Ekstremi funkcije
Definicija 2
Točka $x_0$ naziva se točkom maksimuma funkcije $f(x)$ ako postoji susjedstvo ove točke takvo da je za sve $x$ iz tog susjedstva nejednakost $f(x)\le f(x_0 )$ je zadovoljan.
Definicija 3
Točka $x_0$ naziva se maksimalnom točkom funkcije $f(x)$ ako postoji susjedstvo te točke takvo da je za sve $x$ iz tog susjedstva nejednakost $f(x)\ge f(x_0) $ je zadovoljan.
Pojam ekstrema funkcije usko je povezan s pojmom kritične točke funkcije. Predstavimo njegovu definiciju.
Definicija 4
$x_0$ naziva se kritična točka funkcije $f(x)$ ako:
1) $x_0$ - unutarnja točka domene definicije;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ ili ne postoji.
Za pojam ekstremuma mogu se formulirati teoremi o dovoljnim i potrebni uvjeti njegovo postojanje.
Teorem 2
Dovoljno ekstremno stanje
Neka je točka $x_0$ kritična za funkciju $y=f(x)$ i leži u intervalu $(a,b)$. Neka na svakom intervalu $\left(a,x_0\right)\ i\ (x_0,b)$ postoji derivacija $f"(x)$ i zadrži konstantan predznak. Tada:
1) Ako je na intervalu $(a,x_0)$ derivacija $f"\left(x\right)>0$, a na intervalu $(x_0,b)$ derivacija $f"\left(x\ pravo)
2) Ako je derivacija $f"\left(x\right)0$ na intervalu $(a,x_0)$, tada je točka $x_0$ minimalna točka za ovu funkciju.
3) Ako je i na intervalu $(a,x_0)$ i na intervalu $(x_0,b)$ derivacija $f"\left(x\right) >0$ ili derivacija $f"\left(x \pravo)
Ovaj teorem je ilustriran na slici 1.
Slika 1. Dovoljan uvjet za postojanje ekstrema
Primjeri ekstrema (slika 2).
Slika 2. Primjeri točaka ekstrema
Pravilo za ispitivanje funkcije za ekstrem
2) Pronađite izvod $f"(x)$;
7) Izvucite zaključke o prisutnosti maksimuma i minimuma na svakom intervalu, koristeći teorem 2.
Funkcija uzlazno i opadajuće
Najprije uvedemo definicije rastućih i opadajućih funkcija.
Definicija 5
Funkcija $y=f(x)$ definirana na intervalu $X$ naziva se rastućom ako za bilo koje točke $x_1,x_2\in X$ za $x_1
Definicija 6
Funkcija $y=f(x)$ definirana na intervalu $X$ naziva se opadajućom ako za bilo koje točke $x_1,x_2\in X$ za $x_1f(x_2)$.
Ispitivanje funkcije za povećanje i smanjenje
Možete istražiti funkcije za povećanje i smanjenje pomoću izvedenice.
Da biste provjerili funkciju za intervale povećanja i smanjenja, morate učiniti sljedeće:
1) Pronađite domenu funkcije $f(x)$;
2) Pronađite izvod $f"(x)$;
3) Pronađite točke u kojima je jednakost $f"\left(x\right)=0$;
4) Pronađite točke u kojima $f"(x)$ ne postoji;
5) Označiti na koordinatnoj liniji sve pronađene točke i domenu zadane funkcije;
6) Odredite predznak derivacije $f"(x)$ na svakom rezultirajućem intervalu;
7) Zaključiti: na intervalima gdje $f"\left(x\right)0$ funkcija raste.
Primjeri zadataka za proučavanje funkcija za povećanje, smanjenje i prisutnost točaka ekstrema
Primjer 1
Istražite funkciju za povećanje i smanjenje, te prisutnost točaka maksimuma i minimuma: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Budući da je prvih 6 točaka isto, prvo ćemo ih izvući.
1) Područje definicije - svi realni brojevi;
2) $f"\lijevo(x\desno)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\lijevo(x\desno)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ postoji u svim točkama domene definicije;
5) Koordinatna linija:
Slika 3
6) Odredi predznak derivacije $f"(x)$ na svakom intervalu:
\ \ ako za bilo koji par točaka x i X", a ≤ x, nejednakost f(x) ≤ f (x"), i strogo povećavajući - ako je nejednakost f (x) f(x"). Smanjenje i strogo smanjenje funkcije definiraju se slično. Na primjer, funkcija na = x 2 (riža. , a) strogo raste na segmentu , i
(riža. , b) strogo opada na ovom segmentu. Označavaju se rastuće funkcije f (x), i smanjuje se f (x)↓. Da bi diferencibilna funkcija f (x) se povećavao na segmentu [ a, b], potrebno je i dovoljno da njegov derivat f"(x) nije negativan na [ a, b].
Uz povećanje i smanjenje funkcije na segmentu, razmatra se povećanje i smanjenje funkcije u točki. Funkcija na = f (x) naziva se rastućim u točki x 0 ako postoji takav interval (α, β) koji sadrži točku x 0 , što za bilo koju točku x iz (α, β), x> x 0 , nejednakost f (x 0) ≤ f (x), i za bilo koju točku x iz (α, β), x 0 , nejednakost f (x) ≤ f (x 0). Slično se definira strogo povećanje funkcije u točki x 0 . Ako je a f"(x 0) > 0, zatim funkcija f(x) strogo raste u točki x 0 . Ako je a f (x) raste u svakoj točki intervala ( a, b), tada se povećava na ovom intervalu.
S. B. Stechkin.
Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .
Pogledajte što je "Funkcija povećanja i smanjenja" u drugim rječnicima:
Pojmovi matematičke analize. Funkcija f(x) naziva se rastućom na segmentu DOBNA STRUKTURA STANOVNIŠTVA, omjer broja različitih dobnih skupina stanovništva. Ovisi o stopi nataliteta i smrtnosti, očekivanom životnom vijeku ljudi... Veliki enciklopedijski rječnik
Pojmovi matematičke analize. Funkcija f(x) naziva se rastućom na intervalu ako je za bilo koji par točaka x1 i x2, a≤x1 ... enciklopedijski rječnik
Pojmovi matematike. analiza. Pozvana funkcija f(x). raste na segmentu [a, b], ako za bilo koji par točaka x1 i x2, i<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)
Grana matematike koja proučava derivacije i diferencijale funkcija i njihove primjene na proučavanje funkcija. D.-ova registracija i. u samostalnu matematičku disciplinu povezuje se s imenima I. Newtona i G. Leibniza (druga polovica 17. ... Velika sovjetska enciklopedija
Grana matematike u kojoj se proučavaju pojmovi derivacije i diferencijala i kako se oni primjenjuju na proučavanje funkcija. D.-ov razvoj i. usko povezana s razvojem integralnog računa. Neraskidivo i njihov sadržaj. Zajedno čine osnovu... Matematička enciklopedija
Ovaj izraz ima druga značenja, vidi funkciju. Zahtjev "Prikaži" se preusmjerava ovdje; vidi i druga značenja ... Wikipedia
Aristotel i peripatetičari- Aristotelovsko pitanje Život Aristotela Aristotel je rođen 384./383. PRIJE KRISTA e. u Stagiri, na granici s Makedonijom. Njegov otac, po imenu Nikomah, bio je liječnik u službi makedonskog kralja Aminte, Filipovog oca. Zajedno sa svojom obitelji, mladi Aristotel ... ... Zapadna filozofija od nastanka do danas
- (QCD), kvantna teorija polja snažnog udara kvarkova i gluona, izgrađena po slici kvanta. elektrodinamika (QED) temeljena na simetriji mjerača "boje". Za razliku od QED-a, fermioni u QCD-u imaju komplement. kvantni stupanj slobode. broj,…… Fizička enciklopedija
I Srce Srce (lat. cor, grč. cardia) je šuplji fibromuskularni organ koji, djelujući kao pumpa, osigurava kretanje krvi u krvožilnom sustavu. Anatomija Srce se nalazi u prednjem medijastinumu (mediastinum) u perikardu između ... ... Medicinska enciklopedija
Život biljke, kao i život svakog drugog živog organizma, složen je skup međusobno povezanih procesa; najznačajniji od njih, kao što je poznato, je izmjena tvari s okolinom. Okolina je izvor iz kojeg ... ... Biološka enciklopedija
