Institucion arsimor buxhetor komunal

Shkolla e mesme Doschatinskaya

rrethi urban i Vyksa, rajoni i Nizhny Novgorod

Zgjidhja e problemeve logjike.

Departamenti i Fizikës dhe Matematikës

Seksioni i matematikës

Unë kam bërë punën:

Nxënëse e klasës së 5-të

Papotina Elena Sergeevna

këshilltar shkencor:

mësues Shkolla e mesme MBOU Doschatinskaya

Roshchina Lyudmila Valerievna

Rajoni i Nizhny Novgorod

r/p Doschatoe

2016

shënim

Qëllimi i kësaj punetë identifikojë aftësinë për të arsyetuar dhe të nxjerrë përfundime të sakta gjatë zgjidhjes së problemeve logjike.KëtoProblemet janë argëtuese dhe nuk kërkojnë shumë njohuri matematikore, ndaj tërheqin edhe ata studentë që nuk e pëlqejnë shumë matematikën.Puna ka këto detyra:

1) njohja me konceptet e "logjikës" dhe "logjikës matematikore";

2) studimi i metodave themelore për zgjidhjen e problemeve logjike;

3) studimi i aftësisë për zgjidhjen e problemeve logjike nga nxënësit e klasave 5-7.

Metodat e hulumtimit të kësaj pune janë:

Mbledhja dhe studimi i informacionit.

Përgjithësim i materialit eksperimental dhe teorik.

Hipoteza : Nxënësit tanë të shkollës janë në gjendje të zgjidhin probleme logjike.

Gjatë shkrimit të veprës u hetuan llojet dhe metodat e zgjidhjes së problemeve logjike. U krye punë praktike me nxënës të nivelit të mesëm se si mund të zgjidhin problemet logjike. Rezultatet e punës treguan se jo të gjithë studentët mund të përballojnë detyrat logjike.Më shpesh, aftësitë e nxënësve të shkollës mbeten të pazbuluara për veten e tyre, ata nuk janë të sigurt në aftësitë e tyre dhe janë indiferentë ndaj matematikës.Për studentë të tillë, unë propozoj përdorimin e detyrave logjike. Këto detyra mund të merren parasysh në klasat e klubit dhe me zgjedhje.

2.3 Metoda e rrethit të Euler-it

Kjo metodëështë një mënyrë tjetër vizuale dhe mjaft interesante për të zgjidhur problemet logjike. Kjo metodë bazohet në ndërtimin e rrathëve të famshëm Euler-Venn,problemet në të cilat kërkohet të gjendet një kryqëzim i grupeve ose bashkimi i tyre, duke respektuar kushtet e problemit. Le të shohim një shembull të përdorimit të kësaj metode.

Le të zgjidhim problemin 6:

Nga 52 nxënës, 23 mbledhin distinktivë, 35 grumbullojnë pulla dhe 16 mbledhin si distinktivë ashtu edhe pulla. Pjesa tjetër nuk janë të interesuar të mbledhin. Sa nxënës nuk janë të interesuar të mbledhin?

Zgjidhje. Kushtet e këtij problemi nuk janë aq të lehta për t'u kuptuar. Nëse shtoni 23 dhe 35, merrni më shumë se 52. Kjo shpjegohet me faktin se këtu kemi numëruar dy herë disa nxënës, përkatësisht ata që mbledhin edhe distinktivë edhe pulla.Për ta bërë më të lehtë diskutimin, le të përdorim rrathët e Euler-it

Në foto ka një rreth të madhtregon 52 nxënësit në fjalë; rrethi 3 përshkruan nxënës të shkollës që mbledhin stema dhe rrethi M përshkruan nxënës të shkollës që mbledhin pulla.

Rrethi i madh ndahet nga rrathët 3 dhe M në disa zona. Kryqëzimi i rrathëve 3 dhe M korrespondon me nxënësit e shkollës që mbledhin të dy stemat dhe pullat (Fig.). Pjesa e rrethit 3 që nuk i përket rrethit M korrespondon me nxënësit e shkollës që mbledhin vetëm distinktivë, dhe pjesa e rrethit M që nuk i përket rrethit 3 korrespondon me nxënësit e shkollës që mbledhin vetëm pulla. Pjesa e lirë e rrethit të madh përfaqëson nxënësit e shkollave që nuk janë të interesuar të mbledhin.

Ne do të plotësojmë në mënyrë sekuenciale diagramin tonë, duke futur numrin përkatës në secilën zonë. Sipas kushtit, si distinktivat ashtu edhe pullat mblidhen nga 16 persona, kështu që në kryqëzimin e rrathëve 3 dhe M do të shkruajmë numrin 16 (Fig.).

Meqenëse 23 nxënës mbledhin distinktivë, dhe 16 nxënës mbledhin stema dhe pulla, atëherë 23 - 16 = 7 persona mbledhin vetëm distinktivë. Në të njëjtën mënyrë, vetëm pullat mblidhen nga 35 - 16 = 19 persona. Le të shkruajmë numrat 7 dhe 19 në zonat përkatëse të diagramit.

Nga foto duket qartë se sa njerëz janë të përfshirë në mbledhje. Për të zbuluar këtëju duhet të shtoni numrat 7, 9 dhe 16. Marrim 42 persona. Kjo do të thotë se 52 - 42 = 10 nxënës mbeten të pa interesuar për grumbullim. Kjo është përgjigja e problemit, mund të futet në fushën e lirë të rrethit të madh.

Metoda e Euler-it është e domosdoshme për zgjidhjen e disa problemeve, dhe gjithashtu thjeshton shumë arsyetimin.

2.4 Metoda e bllok-diagramit

Zgjidhje. Le të zyrtarizojmë zgjidhjen në formën e një diagrami bllok:

Përgjigje: 18 opsione.

2.5 Problemet e së vërtetës

Problemet në të cilat është e nevojshme të vërtetohet vërtetësia ose falsiteti i pohimeve do t'i quajmë probleme të vërteta.

Problemi 7 . Tre shokë Kolya, Oleg dhe Petya po luanin në oborr dhe njëri prej tyre theu aksidentalisht xhamin e dritares me një top. Kolya tha: "Nuk isha unë që theva gotën." Oleg tha: "Petya theu gotën." Më vonë u zbulua se një nga këto deklarata ishte e vërtetë dhe tjetra ishte e rreme. Cili djalë theu xhamin?

Zgjidhje. Le të supozojmë se Oleg tha të vërtetën, atëherë Kolya gjithashtu tha të vërtetën, dhe kjo bie ndesh me kushtet e problemit. Si pasojë, Oleg tha një gënjeshtër, dhe Kolya tha të vërtetën. Nga deklaratat e tyre rezulton se Oleg theu xhamin.

Detyra 8. Katër studentë - Vitya, Petya, Yura dhe Sergei - zunë katër vendet e para në Olimpiadën e Matematikës. Kur u pyetën se cilat vende zunë, u dhanë këto përgjigje:

a) Petya - e dyta, Vitya - e treta;

b) Sergey - i dyti, Petya - i pari;

c) Yura - e dyta, Vitya - e katërta.

Tregoni kush ka zënë vendin nëse vetëm një pjesë e secilës përgjigje është e saktë.

Zgjidhje. Supozoni se thënia "Pjetri - II" është e vërtetë, atëherë të dy pohimet e personit të dytë janë të pasakta, dhe kjo bie ndesh me kushtet e problemit. Supozoni se thënia "Sergey - II" është e vërtetë, atëherë të dy deklaratat e personit të parë janë të pasakta, dhe kjo bie në kundërshtim me kushtet e problemit. Supozoni se thënia "Jura - II" është e vërtetë, atëherë deklarata e parë e vetës së parë është e rreme, dhe e dyta është e vërtetë. Dhe deklarata e parë e personit të dytë është e pasaktë, por e dyta është e saktë.

Përgjigje: vendi i parë - Petya, vendi i dytë - Yura, vendi i tretë - Vitya, vendi i katërt Sergey.

2.6 Problemet e zgjidhura nga fundi.

Ka një lloj problemesh logjike që zgjidhen nga fundi. Le të shohim një shembull të zgjidhjes së problemeve të tilla.

Detyra 9. Vasya mendoi për një numër, i shtoi 5, pastaj e ndau shumën me 3, e shumëzoi me 4, zbriti 6, pjesëtoi me 7 dhe mori numrin 2. Për cilin numër mendoi Vasya?

Zgjidhje: 2·7=14

14+6=20

20˸4=5

5·3=15

15-5=10

Përgjigje: Vasya mendoi për numrin 10.

Kapitulli 3. Studimi i aftësisë për të zgjidhur probleme logjike.

Në pjesën praktike të punës kërkimore zgjodha problema logjike të llojit: problema të zgjidhura nga fundi; Kush është kush?; probleme me fjalë.

Detyrat korrespondonin me nivelin e njohurive të klasave të 5-ta, të 6-ta dhe të 7-ta, përkatësisht. Nxënësit i zgjidhën këto probleme dhe unë i analizova rezultatet (Fig. 1). Le të shqyrtojmë rezultatet e marra në më shumë detaje.

*Për klasën e 5-të u propozuan këto detyra:

Detyra nr. 1. Një problem i zgjidhur nga fundi.

Mendova për një numër, e shumëzova me dy, shtova tre dhe mora 17. Cilin numër mendova?

Detyra nr. 2. Probleme të tilla si "Kush është kush?"

Katya, Sonya dhe Lisa kanë mbiemrin Vasnetsova, Ermolaeva dhe Kuznetsova. Çfarë mbiemri ka secila vajzë nëse Sonya, Liza dhe Ermolaeva janë anëtarë të një rrethi matematikor, dhe Liza dhe Kuznetsova studiojnë muzikë?

Detyra nr. 3. Detyrë me tekst.

Në olimpiadën sportive shkollore morën pjesë 124 persona, 32 djem më shumë se vajza. Sa djem dhe vajza morën pjesë në olimpiadë?

Shumica e nxënësve të klasës së pestë u përballën me problemin e tipit: “i zgjidhshëm nga fundi”. Probleme të tilla gjenden në tekstet shkollore për klasat 5-6.Me llojin e detyrave të tekstit, kjo detyrë është më komplekse, ishte e nevojshme të mendohej për të, vetëm 5 persona u përballën me të.(Fig. 2)

*Për klasën e 6-të u propozuan këto detyra:

Detyra nr. 1. Një problem i zgjidhur nga fundi.

Mendova për një numër, zbrita 57, pjesëtohet me 2 dhe mora 27. Cilin numër mendova?

Detyra nr. 2. Probleme të tilla si "Kush është kush?"

Athos, Porthos, Aramis dhe D'Artagnan janë katër musketierë të rinj të talentuar. Njëri prej tyre lufton më së miri me shpata, tjetri nuk ka të barabartë në luftime trup më dorë, i treti kërcen më mirë në topa, i katërti gjuan pistoletat pa humbur asnjë rrahje. Për to dihet sa vijon:

Athos dhe Aramis panë mikun e tyre, një balerin i shkëlqyer, në top.

Porthos dhe gjuajtësi më i mirë dje e panë me admirim luftën trup më trup.

Qitësi dëshiron të ftojë Athosin për të vizituar.

Porthos ishte shumë i madh, kështu që kërcimi nuk ishte elementi i tij.

Kush bën çfarë?

Detyra nr. 3. Detyrë me tekst. Ka 5 herë më shumë libra në një raft sesa në të dytin. Pasi 12 libra u zhvendosën nga rafti i parë në të dytin, kishte një numër të barabartë librash në raftet. Sa libra kishte fillimisht në çdo raft?

Ndër 18 nxënës të klasës së 6-të, 1 person i ka kryer të gjitha detyrat. Të gjithë nxënësit e klasës së 6-të u përballën me problemin e tipit: “i zgjidhshëm nga fundi”. Me detyrën nr. 2, si "Kush është kush?" 4 persona e bënë atë. Vetëm një person e përfundoi detyrën e tekstit(Fig. 3).

*Për klasën e 7-të u propozuan këto detyra:

Detyra nr. 1. Një problem i zgjidhur nga fundi.

Mendova për një numër, i shtova 5, pastaj e ndava shumën me 3, e shumëzova me 4, e zbrita 6, e pjesëtova me 7 dhe mora numrin 2. Cilin numër mendova?

Detyra nr. 2. Probleme të tilla si "Kush është kush?"

Vanya, Petya, Sasha dhe Kolya kanë mbiemra që fillojnë me shkronjat V, P, S dhe K. Dihet se 1) Vanya dhe S. janë studentë të shkëlqyer; 2) Petya dhe V. janë studentë të C; 3) Më i gjatë se P.; 4) Kolya është më i shkurtër se P.; 5) Sasha dhe Petya kanë të njëjtën lartësi. Me çfarë shkronje fillon mbiemri i secilit?

Detyra nr. 3. Metoda e arsyetimit.

Një ekip mbërriti për të riparuar shkollën, e cila përfshinte 2.5 herë më shumë piktorë sesa marangozë. Së shpejti kryepunëtori shtoi 4 piktorë të tjerë në ekip dhe transferoi dy marangozë në një vend tjetër. Si rezultat, në ekip kishte 4 herë më shumë piktorë sesa marangozë. Sa piktorë dhe sa marangozë ishin fillimisht në ekip?

Ndër 20 nxënës të klasës së 7-të, 1 person i ka kryer të gjitha detyrat.Trembëdhjetë nxënës plotësuan problemin e tipit: “zgjidhet nga fundi”. MENjë nxënës përfundoi detyrën e tekstit (Fig. 4).

konkluzioni

Gjatë punës kërkimore për studimin e metodave për zgjidhjen e problemeve logjike. Unë i konsideroj të përmbushura synimet dhe objektivat që kam vendosur. Në kapitullin e parë u njoha me konceptin e logjikës si shkencë, me fazat kryesore të zhvillimit të saj dhe me shkencëtarët që janë themeluesit e saj. Në kapitullin e dytë, studiova metoda të ndryshme për zgjidhjen e problemeve logjike dhe i analizova ato duke përdorur shembuj specifikë. Kam marrë parasysh metodat e mëposhtme: mmetoda e arsyetimit, metoda e tabelës, metoda e grafikut, metoda e bllok-diagramit, metoda e rrethit të Euler-it, problemet e së vërtetës, metoda e zgjidhjes së problemit nga fundi.Në kapitullin e tretë kam kryer një studim praktik mes nxënësve të klasave 5-7, duke testuar aftësitë e tyre për të zgjidhur probleme logjike. Hulumtimi im ka treguar sa vijon. Problemet që plotësuan shumica e studentëve ishin probleme të zgjidhura nga fundi. Me detyrën "Kush është kush?" (metoda e tabelës) e bënë gjysma e nxënësve. Vetëm numri më i vogël i njerëzve e zgjidhën fjalën problem (metoda e arsyetimit). Besoj se hipoteza ime u vërtetua pjesërisht, pasi gjysma e studentëve kishin vështirësi në zgjidhjen e problemeve logjike.

Detyrat logjike ndihmojnë në zhvillimin e të menduarit logjik dhe imagjinativ.Çdo fëmijë normal ka një dëshirë për dije, një dëshirë për të provuar veten. Më shpesh, aftësitë e nxënësve të shkollës mbeten të pazbuluara për veten e tyre, ata nuk janë të sigurt në aftësitë e tyre dhe janë indiferentë ndaj matematikës.Për studentë të tillë, unë propozoj përdorimin e detyrave logjike. Këto detyra mund të merren parasysh në klasat e klubit dhe me zgjedhje. Ata duhet të jenë të arritshëm, të zgjojnë inteligjencën, të tërheqin vëmendjen e tyre, të befasojnë, t'i zgjojnë ata drejt imagjinatës aktive dhe vendimeve të pavarura. Unë gjithashtu besoj se logjika na ndihmon të përballojmë çdo vështirësi në jetën tonë, dhe gjithçka që bëjmë duhet të kuptohet dhe strukturohet logjikisht. Probleme logjike dhe logjike i hasim jo vetëm në shkollë gjatë orëve të matematikës, por edhe në lëndë të tjera.

Letërsia

Vilenkin N.Ya. Matematikë klasa V.-Mnemosyne, M: 2015. 45 fq.

Vilenkin N.Ya. Matematikë klasa V.-Mnemosyne, M: 2015. 211 fq.

Orlova E. Metodat e zgjidhjes probleme logjike dhe probleme me numra //

Matematika. -1999. Nr 26. - fq 27-29.

Tarski A. Hyrje në logjikën dhe metodologjinë e shkencave deduktive - Moskë, 1948.

Burimet e internetit:

http://wiki. Unë mësoj.

Oriz. 3 Analizë e punës së klasës së 6-të.

Oriz. 4 Analizë e punës së klasës së 7-të

Institucion buxhetor arsimor komunal -

Shkolla e mesme nr.51

Orenburgu.

Projekt mbi:

mësues i matematikës

Egorcheva Victoria Andreevna

2017

Hipoteza : Nëse teoria e grafikut afrohet më shumë me praktikën, atëherë mund të merren rezultatet më të dobishme.

Synimi: Njihuni me konceptin e grafikëve dhe mësoni si t'i zbatoni ato në zgjidhjen e problemeve të ndryshme.

Detyrat:

1) Zgjeroni njohuritë për metodat e ndërtimit të grafikëve.

2) Identifikoni llojet e problemeve, zgjidhja e të cilave kërkon përdorimin e teorisë së grafikëve.

3) Eksploroni përdorimin e grafikëve në matematikë.

"Euler llogariti, pa ndonjë përpjekje të dukshme, se si një person merr frymë ose si një shqiponjë fluturon mbi tokë."

Dominic Arago.

I. Prezantimi. fq.

II . Pjesa kryesore.

1. Koncepti i një grafiku. Problem në lidhje me urat Königsberg. fq.

2. Vetitë e grafikëve. fq.

3. Probleme duke përdorur teorinë e grafikëve. fq.

Përfundim Sh.

Kuptimi i grafikëve. fq.

IV. Bibliografi. fq.

I . PREZANTIMI.

Teoria e grafikut është një shkencë relativisht e re. "Grafikët" ka rrënjën e fjalës greke "grapho", që do të thotë "Unë shkruaj". E njëjta rrënjë është në fjalët "grafik", "biografi".

Në punën time, unë shikoj se si teoria e grafikut përdoret në fusha të ndryshme të jetës së njerëzve. Çdo mësues matematike dhe pothuajse çdo nxënës e di se sa e vështirë është të zgjidhen problemet gjeometrike, si dhe problemet me fjalë algjebër. Pasi kam eksploruar mundësinë e përdorimit të teorisë së grafikut në një kurs të matematikës shkollore, arrita në përfundimin se kjo teori thjeshton shumë të kuptuarit dhe zgjidhjen e problemeve.

II . PJESA KRYESORE.

1. Koncepti i një grafiku.

Puna e parë mbi teorinë e grafikëve i përket Leonhard Euler. Ajo u shfaq në 1736 në botimet e Akademisë së Shkencave të Shën Petersburgut dhe filloi me një shqyrtim të problemit të urave të Koenigsberg.

Ju ndoshta e dini se ekziston një qytet i tillë si Kaliningrad që dikur quhej Koenigsberg. Lumi Pregolya rrjedh nëpër qytet. Ai është i ndarë në dy degë dhe shkon rreth ishullit. Në shekullin e 17-të kishte shtatë ura në qytet, të rregulluara siç tregohet në foto.

Thonë se një ditë një banor i qytetit e pyeti mikun e tij nëse mund të kalonte nëpër të gjitha urat në mënyrë që të vizitonte secilën prej tyre vetëm një herë dhe të kthehej në vendin ku filloi shëtitja. Shumë banorë të qytetit u interesuan për këtë problem, por askush nuk mundi të gjente një zgjidhje. Kjo çështje ka tërhequr vëmendjen e shkencëtarëve nga shumë vende. Matematikani i famshëm Leonhard Euler arriti të zgjidhë problemin. Leonhard Euler, një vendas në Bazel, lindi më 15 prill 1707. Arritjet shkencore të Euler janë të mëdha. Ai ndikoi në zhvillimin e pothuajse të gjitha degëve të matematikës dhe mekanikës, si në fushën e kërkimit themelor ashtu edhe në aplikimet e tyre. Leonhard Euler jo vetëm që zgjidhi këtë problem specifik, por gjithashtu doli me një metodë të përgjithshme për zgjidhjen e këtyre problemeve. Euler bëri sa më poshtë: ai "ngjeshi" tokën në pika dhe "shtrii" urat në vija. Rezultati është figura e treguar në figurë.

Një figurë e tillë, e përbërë nga pika dhe vija që lidhin këto pika, quhetnumëroj. Pikat A, B, C, D quhen kulme të grafikut, kurse vijat që lidhin kulmet quhen skajet e grafikut. Në vizatim nga kulmet B, C, D Dalin 3 brinjë dhe nga lart A - 5 brinjë. Kulmet nga të cilat del një numër tek i skajeve quhenkulme teke, dhe kulmet nga të cilat del një numër çift i skajeve janëmadje.

2. Vetitë e grafikut.

Ndërsa zgjidhte problemin në lidhje me urat e Königsberg, Euler vendosi, në veçanti, vetitë e grafikut:

1. Nëse të gjitha kulmet e grafikut janë të njëtrajtshme, atëherë mund të vizatoni një grafik me një goditje (d.m.th., pa e hequr lapsin nga letra dhe pa vizatuar dy herë përgjatë së njëjtës vijë). Në këtë rast, lëvizja mund të fillojë nga çdo kulm dhe të përfundojë në të njëjtin kulm.

2. Grafiku me dy kulme tek mund të vizatohet edhe me një goditje. Lëvizja duhet të fillojë nga çdo kulm tek dhe të përfundojë në një kulm tjetër tek.

3. Një grafik me më shumë se dy kulme tek nuk mund të vizatohet me një goditje.

4. Numri i kulmeve tek në një grafik është gjithmonë çift.

5. Nëse një grafik ka kulme tek, atëherë numri më i vogël i goditjeve që mund të përdoren për të vizatuar grafikun do të jetë i barabartë me gjysmën e numrit të kulmeve tek të këtij grafiku.

Për shembull, nëse një figurë ka katër numra tek, atëherë ajo mund të vizatohet me të paktën dy goditje.

Në problemin e shtatë urave të Königsberg, të katër kulmet e grafikut përkatës janë tek, d.m.th. Nuk mund të kalosh një herë të gjitha urat dhe ta përfundosh udhëtimin aty ku nisi.

3. Zgjidhja e problemeve duke përdorur grafikët.

1. Detyra për vizatimin e figurave me një goditje.

Përpjekja për të vizatuar secilën nga format e mëposhtme me një goditje të lapsit do të rezultojë në rezultate të ndryshme.

Nëse nuk ka pika teke në figurë, atëherë ajo gjithmonë mund të vizatohet me një goditje të stilolapsit, pavarësisht se ku filloni të vizatoni. Këto janë figurat 1 dhe 5.

Nëse një figurë ka vetëm një palë pika tek, atëherë një figurë e tillë mund të vizatohet me një goditje, duke filluar të vizatohet në një nga pikat tek (nuk ka rëndësi se cila). Është e lehtë të kuptohet se vizatimi duhet të përfundojë në pikën e dytë tek. Këto janë figurat 2, 3, 6. Në figurën 6, për shembull, vizatimi duhet të fillojë ose nga pika A ose nga pika B.

Nëse një figurë ka më shumë se një palë pika tek, atëherë ajo nuk mund të vizatohet fare me një goditje. Këto janë figurat 4 dhe 7, që përmbajnë dy palë pika tek. Ajo që u tha është e mjaftueshme për të njohur me saktësi se cilat figura nuk mund të vizatohen me një goditje dhe cilat mund të vizatohen, si dhe nga cila pikë duhet të fillojë vizatimi.

Unë propozoj të vizatoni figurat e mëposhtme me një goditje.

2. Zgjidhja e problemeve logjike.

DETYRA Nr. 1.

Ka 6 pjesëmarrës në kampionatin e klasës së pingpongut: Andrey, Boris, Victor, Galina, Dmitry dhe Elena. Kampionati zhvillohet në një sistem të rrumbullakët - secili pjesëmarrës luan me secilin nga të tjerët një herë. Deri më sot, disa lojëra janë luajtur tashmë: Andrey luajti me Boris, Galina, Elena; Boris - me Andrey, Galina; Victor - me Galina, Dmitry, Elena; Galina - me Andrey, Victor dhe Boris. Sa ndeshje janë luajtur deri tani dhe sa kanë mbetur?

ZGJIDHJA:

Le të ndërtojmë një grafik siç tregohet në figurë.

7 ndeshje të luajtura.

Në këtë figurë, grafiku ka 8 skaj, kështu që kanë mbetur edhe 8 lojëra për të luajtur.

DETYRA Nr 2

Në oborr, i cili është i rrethuar me një gardh të lartë, ka tre shtëpi: e kuqe, e verdhë dhe blu. Gardhi ka tre porta: të kuqe, të verdhë dhe blu. Nga shtëpia e kuqe, vizatoni një shteg te porta e kuqe, nga shtëpia e verdhë te porta e verdhë, nga shtëpia blu në atë blu, në mënyrë që këto shtigje të mos kryqëzohen.

ZGJIDHJA:

Zgjidhja e problemit është paraqitur në figurë.

3. Zgjidhja e problemave me fjalë.

Për të zgjidhur problemet duke përdorur metodën e grafikut, duhet të dini algoritmin e mëposhtëm:

1.Për çfarë procesi po flasim në problem?2. Cilat sasi e karakterizojnë këtë proces?3.Cila është marrëdhënia ndërmjet këtyre sasive?4.Sa procese të ndryshme përshkruhen në problem?5.A ka lidhje midis elementeve?

Duke iu përgjigjur këtyre pyetjeve, ne analizojmë gjendjen e problemit dhe e shkruajmë atë në mënyrë skematike.

Për shembull . Autobusi ka udhëtuar 2 orë me shpejtësi 45 km/h dhe 3 orë me shpejtësi 60 km/h. Sa larg ka udhëtuar autobusi gjatë këtyre 5 orëve?

S
¹=90 km V ¹=45 km/h t ¹=2h

S=VT

S ²=180 km V ²=60 km/h t²=3 h

S ¹ + S ² = 90 + 180

Zgjidhja:

1) 45x 2 = 90 (km) - autobusi udhëtoi për 2 orë.

2) 60 x 3 = 180 (km) - autobusi udhëtoi për 3 orë.

3)90 + 180 = 270 (km) - autobusi udhëtoi për 5 orë.

Përgjigje: 270 km.

III . PËRFUNDIM.

Si rezultat i punës në projekt, mësova se Leonhard Euler ishte themeluesi i teorisë së grafikëve dhe zgjidhte probleme duke përdorur teorinë e grafikëve. Përfundova vetë se teoria e grafikut përdoret në fusha të ndryshme të matematikës moderne dhe aplikimet e saj të shumta. Nuk ka dyshim për dobinë e njohjes së ne studentëve me konceptet bazë të teorisë së grafikëve. Zgjidhja e shumë problemeve matematikore bëhet më e lehtë nëse mund të përdorni grafikët. Prezantimi i të dhënave V forma e grafikut u jep atyre qartësi. Shumë prova gjithashtu thjeshtohen dhe bëhen më bindëse nëse përdorni grafikë. Kjo vlen veçanërisht për fusha të tilla të matematikës si logjika matematikore dhe kombinatorika.

Pra, studimi i kësaj teme ka një rëndësi të madhe të përgjithshme arsimore, të përgjithshme kulturore dhe matematikore të përgjithshme. Në jetën e përditshme përdoren gjithnjë e më shumë ilustrime grafike, paraqitje gjeometrike dhe teknika dhe metoda të tjera vizuale. Për këtë, është e dobishme të futet studimi i elementeve të teorisë së grafikëve në shkollat ​​fillore dhe të mesme, të paktën në aktivitetet jashtëshkollore, pasi kjo temë nuk është përfshirë në kurrikulën e matematikës.

V . BIBLIOGRAFI:

2008

Rishikimi.

Projekti me temën "Grafikët rreth nesh" u përfundua nga Nikita Zaytsev, studente e klasës 7 "A" në Institucionin Arsimor Komunal Nr. 3, Krasny Kut.

Një tipar dallues i punës së Nikita Zaitsev është rëndësia, orientimi praktik, thellësia e zbulimit të temës dhe mundësia e përdorimit të saj në të ardhmen.

Puna është krijuese, në formën e një projekti informacioni. Nxënësi zgjodhi këtë temë për të treguar marrëdhënien e teorisë së grafikut me praktikën duke përdorur shembullin e një itinerari të autobusit shkollor, për të treguar se teoria e grafikut përdoret në fusha të ndryshme të matematikës moderne dhe aplikimet e saj të shumta, veçanërisht në ekonomi, logjikë matematikore dhe kombinatorikë. . Ai tregoi se zgjidhja e problemeve është shumë e thjeshtë nëse është e mundur të përdoren grafikët, paraqitja e të dhënave në formën e një grafiku u jep atyre qartësi shumë prova;

Puna trajton çështje të tilla si:

1. Koncepti i një grafiku. Problem në lidhje me urat Königsberg.

2. Vetitë e grafikëve.

3. Probleme duke përdorur teorinë e grafikëve.

4. Kuptimi i grafikëve.

5. Opsioni i rrugës së autobusit shkollor.

Gjatë kryerjes së veprës së tij, N. Zaitsev përdori:

1. Alkhova Z.N., Makeeva A.V. “Punë jashtëshkollore në matematikë”.

2. Revista “Matematika në shkollë”. Shtojca “I Shtatori i Parë” Nr.13

2008

3. Ya.I.Perelman "Detyrat dhe eksperimentet argëtuese" - Moskë: Arsimi, 2000.

Puna është bërë me kompetencë, materiali plotëson kërkesat e kësaj teme, vizatimet përkatëse janë bashkangjitur.

Metodat për zgjidhjen e problemeve logjike

Trosheva Natalya, klasa e 7-të

1 . Logjika i nevojitet çdo specialisti, qoftë matematikan, mjek apo biolog. Logjika është një mjet i domosdoshëm që ju çliron nga memorizimi i panevojshëm, i panevojshëm, duke ju ndihmuar të gjeni në masën e informacionit atë që është e vlefshme që i nevojitet një personi. Pa logjikë, kjo është punë e verbër.

Gjatë gjithë viteve të studimit në shkollë, ne zgjidhim shumë probleme të ndryshme, duke përfshirë ato logjike: probleme argëtuese, enigma, anagrame, rebuse, etj. Për të zgjidhur me sukses problemet e këtij lloji, duhet të jeni në gjendje të identifikoni tiparet e tyre të përbashkëta, të vini re modelet, të parashtroni hipoteza, t'i testoni ato, të ndërtoni zinxhirë arsyetimi dhe të nxirrni përfundime. Problemet logjike ndryshojnë nga ato të zakonshme në atë që nuk kërkojnë llogaritje, por zgjidhen duke përdorur arsyetim. Mund të themi se një detyrë logjike është një informacion i veçantë që jo vetëm duhet të përpunohet në përputhje me një kusht të caktuar, por edhe ju dëshironi ta bëni atë. Një vend të veçantë në matematikë zënë problemet, zgjidhja e të cilave zhvillon të menduarit logjik, i cili kontribuon në studimin e suksesshëm të lëndës. Këto probleme janë argëtuese dhe nuk kërkojnë shumë njohuri matematikore, ndaj tërheqin edhe ata studentë që nuk e pëlqejnë shumë matematikën.

2. Puna ime edukative dhe kërkimore është e natyrës teorike.

Qëllimi Puna është njohja me lloje të ndryshme të problemeve logjike, algoritme dhe metoda për zgjidhjen e tyre.

Për të arritur këtë qëllim, është e nevojshme të zgjidhet sa vijon detyrat:

1. studiojnë literaturën për t'u njohur me lloje të ndryshme të problemeve logjike dhe metodat për zgjidhjen e tyre;

2. Zbatoni këto metoda për zgjidhjen e llojeve të ndryshme të problemeve logjike, 3. zgjidhni problemet logjike që mund të zgjidhen me një metodë të caktuar.

Nje objekt kërkimore – probleme logjike në programin e matematikës në një shkollë arsimore.

Artikulli kërkimore – një sërë metodash për zgjidhjen e problemeve logjike.

Metodat hulumtim:

analiza dhe sinteza, krahasimi.

3. Zgjidhja e shumë problemeve logjike përfshin shqyrtimin e disa grupeve të fundme me të njëjtin numër elementesh, midis të cilave është e nevojshme të krijohet një korrespondencë. Kur zgjidhni probleme të tilla, është i përshtatshëm për t'u përdorur algoritmi i zgjidhjes

Kur zgjidhim probleme logjike përdorim sa vijon algoritmi:

1) Përcaktimi i përmbajtjes së tekstit (përzgjedhja e objekteve ose e subjekteve).

2) Përmbledhja e informacionit të plotë për ngjarjen.

3) Formimi i një detyre duke përjashtuar një pjesë të informacionit ose duke e shtrembëruar atë.

4) Formulimi arbitrar i problemit. Nëse është e nevojshme (mungesë informacioni, shtrembërim, etj.), futet një kusht logjik shtesë.

5) Kontrollimi i mundësisë së zgjidhjes duke përdorur arsyetimin. Marrja e një përgjigjeje të vetme të qëndrueshme do të thotë që kushti është i saktë. Nëse jo, atëherë duhet t'i referoheni pikës 6 shtesë.

6) Kushtit të përpiluar i mungon informacioni, ose informacioni i disponueshëm është i shtrembëruar në mënyrë jokonsistente. Ne ndryshojmë ose plotësojmë gjendjen e problemit, pas së cilës duhet të kalojmë në hapin 5.

4. Për zhvillimin e kujtesës dhe përgjithësimin e njohurive të fituara, testet logjike janë interesante. Për të zgjidhur testet matematikore, përveç njohurive nga matematika e shkollës, duhet aftësia për të vëzhguar, krahasuar, përgjithësuar, nxjerrë analogji, për të nxjerrë përfundime dhe për t'i arsyetuar ato. Në thelb, testet janë detyra krijuese që nxisin zhvillimin e të menduarit logjik.

Testet logjike ndahen në tre grupe kryesore:

verbale

simbolike-grafike

të kombinuara

Bota e testeve logjike simbolike-grafike është shumë e larmishme dhe e pasur. Detyrat janë një mënyrë efektive për të lidhur materialin algjebrik me përshkrimin e figurave matematikore.

Vendosni formën e kërkuar:

? 100

Shembull. Plotëso fjalën që mungon

matematikë 3≤x≤6 temë

decimetri 5≤x≤8 ?

Logjika ndihmon për të asimiluar njohuritë me vetëdije, me mirëkuptim, d.m.th. jo formale; krijon mundësinë e mirëkuptimit më të mirë të ndërsjellë. Logjika është arti i arsyetimit, aftësia për të nxjerrë përfundime të sakta. Kjo nuk është gjithmonë e lehtë, sepse shumë shpesh informacioni i nevojshëm "maskohet", paraqitet në mënyrë implicite dhe ju duhet të jeni në gjendje ta nxirrni atë.

5. Problemet logjike të tekstit mund të ndahen në llojet e mëposhtme:

të gjitha deklaratat janë të vërteta;

jo të gjitha pohimet janë të vërteta;

problemet rreth treguesve të së vërtetës dhe gënjeshtarëve.

Këshillohet që të praktikoni zgjidhjen e çdo lloj problemi gradualisht, hap pas hapi.

6. Le të shqyrtojmë metodat themelore të zgjidhjes së problemeve dhe aplikimin e disa metodave për probleme specifike.

Metoda e arsyetimit

Në metodën e arsyetimit gjatë vendosjes ndihmojnë: diagramet, vizatimet, shënimet e shkurtra, aftësia për të zgjedhur informacionin, aftësia për të përdorur rregullin e numërimit.

Shembull.

Lena, Olya, Tanya morën pjesë në garën 100 m Lena vrapoi 2 sekonda më herët se Olya, Olya vrapoi 1 sekondë më vonë se Tanya. Kush erdhi me vrap më herët: Tanya apo Lena dhe për sa sekonda?

Zgjidhje.

Le të bëjmë një diagram:

Lena __________

Olya __________ __ __

Tanya __________ __

Përgjigju. Më parë, Lena mbërriti në 1.

Metoda e përshkrimit të objekteve dhe formave të tyre

Bazuar në përshkrimin, mund të imagjinoni një objekt, vend ose ngjarje që nuk e keni parë kurrë. Në bazë të shenjave (shenjave) të kriminelit, bëhet portreti i tij i supozuar - një identikit.

Në bazë të shenjave (simptomave) të sëmundjes, mjeku bën një diagnozë, d.m.th. njeh sëmundjen.

Zgjidhja e shumë gjëegjëzave, sharadave dhe zgjidhja e fjalëkryqeve bazohet në njohjen e një objekti sipas përshkrimit.

Metoda për gjetjen e problemeve të lidhura

Nëse problemi është i vështirë, atëherë duhet të përpiqeni të gjeni dhe zgjidhni një problem më të thjeshtë "të lidhur". Kjo siguron çelësin për zgjidhjen e problemit origjinal.

Metoda e "krehjes së detyrave" (ose "mund të supozojmë se ...")

Mund ta zgjidhni problemin sipas nevojës, ose fillimisht mund ta transformoni në një formë të përshtatshme për zgjidhje: riformuloni kushtin në një gjuhë më të përshtatshme (për shembull, në gjuhën e një vizatimi), hidhni rastet e thjeshta, zvogëloni rastin e përgjithshëm në një të veçantë.

Metoda çift-tek

Shumë probleme mund të zgjidhen lehtësisht nëse vëreni se një sasi e caktuar ka një barazi të caktuar. Nga kjo rrjedh se situatat në të cilat një sasi e caktuar ka një barazi të ndryshme janë të pamundura. Ndonjëherë kjo sasi duhet të "ndërtohet", për shembull, për të marrë parasysh barazinë e një shume ose produkti, ose për të ndarë objektet në çifte. Vëreni alternimin e gjendjeve, ngjyrosni objektet me dy ngjyra etj.

Shembuj.

Karkaleca kërceu përgjatë një vije të drejtë dhe u kthye në pikën e fillimit (gjatësia e kërcimit 1 m). Vërtetoni se ai bëri një numër të barabartë kërcimesh.

Zgjidhje. Sepse karkaleca u kthye në pikën e fillimit. Numri i kërcimeve në të djathtë është i barabartë me numrin e kërcimeve në të majtë, kështu që numri i përgjithshëm i kërcimeve është çift.

Metoda e kundërt

Nëse një operacion i caktuar është specifikuar në problem dhe është i kthyeshëm, atëherë mund të bëni një lëvizje "të kundërt" nga rezultati përfundimtar në të dhënat origjinale. (Për shembull, ju duhet të nxirrni një dollap nga dhoma. A do të kalojë nga dera? Do, sepse është sjellë nga dera). Analiza nga fundi përdoret për të gjetur situata fituese dhe humbëse.

Metoda e tabelës

Kjo metodë konsiston në hartimin e një tabele dhe futjen e të dhënave në të sipas kushteve të problemit.

Metoda e grafikut

Fjala "grafik" u shfaq në literaturën matematikore mjaft kohët e fundit. Koncepti i një grafiku përdoret jo vetëm në matematikë, por edhe në teknologji dhe madje edhe në jetën e përditshme me emra të ndryshëm - diagram, diagram.

Grafikët janë veçanërisht të dobishëm kur zgjidhen probleme logjike. Duke i paraqitur objektet që studiohen në formë vizuale, "grafikët" ndihmojnë për të mbajtur në kujtesë fakte të shumta që gjenden në deklaratën e problemit dhe për të vendosur lidhje midis tyre.

Numëroniështë çdo grup pikash, disa prej të cilave janë të lidhura me vija ose shigjeta. Quhen pikat që përfaqësojnë elementet e një bashkësie majat grafiku që lidh segmentet e tyre - brinjët grafiku. Pikat e kryqëzimit të skajeve të një grafiku nuk janë kulmet e tij. Për të shmangur konfuzionin, kulmet e një grafiku shpesh përshkruhen jo si pika, por si rrathë të vegjël. Ndonjëherë është më i përshtatshëm për të përshkruar skajet jo si segmente të drejta, por si harqe.

Metoda e rrethit të Euler-it

Kjo metodë jep një ide edhe më vizuale të një mënyre të mundshme për të përshkruar kushtet, varësitë dhe marrëdhëniet në problemet logjike.

Një nga matematikanët më të mëdhenj, akademiku i Shën Petersburgut Leonard Euler, shkroi më shumë se 850 punime shkencore gjatë jetës së tij të gjatë. Këta rrathë u shfaqën në njërën prej tyre. Euler shkroi atëherë se "ato janë shumë të përshtatshme për të lehtësuar reflektimet tona". Së bashku me rrathët, drejtkëndëshat dhe forma të tjera përdoren në probleme të tilla.

Shembull.

1. Disa banorë të qytetit mund të flasin vetëm rusisht, disa mund të flasin vetëm uzbekisht dhe disa mund të flasin të dyja gjuhët. 85% flasin uzbekisht, 75% flasin rusisht. Sa përqind e banorëve flasin të dyja gjuhët?

Zgjidhje. Le të bëjmë një diagram -

Në rrethin nën shkronjën "U" ne tregojmë banorët që flasin uzbekisht, nën shkronjën "R" - në rusisht. Në pjesën e përgjithshme të qarqeve caktojmë banorë që flasin të dyja gjuhët. Tani, nga të gjithë banorët (100%), ne zbresim rrethin "U" (85%) dhe marrim banorë që flasin vetëm rusisht (15%). Dhe tani le ta zbresim këtë 15% nga të gjithë ata që flasin rusisht (75%). Le të marrim folës të të dyja gjuhëve (60%).

Metoda e kombinuar

Një metodë në të cilën një problem mund të zgjidhet në disa mënyra.

Materiali i propozuar "Metodat për zgjidhjen e problemeve logjike" mund të përdoret si në mësimet e matematikës ashtu edhe në aktivitetet jashtëshkollore për nxënësit e klasave 5-9, mësuesit për të përgatitur studentët për zgjidhjen e detyrave të olimpiadës, garat intelektuale "Maratona e dijes", konkursi rajonal "Kangur".

Duke u njohur me lloje të ndryshme të problemeve logjike dhe metodave për zgjidhjen e tyre, besoj se mund t'i zbatoj njohuritë e marra në aktivitetet e mia arsimore, të zgjedh në mënyrë të pavarur një ose një metodë tjetër zgjidhjeje për një problem specifik dhe të zbatoj metodat e mësuara për zgjidhjen e një problemi. në një situatë reale.

Institucion arsimor buxhetor komunal

"Liceu multidisiplinar" i vendbanimit urban "Fshati i Punëtorëve Chegdomyn" Komuna Verkhnebureinsky

rajoni i territorit të Khabarovsk.

Puna kërkimore abstrakte në matematikë:

Tema: "Metoda e induksionit matematik"

Plotësuar nga: Svetlana Antonova

nxënës i klasës 11 “B”.

Drejtues: Terentyeva O. A.

mësues i matematikës

Fshati Çegdomyn

1. Hyrje 3

2. Historia

metoda e induksionit matematik 4-5

3. Rezultatet kryesore të studimit 6-14

4. Detyrat e pritshme për Provimin e Unifikuar të Shtetit 15-18

5.Përfundimi 19 6.Referencat 20

Prezantimi:

Në fillim të klasës së 10-të filluam të studiojmë metodën e induksionit matematik, edhe atëherë isha shumë i interesuar për këtë temë, por vetëm për studim. Kur filluam përgatitjet intensive për dhënien e Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë, detyrat në këtë temë ishin shumë të lehta për mua dhe u interesova për mundësitë e kësaj metode në zgjidhjen e detyrave më komplekse. Së bashku me mësuesin, vendosëm ta studiojmë këtë metodë dhe aftësitë e saj në mënyrë më të detajuar dhe të plotë kur punojmë në një projekt mbi këtë temë.

Qëllimi i punës sime:

Njihuni me metodën e induksionit matematik, sistemoni njohuritë për këtë temë dhe aplikoni këtë metodë gjatë zgjidhjes së problemeve matematikore dhe vërtetimit të teoremave.

Objektivat e punës:

1. Përditësimi i rëndësisë praktike të njohurive matematikore.

2.Zhvillimi i ideve morale për natyrën e matematikës, thelbin dhe origjinën e abstraksionit matematik.

3. Zotërimi i metodave dhe teknikave të ndryshme të punës.

4. Përgjithësimi dhe sistematizimi i njohurive për këtë temë.

5. Zbatimi i njohurive të marra gjatë zgjidhjes së detyrave të Provimit të Unifikuar të Shtetit.

Problemi:

Tregoni rëndësinë praktike të metodës së induksionit matematik.

Nga historia e shfaqjes së metodës së induksionit matematik:

Zgjerimi i jashtëzakonshëm i lëndës së matematikës në shekullin e 19-të tërhoqi vëmendjen e shtuar në çështjet e "justifikimit" të saj, d.m.th. një rishikim kritik i dispozitave të tij fillestare (aksioma), ndërtimi i një sistemi të rreptë përkufizimesh dhe provash, si dhe një shqyrtim kritik i shembujve logjikë të përdorur në këto prova.

Vetëm nga fundi i shekullit të 19-të u shfaq një standard i kërkesave për ashpërsi logjike, të cilat mbeten dominuese edhe sot e kësaj dite në punën praktike të matematikanëve mbi zhvillimin e teorive individuale matematikore.

Logjika moderne matematikore i ka dhënë një përgjigje të qartë kësaj pyetjeje: asnjë teori e vetme deduktive nuk mund të shterojë shumëllojshmërinë e problemeve në teorinë e numrave.

Fjala induksion në rusisht do të thotë udhëzim, dhe induktiv janë përfundimet e bëra në bazë të vëzhgimeve, eksperimenteve, d.m.th. të përftuara nga përfundimi nga e veçanta te e përgjithshme.

Baza e çdo kërkimi matematikor është metoda deduktive dhe induktive. Metoda deduktive e arsyetimit është arsyetimi nga e përgjithshmja në atë specifike, d.m.th. arsyetimi, pikënisja e të cilit është rezultati i përgjithshëm, dhe pika përfundimtare është rezultati i veçantë. Induksioni përdoret kur kalohet nga rezultatet e veçanta në ato të përgjithshme, d.m.th. është e kundërta e metodës deduktive.

Metoda e induksionit matematik mund të krahasohet me progresin. Ne fillojmë nga më e ulëta dhe si rezultat i të menduarit logjik arrijmë në më të lartën. Njeriu gjithmonë është përpjekur për përparim, për aftësinë për të zhvilluar mendimet e tij në mënyrë logjike, që do të thotë se vetë natyra e ka caktuar atë të mendojë në mënyrë induktive.

Roli i përfundimeve induktive në shkencat eksperimentale është shumë i madh. Ato japin ato dispozita nga të cilat më pas nxirren përfundime të mëtejshme përmes deduksionit. Dhe megjithëse mekanika teorike bazohet në tre ligjet e lëvizjes së Njutonit, vetë këto ligje ishin rezultat i të menduarit të thellë përmes të dhënave eksperimentale, në veçanti ligjet e Keplerit për lëvizjen planetare, të cilat ai i nxori nga përpunimi i vëzhgimeve shumëvjeçare nga astronomi danez Tycho. Brahe. Vëzhgimi dhe induksioni rezultojnë të jenë të dobishëm në të ardhmen për sqarimin e supozimeve të bëra. Pas eksperimenteve të Michelson për matjen e shpejtësisë së dritës në një medium lëvizës, doli të ishte e nevojshme të sqaroheshin ligjet e fizikës dhe të krijohej teoria e relativitetit.

Në matematikë, roli i induksionit është kryesisht se ai qëndron në themel të aksiomatikës së zgjedhur. Pasi praktika afatgjatë tregoi se një rrugë e drejtë është gjithmonë më e shkurtër se ajo e lakuar ose e thyer, ishte e natyrshme të formulohej një aksiomë: për çdo tre pika A, B dhe C, pabarazia

Koncepti i "ndjekjes ...", i cili është baza e aritmetikës, u shfaq gjithashtu nga vëzhgimet e formimit të ushtarëve, anijeve dhe grupeve të tjera të porositura.

Megjithatë, nuk duhet menduar se kjo e shteron rolin e induksionit në matematikë. Natyrisht, nuk duhet të testojmë eksperimentalisht teoremat e nxjerra logjikisht nga aksiomat: nëse nuk janë bërë gabime logjike gjatë nxjerrjes, atëherë ato janë të vërteta për aq sa aksiomat që pranuam janë të vërteta. Por shumë pohime mund të nxirren nga ky sistem aksiomash. Dhe përzgjedhja e atyre pohimeve që duhet të vërtetohen sugjerohet përsëri me induksion. Është kjo që ju lejon të ndani teoremat e dobishme nga ato të padobishme, tregon se cilat teorema mund të rezultojnë të vërteta dhe madje ndihmon për të përshkruar rrugën e provës.

Në matematikë, metoda induktive është përdorur prej kohësh, bazuar në faktin se një ose një tjetër pohim i përgjithshëm bëhet bazuar në shqyrtimin e vetëm disa rasteve të veçanta. Historia, për shembull, ka ruajtur deklaratën e mëposhtme të Euler: "Unë nuk kam argumente të tjera për provë, përveç një induksioni të gjatë, të cilin e kam çuar aq larg sa nuk mund të dyshoj në asnjë mënyrë në ligjin që rregullon formimin e këtyre anëtarëve. Dhe duket e pamundur që një ligj që u gjet se vlen, për shembull, për 20 anëtarë, të mos mund të respektohej për sa vijon.”

Duke besuar në pagabueshmërinë e induksionit, shkencëtarët ndonjëherë bënin gabime serioze.

Nga mesi i shekullit të shtatëmbëdhjetë, shumë përfundime të gabuara ishin grumbulluar në matematikë. Filloi të kishte një nevojë të fortë për një metodë të bazuar shkencërisht që do të lejonte nxjerrjen e përfundimeve të përgjithshme nga shqyrtimi i disa rasteve specifike. Dhe një metodë e tillë u zhvillua. Merita kryesore për këtë i takon matematikanëve francezë Pascal (1623 - 1662) dhe Dekartit, si dhe matematikanit zviceran Jacob Bernoulli (1654-1705).

Rezultatet kryesore të fazës së kërkimit.

Në procesin e punës, zbulova se të gjitha deklaratat mund të ndahen në të përgjithshme dhe specifike. Një shembull i një deklarate të përgjithshme është, për shembull, thënia: "Në çdo trekëndësh, shuma e dy brinjëve është më e madhe se brinja e tretë". Për shembull, pohimi: "Numri 136 është i pjesëtueshëm me 2" është i veçantë.

Kalimi nga deklaratat e përgjithshme në ato specifike quhet gjyshi tion. Në matematikë, ne përdorim metodën deduktive, për shembull, në arsyetimin e këtij lloji: kjo figurë është një drejtkëndësh; Çdo drejtkëndësh ka diagonale të barabarta, prandaj ky drejtkëndësh ka diagonale të barabarta.

Por së bashku me këtë, në matematikë shpesh është e nevojshme të kalojmë nga pohime të veçanta në ato të përgjithshme, d.m.th. përdorni një metodë të kundërt me deduktive, e cila quhet me induksion .

Induktive qasja zakonisht fillon me analiza dhe krahasime, të dhëna vëzhguese ose eksperimentale. Përsëritja e përsëritur e një fakti çon në përgjithësim induktiv. Rezultati i marrë nga induksioni, në përgjithësi, nuk justifikohet apo vërtetohet logjikisht. Ka shumë raste kur deklaratat e marra me induksion ishin të pasakta. Kjo do të thotë, induksioni mund të çojë në përfundime të sakta dhe të pasakta.

Le të shqyrtojmë shembull. Zëvendësimi në një trinom kuadratik P(x)= x 2 + x+ 41 në vend të X numrat natyrorë 1,2,3,4,5 gjejmë: P(1)= 43; P(2)=47; P(3)= 53; P(4)= 61; P(5)= 71. Të gjitha vlerat e këtij trinomi janë numra të thjeshtë. Zëvendësimi në vend X numrat 0, -1, -2, -3, -4, marrim: P(0)=41; P(-1)=41; P(-2)=43; P(-3)=47; Р(-4) =53. Vlerat e këtij trinomi për vlerat e specifikuara të ndryshores X janë edhe numra të thjeshtë. Ngrihet një hipotezë se vlera e trinomit P(x)është një numër i thjeshtë për çdo vlerë të plotë X. Por e shprehur hipoteza është e gabuar, meqenëse, për shembull, P(41)= 41 2 +41+41=41∙43.

Meqenëse me këtë metodë përfundimi nxirret pas analizimit të disa shembujve që nuk mbulojnë të gjitha rastet e mundshme, kjo metodë quhet induksion jo i plotë ose i papërsosur.

Metoda e induksionit jo të plotë, siç e shohim, nuk çon në përfundime plotësisht të besueshme, por është e dobishme në atë na lejon të formulojmë një hipotezë, e cila më pas mund të vërtetohet me arsyetim të saktë matematikor ose të kundërshtohet. Me fjalë të tjera, induksioni jo i plotë në matematikë nuk konsiderohet një metodë legjitime e provës rigoroze, por është i fuqishëmmetodë heuristike për zbulimin e të vërtetave të reja.

Nëse përfundimi nxirret në bazë të analizës së të gjitha rasteve, atëherë kjo metodë arsyetimi quhet induksion i plotë.

Këtu shembull arsyetim i ngjashëm. Le të jetë e nevojshme të përcaktohet se çdo numër natyror çift P brenda 10 P Pra, le të marrim të gjithë numrat e tillë dhe të shkruajmë zgjerimet përkatëse: 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7 . Këto gjashtë barazime tregojnë se secili nga numrat që na interesojnë përfaqësohet me të vërtetë si shuma e dy termave të thjeshtë.

Le të jetë një deklaratë e vërtetë në disa raste të veçanta. Shqyrtimi i të gjitha rasteve të tjera ose është plotësisht i pamundur ose kërkon një numër të madh llogaritjesh. Si e dini nëse kjo deklaratë është fare e vërtetë? Kjo pyetje ndonjëherë mund të zgjidhet duke aplikuar një metodë të veçantë arsyetimi të quajtur metodë matematikore induksioni .Në bazë të kësaj metodë gënjeshtra parim induksioni matematik .

Nëse supozimi në varësi të numrit natyrorn, e vertetePërn=1 dhe nga fakti se është e vërtetë përn= k(kuk- çdo e natyrshmenumër), rrjedh se është e vërtetë për numrin tjetërn= k+1, atëherë supozimi është i vërtetë për cilindonumri natyrorn.

Metoda e induksionit matematik është një metodë efektive e vërtetimit të hipotezave (pohimeve), e bazuar në përdorimin e parimit të induksionit matematik, prandaj çon vetëm në përfundime të sakta.

Duke përdorur metodën e induksionit matematik Jo të gjitha problemet mund të zgjidhen, por vetëm detyra, i parametrizuar disa ndryshore. Kjo variabël quhet variabla e induksionit.

Metoda e induksionit matematik përdoret më gjerësisht në aritmetikë, algjebër dhe teorinë e numrave.

Shembulli 1. Gjeni shumën Sn =

Së pari, le të gjejmë shumat e një, dy dhe tre termash. Ne kemi:

S 1 = ; S 2 = ; S 3 = .

Në secilën prej këtyre rasteve, fitohet një thyesë, numëruesi i së cilës përmban numrin e termave dhe emëruesi përmban një numër që është një më i madh se numri i termave. Kjo ju lejon të shpreheni hipoteza ( supozim) që për çdo natyrore P Sp =.

Për të testuar këtë hipotezë, ne do të përdorim metodën e induksionit matematik.

1) Kur P = 1 hipotezë është e saktë, pasi S 1 = .

2) Supozoni se hipoteza është e vërtetë për P= k, domethënë

S k = .

Le të vërtetojmë se atëherë hipoteza duhet të jetë e vërtetë edhe për P = k+ 1, domethënë

S k +1 = .

Vërtet, S k +1 = S k

S k +1 =

Kështu, bazuar në supozimin se hipoteza S P =

e vërtetë kur n = k, e kemi vërtetuar se është e vërtetë edhe kur P = k + 1.

Prandaj formula S P = e vërtetë për çdo natyrore P.

Shembulli 2. Vërtetoni se për çdo numër natyror P dhe çdo numër real a -1 ekziston një pabarazi e quajtur Pabarazia e Bernulit (emërtuar sipas matematikanit zviceran të shekullit të 17-të Jacob Bernoulli) : (1+ a) P ≥ 1 + ap.

1) Nëse n=1, atëherë është e qartë se pabarazia është e vërtetë: (1+a) 1 ≥ 1+a.

2) Supozoni se pabarazia është e vërtetë për n= k: (1+ a) k ≥ 1 + ak.

Shumëzoni të dyja anët e pabarazisë së fundit me një numër pozitiv 1+ a, si rezultat marrim (1+ a) k +1 ≥ 1+ ak+ a+ a 2 k.

Duke eliminuar termin e fundit në anën e djathtë të pabarazisë, ne zvogëlojmë anën e djathtë të kësaj pabarazie, dhe për këtë arsye (1+ a) k +1 ≥ a(k+1).

Rezultati i marrë tregon se pabarazia është gjithashtu e vërtetë për n= k+1.

Të dyja pjesët e provës janë kryer duke përdorur metodën e induksionit matematik dhe, për rrjedhojë, pabarazia është e vlefshme për çdo numër natyror P.

Vini re se e gjithë zgjidhja u nda në katër faza:

1.bazë(ne tregojmë se pohimi që provohet është i vërtetë për disa raste të veçanta më të thjeshta ( P = 1);

2.supozim(supozojmë se deklarata është vërtetuar për të parën te rastet; 3 .hap(nën këtë supozim ne vërtetojmë deklaratën për rastin P = te + 1 ); 4. prodhimi (në pohimi është i vërtetë për të gjitha rastet, pra për të gjitha P) .

Versioni i dytë i metodës së induksionit matematik.

Disa deklarata nuk janë të vërteta për të gjitha të natyrshme P, por vetëm për natyrore P, duke u nisur nga një numër i caktuar R. Deklarata të tilla ndonjëherë mund të vërtetohen me një metodë disi të ndryshme nga ajo e përshkruar më sipër, por mjaft e ngjashme me të. Ai përbëhet nga sa vijon.

Deklarata është e vërtetë për të gjitha vlerat natyrorep ≥ p nëse: 1) është e vërtetë kur P=p (dhe jo në P= 1, siç u tha më lart);

2) nga vlefshmëria e kësaj deklarate kur P= k, ku k ≥ р (dhe jo k ≥ 1, siç u tha më lart), rrjedh se është gjithashtu e vërtetë kur P= k + 1.

Shembulli 1. Vërtetoni se barazia është e vërtetë për të gjithë

Le të shënojmë prodhimin në anën e majtë të barazisë me , d.m.th.

ne duhet ta vërtetojmë atë.

Për n=1 formula nuk është e saktë (1- 1) = 1 (e pasaktë).

1) Le të kontrollojmë që kjo formulë është e vërtetë për n = 2. , - e vërtetë.

2) Le të jetë formula e vërtetë për n = k, d.m.th.

3) Le të vërtetojmë se ky identitet është gjithashtu i vërtetë për n = k + 1, d.m.th.

Sipas parimit të induksionit matematik, barazia është e vërtetë për çdo numër natyror.

Shembulli 2. Vërtetoni se 22n + 1 për çdo numër natyror n3.

1) Për n = 3 pabarazia është e vërtetë. 223 + 1.

2) Supozojmë se 22k + 1 (k3).

3) Le të vërtetojmë se 2 2(k + 1) + 1.

Në fakt, 2 = 222(2k + 1) =(2k + 3)(2k - 1) 2k + 3, pasi 2k – 10 për çdo vlerë natyrore të k. Prandaj, 22n + 1 për të gjithë n3.

Një shënim mbi metodën e induksionit matematik.

Vërtetimi me induksion matematikor përbëhet nga dy faza.

lthfazë. Kontrolloni nëse deklarata është e vërtetë n = 1 (ose në n =R, nëse flasim për metodën e përshkruar më sipër).

kati 2 Supozojmë se pohimi është i vërtetë kur n =k, dhe në bazë të kësaj vërtetojmë se është e vërtetë edhe kur P = k+1.

Secila prej këtyre fazave është e rëndësishme në mënyrën e vet, duke marrë parasysh shembullin P(x)= x 2 + x+41, jemi të bindur se deklarata mund të jetë e vërtetë në një sërë rastesh të veçanta, por jo e vërtetë në përgjithësi. Ky shembull na bind për sa e rëndësishme është faza e dytë e vërtetimit duke përdorur metodën e induksionit matematik. Nëse e anashkaloni, mund të arrini në përfundimin e gabuar.

Sidoqoftë, nuk duhet menduar se faza e parë është më pak e rëndësishme se e dyta. Tani do të jap një shembull që tregon se në çfarë përfundimi absurd mund të arrini nëse hiqni fazën e parë të provës.

"Teorema a." Për çdo numër natyror n 2p +1 madje.

Dëshmihengraatje janeO. Le të jetë e vërtetë kjo teoremë për n =k, ky është numri 2 k + 1 madje. Le të vërtetojmë se atëherë numri 2(k+1)+ 1 edhe madje.

Vërtet, 2(k+1)+1 = (2 k+1 )+2.

Sipas supozimit numri 2 k +1 është çift, prandaj edhe shuma e tij me numrin çift 2 është çift. Teorema është "e vërtetuar".

Nëse nuk do të kishim harruar të kontrollonim nëse "teorema" jonë është e vërtetë kur n = 1, ne nuk do të kishim ardhur në një "rezultat" të tillë.

Shembuj të aplikimit të metodës së induksionit matematik në vërtetimin e pabarazive.

Shembulli 1. Vërtetoni se për çdo numër natyror n1

.

Le të shënojmë anën e majtë të pabarazisë me .

Prandaj, për n=2 pabarazia është e vërtetë.

Le për disa k. Le të provojmë se atëherë dhe . Ne kemi , .

Krahasimi dhe , kemi , d.m.th. .

Për çdo numër të plotë pozitiv k, ana e djathtë e barazisë së fundit është pozitive. Kjo është arsyeja pse. Por kjo do të thotë gjithashtu.

Shembulli 2. Gjeni gabimin në arsyetim.

deklaratë. Për çdo numër natyror n pabarazia është e vërtetë.

Dëshmi.

Le të jetë e vërtetë mosbarazimi për n=k, ku k është një numër natyror, d.m.th.

Le të vërtetojmë se atëherë mosbarazimi vlen edhe për n=k+1, d.m.th.

Në të vërtetë, jo më pak se 2 për çdo k natyral. Le të shtojmë në anën e majtë të pabarazisë (1) dhe në anën e djathtë 2. Marrim pabarazinë e drejtë , ose . Deklarata është vërtetuar.

Shembulli 4:

Vërtetoni pabarazinë

Ku x 1, x 2,…., x 3 janë numra pozitivë arbitrarë.

Kjo pabarazi e rëndësishme midis mesatares aritmetike dhe mesatares gjeometrike të n numrave është një pasojë e thjeshtë e marrëdhënies së provuar në shembullin e mëparshëm. Në fakt, le të jenë x 1, x 2, ..., x n numra pozitivë arbitrarë. Konsideroni n numra

Natyrisht, të gjithë këta numra janë pozitivë dhe produkti i tyre është i barabartë me një. Prandaj, sipas asaj që u vërtetua në shembullin e mëparshëm, shuma e tyre është më e madhe ose e barabartë me n, d.m.th.

≥ n

dhe shenja e barazisë vlen nëse dhe vetëm nëse x 1 = x 2 = ... = x n.

Pabarazia midis mesatares aritmetike dhe mesatares gjeometrike të n numrave shpesh rezulton të jetë e dobishme për të vërtetuar pabarazitë e tjera dhe për të gjetur vlerat më të vogla dhe më të mëdha të funksioneve.

Zbatimi i metodës së induksionit matematik në mbledhjen e serive.

Shembulli 5. Vërtetoni formulën

, n – numër natyror.

Kur n=1, të dyja anët e barazisë kthehen në një dhe, për rrjedhojë, plotësohet kushti i parë i parimit të induksionit matematik.

Le të supozojmë se formula është e saktë për n=k, d.m.th.

.

Le t'i shtojmë të dyja anët e kësaj barazie dhe të transformojmë anën e djathtë. Pastaj marrim

Kështu, nga fakti që formula është e vërtetë për n=k, rezulton se është e vërtetë edhe për n=k+1. Ky pohim është i vërtetë për çdo vlerë natyrore të k. Pra, plotësohet edhe kushti i dytë i parimit të induksionit matematik. Formula është e vërtetuar.

Shembulli 6. Vërtetoni atë.

Metoda e induksionit matematik në zgjidhjen e problemeve të pjesëtueshmërisë.

Duke përdorur metodën e induksionit matematik, mund të provoni pohime të ndryshme në lidhje me pjesëtueshmërinë e numrave natyrorë.

Deklarata e mëposhtme mund të vërtetohet relativisht thjesht. Le të tregojmë se si fitohet duke përdorur metodën e induksionit matematik.

Shembulli 7. Nësenështë një numër natyror, atëherë numri është çift.

Kur n=1 pohimi ynë është i vërtetë: - një numër çift. Le të supozojmë se është një numër çift. Meqenëse , një 2k është një numër çift, atëherë është çift. Pra, barazia vërtetohet për n=1, barazia nxirret nga barazia, kjo do të thotë se është edhe për të gjitha vlerat natyrore të n.

Shembulli 8. Vërtetoni të vërtetën e fjalisë

A(n)=(numri 5 është shumëfish i 19-ës), n është një numër natyror.

Pohimi A(1)=(një numër i pjesëtueshëm me 19) është i vërtetë.

Supozoni se për një vlerë n=k

A(k)=(numri i pjesëtueshëm me 19) është i vërtetë. Pastaj, që nga

Natyrisht, A(k+1) është gjithashtu e vërtetë. Në të vërtetë, termi i parë është i pjesëtueshëm me 19 për shkak të supozimit se A(k) është e vërtetë; termi i dytë është gjithashtu i pjesëtueshëm me 19 sepse përmban një faktor 19. Të dy kushtet e parimit të induksionit matematik janë të plotësuara, prandaj, propozimi A(n) është i vërtetë për të gjitha vlerat e n-së.

Dëshmia e identitetit

Shembulli 9. Vërtetoni se për çdo natyrore n barazia është e vërtetë

Q.E.D.

Shembulli 10. Vërtetoni identitetin

1) Le të kontrollojmë nëse ky identitet është i vërtetë për n = 1.

2) Le të jetë identiteti i vërtetë për n = k, d.m.th.

3) Le të vërtetojmë se ky identitet është gjithashtu i vërtetë për n = k + 1, d.m.th.

M – shuma e 2) dhe 3).

Metoda e induksionit matematik në zgjidhjen e problemeve të progresionit gjeometrik

Shembulli 11. Le të vërtetojmë se termi i përgjithshëm i progresionit gjeometrik është i barabartë me

A P = a 1 ∙ q n-1 , me metodën e induksionit matematik.

n=1:

a 1 = a 1 ∙q 0

a 1 = a 1 ∙1

ana e majtë = ana e djathtë.

n=k:

a k = a 1 ∙q k -1

n =k+1:

a k +1 = a 1 ∙q k

Dëshmi:

a k +1 = a k ∙q = a 1 ∙q k -1 ∙ q = a 1 ∙q k ,

Q.E.D.

Të dy kushtet e parimit të induksionit matematik janë përmbushur dhe për rrjedhojë formula a n = a 1 ∙ q n -1 e vërtetë për çdo numër natyror P.

Problemet e realitetit

Shembulli 12:

Le të vërtetojmë se shuma e këndeve të brendshme të një n-gon konveks është e barabartë me π(n-2).

1. Numri minimal i këndeve është tre. Pra, le të fillojmë
vërtetim me n = 3. Gjejmë se për një trekëndësh
formula jep π (3~2) = π Deklaratë për n = 3

i drejtë.

2. Le të supozojmë se formula
e vërtetë për n=k. Le ta vërtetojmë këtë
është e vërtetë për çdo konveks
(në +1) -gon. Le ta zbërthejmë

(k +1) -gon diagonale

kështu që marrim një k-gon dhe një trekëndësh (shih figurën).

Meqenëse formula është e vërtetë për një trekëndësh dhe një k-gon, marrim π (k - 2) + π = π (k -1).

Ne marrim të njëjtën gjë nëse zëvendësojmë p = k + 1 në formulën origjinale: π (k +1 - 2) = π (k -1).

Detyra të sugjeruara për Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Shembulli 1.

Vërtetoni se për çdo numër natyror fq 9 n+1 - 8p – 9 shumëfish i 16.

1) Le të kontrollojmë nëse kjo deklaratë është e vërtetë kur n=1:

9 2 - 8 – 9 = 81- 8 – 9 = 64, 64 16.

Në n=1 deklarata është e vërtetë.

2) Le të supozojmë se kjo deklaratë është e vërtetë, kur n =k :

(9 k +1 - 8 k - 9) 16.

3) Dhe, le të provojmë se kjo deklaratë është e vërtetë për n =k+1 :

(9 k +2 – 8 (k+1) - 9) 16.

Dëshmi:

9 k +2 - 8(k+1) – 9 =9 k +1 ∙ 9 1 - 8 k – 8 – 9 = 9 k + 1 ∙ 9 - 8 k – 17 =

= 9(9 k +1 - 8 k - 9) + 64 k + 64 = 9(9 k +1 - 8 k - 9) +64(k+1)=

= 9(9 k +1 – 8 k - 9)+ 64(k+1).

Prandaj: ( 9(9 k +1 - 8 k - 9) + 64(k-1)) 16.

Pra, të dy kushtet e parimit të induksionit matematik janë përmbushur, dhe për këtë arsye 9 k +1 - 8p-9 pjesëtueshëm me 16 për çdo natyrore P.

Shembulli 2.

P plotësohet kushti:

1 3 +2 3 +3 3 +… n 3 =.

S n = .

Le të kontrollojmë nëse kjo formulë është e saktë kur n=1:

Ana e majte = 1 3 =1

Ana e djathtë =

Formula është e saktë kur n=1.

n= k:

1 3 +2 3 +3 3 +… k 3 =.

S k =.

n=k+1:

1 3 +2 3 +3 3 +…+(k+1) 3 =.

S k +1 = .

Dëshmi:

S k +1 = S k +(k+1) 3

Pra, kjo formulë është e vërtetë në dy raste dhe është vërtetuar se është e vërtetë në n= k+1 prandaj është e vërtetë për çdo numër natyror P.

Shembulli 3.

Vërtetoni se për çdo numër natyror P plotësohet kushti:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+ p(p+1)(p+2)=.

.

1) Le të kontrollojmë nëse kjo formulë është e saktë kur n=1:

Ana e majte = 1∙2∙3=6.

Pjesa e djathtë = .

6 = 6; kushti është i vërtetë kur n=1.

2) Supozoni se kjo formulë është e saktë për n= k:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+ k(k+1)(k+2)=.

S k =.

3) Dhe, le të vërtetojmë se kjo formulë është e saktë për n= k+1:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+(k+1)(k+2)(k+3)=.

S k +1 =.

Dëshmi:

Pra, kjo gjendje është e vërtetë në dy raste dhe është vërtetuar se është e vërtetë në n= k+1, prandaj është e vërtetë për çdo numër natyror P.

Shembulli 4.

Vërtetoni se çdo e natyrshme P barazia është e vërtetë

1) Kur n=1 marrim barazinë e saktë

2) Pasi të keni bërë supozimin e induksionit, merrni parasysh shumën në anën e majtë të barazisë, me n= k+1;

3) Për të plotësuar provën, vini re se

Prandaj, barazia është e drejtë.

Shembulli 5.

Në aeroplanin e mbajtur P drejtëza nga të cilat asnjë dy nuk është paralele dhe asnjë tre nuk kalojnë nëpër një pikë. Përcaktoni në sa pjesë e ndajnë rrafshin këto rreshta.

Pasi të kemi vizatuar vizatimet e nevojshme, mund të shkruajmë korrespondencën e mëposhtme midis numrit P vijat e drejta që plotësojnë kushtet e problemit dhe numrin A P pjesët në të cilat këto vija të drejta ndajnë rrafshin:

Duke gjykuar nga termat e parë, sekuenca A Pështë e tillë që dallimet A 2 -A 1 , A 3 -A 2 , A 4 -A 3 ,… formojnë një progresion aritmetik. Nëse përdorim shembullin e diskutuar tashmë, mund ta supozojmë këtë P vijat e drejta që plotësojnë kushtet e problemit, ndajnë rrafshin në

pjesët. Kjo formulë është e lehtë për t'u kontrolluar për vlerat e para P, megjithatë, natyrisht, nga kjo nuk rezulton se i jep një përgjigje problemit të propozuar. Kjo deklaratë kërkon prova shtesë duke përdorur metodën e induksionit matematik.

Duke bërë një pushim nga “përzgjedhja” që sapo kemi bërë, ne e vërtetojmë këtë P drejtëza (nga të cilat nuk ka dy paralele dhe asnjë tre nuk kalon në të njëjtën pikë) e ndajnë rrafshin në A P pjesë ku A P llogaritur me formulë.

Është e qartë se kur n=1 formula është e saktë. Pasi të keni bërë supozimin e induksionit, merrni parasysh k+1 vija të drejta që plotësojnë kushtet e problemit. Përzgjedhja e rastësishme prej tyre k vija të drejta, mund të themi se ato e ndajnë rrafshin në

pjesët. Le ta shtojmë tani (k+1) - vija e drejtë. Meqenëse nuk është paralel me asnjë nga linjat e mëparshme, ai do të kryqëzojë të gjitha k drejt Meqenëse nuk do të kalojë nëpër asnjë nga pikat e kryqëzimit të vijave të mëparshme, do të kalojë përgjatë k+1 pjesë në të cilën tashmë është ndarë rrafshi dhe secila prej këtyre pjesëve do të ndahet në dy pjesë, d.m.th. do të shtohen më shumë k+1 copa. Prandaj, numri i përgjithshëm i pjesëve në të cilat ndahet avioni k+1 drejt, po

Kjo plotëson provën.

konkluzioni

Pra, induksioni (nga latinishtja inductio - udhëzim, motivim) është një nga format e përfundimit, një teknikë kërkimore, duke përdorur të cilën nga njohja e fakteve individuale arrihet deri te dispozita të përgjithshme. Induksioni mund të jetë i plotë ose jo i plotë. Metoda e induksionit jo të plotë konsiston në kalimin në një formulim universal pas kontrollit të së vërtetës së formulimeve të veçanta për disa, por jo të gjitha, vlerat e n. Duke përdorur induksionin e plotë, ne e konsiderojmë veten të drejtë të deklarojmë të vërtetën e një formulimi universal kur jemi të bindur për vërtetësinë e tij për secilën vlerë të n-së. Metoda e induksionit matematik është një metodë vërtetimi e bazuar në parimin e induksionit matematik. Ai lejon, në kërkim të një ligji të përgjithshëm, të testohen hipotezat, të hidhen poshtë ato të rreme dhe të pohohen të vërtetat.

Metoda e induksionit matematik është një nga bazat teorike për zgjidhjen e problemave të mbledhjes, vërtetimin e identiteteve, vërtetimin dhe zgjidhjen e mosbarazimeve, zgjidhjen e çështjes së pjesëtueshmërisë, studimin e vetive të sekuencave të numrave, zgjidhjen e problemeve gjeometrike etj.

Duke u njohur me metodën e induksionit matematik, studiova literaturë të specializuar, u konsultova me një mësues, analizova të dhënat dhe zgjidhjet e problemeve, përdora burimet e internetit dhe bëra llogaritjet e nevojshme.

konkluzioni:

Gjatë punës sime, mësova se për të zgjidhur problemet duke përdorur metodën e induksionit matematik, duhet të njihni dhe kuptoni parimin bazë të induksionit matematik.

Avantazhi i metodës së induksionit matematik është shkathtësia e saj, pasi shumë probleme mund të zgjidhen duke përdorur këtë metodë. Disavantazhi i induksionit jo të plotë është se ndonjëherë çon në përfundime të gabuara.

Duke pasur njohuri të përgjithësuara dhe të sistematizuara mbi induksionin matematik, u binda për nevojën e njohurive në temën "metoda e induksionit matematik". Përveç kësaj, kjo njohuri rrit interesin për matematikën si shkencë.

Gjithashtu gjatë punës kam fituar aftësi në zgjidhjen e problemeve duke përdorur metodën e induksionit matematik. Besoj se këto aftësi do të më ndihmojnë në të ardhmen.

Bibliografi.

1. Bokovnev O. A., Firsov V. V., Shvartsburd S. I. Pyetje të zgjedhura të matematikës. klasa e 9-të. Kurs fakultativ - M.: Edukimi, 1979.

2. Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P., Shibasova Z. F. Prapa faqeve të një libri shkollor matematike. Moskë: Arsimi, 1996.

3. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Studim i thelluar i kursit të algjebrës dhe analizës matematikore: rekomandime metodologjike, materiale didaktike.

4.Ivlev B.M., Abramov A.M., Dudnitsin Yu.P., Shvartsburd S.I. M.: Arsimi, 1990.

5. Petrakov I. S. Klubet matematikore në klasat 8-10: Libri. për mësuesit M.: Prosveshchenie, 1987.

6. Sharygin I.F Kurs me dëshirë në matematikë. Libër mësuesi për zgjidhjen e problemeve për shkollën e mesme të 10-të - M.: Prosveshchenie, 1989.

Kujdes studentë! Puna e kursit kryhet në mënyrë të pavarur në përputhje të rreptë me temën e zgjedhur. Nuk lejohen tema të kopjuara! Ju lutemi të informoni mësuesin për temën e zgjedhur në çdo mënyrë të përshtatshme, qoftë individualisht ose në një listë që tregon emrin tuaj të plotë, numrin e grupit dhe titullin e punës së kursit.

Shembuj temash për lëndët në këtë disiplinë
"Logjika matematikore"

1. Metoda e zgjidhjes dhe zbatimi i saj në algjebër propozicionale dhe algjebër kallëzues.

2. Sistemet aksiomatike.

3. CNF dhe DNF minimale dhe më të shkurtra.

4. Zbatimi i metodave të logjikës matematikore në teorinë e gjuhëve formale.

5. Gramatikat formale si llogaritje logjike.

6. Metodat për zgjidhjen e problemeve logjike të tekstit.

7. Sistemet e programimit logjik.

8. Lojë logjike.

9. Pavendosmëria e logjikës së rendit të parë.

10. Modele jo standarde të aritmetikës.

11. Metoda e diagonalizimit në logjikën matematikore.

12. Makinat Turing dhe teza e Church.

13. Llogaritshmëria në abacus dhe funksionet rekursive.

14. Përfaqësueshmëria e funksioneve rekursive dhe e rezultateve negative të logjikës matematikore.

15. Zgjidhshmëria e aritmetikës së mbledhjes.

16. Logjika e rendit të dytë dhe përcaktueshmëria në aritmetikë.

17. Metoda e ultraprodukteve në teorinë e modelit.

18. Teorema e Gödel-it mbi paplotësinë e aritmetikës formale.

19. Teori aksiomatike të zgjidhshme dhe të pazgjidhshme.

20. Lema e interpolimit të Craig dhe aplikimet e saj.

21. Konvertuesit më të thjeshtë të informacionit.

22. Qarqet komutuese.

24. Strukturat e kontaktit.

25. Zbatimi i funksioneve Boolean në qarqet e kontaktit me rele.

26. Zbatimi i funksioneve të Bulit në teorinë e njohjes së modeleve.

27. Logjika matematikore dhe sistemet e inteligjencës artificiale.

Puna e kursit duhet të përbëhet nga 2 pjesë: përmbajtja teorike e temës dhe një grup problemesh mbi temën (të paktën 10) me zgjidhje. Lejohet gjithashtu të shkruhet një punim terminor i një lloji kërkimor, duke zëvendësuar pjesën e dytë (zgjidhja e problemeve) me një zhvillim të pavarur (për shembull, një algoritëm pune, program, mostër, etj.) të krijuar në bazë të materialit teorik të diskutuar. në pjesën e parë të veprës.

1) Barwise J. (red.) Libër referimi mbi logjikën matematikore. - M.: Nauka, 1982.

2) Vëllezërit e gjuhëve të programimit. - M.: Nauka, 1975.

3) Boulos J., llogaritshmëria dhe logjika. - M.: Mir, 1994.

4) Logjika Hindikin në probleme. - M., 1972.

5) Logjika Palyutin. - M.: Nauka, 1979.

6) Zgjidhshmëria e Ershov dhe modelet konstruktive. - M.: Nauka, 1980.

7), Teoria Taitslin // Uspekhi Mat, 1965, 20, Nr. 4, f. 37-108.

8) Igoshin - punëtori për logjikën matematikore. - M.: Arsimi, 1986.

9) Logjika Igoshin dhe teoria e algoritmeve. - Saratov: Shtëpia botuese Sarat. Universiteti, 1991.

10) Në Ts., duke përdorur Turbo Prolog. - M.: Mir, 1993.

11) hyrje në metamatematikë. - M., 1957.

12) logjika atematike. - M.: Mir, 1973.

13) logjika në zgjidhjen e problemeve. - M.: Nauka, 1990.

14) Logjika Kolmogorov: një libër shkollor për matematikën universitare. specialitete /, - M.: Shtëpia botuese URSS, 2004. - 238 f.

15) tregim me nyje / Përkth. nga anglishtja - M., 1973.

16) lojë logjike / Trans. nga anglishtja - M., 1991.

17), Maksimov mbi teorinë e grupeve, logjikën matematikore dhe teorinë e algoritmeve. - Ed. 4. - M., 2001.

18), logjika Sukaçeva. Kursi leksioni. Libër me probleme praktike dhe zgjidhje: Udhëzues studimi. Botimi i 3-të, rev. - Shën Petersburg.

19) Shtëpia botuese "Lan", 2008. - 288 f.

20) Lyskova në shkenca kompjuterike / , . - M.: Laboratori i njohurive themelore, 2001. - 160 f.

21) Logjika matematikore / Nën redaktimin e përgjithshëm dhe të tjerët - Minsk: Shkolla e Lartë, 1991.

22) hyrje në logjikën matematikore. - M.: Nauka, 1984.

23) Moshchensky mbi logjikën matematikore. - Minsk, 1973.

24) Nikolskaya me logjikë matematikore. - M.: Instituti Psikologjik dhe Social i Moskës: Flint, 1998. - 128 f.

25) Logjika Nikolskaya. - M., 1981.

26) Novikov logjika matematikore. - M.: Nauka, 1973.

27) Teoria e Rabinit. Në librin: Libër referimi mbi logjikën matematikore, pjesa 3. Teoria e rekursionit. - M.: Nauka, 1982. - f. 77-111.

28) Tey A., Gribomon P. et al. T. 1. - M.: Mir, 1990.

29) Tey A., Gribomon P. et al. T. 2. - M.: Mir, 1998.

30) Chen Ch., Li R. Logjika matematikore dhe vërtetimi automatik i teoremave. - M.: Nauka, 1983.

31) hyrje në logjikën matematikore. - M.: Mir, 1960.

32) Logjika Shabunin. Logjika pohore dhe logjika e kallëzuesit: teksti mësimor /, rep. ed. ; shteti Çuvash Universiteti me emrin . - Cheboksary: ​​Shtëpia Botuese Chuvash. Universiteti, 2003. - 56 f.