Kako pronaći izvode složenih funkcija. Derivat složene funkcije. Geometrijsko i fizičko značenje izvedenice

Ako slijedimo definiciju, tada je derivacija funkcije u točki granica omjera prirasta funkcije Δ y na prirast argumenta Δ x:

Čini se da je sve jasno. Ali pokušajte izračunati po ovoj formuli, recimo, derivaciju funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grijeh x. Ako sve radite po definiciji, onda ćete nakon nekoliko stranica izračuna jednostavno zaspati. Stoga postoje jednostavniji i učinkovitiji načini.

Za početak, napominjemo da se takozvane elementarne funkcije mogu razlikovati od čitave raznolikosti funkcija. Riječ je o relativno jednostavnim izrazima čije su izvedenice odavno izračunate i unesene u tablicu. Takve je funkcije dovoljno lako zapamtiti, zajedno s njihovim derivatima.

Derivati ​​elementarnih funkcija

Osnovne funkcije su sve dolje navedene. Izvodi ovih funkcija moraju se znati napamet. Štoviše, nije ih teško naučiti napamet – zato su elementarni.

Dakle, derivacije elementarnih funkcija:

Ako se elementarna funkcija pomnoži s proizvoljnom konstantom, tada se derivacija nove funkcije također lako izračunava:

(C · f)’ = C · f ’.

Općenito, konstante se mogu izvaditi iz predznaka derivacije. Na primjer:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očito se elementarne funkcije mogu međusobno zbrajati, množiti, dijeliti i još mnogo toga. Tako će se pojaviti nove funkcije, više ne baš elementarne, ali i diferencirane prema određenim pravilima. O ovim pravilima raspravlja se u nastavku.

Derivat zbroja i razlike

Neka funkcije f(x) i g(x), čije su nam izvedenice poznate. Na primjer, možete uzeti gore navedene elementarne funkcije. Tada možete pronaći derivaciju zbroja i razlike ovih funkcija:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Dakle, derivacija zbroja (razlike) dviju funkcija jednaka je zbroju (razlici) derivacija. Možda ima više pojmova. Na primjer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo govoreći, u algebri ne postoji koncept "oduzimanja". Postoji koncept "negativnog elementa". Dakle, razlika f − g može se prepisati kao zbroj f+ (−1) g, a onda ostaje samo jedna formula - derivacija zbroja.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) je zbroj dviju elementarnih funkcija, dakle:

f ’(x) = (x 2+ grijeh x)’ = (x 2)' + (grijeh x)’ = 2x+ cosx;

Slično tvrdimo i za funkciju g(x). Samo postoje već tri pojma (sa stajališta algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Odgovor:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat proizvoda

Matematika je logička znanost, pa mnogi ljudi vjeruju da ako je derivacija zbroja jednaka zbroju derivacija, onda derivacija proizvoda štrajk"\u003e jednak umnošku izvedenica. Ali fige vama! Derivat proizvoda se izračunava pomoću potpuno druge formule. Naime:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je jednostavna, ali se često zaboravlja. I ne samo školarci, već i studenti. Rezultat su pogrešno riješeni problemi.

Zadatak. Pronađite derivacije funkcija: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) je proizvod dviju elementarnih funkcija, pa je sve jednostavno:

f ’(x) = (x 3 koz x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (koz x)’ = 3x 2 koz x + x 3 (−grijeh x) = x 2 (3 koz x − x grijeh x)

Funkcija g(x) prvi množitelj je malo kompliciraniji, ali opća shema se ne mijenja od ovoga. Očito, prvi množitelj funkcije g(x) je polinom, a njegova derivacija je derivacija zbroja. Imamo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Odgovor:
f ’(x) = x 2 (3 koz x − x grijeh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Imajte na umu da je u posljednjem koraku derivacija faktorizirana. Formalno, to nije potrebno, ali većina izvedenica se ne izračunava sama od sebe, već radi istraživanja funkcije. To znači da će se dalje derivacija izjednačiti s nulom, saznati će se njezini predznaci i tako dalje. Za takav slučaj, bolje je imati izraz razložen na faktore.

Ako postoje dvije funkcije f(x) i g(x), i g(x) ≠ 0 na skupu koji nas zanima, možemo definirati novu funkciju h(x) = f(x)/g(x). Za takvu funkciju možete pronaći i derivaciju:

Nije slabo, zar ne? Otkud minus? Zašto g 2? Ali ovako! Ovo je jedna od najsloženijih formula - ne možete je shvatiti bez boce. Stoga ga je bolje proučiti na konkretnim primjerima.

Zadatak. Pronađite derivacije funkcija:

U brojniku i nazivniku svakog razlomka postoje elementarne funkcije, tako da sve što trebamo je formula za derivaciju kvocijenta:

Po tradiciji, brojnik činimo u faktore - to će uvelike pojednostaviti odgovor:

Složena funkcija nije nužno formula duga pola kilometra. Na primjer, dovoljno je preuzeti funkciju f(x) = grijeh x i zamijeni varijablu x, recimo, na x 2+ln x. Ispada f(x) = grijeh ( x 2+ln x) je složena funkcija. Ona također ima izvedenicu, ali neće uspjeti pronaći je prema gore navedenim pravilima.

Kako biti? U takvim slučajevima pomaže zamjena varijable i formula za derivaciju složene funkcije:

f ’(x) = f ’(t) · t', ako x je zamijenjen sa t(x).

U pravilu je situacija s razumijevanjem ove formule još tužnija nego s derivacijom kvocijenta. Stoga ga je također bolje objasniti konkretnim primjerima, uz detaljan opis svakog koraka.

Zadatak. Pronađite derivacije funkcija: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grijeh ( x 2+ln x)

Imajte na umu da ako je u funkciji f(x) umjesto izraza 2 x+ 3 će biti lako x, tada dobivamo elementarnu funkciju f(x) = e x. Stoga vršimo zamjenu: neka je 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Tražimo derivaciju složene funkcije po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A sada - pažnja! Izvođenje obrnute zamjene: t = 2x+ 3. Dobivamo:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Pogledajmo sada funkciju g(x). Očito treba zamijeniti. x 2+ln x = t. Imamo:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (grijeh t)’ · t' = cos t · t ’

Obrnuta zamjena: t = x 2+ln x. Zatim:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

To je sve! Kao što se vidi iz posljednjeg izraza, cijeli se problem sveo na izračunavanje derivacije zbroja.

Odgovor:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ln x).

Vrlo često u svojim lekcijama umjesto izraza “derivat” koristim riječ “moždani udar”. Na primjer, hod zbroja jednak je zbroju udaraca. Je li to jasnije? Pa to je dobro.

Dakle, izračun izvedenice svodi se na uklanjanje tih poteza prema gore navedenim pravilima. Kao posljednji primjer, vratimo se na derivacijski stepen s racionalnim eksponentom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo tko to zna u ulozi n može biti razlomak broj. Na primjer, korijen je x 0,5 . Ali što ako postoji nešto lukavo ispod korijena? Opet će se pokazati složena funkcija - vole davati takve konstrukcije na testovima i ispitima.

Zadatak. Pronađite derivaciju funkcije:

Prvo, prepišimo korijen kao stepen s racionalnim eksponentom:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sada vršimo zamjenu: neka x 2 + 8x − 7 = t. Izvod nalazimo po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Izvodimo obrnutu zamjenu: t = x 2 + 8x− 7. Imamo:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Konačno, povratak korijenima:

Na kojoj smo analizirali najjednostavnije derivacije, a također se upoznali s pravilima diferencijacije i nekim tehnikama pronalaženja derivacija. Stoga, ako niste baš dobri s izvedenicama funkcija ili neke točke ovog članka nisu sasvim jasne, onda prvo pročitajte gornju lekciju. Uključite se u ozbiljno raspoloženje – gradivo nije lako, ali ću ga ipak pokušati predstaviti jednostavno i jasno.

U praksi se s derivacijom složene funkcije morate vrlo često, čak bih rekao, gotovo uvijek, kad dobijete zadaće pronaći derivacije.

U tablici gledamo pravilo (br. 5) za razlikovanje složene funkcije:

Razumijemo. Prije svega, pogledajmo notaciju. Ovdje imamo dvije funkcije - i , a funkcija je, slikovito rečeno, ugniježđena u funkciju . Funkcija ove vrste (kada je jedna funkcija ugniježđena unutar druge) naziva se složena funkcija.

Pozvat ću funkciju vanjska funkcija, i funkcija – unutarnja (ili ugniježđena) funkcija.

! Ove definicije nisu teorijske i ne bi se trebale pojaviti u konačnom dizajnu zadataka. Neformalne izraze "vanjska funkcija", "unutarnja" funkcija koristim samo kako bih vam olakšao razumijevanje gradiva.

Da biste razjasnili situaciju, razmotrite sljedeće:

Primjer 1

Pronađite derivaciju funkcije

Pod sinusom nemamo samo slovo "x", već cijeli izraz, tako da pronalaženje izvedenice odmah iz tablice neće raditi. Primjećujemo i da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da je nemoguće “rastrgnuti” sinus:

U ovom primjeru, već iz mojih objašnjenja, intuitivno je jasno da je funkcija složena funkcija, a polinom je unutarnja funkcija (embedding) i vanjska funkcija.

Prvi korak, koji se mora izvesti pri pronalaženju derivacije složene funkcije je to razumjeti koja je funkcija unutarnja, a koja vanjska.

U slučaju jednostavnih primjera, čini se jasnim da je polinom ugniježđen ispod sinusa. Ali što ako nije očito? Kako točno odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja? Da biste to učinili, predlažem korištenje sljedeće tehnike, koja se može provesti mentalno ili na nacrtu.

Zamislimo da kalkulatorom trebamo izračunati vrijednost izraza (umjesto jedan može biti bilo koji broj).

Što prvo izračunamo? Prvenstveno morat ćete izvesti sljedeću radnju: , tako da će polinom biti interna funkcija:

Drugo morat ćete pronaći, pa će sinus - biti vanjska funkcija:

Nakon što smo RAZUMIJETI s unutarnjim i vanjskim funkcijama, vrijeme je za primjenu pravila diferencijacije složenih funkcija .

Počinjemo odlučivati. Iz lekcije Kako pronaći izvedenicu? sjećamo se da dizajn rješenja bilo koje izvedenice uvijek počinje ovako - stavljamo izraz u zagrade i stavljamo crtu u gornji desni:

Isprva nalazimo derivaciju vanjske funkcije (sinus), pogledamo tablicu derivacija elementarnih funkcija i uočimo da . Sve tablične formule su primjenjive čak i ako je "x" zamijenjen složenim izrazom, u ovom slučaju:

Imajte na umu da je unutarnja funkcija nije se promijenilo, ne diramo ga.

Pa, to je sasvim očito

Rezultat primjene formule čisto izgleda ovako:

Konstantni faktor se obično stavlja na početak izraza:

Ako dođe do nesporazuma, odluku zapišite na papir i ponovno pročitajte objašnjenja.

Primjer 2

Pronađite derivaciju funkcije

Primjer 3

Pronađite derivaciju funkcije

Kao i uvijek, pišemo:

Shvatimo gdje imamo vanjsku funkciju, a gdje unutarnju. Da bismo to učinili, pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) izračunati vrijednost izraza za . Što prvo treba učiniti? Prije svega, morate izračunati koliko je baza jednaka:, što znači da je polinom interna funkcija:

I tek tada se izvodi eksponencijalizacija, dakle, funkcija snage je vanjska funkcija:

Prema formuli , prvo morate pronaći derivaciju vanjske funkcije, u ovom slučaju stupanj. Tražimo željenu formulu u tablici:. Ponavljamo opet: bilo koja tablična formula vrijedi ne samo za "x", već i za složeni izraz. Dakle, rezultat primjene pravila diferencijacije složene funkcije Sljedeći:

Ponovno naglašavam da kada uzmemo derivaciju vanjske funkcije, unutarnja funkcija se ne mijenja:

Sada ostaje pronaći vrlo jednostavnu derivaciju unutarnje funkcije i malo "pročešljati" rezultat:

Primjer 4

Pronađite derivaciju funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Za konsolidaciju razumijevanja derivacije složene funkcije dat ću primjer bez komentara, pokušajte sami shvatiti, razlog, gdje je vanjska, a gdje unutarnja funkcija, zašto se zadaci rješavaju na taj način?

Primjer 5

a) Pronađite derivaciju funkcije

b) Pronađite derivaciju funkcije

Primjer 6

Pronađite derivaciju funkcije

Ovdje imamo korijen, a da bismo ga razlikovali, on mora biti predstavljen kao stupanj. Stoga prvo dovodimo funkciju u odgovarajući oblik za diferencijaciju:

Analizirajući funkciju dolazimo do zaključka da je zbroj tri člana unutarnja funkcija, a eksponencijacija vanjska funkcija. Primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije :

Stupanj je opet predstavljen kao radikal (korijen), a za derivaciju interne funkcije primjenjujemo jednostavno pravilo za diferenciranje zbroja:

Spreman. Također možete dovesti izraz do zajedničkog nazivnika u zagradama i sve napisati kao jedan razlomak. Lijepo je, naravno, ali kada se dobiju glomazne duge izvedenice, bolje je to ne činiti (lako se zbuniti, napraviti nepotrebnu grešku, a učitelju će biti nezgodno provjeravati).

Primjer 7

Pronađite derivaciju funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Zanimljivo je primijetiti da se ponekad, umjesto pravila za diferenciranje složene funkcije, može koristiti pravilo za razlikovanje kvocijenta , ali takvo rješenje će izgledati kao izopačenje neobično. Evo tipičnog primjera:

Primjer 8

Pronađite derivaciju funkcije

Ovdje možete koristiti pravilo diferencijacije kvocijenta , ali je mnogo isplativije pronaći derivaciju kroz pravilo diferencijacije složene funkcije:

Pripremamo funkciju za diferencijaciju - vadimo znak minus iz derivacije i dižemo kosinus na brojnik:

Kosinus je unutarnja funkcija, eksponencijacija je vanjska funkcija.
Koristimo se našim pravilom :

Pronalazimo derivaciju unutarnje funkcije, vraćamo kosinus na dolje:

Spreman. U razmatranom primjeru važno je ne zabuniti se u znakovima. Usput, pokušaj to riješiti pravilom , odgovori se moraju podudarati.

Primjer 9

Pronađite derivaciju funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Do sada smo razmatrali slučajeve kada smo imali samo jedno ugniježđenje u složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često možete pronaći izvedenice, gdje se, poput lutki za gniježđenje, jedna u drugoj, ugniježđeno 3 ili čak 4-5 funkcija odjednom.

Primjer 10

Pronađite derivaciju funkcije

Razumijemo priloge ove funkcije. Pokušavamo procijeniti izraz pomoću eksperimentalne vrijednosti. Kako bismo računali na kalkulator?

Prvo morate pronaći, što znači da je arcsin najdublje gniježđenje:

Ovaj arcsin jedinstva tada treba kvadrirati:

I na kraju, dižemo sedam na potenciju:

To jest, u ovom primjeru imamo tri različite funkcije i dva ugniježđenja, dok je najnutarnja funkcija arcsinus, a najudaljenija funkcija eksponencijalna funkcija.

Počinjemo odlučivati

Prema pravilu prvo trebate uzeti derivaciju vanjske funkcije. Gledamo tablicu derivacija i nalazimo derivaciju eksponencijalne funkcije: Jedina razlika je u tome što umjesto "x" imamo složen izraz, što ne negira valjanost ove formule. Dakle, rezultat primjene pravila diferencijacije složene funkcije Sljedeći.

Otkad ste došli ovdje, vjerojatno ste već uspjeli vidjeti ovu formulu u udžbeniku

i napravi lice ovako:

Prijatelju, ne brini! Zapravo, sve je jednostavno za sramotu. Sigurno ćete sve razumjeti. Samo jedan zahtjev - pročitajte članak polako pokušajte razumjeti svaki korak. Napisao sam najjednostavnije i jasnije moguće, ali još uvijek morate proniknuti u ideju. I svakako riješite zadatke iz članka.

Što je složena funkcija?

Zamislite da se selite u drugi stan i stoga pakirate stvari u velike kutije. Neka bude potrebno prikupiti neke male predmete, na primjer, školski pribor. Ako ih samo bacite u ogromnu kutiju, između ostalog će se izgubiti. Kako biste to izbjegli, prvo ih stavite npr. u vrećicu koju potom stavite u veliku kutiju, nakon čega je zatvorite. Ovaj "najteži" proces prikazan je na donjem dijagramu:

Čini se, gdje je matematika? A osim toga, složena funkcija se formira na BAŠ ISTOV NAČIN! Samo mi ne “pakiramo” ne bilježnice i olovke, već \ (x \), dok nam služe različiti “paketi” i “kutije”.

Na primjer, uzmimo x i "upakiramo" ga u funkciju:

Kao rezultat, dobivamo, naravno, \(\cos⁡x\). Ovo je naša "vreća stvari". A sada ga stavljamo u "kutiju" - pakiramo ga, na primjer, u kubičnu funkciju.

Što će se na kraju dogoditi? Da, tako je, bit će "paket sa stvarima u kutiji", odnosno "kosinus od x u kocki".

Rezultirajuća konstrukcija je složena funkcija. Po tome se razlikuje od jednostavnog NEKOLIKO “utjecaja” (paketa) primjenjuje se na jedan X u nizu i ispada, takoreći, "funkcija iz funkcije" - "paket u paketu".

U školskom tečaju postoji vrlo malo vrsta tih istih "paketa", samo četiri:

Hajdemo sada "upakirati" x prvo u eksponencijalnu funkciju s bazom 7, a zatim u trigonometrijsku funkciju. dobivamo:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

A sada "upakirajmo" x dvaput u trigonometrijske funkcije, prvo u, a zatim u:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Jednostavno, zar ne?

Sada sami napišite funkcije, gdje je x:
- prvo se “pakira” u kosinus, a zatim u eksponencijalnu funkciju s bazom \(3\);
- prvo na peti stepen, a zatim na tangentu;
- prvo do osnovnog logaritma \(4\) , zatim na potenciju \(-2\).

Odgovore na ovo pitanje pogledajte na kraju članka.

Ali možemo li "pakirati" x ne dva, nego tri puta? Nema problema! I četiri, i pet, i dvadeset i pet puta. Ovdje je, na primjer, funkcija u kojoj je x "upakiran" \(4\) puta:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ali takve formule neće se naći u školskoj praksi (učenici imaju više sreće - mogu biti teže☺).

"Raspakiranje" složene funkcije

Ponovno pogledajte prethodnu funkciju. Možete li odgonetnuti redoslijed "pakiranja"? U što se prvo ugurao X, u što onda i tako do samog kraja. Odnosno, koja je funkcija u kojoj je ugniježđena? Uzmite komad papira i zapišite što mislite. To možete učiniti lancem strelica, kao što smo gore napisali, ili na bilo koji drugi način.

Sada je točan odgovor: prvo je x "upakiran" u \(4\)-tu potenciju, zatim je rezultat upakiran u sinus, on je zauzvrat stavljen u logaritamsku bazu \(2\), a u na kraju je cijela konstrukcija gurnuta u petice.

Odnosno, potrebno je odmotati slijed OBRATNIM REDOM. A evo i savjeta kako to učiniti jednostavnije: samo pogledajte X - od njega morate plesati. Pogledajmo nekoliko primjera.

Na primjer, evo funkcije: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Gledamo X - što se s njim prvo događa? Oduzeto od njega. I onda? Uzima se tangenta rezultata. I slijed će biti isti:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Drugi primjer: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analiziramo - prvo je x kockan, a zatim je iz rezultata uzet kosinus. Dakle, slijed će biti: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Obratite pažnju, čini se da je funkcija slična onoj prvoj (gdje sa slikama). Ali ovo je sasvim drugačija funkcija: ovdje u kocki x (to jest, \(\cos⁡((x x x)))\), a tamo u kocki kosinus \(x\) (to jest, \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Ova razlika proizlazi iz različitih sekvenci "pakiranja".

Posljednji primjer (s važnim informacijama): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Jasno je da smo ovdje prvo izvodili aritmetičke operacije s x, a zatim je sinus uzet iz rezultata: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). I ovo je važna točka: unatoč činjenici da aritmetičke operacije nisu funkcije same po sebi, ovdje također djeluju kao način "pakiranja". Udubimo se malo dublje u ovu suptilnost.

Kao što sam rekao gore, u jednostavnim funkcijama x se "pakira" jednom, a u složenim funkcijama - dva ili više. Štoviše, svaka kombinacija jednostavnih funkcija (odnosno njihov zbroj, razlika, množenje ili dijeljenje) također je jednostavna funkcija. Na primjer, \(x^7\) je jednostavna funkcija, kao i \(ctg x\). Stoga su sve njihove kombinacije jednostavne funkcije:

\(x^7+ ctg x\) - jednostavno,
\(x^7 ctg x\) je jednostavno,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) je jednostavan, i tako dalje.

Međutim, ako se na takvu kombinaciju primijeni još jedna funkcija, to će već biti složena funkcija, budući da će postojati dva “paketa”. Vidi dijagram:

U redu, idemo sada s tim. Napišite slijed funkcija "omatanja":
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Odgovori su opet na kraju članka.

Unutarnje i vanjske funkcije

Zašto moramo razumjeti ugniježđenje funkcija? Što nam ovo daje? Stvar je u tome da bez takve analize nećemo moći pouzdano pronaći derivacije gore raspravljenih funkcija.

A da bismo krenuli dalje, trebat će nam još dva koncepta: unutarnje i vanjske funkcije. Ovo je vrlo jednostavna stvar, štoviše, zapravo smo ih već analizirali gore: ako se prisjetimo naše analogije na samom početku, onda je unutarnja funkcija "paket", a vanjska je "kutija". Oni. ono u što je X prvo "umotano" je unutarnja funkcija, a ono u što je interno "umotano" već je eksterno. Pa, razumljivo je zašto - vani je, znači vanjsko.

Ovdje u ovom primjeru: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funkcija \(\log_2⁡x\) je interna, i
- vanjski.

A u ovom: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) je interni, i
- vanjski.

Izvedite posljednju praksu analize složenih funkcija, i konačno, prijeđimo na točku za koju je sve započeto - pronaći ćemo derivacije složenih funkcija:

Popunite praznine u tablici:

Derivat složene funkcije

Bravo za nas, ipak smo došli do "šefa" ove teme - zapravo derivacije složene funkcije, a konkretno do one jako strašne formule s početka članka.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ova formula glasi ovako:

Izvod složene funkcije jednak je umnošku derivacije vanjske funkcije s obzirom na konstantnu unutarnju funkciju i derivaciju unutarnje funkcije.

I odmah pogledajte shemu raščlanjivanja "po riječima" da biste razumjeli na što se odnositi:

Nadam se da pojmovi "derivacija" i "proizvod" ne izazivaju poteškoće. "Složena funkcija" - već smo demontirali. Kvaka je u "derivatu vanjske funkcije s obzirom na konstantu unutarnju". Što je?

Odgovor: ovo je uobičajena derivacija vanjske funkcije, u kojoj se mijenja samo vanjska funkcija, dok unutarnja ostaje ista. Još uvijek nejasno? U redu, uzmimo primjer.

Recimo da imamo funkciju \(y=\sin⁡(x^3)\). Jasno je da je unutarnja funkcija ovdje \(x^3\), a vanjska
. Nađimo sada derivaciju vanjskog s obzirom na konstantu unutarnjeg.

Ako je a g(x) i f(u) su diferencibilne funkcije njihovih argumenata, odnosno u točkama x i u= g(x), tada je kompleksna funkcija također diferencibilna u točki x a nalazi se po formuli

Tipična pogreška u rješavanju problema na izvedenicama je automatski prijenos pravila za razlikovanje jednostavnih funkcija u složene funkcije. Naučit ćemo izbjeći ovu grešku.

Primjer 2 Pronađite derivaciju funkcije

Pogrešno rješenje: izračunaj prirodni logaritam svakog člana u zagradama i pronađi zbroj derivacija:

Ispravno rješenje: opet utvrđujemo gdje je "jabuka", a gdje "mljeveno meso". Ovdje je prirodni logaritam izraza u zagradama "jabuka", odnosno funkcija na međuargumentu u, a izraz u zagradi je "mljeveno meso", odnosno međuargument u nezavisnom varijablom x.

Zatim (koristeći formulu 14 iz tablice izvedenica)

U mnogim stvarnim problemima izraz s logaritmom je nešto kompliciraniji, zbog čega postoji pouka

Primjer 3 Pronađite derivaciju funkcije

Pogrešno rješenje:

Ispravno rješenje. Još jednom određujemo gdje je "jabuka", a gdje "mljeveno meso". Ovdje je kosinus izraza u zagradama (formula 7 u tablici derivacija) "jabuka", priprema se u načinu 1, koji utječe samo na njega, a izraz u zagradama (derivacija stupnja - broj 3 u tablica derivata) je "mljeveno meso", kuha se u načinu 2, utječe samo na njega. I kao i uvijek, povezujemo dvije izvedenice znakom proizvoda. Proizlaziti:

Derivat složene logaritamske funkcije čest je zadatak u testovima, stoga vam toplo preporučamo da posjetite lekciju "Izvod logaritamske funkcije".

Prvi primjeri bili su za složene funkcije, u kojima je međuargument nad nezavisnom varijablom bila jednostavna funkcija. Ali u praktičnim zadacima često se zahtijeva pronalaženje derivacije složene funkcije, gdje je međuargument ili sam složena funkcija ili sadrži takvu funkciju. Što učiniti u takvim slučajevima? Nađite izvode takvih funkcija pomoću tablica i pravila diferencijacije. Kada se pronađe derivacija srednjeg argumenta, jednostavno se zamjenjuje na pravom mjestu u formuli. U nastavku su dva primjera kako se to radi.

Osim toga, korisno je znati sljedeće. Ako se složena funkcija može predstaviti kao lanac od tri funkcije

tada njenu derivaciju treba pronaći kao umnožak derivacija svake od ovih funkcija:

Mnogi od vaših domaćih zadataka mogu zahtijevati otvaranje vodiča u novim prozorima. Djelovanja s moćima i korijenima i Radnje s razlomcima .

Primjer 4 Pronađite derivaciju funkcije

Primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije, ne zaboravljajući da je u rezultirajućem umnošku derivacija srednji argument u odnosu na nezavisnu varijablu x ne mijenja se:

Pripremamo drugi faktor proizvoda i primjenjujemo pravilo za razlikovanje zbroja:

Drugi pojam je korijen, dakle

Tako je dobiveno da međuargument, koji je zbroj, sadrži složenu funkciju kao jedan od pojmova: eksponencijacija je složena funkcija, a ono što se podiže na stepen je međuargument nezavisnom varijablom x.

Stoga ponovno primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije:

Stupanj prvog faktora pretvaramo u korijen, a razlikovanjem drugog faktora ne zaboravljamo da je derivacija konstante jednaka nuli:

Sada možemo pronaći derivaciju srednjeg argumenta potrebnog za izračunavanje derivacije složene funkcije potrebne u uvjetu problema y:

Primjer 5 Pronađite derivaciju funkcije

Prvo, koristimo pravilo diferenciranja zbroja:

Dobiti zbroj derivacija dviju složenih funkcija. Pronađite prvu:

Ovdje je podizanje sinusa na stepen složena funkcija, a sam sinus je međuargument u nezavisnoj varijabli x. Stoga se usput služimo pravilom diferencijacije složene funkcije uzimanje množitelja iz zagrada :

Sada nalazimo drugi član od onih koji čine derivaciju funkcije y:

Ovdje je podizanje kosinusa na stepen složena funkcija f, a sam kosinus je srednji argument u odnosu na nezavisnu varijablu x. Opet koristimo pravilo diferencijacije složene funkcije:

Rezultat je tražena derivacija:

Tablica derivacija nekih složenih funkcija

Za složene funkcije, na temelju pravila diferencijacije složene funkcije, formula za derivaciju jednostavne funkcije poprima drugačiji oblik.

1. Derivat kompleksne funkcije snage, gdje u x
2. Derivat korijena izraza
3. Derivat eksponencijalne funkcije
4. Poseban slučaj eksponencijalne funkcije
5. Derivat logaritamske funkcije s proizvoljnom pozitivnom bazom a
6. Derivat kompleksne logaritamske funkcije, gdje je u je diferencibilna funkcija argumenta x
7. Sinusni derivat
8. Kosinusni derivat
9. Tangentna derivacija
10. Derivat kotangensa
11. Derivat arcsinusa
12. Derivat arc kosinusa
13. Derivat arc tangente
14. Derivat inverzne tangente

U ovoj lekciji naučit ćemo kako pronaći derivacija složene funkcije. Sat je logičan nastavak lekcije Kako pronaći izvedenicu?, na kojem smo analizirali najjednostavnije derivacije, a također se upoznali s pravilima diferencijacije i nekim tehničkim metodama za pronalaženje derivacija. Stoga, ako niste baš dobri s izvedenicama funkcija ili neke točke ovog članka nisu sasvim jasne, onda prvo pročitajte gornju lekciju. Uključite se u ozbiljno raspoloženje – gradivo nije lako, ali ću ga ipak pokušati predstaviti jednostavno i jasno.

U praksi se s derivacijom složene funkcije morate vrlo često, čak bih rekao, gotovo uvijek, kad dobijete zadaće pronaći derivacije.

U tablici gledamo pravilo (br. 5) za razlikovanje složene funkcije:

Razumijemo. Prije svega, pogledajmo notaciju. Ovdje imamo dvije funkcije - i , a funkcija je, slikovito rečeno, ugniježđena u funkciju . Funkcija ove vrste (kada je jedna funkcija ugniježđena unutar druge) naziva se složena funkcija.

Pozvat ću funkciju vanjska funkcija, i funkcija – unutarnja (ili ugniježđena) funkcija.

! Ove definicije nisu teorijske i ne bi se trebale pojaviti u konačnom dizajnu zadataka. Neformalne izraze "vanjska funkcija", "unutarnja" funkcija koristim samo kako bih vam olakšao razumijevanje gradiva.

Da biste razjasnili situaciju, razmotrite sljedeće:

Primjer 1

Pronađite derivaciju funkcije

Pod sinusom nemamo samo slovo "x", već cijeli izraz, tako da pronalaženje izvedenice odmah iz tablice neće raditi. Primjećujemo i da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da je nemoguće “rastrgnuti” sinus:

U ovom primjeru, već iz mojih objašnjenja, intuitivno je jasno da je funkcija složena funkcija, a polinom je unutarnja funkcija (embedding) i vanjska funkcija.

Prvi korak, koji se mora izvesti pri pronalaženju derivacije složene funkcije je to razumjeti koja je funkcija unutarnja, a koja vanjska.

U slučaju jednostavnih primjera, čini se jasnim da je polinom ugniježđen ispod sinusa. Ali što ako nije očito? Kako točno odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja? Da biste to učinili, predlažem korištenje sljedeće tehnike, koja se može provesti mentalno ili na nacrtu.

Zamislimo da kalkulatorom trebamo izračunati vrijednost izraza (umjesto jedan može biti bilo koji broj).

Što prvo izračunamo? Prvenstveno morat ćete izvesti sljedeću radnju: , tako da će polinom biti interna funkcija:

Drugo morat ćete pronaći, pa će sinus - biti vanjska funkcija:

Nakon što smo RAZUMIJETI S unutarnjim i vanjskim funkcijama, vrijeme je za primjenu pravila diferencijacije složenih funkcija.

Počinjemo odlučivati. Iz lekcije Kako pronaći izvedenicu? sjećamo se da dizajn rješenja bilo koje izvedenice uvijek počinje ovako - stavljamo izraz u zagrade i stavljamo crtu u gornji desni:

Isprva nalazimo derivaciju vanjske funkcije (sinus), pogledamo tablicu derivacija elementarnih funkcija i uočimo da . Sve tablične formule su primjenjive čak i ako je "x" zamijenjen složenim izrazom, u ovom slučaju:

Imajte na umu da je unutarnja funkcija nije se promijenilo, ne diramo ga.

Pa, to je sasvim očito

Konačni rezultat primjene formule izgleda ovako:

Konstantni faktor se obično stavlja na početak izraza:

Ako dođe do nesporazuma, odluku zapišite na papir i ponovno pročitajte objašnjenja.

Primjer 2

Pronađite derivaciju funkcije

Primjer 3

Pronađite derivaciju funkcije

Kao i uvijek, pišemo:

Shvatimo gdje imamo vanjsku funkciju, a gdje unutarnju. Da bismo to učinili, pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) izračunati vrijednost izraza za . Što prvo treba učiniti? Prije svega, morate izračunati koliko je baza jednaka:, što znači da je polinom interna funkcija:

I tek tada se izvodi eksponencijalizacija, dakle, funkcija snage je vanjska funkcija:

Prema formuli, prvo morate pronaći derivaciju vanjske funkcije, u ovom slučaju stupanj. Tražimo željenu formulu u tablici:. Ponavljamo opet: bilo koja tablična formula vrijedi ne samo za "x", već i za složeni izraz. Dakle, rezultat primjene pravila diferencijacije složene funkcije je sljedeći:

Ponovno naglašavam da kada uzmemo derivaciju vanjske funkcije, unutarnja funkcija se ne mijenja:

Sada ostaje pronaći vrlo jednostavnu derivaciju unutarnje funkcije i malo "pročešljati" rezultat:

Primjer 4

Pronađite derivaciju funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Za konsolidaciju razumijevanja derivacije složene funkcije dat ću primjer bez komentara, pokušajte sami shvatiti, razlog, gdje je vanjska, a gdje unutarnja funkcija, zašto se zadaci rješavaju na taj način?

Primjer 5

a) Pronađite derivaciju funkcije

b) Pronađite derivaciju funkcije

Primjer 6

Pronađite derivaciju funkcije

Ovdje imamo korijen, a da bismo ga razlikovali, on mora biti predstavljen kao stupanj. Stoga prvo dovodimo funkciju u odgovarajući oblik za diferencijaciju:

Analizirajući funkciju dolazimo do zaključka da je zbroj tri člana unutarnja funkcija, a eksponencijacija vanjska funkcija. Primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije:

Stupanj je opet predstavljen kao radikal (korijen), a za derivaciju interne funkcije primjenjujemo jednostavno pravilo za diferenciranje zbroja:

Spreman. Također možete dovesti izraz do zajedničkog nazivnika u zagradama i sve napisati kao jedan razlomak. Lijepo je, naravno, ali kada se dobiju glomazne duge izvedenice, bolje je to ne činiti (lako se zbuniti, napraviti nepotrebnu grešku, a učitelju će biti nezgodno provjeravati).

Primjer 7

Pronađite derivaciju funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Zanimljivo je primijetiti da se ponekad, umjesto pravila za diferenciranje složene funkcije, može koristiti pravilo za razlikovanje kvocijenta , ali takvo bi rješenje izgledalo kao perverzija smiješno. Evo tipičnog primjera:

Primjer 8

Pronađite derivaciju funkcije

Ovdje možete koristiti pravilo diferencijacije kvocijenta , ali je mnogo isplativije pronaći derivaciju kroz pravilo diferencijacije složene funkcije:

Pripremamo funkciju za diferencijaciju - vadimo znak minus iz derivacije i dižemo kosinus na brojnik:

Kosinus je unutarnja funkcija, eksponencijacija je vanjska funkcija.
Koristimo se našim pravilom:

Pronalazimo derivaciju unutarnje funkcije, vraćamo kosinus na dolje:

Spreman. U razmatranom primjeru važno je ne zabuniti se u znakovima. Usput, pokušaj to riješiti pravilom , odgovori se moraju podudarati.

Primjer 9

Pronađite derivaciju funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Do sada smo razmatrali slučajeve kada smo imali samo jedno ugniježđenje u složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često možete pronaći izvedenice, gdje se, poput lutki za gniježđenje, jedna u drugoj, ugniježđeno 3 ili čak 4-5 funkcija odjednom.

Primjer 10

Pronađite derivaciju funkcije

Razumijemo priloge ove funkcije. Pokušavamo procijeniti izraz pomoću eksperimentalne vrijednosti. Kako bismo računali na kalkulator?

Prvo morate pronaći, što znači da je arcsin najdublje gniježđenje:

Ovaj arcsin jedinstva tada treba kvadrirati:

I na kraju, dižemo sedam na potenciju:

To jest, u ovom primjeru imamo tri različite funkcije i dva ugniježđenja, dok je najnutarnja funkcija arcsinus, a najudaljenija funkcija eksponencijalna funkcija.

Počinjemo odlučivati

Prema pravilu, prvo morate uzeti derivaciju vanjske funkcije. Gledamo tablicu derivacija i nalazimo derivaciju eksponencijalne funkcije: Jedina razlika je u tome što umjesto "x" imamo složen izraz, što ne negira valjanost ove formule. Dakle, rezultat primjene pravila diferencijacije složene funkcije je sljedeći:

Ispod kontrolne ploče opet imamo zeznutu funkciju! Ali već je lakše. Lako je vidjeti da je unutarnja funkcija arcsin, a vanjska funkcija stupanj. Prema pravilu diferencijacije složene funkcije, prvo morate uzeti derivaciju stupnja.