Kuptimi gjeometrik i modulit dhe argumenti i një funksioni analitik. Lëreni funksionin w=f(z)është analitike në një fushë D. Le të zgjedhim një pikë arbitrare dhe të vizatojmë përmes saj një kurbë arbitrare të lëmuar që shtrihet tërësisht në D. Funksioni f(z) shfaq zonën D aeroplan kompleks ( z) për rajon G aeroplan kompleks ( w). Le të vihet në hartë një pikë në një pikë dhe një kurbë në një kurbë Le të shënojmë me këndin e bërë nga tangjentja në pikën me boshtin ka, dhe përmes - këndi i bërë nga tangjentja në pikën me boshtin Ou. Që nga funksioni f(z) analitike, atëherë ka një derivat në çdo pikë të rajonit D. Le të supozojmë se në D. Derivati mund të paraqitet në formë eksponenciale, d.m.th. shkruani në formën:
Le të zgjedhim një metodë të përpjekjes në të cilën pikat shtrihen në kurbë. Atëherë pikat përkatëse Numrat kompleks dhe në rrafsh do të përfaqësohen me vektorë të sekantuar në kthesa dhe, përkatësisht, dhe dhe janë gjatësitë e vektorëve sekantë, dhe dhe janë këndet e formuara nga këta vektorë dhe boshtet pozitive. Kur këta vektorë sekantë bëhen tangjentë me kthesat dhe në pikat dhe .Nga barazia (10) rezulton se , d.m.th. argumenti derivat ka kuptimin gjeometrik të diferencës ndërmjet këndit të vektorit tangjent të lakores dhe këndit të vektorit tangjent. Meqenëse derivati nuk varet nga mënyra e kalimit në kufi, do të jetë i njëjtë për çdo kurbë tjetër që kalon nëpër pikë. Me fjalë të tjera, harqet që kalojnë nëpër një pikë z 0 në sipërfaqe z kur shfaqet w=f(z) rrotullohen nëpër të njëjtin kënd në aeroplan w. Kur këndi ndërmjet çdo kthese në aeroplan ( z), duke kaluar nëpër një pikë z 0, është e barabartë me këndin ndërmjet kthesave dhe në rrafsh ( w), atëherë kjo quhet veti ruajtja (konservatorizmi) i këndeve.
Në mënyrë të ngjashme, nga barazia (10) fitojmë: , d.m.th. deri në sasi të një rendi më të lartë të vogëlsisë, barazia vlen: .
Marrëdhënia e fundit gjithashtu nuk varet nga metoda e zgjedhjes së kurbës dhe kuptimi i saj gjeometrik është se kur hartimi kryhet nga një funksion analitik që plotëson kushtin, elementët linearë infinitimalë (harqet infinitimale) transformohen në mënyrë të ngjashme, dhe moduli i derivatit quhet koeficienti i ngjashmërisë. Kjo veti e këtij pasqyrimi quhet veti shtrirje konstante, Kjo është arsyeja pse k quajtur edhe faktori i shtrirjes. Thonë se kur k>1 – shtrirje, dhe kur k<1 – сжатие.
Përkufizimi i hartës konformale dhe vetitë themelore. Përkufizimi 17. Harta e zonës një-për-një D aeroplan kompleks ( z) për rajon G aeroplan kompleks ( w) thirrur konformale, nëse është në të gjitha pikat z D ka vetinë e mbajtjes së këndeve dhe shtrirjes së vazhdueshme.
Teorema 6. Me qëllim të funksionit kompleks w=f(z) hartoi në mënyrë konformale zonën D aeroplan ( z) për rajon G aeroplan ( w), është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ajo të jetë analitike në D dhe jo në asnjë pikë të rajonit D.
□ Domosdoshmëri. Le të supozojmë. cili është funksioni w=f(z) kryen hartën konformale. Sipas përkufizimit, kjo nënkupton përmbushjen e vetive të ruajtjes së këndeve dhe shtrirjes së vazhdueshme. Le ta marrim me aeroplan z pikë arbitrare z 0 dhe në afërsi të saj ka dy pika: z 1 Dhe z2. Në sipërfaqe w ato do të korrespondojnë me pikë w 0, w 1, w 2
Me një saktësi deri në madhësi infiniteminale do të plotësohen këto marrëdhënie: , dhe nga qëndrueshmëria e këndeve rrjedh: . Nga barazia për argumentet rezulton se këndet janë të barabartë jo vetëm në vlerë absolute, por edhe në drejtim. Si rezultat marrim: .
Kështu, nga dy barazitë e fundit rrjedh, e saktë deri në madhësi infiniteminale, se plotësohen barazitë e mëposhtme: . Për shkak të arbitraritetit të zgjedhjes së pikës z 0 dhe pikë z 1,z 2 nga afërsia e saj del se ekziston Përshtatshmëria. Le të ekzistojë derivati dhe të mos jetë i barabartë me zero në rajon D, atëherë nga kuptimi gjeometrik i derivatit del se plotësohen vetitë e ruajtjes së këndeve dhe qëndrueshmëria e shtrirjes dhe kjo, sipas definicionit, do të thotë se funksioni kryen një pasqyrim konform. ■
Harta konformale përdoret për të zgjidhur problemet në fizikën matematikore, hidrodinamikën dhe aerodinamikën, teorinë e elasticitetit dhe teorinë e fushave elektromagnetike dhe termike. Detyra kryesore e teorisë së hartës konformale është të gjejë funksionin e një ndryshoreje komplekse w=f(z), e cila do të shfaqte një zonë të caktuar D aeroplan z në një zonë të caktuar G aeroplan w. Teorema luan një rol të rëndësishëm në zgjidhjen e këtij problemi.
Teorema 7.Çdo rajon i lidhur thjesht D plan kompleks z, kufiri i të cilit përbëhet nga më shumë se një pikë mund të vendoset në mënyrë konformale në brendësi të rrethit të njësisë<1 комплексной плоскости w.(pa prova).
Kjo teoremë nënkupton mundësinë e një harte konformale të një rajoni të caktuar D në një zonë të caktuar G, nëse kufiri i çdo rajoni përbëhet nga më shumë se një pikë. Më pas, hartoni këto zona rrethi ndihmës <1, мы получим искомое отображение. Конформное отображение многосвязной области на односвязную область невозможно, но в ряде случаев возможно конформное отображение областей одинаковой связности. Рассмотрим два конформных отображения.
Shfaqja lineare. Linearështë një hartë e kryer nga një funksion linear ku a Dhe b- numra kompleks.
Një hartë e tillë është një-për-një dhe konform në të gjithë rrafshin kompleks pasi hartëzimi linear lë dy pika të fiksuara:
Le të imagjinojmë një hartë lineare në formën e tre më të thjeshtave.
1) Transformimi i rrotullimit të të gjithë planit z nga një kënd rreth origjinës:
2) Shndërrimi i ngjashmërisë me qendrën e ngjashmërisë në origjinë, d.m.th. shtrirja në > 1 dhe ngjeshja në 0< <1:
3) Transferimi paralel në vektor b:
Shembulli 4. Gjeni një funksion që shfaq një trekëndësh me kulme të dhëna z 1 =-1, z 2 =i, z 3 =1 në një trekëndësh me kulme w 1 =0, w 2 =-2+2i, w 3 =4i.
Zgjidhje. Le të ndërtojmë funksionin e kërkuar si një mbivendosje e tre transformimeve elementare.
1) - kthehu me një kënd në të kundërt të akrepave të orës;
2) - shtrirje e dyfishtë;
3) - zhvendosje lart dy njësi;
Funksioni i kërkuar ka formën:
Harta lineare thyesore. Funksioni linear thyesor, ku a,b,c,d- zbatohen numrat kompleks hartëzimi linear i pjesshëm plan kompleks i zgjeruar z w. Le të gjejmë derivatin: nëse .
Përkufizimi 18. Pikat z 1 Dhe z 2 quhen simetrike rreth rrethit, nëse shtrihen në të njëjtën rreze që kalon nëpër pika z 1, z 2 dhe pikë z 0, dhe .
Përmbysja në lidhje me një rreth është një transformim i planit kompleks të zgjeruar në vetvete që merr çdo pikë z 1 aeroplan në pikë z 2, simetrik në lidhje me këtë rreth. Le të shqyrtojmë hartëzimin e përcaktuar nga funksioni dhe të shënojmë Duke përdorur vetinë e modulit, mund të shkruajmë: . Nga kjo rezulton se hartëzimi në fjalë është një përmbysje në lidhje me një rreth me rreze R, përqendruar në origjinën e ndjekur nga një imazh pasqyrë në lidhje me boshtin real.
Për analogji me një hartë lineare, le të imagjinojmë një hartë lineare të pjesshme si një mbivendosje e transformimeve të thjeshta. Le të zgjedhim fillimisht të gjithë pjesën e thyesës:
Transformimet më të thjeshta do të jenë si më poshtë:
1) transferim paralel në: ;
2) transformimi i përmbysjes në lidhje me një rreth me rreze R me qendër në origjinën e ndjekur nga një imazh pasqyrë rreth boshtit real: ;
3) rrotullimi në lidhje me origjinën: ;
4) transferim paralel në: .
Shembulli 5. Gjeni zonën në të cilën rrethi do të shkojë nën një hartë lineare-fraksionale.
Zgjidhje.
Ky do të jetë rrethi që fitohet pas transformimeve të mëposhtme:
1) lëvizni 1 poshtë:
2) përmbysja në lidhje me , drejtimi i anashkalimit do të ndryshojë:
3) rrotullohuni 90 gradë:
4) lëvizni 1 poshtë:
Vetitë e hartëzimit linear thyesor. Pa prova, ne formulojmë vetitë e mëposhtme.
1.Konformiteti. Funksioni thyesor linear harton në mënyrë konformale rrafshin kompleks të zgjeruar z në planin kompleks të zgjeruar w.
2. Unike. Ekziston një funksion unik thyesor linear që i jepen tre pika të dallueshme z 1,z 2,z 3 aeroplan z shfaqet në tre pika të ndryshme w 1, w 2, w 3 aeroplan w dhe këtë pasqyrim e jep barazia: .
3.Vendi rrethore. Me një hartë lineare të pjesshme, imazhi i çdo rrethi në kuptimin e gjerë është një rreth (në kuptimin e gjerë, d.m.th. një rreth ose çdo vijë e drejtë).
4. Parimi i paraqitjes së kufijve. Me hartëzimin linear të pjesshëm, një zonë e shtrirë brenda një rrethi shndërrohet në një zonë që shtrihet brenda ose jashtë rrethit të transformuar (kufiri është hartuar me një kufi).
5. Parimi i simetrisë Riemann-Schwartz. Me një hartë lineare fraksionale, pikat që janë simetrike në lidhje me një rreth janë të përcaktuara në pika që janë simetrike në lidhje me rrethin e transformuar (simetria në kuptimin e përmbysjes).
Shembulli 6. Përcaktohet gjysma e sipërme e planit z dhe një pikë arbitrare z 0. Gjeni një funksion që e krahason atë me rrethin njësi të rrafshit w kështu që z 0 shfaqet në qendër të rrethit.
Zgjidhje.
Le të , atëherë sipas parimit të kufijve të hartës, boshti real në aeroplan z do të vendoset në një rreth me rreze njësi. Sipas vetive të simetrisë, një pikë do të vihet në hartë në një pikë. Kështu, duke marrë parasysh këtë, ne do të ndërtojmë një funksion. Nëse marrim parasysh pikat z, të shtrira në boshtin real, dhe këto janë pika të formës: , atëherë do të plotësohen barazitë për to: , sepse të gjitha janë të barabarta nga një pikë e shtrirë në boshtin real, d.m.th. kemi që të gjitha pikat e boshtit real do të jenë të pasqyruara në të gjitha pikat e rrethit të njësisë.Prandaj gjejmë se nëse marrim parasysh modulin, pasqyrimi i kërkuar do të ketë formën: .
Zgjidh një problem tjetër të hartës fraksionale lineare dhe futi të dyja në modulin e parë!
Leksioni nr.4.
Gjeometrikisht, një funksion i një ndryshoreje komplekse w=f(z) specifikon shfaqjen e një grupi të caktuar z– aeroplanë në një grup të caktuar w-aeroplan. Pika wÎ G thirrur mënyrë pikë z kur shfaqet w=f(z), pika zÎ D – prototip pikë w.
Nëse të gjithë z vetëm një vlerë përputhet w=f(z), atëherë thirret funksioni të paqarta (w=|z|,w=,w= Re z etj.) Nëse disa z përputhet me më shumë se një vlerë w, thirret funksioni polisemantike (w= Arg z).
Nëse (d.m.th. në pika të ndryshme të zonës D funksioni merr vlera të ndryshme), pastaj funksioni w=f(z) quhet njëshoj në zonë D.
Me fjalë të tjera, funksioni njëvalent w=f(z) harton një për një zonën D në G. Me ekran me një fletë w=f(z) imazhi i anasjelltë i çdo pike wÎ G përbëhet nga një element i vetëm: : . Kjo është arsyeja pse z mund të konsiderohet si funksion i një ndryshoreje w, të përcaktuara më G. Është caktuar dhe thirrur funksioni i anasjelltë .
Nëse në zonë D ka të paktën një palë pika, pastaj funksionin f(z) quhen shumëfletëshe në zonë D.
Nëse shfaqja w=f(z) është shumëfletësh në D(Për shembull, w=z n), atëherë në këtë rast disa vlera wÎ G përputhet me më shumë se një pikë zÎ D:f(z)=w. Prandaj, hartëzimi i anasjelltë nuk është me një vlerë, ai është një funksion me shumë vlera.
Njëshifror në zonë D funksionin w=f(z) quhet degë e një funksioni me shumë vlera F, nëse vlera f në çdo moment zÎ D përputhet me një nga vlerat F në këtë pikë.
Për të izoluar degët me një vlerë të një funksioni me shumë vlera, veproni si më poshtë: zona D ndani funksionet në domene të njëvlershmërisë w=f(z) në mënyrë që asnjë nga rajonet të mos ketë pika të brendshme të përbashkëta dhe në mënyrë që çdo pikë zÎ D i përkiste njërës prej këtyre zonave ose kufirit të disa prej tyre. Në secilën prej këtyre fushave të njëvalencës përcaktohet një funksion i kundërt me w=f(z). Është dega me një vlerë të funksionit me shumë vlera.
Koncepti i hartës konformale
Shembull. Gjeni koeficientin e shtrirjes dhe këndin e rrotullimit në një pikë z=2i kur shfaq .
■ Gjeni derivatin dhe vlerën e tij në një pikë të caktuar.
Raporti i shtrirjes k e barabartë me modulin e derivatit: .
Këndi i rrotullimit jështë e barabartë me argumentin e derivatit. Pika qëndron në tremujorin e katërt, pra, . ■
Shembulli 3.5. Përcaktoni se cila pjesë e aeroplanit kur shfaqet w=z 2 është shtrirë, dhe cila është e ngjeshur.
■ Gjetja e derivatit w¢=2 z. Faktori i tensionit në çdo moment z barazohet k=|w¢( z)|=2|z|. Bashkësia e pikave në rrafshin kompleks për të cilat k>1, pra 2| z|>1 ose , përbën një pjesë të planit, i cili shtrihet kur shfaqet. Prandaj, kur shfaqet w=z 2, pjesa e jashtme e rrethit është e shtrirë, dhe pjesa e brendshme është e ngjeshur. ■
Ekrani w=f(z) quhet konformale (d.m.th. ruan formën e saj) në një pikë nëse ruan këndet ndërmjet kthesave dhe ka vetinë e shtrirjes konstante të fqinjësisë së pikës.
Çdo hartë e vendosur me anë të një funksioni analitik f(z) është konform në të gjitha pikat ku .
Hartëzimi quhet konformale në rajon , nëse është konform në çdo pikë të këtij rajoni.
Një hartë konformale në të cilën ruhet drejtimi i referencës së këndeve quhet harta konformale e llojit të parë . Një hartë konformale në të cilën drejtimi i këndeve është i kundërt quhet hartëzimi konformal i gjinisë ΙΙ (Për shembull, ).
Në teorinë dhe praktikën e hartave konformale, parashtrohen dhe zgjidhen dy probleme.
Detyra e parë është të gjesh imazhin e një linje ose zone të caktuar nën një hartë të caktuar - detyrë e drejtpërdrejtë .
E dyta është të gjesh një funksion që harton një vijë ose zonë të caktuar në një linjë ose zonë tjetër të caktuar - problem i anasjelltë .
Gjatë zgjidhjes së një problemi të drejtpërdrejtë merret parasysh se imazhi i një pike z 0 kur shfaqet w=f(z) është një pikë w 0, e tillë që w 0 =f(z 0), domethënë rezultati i zëvendësimit z 0 in f(z). Prandaj, për të gjetur imazhin e një grupi, duhet të zgjidhni një sistem të përbërë nga dy marrëdhënie. Njëri prej tyre specifikon funksionin e hartës w=f(z), tjetri është ekuacioni i drejtëzës, nëse po zgjidhet problemi i gjetjes së figurës së vijës, ose pabarazia që përcakton grupin e pikave të paraimazhit, nëse zgjidhet problemi i hartimit të zonave. Në të dyja rastet, procedura e zgjidhjes reduktohet në eliminimin e ndryshores z nga dy raporte të dhëna.
Rregulli 3.3. Për të gjetur imazhin e drejtëzës së dhënë nga ekuacioni F(x,y)=0 (ose në mënyrë eksplicite y=j(x)), kur shfaqet w=f(z) e nevojshme:
1. Zgjidhni pjesët reale dhe imagjinare të funksionit f(z): u=Re f(z), v=Im f(z).
2. Përjashtoni nga sistemi X Dhe u. Marrëdhënia që rezulton është ekuacioni i imazhit të kësaj linje.
Rregulli 3.4. Për të gjetur imazhin e një rreshti të caktuar kur shfaqet w=f(z) e nevojshme:
1. Shkruani ekuacionin e drejtëzës në formë parametrike z=z(t) ose në formë komplekse.
2. Në varësi të llojit të ekuacionit të vijës, merrni parasysh rastin përkatës:
Nëse rreshti është dhënë në formë parametrike, zëvendësoni shprehjen z(t) V w=f(z);
Nëse rreshti është dhënë në formë komplekse, atëherë shprehni z nga w=f(z), domethënë dhe . Atëherë duhet të zëvendësoni z dhe në ekuacionin e drejtëzës. Marrëdhënia që rezulton është ekuacioni i imazhit të kësaj linje.
Rregulli 3.5. Për të gjetur një imazh të një zone të caktuar, duhet të përdorni një nga dy metodat.
Mënyra e parë.
1. Shkruani ekuacionin e kufirit të kësaj zone. Gjeni imazhin e kufirit të një zone të caktuar duke përdorur rregullat 3.3 ose 3.4.
2. Zgjidhni një pikë të brendshme arbitrare të një zone të caktuar dhe gjeni imazhin e saj nën hartën e dhënë. Rajoni të cilit i përket pika që rezulton është imazhi i dëshiruar i rajonit të caktuar.
Mënyra e dytë.
1. Shprehni z nga raporti w=f(z).
2. Zëvendësoni atë që keni marrë në hapin 1. një shprehje në një pabarazi që përcakton një rajon të caktuar. Raporti që rezulton është imazhi i dëshiruar.
Shembull. Gjeni imazhin e një rrethi | z|=1 kur shfaqet duke përdorur një funksion w=z 2 .
■ 1 mënyrë(sipas rregullit 3.3).
1. Le z=x+iy, w=u+iv. Pastaj u+iv =x 2 -y 2 +i 2xy. Ne marrim:
2. Le të përjashtojmë X Dhe në nga këto ekuacione. Për ta bërë këtë, le të vendosim në katror ekuacionin e parë dhe të dytë dhe të shtojmë:
u 2 +v 2 =x 4 -2x 2 y 2 +y 4 +2x 2 y 2 =x 4 +2x 2 y 2 +y 4 =(x 2 +y 2) 2 .
Duke marrë parasysh ekuacionin e tretë të sistemit, marrim: u 2 +v 2 =1 ose | w| 2 =1, që është | w|=1. Pra, imazhi i rrethit | z|=1 është një rreth | w|=1, i kalueshëm dy herë. Kjo rrjedh nga fakti se qysh w=z 2 pastaj Arg w=2 Arg z+2pk. Pra, kur pika z përshkruan një rreth të plotë | z|=1, atëherë imazhi i tij përshkruan rrethin | w|=1 dy herë.
Metoda 2(sipas rregullit 3.4).
1. Le të shkruajmë ekuacionin e rrethit njësi në formë parametrike: z=e atë (0£ t 2 £ fq).
2. Le të zëvendësojmë z=e atë në raport w=z 2: w=e i 2 t=cos2 t+i mëkat2 t. Prandaj, | w| 2 = cos 2 2 t+mëkati 2 2 t=1, pra | w|=1 – ekuacioni i imazhit. ■
Shembull. Gjeni ekuacionin e figurës së një vije y=x kur shfaqet w=z 3 .
■ Duke qenë se kurba është dhënë në mënyrë eksplicite, zbatojmë rregullin 3.3.
1. w=z 3 =(x+iy) 3 =x 3 +3x 2 iy+3x(iy) 2 +(iy) 3 =x 3 - 3xy 2 +i(3x 2 v-v 3).
2. Në sistemin që rezulton ne zëvendësojmë y=x: Duke përjashtuar X nga këto ekuacione, marrim v=-u.
Pra, imazhi i përgjysmuesit të këndeve të koordinatave I dhe III të sistemit xOyështë përgjysmues i këndeve të koordinatave II dhe IV të sistemit uOv. ■
1. Funksioni linear
Funksioni linear quhet funksion i formës
w=az+b, (4.1)
Ku A, b- konstante komplekse.
Ky funksion përcaktohet nga , . Prandaj, nëse , atëherë funksioni linear prodhon një hartë konformale të të gjithë rrafshit të ndryshores komplekse. Në këtë rast, tangjentet në të gjitha kthesat rrotullohen me të njëjtin kënd Arg a, dhe tensioni në të gjitha pikat është i barabartë. Nëse a= 1, atëherë nuk ka shtrirje ose rrotullim. Në këtë rast marrim w=z+b. Ky hartë e zhvendos të gjithë rrafshin me një vektor.
Në rastin e përgjithshëm, duke kaluar në formën eksponenciale të shkrimit të një numri kompleks, marrim. Prandaj, një hartë lineare është një përbërje e tre transformimeve gjeometrike:
w 1 =rz- ngjashmëri me koeficientin r=|a|;
w 2 =e i j w 1 =rze i j- kthehu në një kënd j=arg a rreth pikës RRETH;
w=w 2 +b=re i j z+b- transferim paralel në një vektor.
Prandaj, hartëzimi w=az+b ndryshon dimensionet lineare të çdo figure të rrafshët në | a| një herë, e rrotullon këtë figurë me një kënd j=arg a rreth origjinës dhe e zhvendos atë në drejtim të vektorit sipas vlerës së tij.
Një hartë lineare ka një veti rrethore, domethënë, harton rrathë z-aeroplanët në një rreth w-aeroplan (dhe anasjelltas); shndërron drejtëzat në drejtëza.
Shembull. Gjeni imazhin e boshtit OU kur shfaqet w=2iz-3i.
■ 1 mënyrë(sipas rregullit 3.4). Ne zgjedhim ekuacionin e boshtit në formë parametrike.
1. Meqenëse në formë reale ekuacioni i boshtit Oy: x=0, -¥<y<+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy, -¥<y<+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран në.
2. Le të zëvendësojmë z=iy në shprehje w=2iz-3i: w=-2y-3i, -¥<y<+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (në- parametri). Duke izoluar pjesët reale dhe imagjinare, marrim ekuacionin e imazhit në formë reale: u=-2y, v=-3 ose v=-3, -¥<u<+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv, paralel me boshtin real.
Metoda 2. Ne përdorim vetinë rrethore të një transformimi linear - imazhi i një vije të drejtë është një vijë e drejtë. Meqenëse një vijë e drejtë përcaktohet duke specifikuar dy pika, ajo është e mjaftueshme në bosht OU zgjidhni çdo dy pika dhe gjeni imazhet e tyre. Vija e drejtë që kalon nëpër pikat e gjetura do të jetë ajo e kërkuara. Le të zgjedhim pikat z 1 =0, z 2 =i, imazhet e tyre w 1 =-3i, w 2 =-2-3i kur hartohet, shtrihuni në vijën Im w= -3. Prandaj, imazhi i boshtit OUështë një vijë e drejtë v=-3.
3 mënyra(gjeometrike). Nga marrëdhënia w=2iz-3i vijon se a=2i, b=-3i, |a|=2, . Kjo do të thotë se drejtëza e dhënë (boshti OU) duhet të rrotullohet me një kënd në lidhje me origjinën, dhe më pas të zhvendoset poshtë 3 njësi. Shtrirja me 2 herë nuk ndryshon pamjen gjeometrike të vijës origjinale, pasi ajo kalon përmes origjinës. ■
Shembull. Gjeni një funksion linear që përfaqëson një rreth | z-i|=1 për perimetër | w- 3|=2.
■ Problemi i shtruar është problemi i anasjelltë i teorisë së pasqyrimeve - duke marrë një imazh dhe paraimazh të dhënë, gjeni hartëzimin përkatës. Pa kushte shtesë, problemi nuk ka një zgjidhje unike. Le të paraqesim një zgjidhje gjeometrike.
1. Lëvizni qendrën e rrethit në origjinë. Për ta bërë këtë, ne aplikojmë hartën w 1 =z-i.
2. Në aeroplan w 1 le të aplikojmë një hartë që jep një shtrirje 2-fish, domethënë w 2 =2w 1 .
3. Zhvendosni rrethin 3 njësi djathtas: w=w 2 +3. Më në fund marrim: w=2(z-i)+3, w= 2z+3-2i– funksioni i kërkuar.
Ju mund të zgjidhni një renditje të ndryshme për kryerjen e operacioneve gjeometrike - mos lëvizni së pari, por rrotullohuni ose shtrihuni. ■
2. Funksioni linear thyesor
Lineare thyesore quhet funksion i formës
Ku a, b,c,d- numra komplekse të tillë që , .
Vetitë e transformimit linear thyesor
1°Konformiteti
Ekrani w=L(z) është konformale në të gjitha pikat fundore të planit kompleks përveç .
2° Veti rrethore
Imazhi i një vije të drejtë ose një rrethi në një hartë lineare të pjesshme w=L(z) është një vijë e drejtë ose një rreth (dhe imazhi i një vije të drejtë mund të jetë ose një rreth ose një vijë e drejtë, dhe imazhi i një rrethi mund të jetë edhe një vijë e drejtë edhe një rreth). Është e lehtë të përcaktohet kur shfaqet w=L(z) të gjitha vijat e drejta dhe rrathët që kalojnë nëpër pikë shkojnë në plane të drejta ( w), dhe të gjitha vijat e drejta ose rrathët që nuk kalojnë nëpër pikë d, - në perimetrin e aeroplanit ( w).
3°Invarianca e dyfishtë e marrëdhënieve
Lidhja ruhet nën një hartë lineare të pjesshme, domethënë është e pandryshueshme. Kjo marrëdhënie quhet raport i dyfishtë prej katër pikësh. Kështu, transformimi linear thyesor përcaktohet në mënyrë unike duke specifikuar tre pika dhe imazhet e tyre: . Duke përdorur këto çifte, mund të gjeni një funksion linear thyesor duke përdorur formulën:
Kjo formulë mund të zbatohet edhe në rastin kur disa nga numrat z k Dhe w k kthehet në ¥, nëse përdorni rregullin: ndryshimi në të cilin shfaqet simboli ¥ duhet të zëvendësohet me 1.
4°Ruajtja e simetrisë
Nëse pikë z 1 dhe z 2 janë simetrike për një vijë ose rreth g, pastaj për çdo hartë lineare thyesore w=L(z) imazhet e tyre w 1 dhe w 2 do të jetë simetrik në lidhje me imazhin g: .
Simetria për një vijë të drejtë kuptohet në kuptimin e zakonshëm.
Pikat z Dhe z* quhen simetrike rreth rrethit |z-z 0 |=R, nëse shtrihen në të njëjtën rreze që del nga qendra e rrethit, dhe produkti i largësive të tyre nga qendra e rrethit është i barabartë me katrorin e rrezes së tij, d.m.th.
|z-z 0 |×| z*-z 0 |=R 2 . (4.4)
Një pikë simetrike me një pikë z 0 - qendra e rrethit është padyshim pika në pafundësi.
5°Parimi i përputhjes së kalimit të kufirit (shfaqja e zonave të kufizuara nga vija ose rrathë)
Nëse, në një hartë lineare të pjesshme, një vijë e drejtë ose një rreth g kthehet në një vijë të drejtë ose rreth g¢, pastaj zona D, e cila është e kufizuar g, është shndërruar në një nga dy zonat që kufizohen nga g¢. Në këtë rast bëhet parimi i korrespondencës së anashkalimit të kufirit: nëse gjatë ndonjë anashkalimi të linjës g Rajon D rezulton të jetë në të majtë (djathtas), pastaj me kalimin përkatës të vijës g¢ Rajon D¢ duhet të jetë gjithashtu në të majtë (djathtas).
Shembull. Gjeni funksionin linear thyesor w=L(z), sikurse w(i)=2i, w(¥)=1, w(-1)=¥.
■ Le të shënojmë z 1 =i, z 2 =¥, z 3 =-1 dhe w 1 =2i, w 2 =1, w 3 =¥. Le të zbatojmë formulën (4.3), duke zëvendësuar diferencat që përmbajnë z 2 dhe w 3 deri në ¥:
Le të konvertojmë: - w-wi+ 2i- 2=wz-wi-z+i Û w(z+1)=z-2+iÛ është funksioni i kërkuar. ■ :w =1 dhe Im w=0.
2. Tani në përputhje me paragrafin 2. Rregulli 3.5, zgjidhni një pikë arbitrare, për shembull, z=-1О D. Imazhi i tij nën një hartë të caktuar është , i shtrirë midis rreshtave Im w=1 dhe Im w=0. Prandaj, imazhi i zonës së dhënë do të jetë shiriti 0< Imw<1. ■
3. Funksioni eksponencial
Funksioni eksponencial i një ndryshoreje kompleksez=x+iy quhet një funksion i shënuar me exp z(lexo "eksponent" z") dhe përcaktohet nga formula
Vetitë eksp z
1° Nëse , atëherë exp z=shp x=e x, d.m.th. në boshtin real, funksioni eksponencial i një ndryshoreje komplekse përkon me funksionin eksponencial të një ndryshoreje reale. Prandaj, së bashku me shënimin exp z f, paralel me boshtin real:
Nëse, për shembull, , atëherë .
8° Funksioni eksponencial është analitik në , (shp z)¢=përfundim z.
Shembull. Gjeni pjesën reale, imagjinare, modulin dhe vlerën kryesore të argumentit për një numër e 2- i.
■ Ne përdorim përkufizimin e një funksioni eksponencial të një ndryshoreje komplekse. Le z=2-i, x=Re z=2, y=Im z=-1.
Pastaj . Prandaj,
Ju gjithashtu mund të përdorni teoremën e mbledhjes dhe formulën e Euler-it (1.7) në vend të përkufizimit. ■
Ekraniw =shp z
HARTA KONFORMAL (transformim konformal), një hartë e një rajoni (në një rrafsh ose në hapësirë) në një rajon tjetër, duke ruajtur këndet midis kthesave. Shembujt më të thjeshtë të hartës konformale janë transformimet dhe rrotullimet e ngjashmërisë (transformimet ortogonale).
Harta konformale përdoret në hartografi kur është e nevojshme të përshkruhet një pjesë e sipërfaqes së globit në një plan (hartë) duke ruajtur vlerat e të gjitha këndeve; Shembuj të paraqitjeve të tilla konformale janë projeksioni stereografik dhe projeksioni Mercator (shih Projeksionet e Hartës). Një vend të veçantë zënë hartat konformale të disa rajoneve të avionit në të tjerat; teoria e tyre ka aplikime të rëndësishme në mekanikën aero- dhe fluide, elektrostatikën dhe teorinë e elasticitetit. Zgjidhja e shumë problemeve të rëndësishme arrihet lehtësisht kur zona për të cilën shtrohet problemi ka një formë mjaft të thjeshtë (për shembull, një rreth ose gjysmë rrafsh). Nëse problemi shtrohet për një fushë më komplekse, atëherë rezulton të jetë e mjaftueshme që të hartohet në mënyrë konformale domeni më i thjeshtë në atë të dhënë në mënyrë që të merret një zgjidhje për problemin e ri nga një zgjidhje e njohur. Kjo është pikërisht rruga që ndoqi N. E. Zhukovsky kur krijoi teorinë e një krahu avioni.
Jo të gjitha rajonet e aeroplanit pranojnë harta konformale me njëri-tjetrin. Për shembull, një unazë rrethore e kufizuar nga rrathë koncentrikë nuk mund të vendoset në mënyrë konformale në një unazë me një raport të ndryshëm rrezesh. Sidoqoftë, çdo dy rajone, secila prej të cilave është e kufizuar nga vetëm një kurbë (rajone thjesht të lidhura), mund të hartohen në mënyrë konformale me njëri-tjetrin (teorema e Riemann-it). Sa i përket zonave të kufizuara nga disa kthesa, një zonë e tillë mund të hartohet gjithmonë në mënyrë konformale në një zonë të kufizuar nga i njëjti numër segmentesh të drejtëzave paralele (teorema e Hilbertit) ose rrathë (teorema e Kobesë), por madhësitë dhe pozicionet relative të këtyre segmenteve të drejtëzave. ose rrathët nuk mund të vendosen në mënyrë arbitrare.
Nëse futim variablat komplekse z dhe w në planin origjinal dhe të imazhit, atëherë ndryshorja w, e konsideruar në hartëzimin konformal si funksion i z, është ose një funksion analitik ose një kompleks funksioni i konjuguar me atë analitik. Në të kundërt, çdo funksion që është analitik në një domen të caktuar dhe merr vlera të ndryshme në pika të ndryshme të domenit (një funksion i tillë quhet univalent) në mënyrë konformale e harton këtë domen në një domen tjetër. Prandaj, studimi i hartave konformale të rajoneve të rrafshët reduktohet në studimin e funksioneve analitike njëvalente.
Çdo hartë konformale e rajoneve tredimensionale i transformon sferat dhe rrafshet në sfera dhe rrafshe dhe reduktohet ose në një transformim ngjashmërie, ose në një transformim inversioni dhe një transformim ngjashmërie të kryera në mënyrë sekuenciale (teorema e Liouville). Prandaj, hartat konformale të rajoneve tre-dimensionale (dhe përgjithësisht shumëdimensionale) nuk kanë një rëndësi kaq të madhe dhe aplikime kaq të larmishme si hartat konformale të rajoneve dydimensionale.
Teoria e hartës konformale filloi me L. Euler (1777), i cili zbuloi lidhjen midis funksioneve të një ndryshoreje komplekse dhe problemit të hartës konformale të pjesëve të një sfere në një plan (për ndërtimin e hartave gjeografike). Studimi i problemit të përgjithshëm të hartës konformale të një sipërfaqeje në një tjetër e çoi K. Gauss (1822) në zhvillimin e teorisë së përgjithshme të sipërfaqeve. B. Riemann (1851) formuloi kushtet në të cilat është e mundur një hartë konformale e një rajoni të avionit në një tjetër, por qasja që ai përshkroi u vërtetua vetëm në fillim të shekullit të 20-të (A. Poincaré dhe C. Carathéodory). Studimet e N. E. Zhukovsky dhe S. A. Chaplygin, të cilët hapën një fushë të gjerë aplikimesh të hartës konformale në aero- dhe hidromekanikë, shërbyen si një stimul i fuqishëm për zhvillimin e teorisë së hartës konformale si një degë e madhe e teorisë së funksioneve analitike.
Lit.: Goluzin G.M. Teoria gjeometrike e funksioneve të një ndryshoreje komplekse. botimi i 2-të. M., 1966; Markushevich A.I. Teoria e funksioneve analitike. botimi i 2-të. M., 1968. T. 2; Lavrentyev M.A., Shabat B.V. Metodat e teorisë së funksioneve të një ndryshoreje komplekse. botimi i 6-të. M., 2002.
Le të përcaktohet një funksion me një vlerë të vetme në një domen të caktuar dhe le t'i përkasin pikat domenit.
Përkufizimi. Nëse ka një kufi të fundëm të raportit kur, sipas ndonjë ligji, ai priret në zero, atëherë:
1) ky kufi quhet derivat i një funksioni në një pikë dhe tregohet me simbolin
2) në këtë rast thirret funksioni të diferencueshme në pikë.
Të gjitha rregullat dhe formulat për diferencimin e funksioneve të një ndryshoreje reale mbeten në fuqi për funksionet e një ndryshoreje komplekse.
Teorema. Në mënyrë që një funksion të jetë i diferencueshëm në një pikë 
, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që:
1) funksione reale dhe ishin të diferencueshme në pikën *);
2) në këtë pikë ishin plotësuar kushtet
, (4.2)
thirrur Kushtet e Cauchy-Riemann(C.-R.)ose d'Alembert-Euler.
Nëse plotësohen kushtet ( C.-R.) derivati i një funksioni mund të gjendet duke përdorur një nga formulat e mëposhtme:
Le të paraqesim dy përkufizime që kanë rëndësi themelore në teorinë e funksioneve të një ndryshoreje komplekse.
Përkufizimi.Funksioni thirrur analitike në terren, nëse është i diferencueshëm në çdo pikë të këtij rajoni.
Përkufizimi.Funksioni thirrur analitike në pikën, nëse është analitike në ndonjë lagje të pikës, d.m.th. nëse funksioni është i diferencueshëm jo vetëm në një pikë të caktuar, por edhe në fqinjësinë e tij.
Nga përkufizimet e mësipërme është e qartë se konceptet e analiticitetit dhe diferencimit të një funksioni në një fushë përkojnë, por analiticiteti i një funksioni në një pikë dhe diferencimi në një pikë janë koncepte të ndryshme. Nëse një funksion është analitik në një pikë, atëherë sigurisht që është i diferencueshëm atje, por e kundërta mund të mos jetë e vërtetë. Një funksion mund të jetë i diferencueshëm në një pikë, por të mos jetë i diferencueshëm në asnjë fqinjësi të asaj pike, në këtë rast ai nuk do të jetë analitik në pikën në fjalë.
Kushti që një funksion të jetë analitik në një domen është që kushtet Cauchy-Riemann të plotësohen për të gjitha pikat në këtë fushë.
Marrëdhënia ndërmjet funksioneve analitike dhe atyre harmonike. A mund të shërbejë ndonjë funksion i dy ndryshoreve si pjesë reale dhe imagjinare e ndonjë funksioni analitik?
Nëse funksioni është analitik në domen, atëherë funksionet janë harmonikë, domethënë plotësojnë ekuacionin e Laplace.
Dhe 
.
Megjithatë, nëse funksionet janë funksione harmonike të zgjedhura në mënyrë arbitrare, atëherë funksioni 
, në përgjithësi, nuk do të jetë analitike, d.m.th. kushtet për ta nuk do të plotësohen gjithmonë.
Ju mund të ndërtoni një funksion analitik nga një funksion i caktuar harmonik (për shembull, 
), duke marrë një tjetër 
në mënyrë që të plotësohen kushtet. Kushtet (4.2) na lejojnë të përcaktojmë një funksion të panjohur (për shembull, ) nga dy derivatet e tij të pjesshëm ose, çfarë është e njëjtë, nga diferenciali i tij total. Gjetja e një funksioni harmonik nga diferenciali i tij është problemi i integrimit të diferencialit total të një funksioni të dy variablave, i njohur nga analiza reale.
Kuptimi gjeometrik i modulit dhe argumenti i derivatit. Le të jetë funksioni i diferencueshëm në domenin dhe . Funksioni do të hartojë një pikë të rrafshët në një pikë të rrafshët, një kurbë që kalon nga një pikë në një kurbë që kalon (Fig. 4.1).
Moduli i derivatit 
është kufiri i raportit të distancës pafundësisht të vogël ndërmjet pikave të përcaktuara në hartë dhe ndaj distancës infinitimale ndërmjet prototipeve të tyre dhe . Prandaj, sasia mund të konsiderohet gjeometrikisht si një koeficient shtrirjeje (nëse ) në një pikë kur hartohet një rajon në një rajon, i kryer nga funksioni
 |  |
Në çdo pikë të rajonit në çdo drejtim koeficienti i shtrirjes do të jetë i ndryshëm. Për argumentin derivat, mund të shkruajmë
ku dhe janë përkatësisht këndet dhe që vektorët dhe formohen me boshtin real (Fig. 4.1). Le të formohen këndet nga tangjentet në kurbë dhe në pika dhe me boshtin real. Pastaj për , një , pra 
përcakton këndin me të cilin tangjentja me lakoren në pikë duhet të rrotullohet për të marrë drejtimin e tangjentës me lakoren në pikën .
Nëse marrim parasysh dy kthesa dhe , dhe , atëherë këndet dhe (Fig. 4.1) ndërmjet tangjentave të tyre janë, në përgjithësi, të pabarabarta.
Përkufizimi. Një hartë e një domeni në një domen që ka vetitë e zgjerimeve konstante () në çdo drejtim dhe ruajtjes (ose konservatorizmit) të këndeve midis dy kthesave që kryqëzohen në pikën quhet konformale(të ngjashme në të vogla). Hartëzimi i kryer nga funksioni analitik është konform në të gjitha pikat në të cilat .
USHTRIMET
55. Tregoni se funksioni është i diferencueshëm dhe analitik në të gjithë rrafshin kompleks. Llogaritni derivatin e tij.
Zgjidhje. Le të gjejmë dhe. Sipas përkufizimit kemi. Prandaj, 
.
, 
,
Ku 
, 
.
Siç shihet, derivatet e pjesshme janë të vazhdueshme në të gjithë rrafshin dhe funksionojnë dhe janë të diferencueshëm në secilën pikë të rrafshit. Kushtet janë plotësuar. Rrjedhimisht, ai është i diferencueshëm në çdo pikë të rrafshit, dhe për këtë arsye analitik në të gjithë rrafshin. Prandaj, derivati mund të gjendet duke përdorur një nga formulat (4.3):
Së fundi, derivati mund të gjendet duke përdorur rregullat e diferencimit formal: .
56. Zbulo nëse funksioni është analitik:
Zgjidhje. a) Që atëherë, nga ku 
. Siç shihet, kushti i parë (4.2) nuk është i plotësuar për asnjë dhe . Rrjedhimisht, funksioni nuk është i diferencueshëm në asnjë pikë të rrafshit, dhe për rrjedhojë nuk është analitik.
b) Kemi . Funksioni 
Dhe 
janë të diferencueshëm në çdo pikë të rrafshit, sepse derivatet e tyre të pjesshme janë të vazhdueshme në të gjithë rrafshin. Por kushtet nuk plotësohen në asnjë pikë të rrafshit, përveç pikës ku të gjitha derivatet e pjesshme janë të barabarta me zero. Rrjedhimisht, funksioni është i diferencueshëm vetëm në një pikë, por nuk është analitik atje, pasi sipas definicionit kërkon diferencim në një lagje të kësaj pike.
Kështu, funksioni nuk është analitik për asnjë vlerë. Nga shembulli i mësipërm është e qartë se analiticiteti i një funksioni në një pikë është një kërkesë më e fortë sesa diferencimi i tij në këtë pikë.
57. A ka funksion analitik për të cilin 
?
Zgjidhje. Le të kontrollojmë nëse funksioni është 
harmonike. Për këtë qëllim gjejmë
Dhe 
. Nga relacioni i fundit del se ai nuk mund të jetë pjesë reale, por edhe imagjinare e një funksioni analitik.
58. Gjeni, nëse është e mundur, një funksion analitik nga pjesa reale e tij 
.
Zgjidhje. Së pari, le të kontrollojmë nëse funksioni është 
harmonike. Ne gjejme , , 
, 
Dhe 
. Një funksion që është harmonik në të gjithë rrafshin shoqërohet me kushtet Cauchy-Riemann, . Nga këto kushte marrim, 
. Nga ekuacioni i parë i sistemit e gjejmë duke integruar mbi , duke supozuar konstante.
ku duhet përcaktuar një funksion arbitrar. Le ta gjejmë nga këtu 
dhe ta barazojmë me shprehjen e gjetur më parë: . Ne marrim një ekuacion diferencial për të përcaktuar funksionin 
, ku
Kështu që, . Pastaj, d.m.th. në këtë pikë ka një rrotullim nëpër një kënd dhe duke formuar një kënd me njëri-tjetrin, përkatësisht shfaqen në rreze dhe duke formuar një kënd me njëri-tjetrin. 
. Prandaj, në një pikë cenohet konformaliteti i hartëzimit për faktin se cenohet vetia e konservatorizmit të këndit: këndet nuk ruhen, por trefishohen.
Sistemet e elektrodave me fusha elektrostatike komplekse dy-dimensionale mund të llogariten duke përdorur metodën e hartës konformale. Ideja kryesore e kësaj metode është zëvendësimi i fushave komplekse me fusha të thjeshta për të cilat dihen zgjidhjet. Fusha të tilla të thjeshta përfshijnë fushat e një kondensatori të sheshtë ose cilindrik larg skajeve të tyre. Metoda e pasqyrave konformale është një aplikim praktik i teorisë së funksioneve të një ndryshoreje komplekse. Një hartë konformale është një hartë e vazhdueshme që ruan formën e figurave infinitimale (infinitimale). Për një hartë konformale, plotësohet vetia e qëndrueshmërisë së këndeve dhe qëndrueshmërisë së zgjatimeve. Emri vjen nga latinishtja e vonë - konformis– hartëzimi i ngjashëm, i vazhdueshëm që ruan trajtën e figurave infinititale: p.sh., b.m. rrethi mbetet b.m. përreth; këndet ndërmjet drejtëzave në pikën e prerjes së tyre me njëra-tjetrën nuk ndryshojnë. Zona e aplikimit të metodës së hartës konformale për llogaritjen e fushave elektrike është fusha elektrostatike dydimensionale.
Transformimi konform harton çdo pikë z=x+j×y fusha reale e llogaritjes, e përshkruar nga një plan kompleks, në një pikë w=u+j×v një plan tjetër kompleks, me një konfigurim më të thjeshtë të fushës. Vështirësia kryesore e metodës është gjetja e llojit të funksionit për një sistem elektrodë reale të caktuar. Në praktikë, kur përpiqen të gjejnë një funksion të hartës konformale, ata ose përdorin katalogë të veçantë të hartave konformale ose e kërkojnë atë përmes provave të njëpasnjëshme.
Le të supozojmë se ne e dimë formën e ndonjë transformimi z=f(w) ose konvertim i kundërt w=f(z), i cili vendos një korrespondencë një-për-një midis dy planeve komplekse me komplekse ( z) dhe e thjeshtë ( w) konfigurimin e fushës. Faktori i konvertimit është raporti dw/dz.
Këtu përdoren marrëdhëniet e mëposhtme:
, 
. (2.94)
Në mënyrë të ngjashme mund të shkruajmë:
. (2.95)
Dy numra kompleks janë të barabartë nëse pjesët e tyre reale dhe imagjinare janë të barabarta. Duke krahasuar vlerat e koeficientit të konvertimit të dhëna në shprehjet (2.93) dhe (2.95), mund të shkruajmë:
Shprehjet (2.96) njihen si kushtet Cauchy-Riemann. Duke përdorur forma të ndryshme të paraqitjes së numrave kompleks, koeficienti i konvertimit mund të shkruhet si:
Ku 
është koeficienti i ndryshimit të gjatësisë së segmenteve gjatë transformimit, dhe tg(j) = b/a(j është këndi i rrotullimit të segmenteve gjatë transformimit). Nga marrëdhëniet Cauchy-Riemann, marrim:
(2.99)
Nga relacionet (2.97) – (2.98) rezulton se koeficienti i transformimit konform Mështë forca relative e fushës elektrike dhe secili prej funksioneve u Dhe v mund të zgjidhet si potencial në planin e ri kompleks w=f(u,v). Ky përfundim mund të vërtetohet në një mënyrë tjetër. Nëse funksionet u Dhe v mund të zgjidhet si potencial, atëherë secili prej tyre duhet të plotësojë ekuacionin e Laplace: D u=0 dhe D v=0. Kjo mund të verifikohet duke ridiferencuar drejtpërdrejt kushtet Cauchy-Riemann. Le të dallojmë kushtin e parë në lidhje me X, dhe e dyta në; shtoni rezultatin; Le t'i zhvendosim të gjitha derivatet e rëndësishme në anën e majtë të shënimit dhe të lëmë zero në të djathtë:
; ; . (2.100)
Nga shprehja që rezulton del se funksioni u plotëson ekuacionin Laplace (1.25), (1.30) dhe mund të merret si potencial. Le të dallojmë kushtin e parë në lidhje me në, dhe i dyti - nga X:
; ; , (2.101)
ato. dhe funksionin v gjithashtu plotëson ekuacionin e Laplace dhe gjithashtu mund të merret si potencial. Duke qenë se forca dhe linjat ekuipotenciale në rrafsh z=f(x,y) janë reciprokisht pingul, dhe transformimi konformal i lë të pandryshuara këndet ndërmjet drejtëzave në pikën e kryqëzimit të tyre, atëherë nga (2.97) ¸ (2.101) rezulton se nëse funksioni u marrë, për shembull, si një potencial, pastaj vijën me v=const - është një vijë force. Nëse v- potenciali, atëherë u=konst – linja elektrike. Cili nga funksionet u ose vështë një potencial, dhe që është një linjë force, duhet të përcaktohet nga analiza e transformimit konform të fushës në rrafshin origjinal. z=f(x,y) në një fushë në një aeroplan w=f(u,v).Çdo funksion z=f(w)(ose w=f(z)) na jep zgjidhje për çdo problem në elektrostatikë. Ju mund të dilni me një funksion arbitrar, të gjeni zgjidhje për të dhe më pas të zgjidhni sistemin e duhur të elektrodës për zgjidhjet e gjetura. Shumë zgjidhje për problemet elektrostatike u gjetën duke përdorur këtë metodë (prapa).
Gjatë gjetjes së forcës së fushës elektrike duke përdorur metodën e hartës konformale, duhet të merret parasysh rrethanë e rëndësishme e mëposhtme. Modeli i fushës elektrike përcaktohet plotësisht nga parametrat gjeometrikë të sistemit të elektrodës, pavarësisht nga shkalla hapësinore dhe tensioni i aplikuar. Prandaj, fusha mund të përshkruhet nga intensiteti për njësi të tensionit ose gjatësisë. Shprehjet (2.97)-(2.98) përfaqësojnë pikërisht një tension të tillë relativ. Për të marrë tensionin aktual, është e nevojshme të merret parasysh tensioni aktual i aplikuar dhe distanca aktuale midis elektrodave. Kjo bëhet duke shumëzuar shprehjet (2.97)-(2.98) me faktorin e shkallës K m. Lëreni distancën midis elektrodave në aeroplan w barazohet u 2 -u 1 (v 2 -v 1), nëse funksionet u ose v, respektivisht. Pastaj faktori i shkallës merr formën:
K m= U/(u 2 -u 1) ose K m= U/(v 2 -v 1). (2.102)
Kondensator cilindrik. Megjithëse llogaritja e fushës elektrostatike të një kondensatori cilindrik është dhënë në §2.5, ne e konsiderojmë atë si një shembull të aplikimit të metodës së hartës konformale. Fusha e një kondensatori cilindrik (fusha e dy rrathëve koncentrikë) në një plan xy mund të hartohet në një fushë uniforme (fusha e një kondensatori me pllaka paralele) me transformimin e mëposhtëm:
z = e w; x + j×y = e u+jv = e u(Kos v+j×Mëkat v).
Le të ndajmë pjesët reale dhe imagjinare:
Vijë e drejtë në një plan të vërtetë z, duke kaluar përmes origjinës me një kënd të prirjes ndaj boshtit X të barabartë v=const bëhet një vijë e drejtë në rrafsh w, paralel me boshtin x.
Në u= konst në rrafsh w fitohet një sistem drejtëzash paralele me boshtin e ordinatave. Në sipërfaqe z ato korrespondojnë me një sistem rrathësh koncentrikë. Është e qartë se linjat me u= konst duhet të merret si linja potenciale, dhe v- përtej vijave të fushës. Ne do të llogarisim tensionin duke përdorur formulën (2.97):
Gjatësia e një segmenti të vogël që konvertohet kur transferohet nga një aeroplan z tek avioni w ndryshon në 1/ r herë ku r– distanca nga qendra e rrathëve. Sa më larg nga qendra, aq më i vogël është koeficienti i ndryshimit në gjatësitë e segmenteve. Segmenti i transferuar rrotullohet me kënd j = arctg(- y/x). Këndi midis rrezes që vjen nga origjina në mes të segmentit të konvertuar dhe boshtit X bëhet e barabartë me zero. Të gjitha rrezet e ndezura z- avionët kthehen në w- plane në një drejtëz paralele me boshtin u. Faktori i shkallës
Tensioni
(2.103)
Formula që rezulton (2.103) përkon, siç mund të pritej për shkak të teoremës së unike, me shprehjen (2.18) të marrë duke përdorur teoremën Ostrogradsky-Gauss.
Fusha brenda një këndi të drejtë të formuar nga dy rrafshe
Si një shembull tjetër i aplikimit të metodës së pasqyrimeve konformale, le të shqyrtojmë një fushë të formuar nga dy plane të pafundme që përçojnë reciprokisht pingul. Është e qartë se një sistem i tillë elektrodë ka simetri përkthimore me një hap përkthimi pafundësisht të vogël përgjatë rrafsheve dhe një plan simetrie që kalon në një kënd prej 45° ndaj secilit prej planeve. Një fushë e tillë reduktohet në një fushë dydimensionale dhe për të përcaktuar parametrat e saj mjafton të llogariten karakteristikat e fushës midis njërit prej rrafsheve dhe rrafshit të simetrisë. Për fushat dy-dimensionale, mund të aplikohet metoda e hartës konformale. Fusha në z– një rrafsh pingul me vijën e kryqëzimit të planeve të ngarkuara, i paraqitur në figurën 2.20a. Pas boshteve X Dhe në vijat e kryqëzimit të planeve të ngarkuara me z– banesë. Fusha brenda këndit të drejtë të formuar nga dy rrafshe shndërrohet në një fushë uniforme nga transformimi w = z 2. Le të tregojmë këtë:
w= u+jv = z 2 = (x+jy) 2 = x 2 + j 2xy – y 2 ; u = x 2 – y 2 ; v = + j 2xy.
Në u= vija konst paralele me boshtin v në sipërfaqe w, shndërrohen në një familje hiperbolash barabrinjës x 2 – y 2 = A 2 në aeroplan z. Boshti 0 Xështë boshti real (fokal) i hiperbolave, dhe boshti në boshti imagjinar i tij. Një vijë e drejtë që kalon përmes origjinës në një kënd prej 45° ndaj boshtit X (u = 0; y = x), paraqet vijën e kryqëzimit z– rrafsh me rrafsh simetrie dhe është asimptotë hiperbolash. Këndi i prerjes së hiperbolave me boshtin X e barabartë me 90°, d.m.th. linjat e funksionit u=X 2 -në 2 pingul me vijën ekuipotenciale X(sipërfaqja e avionit të ngarkuar X).
Funksione v = 2xy në vlera të ndryshme v të përshkruajë një familje tjetër hiperbolash barabrinjës, boshtet e të cilave X Dhe në janë asimptota, dhe vija në = Xështë boshti fokal. Figura 2.20a tregon hiperbolat me v= 4, 16, 36. Kur v= 0 hiperbola degjeneron në boshtin koordinativ X Dhe në, të cilat përkojnë me avionët e ngarkuar. Meqenëse sipërfaqja e planeve të ngarkuara është një sipërfaqe me të njëjtin potencial, është e qartë se është funksioni v duhet të merret si funksion potencial në aeroplan w. Në këtë rast funksioni u përfaqëson një funksion force. Fusha e dy rrafsheve të pafundme pingule reciproke (boshti X Dhe në në z– rrafsh) kthehet në një fushë uniforme të një rrafshi të pafund të ngarkuar (bosht v në w– aeroplanë).
Transformimi konformal, duke ruajtur formën e figurave infiniteminale, mund të ndryshojë ndjeshëm formën e figurave të fundme. Një shembull i një ndryshimi të tillë është transformimi i një katrori abcd me koordinata A(0,8;0,8), b(0,8;4), c(4;4), d(4; 0.8) më z- rrafsh në një katërkëndësh lakor a¢b¢c¢d¢ me koordinata a¢(0;1,28), b¢(-15,36;6,4), c¢(0;32), d¢(15.36;6.4) më w- avionë.
Le të përcaktojmë forcën relative të fushës elektrostatike të planeve të ngarkuara në figurën 2.20a. Nga dy formulat (2.97) dhe (2.98), do të përdorim (2.98) për të përcaktuar tensionin, pasi është funksioni v = 2xy përshkruan një sistem sipërfaqesh ekuipotenciale (vija). Faktori linear i konvertimit:
, (2.104)
Gjatësia e segmentit të vogël të konvertuar kur transferohet nga z- aeroplanë në w- aeroplani rritet me 2 r herë ku r=X 2 +në 2 – distanca në z- rrafshi nga origjina në qendër të segmentit. Segmenti i transferuar rrotullohet nga një kënd j = arctan( y/x). Ekziston një dyfishim i këndit midis rrezes që shkon nga origjina në mes të segmentit dhe boshtit X. Faktori i shkallës K m = U/(v 2 -v 1) = U/(2x 2 y 2 -2x 1 y 1). Forca e fushës përcaktohet duke shumëzuar forcën relative me faktorin e shkallës: E=E¢×K m. Le të jetë faktori i shkallës K m=100 v/m. Le të përcaktojmë forcën e fushës në dy pika në planin e ngarkuar: më afër këndit të kryqëzimit të planeve n 1(1;0) dhe larg tij n 2 (5;0).
V/m, ×v/m.
Sa më afër qoshes, aq më e ulët është forca e fushës. Ky rezultat mund të pritej nga fotografia e fushës në Fig. 2.20: distanca ndërmjet vijave të barazpotencialeve zvogëlohet me distancën nga këndi. Çdo depresion (gërvishtje, depresion, shpellë, çarje, etj.) në sipërfaqen e elektrodës mund të përshkruhet afërsisht nga problemi i konsideruar. Pastaj, duke marrë parasysh rezultatet e paragrafit të mëparshëm, mund të konkludojmë: afër majës ose zgjatjes, forca e fushës elektrike rritet, dhe pranë depresionit ose vrimës ajo dobësohet. Një pamje e ngjashme në Fig. 2.20a e sjelljes së linjave të forcës dhe ekuipotencialit vërehet pranë pikës së degëzimit të fushës nga dy ngarkesa me të njëjtin emër (§2.11).
Fusha në skajin e një kondensatori të sheshtë (profili Rogowski)
Le të vendosim origjinën e koordinatave në z- plane në mënyrë që boshti X ishte paralel me rrafshet e pllakave të kondensatorit dhe ishte në të njëjtën distancë prej tyre a. Boshti në pingul me pllakat dhe kalon nëpër skajet e tyre. Funksioni i hartës së fushës në skajin e një kondensatori të sheshtë në një fushë uniforme u mor nga Yu. K. Maxwell në 1881 në formën:
. (2.105)
Pas ndarjes së variablave marrim:
Në v I= 0, y = 0, 
. Në vII= p, y= a, 
.
Natyrisht, funksioni potencial duhet të zgjidhet si v.
, 
Duke pasur parasysh atë K m=U/(v II -v I) = U/fq
(2.106)
Në u < -5 в области от v I=0 deri në vII=p, fitohet një fushë pothuajse uniforme me një forcë U/a. Në u®0 tension në elektrodë ( v=v II = p)rritet fort dhe priret në pafundësi si u=0. Tensioni më i lartë në sistemet reale nuk zhduket:
. (2.107)
Në një trashësi të kufizuar të pllakës së kondensatorit v¹p dhe tensioni mbetet i kufizuar. Madhësia v duhet të zgjidhet në mënyrë që sipërfaqja ekuipotenciale të përkojë me sipërfaqen aktuale të pllakës së kondensatorit. Le v= 174° = 29p/30, pastaj raporti i tensionit në skajin e elektrodës me tensionin mesatar:
.
Mund të shihet se edhe në një skaj mjaft të hapur tensioni rritet ndjeshëm. Ky raport mund të bëhet afër unitetit nëse sipërfaqja e elektrodës është bërë në formën e një sipërfaqe ekuipotenciale me v£ p/2. Ky profil elektrodë quhet profili Rogowski (Fig. 2.21c). Në një distancë A= p (largësia ndërmjet pllakave është 2p) ka koordinatën v= p/2 dhe për të x = u+1; y= p/2+ e u, d.m.th. në= p/2+ e (X-1) (2.108)
Profili Rogowski ka një rëndësi të madhe praktike në eksperimentet mbi zbërthimin në një fushë afër uniformës për të eliminuar efektin e skajit. Ekziston një fushë uniforme në qendër të pajisjes me elektroda Rogowski.
Fusha e telave të ndarë.
Në linjat e tensionit të lartë, teli fazor ndahet në disa përçues për të reduktuar humbjet e fuqisë së transmetuar për shkak të shkarkimit të koronës. Për të përshkruar fushën e ndarë
telat mund të përdorni funksionin e ekranit, ku n –
numri i përçuesve individualë në të cilët ndahet teli fazor. Për të ilustruar metodën e hartave konformale, merrni parasysh ndarjen në dy tela ( n=2). (Vini re se ky rast mund të zgjidhet thjesht duke përdorur metodën e imazhit)
Lëreni aeroplanin z pingul me telat e ndarë. Le të zgjedhim një bosht X në z rrafsh në mënyrë që të kalojë nëpër boshtet e telave. Lëreni boshtin y kalon nga mesi i segmentit midis telave. Zgjidhja thjeshtohet shumë nëse gjejmë jofunksione x, y=f(u,v), dhe funksionet u,v = f(x,y). Duke ndarë pjesët reale dhe imagjinare, marrim:
, 
Linjat ekuipotenciale korrespondojnë me funksionin u. Për të funksionuar u ishte e barabartë me zero, logaritmi duhet të jetë i barabartë me zero, dhe shprehja në kllapa katrore duhet të jetë e barabartë me 1. Atëherë lidhja vlen:
(X 2 +në 2) 2 = 2A 2 (X 2 -në 2)
Ky funksion kalon përmes origjinës z- aeroplanë. Në u në rangun -1.28< u < 0 на z- rrafsh, vihen re zona rrethore djathtas dhe majtas të boshtit në. Në u-1,28 £ janë praktikisht pika me koordinata X = -A Dhe X = A. Në u> 0 zgjidhje janë kurba të mbyllura, të cilat, me rritje u duke iu afruar formës së rrathëve. Këto kthesa paraqesin vija potenciale të fushës së dy cilindrave me ngarkesa të së njëjtës shenjë, d.m.th. fushat e dy telave me të njëjtin potencial. Pikat në sipërfaqen e telave janë me interes më të madh R 2 dhe R 1, në të cilin respektivisht vërehen fuqitë më të larta dhe më të ulëta të fushës. Pika R 2 ndodhet në sipërfaqen e telit në pikën më të largët nga teli tjetër dhe ka koordinata:
, 
Duke marrë parasysh faktorin e shkallës për pikën p 2 marrim:
. (2.109)
Në s®0, sistemi i elektrodës kthehet në një sistem me dy cilindra koaksialë ( b=0, s=0) (shih (2.18)):
Zakonisht për një linjë elektrike p ³ 200.
Pyetje vetë-testimi
1. Jepni ekuacionet themelore të Laplasit në hapësirë, një fushë homogjene dhe paralele në plan.
2. Jepni formula për llogaritjen e potencialit dhe fuqisë së fushës së një ngarkese pikë. Përcaktoni kapacitetin e një topi të vetëm metalik.
3. Jepni formula për llogaritjen e potencialit dhe fuqisë së fushës së një teli të drejtë pafundësisht të hollë me gjatësi të pafundme.
4. Ku janë zonat me fuqi maksimale të fushës së kabllit koaksial. Gjeni diametrin optimal të bërthamës së brendshme për një madhësi të caktuar të guaskës së jashtme dhe ndryshimin e mundshëm midis tyre. Përcaktoni kapacitetin linear të kabllit koaksial.
5. Pse kabllot bëhen me izolim nga lloje të ndryshme dielektrike?
6. Shpjegoni dizajnin e hyrjes së kondensatorit dhe qëllimin e tij.
7. Çfarë është metoda e mbivendosjes dhe çfarë është kapaciteti i pjesshëm?
8. Çfarë është dipoli elektrik, cilat janë karakteristikat e fushës dipole? Për të shpjeguar çfarë dukurish përdoret koncepti i një dipoli?
9. Cilat janë ngjashmëritë dhe ndryshimet midis fushave të dy ngarkesave të ngjashme dhe të ndryshme?
10. Paraqitni grafikisht fushën e dy boshteve të pafundme me ngarkesë të kundërt. Jepni formula për llogaritjen e një sistemi të tillë dhe tregoni pikat me forcën maksimale të fushës.
11. Cila është metoda e reflektimit? Shpjegoni thelbin e metodës duke përdorur shembullin e llogaritjes së parametrave të fushës së një teli të vetëm mbi tokë.
12. Jepni një metodë për llogaritjen e parametrave të fushës së një ngarkese pika të vendosura pranë një topi metalik.
13. Përcaktoni forcën e fushës elektrike në sipërfaqen e një teli të vetëm të vendosur mbi tokë.
14. Si të përcaktohen parametrat e fushës së një linje trefazore?
15. Përcaktoni tensionin maksimal të hendekut të topit.
16. Jepni një metodë për gjetjen e parametrave të fushës të krijuar nga një përcjellës me gjatësi të kufizuar.
17. Jepni një metodë për gjetjen e parametrave të fushës të krijuar nga një ngarkesë unazore.
18. Jepni një metodë për gjetjen e parametrave të fushës të krijuar nga një disk i ngarkuar.
19. Si varen parametrat e fushës nga rrezja e lakimit të sipërfaqes së elektrodës? Pse duhet të lëmohen dhe tokohen sipërfaqet e elektrodave të tensionit të lartë?
20. Shpjegoni thelbin e metodës së hartës konformale dhe renditni sekuencën e llogaritjeve duke përdorur këtë metodë.
21. Çfarë është një profil Rogowski?
22. Si lind ngarkesa hapësinore dhe si i ndryshon karakteristikat e fushës elektrike?
23. Cila nga karakteristikat e fushës elektrike është analoge e energjisë?
24. Cila nga karakteristikat e fushës elektrike është analog i forcës?
25. Për çfarë qëllimi përçuesi i një faze ndahet në disa përcjellës paralelë në linjat e energjisë me tension nominal 330 kV e lart? Tregoni pikat me tension maksimal në telat e ndarë. Cilat janë distancat midis përçuesve të ndarë?
26. Ku është më e lartë forca e fushës elektrike pranë sipërfaqes së tokës: në një gropë (vrimë, luginë) apo në një lartësi (kodër, tumë)? Shpjegoni përgjigjen tuaj grafikisht dhe me llogaritje.
27. Si ndryshon forca e fushës elektrike në nivelin e tokës nën një linjë elektrike me një qark me tela fazore horizontale?
28. Jepni një algoritëm për llogaritjen e kapacitetit të tokës së një linje ajrore trefazore.
29. Për çfarë qëllimi instalohen ekranet unazore në pajisjet me tension të lartë?
30. Nxjerr formulat për llogaritjen e parametrave të një kondensatori cilindrik.
