Raíz tercera de 1728. Calculadora de ingeniería

Si tienes una calculadora a mano, sacar la raíz cúbica de cualquier número no será un problema. Pero si no tienes una calculadora, o si solo quieres impresionar a los demás, puedes hacer la raíz cúbica a mano. Para la mayoría de las personas, el proceso descrito aquí parecerá bastante complicado, pero con la práctica, extraer raíces cúbicas será mucho más fácil. Antes de comenzar a leer este artículo, recuerda las operaciones y cálculos matemáticos básicos con números en el cubo.

Pasos

Parte 1

Anota la tarea. Extraer la raíz cúbica manualmente es similar a la división larga, pero con algunos matices. Primero, escriba la tarea en un formulario específico.

• Escribe el número del que quieres sacar la raíz cúbica. Divide el número en grupos de tres dígitos y comienza a contar con un punto decimal. Por ejemplo, necesitas sacar la raíz cúbica de 10. Escribe este número así: 10, 000,000. ceros adicionales diseñado para mejorar la precisión del resultado.
• Cerca y encima del número, dibuja el signo de la raíz. Piensa en ello como las líneas horizontales y verticales que dibujas cuando divides en una columna. La única diferencia es la forma de los dos personajes.
• Coloque un punto decimal sobre la línea horizontal. Haz esto directamente sobre el punto decimal del número original.

1. Recuerde los resultados de indicar números enteros. Se utilizarán en los cálculos.

   • 1 3 = 1 ∗ 1 ∗ 1 = 1 (\displaystyle 1^(3)=1*1*1=1)
   • 2 3 = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=2*2*2=8)
   • 3 3 = 3 ∗ 3 ∗ 3 = 27 (\displaystyle 3^(3)=3*3*3=27)
   • 4 3 = 4 ∗ 4 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 4^(3)=4*4*4=64)
   • 5 3 = 5 ∗ 5 ∗ 5 = 125 (\displaystyle 5^(3)=5*5*5=125)
   • 6 3 = 6 ∗ 6 ∗ 6 = 216 (\displaystyle 6^(3)=6*6*6=216)
   • 7 3 = 7 ∗ 7 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=7*7*7=343)
   • 8 3 = 8 ∗ 8 ∗ 8 = 512 (\displaystyle 8^(3)=8*8*8=512)
   • 9 3 = 9 ∗ 9 ∗ 9 = 729 (\displaystyle 9^(3)=9*9*9=729)
   • 10 3 = 10 ∗ 10 ∗ 10 = 1000 (\displaystyle 10^(3)=10*10*10=1000)

2. Encuentra el primer dígito de la respuesta. Elija el cubo de enteros más cercano pero más pequeño que el primer grupo de tres dígitos.

   • En nuestro ejemplo, el primer grupo de tres dígitos es el número 10. Encuentra el cubo más grande que sea menor que 10. Este cubo es 8 y la raíz cúbica de 8 es 2.
   • Sobre la línea horizontal sobre el número 10, escriba el número 2. Luego escriba el valor de la operación 2 3 (\ estilo de visualización 2 ^ (3))= 8 menos de 10. Dibuja una línea y resta 8 de 10 (como en la división larga normal). El resultado es 2 (este es el primer resto).
   • Por lo tanto, ha encontrado el primer dígito de la respuesta. Considere si este resultado es lo suficientemente preciso. En la mayoría de los casos, esta será una respuesta muy aproximada. Cube el resultado para averiguar qué tan cerca está del número original. En nuestro ejemplo: 2 3 (\ estilo de visualización 2 ^ (3))= 8, que no está muy cerca de 10, por lo que es necesario continuar con los cálculos.

3. Encuentra el siguiente dígito en la respuesta. Atribuya el segundo grupo de tres dígitos al primer resto y dibuje una línea vertical a la izquierda del número resultante. Con la ayuda del número recibido, encontrará el segundo dígito de la respuesta. En nuestro ejemplo, al primer resto (2) se le debe asignar un segundo grupo de tres dígitos (000) para obtener el número 2000.

   • A la izquierda de la línea vertical, escribirás tres números cuya suma sea igual a algún primer factor. Deje espacios en blanco para estos números y coloque signos más entre ellos.

4. Encuentra el primer término (de tres). En el primer espacio vacío, escribe el resultado de multiplicar el número 300 por el cuadrado del primer dígito de la respuesta (está escrito arriba del signo de la raíz). En nuestro ejemplo, el primer dígito de la respuesta es 2, entonces 300*(2^2) = 300*4 = 1200. Escribe 1200 en el primer espacio vacío. El primer término es 1200 (más dos números más para encontrar).

   Encuentra el segundo dígito de la respuesta. Averigua por qué número necesitas multiplicar 1200 para que el resultado esté cerca, pero no más de 2000. Este número solo puede ser 1, ya que 2 * 1200 = 2400, que es más que 2000. Escribe 1 (el segundo dígito de la respuesta) después del 2 y el punto decimal sobre el signo de la raíz.

   Encuentra el segundo y tercer término (de tres). El multiplicador consta de tres números (términos), el primero de los cuales ya ha encontrado (1200). Ahora necesitamos encontrar los dos términos restantes.

   • Multiplique 3 por 10 y por cada dígito de la respuesta (están escritos arriba del signo de la raíz). En nuestro ejemplo: 3*10*2*1 = 60. Sume este resultado a 1200 y obtendrá 1260.
   • Finalmente, eleve al cuadrado el último dígito de su respuesta. En nuestro ejemplo, el último dígito de la respuesta es 1, entonces 1^2 = 1. Entonces, el primer factor es la suma de los siguientes números: 1200 + 60 + 1 = 1261. Escribe este número a la izquierda de la barra vertical .

5. Multiplica y resta. Multiplica el último dígito de la respuesta (en nuestro ejemplo es 1) por el factor encontrado (1261): 1 * 1261 = 1261. Escribe este número debajo de 2000 y réstalo de 2000. Obtendrás 739 (este es el segundo resto ).

6. Considere si la respuesta que obtiene es lo suficientemente precisa. Haz esto cada vez que completes otra resta. Después de la primera resta, la respuesta fue 2, que no es un resultado exacto. Después de la segunda resta, la respuesta es 2.1.

   • Para comprobar la precisión de tu respuesta, cúbrela al cubo: 2,1*2,1*2,1 = 9,261.
   • Si cree que la respuesta es lo suficientemente precisa, no tiene que continuar con el cálculo; de lo contrario, haz otra resta.

7. Encuentra el segundo multiplicador. Para practicar sus cálculos y obtener un resultado más preciso, repita los pasos anteriores.

   • Al segundo resto (739) agregue el tercer grupo de tres dígitos (000). Obtendrá el número 739000.
   • Multiplica 300 por el cuadrado del número que está escrito arriba del signo de la raíz (21): 300 ∗ 21 2 (\displaystyle 300*21^(2)) = 132300.
   • Encuentra el tercer dígito de la respuesta. Averigua por qué número necesitas multiplicar 132300 para que el resultado esté cerca, pero no más de 739000. Este número es 5: 5 * 132200 = 661500. Escribe 5 (el tercer dígito de la respuesta) después de 1 arriba de la raíz señal.
   • Multiplica 3 por 10 por 21 y por el último dígito de la respuesta (están escritos arriba del signo de la raíz). En nuestro ejemplo: 3 ∗ 21 ∗ 5 ∗ 10 = 3150 (\displaystyle 3*21*5*10=3150).
   • Finalmente, eleve al cuadrado el último dígito de su respuesta. En nuestro ejemplo, el último dígito de la respuesta es 5, por lo que 5 2 = 25. (\displaystyle 5^(2)=25.)
   • Así, el segundo multiplicador es: 132300 + 3150 + 25 = 135475.

8. Multiplica el último dígito de tu respuesta por el segundo factor. Una vez que haya encontrado el segundo multiplicador y el tercer dígito de la respuesta, proceda de la siguiente manera:

   • Multiplica el último dígito de la respuesta por el multiplicador encontrado: 135475*5 = 677375.
   • Reste: 739000-677375 = 61625.
   • Considere si la respuesta que obtiene es lo suficientemente precisa. Para hacer esto, cúbralo: 2 , 15 ∗ 2 , 15 ∗ 2 , 15 = 9 , 94 (\displaystyle 2,15*2,15*2,15=9,94).

9. Anota la respuesta. El resultado escrito arriba del signo de la raíz es la respuesta con dos decimales. En nuestro ejemplo, la raíz cúbica de 10 es 2,15. Verifique su respuesta al cubo: 2.15^3 = 9.94, que es aproximadamente 10. Si necesita más precisión, continúe con el cálculo (como se describe arriba).

   Parte 2

   Extracción de la raíz cúbica por el método de estimaciones

   1. Usa cubos numéricos para determinar los límites superior e inferior. Si necesita extraer la raíz cúbica de casi cualquier número, busque los cubos (de algunos números) que estén cerca del número dado.

      • Por ejemplo, necesitas sacar la raíz cúbica de 600. Dado que 8 3 = 512 (\displaystyle 8^(3)=512) y 9 3 = 729 (\displaystyle 9^(3)=729), entonces la raíz cúbica de 600 se encuentra entre 8 y 9. Así que usa 512 y 729 como límites superior e inferior para tu respuesta.

   2. Estima el segundo número. Encontraste el primer número gracias al conocimiento de los cubos de los números enteros. Ahora convierte el entero en decimal, añadiéndole (después del punto decimal) alguna cifra del 0 al 9. Es necesario encontrar una fracción decimal, cuyo cubo será cercano, pero menor que el número original.

      • En nuestro ejemplo, el número 600 está entre los números 512 y 729. Por ejemplo, suma el número 5 al primer número encontrado (8) y obtienes el número 8,5.
   3. • En nuestro ejemplo: 8 , 5 ∗ 8 , 5 ∗ 8 , 5 = 614 , 1. (\displaystyle 8.5*8.5*8.5=614.1.)

   4. Compara el cubo del número resultante con el número original. Si el cubo del número resultante es más grande que el número original, intenta estimar el número más pequeño. Si el cubo del número resultante es mucho más pequeño que el número original, evalúa números grandes hasta que el cubo de uno de ellos exceda el número original.

      • En nuestro ejemplo: 8 , 5 3 (\displaystyle 8,5^(3))> 600. Así que estima el número más bajo 8.4. Cube este número y compáralo con el número original: 8 , 4 ∗ 8 , 4 ∗ 8 , 4 = 592 , 7 (\displaystyle 8.4*8.4*8.4=592.7). Este resultado es menor que el número original. Así, el valor de la raíz cúbica de 600 se encuentra entre 8,4 y 8,5.

   5. Estima el siguiente número para mejorar la precisión de tu respuesta. Para cada número que estimó por última vez, agregue un número del 0 al 9 hasta que obtenga una respuesta precisa. En cada ronda de evaluación, debe encontrar los límites superior e inferior entre los que se encuentra el número original.

      • En nuestro ejemplo: 8 , 4 3 = 592 , 7 (\displaystyle 8,4^(3)=592,7) y 8 , 5 3 = 614 , 1 (\displaystyle 8.5^(3)=614.1). El número original 600 está más cerca de 592 que de 614. Por lo tanto, al último número que estimaste, suma un número que esté más cerca de 0 que de 9. Por ejemplo, este número es 4. Entonces eleva al cubo el número 8,44.

   6. Si es necesario, evalúe otro número. Compara el cubo del número resultante con el número original. Si el cubo del número resultante es más grande que el número original, intenta estimar el número más pequeño. En resumen, necesitas encontrar dos números cuyos cubos sean un poco más grandes y un poco más pequeños que el número original.

      • En nuestro ejemplo 8 , 44 ∗ 8 , 44 ∗ 8 , 44 = 601 , 2 (\displaystyle 8,44*8,44*8,44=601,2). Este es un poco más grande que el número original, así que evalúe otro número (más pequeño), como 8.43: 8 , 43 ∗ 8 , 43 ∗ 8 , 43 = 599 , 07 (\displaystyle 8,43*8,43*8,43=599,07). Así, el valor de la raíz cúbica de 600 se encuentra entre 8,43 y 8,44.

   7. Siga el proceso descrito hasta que obtenga una respuesta precisa a su entera satisfacción. Evalúe el siguiente número, compárelo con el original, luego evalúe otro número si es necesario, y así sucesivamente. Tenga en cuenta que cada dígito adicional después del punto decimal aumenta la precisión de la respuesta.

      • En nuestro ejemplo, el cubo del número 8.43 es menos de 1 menos que el número original.Si necesitas más precisión, eleva al cubo el número 8.434 y obtén eso 8 434 3 = 599 93 (\displaystyle 8434^(3)=599,93), es decir, el resultado es menos de 0,1 menos que el número original.

Publicado en nuestro sitio web. Sacar la raíz de un número se usa a menudo en varios calculos, y nuestra calculadora es una gran herramienta para este tipo de cálculos matemáticos.

Una calculadora en línea con raíces le permitirá realizar rápida y fácilmente cualquier cálculo que contenga extracción de raíces. La raíz de tercer grado contará tan fácilmente como Raíz cuadrada de un número, la raíz de un número negativo, la raíz de un número complejo, la raíz de pi, etc.

El cálculo de la raíz de un número es posible manualmente. Si es posible calcular la raíz entera de un número, simplemente encontramos el valor de la expresión raíz de la tabla de raíces. En otros casos, el cálculo aproximado de las raíces se reduce a la expansión de la expresión de la raíz en un producto de más de factores primos, que son grados y se pueden quitar del signo de la raíz, simplificando al máximo la expresión bajo la raíz.

Pero no debe usar una solución de raíz de este tipo. Y es por eso. Primero, debe dedicar mucho tiempo a tales cálculos. Los números en la raíz, o mejor dicho, las expresiones pueden ser bastante complejas y el grado no es necesariamente cuadrático o cúbico. En segundo lugar, no siempre se satisface la precisión de dichos cálculos. Y en tercer lugar, hay una calculadora de raíz en línea que hará cualquier extracción de raíz por usted en cuestión de segundos.

Extraer una raíz de un número significa encontrar un número que, elevado a la potencia de n, sea igual al valor de la expresión de la raíz, donde n es el grado de la raíz y el número mismo es la base de la raíz. La raíz de segundo grado se llama simple o cuadrada, y la raíz de tercer grado se llama cúbica, omitiendo la indicación del grado en ambos casos.

Solución de raíces en calculadora online se reduce a simplemente escribir una expresión matemática en la línea de entrada. La extracción de la raíz en la calculadora se denota como sqrt y se realiza usando tres teclas: extraer la raíz cuadrada de sqrt (x), extraer la raíz cúbica de sqrt3 (x) y extraer la raíz de n grado sqrt (x, y) . En la página se presenta información más detallada sobre el panel de control.

Extrayendo la raíz cuadrada

Al presionar este botón, se insertará una entrada de raíz cuadrada en la línea de entrada: sqrt(x), solo necesita ingresar la expresión raíz y cerrar el corchete.

Ejemplo de solución raíces cuadradas en calculadora:

Si debajo de la raíz un numero negativo, y el grado de la raíz es par, entonces la respuesta se representará como un número complejo con una unidad imaginaria i.

La raíz cuadrada de un número negativo:

Tercera raíz

Utilice esta tecla cuando necesite calcular la raíz cúbica. Inserta la entrada sqrt3(x) en la línea de entrada.

raíz de tercer grado:

Raíz de grado n

Naturalmente, la calculadora de raíces en línea le permite extraer no solo las raíces cuadradas y cúbicas de un número, sino también la raíz del grado n. Al presionar este botón se mostrará un registro de la forma sqrt(x x,y).

raíz de cuarto grado:

La raíz enésima exacta de un número solo se puede extraer si el número en sí es valor exacto grado nm. De lo contrario, el cálculo resultará aproximado, aunque muy cercano al ideal, ya que la precisión de los cálculos de la calculadora online alcanza los 14 decimales.

raíz 5 con resultado aproximado:

La raíz de la fracción.

La calculadora puede calcular la raíz de varios numeros y expresiones. Encontrar la raíz de una fracción se reduce a extraer por separado la raíz del numerador y el denominador.

La raíz cuadrada de una fracción:

raíz de raíz

En los casos en que la raíz de la expresión esté debajo de la raíz, por la propiedad de las raíces, pueden ser reemplazadas por una sola raíz, cuyo grado será igual al producto de los grados de ambas. En pocas palabras, para extraer una raíz de una raíz, basta con multiplicar los exponentes de las raíces. En el ejemplo que se muestra en la figura, la expresión raíz de tercer grado de la raíz de segundo grado puede ser reemplazada por una sola raíz de sexto grado. Especifique la expresión que desee. En cualquier caso, la calculadora calculará todo correctamente.

Ejemplo de cómo extraer root de root:

Grado en la raíz

La calculadora de raíz de grado le permite calcular en un solo paso, sin reducir primero los exponentes de la raíz y el grado.

La raíz cuadrada de la potencia:

Todas las funciones de nuestra calculadora gratuita se recopilan en una sola sección.

Resolviendo raíces en una calculadora en línea fue modificada por última vez: 3 de marzo de 2016 por Administración

Felicitaciones: hoy analizaremos las raíces, uno de los temas más alucinantes del octavo grado. :)

Muchas personas se confunden acerca de las raíces, no porque sean complejas (lo cual es complicado: un par de definiciones y un par de propiedades más), sino porque en la mayoría de los libros de texto escolares las raíces se definen a través de tales comodines que solo los autores de los libros de texto mismos puede entender este garabato. Y aun así solo con una botella de buen whisky. :)

Por lo tanto, ahora daré las más correctas y más definición correcta root es el único que realmente necesita recordar. Y solo entonces explicaré: por qué todo esto es necesario y cómo aplicarlo en la práctica.

Pero primero recuerda uno punto importante, sobre el cual muchos compiladores de libros de texto por alguna razón "olvidan":

Las raíces pueden ser de grado par (nuestra $\sqrt(a)$ favorita, así como cualquier $\sqrt(a)$ e incluso $\sqrt(a)$) y de grado impar (cualquier $\sqrt(a)$ , $\ raíz cuadrada(a)$ etc.). Y la definición de raíz de grado impar es algo diferente de la de par.

Aquí en este jodido “algo diferente” se esconde, probablemente, el 95% de todos los errores y malentendidos asociados a las raíces. Así que aclaremos la terminología de una vez por todas:

Definición. Incluso raíz norte del número $a$ es cualquiera no negativo un número $b$ tal que $((b)^(n))=a$. Y la raíz de un grado impar del mismo número $a$ es generalmente cualquier número $b$ para el cual se cumple la misma igualdad: $((b)^(n))=a$.

En cualquier caso, la raíz se denota así:

\(un)\]

El número $n$ en tal notación se llama exponente raíz, y el número $a$ se llama expresión radical. En particular, para $n=2$ obtenemos nuestra raíz cuadrada “favorita” (por cierto, esta es la raíz de un grado par), y para $n=3$ obtenemos una raíz cúbica (grado impar), que también se encuentra a menudo en problemas y ecuaciones.

Ejemplos. Ejemplos clásicos raíces cuadradas:

\[\begin(alinear) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(alinear)\]

Por cierto, $\sqrt(0)=0$ y $\sqrt(1)=1$. Esto es bastante lógico ya que $((0)^(2))=0$ y $((1)^(2))=1$.

Las raíces cúbicas también son comunes, no les tengas miedo:

\[\begin(alinear) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(alinear)\]

Bueno, un par de "ejemplos exóticos":

\[\begin(alinear) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(alinear)\]

Si no entiende cuál es la diferencia entre un grado par y uno impar, vuelva a leer la definición. ¡Es muy importante!

Mientras tanto, consideraremos una característica desagradable de las raíces, por la cual necesitábamos introducir una definición separada para exponentes pares e impares.

¿Por qué necesitamos raíces en absoluto?

Después de leer la definición, muchos estudiantes preguntarán: "¿Qué fumaron los matemáticos cuando se les ocurrió esto?" Y realmente: ¿por qué necesitamos todas estas raíces?

Para responder a esta pregunta, volvamos por un momento a grados elementales. Recuerda: en aquellos tiempos lejanos, cuando los árboles eran más verdes y las albóndigas más sabrosas, nuestra principal preocupación era multiplicar correctamente los números. Bueno, algo en el espíritu de "cinco por cinco - veinticinco", eso es todo. Pero después de todo, no puedes multiplicar números en pares, sino en tresillos, cuatros y, en general, conjuntos enteros:

\[\begin(alinear) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Sin embargo, este no es el punto. El truco es diferente: los matemáticos son unos vagos, así que tenían que escribir la multiplicación de diez por cinco así:

Entonces se les ocurrieron los grados. ¿Por qué no escribir el número de factores como un superíndice en lugar de una cadena larga? Como éste:

¡Es muy conveniente! Todos los cálculos se reducen varias veces, y no puede gastar un montón de hojas de pergamino de cuadernos para escribir unos 5 183 . Tal entrada se llamó el grado de un número, se encontraron un montón de propiedades en él, pero la felicidad resultó ser de corta duración.

Después de una bebida grandiosa, que se organizó solo sobre el "descubrimiento" de los grados, un matemático especialmente drogado preguntó de repente: "¿Qué pasa si sabemos el grado de un número, pero no sabemos el número en sí?" De hecho, si sabemos que un determinado número $b$, por ejemplo, da 243 elevado a la quinta potencia, ¿cómo podemos adivinar a qué es igual el propio número $b$?

Este problema resultó ser mucho más global de lo que podría parecer a primera vista. Porque resultó que para la mayoría de los títulos "prefabricados" no existen tales números "iniciales". Juzga por ti mismo:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(alinear)\]

¿Qué pasa si $((b)^(3))=50$? Resulta que necesitas encontrar un cierto número que, cuando se multiplica por sí mismo tres veces, nos dará 50. Pero, ¿cuál es este número? Claramente es mayor que 3 porque 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Es decir este número se encuentra en algún lugar entre tres y cuatro, pero lo que es igual a - FIG lo entenderás.

Esta es exactamente la razón por la que a los matemáticos se les ocurrió la raíz $n$-ésima. Por eso se introdujo el icono radical $\sqrt(*)$. Para denotar el mismo número $b$, que elevado a la potencia especificada, nos dará un valor previamente conocido

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

No discuto: a menudo estas raíces se consideran fácilmente; vimos varios ejemplos de este tipo anteriormente. Pero aún así, en la mayoría de los casos, si piensas en un número arbitrario y luego tratas de extraer la raíz de un grado arbitrario de él, te encontrarás con un fastidio cruel.

¡Lo que está ahí! Incluso el $\sqrt(2)$ más simple y familiar no se puede representar en nuestra forma habitual, como un número entero o una fracción. Y si introduce este número en una calculadora, verá esto:

\[\raíz cuadrada(2)=1.414213562...\]

Como ves, tras el punto decimal hay una secuencia interminable de números que no obedecen a ninguna lógica. Por supuesto, puede redondear este número para compararlo rápidamente con otros números. Por ejemplo:

\[\sqrt(2)=1.4142...\aprox. 1.4 \lt 1.5\]

O aquí hay otro ejemplo:

\[\sqrt(3)=1.73205...\aprox. 1.7 \gt 1.5\]

Pero todos estos redondeos son, en primer lugar, bastante toscos; y en segundo lugar, también debe poder trabajar con valores aproximados, de lo contrario, puede detectar un montón de errores no obvios (por cierto, la habilidad de comparación y redondeo en sin fallar comprobado en el examen de perfil).

Por lo tanto, en matemáticas serias uno no puede prescindir de las raíces: son los mismos representantes iguales del conjunto de todos los números reales $\mathbb(R)$, así como fracciones y números enteros que nos son familiares desde hace mucho tiempo.

La imposibilidad de representar la raíz como una fracción de la forma $\frac(p)(q)$ significa que esta raíz no es número racional. Dichos números se denominan irracionales y no pueden representarse con precisión excepto con la ayuda de un radical u otras construcciones especialmente diseñadas para esto (logaritmos, grados, límites, etc.). Pero más sobre eso en otro momento.

Considere algunos ejemplos en los que, después de todos los cálculos, los números irracionales aún permanecerán en la respuesta.

\[\begin(alinear) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\aprox. -1,2599... \\ \end(alinear)\]

Naturalmente, por apariencia la raíz es casi imposible adivinar qué números vendrán después del punto decimal. Sin embargo, es posible calcular con una calculadora, pero incluso la calculadora de fechas más avanzada nos da solo los primeros dígitos de un número irracional. Por lo tanto, es mucho más correcto escribir las respuestas como $\sqrt(5)$ y $\sqrt(-2)$.

Para eso se inventaron. Para que sea fácil escribir las respuestas.

¿Por qué se necesitan dos definiciones?

El lector atento probablemente ya habrá notado que todas las raíces cuadradas dadas en los ejemplos se extraen de números positivos. Bueno, al menos desde cero. Pero las raíces cúbicas se extraen con calma de absolutamente cualquier número, incluso positivo, incluso negativo.

¿Por qué está pasando esto? Observa la gráfica de la función $y=((x)^(2))$:

Tratemos de calcular $\sqrt(4)$ usando este gráfico. Para ello, se dibuja sobre la gráfica una recta horizontal $y=4$ (marcada en rojo), que corta a la parábola en dos puntos: $((x)_(1))=2$ y $((x )_(2)) =-2$. Esto es bastante lógico, ya que

Todo está claro con el primer número: es positivo, por lo tanto, es la raíz:

Pero entonces, ¿qué hacer con el segundo punto? ¿El 4 tiene dos raíces a la vez? Después de todo, si elevamos al cuadrado el número −2, también obtenemos 4. ¿Por qué no escribir $\sqrt(4)=-2$ entonces? ¿Y por qué los maestros miran esos registros como si quisieran comerte? :)

El problema es que si no se imponen condiciones adicionales, los cuatro tendrán dos raíces cuadradas: positiva y negativa. Y cualquier número positivo también tendrá dos de ellos. Pero los números negativos no tendrán raíces en absoluto; esto se puede ver en el mismo gráfico, ya que la parábola nunca cae por debajo del eje. y, es decir. no toma valores negativos.

Un problema similar ocurre para todas las raíces con un exponente par:

1. En rigor, cada número positivo tendrá dos raíces con exponente par $n$;
2. De números negativos, la raíz con $n$ pares no se extrae en absoluto.

Es por eso que la definición de una raíz par $n$ estipula específicamente que la respuesta debe ser un número no negativo. Así es como nos deshacemos de la ambigüedad.

Pero para $n$ impares no existe tal problema. Para ver esto, echemos un vistazo a la gráfica de la función $y=((x)^(3))$:

De este gráfico se pueden sacar dos conclusiones:

1. Las ramas de una parábola cúbica, a diferencia de la habitual, van al infinito en ambas direcciones, tanto hacia arriba como hacia abajo. Por lo tanto, a cualquier altura que dibujemos una línea horizontal, esta línea definitivamente se cruzará con nuestro gráfico. Por lo tanto, la raíz cúbica siempre se puede sacar, absolutamente, de cualquier número;
2. Además, tal intersección siempre será única, por lo que no necesita pensar qué número considerar la raíz "correcta" y cuál anotar. Es por eso que la definición de raíces para un grado impar es más simple que para uno par (no hay requisito de no negatividad).

Es una pena que estas cosas simples no estén explicadas en la mayoría de los libros de texto. En cambio, nuestros cerebros comienzan a volar con todo tipo de raíces aritméticas y sus propiedades.

Sí, no discuto: qué es una raíz aritmética, también necesita saberlo. Y hablaré de esto en detalle en una lección separada. Hoy también hablaremos de él, porque sin él, todas las reflexiones sobre las raíces de la $n$-ésima multiplicidad estarían incompletas.

Pero primero debe comprender claramente la definición que di anteriormente. De lo contrario, debido a la abundancia de términos, comenzará tal lío en tu cabeza que al final no entenderás nada en absoluto.

Y todo lo que necesitas entender es la diferencia entre números pares e impares. Por eso, una vez más recopilaremos todo lo que realmente necesitas saber sobre las raíces:

1. Una raíz par existe solo a partir de un número no negativo y en sí misma siempre es un número no negativo. Para números negativos, tal raíz no está definida.
2. Pero la raíz de un grado impar existe a partir de cualquier número y puede ser en sí misma cualquier número: para números positivos es positiva, y para números negativos, como indica la mayúscula, es negativa.

¿Es difícil? No, no es difícil. comprensiblemente? ¡Sí, es obvio! Por lo tanto, ahora practicaremos un poco con los cálculos.

Propiedades y restricciones básicas

Las raíces tienen muchas propiedades y restricciones extrañas; esta será una lección aparte. Por lo tanto, ahora consideraremos solo el "chip" más importante, que se aplica solo a las raíces con un exponente par. Escribimos esta propiedad en forma de fórmula:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\izquierda| x\derecha|\]

En otras palabras, si elevamos un número a una potencia par y luego extraemos la raíz del mismo grado de este, no obtendremos el número original, sino su módulo. Este es un teorema simple que es fácil de probar (basta con considerar por separado $x$ no negativos, y luego considerar por separado los negativos). Los maestros hablan constantemente de eso, se da en todos los libros de texto escolares. Pero tan pronto como se trata de resolver ecuaciones irracionales (es decir, ecuaciones que contienen el signo del radical), los estudiantes olvidan esta fórmula juntos.

Para comprender el problema en detalle, olvidemos todas las fórmulas por un minuto e intentemos contar dos números por delante:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Esto es muy ejemplos simples. El primer ejemplo lo resolverá la mayoría de la gente, pero en el segundo muchos se quedan. Para resolver cualquier basura de este tipo sin problemas, siempre considere el procedimiento:

1. Primero, el número se eleva a la cuarta potencia. Bueno, es un poco fácil. Se obtendrá un nuevo número, que incluso se puede encontrar en la tabla de multiplicar;
2. Y ahora de este nuevo número es necesario extraer la raíz de cuarto grado. Aquellas. no hay "reducción" de raíces y grados; estas son acciones secuenciales.

Tratemos con la primera expresión: $\sqrt(((3)^(4)))$. Obviamente, primero debe calcular la expresión debajo de la raíz:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Luego extraemos la raíz cuarta del número 81:

Ahora hagamos lo mismo con la segunda expresión. Primero, elevamos el número −3 a la cuarta potencia, para lo cual necesitamos multiplicarlo por sí mismo 4 veces:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ izquierda(-3 \derecha)=81\]

Obtuvimos un número positivo, ya que el número total de menos en el producto es de 4 piezas, y todas se cancelarán entre sí (después de todo, un menos por un menos da un más). A continuación, extraiga la raíz de nuevo:

En principio, esta línea no se podría escribir, ya que es obvio que la respuesta será la misma. Aquellas. una raíz par de la misma potencia par "quema" los menos, y en este sentido el resultado es indistinguible del módulo habitual:

\[\begin(alinear) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\derecha|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \derecho|=3. \\ \end(alinear)\]

Estos cálculos están en buen acuerdo con la definición de la raíz de un grado par: el resultado siempre es no negativo y el signo radical también es siempre un número no negativo. De lo contrario, la raíz no está definida.

Nota sobre el orden de las operaciones.

1. La notación $\sqrt(((a)^(2)))$ significa que primero elevamos al cuadrado el número $a$ y luego sacamos la raíz cuadrada del valor resultante. Por lo tanto, podemos estar seguros de que un número no negativo siempre se encuentra debajo del signo raíz, ya que $((a)^(2))\ge 0$ de todos modos;
2. Pero la notación $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, por el contrario, significa que primero extraemos la raíz de un cierto número $a$ y luego elevamos al cuadrado el resultado. Por lo tanto, el número $a$ en ningún caso puede ser negativo - esto es requisito obligatorio incluido en la definición.

Por lo tanto, en ningún caso se deben reducir irreflexivamente las raíces y los grados, supuestamente "simplificando" la expresión original. Porque si debajo de la raíz hay un número negativo, y su exponente es par, tendremos muchos problemas.

Sin embargo, todos estos problemas son relevantes solo para indicadores pares.

Eliminar un signo menos debajo del signo raíz

Naturalmente, las raíces con exponentes impares también tienen su propia característica, que, en principio, no existe para los pares. A saber:

\[\raíz cuadrada(-a)=-\raíz cuadrada(a)\]

En resumen, puede sacar un menos de debajo del signo de las raíces de un grado impar. Esto es muy propiedad útil, que le permite "tirar" todas las desventajas:

\[\begin(alinear) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(alinear)\]

Esta propiedad simple simplifica enormemente muchos cálculos. Ahora no necesita preocuparse: ¿qué pasa si una expresión negativa se coloca debajo de la raíz y el grado en la raíz resulta ser par? Basta con "tirar" todas las desventajas fuera de las raíces, después de lo cual pueden multiplicarse entre sí, dividirse y, en general, hacer muchas cosas sospechosas, que en el caso de las raíces "clásicas" están garantizadas para llevarnos a un error.

Y aquí entra en escena otra definición, la misma con la que la mayoría de las escuelas comienzan el estudio de las expresiones irracionales. Y sin el cual nuestro razonamiento estaría incompleto. ¡Reunir!

raíz aritmética

Supongamos por un momento que solo los números positivos o, en casos extremos, el cero pueden estar bajo el signo de la raíz. Anotemos en indicadores pares / impares, anotemos en todas las definiciones dadas anteriormente; trabajaremos solo con números no negativos. ¿Entonces que?

Y luego obtenemos la raíz aritmética: se cruza parcialmente con nuestras definiciones "estándar", pero aún difiere de ellas.

Definición. Una raíz aritmética del $n$ésimo grado de un número no negativo $a$ es un número no negativo $b$ tal que $((b)^(n))=a$.

Como puede ver, ya no nos interesa la paridad. En cambio, apareció una nueva restricción: la expresión radical ahora siempre es no negativa, y la raíz misma también es no negativa.

Para comprender mejor en qué se diferencia la raíz aritmética de la habitual, eche un vistazo a los gráficos de la parábola cuadrada y cúbica que ya nos son familiares:

Como puede ver, de ahora en adelante, solo nos interesan las piezas de gráficos que se encuentran en el primer cuarto de coordenadas, donde las coordenadas $x$ y $y$ son positivas (o al menos cero). Ya no necesita mirar el indicador para comprender si tenemos derecho a rootear un número negativo o no. Porque los números negativos ya no se consideran en principio.

Puede preguntar: "Bueno, ¿por qué necesitamos una definición tan castrada?" O: "¿Por qué no podemos arreglárnoslas con la definición estándar dada arriba?"

Bueno, daré solo una propiedad, por la cual la nueva definición se vuelve apropiada. Por ejemplo, la regla de exponenciación:

\[\raíz cuadrada[n](a)=\raíz cuadrada(((a)^(k)))\]

Tenga en cuenta: podemos elevar la expresión de la raíz a cualquier potencia y, al mismo tiempo, multiplicar el exponente de la raíz por la misma potencia, ¡y el resultado será el mismo número! Aquí hay unos ejemplos:

\[\begin(alinear) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(alinear)\]

Bueno, ¿qué hay de malo en eso? ¿Por qué no pudimos hacerlo antes? Este es el por qué. Considere una expresión simple: $\sqrt(-2)$ es un número bastante normal en nuestro sentido clásico, pero absolutamente inaceptable desde el punto de vista de la raíz aritmética. Intentemos convertirlo:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Como puede ver, en el primer caso, sacamos el menos de debajo del radical (tenemos toda la razón, porque el indicador es impar), y en el segundo, usamos la fórmula anterior. Aquellas. desde el punto de vista de las matemáticas, todo se hace de acuerdo con las reglas.

¡¿Qué diablos?! ¿Cómo puede el mismo número ser tanto positivo como negativo? De ningún modo. Es solo que la fórmula de exponenciación, que funciona muy bien para los números positivos y el cero, comienza a dar una completa herejía en el caso de los números negativos.

Aquí, para deshacerse de tal ambigüedad, se les ocurrieron raíces aritméticas. Se les dedica una gran lección separada, donde consideramos en detalle todas sus propiedades. Así que ahora no nos detendremos en ellos; la lección resultó ser demasiado larga de todos modos.

Raíz algebraica: para los que quieren saber más

Pensé durante mucho tiempo: hacer este tema en un párrafo aparte o no. Al final, decidí irme de aquí. Este material está destinado a aquellos que desean comprender las raíces aún mejor, ya no en el nivel promedio de "escuela", sino en el nivel cercano a la Olimpiada.

Entonces: además de la definición "clásica" de la raíz del $n$-ésimo grado de un número y la división asociada en indicadores pares e impares, hay una definición más "adulta", que no depende de la paridad y otras sutilezas en absoluto. A esto se le llama raíz algebraica.

Definición. Una raíz algebraica $n$-ésima de cualquier $a$ es el conjunto de todos los números $b$ tales que $((b)^(n))=a$. No existe una designación bien establecida para tales raíces, así que simplemente coloque un guión en la parte superior:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

La diferencia fundamental con la definición estándar dada al comienzo de la lección es que la raíz algebraica no es un número específico, sino un conjunto. Y como estamos trabajando con números reales, este conjunto es de solo tres tipos:

1. Conjunto vacio. Ocurre cuando se requiere encontrar una raíz algebraica de grado par a partir de un número negativo;
2. Un conjunto que consta de un solo elemento. Todas las raíces de potencias impares, así como las raíces de potencias pares a partir de cero, entran en esta categoría;
3. Finalmente, el conjunto puede incluir dos números: los mismos $((x)_(1))$ y $((x)_(2))=-((x)_(1))$ que vimos en el graficar función cuadrática. En consecuencia, dicha alineación solo es posible cuando se extrae la raíz de un grado par de un número positivo.

El último caso merece una consideración más detallada. Contemos un par de ejemplos para entender la diferencia.

Ejemplo. Calcular expresiones:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Decisión. La primera expresión es simple:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Son dos números que forman parte del conjunto. Porque cada uno de ellos al cuadrado da un cuatro.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Aquí vemos un conjunto que consta de un solo número. Esto es bastante lógico, ya que el exponente de la raíz es impar.

Finalmente, la última expresión:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnada\]

Tenemos un juego vacío. Porque no hay un solo número real que, elevado a la cuarta (¡es decir, par!) potencia, nos dé un número negativo −16.

nota final Tenga en cuenta: no fue casualidad que noté en todas partes que estamos trabajando con números reales. Debido a que también hay números complejos, es bastante posible calcular $\sqrt(-16)$ y muchas otras cosas extrañas allí.

Sin embargo, en el currículo escolar moderno de matemáticas, los números complejos casi nunca se encuentran. Se han omitido de la mayoría de los libros de texto porque nuestros funcionarios consideran que el tema es "demasiado difícil de entender".

Instrucción

Para elevar un número a la potencia de 1/3, ingrese el número, luego presione el botón de encendido y escriba el valor aproximado de 1/3 - 0.333. Esta precisión es suficiente para la mayoría de los cálculos. Sin embargo, es muy fácil mejorar la precisión de los cálculos: simplemente agregue tantos tripletes como quepan en el indicador de la calculadora (por ejemplo, 0.3333333333333333). Luego presione el botón "=".

Para calcular la tercera raíz usando una computadora, ejecute el programa Calculadora de Windows. El procedimiento para calcular la raíz de tercer grado es completamente similar al descrito anteriormente. La única diferencia está en el diseño del botón de exponenciación. En el teclado virtual de la calculadora, se designa como "x^y".

La raíz de tercer grado también se puede calcular en MS Excel. Para hacer esto, ingrese "=" en cualquier celda y seleccione el icono "insertar" (fx). Seleccione la función "GRADO" en la ventana que aparece y haga clic en el botón "Aceptar". En la ventana que aparece, ingrese el valor del número para el cual desea calcular la raíz de tercer grado. En "Grado" ingrese el número "1/3". Marque el número 1/3 exactamente de esta forma, como uno ordinario. Después de eso, haga clic en el botón "Aceptar". En la celda de la tabla donde se creó, aparecerá la raíz cúbica del número dado.

Si la raíz del tercer grado debe calcularse constantemente, mejore ligeramente el método descrito anteriormente. Como el número del que desea extraer la raíz, especifique no el número en sí, sino la celda de la tabla. Después de eso, simplemente ingrese el número original en esta celda cada vez; su raíz cúbica aparecerá en la celda con la fórmula.

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Nota

Conclusión. En este trabajo hemos considerado varios métodos cálculo de valores de raíces cúbicas. Resultó que los valores de la raíz cúbica se pueden encontrar usando el método de iteración, también es posible aproximar la raíz cúbica, elevar un número a la potencia de 1/3, buscar los valores de la raíz de tercer grado utilizando Microsoft Office Excel, estableciendo fórmulas en las celdas.

Consejo útil

Las raíces de segundo y tercer grado se usan con especial frecuencia y, por lo tanto, tienen nombres especiales. Raíz cuadrada: en este caso, el exponente generalmente se omite, y el término "raíz" sin especificar el grado implica la mayoría de las veces la raíz cuadrada. Práctico cálculo de raíces Algoritmo para hallar la raíz de grado n. Las raíces cuadradas y cúbicas se proporcionan comúnmente en todas las calculadoras.

Fuentes:

• tercera raíz
• Cómo sacar la raíz cuadrada al grado N en Excel

La operación de encontrar la raíz. tercera grados generalmente llamado extracción de la raíz "cúbica", y consiste en encontrar un número real, cuya construcción en un cubo dará un valor igual al número raíz. La operación de extraer la raíz aritmética de cualquier grados n equivale a la operación de elevar a la potencia 1/n. Hay varias formas de calcular la raíz cúbica en la práctica.

Al resolver algunos problemas técnicos, puede ser necesario calcular la raíz tercera grados. A veces, este número también se llama raíz cúbica. raíz tercera grados de un número dado se llama tal número, cuyo cubo (tercer grado) es igual al dado. Es decir, si y es la raíz tercera grados números x, entonces se debe cumplir la siguiente condición: y?=x (x es igual al cubo y).

Necesitará

• calculadora o computadora

Instrucción

• Para calcular la raíz tercera grados utiliza la calculadora. Es deseable que esta no sea una calculadora ordinaria, sino una calculadora utilizada para cálculos de ingeniería. Sin embargo, incluso en una calculadora de este tipo, no encontrará un botón especial para extraer la raíz. tercera grados. Así que usa una función para elevar un número a una potencia. Extrayendo la raíz tercera grados corresponde a elevar a la potencia de 1/3 (un tercio).
• Para elevar un número a la potencia de 1/3, escriba el número mismo en el teclado de la calculadora. Luego presione la tecla "exponenciación". Dicho botón, según el tipo de calculadora, puede verse como xy (y, en forma de superíndice). Dado que la mayoría de las calculadoras no tienen la capacidad de trabajar con fracciones ordinarias (no decimales), en lugar del número 1/3, escriba su valor aproximado: 0,33. Para obtener una mayor precisión de los cálculos, es necesario aumentar el número de "triples", por ejemplo, marque 0.33333333333333. Luego, presione el botón "=".
• Para calcular la raíz tercera grados en una computadora, use la calculadora estándar de Windows. El procedimiento es completamente similar al descrito en el párrafo anterior de la instrucción. La única diferencia es la designación del botón de exponenciación. En una calculadora de "computadora", se ve como x ^ y.
• si es root tercera grados Si tiene que calcular sistemáticamente, utilice MS Excel. Para calcular la raíz tercera grados en Excel, ingrese el signo "=" en cualquier celda y luego seleccione el ícono "fx" - insertando una función. En la ventana que aparece, en la lista "Seleccione una función", seleccione la línea "GRADO". Haga clic en el botón Aceptar. En la ventana que acaba de aparecer, ingrese en la línea "Número" el valor del número del que desea extraer la raíz. En la línea "Grado" ingrese el número "1/3" y haga clic en "Aceptar". El valor deseado de la raíz cúbica del número original aparecerá en la celda de la tabla.