Proprietà delle radici, formulazioni, prove, esempi. Radice quadrata. Teoria dettagliata con esempi Radice quadrata, radice quadrata aritmetica

\(\sqrt(a)=b\) se \(b^2=a\), dove \(a≥0,b≥0\)

Esempi:

\(\sqrt(49)=7\) perché \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\), perché \(0.2^2=0.04\)

Come estrarre la radice quadrata di un numero?

Per estrarre la radice quadrata di un numero, è necessario porsi la domanda: quale numero al quadrato darà l'espressione sotto la radice?

Per esempio. Estrarre la radice: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0.001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) Quale numero al quadrato darà \(2500\)?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) Quale numero al quadrato darà \(\frac(4)(9)\) ?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) Quale numero al quadrato darà \(0,0001\)?

\(\sqrt(0.0001)=0.01\)

d) Quale numero al quadrato darà \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? Per dare una risposta alla domanda, devi tradurre in quella sbagliata.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Commento: Sebbene \(-50\), \(-\frac(2)(3)\) , \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\) rispondano anche alle domande fornite , ma non vengono presi in considerazione, poiché la radice quadrata è sempre positiva.

La proprietà principale della radice

Come sai, in matematica, ogni azione ha un inverso. L'addizione ha la sottrazione, la moltiplicazione ha la divisione. L'opposto della quadratura sta prendendo la radice quadrata. Pertanto, queste azioni si annullano a vicenda:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Questa è la proprietà principale della radice, che viene utilizzata più spesso (incluso nell'OGE)

Esempio . (compito dell'OGE). Trova il valore dell'espressione \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

Decisione :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Esempio . (compito dell'OGE). Trova il valore dell'espressione \((\sqrt(85)-1)^2\)

Decisione:

Naturalmente, quando si lavora con una radice quadrata, è necessario utilizzarne altre.

Esempio . (compito dell'OGE). Trova il valore dell'espressione \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
Decisione:

Risposta: \(220\)

4 regole che si dimenticano sempre

La radice non viene sempre estratta

Esempio: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) ecc. - estrarre una radice da un numero non è sempre possibile e questo è normale!

Radice di un numero, anche un numero

Non è necessario trattare \(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) in alcun modo speciale. Questi sono numeri, ma non interi, sì, ma non tutto nel nostro mondo si misura in numeri interi.

La radice è presa solo da numeri non negativi

Pertanto, nei libri di testo non vedrai tali voci \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\), ecc.

Ho guardato di nuovo il piatto... E, andiamo!

Cominciamo con uno semplice:

Apetta un minuto. questo, il che significa che possiamo scriverlo in questo modo:

Fatto? Ecco il prossimo per te:

Le radici dei numeri risultanti non sono esattamente estratte? Non preoccuparti, ecco alcuni esempi:

Ma cosa succede se non ci sono due moltiplicatori, ma di più? Lo stesso! La formula di moltiplicazione delle radici funziona con un numero qualsiasi di fattori:

Ora completamente indipendente:

Risposte: Ben fatto! D'accordo, tutto è molto semplice, l'importante è conoscere la tabellina!

Divisione delle radici

Abbiamo capito la moltiplicazione delle radici, ora passiamo alla proprietà della divisione.

Lascia che ti ricordi che la formula in generale è simile a questa:

E questo significa questo la radice del quoziente è uguale al quoziente delle radici.

Bene, diamo un'occhiata agli esempi:

Questa è tutta scienza. Ed ecco un esempio:

Non tutto è liscio come nel primo esempio, ma come puoi vedere, non c'è nulla di complicato.

E se l'espressione fosse simile a questa:

Devi solo applicare la formula al contrario:

Ed ecco un esempio:

Puoi anche vedere questa espressione:

Tutto è uguale, solo qui devi ricordare come tradurre le frazioni (se non ricordi, guarda l'argomento e torna!). Ricordato? Ora decidiamo!

Sono sicuro che hai affrontato tutto, tutto, ora proviamo a costruire radici in un grado.

Esponenziale

Cosa succede se la radice quadrata è al quadrato? È semplice, ricorda il significato della radice quadrata di un numero: questo è un numero la cui radice quadrata è uguale a.

Quindi, se eleviamo al quadrato un numero la cui radice quadrata è uguale, cosa otteniamo?

Beh, certo, !

Diamo un'occhiata agli esempi:

Tutto è semplice, giusto? E se la radice è in un grado diverso? Va bene!

Attenersi alla stessa logica e ricordare le proprietà e le possibili azioni con poteri.

Leggi la teoria sull'argomento "" e tutto ti diventerà estremamente chiaro.

Ad esempio, ecco un'espressione:

In questo esempio, il grado è pari, ma cosa succede se è dispari? Ancora una volta, applica le proprietà di potenza e calcola tutto:

Con questo tutto sembra essere chiaro, ma come estrarre la radice da un numero in un grado? Ecco, ad esempio, questo:

Abbastanza semplice, vero? E se il grado è maggiore di due? Seguiamo la stessa logica usando le proprietà dei gradi:

Bene, è tutto chiaro? Quindi risolvi i tuoi esempi:

Ed ecco le risposte:

Introduzione sotto il segno della radice

Quello che non abbiamo imparato a fare con le radici! Resta solo da esercitarsi a inserire il numero sotto il segno della radice!

È abbastanza facile!

Diciamo che abbiamo un numero

Cosa possiamo farci? Bene, ovviamente, nascondi la tripla sotto la radice, ricordando che la tripla è la radice quadrata di!

Perchè ne abbiamo bisogno? Sì, solo per espandere le nostre capacità durante la risoluzione di esempi:

Ti piace questa proprietà delle radici? Rende la vita molto più facile? Per me è giusto! Solo dobbiamo ricordare che possiamo inserire solo numeri positivi sotto il segno della radice quadrata.

Prova tu stesso questo esempio:
Sei riuscito? Vediamo cosa dovresti ottenere:

Ben fatto! Sei riuscito a inserire un numero sotto il segno della radice! Passiamo all'altrettanto importante: considera come confrontare i numeri contenenti una radice quadrata!

Confronto delle radici

Perché dovremmo imparare a confrontare i numeri che contengono una radice quadrata?

Molto semplice. Spesso, nelle espressioni grandi e lunghe incontrate all'esame, otteniamo una risposta irrazionale (ricordate di cosa si tratta? Ne abbiamo già parlato oggi!)

Dobbiamo posizionare le risposte ricevute sulla linea delle coordinate, ad esempio, per determinare quale intervallo è adatto per risolvere l'equazione. Ed è qui che sorge l'inconveniente: non c'è la calcolatrice sull'esame e, senza di essa, come immaginare quale numero è più grande e quale è più piccolo? Questo è tutto!

Ad esempio, determina quale è maggiore: o?

Non dirai subito. Bene, usiamo la proprietà parsed di aggiungere un numero sotto il segno della radice?

Poi avanti:

Ebbene, ovviamente, maggiore è il numero sotto il segno della radice, maggiore è la radice stessa!

Quelli. se significa.

Da ciò concludiamo fermamente che E nessuno ci convincerà del contrario!

Estrarre radici da grandi numeri

Prima di allora, abbiamo introdotto un fattore sotto il segno della radice, ma come eliminarlo? Devi solo estrarlo ed estrarre ciò che viene estratto!

Era possibile andare dall'altra parte e scomporsi in altri fattori:

Non male, vero? Ognuno di questi approcci è corretto, decidi come ti senti a tuo agio.

Il factoring è molto utile quando si risolvono attività non standard come questa:

Non ci spaventiamo, agiamo! Scomponiamo ogni fattore sotto la radice in fattori separati:

E ora provalo tu stesso (senza calcolatrice! Non sarà all'esame):

È questa la fine? Non ci fermiamo a metà!

Questo è tutto, non è poi così spaventoso, giusto?

Accaduto? Bravo, hai ragione!

Ora prova questo esempio:

E un esempio è un osso duro da decifrare, quindi non puoi capire immediatamente come affrontarlo. Ma noi, ovviamente, siamo nei denti.

Bene, iniziamo a fare il factor, vero? Immediatamente notiamo che puoi dividere un numero per (richiama i segni di divisibilità):

E ora, prova tu stesso (di nuovo, senza calcolatrice!):

Bene, ha funzionato? Bravo, hai ragione!

Riassumendo

1. La radice quadrata (radice quadrata aritmetica) di un numero non negativo è un numero non negativo il cui quadrato è uguale.
   .
2. Se prendiamo solo la radice quadrata di qualcosa, otteniamo sempre un risultato non negativo.
3. Proprietà della radice aritmetica:
4. Quando si confrontano le radici quadrate, è necessario ricordare che maggiore è il numero sotto il segno della radice, maggiore è la radice stessa.

Ti piace la radice quadrata? Tutto chiaro?

Abbiamo cercato di spiegarti senz'acqua tutto ciò che devi sapere nell'esame sulla radice quadrata.

È il tuo turno. Scrivici se questo argomento è difficile per te o meno.

Hai imparato qualcosa di nuovo o tutto era già così chiaro.

Scrivi nei commenti e buona fortuna per gli esami!

Congratulazioni: oggi analizzeremo le radici, uno degli argomenti più strabilianti della terza media. :)

Molte persone si confondono sulle radici, non perché siano complesse (il che è complicato - un paio di definizioni e un paio di proprietà in più), ma perché nella maggior parte dei libri di testo scolastici le radici sono definite in modo tale che solo gli autori dei libri di testo stessi può capire questo scarabocchio. E anche allora solo con una bottiglia di buon whisky. :)

Pertanto, ora darò la definizione più corretta e competente della radice, l'unica che devi davvero ricordare. E solo allora ti spiegherò: perché tutto questo è necessario e come applicarlo nella pratica.

Ma prima, ricorda un punto importante, che per qualche motivo molti compilatori di libri di testo "dimenticano":

Le radici possono essere di grado pari (il nostro preferito $\sqrt(a)$, così come qualsiasi $\sqrt(a)$ e anche $\sqrt(a)$) e dispari (qualsiasi $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ ecc.). E la definizione della radice di un grado dispari è alquanto diversa da quella pari.

Qui in questo fottuto “un po' diverso” si nasconde, probabilmente, il 95% di tutti gli errori e le incomprensioni legate alle radici. Quindi chiariamo una volta per tutte la terminologia:

Definizione. Anche radice n dal numero $a$ è qualsiasi non negativo un numero $b$ tale che $((b)^(n))=a$. E la radice di un grado dispari dallo stesso numero $a$ è generalmente qualsiasi numero $b$ per il quale vale la stessa uguaglianza: $((b)^(n))=a$.

In ogni caso, la radice è indicata in questo modo:

\(un)\]

Il numero $n$ in tale notazione è chiamato esponente della radice e il numero $a$ è chiamato espressione radicale. In particolare, per $n=2$ otteniamo la nostra radice quadrata “preferita” (a proposito, questa è una radice di grado pari), e per $n=3$ otteniamo una radice cubica (un grado dispari), che si trova spesso anche nei problemi e nelle equazioni.

Esempi. Esempi classici di radici quadrate:

\[\begin(allineamento) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \fine(allineamento)\]

A proposito, $\sqrt(0)=0$ e $\sqrt(1)=1$. Questo è abbastanza logico poiché $((0)^(2))=0$ e $((1)^(2))=1$.

Anche le radici cubiche sono comuni: non aver paura di loro:

\[\begin(allineamento) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \fine(allineamento)\]

Bene, un paio di "esempi esotici":

\[\begin(allineamento) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \fine(allineamento)\]

Se non capisci qual è la differenza tra un grado pari e uno dispari, rileggi di nuovo la definizione. È molto importante!

Nel frattempo, considereremo una caratteristica spiacevole delle radici, per cui dovevamo introdurre una definizione separata per esponenti pari e dispari.

Perché abbiamo bisogno di radici?

Dopo aver letto la definizione, molti studenti chiederanno: "Cosa fumavano i matematici quando hanno inventato questo?" E proprio: perché abbiamo bisogno di tutte queste radici?

Per rispondere a questa domanda, torniamo un attimo alle elementari. Ricorda: in quei tempi lontani, quando gli alberi erano più verdi e gli gnocchi erano più gustosi, la nostra principale preoccupazione era moltiplicare correttamente i numeri. Bene, qualcosa nello spirito del "cinque per cinque - venticinque", tutto qui. Ma dopotutto, puoi moltiplicare i numeri non in coppia, ma in terzine, quattro e generalmente interi set:

\[\begin(allinea) & 5\cpunto 5=25; \\ & 5\cpunto 5\cpunto 5=125; \\ & 5\cpunto 5\cpunto 5\cpunto 5=625; \\ & 5\cpunto 5\cpunto 5\cpunto 5\cpunto 5=3125; \\ & 5\cpunto 5\cpunto 5\cpunto 5\cpunto 5\cpunto 5=15\ 625. \end(allineamento)\]

Tuttavia, non è questo il punto. Il trucco è un altro: i matematici sono persone pigre, quindi hanno dovuto scrivere la moltiplicazione di dieci cinque in questo modo:

Quindi hanno ottenuto dei diplomi. Perché non scrivere il numero di fattori come apice invece di una lunga stringa? Come questo:

È molto conveniente! Tutti i calcoli vengono ridotti di diverse volte e non puoi spendere un mucchio di fogli di pergamena di quaderni per scriverne 5 183 . Un tale record è stato chiamato il grado di un numero, in esso sono stati trovati un sacco di proprietà, ma la felicità si è rivelata di breve durata.

Dopo una grandiosa sbronza, organizzata proprio per la "scoperta" delle lauree, un matematico particolarmente stordito ha improvvisamente chiesto: "E se conoscessimo il grado di un numero, ma non conoscessimo il numero stesso?" Infatti, se sappiamo che un certo numero $b$, per esempio, dà 243 alla quinta potenza, allora come possiamo indovinare a cosa è uguale il numero $b$ stesso?

Questo problema si è rivelato molto più globale di quanto potrebbe sembrare a prima vista. Perché si è scoperto che per la maggior parte dei diplomi "pronti" non ci sono numeri "iniziali". Giudica tu stesso:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Freccia destra b=3\cpunto 3\cpunto 3\Freccia destra b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Freccia destra b=4\cpunto 4\cpunto 4\Freccia destra b=4. \\ \fine(allineamento)\]

E se $((b)^(3))=50$? Si scopre che è necessario trovare un certo numero che, moltiplicato per tre volte per se stesso, ci darà 50. Ma qual è questo numero? È chiaramente maggiore di 3 perché 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Cioè questo numero è compreso tra tre e quattro, ma a cosa è uguale - FIG lo capirai.

Questo è esattamente il motivo per cui i matematici hanno inventato $n$-esima radice. Ecco perché è stata introdotta l'icona radicale $\sqrt(*)$. Per denotare lo stesso numero $b$, che, al grado specificato, ci darà un valore precedentemente noto

\[\sqrt[n](a)=b\Freccia destra ((b)^(n))=a\]

Non discuto: spesso queste radici sono facilmente considerate - abbiamo visto molti esempi di questo tipo sopra. Tuttavia, nella maggior parte dei casi, se pensi a un numero arbitrario e poi provi a estrarne la radice di un grado arbitrario, ti aspetta un crudele peccato.

Cosa c'è! Anche il più semplice e familiare $\sqrt(2)$ non può essere rappresentato nella nostra forma usuale, come un intero o una frazione. E se guidi questo numero in una calcolatrice, vedrai questo:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Come puoi vedere, dopo il punto decimale c'è una sequenza infinita di numeri che non obbediscono a nessuna logica. Ovviamente puoi arrotondare questo numero per confrontarlo rapidamente con altri numeri. Per esempio:

\[\sqrt(2)=1.4142...\circa 1.4 \lt 1.5\]

Oppure ecco un altro esempio:

\[\sqrt(3)=1.73205...\circa 1.7 \gt 1.5\]

Ma tutti questi arrotondamenti sono, in primo luogo, piuttosto approssimativi; e in secondo luogo, devi anche essere in grado di lavorare con valori approssimativi, altrimenti puoi cogliere un sacco di errori non evidenti (a proposito, l'abilità di confronto e arrotondamento è necessariamente verificata all'esame del profilo).

Pertanto, nella matematica seria, non si può fare a meno delle radici: sono gli stessi rappresentanti uguali dell'insieme di tutti i numeri reali $\mathbb(R)$, come le frazioni e gli interi che conosciamo da tempo.

L'impossibilità di rappresentare la radice come una frazione della forma $\frac(p)(q)$ significa che questa radice non è un numero razionale. Tali numeri sono chiamati irrazionali e non possono essere rappresentati accuratamente se non con l'aiuto di un radicale o di altre costruzioni appositamente progettate per questo (logaritmi, gradi, limiti, ecc.). Ma ne parleremo un'altra volta.

Considera alcuni esempi in cui, dopo tutti i calcoli, i numeri irrazionali rimarranno ancora nella risposta.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\circa 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\circa -1,2599... \\ \end(align)\]

Naturalmente, dall'aspetto della radice, è quasi impossibile indovinare quali numeri verranno dopo la virgola. Tuttavia, è possibile calcolare su una calcolatrice, ma anche il calcolatore di data più avanzato ci fornisce solo le prime cifre di un numero irrazionale. Pertanto, è molto più corretto scrivere le risposte come $\sqrt(5)$ e $\sqrt(-2)$.

Ecco per cosa sono stati inventati. Per semplificare la scrittura delle risposte.

Perché sono necessarie due definizioni?

Il lettore attento ha probabilmente già notato che tutte le radici quadrate riportate negli esempi sono tratte da numeri positivi. Beh, almeno da zero. Ma le radici cubiche vengono estratte con calma da qualsiasi numero, anche positivo, persino negativo.

Perché sta succedendo? Dai un'occhiata al grafico della funzione $y=((x)^(2))$:

Proviamo a calcolare $\sqrt(4)$ usando questo grafico. Per fare ciò, sul grafico viene tracciata una linea orizzontale $y=4$ (contrassegnata in rosso), che interseca la parabola in due punti: $((x)_(1))=2$ e $((x) _(2)) =-2$. Questo è abbastanza logico, dal momento che

Tutto è chiaro con il primo numero: è positivo, quindi è la radice:

Ma allora cosa fare con il secondo punto? Il 4 ha due radici contemporaneamente? Dopotutto, se rendiamo al quadrato il numero −2, otteniamo anche 4. Perché allora non scrivere $\sqrt(4)=-2$? E perché gli insegnanti guardano questi dischi come se volessero mangiarti? :)

Il problema è che se non vengono imposte ulteriori condizioni, i quattro avranno due radici quadrate: positiva e negativa. E qualsiasi numero positivo ne avrà anche due. Ma i numeri negativi non avranno affatto radici - questo può essere visto dallo stesso grafico, poiché la parabola non scende mai al di sotto dell'asse y, cioè. non assume valori negativi.

Un problema simile si verifica per tutte le radici con esponente pari:

1. A rigor di termini, ogni numero positivo avrà due radici con esponente pari $n$;
2. Da numeri negativi, la radice pari $n$ non viene estratta affatto.

Ecco perché la definizione di radice pari $n$ stabilisce specificamente che la risposta deve essere un numero non negativo. È così che ci liberiamo dell'ambiguità.

Ma per $n$ dispari non c'è questo problema. Per vederlo, diamo un'occhiata al grafico della funzione $y=((x)^(3))$:

Da questo grafico si possono trarre due conclusioni:

1. I rami di una parabola cubica, a differenza della solita, vanno all'infinito in entrambe le direzioni, sia in alto che in basso. Pertanto, a qualsiasi altezza disegniamo una linea orizzontale, questa linea si intersecherà sicuramente con il nostro grafico. Pertanto, la radice cubica può sempre essere presa, assolutamente da qualsiasi numero;
2. Inoltre, tale intersezione sarà sempre unica, quindi non è necessario pensare a quale numero considerare la radice "corretta" e quale segnare. Ecco perché la definizione delle radici per un grado dispari è più semplice che per uno pari (non esiste un requisito di non negatività).

È un peccato che queste cose semplici non siano spiegate nella maggior parte dei libri di testo. Invece, i nostri cervelli iniziano a volare con ogni sorta di radici aritmetiche e le loro proprietà.

Sì, non discuto: cos'è una radice aritmetica - devi anche sapere. E ne parlerò in dettaglio in una lezione separata. Oggi ne parleremo anche, perché senza di essa tutte le riflessioni sulle radici della $n$-esima molteplicità sarebbero incomplete.

Ma prima devi capire chiaramente la definizione che ho dato sopra. Altrimenti, a causa dell'abbondanza di termini, nella tua testa inizierà un tale pasticcio che alla fine non capirai nulla.

E tutto ciò che devi capire è la differenza tra numeri pari e dispari. Pertanto, ancora una volta raccoglieremo tutto ciò che devi davvero sapere sulle radici:

1. Una radice pari esiste solo da un numero non negativo ed è essa stessa sempre un numero non negativo. Per i numeri negativi, tale radice non è definita.
2. Ma la radice di un grado dispari esiste da qualsiasi numero e può essere essa stessa qualsiasi numero: per i numeri positivi è positivo, e per i numeri negativi, come suggerisce il cap, è negativo.

È difficile? No, non è difficile. Comprensibilmente? Sì, è ovvio! Pertanto, ora ci eserciteremo un po' con i calcoli.

Proprietà e limitazioni di base

Le radici hanno molte strane proprietà e restrizioni: questa sarà una lezione separata. Pertanto, ora considereremo solo il "chip" più importante, che si applica solo alle radici con un esponente pari. Scriviamo questa proprietà sotto forma di formula:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\sinistra| x\destra|\]

In altre parole, se eleviamo un numero a potenza pari, e poi ne estraiamo la radice dello stesso grado, otterremo non il numero originario, ma il suo modulo. Questo è un semplice teorema facile da dimostrare (basta considerare separatamente $x$ non negativi, e poi considerare separatamente quelli negativi). Gli insegnanti ne parlano costantemente, è dato in ogni libro di testo scolastico. Ma non appena si tratta di risolvere equazioni irrazionali (cioè equazioni contenenti il ​​segno del radicale), gli studenti dimenticano insieme questa formula.

Per capire nel dettaglio la questione, dimentichiamo per un minuto tutte le formule e proviamo a contare due numeri avanti:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Questi sono esempi molto semplici. Il primo esempio sarà risolto dalla maggior parte delle persone, ma nel secondo molti si fermeranno. Per risolvere qualsiasi merda senza problemi, considera sempre la procedura:

1. Innanzitutto, il numero viene elevato alla quarta potenza. Beh, è ​​abbastanza facile. Si otterrà un nuovo numero, che si trova anche nella tabellina;
2. Ed ora da questo nuovo numero bisogna estrarre la radice del quarto grado. Quelli. non c'è "riduzione" di radici e gradi - queste sono azioni sequenziali.

Trattiamo la prima espressione: $\sqrt(((3)^(4)))$. Ovviamente, devi prima calcolare l'espressione sotto la radice:

\[((3)^(4))=3\cpunto 3\cpunto 3\cpunto 3=81\]

Quindi estraiamo la quarta radice del numero 81:

Ora facciamo lo stesso con la seconda espressione. Innanzitutto, eleviamo il numero −3 alla quarta potenza, per la quale dobbiamo moltiplicarlo per se stesso 4 volte:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ sinistra(-3 \destra)=81\]

Abbiamo ottenuto un numero positivo, poiché il numero totale di meno nel prodotto è di 4 pezzi e si cancelleranno tutti a vicenda (dopotutto, un meno per un meno dà un più). Quindi, estrai nuovamente la radice:

In linea di principio, questa riga non può essere scritta, poiché è un gioco da ragazzi che la risposta sarà la stessa. Quelli. una radice pari della stessa potenza uniforme "brucia" gli svantaggi, e in questo senso il risultato è indistinguibile dal solito modulo:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\destra|=3; \\ & \sqrt(((\sinistra(-3 \destra))^(4)))=\sinistra| -3 \destra|=3. \\ \fine(allineamento)\]

Questi calcoli sono in buon accordo con la definizione della radice di un grado pari: il risultato è sempre non negativo e anche il segno radicale è sempre un numero non negativo. In caso contrario, la radice non è definita.

Nota sull'ordine delle operazioni

1. La notazione $\sqrt(((a)^(2)))$ significa che prima quadramo il numero $a$, quindi prendiamo la radice quadrata del valore risultante. Pertanto, possiamo essere sicuri che un numero non negativo si trova sempre sotto il segno della radice, poiché $((a)^(2))\ge 0$ comunque;
2. Ma la notazione $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, al contrario, significa che prima si estrae la radice da un certo numero $a$ e solo dopo si quadra il risultato. Pertanto, il numero $a$ in nessun caso può essere negativo: questo è un requisito obbligatorio incorporato nella definizione.

Pertanto, in nessun caso si dovrebbero ridurre sconsideratamente le radici e i gradi, presumibilmente "semplificando" l'espressione originale. Perché se c'è un numero negativo sotto la radice, e il suo esponente è pari, avremo molti problemi.

Tuttavia, tutti questi problemi sono rilevanti solo per gli indicatori pari.

Rimuovere un segno meno da sotto il segno della radice

Naturalmente, anche le radici con esponenti dispari hanno una loro caratteristica, che, in linea di principio, non esiste per quelle pari. Vale a dire:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

In breve, puoi togliere un meno da sotto il segno delle radici di grado dispari. Questa è una proprietà molto utile che ti consente di "buttare fuori" tutti gli svantaggi:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cpunto 2=6. \fine(allineamento)\]

Questa semplice proprietà semplifica notevolmente molti calcoli. Ora non devi preoccuparti: e se un'espressione negativa fosse arrivata sotto la radice e il grado alla radice risultasse pari? Basta “buttare via” tutti gli aspetti negativi al di fuori delle radici, dopodiché possono essere moltiplicati tra loro, divisi e in genere fare molte cose sospette, che nel caso delle radici “classiche” sono garantite per portarci ad un errore.

E qui entra in scena un'altra definizione, quella stessa con cui la maggior parte delle scuole inizia lo studio delle espressioni irrazionali. E senza il quale il nostro ragionamento sarebbe incompleto. Incontrare!

radice aritmetica

Assumiamo per un momento che solo numeri positivi o, in casi estremi, zero possano essere sotto il segno della radice. Diamo un punteggio su indicatori pari/dispari, puntiamo su tutte le definizioni fornite sopra - lavoreremo solo con numeri non negativi. Cosa poi?

E poi otteniamo la radice aritmetica: si interseca parzialmente con le nostre definizioni "standard", ma differisce comunque da esse.

Definizione. Una radice aritmetica del $n$esimo grado di un numero non negativo $a$ è un numero non negativo $b$ tale che $((b)^(n))=a$.

Come puoi vedere, la parità non ci interessa più. Apparve invece una nuova restrizione: l'espressione radicale ora è sempre non negativa, e anche la radice stessa non è negativa.

Per capire meglio come la radice aritmetica differisca da quella usuale, diamo un'occhiata ai grafici della parabola quadrata e cubica a noi già familiari:

Come puoi vedere, d'ora in poi, siamo interessati solo a quei pezzi di grafici che si trovano nel primo quarto di coordinate - dove le coordinate $x$ e $y$ sono positive (o almeno zero). Non è più necessario guardare l'indicatore per capire se abbiamo il diritto di rootare un numero negativo o meno. Perché i numeri negativi non sono più considerati in linea di principio.

Potresti chiedere: "Beh, perché abbiamo bisogno di una definizione così castrata?" Oppure: "Perché non possiamo cavarcela con la definizione standard data sopra?"

Bene, darò solo una proprietà, per cui la nuova definizione diventa appropriata. Ad esempio, la regola dell'esponenziazione:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Nota: possiamo elevare l'espressione radice a qualsiasi potenza e allo stesso tempo moltiplicare l'esponente radice per la stessa potenza - e il risultato sarà lo stesso numero! Ecco alcuni esempi:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Bene, cosa c'è di sbagliato in questo? Perché non potevamo farlo prima? Ecco perché. Consideriamo una semplice espressione: $\sqrt(-2)$ è un numero abbastanza normale nel nostro senso classico, ma assolutamente inaccettabile dal punto di vista della radice aritmetica. Proviamo a convertirlo:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=--\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Come puoi vedere, nel primo caso, abbiamo tolto il meno da sotto il radicale (abbiamo tutti i diritti, perché l'indicatore è dispari), e nel secondo abbiamo usato la formula sopra. Quelli. dal punto di vista della matematica, tutto si fa secondo le regole.

WTF?! Come può lo stesso numero essere sia positivo che negativo? Non c'è modo. È solo che la formula dell'esponenziazione, che funziona benissimo per numeri positivi e zero, inizia a dare completa eresia nel caso di numeri negativi.

Qui, per sbarazzarsi di tale ambiguità, hanno escogitato radici aritmetiche. A loro è dedicata una grande lezione separata, in cui consideriamo in dettaglio tutte le loro proprietà. Quindi ora non ci soffermeremo su di loro: la lezione si è comunque rivelata troppo lunga.

Radice algebrica: per chi vuole saperne di più

Ho pensato a lungo: rendere questo argomento in un paragrafo separato o meno. Alla fine ho deciso di andarmene da qui. Questo materiale è destinato a coloro che vogliono comprendere ancora meglio le radici, non più a livello medio di "scuola", ma a livello vicino alle Olimpiadi.

Quindi: oltre alla definizione "classica" della radice del $n$-esimo grado da un numero e alla relativa divisione in indicatori pari e dispari, esiste una definizione più "adulta", che non dipende dalla parità e altre sottigliezze a tutti. Questa è chiamata radice algebrica.

Definizione. Una radice algebrica $n$-esima di qualsiasi $a$ è l'insieme di tutti i numeri $b$ tali che $((b)^(n))=a$. Non esiste una designazione consolidata per tali radici, quindi metti un trattino sopra:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

La differenza fondamentale rispetto alla definizione standard data all'inizio della lezione è che la radice algebrica non è un numero specifico, ma un insieme. E poiché stiamo lavorando con numeri reali, questo set è di soli tre tipi:

1. Set vuoto. Si verifica quando è necessario trovare una radice algebrica di grado pari da un numero negativo;
2. Un set composto da un unico elemento. Tutte le radici delle potenze dispari, così come le radici delle potenze pari da zero, rientrano in questa categoria;
3. Infine, l'insieme può includere due numeri: gli stessi $((x)_(1))$ e $((x)_(2))=-((x)_(1))$ che abbiamo visto sul funzione quadratica del grafico. Di conseguenza, un tale allineamento è possibile solo quando si estrae la radice di un grado pari da un numero positivo.

L'ultimo caso merita una considerazione più approfondita. Contiamo un paio di esempi per capire la differenza.

Esempio. Espressioni di calcolo:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Decisione. La prima espressione è semplice:

\[\overline(\sqrt(4))=\sinistra\( 2;-2 \destra\)\]

Sono due numeri che fanno parte del set. Perché ognuno di loro al quadrato dà un quattro.

\[\overline(\sqrt(-27))=\sinistra\( -3 \destra\)\]

Qui vediamo un insieme composto da un solo numero. Questo è abbastanza logico, poiché l'esponente della radice è dispari.

Infine, l'ultima espressione:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varniente \]

Abbiamo un set vuoto. Perché non esiste un solo numero reale che, elevato alla quarta (cioè pari!) Potenza, ci dia un numero negativo −16.

Nota finale. Nota: non a caso ho notato ovunque che stiamo lavorando con i numeri reali. Poiché ci sono anche numeri complessi, è del tutto possibile calcolare $\sqrt(-16)$ e molte altre cose strane lì.

Tuttavia, nel moderno curriculum scolastico di matematica, i numeri complessi non si trovano quasi mai. Sono stati omessi dalla maggior parte dei libri di testo perché i nostri funzionari considerano l'argomento "troppo difficile da capire".

È tutto. Nella prossima lezione, esamineremo tutte le proprietà chiave delle radici e infine impareremo come semplificare le espressioni irrazionali. :)

Formule di radice. proprietà delle radici quadrate.

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale nella Parte Speciale 555.
Per chi fortemente "non molto..."
E per chi "molto...")

Nella lezione precedente, abbiamo capito cos'è una radice quadrata. È tempo di capire cosa sono formule per le radici, cosa sono proprietà della radice e cosa si può fare al riguardo.

Formule radice, proprietà radice e regole per azioni con radici- è essenzialmente la stessa cosa. Ci sono sorprendentemente poche formule per le radici quadrate. Il che, ovviamente, piace! Piuttosto, puoi scrivere un sacco di tutti i tipi di formule, ma solo tre sono sufficienti per un lavoro pratico e sicuro con le radici. Tutto il resto fluisce da questi tre. Sebbene molti si allontanino nelle tre formule delle radici, sì...

Cominciamo con il più semplice. Eccola qui:

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Marito. radice, colli, radice · detrarre. rizoma sprezzante, rizoma d'ingrandimento, parte sotterranea di ogni pianta. Negli alberi si distinguono la spina dorsale e le radici laterali e con esse ci sono radici e piccoli lobi. assorbendo l'umidità. La radice accade: bulbosa, ... ... Dizionario esplicativo di Dahl

RADICE, pH, pl. rni, rni, marito. 1. La parte sotterranea della pianta, che serve a rafforzarla nel terreno e ad assorbire acqua e sostanze nutritive da essa. Principale, laterale, annesso a Radici aeree (nelle liane e in alcune altre piante alte dal suolo... Dizionario esplicativo di Ozhegov

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Vedere inizio, ragione, origine sradicare, mettere radici... Dizionario di sinonimi ed espressioni russe simili nel significato. sotto. ed. N. Abramova, M.: Dizionari russi, 1999. radice, inizio, ragione, origine; radicale; dorso, gambo, ... ... Dizionario dei sinonimi

radice- ROOT, rnya, m. 1. Amico, amico. 2. Organo sessuale maschile Un piccolo uomo diventa una radice Una radice forte è un vecchio amico fedele. 1. possibile contaminazione con il compagno... Dizionario di russo Argo

In matematica ..1) la radice del grado n dal numero a è qualsiasi numero x (indicato, a è chiamato espressione radicale), il cui n-esimo grado è uguale a (). L'azione di trovare la radice si chiama estrazione della radice2)] La radice dell'equazione è il numero che dopo ... ...

La radice primaria è conservata in molte conifere per tutta la vita e si sviluppa sotto forma di un potente fittone, da cui si estendono quelle laterali. Meno comunemente, come in alcuni pini, la radice primaria è sottosviluppata e sostituita da quella laterale. A parte il lungo... Enciclopedia biologica

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In biologia, uno degli organi principali delle piante, che serve a rafforzare nel terreno, assorbire acqua, minerali, sintetizzare composti organici e anche isolare alcuni prodotti metabolici. La radice può essere un luogo di archiviazione per la riserva ... ... Grande dizionario enciclopedico

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