Typy závislostí
Zvážte nabíjanie batérie. Ako prvú hodnotu uveďme čas potrebný na nabitie. Druhá hodnota je čas, ktorý bude fungovať po nabití. Čím dlhšie je batéria nabitá, tým dlhšie vydrží. Proces bude pokračovať, kým nebude batéria úplne nabitá.
Závislosť životnosti batérie od času jej nabíjania
Poznámka 1
Táto závislosť sa nazýva rovno:
Keď sa jedna hodnota zvyšuje, zvyšuje sa aj druhá. Keď jedna hodnota klesá, druhá hodnota tiež klesá.
Uvažujme o ďalšom príklade.
Čím viac kníh študent prečíta, tým viac menej chýb urobí v diktáte. Alebo čím vyššie vystúpite na hory, tým nižší bude atmosférický tlak.
Poznámka 2
Táto závislosť sa nazýva obrátene:
Keď jedna hodnota rastie, druhá klesá. Keď jedna hodnota klesá, druhá hodnota stúpa.
Teda v prípade priama závislosť obe veličiny sa menia rovnako (obe buď rastú, alebo klesajú), a v prípade inverzný vzťah- opak (jeden sa zvyšuje a druhý klesá, alebo naopak).
Určenie závislostí medzi veličinami
Príklad 1
Čas potrebný na návštevu priateľa je 20 $ minút. So zvýšením rýchlosti (prvej hodnoty) o $2$ krát zistíme, ako sa zmení čas (druhá hodnota), ktorý strávime na ceste k priateľovi.
Je zrejmé, že čas sa zníži o 2 $ krát.
Poznámka 3
Táto závislosť sa nazýva proporcionálne:
Koľkokrát sa zmení jedna hodnota, koľkokrát sa zmení druhá.
Príklad 2
Za 2 doláre bochník chleba v obchode musíte zaplatiť 80 rubľov. Ak potrebujete kúpiť bochníky chleba za 4 $ (množstvo chleba sa zvýši 2 $ krát), o koľko viac budete musieť zaplatiť?
Je zrejmé, že náklady sa tiež zvýšia o 2 $ krát. Máme príklad proporcionálna závislosť.
V oboch príkladoch sa brali do úvahy proporcionálne závislosti. Ale v príklade s bochníkmi chleba sa hodnoty menia jedným smerom, preto je závislosť rovno. A v príklade s výletom za kamarátom je vzťah medzi rýchlosťou a časom obrátene. Existuje teda priamo úmerný vzťah a nepriamo úmerný vzťah.
Priama úmernosť
Zvážte pomerné množstvá 2 $: počet bochníkov chleba a ich cena. Nech stojí 2$ bochníky chleba 80$ rubľov. So zvýšením počtu hodov o $4$ krát ($8$ rolls), ich Celkové náklady bude 320 dolárov rubľov.
Pomer počtu hodov: $\frac(8)(2)=4$.
Pomer ceny rolky: $\frac(320)(80)=4$.
Ako vidíte, tieto pomery sa navzájom rovnajú:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
Definícia 1
Rovnosť dvoch vzťahov sa nazýva pomer.
Pri priamo úmernom vzťahu sa získa pomer, keď je zmena prvej a druhej hodnoty rovnaká:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
Definícia 2
Tieto dve veličiny sú tzv priamo úmerné ak sa pri zmene (zvýšenie alebo zníženie) jednej z nich zmení (príslušne zvýši alebo zníži) druhá hodnota o rovnakú hodnotu.
Príklad 3
Auto prešlo 180 $ km za $ 2 hodiny. Nájdite čas, ktorý potrebuje na to, aby prekonal 2 $ krát vzdialenosť rovnakou rýchlosťou.
rozhodnutie.
Čas je priamo úmerný vzdialenosti:
$t=\frac(S)(v)$.
Koľkokrát sa vzdialenosť zvýši, pri konštantnej rýchlosti sa čas zvýši o rovnakú hodnotu:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Auto prešlo 180 $ km - za 2 $ hodinu
Auto prejde $180 \cdot 2=360$ km - za čas $x$ hodín
Čím väčšiu vzdialenosť auto prejde, tým viac času to zaberie. Preto je vzťah medzi veličinami priamo úmerný.
Urobme pomer:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Odpoveď: Auto bude potrebovať 4 $ hodiny.
Inverzná úmernosť
Definícia 3
rozhodnutie.
Čas je nepriamo úmerný rýchlosti:
$t=\frac(S)(v)$.
Koľkokrát sa rýchlosť zvýši, pri rovnakej dráhe sa čas zníži o rovnakú hodnotu:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Napíšme stav problému vo forme tabuľky:
Auto prešlo 60 $ km - za 6 $ hodín
Auto prejde 120 $ km - za $ x $ hodín
Čím rýchlejšie auto, tým menej času to zaberie. Preto je vzťah medzi veličinami nepriamo úmerný.
Urobme pomer.
Pretože proporcionalita je inverzná, otočíme druhý pomer v pomere:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Odpoveď: Auto bude potrebovať 3 $ hodiny.
§ 129. Predbežné objasnenia.
Človek sa neustále zaoberá najrôznejšími veličinami. Zamestnanec a robotník sa snažia dostať do služby, do práce v určitom čase, chodec sa ponáhľa na určité miesto najkratšou cestou, topič parný ohrev obavy, že teplota v kotle pomaly stúpa, obchodný manažér robí plány na zlacnenie výroby atď.
Takýchto príkladov by sa dalo uviesť ľubovoľné množstvo. Čas, vzdialenosť, teplota, náklady – to všetko sú rôzne veličiny. V prvej a druhej časti tejto knihy sme sa zoznámili s niektorými obzvlášť bežnými veličinami: plocha, objem, hmotnosť. S mnohými veličinami sa stretávame pri štúdiu fyziky a iných vied.
Predstavte si, že ste vo vlaku. Z času na čas sa pozriete na hodinky a všimnete si, ako dlho ste už na ceste. Hovoríte napríklad, že od odchodu vášho vlaku uplynulo 2, 3, 5, 10, 15 hodín atď.. Tieto čísla označujú rôzne časové úseky; nazývajú sa hodnotami tejto veličiny (čas). Alebo sa pozriete z okna a budete sledovať cestné stĺpy na vzdialenosť, ktorú váš vlak prejde. Pred vami blikajú čísla 110, 111, 112, 113, 114 km. Tieto čísla predstavujú rôzne vzdialenosti prešiel vlakom z miesta odchodu. Nazývajú sa aj hodnoty, tentoraz s inou hodnotou (cesta alebo vzdialenosť medzi dvoma bodmi). Jedna hodnota, napríklad čas, vzdialenosť, teplota, teda môže nadobudnúť ľubovoľnú rôzne významy.
Venujte pozornosť tomu, že človek takmer nikdy nezvažuje iba jednu hodnotu, ale vždy ju spája s niektorými inými hodnotami. Musí sa súčasne zaoberať dvomi, tromi a viacerými veličinami. Predstavte si, že potrebujete prísť do školy o deviatej. Pozriete sa na hodinky a uvidíte, že máte 20 minút. Potom sa rýchlo rozhodnete, či pôjdete električkou, alebo stihnete prejsť do školy pešo. Po premýšľaní sa rozhodnete kráčať. Všimnite si, že v čase, keď ste premýšľali, ste riešili nejaký problém. Táto úloha sa stala jednoduchou a známou, keďže takéto problémy riešite každý deň. V ňom ste rýchlo porovnali viacero hodnôt. Boli ste to vy, kto sa pozrel na hodiny, čo znamená, že ste vzali do úvahy čas, potom ste si v duchu predstavili vzdialenosť z domu do školy; nakoniec ste porovnali dve veličiny: rýchlosť vášho kroku a rýchlosť električky a dospeli ste k záveru, že za daný čas (20 minút) stihnete prejsť. Z tohto jednoduchého príkladu môžete vidieť, že v našej praxi sú niektoré veličiny vzájomne prepojené, to znamená, že sú na sebe závislé
V dvanástej kapitole sa hovorilo o pomere homogénnych veličín. Napríklad, ak je jeden segment 12 m a druhý 4 m, potom bude pomer týchto segmentov 12: 4.
Povedali sme, že je to pomer dvoch homogénnych veličín. Inými slovami, je to pomer dvoch čísel jedno meno.
Teraz, keď sme sa bližšie zoznámili s veličinami a zaviedli koncept hodnoty veličiny, môžeme predefinovať definíciu vzťahu. V skutočnosti, keď sme zvažovali dva segmenty 12 m a 4 m, hovorili sme o jednej hodnote - dĺžke a 12 m a 4 m - to boli len dva rôzne významy túto hodnotu.
Preto v budúcnosti, keď začneme hovoriť o pomere, budeme brať do úvahy dve hodnoty jednej z niektorých veličín a pomer jednej hodnoty množstva k inej hodnote toho istého množstva sa bude nazývať kvocientom delenia. prvá hodnota druhou.
§ 130. Množstvá sú priamo úmerné.
Zvážte problém, ktorého stav zahŕňa dve veličiny: vzdialenosť a čas.
Úloha 1. Teleso sa pohybuje po priamke a rovnomerne prejde 12 cm za sekundu Určte dráhu, ktorú teleso prejde za 2, 3, 4, ..., 10 sekúnd.
Urobme si tabuľku, pomocou ktorej by bolo možné sledovať zmenu času a vzdialenosti.
Tabuľka nám dáva možnosť porovnať tieto dva rady hodnôt. Vidíme z toho, že keď sa hodnoty prvej veličiny (času) postupne zvýšia 2, 3, ..., 10-krát, potom sa hodnoty druhej veličiny (vzdialenosti) tiež zvýšia o 2, 3, ..., 10 krát. Keď sa teda hodnoty jednej veličiny zvýšia niekoľkokrát, hodnoty inej veličiny sa zvýšia o rovnakú hodnotu, a keď sa hodnoty jednej veličiny niekoľkokrát znížia, hodnoty druhej veličiny sa znížia o rovnaké množstvo.
Uvažujme teraz o probléme, ktorý zahŕňa dve takéto veličiny: množstvo hmoty a jej cenu.
Úloha 2. 15 m látky stojí 120 rubľov. Vypočítajte cenu tejto tkaniny pre niekoľko ďalších množstiev metrov uvedených v tabuľke.
Z tejto tabuľky vidíme, ako postupne rastie hodnota komodity v závislosti od nárastu jej množstva. Napriek tomu, že sa v tomto probléme objavujú úplne iné veličiny (v prvom probléme - čas a vzdialenosť a tu - množstvo tovaru a jeho náklady), predsa len možno nájsť v správaní týchto veličín veľkú podobnosť.
V hornom riadku tabuľky sú totiž čísla označujúce počet metrov látky, pod každým je napísané číslo vyjadrujúce náklady na zodpovedajúce množstvo tovaru. Už letmý pohľad na túto tabuľku ukazuje, že čísla v hornom aj dolnom riadku sa zvyšujú; pri bližšom skúmaní tabuľky a pri porovnaní jednotlivých stĺpcov sa ukazuje, že vo všetkých prípadoch sa hodnoty druhej veličiny zvýšia o rovnaký faktor ako hodnoty prvej veličiny, t.j. ak hodnota prvej veličiny sa zvýšila povedzme 10-krát, potom sa hodnota druhej hodnoty tiež zvýšila 10-krát.
Ak sa pozrieme na tabuľku sprava doľava, zistíme, že uvedené hodnoty množstiev sa znížia o rovnaké číslo raz. V tomto zmysle existuje bezpodmienečná podobnosť medzi prvou a druhou úlohou.
Dvojice veličín, s ktorými sme sa stretli v prvej a druhej úlohe, sa nazývajú priamo úmerné.
Ak sú teda dve veličiny prepojené tak, že s niekoľkonásobným zvýšením (poklesom) hodnoty jednej z nich sa o rovnakú hodnotu zvýši (zníži) hodnota druhej, potom sa takéto veličiny nazývajú priamo úmerné.
O takých veličinách hovoria aj to, že sú navzájom prepojené priamo úmernou závislosťou.
V prírode a v živote okolo nás je takýchto množstiev veľa. Tu je niekoľko príkladov:
1. čas práca (deň, dva dni, tri dni atď.) a zárobky dostávali v tomto čase za dennú mzdu.
2. Objem akýkoľvek predmet vyrobený z homogénneho materiálu a váha táto položka.
§ 131. Vlastnosť priamoúmerných veličín.
Zoberme si problém, ktorý zahŕňa nasledujúce dve veličiny: pracovný čas a zárobky. Ak je denný zárobok 20 rubľov, potom zárobok za 2 dni bude 40 rubľov atď. Najvhodnejšie je zostaviť tabuľku, v ktorej bude určitý zárobok zodpovedať určitému počtu dní.
Pri pohľade na túto tabuľku vidíme, že obe veličiny nadobudli 10 rôznych hodnôt. Každá hodnota prvej hodnoty zodpovedá určitej hodnote druhej hodnoty, napríklad 40 rubľov zodpovedá 2 dňom; 5 dní zodpovedá 100 rubľov. V tabuľke sú tieto čísla zapísané pod sebou.
Už vieme, že ak sú dve veličiny priamo úmerné, tak každá z nich sa v procese svojej zmeny zväčší o rovnakú hodnotu, ako sa zväčší druhá. Okamžite z toho vyplýva: ak vezmeme pomer akýchkoľvek dvoch hodnôt prvého množstva, potom sa bude rovnať pomeru dvoch zodpovedajúcich hodnôt druhého množstva. Naozaj:
Prečo sa to deje? Ale pretože tieto hodnoty sú priamo úmerné, to znamená, že keď sa jedna z nich (čas) zvýšila 3-krát, potom sa druhá (zárobky) zvýšila 3-krát.
Dospeli sme teda k nasledovnému záveru: ak vezmeme akékoľvek dve hodnoty prvej veľkosti a vydelíme ich jednu druhou a potom vydelíme jednu druhou zodpovedajúce hodnoty druhej veľkosti, potom v oboch prípadoch získa sa jedno a to isté číslo, t. j. rovnaký vzťah. To znamená, že dva vzťahy, ktoré sme napísali vyššie, môžeme spojiť znakom rovnosti, t.j.
Niet pochýb o tom, že keby sme nebrali tieto vzťahy, ale iné, a nie v tomto poradí, ale v opačnom smere, získali by sme aj rovnosť vzťahov. Skutočne zvážime hodnoty našich množstiev zľava doprava a vezmeme tretiu a deviatu hodnotu:
60:180 = 1 / 3 .
Takže môžeme napísať:
Z toho vyplýva nasledujúci záver: ak sú dve veličiny priamo úmerné, potom sa pomer dvoch ľubovoľne prijatých hodnôt prvej veličiny rovná pomeru dvoch zodpovedajúcich hodnôt druhej veličiny.
§ 132. Vzorec priamej úmernosti.
Urobme si tabuľku nákladov na rôzne množstvá sladkostí, ak 1 kg z nich stojí 10,4 rubľov.
Teraz to urobme takto. Vezmime ľubovoľné číslo druhého radu a vydelíme ho zodpovedajúcim číslom prvého radu. Napríklad:
Vidíte, že v kvociente sa získava stále to isté číslo. Preto je pre danú dvojicu priamo úmerných veličín podiel delenia ľubovoľnej hodnoty jednej veličiny zodpovedajúcou hodnotou inej veličiny konštantné číslo (teda nemení sa). V našom príklade je tento kvocient 10,4. Toto konštantné číslo sa nazýva faktor proporcionality. V tomto prípade vyjadruje cenu za mernú jednotku, teda jeden kilogram tovaru.
Ako nájsť alebo vypočítať faktor proporcionality? Aby ste to dosiahli, musíte vziať akúkoľvek hodnotu jednej veličiny a vydeliť ju zodpovedajúcou hodnotou inej.
Označme túto ľubovoľnú hodnotu jednej veličiny písmenom pri , a zodpovedajúca hodnota inej veličiny - písm X , potom koeficient proporcionality (označujeme ho Komu) nájdite delením:
V tejto rovnosti pri - deliteľný X - rozdeľovač a Komu- podiel, a keďže podľa vlastnosti delenia sa dividenda rovná deliteľovi vynásobenému podielom, môžeme napísať:
y= K X
Výsledná rovnosť je tzv vzorec priamej úmernosti. Pomocou tohto vzorca môžeme vypočítať ľubovoľný počet hodnôt jednej z priamo úmerných veličín, ak poznáme zodpovedajúce hodnoty druhej veličiny a koeficient úmernosti.
Príklad. Z fyziky vieme, že váha R akéhokoľvek telesa sa rovná jeho špecifickej hmotnosti d vynásobený objemom tohto telesa V, t.j. R = d V.
Vezmite päť ingotov železa rôznych veľkostí; vediac špecifická hmotnosťželezo (7,8), môžeme vypočítať hmotnosti týchto polotovarov pomocou vzorca:
R = 7,8 V.
Porovnanie tohto vzorca so vzorcom pri = Komu X , to vidíme y= R, x = V a koeficient proporcionality Komu= 7,8. Vzorec je rovnaký, iba písmená sú iné.
Pomocou tohto vzorca urobme tabuľku: objem prvého polotovaru nech je 8 metrov kubických. cm, potom je jeho hmotnosť 7,8 8 \u003d 62,4 (g). Objem 2. prírezu je 27 metrov kubických. cm. Jeho hmotnosť je 7,8 27 \u003d 210,6 (g). Tabuľka bude vyzerať takto:
Čísla, ktoré v tejto tabuľke chýbajú, vypočítajte sami pomocou vzorca R= d V.
§ 133. Iné spôsoby riešenia úloh s priamo úmernými veličinami.
V predchádzajúcom odseku sme riešili problém, ktorého podmienka zahŕňala priamo úmerné veličiny. Na tento účel sme predtým odvodili vzorec priamej úmernosti a potom sme tento vzorec použili. Teraz si ukážeme dva ďalšie spôsoby riešenia podobných problémov.
Urobme si problém podľa číselných údajov uvedených v tabuľke predchádzajúceho odseku.
Úloha. Blank s objemom 8 metrov kubických. cm váži 62,4 g Koľko bude vážiť prírez s objemom 64 metrov kubických? cm?
rozhodnutie. Hmotnosť železa, ako viete, je úmerná jeho objemu. Ak 8 cu. cm váži 62,4 g, potom 1 cu. cm bude vážiť 8x menej, t.j.
62,4 : 8 = 7,8 (g).
Prírez s objemom 64 metrov kubických. cm bude vážiť 64-krát viac ako polotovar s objemom 1 cu. cm, t.j.
7,8 64 = 499,2 (g).
Náš problém sme vyriešili zredukovaním na jednotu. Význam tohto názvu je odôvodnený tým, že na jeho vyriešenie sme v prvej otázke museli nájsť hmotnosť jednotky objemu.
2. Spôsob proporcie. Vyriešme rovnaký problém pomocou proporčnej metódy.
Keďže hmotnosť železa a jeho objem sú priamo úmerné veličiny, pomer dvoch hodnôt jednej veličiny (objemu) sa rovná pomeru dvoch zodpovedajúcich hodnôt inej veličiny (hmotnosti), t.j.
(list R označili sme neznámu hmotnosť polotovaru). Odtiaľ:
(G).
Problém je vyriešený metódou proporcií. To znamená, že na jeho vyriešenie bola časť tvorená číslami zahrnutými v podmienke.
§ 134. Množstvá sú nepriamo úmerné.
Zvážte nasledujúci problém: „Päť murárov môže pridať tehlové steny doma za 168 dní. Určte, za koľko dní by 10, 8, 6 atď. murári mohli vykonávať rovnakú prácu.
Ak by 5 murárov zložilo múry domu za 168 dní, tak by to (pri rovnakej produktivite práce) 10 murárov zvládlo dvakrát rýchlejšie, keďže v priemere 10 ľudí urobí dvakrát toľko práce ako 5 ľudí.
Urobme si tabuľku, podľa ktorej by bolo možné sledovať zmenu počtu pracovných hodín a pracovných hodín.
Ak chcete napríklad zistiť, koľko dní to potrebuje 6 pracovníkov, musíte najskôr vypočítať, koľko dní to potrebuje jeden pracovník (168 5 = 840) a potom šesť pracovníkov (840: 6 = 140). Pri pohľade na túto tabuľku vidíme, že obe veličiny nadobudli šesť rôznych hodnôt. Každá hodnota prvej veličiny zodpovedá určitejšie; hodnota druhej hodnoty, napríklad 10 zodpovedá 84, číslo 8 - číslo 105 atď.
Ak vezmeme do úvahy hodnoty oboch hodnôt zľava doprava, uvidíme, že hodnoty hornej hodnoty sa zvyšujú a hodnoty dolnej hodnoty klesajú. Vzostup a zostup sú predmetom ďalší zákon: hodnoty počtu pracovníkov rastú rovnakým faktorom, ako klesajú hodnoty stráveného pracovného času. Ešte jednoduchšie možno túto myšlienku vyjadriť takto: čím viac pracovníkov je zamestnaných v akomkoľvek podniku, tým menej času potrebujú na vykonanie určitej práce. Dve veličiny, s ktorými sme sa stretli v tomto probléme, sa nazývajú nepriamo úmerné.
Ak sú teda dve veličiny prepojené tak, že s niekoľkonásobným zvýšením (poklesom) hodnoty jednej z nich sa o rovnakú hodnotu zníži (zvýši) hodnota druhej, potom sa takéto veličiny nazývajú nepriamo úmerné.
Takých vecí je v živote veľa. Uveďme si príklady.
1. Ak za 150 rubľov. musíte si kúpiť niekoľko kilogramov sladkostí, potom bude počet sladkostí závisieť od ceny jedného kilogramu. Čím vyššia cena, tým menej tovaru sa dá za tieto peniaze kúpiť; to vidno z tabuľky:
S niekoľkonásobným zvýšením ceny sladkostí sa o rovnakú sumu zníži počet kilogramov sladkostí, ktoré sa dajú kúpiť za 150 rubľov. V tomto prípade sú tieto dve veličiny (váha produktu a jeho cena) nepriamo úmerné.
2. Ak je vzdialenosť medzi dvoma mestami 1 200 km, potom sa dá prejsť v rôznych časoch v závislosti od rýchlosti pohybu. Existovať rôzne cesty doprava: pešo, na koni, na bicykli, loďou, autom, vlakom, lietadlom. Čím nižšia je rýchlosť, tým viac času trvá pohyb. Toto je možné vidieť z tabuľky:
S niekoľkonásobným zvýšením rýchlosti sa čas pohybu zníži o rovnakú hodnotu. Za daných podmienok sú teda rýchlosť a čas nepriamo úmerné.
§ 135. Vlastnosť nepriamo úmerných veličín.
Zoberme si druhý príklad, o ktorom sme uvažovali v predchádzajúcom odseku. Tam sme riešili dve veličiny – rýchlosť pohybu a čas. Ak vezmeme do úvahy hodnoty týchto veličín zľava doprava v tabuľke, uvidíme, že hodnoty prvej veličiny (rýchlosti) sa zvyšujú a hodnoty druhej (času) klesajú a rýchlosť sa zvyšuje rovnakým faktorom, ako sa znižuje čas. Je ľahké pochopiť, že ak napíšete pomer akýchkoľvek hodnôt jednej veličiny, nebude sa rovnať pomeru zodpovedajúcich hodnôt inej veličiny. V skutočnosti, ak vezmeme pomer štvrtej hodnoty hornej hodnoty k siedmej hodnote (40: 80), nebude sa rovnať pomeru štvrtej a siedmej hodnoty spodnej hodnoty (30: 15 ). Dá sa to napísať takto:
40:80 sa nerovná 30:15 alebo 40:80 =/= 30:15.
Ale ak namiesto jedného z týchto pomerov vezmeme opak, potom dostaneme rovnosť, t.j. z týchto pomerov bude možné vytvoriť pomer. Napríklad:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
Na základe vyššie uvedeného môžeme vyvodiť nasledujúci záver: ak sú dve veličiny nepriamo úmerné, potom sa pomer dvoch ľubovoľne prijatých hodnôt jednej veličiny rovná inverznému pomeru zodpovedajúcich hodnôt druhej veličiny.
§ 136. Vzorec obrátenej úmernosti.
Zvážte problém: „Je tu 6 kusov hodvábnej látky rôzne veľkosti a rôzne odrody. Všetky kusy sú za rovnakú cenu. V jednom kuse 100 m látky za cenu 20 rubľov. na meter. Koľko metrov je v každom zo zostávajúcich piatich kusov, ak meter látky v týchto kusoch stojí 25, 40, 50, 80, 100 rubľov? Na vyriešenie tohto problému vytvoríme tabuľku:
Musíme vyplniť prázdne bunky v hornom riadku tejto tabuľky. Skúsme najprv určiť, koľko metrov je v druhom kuse. Dá sa to urobiť nasledujúcim spôsobom. Zo stavu problému je známe, že cena všetkých kusov je rovnaká. Náklady na prvý kus je ľahké určiť: má 100 m a každý meter stojí 20 rubľov, čo znamená, že v prvom kuse hodvábu za 2 000 rubľov. Keďže druhý kus hodvábu obsahuje rovnaký počet rubľov, potom sa delí 2 000 rubľov. pri cene jedného metra, teda pri 25, zistíme hodnotu druhého kusu: 2 000 : 25 = 80 (m). Rovnakým spôsobom zistíme veľkosť všetkých ostatných kusov. Tabuľka bude vyzerať takto:
Je ľahké vidieť, že medzi počtom metrov a cenou existuje inverzný vzťah.
Ak si potrebné výpočty urobíte sami, všimnete si, že zakaždým musíte deliť číslo 2 000 cenou 1 m. Naopak, ak teraz začnete násobiť veľkosť kusu v metroch cenou 1 m, vždy dostane číslo 2 000. a dalo sa to očakávať, keďže každý kus stojí 2 000 rubľov.
Z toho môžeme vyvodiť nasledujúci záver: pre danú dvojicu nepriamo úmerných veličín je súčin akejkoľvek hodnoty jednej veličiny so zodpovedajúcou hodnotou inej veličiny konštantné číslo (teda nemeniace sa).
V našom probléme je tento súčin rovný 2 000. Skontrolujte, či v predchádzajúcom probléme, ktorý hovoril o rýchlosti pohybu a čase potrebnom na presun z jedného mesta do druhého, bolo pre daný problém tiež konštantné číslo (1 200).
Ak vezmeme do úvahy všetko, čo bolo povedané, je ľahké odvodiť vzorec inverznej úmernosti. Označte nejakú hodnotu jednej veličiny písmenom X , a zodpovedajúca hodnota inej hodnoty - písmeno pri . Potom na základe vyššie uvedenej práce X na pri sa musí rovnať nejakej konštantnej hodnote, ktorú označujeme písmenom Komu, t.j.
x y = Komu.
V tejto rovnosti X - multiplikátor, pri - multiplikátor a K- práca. Podľa vlastnosti násobenia sa multiplikátor rovná súčinu deleného násobiteľom. znamená,
Toto je vzorec inverznej proporcionality. Pomocou neho môžeme vypočítať ľubovoľný počet hodnôt jednej z nepriamo úmerných veličín, pričom poznáme hodnoty druhej a konštantné číslo Komu.
Zamyslite sa nad ďalším problémom: „Autor jednej eseje vypočítal, že keby bola jeho kniha v bežnom formáte, mala by 96 strán, ale keby bola vreckového, mala by 300 strán. Skúsil rôzne varianty, začal s 96 stranami a potom dostal 2 500 písmen na stranu. Potom vzal počet strán uvedený v tabuľke nižšie a znova vypočítal, koľko písmen bude na stránke.
Skúsme si spočítať, koľko písmen bude na jednej strane, ak má kniha 100 strán.
V celej knihe je 240 000 písmen, keďže 2 500 96 = 240 000.
Berúc do úvahy túto skutočnosť, používame vzorec inverznej úmernosti ( pri - počet písmen na stranu X - počet strán):
V našom príklade Komu= 240 000, teda
Na stránke je teda 2 400 písmen.
Podobne sa dozvieme, že ak má kniha 120 strán, počet písmen na strane bude:
Naša tabuľka bude vyzerať takto:
Doplňte zvyšok buniek sami.
§ 137. Iné spôsoby riešenia úloh s nepriamo úmernými veličinami.
V predchádzajúcom odseku sme riešili problémy, ktoré obsahovali nepriamo úmerné veličiny. Predtým sme odvodili vzorec inverznej úmernosti a potom sme tento vzorec použili. Teraz si ukážeme dva ďalšie spôsoby riešenia takýchto problémov.
1. Metóda redukcie na jednotu.
Úloha. 5 sústružníkov zvládne nejakú prácu za 16 dní. Za koľko dní zvládne túto prácu 8 sústružníkov?
rozhodnutie. Medzi počtom sústružníkov a pracovným časom existuje inverzný vzťah. Ak prácu vykoná 5 sústružníkov za 16 dní, tak na to bude jeden človek potrebovať 5x viac času, t.j.
5 sústružníkov vykoná prácu za 16 dní,
1 sústružník to zvládne za 16 5 = 80 dní.
Problém sa pýta, za koľko dní dokončí prácu 8 sústružníkov. Je zrejmé, že prácu urobia 8-krát rýchlejšie ako 1 sústružník, t.j
80 : 8 = 10 (dni).
Toto je riešenie problému metódou redukcie na jednotu. Tu bolo v prvom rade potrebné určiť čas na výkon práce jedným pracovníkom.
2. Spôsob proporcie. Vyriešme ten istý problém druhým spôsobom.
Keďže medzi počtom robotníkov a pracovným časom existuje inverzný vzťah, môžeme napísať: trvanie práce 5 sústružníkov nový počet sústružníkov (8) trvanie práce 8 sústružníkov predchádzajúci počet sústružníkov (5 ) Označme požadované trvanie práce písmenom X a nahradiť v pomere vyjadrenom slovami, potrebné čísla:
Rovnaký problém je vyriešený metódou proporcií. Aby sme to vyriešili, museli sme urobiť pomernú časť čísel zahrnutých v podmienke problému.
Poznámka. V predchádzajúcich odsekoch sme sa zaoberali otázkou priamej a nepriamej úmernosti. Príroda a život nám dáva mnoho príkladov priamej a nepriamej úmernosti veličín. Treba si však uvedomiť, že tieto dva typy závislosti sú len tie najjednoduchšie. Spolu s nimi existujú aj ďalšie, zložitejšie vzťahy medzi veličinami. Okrem toho by sme si nemali myslieť, že ak sa akékoľvek dve veličiny zvýšia súčasne, potom medzi nimi nevyhnutne existuje priama úmernosť. To ani zďaleka nie je pravda. Napríklad cestovné za železnice sa zvyšuje so vzdialenosťou: čím ďalej ideme, tým viac platíme, ale to neznamená, že platba je úmerná vzdialenosti.
Tieto dve veličiny sú tzv priamo úmerné, ak pri viacnásobnom zvýšení jedného z nich sa o rovnakú sumu zvýši aj druhý. Preto, keď sa jeden z nich niekoľkokrát zníži, druhý sa zníži o rovnakú hodnotu.
Vzťah medzi takýmito veličinami je priamo úmerný vzťah. Príklady priamej úmernosti:
1) pri konštantnej rýchlosti je prejdená vzdialenosť priamo úmerná času;
2) obvod štvorca a jeho strana sú priamo úmerné;
3) náklady na tovar zakúpený za jednu cenu sú priamo úmerné jeho množstvu.
Ak chcete rozlíšiť priamu úmernosť od inverznej, môžete použiť príslovie: "Čím ďalej do lesa, tým viac dreva."
Úlohy pre priamo úmerné veličiny je vhodné riešiť pomocou proporcií.
1) Na výrobu 10 dielov je potrebných 3,5 kg kovu. Koľko kovu sa spotrebuje na výrobu 12 takýchto dielov?
(Hádame sa takto:
1. Do vyplneného stĺpca umiestnite šípku v smere od viac k menšej.
2. Čím viac častí, tým viac kovu je potrebné na ich výrobu. Ide teda o priamo úmerný vzťah.
Na výrobu 12 dielov nech je potrebných x kg kovu. Vypracujeme pomer (v smere od začiatku šípky po jej koniec):
12:10=x:3,5
Aby sme našli , musíme rozdeliť súčin extrémnych výrazov známym stredným výrazom:
To znamená, že bude potrebných 4,2 kg kovu.
Odpoveď: 4,2 kg.
2) Za 15 metrov látky sa zaplatilo 1680 rubľov. Koľko stojí 12 metrov takejto látky?
(1. Do vyplneného stĺpca umiestnite šípku v smere od najväčšieho čísla po najmenšie.
2. Čím menej látky kúpite, tým menej za ňu zaplatíte. Ide teda o priamo úmerný vzťah.
3. Preto druhá šípka smeruje rovnakým smerom ako prvá).
Nech stojí x rubľov 12 metrov látky. Tvoríme pomer (od začiatku šípky po jej koniec):
15:12=1680:x
Aby sme našli neznámy extrémny člen podielu, vydelíme súčin stredných členov známym extrémnym členom podielu:
Takže 12 metrov stojí 1344 rubľov.
Odpoveď: 1344 rubľov.
Dnes sa pozrieme na to, aké veličiny sa nazývajú nepriamo úmerné, ako vyzerá graf nepriamej úmernosti a ako sa vám to všetko môže hodiť nielen na hodinách matematiky, ale aj mimo školských múrov.
Také rôzne proporcie
Proporcionalita vymenovať dve veličiny, ktoré sú na sebe navzájom závislé.
Závislosť môže byť priama a reverzná. Preto vzťah medzi veličinami opisuje priamku a inverzná úmernosť.
Priama úmernosť- ide o taký vzťah medzi dvoma veličinami, pri ktorom zvýšenie alebo zníženie jednej z nich vedie k zvýšeniu alebo zníženiu druhej. Tie. ich postoj sa nemení.
Napríklad, čím viac úsilia vynaložíte na prípravu na skúšky, tým vyššie budú vaše známky. Alebo čím viac vecí si so sebou na túru beriete, tým ťažšie je nosiť batoh. Tie. množstvo úsilia vynaloženého na prípravu na skúšky je priamo úmerné získaným známkam. A počet vecí zbalených v batohu je priamo úmerný jeho hmotnosti.
Inverzná úmernosť- ide o funkčnú závislosť, pri ktorej niekoľkonásobné zníženie alebo zvýšenie nezávislej hodnoty (nazýva sa argument) spôsobí proporcionálne (t. j. o rovnakú hodnotu) zvýšenie alebo zníženie závislej hodnoty (nazýva sa to funkcia).
Ilustrovať jednoduchý príklad. Chcete kúpiť jablká na trhu. Jablká na pulte a množstvo peňazí vo vašej peňaženke sú nepriamo úmerné. Tie. čím viac jabĺk kúpite, tým menej peňazí zostane ti.
Funkcia a jej graf
Funkciu inverznej úmernosti možno opísať ako y = k/x. V čom X≠ 0 a k≠ 0.
Táto funkcia má nasledujúce vlastnosti:
- Jeho doménou definície je množina všetkých reálnych čísel okrem X = 0. D(r): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Rozsah sú všetky reálne čísla okrem r= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Nemá žiadne maximálne ani minimálne hodnoty.
- Je nepárny a jeho graf je symetrický podľa pôvodu.
- Neperiodické.
- Jeho graf nepretína súradnicové osi.
- Nemá žiadne nuly.
- Ak k> 0 (to znamená, že argument rastie), funkcia klesá proporcionálne na každom z jej intervalov. Ak k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Ako argument narastá ( k> 0) záporné hodnoty funkcie sú v intervale (-∞; 0) a kladné - (0; +∞). Keď argument klesá ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Graf funkcie inverznej úmernosti sa nazýva hyperbola. Znázornené takto:
Inverzne proporcionálne problémy
Aby to bolo jasnejšie, pozrime sa na niekoľko úloh. Nie sú príliš komplikované a ich riešenie vám pomôže predstaviť si, čo je to inverzná úmernosť a ako môžu byť tieto znalosti užitočné vo vašom každodennom živote.
Úloha číslo 1. Auto sa pohybuje rýchlosťou 60 km/h. Do cieľa mu trvalo 6 hodín. Ako dlho mu bude trvať, kým prejde rovnakú vzdialenosť, ak sa bude pohybovať dvojnásobnou rýchlosťou?
Môžeme začať napísaním vzorca, ktorý popisuje vzťah času, vzdialenosti a rýchlosti: t = S/V. Súhlasím, veľmi nám to pripomína funkciu nepriamej úmernosti. A naznačuje, že čas, ktorý auto strávi na ceste, a rýchlosť, ktorou sa pohybuje, sú nepriamo úmerné.
Aby sme to overili, nájdime V 2, ktorý je podľa stavu 2-krát vyšší: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Potom vypočítame vzdialenosť pomocou vzorca S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Teraz nie je ťažké zistiť čas t 2, ktorý sa od nás požaduje podľa stavu problému: t 2 = 360/120 = 3 hodiny.
Ako vidíte, čas jazdy a rýchlosť sú skutočne nepriamo úmerné: s rýchlosťou 2-krát vyššou ako pôvodná, auto strávi na ceste 2-krát menej času.
Riešenie tohto problému môže byť napísané aj ako pomer. Prečo vytvárame takýto diagram:
↓ 60 km/h – 6 h
↓120 km/h – x h
Šípky označujú inverzný vzťah. A tiež navrhujú, že pri zostavovaní pomeru sa musí pravá strana záznamu otočiť: 60/120 \u003d x / 6. Kde získame x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 hodiny.
Úloha číslo 2. Dielňa zamestnáva 6 pracovníkov, ktorí zvládnu dané množstvo práce za 4 hodiny. Ak sa počet pracovníkov zníži na polovicu, ako dlho bude trvať, kým zostávajúci pracovníci dokončia rovnaký objem práce?
Do formulára napíšeme podmienky problému vizuálna schéma:
↓ 6 pracovníkov – 4 hodiny
↓ 3 pracovníci - x h
Zapíšme si to ako podiel: 6/3 = x/4. A dostaneme x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 hodín. Ak je pracovníkov 2-krát menej, zvyšok strávi 2-krát viac času na dokončenie celej práce.
Úloha číslo 3. Do bazéna vedú dve rúry. Prostredníctvom jedného potrubia vstupuje voda rýchlosťou 2 l / s a naplní bazén za 45 minút. Cez ďalšie potrubie sa bazén napustí za 75 minút. Ako rýchlo vstupuje voda do bazéna cez toto potrubie?
Na začiatok uvedieme všetky nám dané veličiny podľa stavu problému na rovnaké merné jednotky. Na tento účel vyjadrujeme rýchlosť plnenia bazéna v litroch za minútu: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.
Keďže z podmienky vyplýva, že bazén sa cez druhé potrubie napúšťa pomalšie, znamená to, že rýchlosť prítoku vody je nižšia. Na tvári obrátenej úmernosti. Vyjadrime nám neznámu rýchlosť pomocou x a zostavme nasledujúcu schému:
↓ 120 l/min - 45 min
↓ x l/min – 75 min
A potom urobíme pomer: 120 / x \u003d 75/45, odkiaľ x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.
V úlohe je rýchlosť napúšťania bazéna vyjadrená v litroch za sekundu, prinesme našu odpoveď do rovnakého tvaru: 72/60 = 1,2 l/s.
Úloha číslo 4. Vizitky sa tlačia v malej súkromnej tlačiarni. Zamestnanec tlačiarne pracuje rýchlosťou 42 vizitiek za hodinu a pracuje na plný úväzok - 8 hodín. Ak by pracoval rýchlejšie a vytlačil 48 vizitiek za hodinu, o koľko skôr by mohol ísť domov?
Ideme osvedčeným spôsobom a zostavíme schému podľa stavu problému, pričom požadovanú hodnotu označíme ako x:
↓ 42 vizitiek/h – 8 h
↓ 48 vizitiek/h – xh
Pred nami je nepriamo úmerný vzťah: koľkokrát viac vizitiek vytlačí zamestnanec tlačiarne za hodinu, toľko času mu zaberie dokončenie tej istej úlohy. Keď to vieme, môžeme nastaviť pomer:
42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 hodín.
Po dokončení práce za 7 hodín mohol zamestnanec tlačiarne ísť domov o hodinu skôr.
Záver
Zdá sa nám, že tieto problémy s inverznou proporcionalitou sú skutočne jednoduché. Dúfame, že ich tak považujete aj vy. A čo je najdôležitejšie, znalosť nepriamo úmernej závislosti veličín sa vám naozaj môže hodiť viackrát.
Nielen na hodinách matematiky a na skúškach. Ale aj vtedy, keď sa chystáte na výlet, nakupovať, rozhodnúť sa zarobiť si cez prázdniny atď.
Povedzte nám v komentároch, aké príklady inverznej a priamej úmernosti si okolo seba všímate. Nech je to hra. Uvidíte, aké to bude vzrušujúce. Nezabudnite zdieľať tento článok sociálne siete aby mohli hrať aj vaši kamaráti a spolužiaci.
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
