Shembuj të pjesëtimit të numrave dhjetorë me një numër të plotë. Hartimi i një sistemi ekuacionesh

Mbledhja e numrave dhjetorë bëhet në të njëjtën mënyrë si mbledhja e numrave të plotë. Le ta shohim këtë me shembuj.

1) 0,132 + 2,354. Le të nënshkruajmë kushtet njëra nën tjetrën.

Këtu nga mbledhja e 2 mijëshave me 4 mijëshe u përftuan 6 mijëshe;
nga mbledhja e 3 qindësheve me 5 të qindtat, dolën 8 të qindtat;
nga mbledhja e 1 të dhjetës me 3 të dhjetat -4 të dhjetat dhe
nga shtimi i 0 numrave të plotë me 2 numra të plotë - 2 numra të plotë.

2) 5,065 + 7,83.

Nuk ka të mijta në mandatin e dytë, ndaj është e rëndësishme të mos bëni gabime kur nënshkruani termat nën njëri-tjetrin.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Këtu, kur mbledhim të mijëtat, marrim 21 mijëshe; shkruajmë 1 nën të mijtën dhe 2 i shtuam të qindtat, kështu që në vendin e qindtë morëm termat e mëposhtëm: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; në përmbledhje, ata japin 19 të qindtat, ne kemi nënshkruar 9 nën të qindtat, dhe 1 është llogaritur si e dhjeta, etj.

Kështu, kur mblidhen thyesat dhjetore, duhet vëzhguar porosia e radhës: shënoni thyesat njëra nën tjetrën në mënyrë që në të gjitha termat të njëjtat shifra të jenë njëra nën tjetrën dhe të gjitha presjet të jenë në të njëjtën kolonë vertikale; në të djathtë të numrave dhjetorë të disa termave, ata atribuojnë, të paktën mendërisht, një numër të tillë zerosh, në mënyrë që të gjithë termat pas presjes dhjetore të kenë të njëjtin numër shifra. Më pas, mbledhja kryhet me shifra, duke filluar nga ana e djathtë, dhe në sasinë që rezulton vendoset një presje në të njëjtën kolonë vertikale siç është në këto terma.

§ 108. Zbritja e thyesave dhjetore.

Zbritja e numrave dhjetorë bëhet në të njëjtën mënyrë si zbritja e numrave të plotë. Le ta tregojmë këtë me shembuj.

1) 9,87 - 7,32. Le të nënshkruajmë subtrahend nën minuend në mënyrë që njësitë e së njëjtës shifër të jenë njëra nën tjetrën:

2) 16.29 - 4.75. Le të nënshkruajmë subtrahend nën minuend, si në shembullin e parë:

Për të zbritur të dhjetat, duhej marrë një njësi e plotë nga 6 dhe ta ndante në të dhjetat.

3) 14.0213-5.350712. Le të nënshkruajmë subtrahend nën minuend:

Zbritja u krye si më poshtë: meqenëse nuk mund t'i zbresim 2 të miliontat nga 0, duhet t'i referohemi shifrës më të afërt në të majtë, d.m.th., në njëqind-mijëzat, por ka edhe zero në vend të njëqind-mijëshave, kështu që marrim 1. dhjetëmijëja nga 3 dhjetëmijëshe dhe e ndajmë në njëqindmijë, marrim 10 qindmijë, nga të cilat 9 qindmijë mbesin në kategorinë e njëqindmijëshe, dhe 1qindmijëja është e grimcuar në të milionat, marrim 10 milionta. Kështu, në tre të fundit shifrat që morëm: të miliontat 10, njëqind e njëmijëtat 9, të dhjetëmijëtat 2. Për qartësi dhe lehtësi më të madhe (për të mos harruar), këta numra shkruhen në krye të shifrave thyesore përkatëse të reduktuar. Tani mund të fillojmë të zbresim. Nga 10 milionta zbresim 2 milionta, marrim 8 milionta; zbresim 1 qindmijë nga 9 qindmijëshe, marrim 8 qindmijë etj.

Kështu, gjatë zbritjes së thyesave dhjetore, vërehet rendi i mëposhtëm: nënkryetari shënohet nën të reduktuar në mënyrë që të njëjtat shifra të jenë njëra nën tjetrën dhe të gjitha presjet të jenë në të njëjtën kolonë vertikale; në të djathtë, ata atribuojnë, të paktën mendërisht, në zero të reduktuara ose të zbritura në mënyrë që të kenë të njëjtin numër shifrash, pastaj zbresin me shifra, duke filluar nga ana e djathtë, dhe në ndryshimin që rezulton vendosin presje në kolona e njëjtë vertikale në të cilën ndodhet në reduktuar dhe zbritur.

§ 109. Shumëzimi i thyesave dhjetore.

Shqyrtoni disa shembuj të shumëzimit të thyesave dhjetore.

Për të gjetur prodhimin e këtyre numrave, mund të arsyetojmë si vijon: nëse faktori rritet me 10 herë, atëherë të dy faktorët do të jenë numra të plotë dhe më pas mund t'i shumëzojmë sipas rregullave për shumëzimin e numrave të plotë. Por ne e dimë se kur një nga faktorët rritet disa herë, produkti rritet me të njëjtën sasi. Kjo do të thotë se numri që rezulton nga shumëzimi i faktorëve të plotë, pra 28 me 23, është 10 herë më i madh se produkti i vërtetë, dhe për të marrë produktin e vërtetë, duhet të zvogëloni produktin e gjetur me 10 herë. Prandaj, këtu duhet të kryeni një shumëzim me 10 një herë dhe një pjesëtim me 10 një herë, por shumëzimi dhe pjesëtimi me 10 kryhet duke lëvizur presjen djathtas dhe majtas me një shenjë. Prandaj, duhet ta bëni këtë: në shumëzues, zhvendosni presjen në të djathtë me një shenjë, nga kjo do të jetë e barabartë me 23, atëherë duhet të shumëzoni numrat e plotë që rezultojnë:

Ky produkt është 10 herë më i madh se ai i vërtetë. Prandaj, duhet të zvogëlohet me 10 herë, për të cilën ne e zhvendosim presjen një karakter në të majtë. Kështu, ne marrim

28 2,3 = 64,4.

Për qëllime verifikimi, mund të shkruani një thyesë dhjetore me emërues dhe të kryeni një veprim sipas rregullit për shumëzimin e thyesave të zakonshme, d.m.th.

2) 12,27 0,021.

Dallimi midis këtij shembulli dhe atij të mëparshëm është se këtu të dy faktorët përfaqësohen me thyesa dhjetore. Por këtu, në procesin e shumëzimit, ne nuk do t'i kushtojmë vëmendje presjeve, domethënë do të rrisim përkohësisht shumëzuesin me 100 herë, dhe shumëzuesin me 1000 herë, gjë që do të rrisë produktin me 100,000 herë. Kështu, duke shumëzuar 1227 me 21, marrim:

1 227 21 = 25 767.

Duke marrë parasysh që produkti që rezulton është 100,000 herë më i madh se ai i vërtetë, tani duhet ta zvogëlojmë atë me 100,000 herë duke vendosur siç duhet një presje në të, atëherë marrim:

32,27 0,021 = 0,25767.

Le të kontrollojmë:

Kështu, për të shumëzuar dy thyesa dhjetore, mjafton, pa i kushtuar vëmendje presjeve, t'i shumëzojmë si numra të plotë dhe në prodhim të ndahen me presje në anën e djathtë aq numra dhjetore sa kishte në shumëzues dhe në faktori së bashku.

Në shembullin e fundit, rezultati është një produkt me pesë shifra dhjetore. Nëse nuk kërkohet një saktësi më e madhe, atëherë bëhet rrumbullakimi. thyesë dhjetore. Kur rrumbullakosni, duhet të përdorni të njëjtin rregull që u tregua për numrat e plotë.

§ 110. Shumëzimi duke përdorur tabela.

Shumëzimi i numrave dhjetorë ndonjëherë mund të bëhet duke përdorur tabela. Për këtë qëllim, për shembull, mund të përdorni ato tabela shumëzimi numra dyshifrorë, përshkrimi i të cilit është dhënë më herët.

1) Shumëzoni 53 me 1,5.

Ne do ta shumëzojmë 53 me 15. Në tabelë ky prodhim është i barabartë me 795. Ne gjetëm prodhimin e 53 me 15, por faktori ynë i dytë ishte 10 herë më i vogël, që do të thotë se produkti duhet të zvogëlohet për 10 herë, d.m.th.

53 1,5 = 79,5.

2) Shumëzoni 5.3 me 4.7.

Së pari, gjejmë në tabelë produktin 53 me 47, do të jetë 2491. Por meqenëse shumëzuesin dhe shumëzuesin e kemi rritur gjithsej 100 herë, atëherë prodhimi që rezulton është 100 herë më i madh se sa duhet; kështu që ne duhet ta zvogëlojmë këtë produkt me një faktor prej 100:

5,3 4,7 = 24,91.

3) Shumëzoni 0,53 me 7,4.

Së pari gjejmë në tabelë prodhimin e 53 me 74; kjo do të jetë 3922. Por meqënëse ne e kemi rritur shumëzuesin me 100 herë dhe shumëzuesin me 10 herë, prodhimi është rritur me 1000 herë; kështu që tani duhet ta zvogëlojmë atë me një faktor prej 1000:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Pjesëtimi i numrave dhjetorë.

Ne do të shikojmë ndarjen dhjetore në këtë rend:

1. Pjesëtimi dhjetor me numër i plotë,

1. Pjesëtimi i një thyese dhjetore me një numër të plotë.

1) Ndani 2.46 me 2.

Pjesëtuam me 2 numra të parë të plotë, pastaj me të dhjetat dhe në fund me të qindtat.

2) Ndani 32.46 me 3.

32,46: 3 = 10,82.

Ndamë 3 dhjetëshe me 3, pastaj filluam të ndajmë 2 njësi me 3; meqenëse numri i njësive të dividentit (2) më pak pjesëtues(3), atëherë më duhej të vendosja 0 në herës; më tej, pjesës së mbetur rrënuam 4 të dhjetat dhe ndamë 24 të dhjetat me 3; mori privatisht 8 të dhjetat dhe në fund ndau 6 të qindtat.

3) Ndani 1.2345 me 5.

1,2345: 5 = 0,2469.

Këtu, në herës në radhë të parë, dolën zero numra të plotë, pasi një numër i plotë nuk është i pjesëtueshëm me 5.

4) Ndani 13.58 me 4.

E veçanta e këtij shembulli është se kur kemi marrë 9 të qindtat në mënyrë private, atëherë është gjetur një mbetje e barabartë me 2 të qindtat, e kemi ndarë këtë mbetje në të mijta, kemi marrë 20 të qindtat dhe e kemi çuar pjesëtimin deri në fund.

Rregulli. Ndarja e një thyese dhjetore me një numër të plotë kryhet në të njëjtën mënyrë si ndarja e numrave të plotë, dhe mbetjet që rezultojnë shndërrohen në thyesa dhjetore, gjithnjë e më shumë të vogla; ndarja vazhdon derisa pjesa e mbetur të jetë zero.

2. Pjesëtimi i një thyese dhjetore me një thyesë dhjetore.

1) Ndani 2.46 me 0.2.

Ne tashmë dimë se si të ndajmë një thyesë dhjetore me një numër të plotë. Le të mendojmë nëse ky rast i ri i ndarjes mund të reduktohet edhe në atë të mëparshëm? Në një kohë, ne morëm parasysh vetinë e shquar të herësit, e cila konsiston në faktin se ai mbetet i pandryshuar ndërsa rrit ose zvogëlon dividentin dhe pjesëtuesin me të njëjtin numër herë. Ne do të kryenim lehtësisht pjesëtimin e numrave që na ofrohen nëse pjesëtuesi do të ishte një numër i plotë. Për ta bërë këtë, mjafton ta rrisni atë 10 herë, dhe për të marrë koeficientin e saktë, është e nevojshme të rritet dividenti me të njëjtin numër herë, domethënë 10 herë. Atëherë ndarja e këtyre numrave do të zëvendësohet me pjesëtimin e numrave të tillë:

dhe nuk ka nevojë për të bërë ndonjë ndryshim privatisht.

Le të bëjmë këtë ndarje:

Pra 2.46: 0.2 = 12.3.

2) Ndani 1.25 me 1.6.

Pjesëtuesin (1.6) e rrisim me 10 herë; në mënyrë që herësi të mos ndryshojë, e rrisim dividentin me 10 herë; 12 numra të plotë nuk janë të pjesëtueshëm me 16, kështu që ne shkruajmë në herësin 0 dhe pjesëtojmë 125 të dhjetat me 16, marrim 7 të dhjetat në herës dhe mbetja është 13. 13 të dhjetat i ndajmë në të qindtat duke caktuar zero dhe 130 të qindtat e ndajmë me 16, etj. Kushtojini vëmendje sa vijon:

a) kur nuk fitohen numra të plotë në herës, atëherë në vend të tyre shkruhen zero numra të plotë;

b) kur pas marrjes së shifrës së dividendit në mbetje, fitohet një numër që nuk pjesëtohet me pjesëtuesin, atëherë në herës shkruhet zero;

c) kur, pasi të jetë hequr shifra e fundit e dividentit, pjesëtimi nuk përfundon, atëherë, duke i caktuar zero mbetjeve, pjesëtimi vazhdon;

d) nëse dividenti është një numër i plotë, atëherë kur pjesëtohet me një thyesë dhjetore, rritja e tij kryhet duke i caktuar zero.

Kështu, për të ndarë një numër me një thyesë dhjetore, duhet të hidhni një presje në pjesëtues, dhe më pas të rrisni dividentin aq herë sa u rrit pjesëtuesi kur u hodh presja në të, dhe më pas të kryeni ndarjen sipas rregulli i pjesëtimit të thyesës dhjetore me një numër të plotë.

§ 112. Herësi i përafërt.

Në paragrafin e mëparshëm kemi marrë parasysh ndarjen e thyesave dhjetore dhe në të gjithë shembujt që kemi zgjidhur, pjesëtimi është sjellë deri në fund, d.m.th., është marrë një herës i saktë. Megjithatë, në shumicën e rasteve herësi i saktë nuk mund të merret, pavarësisht se sa larg e zgjasim pjesëtimin. Këtu është një rast i tillë: Pjestoni 53 me 101.

Ne kemi marrë tashmë pesë shifra në koeficientin, por ndarja nuk ka përfunduar ende dhe nuk ka shpresë se do të përfundojë ndonjëherë, pasi numrat që kemi takuar më parë fillojnë të shfaqen në pjesën e mbetur. Numrat do të përsëriten edhe në herës: padyshim, pas numrit 7, do të shfaqet numri 5, pastaj 2, e kështu me radhë pa fund. Në raste të tilla, ndarja ndërpritet dhe kufizohet në shifrat e para të herësit. Ky privat quhet të përafërta. Si të kryhet ndarja në këtë rast, do ta tregojmë me shembuj.

Le të kërkohet pjesëtimi i 25 me 3. Është e qartë se herësi i saktë, i shprehur si një numër i plotë ose thyesë dhjetore, nuk mund të merret nga një pjesëtim i tillë. Prandaj, ne do të kërkojmë një koeficient të përafërt:

25: 3 = 8 dhe mbetja 1

Koeficienti i përafërt është 8; është, natyrisht, më pak se herësi i saktë, sepse ka një mbetje prej 1. Për të marrë herësin e saktë, duhet t'i shtosh herësit të përafërt të gjetur, pra në 8, thyesën që rezulton nga pjesëtimi i pjesës së mbetur. , e barabartë me 1, me 3; do të jetë një thyesë 1/3. Kjo do të thotë se herësi i saktë do të shprehet si një numër i përzier 8 1 / 3 . Meqenëse 1/3 është thyesa e duhur, pra thyesa, më pak se një, atëherë, duke e hedhur poshtë, supozojmë gabim, e cila më pak se një . Privat 8 do herësi i përafërt deri në një me një pengesë. Nëse marrim 9 në vend të 8, atëherë lejojmë gjithashtu një gabim që është më pak se një, pasi nuk do të shtojmë një njësi të tërë, por 2/3. Një testament i tillë privat herësi i përafërt deri në një me tepricë.

Le të marrim një shembull tjetër tani. Le të kërkohet pjesëtimi i 27 me 8. Meqenëse këtu nuk do të marrim një herës të saktë të shprehur si numër i plotë, do të kërkojmë një herës të përafërt:

27: 8 = 3 dhe pjesa e mbetur 3.

Këtu gabimi është 3/8, është më i vogël se një, që do të thotë se herësi i përafërt (3) gjendet deri në një me një pengesë. Vazhdojmë ndarjen: pjesën e mbetur prej 3 e ndajmë në të dhjeta, marrim 30 të dhjetat; Le t'i ndajmë me 8.

Ne u futëm në privat në vend të dhjetat 3 dhe në pjesën e mbetur b të dhjetat. Nëse kufizohemi në numrin 3.3 në veçanti dhe hedhim pjesën e mbetur 6, atëherë do të lejojmë një gabim më pak se një të dhjetën. Pse? Sepse herësi i saktë do të fitohej kur t'i shtonim 3.3 rezultatin e pjesëtimit të 6 të dhjetave me 8; nga kjo ndarje do të ishte 6/80, që është më pak se një e dhjeta. (Kontrollo!) Kështu, nëse kufizohemi në të dhjetat në herës, atëherë mund të themi se kemi gjetur herësin saktë në një të dhjetën(me disavantazh).

Vazhdojmë ndarjen për të gjetur edhe një numër dhjetor. Për ta bërë këtë, ne ndajmë 6 të dhjetat në të qindtat dhe marrim 60 të qindtat; Le t'i ndajmë me 8.

Në privat në vendin e tretë rezultuan 7 dhe në pjesën e mbetur 4 të qindtat; nëse i hedhim, atëherë lejojmë një gabim më të vogël se një e qindta, sepse 4 të qindtat e pjesëtuara me 8 janë më pak se një e qindta. Në raste të tilla, herësi thuhet se gjendet. saktë në një të qindtën(me disavantazh).

Në shembullin që po shqyrtojmë tani, mund të merrni herësin e saktë, të shprehur si thyesë dhjetore. Për ta bërë këtë, mjafton të ndajmë pjesën e fundit, 4 të qindtat, në të mijtë dhe të ndajmë me 8.

Megjithatë, në shumicën dërrmuese të rasteve, është e pamundur të merret një koeficient i saktë dhe duhet të kufizohet në vlerat e tij të përafërta. Tani do të shqyrtojmë një shembull të tillë:

40: 7 = 5,71428571...

Pikat në fund të numrit tregojnë se ndarja nuk është përfunduar, domethënë barazia është e përafërt. Zakonisht barazia e përafërt shkruhet kështu:

40: 7 = 5,71428571.

Kemi marrë herësin me tetë shifra dhjetore. Por nëse nuk kërkohet një saktësi kaq e madhe, njeriu mund të kufizohet në të gjithë pjesën e herësit, d.m.th., në numrin 5 (më saktë, 6); për saktësi më të madhe, mund të merren parasysh të dhjetat dhe herësi të jetë i barabartë me 5,7; nëse për ndonjë arsye kjo saktësi është e pamjaftueshme, atëherë mund të ndalemi në të qindtat dhe të marrim 5,71, etj. Le të shkruajmë koeficientët individualë dhe t'i emërtojmë.

Koeficienti i parë i përafërt deri në një 6.

E dyta » » » deri në një të dhjetën 5.7.

E treta » » » deri në një të qindtën 5.71.

E katërta » » » deri në një të mijtën e 5.714.

Kështu, për të gjetur një herës të përafërt me një saktësi prej disa, për shembull, shifra e 3-të dhjetore (d.m.th., deri në një të mijëtën), ndarja ndalet sapo të gjendet kjo shenjë. Në këtë rast, duhet mbajtur mend rregulli i përcaktuar në § 40.

§ 113. Problemet më të thjeshta për interes.

Pas studimit të thyesave dhjetore, do të zgjidhim edhe disa problema me përqindje.

Këto probleme janë të ngjashme me ato që zgjidhëm në departamentin e thyesave të zakonshme; por tani do t'i shkruajmë të qindtat në formën e thyesave dhjetore, domethënë pa një emërues të caktuar në mënyrë eksplicite.

Para së gjithash, duhet të jeni në gjendje të kaloni lehtësisht nga një fraksion i zakonshëm në një thyesë dhjetore me emërues 100. Për ta bërë këtë, duhet të ndani numëruesin me emëruesin:

Tabela më poshtë tregon se si një numër me simbol % (përqindje) zëvendësohet me një dhjetor me emërues 100:

Le të shqyrtojmë tani disa probleme.

1. Gjetja e përqindjeve të një numri të dhënë.

Detyra 1. Vetëm 1600 njerëz jetojnë në një fshat. Numri i fëmijëve të moshës shkollore është 25% e numri total banorët. Sa fëmijë të moshës shkollore janë në këtë fshat?

Në këtë problem, ju duhet të gjeni 25%, ose 0.25, nga 1600. Problemi zgjidhet duke shumëzuar:

1600 0,25 = 400 (fëmijë).

Prandaj, 25% e 1600 është 400.

Për një kuptim të qartë të kësaj detyre, është e dobishme të kujtojmë se për çdo njëqind të popullsisë ka 25 fëmijë të moshës shkollore. Prandaj, për të gjetur numrin e të gjithë fëmijëve të moshës shkollore, së pari mund të zbuloni se sa qindra janë në numrin 1600 (16), dhe më pas të shumëzoni 25 me numrin e qindra (25 x 16 = 400). Në këtë mënyrë ju mund të kontrolloni vlefshmërinë e zgjidhjes.

Detyra 2. Bankat e kursimeve u japin depozituesve 2% të të ardhurave në vit. Sa të ardhura në vit do të marrë një depozitues që ka depozituar: a) 200 rubla? b) 500 rubla? c) 750 rubla? d) 1000 rubla?

Në të katër rastet, për të zgjidhur problemin, do të jetë e nevojshme të llogaritet 0.02 nga shumat e treguara, d.m.th., secili prej këtyre numrave do të duhet të shumëzohet me 0.02. Le ta bejme:

a) 200 0,02 = 4 (rubla),

b) 500 0,02 = 10 (rubla),

c) 750 0,02 = 15 (rubla),

d) 1000 0,02 = 20 (rubla).

Secili prej këtyre rasteve mund të verifikohet nga konsideratat e mëposhtme. Bankat e kursimeve u japin depozituesve 2% të të ardhurave, pra 0.02 të shumës së vendosur në kursime. Nëse shuma do të ishte 100 rubla, atëherë 0.02 prej saj do të ishte 2 rubla. Kjo do të thotë që çdo njëqind i sjell depozituesit 2 rubla. të ardhura. Prandaj, në secilin prej rasteve të shqyrtuara, mjafton të kuptosh sa qindra janë në një numër të caktuar dhe të shumëzosh 2 rubla me këtë numër qindra. Në shembullin a) qindra 2, pra

2 2 \u003d 4 (rubla).

Në shembullin d) qindra janë 10, që do të thotë

2 10 \u003d 20 (rubla).

2. Gjetja e një numri sipas përqindjes së tij.

Detyra 1. Në pranverë në shkollë u diplomuan 54 nxënës, që përbën 6% të numrit të përgjithshëm të nxënësve. Sa nxënës ishin në shkollë në të kaluarën vit akademik?

Le të sqarojmë së pari kuptimin e këtij problemi. Në shkollë kanë diplomuar 54 nxënës, që është 6% e numrit të përgjithshëm të nxënësve, ose thënë ndryshe, 6 të qindtat (0,06) të të gjithë nxënësve në shkollë. Kjo do të thotë se ne e dimë pjesën e nxënësve të shprehur me numrin (54) dhe thyesën (0.06), dhe nga kjo thyesë duhet të gjejmë numrin e plotë. Kështu, para nesh është një problem i zakonshëm i gjetjes së një numri nga thyesa e tij (§ 90 f. 6). Problemet e këtij lloji zgjidhen me ndarje:

Kjo do të thotë se në shkollë kishte 900 nxënës.

Është e dobishme të kontrolloni probleme të tilla duke zgjidhur problemin e anasjelltë, d.m.th., pasi të keni zgjidhur problemin, të paktën në mendjen tuaj, duhet të zgjidhni problemin e llojit të parë (gjetja e përqindjes së një numri të caktuar): merrni numrin e gjetur ( 900) siç është dhënë dhe gjeni përqindjen e treguar në problemin e zgjidhur prej tij, përkatësisht:

900 0,06 = 54.

Detyra 2. Familja shpenzon 780 rubla për ushqim gjatë muajit, që është 65% e të ardhurave mujore të babait. Përcaktoni të ardhurat e tij mujore.

Kjo detyrë ka të njëjtin kuptim si ajo e mëparshme. Ai jep një pjesë të të ardhurave mujore, të shprehura në rubla (780 rubla), dhe tregon se kjo pjesë është 65%, ose 0,65, e të ardhurave totale. Dhe e dëshiruara janë të gjitha fitimet:

780: 0,65 = 1 200.

Prandaj, fitimi i dëshiruar është 1200 rubla.

3. Gjetja e përqindjes së numrave.

Detyra 1. Biblioteka e shkollës ka gjithsej 6000 libra. Midis tyre janë 1200 libra për matematikën. Sa përqind e librave të matematikës përbëjnë numrin e përgjithshëm të librave në bibliotekë?

Ne kemi shqyrtuar tashmë (§97) këtë lloj problemi dhe kemi arritur në përfundimin se për të llogaritur përqindjen e dy numrave, duhet të gjeni raportin e këtyre numrave dhe ta shumëzoni atë me 100.

Në detyrën tonë, duhet të gjejmë përqindjen e numrave 1200 dhe 6000.

Së pari gjejmë raportin e tyre dhe më pas e shumëzojmë me 100:

Kështu, përqindja e numrave 1200 dhe 6000 është 20. Me fjalë të tjera, librat e matematikës përbëjnë 20% të numrit të përgjithshëm të të gjithë librave.

Për të kontrolluar, zgjidhim problemin e anasjelltë: gjejmë 20% të 6000:

6 000 0,2 = 1 200.

Detyra 2. Kombinati duhet të marrë 200 tonë qymyr. Tashmë janë dorëzuar 80 ton Sa përqind e qymyrit i është dorëzuar uzinës?

Ky problem pyet se sa përqind është një numër (80) i një tjetri (200). Raporti i këtyre numrave do të jetë 80/200. Le ta shumëzojmë me 100:

Kjo do të thotë se 40% e qymyrit është dorëzuar.

Në këtë artikull, ne do të analizojmë një veprim kaq të rëndësishëm me thyesat dhjetore si ndarja. Së pari ne formulojmë parimet e përgjithshme, atëherë do të analizojmë se si të ndajmë saktë thyesat dhjetore me një kolonë si në thyesa të tjera ashtu edhe në numra natyrorë. Më pas do të analizojmë ndarjen e thyesave të zakonshme në dhjetore dhe anasjelltas, dhe në fund do të shohim se si të ndajmë si duhet thyesat që mbarojnë me 0, 1, 0, 01, 100, 10, etj.

Këtu marrim vetëm raste me thyesa pozitive. Nëse ka një minus para fraksionit, atëherë për të vepruar me të, duhet të studioni materialin për ndarjen e numrave racional dhe real.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Të gjitha thyesat dhjetore, të fundme dhe periodike, janë vetëm një formë e veçantë e shkrimit të thyesave të zakonshme. Prandaj, për ta zbatohen të njëjtat parime si për fraksionet e tyre të zakonshme përkatëse. Kështu, ne e zvogëlojmë të gjithë procesin e pjesëtimit të thyesave dhjetore në zëvendësimin e tyre me ato të zakonshme, e ndjekur nga llogaritja me metoda tashmë të njohura për ne. Le të marrim një shembull specifik.

Shembulli 1

Ndani 1.2 me 0.48.

Vendimi

Thyesat dhjetore i shkruajmë në formën e thyesave të zakonshme. Ne do të jemi në gjendje të:

1 , 2 = 12 10 = 6 5

0 , 48 = 48 100 = 12 25 .

Kështu, ne duhet të ndajmë 6 5 me 12 25 . Ne besojmë:

1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2

Nga ajo që rezulton thyesë e papërshtatshme ju mund të zgjidhni të gjithë pjesën dhe të merrni numër i përzier 2 1 2, ose mund ta përfaqësoni atë si një thyesë dhjetore në mënyrë që të përputhet me numrat origjinal: 5 2 \u003d 2, 5. Si ta bëjmë këtë, ne kemi shkruar tashmë më herët.

Përgjigje: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .

Shembulli 2

Llogaritni sa do të jetë 0 , (504) 0 , 56 .

Vendimi

Së pari, ne duhet të konvertojmë një thyesë dhjetore periodike në një të zakonshme.

0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111

Pas kësaj, ne gjithashtu do ta përkthejmë thyesën dhjetore përfundimtare në një formë tjetër: 0, 56 = 56 100. Tani kemi dy numra me të cilët do të jetë e lehtë për ne të kryejmë llogaritjet e nevojshme:

0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111

Kemi një rezultat që mund ta kthejmë edhe në dhjetor. Për ta bërë këtë, ndani numëruesin me emëruesin duke përdorur metodën e kolonës:

Përgjigje: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .

Nëse, në shembullin e pjesëtimit, kemi takuar thyesa dhjetore jo periodike, atëherë do të veprojmë pak më ndryshe. Ne nuk mund t'i sjellim ato në thyesat e zakonshme të zakonshme, kështu që gjatë pjesëtimit, fillimisht duhet t'i rrumbullakojmë deri në një shifër të caktuar. Ky veprim duhet të kryhet si me dividendin ashtu edhe me pjesëtuesin: do të rrumbullakosim edhe thyesën e fundme ose periodike ekzistuese në interes të saktësisë.

Shembulli 3

Gjeni sa do të jetë 0, 779 ... / 1, 5602.

Vendimi

Para së gjithash, i rrumbullakojmë të dy thyesat në të qindtat. Kështu kalojmë nga thyesat e pafundme jo të përsëritura në dhjetore të fundme:

0 , 779 … ≈ 0 , 78

1 , 5602 ≈ 1 , 56

Mund të vazhdojmë llogaritjet dhe të marrim një rezultat të përafërt: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78100: 156100 = 78100 100156 = 78156 = 12 = 0.5.

Saktësia e rezultatit do të varet nga shkalla e rrumbullakimit.

Përgjigje: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .

Si të pjesëtohet një numër natyror me një dhjetor dhe anasjelltas

Qasja ndaj ndarjes në këtë rast është pothuajse e njëjtë: ne zëvendësojmë thyesat e fundme dhe periodike me ato të zakonshme dhe rrumbullakojmë ato të pafundme jo periodike. Le të fillojmë me shembullin e pjesëtimit me një numër natyror dhe një thyesë dhjetore.

Shembulli 4

Ndani 2.5 me 45.

Vendimi

Le të sjellim 2, 5 në formën e një fraksioni të zakonshëm: 255 10 \u003d 51 2. Tjetra, ne vetëm duhet ta ndajmë atë në numri natyror. Ne tashmë e dimë se si ta bëjmë këtë:

25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30

Nëse e përkthejmë rezultatin në shënim dhjetor, atëherë marrim 0 , 5 (6) .

Përgjigje: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .

Metoda e pjesëtimit me një kolonë është e mirë jo vetëm për numrat natyrorë. Për analogji, ne mund ta përdorim atë edhe për thyesat. Më poshtë do të tregojmë sekuencën e veprimeve që duhet të kryhen për këtë.

Përkufizimi 1

Për të ndarë një kolonë të thyesave dhjetore me numra natyrorë, duhet:

1. Shtoni disa zero në thyesën dhjetore në të djathtë (për pjesëtim, mund të shtojmë çdo numër prej tyre që na nevojitet).

2. Pjesëtoni një thyesë dhjetore me një numër natyror duke përdorur një algoritëm. Kur ndarja e pjesës së plotë të thyesës përfundon, vendosim presje në herësin që rezulton dhe numërojmë më tej.

Rezultati i një ndarjeje të tillë mund të jetë ose një thyesë dhjetore periodike e fundme ose e pafundme. Varet nga mbetja: nëse është zero, atëherë rezultati do të jetë i fundëm, dhe nëse mbetjet fillojnë të përsëriten, atëherë përgjigja do të jetë një fraksion periodik.

Le të marrim disa detyra si shembull dhe të përpiqemi t'i plotësojmë këto hapa me numra specifikë.

Shembulli 5

Llogaritni sa do të jetë 65 , 14 4 .

Vendimi

Ne përdorim metodën e kolonës. Për ta bërë këtë, shtoni dy zero në fraksion dhe merrni thyesën dhjetore 65, 1400, e cila do të jetë e barabartë me origjinalin. Tani shkruajmë një kolonë për pjestim me 4:

Numri që rezulton do të jetë rezultat i pjesëtimit të pjesës së plotë që na nevojitet. Vendosim një presje, duke e ndarë atë dhe vazhdojmë:

Kemi arritur në mbetjen zero, prandaj procesi i ndarjes ka përfunduar.

Përgjigje: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .

Shembulli 6

Ndani 164.5 me 27.

Vendimi

Së pari ndajmë pjesën thyesore dhe marrim:

Ne e ndajmë figurën që rezulton me një presje dhe vazhdojmë të ndajmë:

Ne shohim që mbetjet filluan të përsëriten periodikisht, dhe numrat nëntë, dy dhe pesë filluan të alternohen në herës. Do të ndalemi këtu dhe do ta shkruajmë përgjigjen si thyesë periodike 6, 0 (925) .

Përgjigje: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .

Një ndarje e tillë mund të reduktohet në procesin e gjetjes së një thyese dhjetore private dhe një numri natyror të përshkruar tashmë më lart. Për ta bërë këtë, duhet të shumëzojmë dividentin dhe pjesëtuesin me 10, 100, etj., në mënyrë që pjesëtuesi të kthehet në një numër natyror. Pastaj kryejmë sekuencën e mësipërme të veprimeve. Kjo qasje është e mundur për shkak të vetive të pjesëtimit dhe shumëzimit. Në formë të mirëfilltë, ne i shkruam ato si kjo:

a: b = (a 10) : (b 10) , a: b = (a 100) : (b 100) e kështu me radhë.

Le të formulojmë rregullin:

Përkufizimi 2

Për të ndarë një thyesë dhjetore përfundimtare me një tjetër, duhet:

1. Zhvendosni presjen në dividend dhe pjesëtues në të djathtë me numrin e karaktereve që është e nevojshme për ta kthyer pjesëtuesin në një numër natyror. Nëse nuk ka shenja të mjaftueshme në divident, ne i shtojmë zero në anën e djathtë.

2. Pas kësaj, ne e ndajmë thyesën me një kolonë me numrin natyror që rezulton.

Le të hedhim një vështrim në një problem specifik.

Shembulli 7

Ndani 7, 287 me 2, 1.

Zgjidhja: Për ta bërë pjesëtuesin numër natyror, duhet ta zhvendosim presjen një karakter djathtas. Kështu kaluam në pjesëtimin e thyesës dhjetore 72, 87 me 21. Le t'i shkruajmë në një kolonë numrat e fituar dhe të llogarisim

Përgjigje: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47

Shembulli 8

Llogarit 16 , 3 0 , 021 .

Vendimi

Do të duhet të zhvendosim presjen në tre shifra. Nuk ka numra të mjaftueshëm në pjesëtues për këtë, kështu që ju duhet të përdorni zero shtesë. Ne mendojmë se rezultati përfundimtar do të jetë:

Shohim përsëritjen periodike të mbetjeve 4 , 19 , 1 , 10 , 16 , 13 . Herësi përsërit 1 , 9 , 0 , 4 , 7 dhe 5 . Atëherë rezultati ynë është dhjetori periodik 776 , (190476) .

Përgjigje: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476) ​​​​​​

Metoda e përshkruar nga ne ju lejon të bëni të kundërtën, domethënë të ndani një numër natyror me një fraksion dhjetor përfundimtar. Le të shohim se si është bërë.

Shembulli 9

Llogaritni sa do të jenë 3 5, 4.

Vendimi

Natyrisht, ne do të duhet të lëvizim presjen në të djathtë me një karakter. Pas kësaj mund të fillojmë të pjesëtojmë 30, 0 me 54. Le të shkruajmë të dhënat në një kolonë dhe të llogarisim rezultatin:

Përsëritja e pjesës së mbetur na jep numrin 0 , (5) , i cili është një dhjetor periodik.

Përgjigje: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .

Si të pjesëtohen numrat dhjetorë me 1000, 100, 10, etj.

Sipas rregullave të studiuara tashmë për pjesëtimin e thyesave të zakonshme, pjesëtimi i një thyese në dhjetëra, qindra, mijëra është i ngjashëm me shumëzimin e tij me 1/1000, 1/100, 1/10, etj. Rezulton se për të kryer pjesëtimin , në këtë rast, mjafton vetëm të zhvendoset presja në sasinë e duhur shifra. Nëse nuk ka vlera të mjaftueshme në numrin për të transferuar, duhet të shtoni numrin e kërkuar të zerave.

Shembulli 10

Pra, 56, 21: 10 = 5, 621 dhe 0, 32: 100,000 = 0, 0000032.

Në rastin e dhjetoreve të pafundme, ne bëjmë të njëjtën gjë.

Shembulli 11

Për shembull, 3 , (56) : 1000 = 0 , 003 (56) dhe 593 , 374 ... : 100 = 5 , 93374 ... .

Si të ndani numrat dhjetorë me 0,001, 0,01, 0,1, etj.

Duke përdorur të njëjtin rregull, ne gjithashtu mund të ndajmë fraksionet me vlerat e specifikuara. Ky veprim do të jetë i ngjashëm me shumëzimin me 1000, 100, 10 përkatësisht. Për ta bërë këtë, ne e zhvendosim presjen në një, dy ose tre shifra, në varësi të kushteve të problemit dhe shtojmë zero nëse nuk ka shifra të mjaftueshme në numër.

Shembulli 12

Për shembull, 5, 739: 0, 1 = 57, 39 dhe 0, 21: 0, 00001 = 21,000.

Ky rregull vlen edhe për dhjetoret e pafundme. Ne ju këshillojmë vetëm të keni kujdes me periodën e thyesës që përftohet në përgjigje.

Pra, 7 , 5 (716) : 0 , 01 = 757 , (167) , sepse pasi kemi zhvendosur presjen në shënimin dhjetor 7 , 5716716716 ... dy shifra në të djathtë, kemi marrë 757 , 167167 ... .

Nëse në shembull kemi thyesa jo periodike, atëherë gjithçka është më e thjeshtë: 394 , 38283 ... : 0 , 001 = 394382 , 83 ... .

Si të pjesëtohet një numër i përzier ose një thyesë e zakonshme me një dhjetore dhe anasjelltas

Ne gjithashtu e reduktojmë këtë veprim në veprimet me thyesa të zakonshme. Për ta bërë këtë, ju duhet të zëvendësoni numra dhjetorë thyesat e zakonshme përkatëse dhe shkruaje numrin e përzier si thyesë jo të duhur.

Nëse pjesëtojmë një thyesë jo periodike me një numër të zakonshëm ose të përzier, duhet të bëjmë të kundërtën, duke zëvendësuar thyesë e zakonshme ose një numër të përzier me thyesën e tyre dhjetore përkatëse.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Gjeni shifrën e parë të herësit (rezultati i pjesëtimit). Për ta bërë këtë, ndani shifrën e parë të dividentit me pjesëtuesin. Shkruani rezultatin nën pjesëtuesin.

• Në shembullin tonë, shifra e parë e dividentit është 3. Pjestoni 3 me 12. Meqenëse 3 është më pak se 12, atëherë rezultati i pjesëtimit do të jetë 0. Shkruani 0 nën pjesëtuesin - kjo është shifra e parë e herësit.

Shqyrtoni shembuj të ndarjes së numrave dhjetorë në këtë dritë.

Shembull.

Pjestoni dhjetorin 1.2 me dhjetorin 0.48.

Vendimi.

Përgjigje:

1,2:0,48=2,5 .

Shembull.

Pjesëtojmë dhjetorin periodik 0.(504) me dhjetorin 0.56 .

Vendimi.

Le ta përkthejmë thyesën dhjetore periodike në një të zakonshme:. Ne gjithashtu përkthejmë fraksionin përfundimtar dhjetor 0.56 në një të zakonshëm, kemi 0.56 \u003d 56/100. Tani mund të kalojmë nga pjesëtimi i numrave dhjetorë origjinalë në pjesëtimin e thyesave të zakonshme dhe të përfundojmë llogaritjet: .

Le ta përkthejmë thyesën e zakonshme që rezulton në një thyesë dhjetore duke e ndarë numëruesin me emëruesin në një kolonë:

Përgjigje:

0,(504):0,56=0,(900) .

Parimi i pjesëtimit të thyesave dhjetore joperiodike të pafundme ndryshon nga parimi i pjesëtimit të thyesave dhjetore të fundme dhe periodike, pasi thyesat dhjetore që nuk përsëriten nuk mund të shndërrohen në thyesa të zakonshme. Pjesëtimi i thyesave dhjetore të pafundme jo periodike reduktohet në pjesëtimin e thyesave dhjetore të fundme, për të cilat kryhet. rrumbullakimi i numrave deri në një nivel të caktuar. Për më tepër, nëse një nga numrat me të cilët kryhet pjesëtimi është një thyesë dhjetore përfundimtare ose periodike, atëherë ai gjithashtu rrumbullakoset në të njëjtën shifër si thyesa dhjetore jo periodike.

Shembull.

Pjestojeni dhjetorin e pafundëm jo-përsëritës 0,779... me dhjetorin përfundimtar 1,5602.

Vendimi.

Së pari, ju duhet të rrumbullakosni thyesat dhjetore në mënyrë që të kaloni nga pjesëtimi i një thyese dhjetore të pafundme që nuk përsëritet në pjesëtimin e thyesave dhjetore të fundme. Mund të rrumbullakosim në të qindtat: 0,779…≈0,78 dhe 1,5602≈1,56. Kështu, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100 100/156= 78/156=1/2=0,5 .

Përgjigje:

0,779…:1,5602≈0,5 .

Pjesëtimi i një numri natyror me një thyesë dhjetore dhe anasjelltas

Thelbi i qasjes ndaj pjesëtimit të një numri natyror me një thyesë dhjetore dhe pjesëtimit të një thyese dhjetore me një numër natyror nuk është i ndryshëm nga thelbi i pjesëtimit të thyesave dhjetore. Kjo do të thotë, thyesat e fundme dhe periodike zëvendësohen nga thyesat e zakonshme, dhe thyesat e pafundme jo periodike janë të rrumbullakosura.

Për ta ilustruar, merrni parasysh shembullin e pjesëtimit të një thyese dhjetore me një numër natyror.

Shembull.

Pjesëtoj thyesën dhjetore 25,5 me numrin natyror 45.

Vendimi.

Duke e zëvendësuar thyesën dhjetore 25,5 me një thyesë të zakonshme 255/10=51/2, pjesëtimi reduktohet në pjesëtimin e një thyese të zakonshme me një numër natyror: . Pjesa që rezulton në shënimin dhjetor është 0.5 (6) .

Përgjigje:

25,5:45=0,5(6) .

Pjesëtimi i një thyese dhjetore me një numër natyror me një kolonë

Ndarja e thyesave dhjetore përfundimtare me numra natyrorë kryhet në mënyrë të përshtatshme nga një kolonë me analogji me ndarjen me një kolonë të numrave natyrorë. Këtu është rregulli i ndarjes.

për të pjesëtoni një dhjetor me një numër natyror me një kolonë, e nevojshme:

• shtoni disa shifra djathtas në thyesën dhjetore të pjestueshme 0, (gjatë pjesëtimit, nëse është e nevojshme, mund të shtoni çdo numër zerosh, por këto zero mund të mos jenë të nevojshme);
• kryeni pjesëtimin me një kolonë të një thyese dhjetore me një numër natyror sipas të gjitha rregullave për pjesëtimin me një kolonë të numrave natyrorë, por kur të përfundojë ndarja e pjesës së plotë të thyesës dhjetore, atëherë në atë private duhet të vendosni presje dhe vazhdoni ndarjen.

Le të themi menjëherë se si rezultat i pjesëtimit të një thyese dhjetore të fundme me një numër natyror, mund të merret ose një thyesë dhjetore përfundimtare ose një thyesë dhjetore periodike e pafundme. Në të vërtetë, pas pjesëtimit të të gjitha numrave dhjetorë të thyesës së pjestueshme përveç 0-së, mund të marrim ose një mbetje 0, dhe do të marrim një thyesë dhjetore përfundimtare, ose pjesa e mbetur do të fillojë të përsëritet periodikisht, dhe do të marrim një dhjetore periodike. fraksioni.

Le të merremi me të gjitha ndërlikimet e ndarjes së thyesave dhjetore në numra natyrorë me një kolonë kur zgjidhim shembuj.

Shembull.

Pjesëtojmë dhjetorin 65,14 me 4 .

Vendimi.

Le të bëjmë pjesëtimin e një thyese dhjetore me një numër natyror me një kolonë. Le të shtojmë një palë zero djathtas në rekordin e thyesës 65,14, ndërsa marrim thyesën dhjetore të barabartë me të 65,1400 (shih thyesat dhjetore të barabarta dhe të pabarabarta). Tani mund të filloni të ndani pjesën e plotë të thyesës dhjetore 65.1400 me një numër natyror 4 me një kolonë:

Kjo plotëson ndarjen e pjesës së plotë të thyesës dhjetore. Këtu në mënyrë private duhet të vendosni një pikë dhjetore dhe të vazhdoni ndarjen:

Kemi ardhur në një mbetje prej 0, në këtë fazë ndarja me një kolonë përfundon. Si rezultat kemi 65.14:4=16.285.

Përgjigje:

65,14:4=16,285 .

Shembull.

Ndani 164.5 me 27.

Vendimi.

Le të pjesëtojmë një thyesë dhjetore me një numër natyror me një kolonë. Pas ndarjes së pjesës së plotë, marrim figurën e mëposhtme:

Tani vendosim një presje private dhe vazhdojmë ndarjen me një kolonë:

Tani shihet qartë se mbetjet e 25, 7 dhe 16 kanë filluar të përsëriten, ndërsa numrat 9, 2 dhe 5 përsëriten në herës. Pra, pjesëtimi i dhjetorit 164.5 me 27 na jep dhjetorin periodik 6.0(925) .

Përgjigje:

164,5:27=6,0(925) .

Pjesëtimi i thyesave dhjetore me një kolonë

Pjesëtimi i një thyese dhjetore me një thyesë dhjetore mund të reduktohet në pjesëtimin e një thyese dhjetore me një numër natyror me një kolonë. Për ta bërë këtë, dividenti dhe pjesëtuesi duhet të shumëzohen me një numër të tillë 10, ose 100, ose 1000, etj., në mënyrë që pjesëtuesi të bëhet një numër natyror, dhe pastaj të pjesëtohet me një numër natyror me një kolonë. Këtë mund ta bëjmë për shkak të vetive të pjesëtimit dhe shumëzimit, pasi a:b=(a 10):(b 10) , a:b=(a 100):(b 100) e kështu me radhë.

Me fjale te tjera, për të pjesëtuar një dhjetore që mbaron me një dhjetore mbaruese, duhet:

• në dividend dhe pjesëtues, zhvendoseni presjen në të djathtë me aq karaktere sa ka pas presjes dhjetore në pjesëtues, nëse në të njëjtën kohë nuk ka karaktere të mjaftueshme në dividend për të lëvizur presjen, atëherë duhet të shtoni shumën e kërkuar zero në të djathtë;
• pas kësaj, kryeni pjesëtimin me një kolonë të një thyese dhjetore me një numër natyror.

Merrni parasysh, kur zgjidhni një shembull, zbatimin e këtij rregulli për pjesëtimin me një thyesë dhjetore.

Shembull.

Bëni ndarjen e kolonës 7.287 me 2.1.

Vendimi.

Le të lëvizim presjen në këto thyesa dhjetore një shifër djathtas, kjo do të na lejojë të kalojmë nga pjesëtimi i thyesës dhjetore 7.287 me thyesën dhjetore 2.1 në pjesëtimin e thyesës dhjetore 72.87 me numrin natyror 21. Le të ndajmë me një kolonë:

Përgjigje:

7,287:2,1=3,47 .

Shembull.

Pjestoni dhjetorin 16.3 me dhjetorin 0.021.

Vendimi.

Zhvendosni presjen në dividend dhe pjesëtuesin në të djathtë me 3 shifra. Natyrisht, nuk ka shifra të mjaftueshme në pjesëtues për të mbajtur presjen, kështu që le të shtojmë numrin e kërkuar të zerave në të djathtë. Tani le të ndajmë kolonën e thyesës 16300.0 me numrin natyror 21:

Nga ky moment, mbetjet 4, 19, 1, 10, 16 dhe 13 fillojnë të përsëriten, që do të thotë se do të përsëriten edhe numrat 1, 9, 0, 4, 7 dhe 6 në herës. Si rezultat, marrim një thyesë dhjetore periodike 776, (190476) .

Përgjigje:

16,3:0,021=776,(190476) .

Vini re se rregulli i shprehur ju lejon të ndani një numër natyror me një fraksion dhjetor përfundimtar me një kolonë.

Shembull.

Pjesëtojë numrin natyror 3 me thyesën dhjetore 5.4.

Vendimi.

Pasi të zhvendosim presjen 1 në të djathtë, vijmë në ndarjen e numrit 30.0 me 54. Le të ndajmë me një kolonë:
.

Ky rregull mund të zbatohet edhe kur pjesëtohen thyesat dhjetore të pafundme me 10, 100, .... Për shembull, 3,(56):1000=0.003(56) dhe 593.374…:100=5.93374….

Pjesëtimi i numrave dhjetorë me 0,1, 0,01, 0,001, etj.

Meqenëse 0,1 \u003d 1/10, 0,01 \u003d 1/100, etj., Nga rregulli i pjesëtimit me një fraksion të zakonshëm rrjedh se pjesëtimi i një fraksioni dhjetor me 0,1, 0,01, 0,001, etj. është njësoj si të shumëzosh dhjetorin e dhënë me 10, 100, 1000, etj. përkatësisht.

Me fjalë të tjera, për të pjesëtuar një thyesë dhjetore me 0,1, 0,01, ... ju duhet të zhvendosni presjen në të djathtë me 1, 2, 3, ... shifra, dhe nëse nuk ka shifra të mjaftueshme në thyesën dhjetore në lëvizni presjen, atëherë duhet të shtoni numrin e kërkuar në zerot e duhura.

Për shembull, 5,739:0,1=57,39 dhe 0,21:0,00001=21,000.

I njëjti rregull mund të zbatohet kur pjesëtohen dhjetoret e pafundme me 0,1, 0,01, 0,001, etj. Në këtë rast, duhet të keni shumë kujdes me ndarjen e thyesave periodike, në mënyrë që të mos gaboheni me periodën e thyesës, e cila përftohet si rezultat i pjesëtimit. Për shembull, 7.5(716):0.01=757,(167) , meqë pas zhvendosjes së presjes në rekordin e thyesës dhjetore 7.5716716716 ... dy shifra në të djathtë, kemi rekordin 757.167167 ... . Me dhjetore të pafundme jo periodike, gjithçka është më e thjeshtë: 394,38283…:0,001=394382,83… .

Pjesëtimi i një numri thyesor ose i përzier me një dhjetor dhe anasjelltas

Pjesëtimi i një thyese të zakonshme ose një numri të përzier me një thyesë dhjetore të fundme ose periodike, si dhe pjesëtimi i një thyese dhjetore të fundme ose periodike me një thyesë të zakonshme ose një numër të përzier, reduktohet në pjesëtimin e thyesave të zakonshme. Për ta bërë këtë, thyesat dhjetore zëvendësohen nga thyesat e zakonshme përkatëse, dhe numri i përzier përfaqësohet si një thyesë e papërshtatshme.

Kur pjesëtohet një thyesë dhjetore e pafundme jo periodike me një thyesë të zakonshme ose një numër të përzier dhe anasjelltas, duhet të vazhdohet me pjesëtimin e thyesave dhjetore, duke zëvendësuar thyesën e zakonshme ose numrin e përzier me thyesën dhjetore përkatëse.

Bibliografi.

• Matematika: studime. për 5 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Botimi 21, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 f.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. Klasa 6: tekst shkollor. për arsimin e përgjithshëm institucionet / [N. Ya. Vilenkin dhe të tjerët]. - Botimi i 22-të, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 f.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algjebra: teksti shkollor për 8 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - Botimi i 16-të. - M. : Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematikë (një manual për aplikantët në shkollat ​​teknike): Proc. shtesa.- M.; Më e lartë shkolla, 1984.-351 f., ill.

Në mësimin e fundit, mësuam se si të mbledhim dhe zbresim thyesat dhjetore (shiko mësimin " Shtimi dhe zbritja e thyesave dhjetore"). Në të njëjtën kohë, ata vlerësuan se sa janë thjeshtuar llogaritjet në krahasim me fraksionet e zakonshme "dykatëshe".

Fatkeqësisht, me shumëzimin dhe ndarjen e thyesave dhjetore, ky efekt nuk ndodh. Në disa raste, shënimi dhjetor madje i ndërlikon këto operacione.

Së pari, le të prezantojmë një përkufizim të ri. Do ta takojmë mjaft shpesh, dhe jo vetëm në këtë mësim.

Pjesa e rëndësishme e një numri është gjithçka midis shifrës së parë dhe të fundit jozero, duke përfshirë edhe rimorkiot. Po flasim vetëm për numra, presja dhjetore nuk merret parasysh.

Shifrat e përfshira në pjesën domethënëse të numrit quhen shifra domethënëse. Ato mund të përsëriten dhe madje të jenë të barabarta me zero.

Për shembull, merrni parasysh disa thyesa dhjetore dhe shkruani pjesët e tyre përkatëse domethënëse:

1. 91,25 → 9125 (shifra domethënëse: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (shifra të rëndësishme: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (shifra të rëndësishme: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (shifra domethënëse: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (shifër domethënëse vetëm një: 3).

Ju lutemi vini re: zerat brenda pjesës së rëndësishme të numrit nuk shkojnë askund. Ne kemi hasur tashmë diçka të ngjashme kur mësuam të konvertonim thyesat dhjetore në ato të zakonshme (shihni mësimin " Thyesa dhjetore").

Kjo pikë është kaq e rëndësishme, dhe gabimet bëhen kaq shpesh, sa që do të publikoj një test mbi këtë temë në të ardhmen e afërt. Sigurohuni që të praktikoni! Dhe ne, të armatosur me konceptin e një pjese të konsiderueshme, do të vazhdojmë, në fakt, në temën e mësimit.

Shumëzimi dhjetor

Operacioni i shumëzimit përbëhet nga tre hapa të njëpasnjëshëm:

1. Për çdo thyesë shkruani pjesën domethënëse. Do të merrni dy numra të plotë të zakonshëm - pa emërues dhe presje dhjetore;
2. Shumëzojini këta numra me ndonjë mënyrë e përshtatshme. Direkt, nëse numrat janë të vegjël, ose në një kolonë. Marrim pjesën e rëndësishme të fraksionit të dëshiruar;
3. Zbuloni se ku dhe me sa shifra është zhvendosur pika dhjetore në thyesat origjinale për të marrë pjesën e rëndësishme përkatëse. Kryeni ndërrime të kundërta në pjesën e rëndësishme të marrë në hapin e mëparshëm.

Më lejoni t'ju kujtoj edhe një herë se zerat në anët e pjesës domethënëse nuk merren kurrë parasysh. Injorimi i këtij rregulli çon në gabime.

1. 0,28 12,5;
2. 6,3 1,08;
3. 132,5 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 10,000.

Punojmë me shprehjen e parë: 0,28 12,5.

1. Le të shkruajmë pjesët domethënëse për numrat nga kjo shprehje: 28 dhe 125;
2. Produkti i tyre: 28 125 = 3500;
3. Në shumëzuesin e parë, pika dhjetore zhvendoset 2 shifra në të djathtë (0,28 → 28), dhe në të dytën - me 1 shifër tjetër. Në total, nevojitet një zhvendosje majtas me tre shifra: 3500 → 3.500 = 3.5.

Tani le të merremi me shprehjen 6.3 1.08.

1. Le të shkruajmë pjesët domethënëse: 63 dhe 108;
2. Produkti i tyre: 63 108 = 6804;
3. Përsëri, dy zhvendosje në të djathtë: me 2 dhe 1 shifra, respektivisht. Në total - përsëri 3 shifra në të djathtë, kështu që zhvendosja e kundërt do të jetë 3 shifra në të majtë: 6804 → 6.804. Këtë herë nuk ka zero në fund.

Arritëm te shprehja e tretë: 132.5 0.0034.

1. Pjesë të rëndësishme: 1325 dhe 34;
2. Produkti i tyre: 1325 34 = 45,050;
3. Në thyesën e parë, pika dhjetore shkon djathtas me 1 shifër, dhe në të dytën - deri në 4. Gjithsej: 5 në të djathtë. Ne kryejmë një zhvendosje me 5 në të majtë: 45050 → .45050 = 0.4505. Zero u hoq në fund dhe u shtua në pjesën e përparme në mënyrë që të mos linte një pikë dhjetore "të zhveshur".

Shprehja e mëposhtme: 0.0108 1600.5.

1. Shkruani pjesë të rëndësishme: 108 dhe 16 005;
2. I shumëzojmë: 108 16 005 = 1 728 540;
3. Numrat i numërojmë pas presjes dhjetore: në numrin e parë janë 4, në të dytin - 1. Gjithsej - përsëri 5. Kemi: 1,728,540 → 17,28540 = 17,2854. Në fund, zeroja "shtesë" u hoq.

Së fundi, shprehja e fundit: 5,25 10 000.

1. Pjesë të rëndësishme: 525 dhe 1;
2. Ne i shumëzojmë ato: 525 1 = 525;
3. Pjesa e parë zhvendoset 2 shifra djathtas, dhe fraksioni i dytë zhvendoset 4 shifra majtas (10,000 → 1,0000 = 1). Gjithsej 4 − 2 = 2 shifra majtas. Ne kryejmë një zhvendosje të kundërt me 2 shifra në të djathtë: 525, → 52 500 (duhej të shtonim zero).

Vini re shembullin e fundit: meqenëse pika dhjetore është zhvendosur në drejtime të ndryshme, zhvendosja totale gjendet përmes diferencës. Kjo është shumë pikë e rëndësishme! Ja një shembull tjetër:

Konsideroni numrat 1.5 dhe 12 500. Kemi: 1.5 → 15 (zhvendosja me 1 djathtas); 12 500 → 125 (zhvendosja 2 majtas). Ne "hapim" 1 shifër në të djathtë, dhe pastaj 2 shifra në të majtë. Si rezultat, ne kaluam 2 − 1 = 1 shifër në të majtë.

Ndarja dhjetore

Ndarja është ndoshta më e shumta operacion kompleks. Sigurisht, këtu mund të veproni me analogji me shumëzimin: ndani pjesët domethënëse dhe më pas "lëvizni" pikën dhjetore. Por në këtë rast, ka shumë hollësi që mohojnë kursimet e mundshme.

Pra, le të shohim një algoritëm të përgjithshëm që është pak më i gjatë, por shumë më i besueshëm:

1. Shndërroni të gjitha dhjetoret në thyesa të zakonshme. Me pak praktikë, ky hap do t'ju marrë disa sekonda;
2. Ndani thyesat që rezultojnë mënyrë klasike. Me fjalë të tjera, shumëzojeni thyesën e parë me të dytën "të përmbysur" (shiko mësimin " Shumëzimi dhe ndarja e thyesave numerike");
3. Nëse është e mundur, kthejeni rezultatin si dhjetor. Ky hap është gjithashtu i shpejtë, sepse shpesh emëruesi tashmë ka një fuqi prej dhjetë.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Ne e konsiderojmë shprehjen e parë. Së pari, le t'i konvertojmë thyesat obi në dhjetore:

Të njëjtën gjë bëjmë edhe me shprehjen e dytë. Numëruesi i fraksionit të parë zbërthehet përsëri në faktorë:

Ekziston një pikë e rëndësishme në shembujt e tretë dhe të katërt: pasi të hiqni qafe shënimin dhjetor, shfaqen fraksione të anulueshme. Megjithatë, ne nuk do ta bëjmë këtë ulje.

Shembulli i fundit është interesant sepse numëruesi i thyesës së dytë është një numër i thjeshtë. Thjesht nuk ka asgjë për të faktorizuar këtu, kështu që ne e konsiderojmë atë "të zbrazët":

Ndonjëherë ndarja rezulton në një numër të plotë (po flas për shembullin e fundit). Në këtë rast, hapi i tretë nuk kryhet fare.

Për më tepër, kur ndahen, shpesh shfaqen fraksione "të shëmtuara" që nuk mund të shndërrohen në dhjetore. Këtu dallon pjesëtimi nga shumëzimi, ku rezultatet shprehen gjithmonë në formë dhjetore. Natyrisht, në këtë rast, hapi i fundit përsëri nuk kryhet.

Kushtojini vëmendje edhe shembujve të tretë dhe të katërt. Në to, ne qëllimisht nuk i zvogëlojmë thyesat e zakonshme të marra nga dhjetoret. Përndryshe, do të komplikojë problemin e anasjelltë - duke përfaqësuar përgjigjen përfundimtare përsëri në formë dhjetore.

Mbani mend: vetia themelore e një thyese (si çdo rregull tjetër në matematikë) në vetvete nuk do të thotë se ajo duhet të zbatohet kudo dhe gjithmonë, në çdo rast.