10x - 5y - 3z = - 9,

6 x + 4 y - 5 z = - 1,3 x - 4 y - 6 z = - 23.

Izjednačavamo koeficijente na x u prvoj i drugoj jednadžbi, za to pomnožimo oba dijela prve jednadžbe sa 6, a druge jednadžbe sa 10, dobivamo:

60x - 30 y - 18z = - 54,60x + 40 y - 50z = - 10.

Od druge jednadžbe rezultirajućeg sustava oduzimamo prvu jednadžbu

dobivamo: 70 y - 32 z = 44, 35 y - 16 z = 22.

Oduzmite treću jednadžbu pomnoženu s 2 od druge jednadžbe izvornog sustava, dobit ćemo: 4 y + 8 y − 5 z + 12 z = − 1 + 46,

12y + 7z = 45.

Sada rješavamo novi sustav jednadžbi:

35y − 16z = 22,12y + 7z = 45.

Prvoj jednadžbi novog sustava, pomnoženoj sa 7, dodamo drugu jednadžbu, pomnoženu sa 16, dobijemo:

35 7y + 12 16y = 22 7 + 45 16,

Sada zamjenjujemo y = 2, z = 3 u prvu jednadžbu izvornog sustava

teme, dobivamo: 10x - 5 2 - 3 3 = - 9, 10x - 10 - 9 = - 9, 10x = 10, x = 1.

Odgovor: (1; 2; 3) . ▲

§ 3. Rješenje sustava s parametrom i s modulima

ax + 4y = 2a,

Razmotrimo sustav jednadžbi

x + ay = a.

2010-2011 akademska godina god., broj 3, 8 ćelija. Matematika. Sustavi jednadžbi.

U ovom sustavu, zapravo, postoje tri varijable, i to: a , x , y . Nepoznate su x i y, a a se naziva parametar. Za svaku vrijednost parametra a potrebno je pronaći rješenja (x, y) ovog sustava.

Pokažimo kako se takvi sustavi rješavaju. Izrazimo varijablu x iz druge jednadžbe sustava: x = a − ay . Zamijenimo ovu vrijednost za x u prvu jednadžbu sustava, dobićemo:

a (a − ay) + 4 y = 2 a,

(2 − a )(2 + a ) y = a (2 − a ) .

Ako je a = 2, onda dobivamo jednadžbu 0 y = 0. Bilo koji broj y zadovoljava ovu jednadžbu, a tada je x = 2 − 2 y , tj. za a = 2, par brojeva (2 − 2 y ; y ) je rješenje za sustav. Budući da y može biti

bilo koji broj, tada sustav za a = 2 ima beskonačno mnogo rješenja.

Ako je a = − 2, tada dobivamo jednadžbu 0 y = 8. Ova jednadžba nema rješenja.

Odgovor: Za a = 2, sustav ima beskonačno mnogo rješenja oblika (2 − 2 y ; y ) , gdje je y bilo koji broj;

Riješili smo ovaj sustav i ustanovili za koje vrijednosti parametra a sustav ima jedno rješenje, kada ima beskonačno mnogo rješenja, a za koje vrijednosti parametra a nema rješenja.

Primjer 1. Riješite sustav jednadžbi

© 2010, FZFTSH na MIPT-u. Sastavila: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 akademska godina god., broj 3, 8 ćelija. Matematika. Sustavi jednadžbi.

© 2010, FZFTSH na MIPT-u. Sastavila: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 akademska godina god., broj 3, 8 ćelija. Matematika. Sustavi jednadžbi.

Dakle, sustav ima dva rješenja (3;2) i 13 27 ; 13 8 . ▲

§ 4. Rješenje zadataka uz pomoć sustava jednadžbi

Primjer 1. Automobil prijeđe od grada do sela za 2,5 sata. Poveća li svoju brzinu za 20 km/h, tada će za 2 sata prijeći udaljenost od 15 km više od udaljenosti od grada do sela. Pronađite ovu udaljenost.

Označite sa S udaljenost između grada i sela, a s V brzinu automobila. Zatim, da bismo pronašli S, dobivamo sustav od dvije jednadžbe

2,5 V=S

(V + 20) 2 = S + 15.

© 2010, FZFTSH na MIPT-u. Sastavila: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 akademska godina god., broj 3, 8 ćelija. Matematika. Sustavi jednadžbi.

Odgovor: 125 km. ▲

Primjer 2. Zbroj znamenki dvoznamenkastog broja je 15. Ako se te znamenke izmijene, dobiva se broj koji je 27 veći od izvornog. Pronađite ove brojeve.

Neka je zadani broj ab , t.j. broj desetica je a , a broj jedinica b . Iz prvog uvjeta zadatka imamo: a + b = 15. Ako od broja ba oduzmemo broj ab, dobijemo 27, odavde dobivamo drugu jednadžbu: 10 b + a − (10 a + b ) = 27. x

2010-2011 akademska godina god., broj 3, 8 ćelija. Matematika. Sustavi jednadžbi.

Pomnožite obje strane jednadžbe s 20, dobit ćemo: x + 8 y = 840. Da bismo pronašli x i y, dobili smo sustav jednadžbi

Odgovor: 40 tona, 100 tona ▲

Primjer 4. Računalni operater u radu s učenikom obrađuje zadatak za 2 sata i 24 minute. Ako će operater raditi 2 sata, a student 1 sat, onda

djeca su završila 2 3 svih radova. Koliko će vremena trebati za operatera

ru i učenik odvojeno obraditi zadatak?

Označimo sav rad kao 1, izvedbu operatera kao x, a izvedbu učenika kao y. To uzimamo u obzir

2 sata 24 minute = 2 5 2 sata = 12 5 sati.

Iz prvog uvjeta zadatka slijedi da je (x+y ) 12 5 = 1. Iz drugog uvjeta zadatka slijedi da je 2 x + y = 2 3 . Dobili smo sustav jednadžbi

© 2010, FZFTSH na MIPT-u. Sastavila: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Natrag naprijed

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Svrha lekcije. Rješavanje jednadžbi s parametrima i modulima, primjena svojstava funkcija u neočekivanim situacijama i ovladavanje geometrijskim tehnikama rješavanja zadataka. Nestandardne jednadžbe.

Zadaci:

• obrazovne: naučiti rješavati neke vrste jednadžbi jednadžbi s modulima i parametrima;
• obrazovne: razvijati kulturu mišljenja, kulturu govora i sposobnost rada s bilježnicom i pločom.
• obrazovne: odgajati samostalnost i sposobnost prevladavanja poteškoća.

Oprema: vizualni materijal za usmeno prebrojavanje i objašnjenje nove teme. Interaktivna ploča, multimedijska oprema za nastavu.

Struktura lekcije:

1. Ponavljanje proučenog gradiva (usmeno brojanje).
2. Učenje novog gradiva.
3. Učvršćivanje proučenog gradiva.
4. Sažetak lekcije.
5. Domaća zadaća.

TIJEKOM NASTAVE

1. Ponavljanje najvažnijeg teorijskog gradiva na teme: "Jednadžbe koje sadrže modul", "Rješenje jednadžbi s parametrima"

1) "Jednadžbe koje sadrže modul"

Apsolutna vrijednost ili modul broja a je broj a, ako a> 0, broj - a, ako a < 0, нуль, если a= 0. Ili

Iz definicije proizlazi da | a | > 0 i | a | > a za sve a€ R.
Nejednakost | x | < a, (ako a> 0) jednako je dvostrukoj nejednakosti a < x < a.
Nejednakost | x | < a, (ako a < 0) не имеет смысла, так как | х | >0.
Nejednakost | x | > a, (ako a> 0) jednako je dvjema nejednadžbama
Nejednakost | x | > a, (ako a < 0) справедливо для любого x€R.

2) "Rješenje jednadžbi s parametrima"

Riješiti jednadžbu s parametrima znači naznačiti pri kojim vrijednostima parametara rješenja postoje i koja su.

a) odrediti skup dopuštenih vrijednosti nepoznatih i parametara;

b) za svaki dopušteni sustav vrijednosti parametara pronaći odgovarajuće skupove rješenja jednadžbe.

2. Oralne vježbe

1. Riješite jednadžbu | x– 2 | = 5; Odgovor: 7; – 3

| x– 2 | = – 5; Odgovor: nema rješenja

| x– 2 | = x + 5; Odgovor: nema rješenja; 1.5

| x– 2 | = | x+ 5 |; Odgovor: nema rješenja; - 1,5; nema rješenja; - 1,5;

2. Riješite jednadžbu: | x+ 3 | + | y– 2 | = 4;

Razmotrimo četiri slučaja

Kao rezultat, dobivamo kvadrat čije je središte (-3; 2), a duljina dijagonale je 8, a dijagonale su paralelne s koordinatnim osi.

Iz vizualnih razmatranja možemo zaključiti da je jednadžba oblika | x + a | + | na + b | = s; definira kvadrat na ravnini sa središtem u točki (- a; – b), dijagonale paralelne s osovinama OX i OY, a duljina svake dijagonale je 2 s. Odgovor: (– 3; 2).

2. Riješite jednadžbu ax = 1

Odgovor: ako je a = 0, onda nema rješenja; ako a= 0, dakle x = 1/ a

3. Riješite jednadžbu ( a 2 – 1) x = a + 1.

Odluka.

Lako je vidjeti da je pri rješavanju ove jednadžbe dovoljno razmotriti sljedeće slučajeve:

1) a= 1; tada jednadžba poprima oblik OX = 2 i nema rješenja

2) a= – 1; dobivamo OX = O, i očito x- bilo koji.

1
3) ako a = + 1, dakle x = –––
a – 1

Odgovor:
ako a= – 1, dakle x- bilo koji;
ako a= 1, onda nema rješenja;

1
ako a = + 1, dakle x = –––
a – 1

3. Rješenja primjera(iz opcije C)

1. Pri kojoj vrijednosti parametra p jednadžba | x 2 – 5x + 6 | + | x 2 – 5x + 4 | = R ima četiri korijena.

Razmotrimo funkciju y = | x 2 – 5x + 6 | + | x 2 – 5x + 4 |

Kao x 2 – 5x + 6 = (x – 2)(x– 3) i x 2 – 5x + 4 = (x – 1)(x– 4), dakle y = | (x – 2)(x – 3) | + | (x – 1)(x- 4) |, na realnoj liniji označavamo korijene kvadratnih trinoma

1 2 3 4 x

Brojevni pravac se tada dijeli na 5 intervala

Za slučaj 3) x 0 = – b | 2a = 2, y 0 = 25: 2 + 25 – 10 = 2,5

Dakle, (2.5; 2.5) su koordinate vrha parabole y = – 2x 2 + 10x – 10.

Konstruiramo graf funkcije zadane jednakošću

Kao što se može vidjeti sa slike, izvorna jednadžba ima četiri korijena, ako je 2 < a < 2,5

Odgovor: u 2 < a < 2,5

4. Samostalan rad po razinama

1 razina

1. Riješite jednadžbu x 2 – | x| = 6
2. Za koje cjelobrojne vrijednosti a jednadžba ima jedinstveno rješenje Oh 2 – (a + 1) + a 2 + a = 0?

2 razina

1. Riješite jednadžbu: | x – 5 | – | 2x + 3 | = 10
a –12) x 2 + 2 = 2(12 – a) ima dva različita korijena?

3 razina

1. Riješite jednadžbu | x – 5 | – | 2x + 3| = 10
2. Pronađite sve vrijednosti parametra a za koje je jednadžba ( a – 12) x 2 + 2 = 2(12 – a) ima dva različita korijena?

5. Sažetak lekcije

1. Definicija modula.
2. Što znači riješiti jednadžbu s parametrom?

6. Domaća zadaća. C5 opcija №11 F.F. Lysenko. Matematika, 2012. (monografija).

1. Sustavi linearnih jednadžbi s parametrom

Sustavi linearnih jednadžbi s parametrom rješavaju se istim osnovnim metodama kao i konvencionalni sustavi jednadžbi: metodom zamjene, metodom zbrajanja jednadžbi i grafičkom metodom. Poznavanje grafičke interpretacije linearnih sustava olakšava odgovor na pitanje o broju korijena i njihovom postojanju.

Primjer 1

Pronađite sve vrijednosti za parametar a za koji sustav jednadžbi nema rješenja.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.

Odluka.

Pogledajmo nekoliko načina za rješavanje ovog problema.

1 način. Koristimo svojstvo: sustav nema rješenja ako je omjer koeficijenata ispred x jednak omjeru koeficijenata ispred y, ali nije jednak omjeru slobodnih članova (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). tada imamo:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 ili sustav

(i 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.

Iz prve jednadžbe a 2 \u003d 4, dakle, uzimajući u obzir uvjet da je a ≠ 2, dobivamo odgovor.

Odgovor: a = -2.

2 način. Rješavamo metodom supstitucije.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Nakon uzimanja zajedničkog faktora y iz zagrada u prvoj jednadžbi, dobivamo:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Sustav nema rješenja ako prva jednadžba nema rješenja, tj

(i 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.

Očito je da je a = ±2, ali uzimajući u obzir drugi uvjet, daje se samo odgovor s minusom.

Odgovor: a = -2.

Primjer 2

Pronađite sve vrijednosti za parametar a za koji sustav jednadžbi ima beskonačan broj rješenja.

(8x + ay = 2,
(os + 2y = 1.

Odluka.

Po svojstvu, ako je omjer koeficijenata na x i y jednak, i jednak je omjeru slobodnih članova sustava, tada ima beskonačan broj rješenja (tj. a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Stoga je 8/a = a/2 = 2/1. Rješavajući svaku od dobivenih jednadžbi, nalazimo da je \u003d 4 odgovor u ovom primjeru.

Odgovor: a = 4.

2. Sustavi racionalnih jednadžbi s parametrom

Primjer 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Odluka.

Pomnožite prvu jednadžbu sustava s 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Oduzmimo drugu jednadžbu od prve, dobivamo 5|h| = 4 – a. Ova će jednadžba imati jedinstveno rješenje za a = 4. U drugim slučajevima, ova će jednadžba imati dva rješenja (za< 4) или ни одного (при а > 4).

Odgovor: a = 4.

Primjer 4

Pronađite sve vrijednosti parametra a za koje sustav jednadžbi ima jedinstveno rješenje.

(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.

Odluka.

Ovaj sustav ćemo riješiti grafičkom metodom. Dakle, graf druge jednadžbe sustava je parabola, podignuta duž osi Oy za jedan jedinični segment. Prva jednadžba definira skup pravaca paralelnih s pravcem y = -x (slika 1). Slika jasno pokazuje da sustav ima rješenje ako je pravac y = -x + a tangenta na parabolu u točki s koordinatama (-0,5; 1,25). Zamjenom ovih koordinata u jednadžbu ravne linije umjesto x i y, nalazimo vrijednost parametra a:

1,25 = 0,5 + a;

Odgovor: a = 0,75.

Primjer 5

Metodom zamjene saznajte pri kojoj vrijednosti parametra a sustav ima jedinstveno rješenje.

(sjekira - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Odluka.

Izrazite y iz prve jednadžbe i zamijenite ga drugom:

(y \u003d ah - a - 1,
(sjekira + (a + 2) (sjekira - a - 1) = 2.

Drugu jednadžbu dovodimo do oblika kx = b, koja će imati jedinstveno rješenje za k ≠ 0. Imamo:

sjekira + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

Kvadratni trinom a 2 + 3a + 2 može se predstaviti kao umnožak zagrada

(a + 2)(a + 1), a s lijeve strane izvadimo x iz zagrada:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Očito, a 2 + 3a ne smije biti jednako nuli, dakle,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, što znači a ≠ 0 i ≠ -3.

Odgovor: a ≠ 0; ≠ -3.

Primjer 6

Metodom grafičkog rješenja odredite pri kojoj vrijednosti parametra a sustav ima jedinstveno rješenje.

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.

Odluka.

Na temelju uvjeta gradimo kružnicu sa središtem na početku koordinata i polumjerom od 3 jedinična segmenta, upravo ta kružnica postavlja prvu jednadžbu sustava

x 2 + y 2 = 9. Druga jednadžba sustava (y = |x| + a) je izlomljena linija. Preko slika 2 razmatramo sve moguće slučajeve njegovog položaja u odnosu na krug. Lako je vidjeti da je a = 3.

Odgovor: a = 3.

Imate li kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti sustave jednadžbi?
Za pomoć od učitelja -.
Prva lekcija je besplatna!

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.

"Linearna jednadžba s dvije varijable" - Jednadžba koja sadrži dvije varijable naziva se jednadžba s dvije varijable. Što je jednadžba s dvije varijable? Navedite primjere. Što je linearna jednadžba s dvije varijable? Linearna jednadžba s dvije varijable. Definicija: Algoritam za dokazivanje da je dati par brojeva rješenje jednadžbe:

"Rješenje eksponencijalnih jednadžbi" - Svođenje na jednu bazu. Zagrada. T. Vieta. Grafički način. Eksponencijalna jednadžba je jednadžba koja sadrži varijablu u eksponentu. Rješenje eksponencijalnih jednadžbi. usmeni rad. ab+ac=a(b+c). Stupanji. 2. Riješite jednadžbu: Svojstvo. Vrste i metode rješavanja eksponencijalnih jednadžbi.

"Grafički način rješavanja jednadžbi" - Odgovor: jedan korijen, x \u003d -1. Dva korijena. Riješite grafički jednadžbu (x+1)/(x-2)=2. Nacrtajte funkciju y=x?+6x+8. Radionica grafičkog rješavanja jednadžbi Priprema za test. Izgradite grafove funkcija. Nacrtajte funkciju y=(x+1)/(x-2). 1. Pomaknite 8 na desnu stranu jednadžbe. Nema korijena.

“Rješenje cijelih jednadžbi” - “Jednadžbe u kojima su korijeni, stupanj, nejednakosti u gomili ponor. Tri velika matematičara. Sretno u daljnjem proučavanju metoda za rješavanje jednadžbi. Aksijalna simetrija je svojstvena većini biljnih i životinjskih vrsta. Središnji. U životinjskom carstvu postoje 2 vrste simetrije. Diktat. Aksijalni. Odrediti metode rješavanja jednadžbi.

"Jednadžbe s logaritmima" - Logaritamske jednadžbe. Usmeno rješavajte jednadžbe. Formule za pretvaranje logaritama. Jednadžba. Definicija. Tablice logaritama. Definicija logaritma. Definicija i svojstva logaritma. Logaritamsko ravnalo. Funkcija. Slušalice ili zvučnici. Domena. Rješenje pristupa. Riješite jednadžbu. Gimnazija.

"Iracionalne jednadžbe" - Za kontrolu d/s dovršeno: br. 419 (c, d) Safiullina, br. 418 (c, d) Kulmukhametov, br. 420 (c, d) Shageev. 2. lekcija Rješavanje sustava jednadžbi. 1. lekcija Tema: Rješavanje iracionalnih jednadžbi. 1. Koje od sljedećih jednadžbi su iracionalne: Ciljevi: Upoznati učenike s rješenjima nekih vrsta iracionalnih jednadžbi.

U temi je ukupno 49 prezentacija

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i obavijestimo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikacije.
• Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno iz sigurnosnih, provedbenih ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i strogo provodimo praksu privatnosti.