramos los números que son múltiplos de 24, verificando si cada uno de ellos es divisible por 18 y 3:
24 · 1 = 24 - divisible por 3, pero no divisible por 18.
24 · 2 = 48 - divisible por 3, pero no divisible por 18.
24 · 3 = 72 - divisible por 3 y 18.
Por tanto, MCM (24, 3, 18) = 72.
Encontrar encontrando secuencialmente el MCM
El tercer método consiste en encontrar el mínimo común múltiplo encontrando secuencialmente el MCM.
El MCM de dos números dados es igual al producto de estos números dividido por su máximo común divisor.
Ejemplo 1. Encuentra el MCM de dos números dados: 12 y 8. Determina su máximo común divisor: MCD (12, 8) = 4. Multiplica estos números:
Dividimos el producto por su mcd:
Por tanto, MCM (12, 8) = 24.
Para encontrar el MCM de tres o más números, utilice el siguiente procedimiento:
- Primero, encuentre el MCM de dos de estos números.
- Luego, MCM del mínimo común múltiplo encontrado y el tercer número dado.
- Luego, el MCM del mínimo común múltiplo resultante y el cuarto número, etc.
- Por tanto, la búsqueda de LCM continúa mientras haya números.
Ejemplo 2. Encontremos el MCM de tres números dados: 12, 8 y 9. Ya encontramos el MCM de los números 12 y 8 en el ejemplo anterior (este es el número 24). Queda por encontrar el mínimo común múltiplo del número 24 y el tercer número dado: 9. Determinar su máximo común divisor: MCD (24, 9) = 3. Multiplicar el MCM por el número 9:
Dividimos el producto por su mcd:
Por tanto, MCM (12, 8, 9) = 72.
