Una persona distingue los objetos a su alrededor por su forma. El interés en la forma de un objeto puede estar dictado por una necesidad vital, o puede ser causado por la belleza de la forma. La forma, que se basa en una combinación de simetría y sección áurea, contribuye a la mejor percepción visual y la aparición de un sentido de belleza y armonía. El todo siempre consta de partes, las partes de diferentes tamaños están en cierta relación entre sí y con el todo. El principio de la sección áurea es la máxima manifestación de la perfección estructural y funcional del todo y sus partes en el arte, la ciencia, la tecnología y la naturaleza.
Proporción Dorada - Proporción Armónica
En matemáticas proporción(lat. proportio) llaman a la igualdad de dos relaciones:
un : b = C : d.
Segmento de línea AB se puede dividir en dos partes de la siguiente manera:
- en dos partes iguales AB : C.A. = AB : antes de Cristo;
- en dos partes desiguales en cualquier proporción (tales partes no forman proporciones);
- así que cuando AB : C.A. = C.A. : antes de Cristo.
Esta última es la división áurea o división del segmento en la proporción extrema y media.
La sección áurea es una división proporcional de un segmento en partes desiguales, en la que el segmento completo se relaciona con la parte mayor de la misma manera que la parte mayor misma se relaciona con la menor; o en otras palabras, el segmento más pequeño está relacionado con el más grande como el más grande lo está con todo:
un : b = b : C
o
C : b = b : un.
Arroz. uno. Representación geométrica de la proporción áurea
El conocimiento práctico de la proporción áurea comienza dividiendo un segmento de línea recta en la proporción áurea usando un compás y una regla.
Arroz. 2.antes de Cristo = 1/2 AB; CD = antes de Cristo
desde un punto B se restablece una perpendicular igual a la mitad AB. Punto recibido C conectado por una línea a un punto UN. Se dibuja un segmento en la línea resultante. antes de Cristo, terminando con un punto D. Segmento de línea ANUNCIO transferido a una línea recta AB. El punto resultante mi divide el segmento AB en la proporción áurea.
Los segmentos de la proporción áurea se expresan mediante una fracción irracional infinita AE= 0.618... si AB tomar como una unidad SER\u003d 0.382 ... Para fines prácticos, a menudo se usan valores aproximados de 0.62 y 0.38. Si el segmento AB tomado como 100 partes, entonces la parte más grande del segmento es 62 y la más pequeña es 38 partes.
Las propiedades de la sección áurea se describen mediante la ecuación:
X 2 – X – 1 = 0.
Solución a esta ecuación:
Las propiedades de la sección áurea crearon un aura romántica de misterio y adoración casi mística en torno a este número.
La segunda proporción áurea
La revista búlgara "Patria" (No. 10, 1983) publicó un artículo de Tsvetan Tsekov-Karandash "Sobre la segunda sección dorada", que se deriva de la sección principal y da otra proporción de 44: 56.
Tal proporción se encuentra en la arquitectura, y también tiene lugar en la construcción de composiciones de imágenes de formato horizontal alargado.
Arroz. 3.
La división se lleva a cabo de la siguiente manera. Segmento de línea AB se divide según la proporción áurea. desde un punto C se restablece la perpendicular CD. Radio AB hay un punto D, que está conectado por una línea a un punto UN. Ángulo recto DCA se divide por la mitad. desde un punto C se dibuja una línea hasta que se cruza con una línea ANUNCIO. Punto mi divide el segmento ANUNCIO en relación con 56:44.
Arroz. 4.
La figura muestra la posición de la línea de la segunda sección áurea. Se encuentra en el medio entre la línea de la sección dorada y línea media rectángulo.
triangulo Dorado
Para encontrar segmentos de la proporción áurea de la serie ascendente y descendente, puedes usar pentagrama.
Arroz. 5. Construcción de un pentágono regular y un pentagrama
Para construir un pentagrama, necesitas construir un pentágono regular. El método de su construcción fue desarrollado por el pintor y artista gráfico alemán Albrecht Dürer (1471...1528). Permitir O- el centro del circulo UN es un punto en el círculo y mi- la mitad del segmento OA. Perpendicular al radio OA, restaurado en el punto O, corta a la circunferencia en un punto D. Usando un compás, separa un segmento en el diámetro CE = disfunción eréctil. La longitud de un lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia es corriente continua. Poner segmentos en el círculo. corriente continua y obtén cinco puntos para dibujar un pentágono regular. Conectamos las esquinas del pentágono a través de una diagonal y obtenemos un pentagrama. Todas las diagonales del pentágono se dividen entre sí en segmentos conectados por la proporción áurea.
Cada extremo de la estrella pentagonal es un triángulo dorado. Sus lados forman un ángulo de 36° en el vértice, y la base puesta en el lado lo divide en proporción a la proporción áurea.
Arroz. 6. Construcción del triángulo dorado
Dibujamos una línea recta AB. desde el punto UN coloque un segmento sobre él tres veces O valor arbitrario, a través del punto resultante PAG dibujar una perpendicular a la recta AB, en la perpendicular a la derecha y a la izquierda del punto PAG reservar segmentos O. puntos recibidos d y d 1 conectar con líneas rectas a un punto UN. Segmento de línea dd 1 reservado en la línea Anuncio 1 , obteniendo un punto C. ella dividió la línea Anuncio 1 en proporción a la proporción áurea. líneas Anuncio 1 y dd 1 se utiliza para construir un rectángulo "dorado".
Historia de la proporción áurea
En general, se acepta que el concepto de la división áurea fue introducido en el uso científico por Pitágoras, un filósofo y matemático de la Grecia antigua (siglo VI a. C.). Existe la suposición de que Pitágoras tomó prestado su conocimiento de la división áurea de los egipcios y babilonios. De hecho, las proporciones de la pirámide de Keops, los templos, los bajorrelieves, los artículos para el hogar y las decoraciones de la tumba indican que los maestros egipcios utilizaron las proporciones de la división áurea al crearlos. El arquitecto francés Le Corbusier descubrió que en el relieve del templo del faraón Seti I en Abydos y en el relieve que representa al faraón Ramsés, las proporciones de las figuras corresponden a los valores de la división áurea. El arquitecto Hesira, representado en un relieve de una tabla de madera de la tumba de su nombre, sostiene herramientas de medición, en el que se fijan las proporciones de la división áurea.
Los griegos eran hábiles geómetras. Incluso la aritmética se enseñaba a sus hijos con la ayuda de figuras geométricas. El cuadrado de Pitágoras y la diagonal de este cuadrado fueron la base para construir rectángulos dinámicos.
Arroz. 7. Rectángulos dinámicos
Platón (427...347 aC) también conocía la división áurea. Su diálogo "Timeo" está dedicado a los puntos de vista matemáticos y estéticos de la escuela de Pitágoras y, en particular, a los problemas de la división áurea.
En la fachada del antiguo templo griego del Partenón hay proporciones doradas. Durante sus excavaciones se encontraron brújulas, que fueron utilizadas por arquitectos y escultores del mundo antiguo. La brújula pompeyana (Museo de Nápoles) también contiene las proporciones de la división áurea.
Arroz. ocho.
En la literatura antigua que nos ha llegado, la división áurea se menciona por primera vez en los Elementos de Euclides. En el segundo libro de los "Comienzos" se da construcción geométrica división dorada. Después de Euclides, Hypsicles (siglo II a. C.), Pappus (siglo III d. C.) y otros estudiaron la división áurea. Europa medieval se familiarizaron con la división áurea de las traducciones árabes de los "Principios" de Euclides. El traductor J. Campano de Navarra (siglo III) comenta la traducción. Los secretos de la división dorada fueron celosamente guardados, mantenidos en estricto secreto. Eran conocidos sólo por los iniciados.
En el Renacimiento, el interés por la división áurea entre científicos y artistas aumentó en relación con su uso tanto en la geometría como en el arte, especialmente en la arquitectura. Leonardo da Vinci, artista y científico, vio que los artistas italianos tenían una gran experiencia empírica, pero poco conocimiento. . Concibió y comenzó a escribir un libro sobre geometría, pero en ese momento apareció un libro del monje Luca Pacioli, y Leonardo abandonó su idea. Según los contemporáneos e historiadores de la ciencia, Luca Pacioli fue una verdadera lumbrera, el matemático más grande de Italia entre Fibonacci y Galileo. Luca Pacioli fue alumno del pintor Piero della Francesca, quien escribió dos libros, uno de los cuales se tituló Sobre la perspectiva en la pintura. Se le considera el creador de la geometría descriptiva.
Luca Pacioli era muy consciente de la importancia de la ciencia para el arte. En 1496, por invitación del duque Moreau, llegó a Milán, donde dio clases de matemáticas. Leonardo da Vinci también trabajó en la corte de Moro en Milán en ese momento. En 1509 se publicó en Venecia La Divina Proporción de Luca Pacioli, con ilustraciones de brillante ejecución, por lo que se cree que fueron realizadas por Leonardo da Vinci. El libro era un himno entusiasta a la proporción áurea. Entre las muchas ventajas de la proporción áurea, el monje Luca Pacioli no dejó de nombrar su “esencia divina” como expresión de la Trinidad Divina - Dios Padre, Dios Hijo y Dios Espíritu Santo (se entendía que la pequeña segmento es la personificación de Dios el Hijo, el segmento más grande es Dios el Padre, y el segmento completo - Dios el Espíritu Santo).
Libros electronicos:
- Mario Livio.
Datos interesantes sobre la "proporción áurea"
La proporción áurea es una manifestación universal de armonía estructural. Se encuentra en la naturaleza, la ciencia, el arte, en todo aquello con lo que una persona puede entrar en contacto. Una vez familiarizada con la regla de oro, la humanidad ya no la engañó.
Definición
La definición más amplia de la proporción áurea dice que la parte más pequeña está relacionada con la más grande, como la más grande lo está con el todo. Su valor aproximado es 1,6180339887. En un porcentaje redondeado, las proporciones de las partes del todo se correlacionarán como 62% por 38%. Esta relación opera en las formas de espacio y tiempo.
Los antiguos vieron la sección áurea como un reflejo del orden cósmico, y Johannes Kepler la llamó uno de los tesoros de la geometría. La ciencia moderna considera la proporción áurea como "simetría asimétrica", llamándola en un sentido amplio regla universal reflejando la estructura y el orden de nuestro orden mundial.
Historia
Los antiguos egipcios tenían la idea de las proporciones áureas, también las conocían en Rusia, pero por primera vez el monje Luca Pacioli explicó científicamente la proporción áurea en el libro La Divina Proporción (1509), supuestamente ilustrado por Leonardo da vinci Pacioli vio la trinidad divina en la sección dorada: el segmento pequeño personificaba al Hijo, el grande, al Padre, y el total, al Espíritu Santo.
El nombre del matemático italiano Leonardo Fibonacci está directamente relacionado con la regla de la sección áurea. Como resultado de resolver uno de los problemas, el científico ideó una secuencia de números, ahora conocida como la serie de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. Kepler llamó la atención sobre la relación de esta sucesión con la proporción áurea: “Está dispuesta de tal manera que los dos términos inferiores de esta proporción infinita suman el tercer término, y dos últimos términos cualesquiera, si se suman, dan el término siguiente, y la misma proporción se mantiene indefinidamente". Ahora bien, la serie de Fibonacci es la base aritmética para calcular las proporciones de la sección áurea en todas sus manifestaciones.
Leonardo da Vinci también dedicó mucho tiempo a estudiar las características de la proporción áurea, lo más probable es que el término en sí le pertenezca. Sus dibujos de un cuerpo estereométrico formado por pentágonos regulares prueban que cada uno de los rectángulos obtenidos por sección da la relación de aspecto en división áurea.
Con el tiempo, la regla de la proporción áurea se convirtió en una rutina académica, y solo el filósofo Adolf Zeising en 1855 la devolvió a una segunda vida. Llevó las proporciones de la sección áurea al absoluto, haciéndolas universales para todos los fenómenos del mundo circundante. Sin embargo, su "esteticismo matemático" provocó muchas críticas.
Naturaleza
Incluso sin entrar en cálculos, la proporción áurea se puede encontrar fácilmente en la naturaleza. Entonces, la proporción de la cola y el cuerpo del lagarto, la distancia entre las hojas de la rama caen debajo de él, hay una sección dorada y en forma de huevo, si se dibuja una línea condicional a través de su parte más ancha.
El científico bielorruso Eduard Soroko, que estudió las formas de las divisiones áureas en la naturaleza, señaló que todo lo que crece y se esfuerza por ocupar su lugar en el espacio está dotado de proporciones de la sección áurea. Según él, uno de los más formas interesantes es una espiral.
Incluso Arquímedes, prestando atención a la espiral, derivó una ecuación basada en su forma, que todavía se usa en tecnología. Más tarde, Goethe notó la atracción de la naturaleza por las formas espirales, llamando a la espiral "la curva de la vida". Los científicos modernos han descubierto que manifestaciones de formas espirales en la naturaleza como la concha de caracol, la disposición de las semillas de girasol, los patrones de telaraña, el movimiento de un huracán, la estructura del ADN e incluso la estructura de las galaxias, contienen la serie de Fibonacci.
Hombre
Los diseñadores de moda y los diseñadores de ropa hacen todos los cálculos en función de las proporciones de la sección dorada. El hombre es una forma universal para probar las leyes de la sección áurea. Por supuesto, por naturaleza, no todas las personas tienen proporciones ideales, lo que crea ciertas dificultades con la selección de ropa.
En el diario de Leonardo da Vinci hay un dibujo de un hombre desnudo inscrito en un círculo, en dos posiciones superpuestas. Basándose en los estudios del arquitecto romano Vitruvio, Leonardo también trató de establecer las proporciones del cuerpo humano. Posteriormente, el arquitecto francés Le Corbusier, utilizando el Hombre de Vitruvio de Leonardo, creó su propia escala de "proporciones armónicas", que influyó en la estética de la arquitectura del siglo XX.
Adolf Zeising, explorando la proporcionalidad del hombre, hizo un trabajo tremendo. Midió unos dos mil cuerpos humanos, así como muchas estatuas antiguas, y dedujo que la proporción áurea expresa la ley media. En una persona, casi todas las partes del cuerpo están subordinadas a él, pero el indicador principal de la sección dorada es la división del cuerpo por el punto del ombligo.
Como resultado de las mediciones, el investigador descubrió que las proporciones del cuerpo masculino 13:8 están más cerca de la proporción áurea que las proporciones del cuerpo femenino: 8:5.
El arte de las formas espaciales
El artista Vasily Surikov dijo que "hay una ley inmutable en la composición, cuando no se puede quitar o agregar nada a la imagen, ni siquiera se puede poner un punto extra, esto es matemática real". Durante mucho tiempo, los artistas siguieron esta ley de manera intuitiva, pero después de Leonardo da Vinci, el proceso de creación de una pintura ya no está completo sin resolver problemas geométricos. Por ejemplo, Albrecht Dürer utilizó la brújula proporcional inventada por él para determinar los puntos de la sección áurea.
El crítico de arte F. V. Kovalev, después de haber estudiado en detalle la pintura de Nikolai Ge "Alexander Sergeevich Pushkin en el pueblo de Mikhailovsky", señala que cada detalle del lienzo, ya sea una chimenea, una estantería, un sillón o el propio poeta, es estrictamente inscrito en proporciones áureas.
Los investigadores de la sección áurea estudian y miden incansablemente las obras maestras de la arquitectura, afirmando que se han convertido en tales porque fueron creadas de acuerdo con los cánones áureos: su lista incluye las Grandes Pirámides de Giza, la Catedral de Notre Dame, la Catedral de San Basilio, el Partenón .
Y hoy, en cualquier arte de formas espaciales, intentan seguir las proporciones de la sección áurea, ya que, según los historiadores del arte, facilitan la percepción de la obra y forman una sensación estética en el espectador.
Palabra, sonido y cine
Las formas del arte temporal nos demuestran a su manera el principio de la división áurea. Los críticos literarios, por ejemplo, notaron que el número de versos más popular en los poemas período tardío La creatividad de Pushkin corresponde a la serie de Fibonacci: 5, 8, 13, 21, 34.
La regla de la sección áurea también se aplica en obras individuales del clásico ruso. Entonces, el clímax de La dama de picas es la escena dramática de Herman y la condesa, que termina con la muerte de esta última. Hay 853 líneas en la historia, y la culminación cae en la línea 535 (853:535=1.6) - este es el punto de la sección áurea.
El musicólogo soviético E. K. Rozenov destaca la asombrosa precisión de las proporciones de la sección áurea en las formas estrictas y libres de las obras de Johann Sebastian Bach, lo que corresponde al estilo reflexivo, concentrado y técnicamente verificado del maestro. Esto también es cierto para las obras destacadas de otros compositores, donde el punto de la proporción áurea suele dar cuenta de la solución musical más llamativa o inesperada.
El director de cine Sergei Eisenstein coordinó deliberadamente el guión de su película "El acorazado Potemkin" con la regla de la sección áurea, dividiendo la cinta en cinco partes. En las tres primeras secciones, la acción tiene lugar en un barco, y en las dos últimas, en Odessa. Ir a escenas en la ciudad y allí medio dorado película.
Taras Repin
Descripción bibliográfica: Maksimenko O. V., Pastor V. S., Vorfolomeeva P. V., Mozikova K. A., Nikolaeva M. E., Shmeleva O. V. Sobre el concepto de la Sección Dorada // Joven científico. - 2016. - Nº 6.1. - S. 35-39..02.2019).
“La geometría tiene dos tesoros:
uno de ellos es el teorema de Pitágoras,
la otra es la división del segmento en la razón media y extrema”
johannes kepler
Palabras clave: proporción áurea, proporciones áureas, fenómeno científico.
El propósito de nuestro trabajo es estudiar fuentes de información relacionadas con la "Sección Dorada" en varios campos del conocimiento, para identificar patrones y encontrar vínculos entre ciencias, para identificar el significado práctico de la Sección Dorada.
La relevancia de este estudio está determinada por la historia centenaria del uso de la sección áurea en matemáticas y arte. Lo que desconcertaba a los antiguos sigue siendo relevante y despierta el interés de los contemporáneos.
En todo momento, las personas han tratado de encontrar patrones en el mundo que les rodea. Se rodearon de objetos de la forma “correcta” desde su punto de vista. Solo con el desarrollo de las matemáticas, las personas lograron medir la "proporción áurea", que más tarde se conoció como la "proporción áurea".
proporción áurea- proporción armónica
La sección áurea es una división proporcional de un segmento en partes desiguales, en la que el segmento completo se relaciona con la parte mayor de la misma manera que la parte mayor misma se relaciona con la menor; o, dicho de otro modo, el segmento más pequeño se relaciona con el más grande como el más grande con todo (Fig. 1).
un: b = b: C
Arroz. 1. División del segmento según proporciones áureas
Te recordamos qué es la proporción áurea. La definición más amplia de la proporción áurea dice que la parte más pequeña está relacionada con la más grande, como la más grande lo está con el todo. Su valor aproximado es 1.6180339887. En un porcentaje redondeado, las proporciones de las partes del todo se correlacionarán de 62% a 38%. Esta relación opera en las formas de espacio y tiempo.
triangulo dorado yrectángulo
Además de dividir el segmento en partes desiguales (sección áurea), considere el triángulo áureo y el rectángulo áureo.
Un rectángulo áureo es un rectángulo cuyos lados están en la proporción áurea (Fig. 2).
Cada extremo de la estrella pentagonal es un triángulo dorado. Sus lados forman un ángulo de 36° en la parte superior, y la base colocada en el costado lo divide en proporción a la sección áurea (Fig. 3).
Figura 2. rectángulo dorado
Fig.3 Triángulo dorado
Pentáculo
En una estrella regular de cinco puntas, cada segmento está dividido por un segmento que lo intersecta en la sección dorada, es decir, la proporción del segmento azul con el verde, el rojo con el azul, el verde con el violeta es 1,618 (Fig. 4).
Figura 4. pentagrama-higieia
Pitágoras afirmó que el pentagrama, o, como él lo llamó, hygieia, es una perfección matemática, ya que oculta la proporción áurea. La proporción del segmento azul al verde, rojo al azul, verde al púrpura es la proporción áurea.
serie de Fibonacci
La serie de números 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. se conoce como serie de Fibonacci. La peculiaridad de la secuencia de números es que cada uno de sus miembros, a partir del tercero, es igual a la suma de los dos anteriores, y la razón de los números adyacentes de la serie se aproxima a la razón de la división áurea.
Entonces, 21:34 = 0.617
34: 55 = 0,618.
Historia de la proporción áurea
En general, se acepta que el concepto de la división áurea fue introducido en el uso científico por Pitágoras, el filósofo y matemático de la Grecia antigua (siglo VI a. C.). Existe la suposición de que Pitágoras tomó prestado su conocimiento de la división áurea de los egipcios y babilonios. De hecho, las proporciones de la pirámide de Keops, los templos, los bajorrelieves, los artículos para el hogar y las decoraciones de la tumba de Tutankamón indican que los artesanos egipcios utilizaron las proporciones de la división áurea al crearlos.
proporciones áureas enpartes del cuerpo humano
En 1855, el investigador alemán de la sección áurea, el profesor Zeising, publicó su obra Aesthetic Research.
Zeising midió alrededor de dos mil cuerpos humanos y llegó a la conclusión de que la proporción áurea expresa la ley estadística promedio (Fig. 5).
Fig. 5 Proporciones áureas en partes del cuerpo humano.
proporción áurea enfauna silvestre
Es sorprendente cómo un solo concepto matemático se encuentra en muchas secciones del conocimiento humano. Parece impregnar todo en el mundo, conectando la armonía y el caos, las matemáticas y el arte.
Los estudios biológicos han demostrado que, comenzando con los virus y las plantas y terminando con el cuerpo humano, en todas partes se revela la proporción áurea, que caracteriza la proporcionalidad y la armonía de su estructura. La proporción áurea es reconocida como una ley universal de los sistemas vivos.
En un lagarto, a primera vista, se capturan proporciones que son agradables para nuestros ojos: la longitud de su cola se relaciona con la longitud del resto del cuerpo como 62 a 38 (Fig. 6).
Fig.6 Proporciones áureas en partes del cuerpo de un lagarto
proporción áurea enarquitectura
En los libros sobre la "sección dorada" se puede encontrar un comentario de que en la arquitectura, como en la pintura, todo depende de la posición del observador, y si algunas proporciones en un edificio, por un lado, parecen formar la "sección dorada", entonces desde otros puntos de vista se verán diferentes. La "sección dorada" da la proporción más relajada de los tamaños de ciertas longitudes.
Una de las obras más bellas de la arquitectura griega antigua es el Partenón (Fig. 7). La razón de la altura del edificio a su longitud es 0.618. Si dividimos el Partenón según la “sección dorada”, obtendremos ciertas protuberancias de la fachada.
Otro ejemplo de la arquitectura antigua es la pirámide de Keops (Fig. 8).
Las proporciones de la Gran Pirámide se mantienen en la "Proporción Áurea"
Los antiguos constructores lograron construir este majestuoso monumento con una precisión y simetría de ingeniería casi perfectas.
Figura 7. Partenón
Figura 8. La Pirámide de Keops
proporción áurea enescultura
Las proporciones de la "sección dorada" crean la impresión de armonía de belleza, por lo que los escultores las utilizaron en sus obras. Así, por ejemplo, la famosa estatua de Apolo Belvedere consta de partes que se dividen según proporciones áureas (Fig. 9).
Fig.9 Estatua de Apolo Belvedere
proporción áurea enpintura
Volviendo a los ejemplos de la "sección dorada" en la pintura, uno no puede sino detener la atención en el trabajo de Leonardo da Vinci. Echemos un vistazo más de cerca a la pintura "La Gioconda". La composición del retrato está construida sobre triángulos dorados (Fig. 10).
Fig. 10 Leonardo da Vinci "Gioconda"
Otro ejemplo de la sección áurea en la pintura es el cuadro de Rafael La masacre de los inocentes (Fig. 11). En el boceto preparatorio de Rafael, se dibujan líneas rojas desde el centro semántico de la composición. Si conecta naturalmente estas piezas de la curva con una línea punteada, obtendrá con una precisión muy alta... ¡una espiral dorada!
Figura 11. Rafael "Masacre de los inocentes"
proporción áurea enobras literarias
Las formas del arte temporal nos demuestran a su manera el principio de la división áurea. La regla de la sección áurea también se aplica en obras individuales del clásico ruso. Entonces, en la historia "La reina de picas" hay 853 líneas, y el clímax cae en la línea 535 (853: 535 = 1.6): este es el punto de la sección dorada.
proporción áurea enpelículas
El director de cine Sergei Eisenstein coordinó deliberadamente el guión de su película "El acorazado Potemkin" con la regla de la sección áurea, dividiendo la cinta en cinco partes.
Conclusión
La proporción áurea se conocía en el antiguo Egipto y Babilonia, en India y China. El gran Pitágoras creó una escuela secreta donde se estudiaba la esencia mística de la "sección áurea". Euclides lo aplicó, creando su geometría, y Fidias, sus esculturas inmortales. Platón dijo que el universo está ordenado según la "sección áurea". Y Aristóteles encontró la correspondencia de la "sección áurea" con la ley ética. La más alta armonía de la "sección dorada" será predicada por Leonardo da Vinci y Miguel Ángel, porque la belleza y la "sección dorada" son lo mismo. Y los místicos cristianos dibujarán pentagramas de la "sección dorada" en las paredes de sus monasterios, escapando del Diablo. Al mismo tiempo, los científicos, desde Pacioli hasta Einstein, buscarán, pero nunca encontrarán su significado exacto. Una serie interminable después del punto decimal - 1.6180339887... Una cosa extraña, misteriosa, inexplicable: esta proporción divina acompaña místicamente a todos los seres vivos. La naturaleza inanimada no sabe qué es la "sección dorada". Pero ciertamente verás esta proporción en las curvas de las conchas marinas, y en la forma de las flores, y en la forma de los escarabajos, y en un hermoso cuerpo humano. Todo lo vivo y todo lo hermoso, todo obedece a la ley divina, cuyo nombre es la "sección dorada". Entonces, ¿qué es la "proporción áurea"? ¿Qué es esta combinación perfecta y divina? ¿Quizás es la ley de la belleza? ¿O todavía está secreto místico? ¿Fenómeno científico o principio ético? La respuesta aún se desconoce. Más precisamente, no, se sabe. La "sección áurea" es a la vez eso, y otra, y la tercera. Solo que no por separado, sino al mismo tiempo... Y este es su verdadero misterio, su gran secreto.
Literatura:
- Vilenkin N. Ya., Zhokhov V. I. y otros Matemáticas - 6. - M .: Mnemosyne, 2015
- Korbalan F. Sección dorada. El lenguaje matemático de la belleza. (El Mundo de las Matemáticas T.1). - M.: DeAgostini, 2014
- Timerding G. E. La Sección Dorada. - M.: Librokom, 2009
Palabras clave: proporción áurea, proporciones áureas, fenómeno científico.
Anotación: La proporción áurea es una manifestación universal de armonía estructural. Se encuentra en la naturaleza, la ciencia, el arte, en todo aquello con lo que una persona puede entrar en contacto. Los autores del artículo exploran la literatura, encuentran vínculos entre las ciencias relacionadas con la Sección Áurea, revelan el significado práctico de las proporciones áureas.
PROPORCIÓN DE ORO
1. Introducción 2 . Proporción Dorada - Proporción Armónica
3
. La segunda proporción áurea
4 . zo triángulo de loto (pentagrama)
5
.
Historia de la proporción áurea
6
. Proporción áurea y simetría 7. Serie de Fibonacci 8 . Proporción áurea generalizada
9
. Principios de formación en la naturaleza.
1
0
. El cuerpo humano y la proporción áurea
1
1
. La proporción áurea en la escultura
1
2
. La proporción áurea en arquitectura
1
3
. La proporción áurea en la música
1
4
. La proporción áurea en la poesía
1
5
. La proporción áurea en fuentes y artículos para el hogar
1
6
. Parámetros físicos óptimos del entorno
1
7
. La proporción áurea en la pintura.
1
8
.
La proporción áurea y la percepción de la imagen
19.
La proporción áurea en fotos
2
0
. Proporción áurea y espacio 2 1 . Conclusión 2 2 . Bibliografía
INTRODUCCIÓN
Desde la antigüedad, la gente ha estado preocupada por la cuestión de si cosas tan esquivas como la belleza y la armonía están sujetas a cálculos matemáticos..
Por supuesto, todas las leyes de la belleza no pueden estar contenidas en unas pocas fórmulas, pero al estudiar matemáticas podemos descubrir algunos términos de la belleza.- proporción áurea.
Nuestra tarea es averiguar cuál es la proporción áurea y establecer dónde la humanidad ha encontrado el uso del oro.ª sección. Probablemente hayas prestado atención al hecho de que tratamos los objetos y fenómenos de la realidad circundante de manera diferente. El desorden, la falta de forma, la desproporción son percibidos por nosotros como feos y producen una impresión repulsiva. Y los objetos y fenómenos que se caracterizan por la mesura, la conveniencia y la armonía se perciben como bellos y nos provocan un sentimiento de admiración, alegría, ánimo.
Una persona en su actividad se encuentra constantemente con objetos que utilizan la proporción áurea como base.Hay cosas que no se pueden explicar. Así que llegas a un banco vacío y te sientas en él. ¿Dónde te sentarás, en el medio? ¿O tal vez desde el mismo borde? No, lo más probable es que ni uno ni el otro. Te sentarás de modo que la proporción de una parte del banco a otra, en relación con tu cuerpo, sea de aproximadamente 1,62. Una cosa simple, absolutamente instintiva... Sentado en un banco, produjiste una "proporción áurea". La proporción áurea se conocía en el antiguo Egipto y Babilonia, en India y China. El gran Pitágoras creó una escuela secreta donde se estudiaba la esencia mística de la "sección áurea". Euclides lo aplicó, creando su geometría, y Fidias, sus esculturas inmortales. Platón dijo que el universo está ordenado según la "sección áurea". Y Aristóteles encontró la correspondencia de la "sección áurea" con la ley ética. La más alta armonía de la "sección dorada" será predicada por Leonardo da Vinci y Miguel Ángel, porque la belleza y la "sección dorada" son lo mismo. Y los místicos cristianos dibujarán pentagramas de la "sección dorada" en las paredes de sus monasterios, escapando del Diablo. Al mismo tiempo, científicos -de Pacho yo y antes de Einstein - buscarán, pero nunca encontrarán su significado exacto. Una serie interminable después del punto decimal - 1.6180339887... Una cosa extraña, misteriosa, inexplicable: esta proporción divina acompaña místicamente a todos los seres vivos. La naturaleza inanimada no sabe qué es la "sección dorada". Pero ciertamente verás esta proporción en las curvas de las conchas marinas, y en la forma de las flores, y en la forma de los escarabajos, y en un hermoso cuerpo humano. Todo lo vivo y todo lo bello, todo obedece a la ley divina, cuyo nombre es la "sección dorada". Entonces, ¿qué es la "sección dorada"?... ¿Cuál es esta combinación divina ideal? ¿Quizás es la ley de la belleza? ¿O sigue siendo un secreto místico? ¿Fenómeno científico o principio ético? La respuesta aún se desconoce. Más precisamente, no, se sabe. La "sección áurea" es a la vez eso, y otra, y la tercera. Solo que no por separado, sino al mismo tiempo... Y este es su verdadero misterio, su gran secreto.
Probablemente sea difícil encontrar una medida confiable para una evaluación objetiva de la belleza en sí misma, y la lógica por sí sola no servirá aquí. Sin embargo, la experiencia de aquellos para quienes la búsqueda de la belleza era el sentido mismo de la vida, que hicieron de ella su profesión, ayudará aquí. En primer lugar, estas son personas de arte, como las llamamos: artistas, arquitectos, escultores, músicos, escritores. Pero estas también son personas de las ciencias exactas, en primer lugar, matemáticos.
Confiando en el ojo más que en otros órganos de los sentidos, una persona primero aprendió a distinguir los objetos a su alrededor por su forma. El interés en la forma de un objeto puede estar dictado por una necesidad vital, o puede ser causado por la belleza de la forma. La forma, que se basa en una combinación de simetría y sección áurea, contribuye a la mejor percepción visual y la aparición de un sentido de belleza y armonía. El todo siempre consta de partes, las partes de diferentes tamaños están en cierta relación entre sí y con el todo.El principio de la sección áurea es la máxima manifestación de la perfección estructural y funcional del todo y sus partes en el arte, la ciencia, la tecnología y la naturaleza.
SECCIÓN DORADA - PROPORCIÓN ARMÓNICA
En matemáticas, la proporción es la igualdad de dos razones: a: b = c: d.
El segmento de línea AB se puede dividir en dos partes de las siguientes maneras:
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en dos partes iguales - AB: AC = AB: BC;
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en dos partes desiguales en cualquier proporción (tales partes no forman proporciones);
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así, cuando AB: AC = AC: BC.
La última es la división dorada..
La sección áurea es una división proporcional de un segmento en partes desiguales, en la que el segmento completo se relaciona con la parte mayor de la misma manera que la parte mayor misma se relaciona con la menor; o en otras palabras, el segmento más pequeño está relacionado con el más grande como el más grande lo está con todo
a: b = b: c o c: b = b: a.
El conocimiento práctico de la proporción áurea comienza dividiendo un segmento de línea recta en la proporción áurea usando un compás y una regla.
Desde el punto B se restablece una perpendicular igual a la mitad AB. El punto C resultante está conectado por una línea al punto A. En la línea resultante, se traza un segmento BC, que termina en el punto D. El segmento AD se transfiere a la línea recta AB. El punto resultante E divide el segmento AB en la proporción de la proporción áurea.
Los segmentos de la proporción áurea se expresan una fracción infinita AE \u003d 0.618 ..., si se toma AB como unidad, BE \u003d 0.382 ... Para fines prácticos, a menudo se usan valores aproximados de 0.62 y 0.38. Si el segmento AB se toma como 100 partes, entonces la parte más grande del segmento es 62 y la más pequeña es 38 partes.
Las propiedades de la sección áurea se describen mediante la ecuación: x2 - x - 1 = 0. Solución a esta ecuación:
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SEGUNDA SECCIÓN DE ORO La revista búlgara "Patria" publicó un artículo de Tsvetan Tsekov-Karandash "Sobre la segunda sección dorada", que se deriva de la sección principal y da otra proporción de 44: 56. Esta proporción se encuentra en la arquitectura. La división se lleva a cabo de la siguiente manera. El segmento AB se divide en proporción a la sección áurea. A partir del punto C, se restablece la CD perpendicular. El radio AB es el punto D, que está conectado por una línea con el punto A. El ángulo recto ACD está bisecado. Se traza una línea desde el punto C hasta la intersección con la línea AD. El punto E divide al segmento AD en la razón 56:44. La figura muestra la posición de la línea de la segunda sección áurea. Se encuentra en el medio entre la línea de sección dorada y la línea media del rectángulo. TRIANGULO DORADO Para encontrar segmentos de la proporción áurea de las filas ascendentes y descendentes, puedes usar el pentagrama. Para construir un pentagrama, necesitas construir un pentágono regular. El método de su construcción fue desarrollado por el pintor y artista gráfico alemán Albrecht Dürer. Sea O el centro de la circunferencia, A un punto de la circunferencia y E el punto medio del segmento OA. La perpendicular al radio OA, levantada en el punto O, se corta con el círculo en el punto D. Usando un compás, marque el segmento CE = ED en el diámetro. La longitud de un lado de un pentágono regular inscrito en un círculo es DC. Separamos segmentos DC en el círculo y obtenemos cinco puntos por dibujar un pentágono regular. Conectamos las esquinas del pentágono a través de una diagonal y obtenemos un pentagrama. Todas las diagonales del pentágono se dividen entre sí en segmentos conectados por la proporción áurea. Cada extremo de la estrella pentagonal es un triángulo dorado. Sus lados forman un ángulo de 36° en la parte superior, y la base colocada en el lado lo divide en proporción a la proporción áurea. Dibujar la línea recta AB. Desde el punto A colocamos tres veces un segmento O de tamaño arbitrario, a través del punto P resultante dibujamos una perpendicular a la línea AB, en la perpendicular a la derecha e izquierda del punto P colocamos segmentos O. El resultante los puntos d y d1 están conectados por líneas rectas con el punto A. Colocamos el segmento dd1 en la línea Ad1, obteniendo el punto C. Ella dividió la línea Ad1 en proporción a la proporción áurea. Las líneas Ad1 y dd1 se utilizan para construir un rectángulo "dorado". HISTORIA DE LA SECCIÓN DORADA
En general, se acepta que el concepto de la división áurea fue introducido en el uso científico por Pitágoras, un filósofo y matemático de la antigua Grecia. Existe la suposición de que Pitágoras tomó prestado su conocimiento de la división áurea de los egipcios y babilonios. De hecho, las proporciones de la pirámide de Keops, los templos, los artículos para el hogar y las decoraciones de la tumba de Tutankamón indican que los artesanos egipcios utilizaron las proporciones de la división áurea al crearlos. El arquitecto francés Le Corbusier descubrió que en el relieve del templo del faraón Seti I en Abydos y en el relieve que representa al faraón Ramsés, las proporciones de las figuras corresponden a los valores de la división áurea. El arquitecto Khesira, representado en un relieve de una tabla de madera de la tumba de su nombre, tiene instrumentos de medición en sus manos, en los que se fijan las proporciones de la división dorada. Los griegos eran hábiles geómetras. Incluso la aritmética se enseñaba a sus hijos con la ayuda de figuras geométricas. El cuadrado de Pitágoras y la diagonal de este cuadrado fueron la base para construir rectángulos dinámicos. Platón también conocía la división áurea. El pitagórico Timeo, en el diálogo de Platón del mismo nombre, dice: "Es imposible que dos cosas estén perfectamente unidas sin una tercera, ya que debe aparecer entre ellas una cosa que las mantenga juntas. Esta la mejor manera proporción puede cumplir, porque si tres números tienen la propiedad de que el promedio está relacionado con el menor como el mayor está relacionado con el promedio, y, a la inversa, el menor está relacionado con el promedio como el promedio está relacionado con el mayor, entonces el último y el primero será el promedio, y el promedio será el primero y el último. Así, todo lo necesario será lo mismo, y como será lo mismo, formará el todo". Platón construye el mundo terrenal utilizando triángulos de dos variedades: isósceles y no isósceles. Considera los más bellos rectángulos triángulo a ser aquel en el que la hipotenusa es dos veces más que el menor de los catetos (tal rectángulo es la mitad de un equilátero, figura principal de los babilonios, tiene una relación de 1:3 1/2 , que difiere de la proporción áurea en aproximadamente 1/25, y Thymerding lo llama el "rival de la proporción áurea"). Usando triángulos, Platón construye cuatro poliedros regulares, asociándolos con los cuatro elementos terrestres (tierra, agua, aire y fuego). Y solo el último de los cinco poliedros regulares existentes: el dodecaedro, cuyas doce caras son pentágonos regulares, afirma ser una imagen simbólica del mundo celestial.
Icosaedro y dodecaedro El honor de descubrir el dodecaedro (o, como se suponía, el Universo mismo, esta quintaesencia de los cuatro elementos, simbolizados, respectivamente, por el tetraedro, el octaedro, el icosaedro y el cubo) corresponde a Hippaso, quien luego murió en un naufragio. Esta figura realmente captura muchas relaciones de la sección áurea, por lo que a esta última se le asignó el papel principal en el mundo celestial, en el que posteriormente insistió el hermano menor Luca Pacioli. En la fachada del antiguo templo griego del Partenón hay proporciones doradas. Durante sus excavaciones se encontraron brújulas, que fueron utilizadas por arquitectos y escultores del mundo antiguo. La brújula pompeyana (Museo de Nápoles) también contiene las proporciones de la división áurea. En la literatura antigua que nos ha llegado, la división áurea se menciona por primera vez en los "Principios" de Euclides. En el 2do libro de los "Comienzos" se da la construcción geométrica de la división áurea. Después de Euclides, Hypsicles (siglo II aC), Pappus (siglo III dC) y otros estudiaron la división áurea. En la Europa medieval, se familiarizaron con la división áurea de las traducciones árabes de los "Principios" de Euclides. El traductor J. Campano de Navarra (siglo III) comenta la traducción. Los secretos de la división dorada fueron celosamente guardados, mantenidos en estricto secreto. Eran conocidos sólo por los iniciados. En la Edad Media, el pentagrama fue satanizado (como, de hecho, mucho de lo que se consideraba divino en el paganismo antiguo) y encontró refugio en las ciencias ocultas. Sin embargo, el Renacimiento vuelve a sacar a la luz tanto el pentagrama como la proporción áurea. Entonces, un esquema que describe la estructura del cuerpo humano ganó amplia circulación en ese período de afirmación del humanismo: Leonardo da Vinci también recurrió repetidamente a una imagen de este tipo, esencialmente reproduciendo un pentagrama. Su interpretación: el cuerpo humano tiene perfección divina, porque las proporciones inherentes a él son las mismas que en la figura celeste principal. Leonardo da Vinci, artista y científico, vio que los artistas italianos tenían mucha experiencia empírica, pero poco conocimiento. Concibió y comenzó a escribir un libro sobre geometría, pero en ese momento apareció un libro del monje Luca Pacioli, y Leonardo abandonó su idea. Según los contemporáneos e historiadores de la ciencia, Luca Pacioli fue una verdadera lumbrera, el matemático más grande de Italia entre Fibonacci y Galileo. Luca Pacioli fue alumno del artista Piero della Francesca, quien escribió dos libros, uno de los cuales se tituló Sobre la perspectiva en la pintura. Se le considera el creador de la geometría descriptiva.
Luca Pacioli era muy consciente de la importancia de la ciencia para el arte. En 1496, por invitación del duque de Moreau, vino a Milán, donde dio una conferencia sobre matemáticas. Leonardo da Vinci también trabajó en la corte de Moro en Milán en ese momento. En 1509, se publicó en Venecia el libro de Luca Pacioli "Sobre la divina proporción" (De divinaproporcione, 1497, publicado en Venecia en 1509) con ilustraciones brillantemente ejecutadas, por lo que se cree que fueron realizadas por Leonardo da Vinci. El libro era un himno entusiasta a la proporción áurea. Solo hay una proporción de este tipo, y la singularidad propiedad más alta Dios. Encarna la santísima trinidad. Esta proporción no puede expresarse con un número accesible, permanece oculta y secreta, y los propios matemáticos la llaman irracional (por lo que Dios no puede definirse ni explicarse con palabras). Dios nunca cambia y representa todo en todo y todo en cada una de sus partes, por lo que la proporción áurea para cualquier cantidad continua y definida (sin importar si es grande o pequeña) es la misma, no puede ser cambiada ni percibida de otra manera por la mente. Dios creó la virtud celestial, también llamada quinta sustancia, con su ayuda otros cuatro cuerpos simples (cuatro elementos: tierra, agua, aire, fuego), y sobre su base creó todas las demás cosas de la naturaleza; así nuestra sagrada proporción, según Platón en el Timeo, da ser formal al cielo mismo, pues se le atribuye la forma de un cuerpo llamado dodecaedro, que no puede construirse sin la sección áurea. Estos son los argumentos de Pacioli.
Leonardo da Vinci también prestó mucha atención al estudio de la división áurea. Hizo secciones de un cuerpo estereométrico formado por pentágonos regulares, y cada vez obtuvo rectángulos con relaciones de aspecto en división áurea. Por lo tanto, le dio a esta división el nombre de la sección áurea. Así que sigue siendo el más popular. Al mismo tiempo, en el norte de Europa, en Alemania, Albrecht Dürer estaba trabajando en los mismos problemas. Esboza una introducción al primer borrador de un tratado sobre proporciones. Durero escribe. “Es necesario que el que sepa enseñarlo a otros que lo necesiten. Esto es lo que me propuse”. A juzgar por una de las cartas de Durero, se reunió con Luca Pacioli durante su estancia en Italia. Albrecht Dürer desarrolla en detalle la teoría de las proporciones del cuerpo humano. lugar importante en su sistema de proporciones, Durero asignó la sección áurea. La altura de una persona se divide en proporciones doradas por la línea del cinturón, así como por la línea dibujada a través de las puntas de los dedos medios de las manos bajadas, la parte inferior de la cara, por la boca, etc. Compás proporcional conocido Durero. Gran astrónomo del siglo XVI. Johannes Kepler llamó a la proporción áurea uno de los tesoros de la geometría. Es el primero en llamar la atención sobre la importancia de la proporción áurea para la botánica (crecimiento y estructura de las plantas). Kepler llamó a la proporción áurea continua: “Está dispuesta de tal manera”, escribió, “que los dos términos menores de esta proporción infinita suman el tercer término, y dos últimos términos cualesquiera, si se suman, dan el término siguiente, y la misma proporción permanece hasta el infinito". La construcción de una serie de segmentos de la proporción áurea se puede realizar tanto en sentido de aumento (serie creciente) como en sentido de disminución (serie descendente). Si en una línea recta de longitud arbitraria, reservamos el segmento m, luego reservamos el segmento M. Sobre la base de estos dos segmentos, construimos una escala de segmentos de la proporción áurea de las filas ascendentes y descendentes. En siglos posteriores, la regla de la proporción áurea se convirtió en un canon académico, y cuando, con el tiempo, se inició en el arte una pugna con la rutina académica, en el fragor de la pugna “echaron al niño con el agua”. La sección áurea fue "descubierta" nuevamente a mediados del siglo XIX. En 1855, el investigador alemán de la sección áurea, el profesor Zeising, publicó su obra "Investigaciones estéticas". Con Zeising, exactamente lo que sucedió le sucedió al investigador que considera el fenómeno como tal, sin conexión con otros fenómenos. Absolutizó la proporción de la sección áurea, declarándola universal para todos los fenómenos de la naturaleza y el arte. Zeising tuvo numerosos seguidores, pero también hubo opositores que declararon que su doctrina de las proporciones era "estética matemática". Zeising hizo un gran trabajo. Midió unos dos mil cuerpos humanos y llegó a la conclusión de que la proporción áurea expresa la ley estadística promedio. División del cuerpo por el punto del ombligo - el indicador más importante proporción áurea Las proporciones del cuerpo masculino fluctúan dentro de la relación media de 13:8 = 1,625 y están algo más cerca de la proporción áurea que las proporciones del cuerpo femenino, en relación a las cuales el valor medio de la proporción se expresa en la relación 8: 5 = 1,6. En un recién nacido, la proporción es de 1:1, a los 13 años es de 1,6 ya los 21 años es igual al varón. Las proporciones de la sección áurea también se manifiestan en relación con otras partes del cuerpo: la longitud del hombro, el antebrazo y la mano, la mano y los dedos, etc. Zeising probó la validez de su teoría sobre las estatuas griegas. Desarrolló las proporciones de Apollo Belvedere con más detalle. Vasijas griegas, estructuras arquitectónicas de varias épocas, plantas, animales, huevos de aves, tonos musicales, tamaños poéticos. Zeising definió la proporción áurea, mostró cómo se expresa en segmentos de línea y en números. Cuando se obtuvieron las cifras que expresaban las longitudes de los segmentos, Zeising vio que constituían una serie de Fibonacci, que podía continuarse indefinidamente en una dirección y en la otra. Su siguiente libro se tituló "La división áurea como ley morfológica básica en la naturaleza y el arte". En 1876, se publicó en Rusia un pequeño libro, casi un folleto, que describe el trabajo de Zeising. El autor se refugió bajo las iniciales Yu.F.V. En esta edición no se menciona ni un solo cuadro. A finales del siglo XIX - principios del siglo XX. Aparecieron muchas teorías puramente formalistas sobre el uso de la sección áurea en obras de arte y arquitectura. Con el desarrollo del diseño y la estética técnica, la ley de la proporción áurea se extendió al diseño de automóviles, muebles, etc. PROPORCIÓN ÁUREA Y SIMETRÍA La proporción áurea no puede considerarse en sí misma, por separado, sin conexión con la simetría. El gran cristalógrafo ruso G.V. Wulff (1863...1925) consideró la proporción áurea como una de las manifestaciones de la simetría. La división áurea no es una manifestación de asimetría, algo opuesto a la simetría, según los conceptos modernos, la división áurea es una simetría asimétrica. La ciencia de la simetría incluye conceptos tales como simetría estática y dinámica. La simetría estática caracteriza el descanso, el equilibrio y la simetría dinámica caracteriza el movimiento, el crecimiento. Entonces, en la naturaleza, la simetría estática está representada por la estructura de los cristales, y en el arte caracteriza la paz, el equilibrio y la inmovilidad. La simetría dinámica expresa actividad, caracteriza movimiento, desarrollo, ritmo, es evidencia de vida. La simetría estática se caracteriza por segmentos iguales, magnitudes iguales. La simetría dinámica se caracteriza por un aumento de segmentos o su disminución, y se expresa en los valores de la sección áurea de una serie creciente o decreciente. FILA DE FIBÓN FA H Y
El nombre del monje matemático italiano Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, está indirectamente relacionado con la historia de la sección áurea. Viajó mucho por Oriente, introdujo en Europa los números arábigos. En 1202 se publicó su obra matemática El libro del ábaco (Tablero de contar), en la que se recogían todos los problemas conocidos en ese momento. Una serie de números 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. conocida como serie de Fibonacci. La peculiaridad de la sucesión de números es que cada uno de sus miembros, a partir del tercero, es igual a la suma de los dos anteriores 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34, etc., y la proporción de números adyacentes de la serie se acerca a la proporción de la división áurea. Entonces, 21:34 = 0,617 y 34:55 = 0,618. Esta relación se denota con el símbolo F. Solo esta relación - 0,618: 0,382 - da una división continua de un segmento de línea recta en la proporción áurea, aumentándola o disminuyéndola hasta el infinito, cuando el segmento más pequeño se relaciona con el más grande como el más grande es para todo. Como se muestra en la figura a continuación, la longitud de cada nudillo del dedo está relacionada con la longitud del siguiente nudillo en una proporción F. La misma relación se observa en todos los dedos de manos y pies. Esta conexión es de alguna manera inusual, porque un dedo es más largo que el otro sin ningún patrón visible, pero esto no es accidental, al igual que todo en el cuerpo humano no es accidental. Las distancias en los dedos, marcadas de A a B a C a D a E, están todas relacionadas entre sí en la proporción F, como lo están las falanges de los dedos de F a G a H.
Eche un vistazo a este esqueleto de rana y vea cómo cada hueso se ajusta al modelo de proporción F tal como lo hace en el cuerpo humano.
PROPORCIÓN DUREA GENERALIZADA Los científicos continuaron desarrollando activamente la teoría de los números de Fibonacci y la proporción áurea. Yu. Matiyasevich usando números de Fibonacci resuelve 10- Yu El problema de Hilbert. Existen métodos para resolver una serie de problemas cibernéticos (teoría de búsqueda, juegos, programación) utilizando números de Fibonacci y la sección áurea. En los EE. UU., incluso se está creando la Asociación Matemática Fibonacci, que publica una revista especial desde 1963. Uno de los logros en esta área es el descubrimiento de los números de Fibonacci generalizados y las proporciones áureas generalizadas. La serie de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) y la serie "binaria" de pesos 1, 2, 4, 8, descubierta por él, son completamente diferentes a primera vista. Pero los algoritmos para su construcción son muy similares entre sí: en el primer caso, cada número es la suma del número anterior consigo mismo 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., en el segundo, esta es la suma de los dos números anteriores 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 ... ¿Es posible? encontrar una fórmula matemática general a partir de la cual la serie "binaria" y la serie de Fibonacci? O tal vez esta fórmula nos dará nuevos conjuntos numéricos con algunos nuevos propiedades únicas? En efecto, fijemos un parámetro numérico S, que puede tomar cualquier valor: 0, 1, 2, 3, 4, 5... separados del anterior por S pasos. si un enésimo miembro esta serie se denotará por S (n), entonces obtenemos la fórmula general? S(n) = ? S (n - 1) + ? S (n - S - 1). Obviamente, con S = 0, de esta fórmula obtendremos una serie "binaria", con S = 1 - una serie de Fibonacci, con S = 2, 3, 4. nueva serie de números, que se denominan números S-Fibonacci. EN vista general la proporción dorada en S es la raíz positiva de la ecuación de la sección dorada en S x S+1 - x S - 1 = 0. Es fácil demostrar que en S = 0 se obtiene la división del segmento por la mitad, y en S = 1, la conocida sección áurea clásica. ¡Las proporciones de los números S de Fibonacci vecinos coinciden con las proporciones S doradas con absoluta precisión matemática! Los matemáticos en tales casos dicen que las secciones S doradas son invariantes numéricas de los números S de Fibonacci. Los hechos que confirman la existencia de secciones en S doradas en la naturaleza son proporcionados por el científico bielorruso E.M. Soroko en el libro "Armonía estructural de los sistemas" (Minsk, "Ciencia y tecnología", 1984). Resulta, por ejemplo, que las aleaciones binarias bien estudiadas tienen propiedades funcionales especiales y pronunciadas (térmicamente estables, duras, resistentes al desgaste, resistentes a la oxidación, etc.) solo si los pesos específicos de los componentes iniciales están relacionados entre sí. por uno de proporciones S doradas. Esto permitió al autor presentar la hipótesis de que las secciones S áureas son invariantes numéricas de los sistemas autoorganizados. Siendo confirmada experimentalmente, esta hipótesis puede ser de fundamental importancia para el desarrollo de sinergéticos - NUEVA Área ciencia que estudia los procesos en los sistemas autoorganizados. Usando códigos de proporción S áurea, cualquier número real puede expresarse como la suma de grados de proporciones S áureas con coeficientes enteros. La diferencia fundamental entre este método de codificación de números es que las bases de los nuevos códigos, que son proporciones S áureas, resultan ser números irracionales para S > 0. Así, los nuevos sistemas numéricos con bases irracionales, por así decirlo, pusieron "al revés" la jerarquía históricamente establecida de relaciones entre números racionales e irracionales. El caso es que en un principio se "descubrieron" los números naturales; entonces sus razones son números racionales. Y solo más tarde, después de que los pitagóricos descubrieran segmentos inconmensurables, aparecieron los números irracionales. Por ejemplo, en sistemas decimales, quinarios, binarios y otros sistemas numéricos posicionales clásicos, los números naturales (10, 5, 2) se eligieron como una especie de principio fundamental, a partir del cual se derivaron todos los demás números naturales, así como los números racionales e irracionales. construido de acuerdo con ciertas reglas. Una especie de alternativa a los métodos existentes de numeración es un nuevo sistema irracional, como principio fundamental, cuyo comienzo se elige numero irracional(que, recordemos, es la raíz de la ecuación de la sección áurea); otros números reales ya se expresan a través de él. En tal sistema numérico, cualquier número natural siempre se puede representar como un número finito, ¡y no infinito, como se pensaba anteriormente! - sumas de grados de cualquiera de las proporciones S áureas. Esta es una de las razones por las que la aritmética "irracional", que tiene una asombrosa simplicidad y elegancia matemática, parece haber absorbido las mejores cualidades de la aritmética binaria clásica y de "Fibonacci". PRINCIPIOS DE CONFORMACIÓN EN LA NATURALEZA Todo lo que tomó alguna forma se formó, creció, se esforzó por tomar un lugar en el espacio y preservarse. Esta aspiración se realiza principalmente en dos variantes: crecimiento hacia arriba o esparcimiento sobre la superficie de la tierra y torsión en espiral. La concha está torcida en espiral. Si lo despliegas, obtienes una longitud ligeramente inferior a la longitud de la serpiente. Una pequeña concha de diez centímetros tiene una espiral de 35 cm de largo Las espirales son muy comunes en la naturaleza. El concepto de la proporción áurea estará incompleto, por no decir el de la espiral. La forma de la concha enroscada en espiral atrajo la atención de Arquímedes. Lo estudió y dedujo la ecuación de la espiral. La espiral dibujada según esta ecuación se llama por su nombre. El aumento de su paso es siempre uniforme. En la actualidad, la espiral de Arquímedes es muy utilizada en ingeniería. Incluso Goethe enfatizó la tendencia de la naturaleza a la espiralidad. La disposición en espiral y en espiral de las hojas en las ramas de los árboles se notó hace mucho tiempo.
La espiral se veía en el arreglo de semillas de girasol, en piñas, piñas, cactus, etc. Colaboración botánicos y matemáticos arrojan luz sobre estos asombrosos fenómenos naturales. Resultó que en la disposición de las hojas en una rama (filotaxis), semillas de girasol, piñas, se manifiesta la serie de Fibonacci y, por lo tanto, se manifiesta la ley de la sección áurea. La araña teje su telaraña en forma de espiral. Un huracán está en espiral. Una manada asustada de renos se dispersa en espiral. La molécula de ADN se tuerce en una doble hélice. Goethe llamó a la espiral "la curva de la vida". Zo La espiral dorada está estrechamente relacionada con los ciclos. La ciencia moderna del caos estudia operaciones simples de retroalimentación cíclica y las formas fractales generadas por ellas, que antes eran desconocidas. La figura 6 muestra la famosa serie de Mandelbrot, una página de un diccionario de infinidad de patrones individuales llamado serie de Julian. Algunos científicos asocian la serie de Mandelbrot con el código genético de los núcleos celulares. Un aumento constante en las secciones revela asombrosos fractales en su complejidad artística. ¡Y aquí también hay espirales logarítmicas! Esto es tanto más importante cuanto que tanto la serie de Mandelbrot como la de Julian no son invenciones de la mente humana. Surgen del reino de los prototipos de Platón. Como dijo el doctor R. Penrose, “son como el Monte Everest.” La espiral está íntimamente relacionada con los ciclos. La ciencia moderna del caos estudia operaciones simples de retroalimentación cíclica y las fractales generadas por ellas.
Entre las hierbas al borde de la carretera, crece una planta común: la achicoria. Echémosle un vistazo más de cerca. Se formó una rama a partir del tallo principal. Aquí está la primera hoja.
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| Arroz. . Achicoria |
En un lagarto, a primera vista, se capturan proporciones que son agradables a nuestros ojos: la longitud de su cola se relaciona con la longitud del resto del cuerpo como 62 a 38.
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| Arroz. . lagarto vivíparo |
Tales formas de huevos de aves no son accidentales, ya que ahora se ha establecido que la forma de los huevos descrita por la proporción de la sección dorada corresponde a características de mayor resistencia de la cáscara del huevo.
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| Arroz. . huevo de ave |
Sin embargo, los copos de nieve, que también son cristales de agua, son bastante accesibles a nuestros ojos.
Todas las figuras de exquisita belleza que forman los copos de nieve, todos los ejes, círculos y figuras geométricas en los copos de nieve también están siempre, sin excepción, construidos según la fórmula perfecta y clara de la sección áurea.
En el microcosmos, las formas logarítmicas tridimensionales construidas según proporciones áureas son omnipresentes. Por ejemplo, muchos virus tienen una forma geométrica tridimensional de un icosaedro. Quizás el más famoso de estos virus es el virus Adeno. La cubierta proteica del adenovirus está formada por 252 unidades de células proteicas dispuestas en una determinada secuencia. En cada esquina del icosaedro hay 12 unidades de células proteicas en forma de prisma pentagonal, y estructuras en forma de púas se extienden desde estas esquinas.
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| adenovirus |
El comentario de Klug recuerda una vez más la verdad extremadamente obvia: incluso en la estructura de un organismo microscópico, que los científicos clasifican como "la forma de vida más primitiva", en este caso, un virus, hay un plan claro y un proyecto razonable. implementado 16. Este proyecto es incomparable en su perfección y rendimiento de precisión con los más avanzados proyectos arquitectonicos creado por personas. Por ejemplo, proyectos creados por el genial arquitecto Buckminster Fuller. Los modelos tridimensionales del dodecaedro y del icosaedro también están presentes en la estructura de los esqueletos de los microorganismos marinos unicelulares radiolarios (beamers), cuyo esqueleto está hecho de sílice. Los radiolarios forman su cuerpo de una belleza muy exquisita e inusual. Su forma es un dodecaedro regular. Además, pseudo-elongación-extremidad y otras formas inusuales-crecimientos crecen desde cada uno de sus rincones. El gran Goethe, poeta, naturalista y artista (dibujaba y pintaba con acuarela), soñaba con crear una doctrina unificada de la forma, formación y transformación de los cuerpos orgánicos. Fue él quien introdujo el término morfología en el uso científico. Pierre Curie a principios de nuestro siglo formuló una serie de ideas profundas sobre la simetría. Argumentó que no se puede considerar la simetría de ningún cuerpo sin tener en cuenta la simetría del entorno. Las leyes de la simetría "áurea" se manifiestan en las transiciones de energía de las partículas elementales, en la estructura de algunos compuestos químicos, en los sistemas planetarios y espaciales, en las estructuras genéticas de los organismos vivos. Estos patrones, como se indicó anteriormente, se encuentran en la estructura de los órganos humanos individuales y del cuerpo como un todo, y también se manifiestan en los biorritmos y el funcionamiento del cerebro y la percepción visual. EL CUERPO HUMANO Y LA SECCIÓN DORADA Todos los huesos humanos están en proporción a la sección áurea.
Las proporciones de las diversas partes de nuestro cuerpo forman un número muy cercano a la proporción áurea. Si estas proporciones coinciden con la fórmula de la proporción áurea, entonces se considera que la apariencia o el cuerpo de una persona tiene una constitución ideal.
Si tomamos el punto del ombligo como el centro del cuerpo humano, y la distancia entre el pie humano y el punto del ombligo como unidad de medida, entonces la altura de una persona equivale al número 1.618.
La distancia desde el nivel del hombro hasta la coronilla y el tamaño de la cabeza es 1:1.618
La distancia desde la punta del ombligo hasta la coronilla y desde el nivel del hombro hasta la coronilla es de 1:1.618
La distancia del punto del ombligo a las rodillas y de las rodillas a los pies es 1:1.618
La distancia desde la punta del mentón hasta la punta del labio superior y desde la punta del labio superior hasta las fosas nasales es de 1:1.618
En realidad, la presencia exacta de la proporción áurea en el rostro de una persona es el ideal de belleza para el ojo humano.
La distancia desde la punta del mentón hasta la línea superior de las cejas y desde la línea superior de las cejas hasta la parte superior de la cabeza es 1:1.618
Altura de la cara / Ancho de la cara
El punto central de la unión de los labios a la base de la nariz/longitud de la nariz.
Altura de la cara / distancia desde la punta del mentón hasta el punto central de la unión de los labios
Ancho de la boca / Ancho de la nariz
Ancho de la nariz / distancia entre las fosas nasales
Distancia entre pupilas / Distancia entre cejas Basta con acercar la palma de la mano a usted ahora y mirar cuidadosamente su dedo índice, e inmediatamente encontrará la fórmula de la sección dorada en él.
Cada dedo de nuestra mano consta de tres falanges, la suma de las dos primeras falanges del dedo en relación a la longitud total del dedo da el número de sección áurea (a excepción del pulgar).
Además, la relación entre el dedo medio y el meñique también esproporción áureaUna persona tiene 2 manos, los dedos de cada mano constan de 3 falanges (a excepción del pulgar). Cada mano tiene 5 dedos, es decir, 10 en total, pero con la excepción de dos bifalángicos. pulgares solo se crean 8 dedos según el principio de la sección áurea. Considerando que todos estos números 2, 3, 5 y 8 son los números de la secuencia de Fibonacci.
También se debe tener en cuenta que en la mayoría de las personas la distancia entre los extremos de los brazos extendidos es igual a la altura. Las verdades de la proporción áurea están dentro de nosotros y en nuestro espacio
La peculiaridad de los bronquios que componen los pulmones de una persona radica en su asimetría. Los bronquios están formados por dos vías respiratorias principales, una (izquierda) es más larga y la otra (derecha) es más corta.
Se encontró que esta asimetría continúa en las ramas de los bronquios, en todas las vías aéreas menores.
Además, la proporción de la longitud de los bronquios cortos y largos también es la proporción áurea y es igual a 1:1.618.
El oído interno humano contiene un órgano Cóclea ("Caracol"), que cumple la función de transmitir vibraciones sonoras. Esta estructura similar a un hueso está llena de fluido y también se crea en forma de caracol, que contiene una forma espiral logarítmica estable = 73? 43". La presión arterial cambia a medida que late el corazón. Alcanza su mayor valor en el ventrículo izquierdo del corazón en el momento de su contracción (sístole). En las arterias durante la sístole de los ventrículos del corazón, la presión arterial alcanza un valor máximo igual a 115-125 mm Hg en una persona joven y sana. En el momento de la relajación del músculo cardíaco (diástole), la presión disminuye a 70-80 mm Hg. La relación entre la presión máxima (sistólica) y la mínima (diastólica) es en promedio de 1,6, es decir, cerca de la proporción áurea.Si tomamos la presión arterial promedio en la aorta como una unidad, entonces la presión arterial sistólica en la aorta es 0.382 y la presión arterial diastólica es 0.618, es decir, su relación corresponde a la proporción áurea. Esto significa que el trabajo del corazón en relación con los ciclos de tiempo y los cambios en la presión arterial se optimizan de acuerdo con el mismo principio: la ley de la proporción áurea.
La molécula de ADN consta de dos hélices entrelazadas verticalmente. Cada una de estas espirales tiene 34 angstroms de largo y 21 angstroms de ancho. (1 angstrom es la cienmillonésima parte de un centímetro). estructura de la sección helicoidal de la molécula de ADN
Entonces 21 y 34 son números, siguiente amigo uno tras otro en la secuencia de números de Fibonacci, es decir, la relación entre la longitud y el ancho de la hélice logarítmica de la molécula de ADN lleva la fórmula de la sección áurea 1: 1.618
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SECCIÓN DORADA EN LA ESCULTURA
Las estructuras escultóricas, los monumentos se erigen para perpetuar eventos significativos, para preservar en la memoria de los descendientes los nombres de personajes famosos, sus hazañas y hazañas. Se sabe que incluso en la antigüedad la base de la escultura era la teoría de las proporciones. La relación de las partes del cuerpo humano se asoció con la fórmula de la sección dorada. Las proporciones de la "sección dorada" crean la impresión de armonía de belleza, por lo que los escultores las utilizaron en sus obras. Los escultores afirman que la cintura divide el cuerpo humano perfecto en relación con la "sección áurea". Por ejemplo, la famosa estatua de Apolo Belvedere consta de partes divididas por proporciones áureas. El gran escultor griego antiguo Fidias a menudo usaba la "sección áurea" en sus obras. Los más famosos de ellos fueron la estatua de Zeus Olímpico (que fue considerada una de las maravillas del mundo) y Athena Parthenos.  Se conoce la proporción áurea de la estatua de Apolo Belvedere: la altura de la persona representada está dividida por la línea umbilical en la sección áurea.  |
SECCIÓN DORADA EN ARQUITECTURA
En los libros sobre la "sección dorada" se puede encontrar la observación de que en la arquitectura, como en la pintura, todo depende de la posición del observador, y que si algunas proporciones en un edificio de un lado parecen formar la "sección dorada", entonces desde otros puntos de visión se verán diferentes. La "sección dorada" da la proporción más relajada de los tamaños de ciertas longitudes.
Una de las obras más bellas de la arquitectura griega antigua es el Partenón (siglo V aC).
  Las figuras muestran una serie de patrones asociados con la proporción áurea. Las proporciones del edificio se pueden expresar a través de varios grados del número Ф = 0.618 ... El Partenón tiene 8 columnas en los lados cortos y 17 en los largos. las repisas están hechas enteramente de cuadrados de mármol de Pentile. La nobleza del material con el que se construyó el templo permitió limitar el uso del colorido, que era común en la arquitectura griega, solo enfatiza los detalles y forma un fondo de color (azul y rojo) para la escultura. La razón de la altura del edificio a su longitud es 0.618. Si dividimos el Partenón según la "sección dorada", obtendremos ciertos salientes de la fachada. En el plano de planta del Partenón, también se pueden ver los "rectángulos dorados":  Podemos ver la proporción áurea en el edificio de la Catedral de Notre Dame (Notre Dame de Paris) y en la pirámide de Keops:   No solo las pirámides egipcias fueron construidas de acuerdo con las proporciones perfectas de la proporción áurea; el mismo fenómeno se encuentra en las pirámides mexicanas. Durante mucho tiempo se creyó que los arquitectos Rusia antigua construyó todo "a ojo", sin ningún cálculo matemático especial. Sin embargo, las últimas investigaciones han demostrado que los arquitectos rusos conocían bien las proporciones matemáticas, como lo demuestra el análisis de la geometría de los templos antiguos. El famoso arquitecto ruso M. Kazakov utilizó ampliamente la "sección dorada" en su trabajo. Su talento fue multifacético, pero en mayor medida se reveló en numerosos proyectos terminados. edificios residenciales y haciendas. Por ejemplo, la "sección dorada" se puede encontrar en la arquitectura del edificio del Senado en el Kremlin. De acuerdo con el proyecto de M. Kazakov, se construyó el Hospital Golitsyn en Moscú, que actualmente se llama el Primer Hospital Clínico que lleva el nombre de N.I. Pirogov (perspectiva de Leninsky, d.  Palacio Petrovski en Moscú. Construido según el proyecto de M.F. Kazakov.  Otra obra maestra arquitectónica de Moscú, la Casa Pashkov, es una de las obras arquitectónicas más perfectas de V. Bazhenov.  La maravillosa creación de V. Bazhenov ha entrado firmemente en el conjunto del centro del Moscú moderno, lo ha enriquecido. La apariencia externa de la casa ha sobrevivido casi sin cambios hasta el día de hoy, a pesar de que sufrió graves incendios en 1812. Durante la restauración, el edificio adquirió formas más masivas. Tampoco se ha conservado la distribución interior del edificio, de la que sólo da idea el dibujo de la planta inferior. Muchas declaraciones del arquitecto merecen atención hoy. Sobre su arte favorito, V. Bazhenov dijo: "La arquitectura tiene tres temas principales: la belleza, la tranquilidad y la fuerza del edificio ... Para lograr esto, el conocimiento de la proporción, la perspectiva, la mecánica o la física en general sirve como guía, y todos ellos tienen un líder común es la razón". |
Cualquier pieza musical tiene un lapso de tiempo y se divide en unos "hitos estéticos" en partes separadas que llaman la atención y facilitan la percepción como un todo. Estos hitos pueden ser puntos culminantes dinámicos y de entonación de una obra musical. Los intervalos de tiempo separados de una pieza musical, conectados por un "evento culminante", por regla general, están en la proporción de la Proporción Áurea.
En 1925, el crítico de arte L.L. Sabaneev, después de analizar 1770 obras musicales de 42 autores, demostró que la gran mayoría de las obras destacadas se pueden dividir fácilmente en partes, ya sea por tema, entonación o sistema modal, que están en relación con cada uno. otra proporción áurea. Además, cuanto más talentoso era el compositor, más secciones doradas se encontraban en sus obras. Según Sabaneev, la proporción áurea da la impresión de una armonía especial de una composición musical. Este resultado fue verificado por Sabaneev en los 27 estudios de Chopin. Encontró 178 secciones de oro en ellos. Al mismo tiempo, resultó que no solo grandes partes de los estudios se dividen por duración en relación con la sección áurea, sino que partes de los estudios interiores a menudo se dividen en la misma proporción.
El compositor y científico M.A. Marutaev contó el número de compases en la famosa sonata "Appassionata" y encontró una serie de proporciones numéricas interesantes. En particular, en el desarrollo, la unidad estructural central de la sonata, donde los temas se desarrollan intensamente y las claves se reemplazan entre sí, hay dos secciones principales. El primero tiene 43,25 bares, el segundo tiene 26,75. La proporción 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 da la proporción áurea.
Arensky (95%), Beethoven (97%), Haydn (97%), Mozart (91%), Chopin (92%), Schubert (91%) tienen el mayor número de obras en las que está presente la Sección Dorada.
Si la música es la ordenación armónica de los sonidos, la poesía es la ordenación armónica del habla. Un ritmo claro, una alternancia regular de sílabas acentuadas y átonas, una dimensionalidad ordenada de los poemas, su riqueza emocional hacen poesía. hermana obras musicales La proporción áurea en poesía se manifiesta principalmente como la presencia de un momento determinado del poema (clímax, punto de inflexión semántico, idea principal de la obra) en el verso atribuible al punto de división numero total versos del poema en proporción áurea. Entonces, si el poema contiene 100 líneas, entonces el primer punto de la Sección Dorada cae en la línea 62 (62%), el segundo, en la línea 38 (38%), etc. Las obras de Alexander Sergeevich Pushkin, incluido "Eugene Onegin", ¡la mejor correspondencia con la proporción áurea! Las obras de Shota Rustaveli y M.Yu. Lermontov también se basan en el principio de la Sección Dorada.
Stradivarius escribió que con la ayuda de
la proporción áurea, determinó los lugares para F recortes en forma de ágata en los cuerpos de sus famosos violines. SECCIÓN DE ORO EN LA POESÍA la poesia de pushkin Los estudios de obras poéticas desde estas posiciones apenas comienzan. Y debes comenzar con la poesía de A.S. Pushkin. Después de todo, sus obras son un ejemplo de las creaciones más destacadas de la cultura rusa, un ejemplo del más alto nivel de armonía. Con la poesía de A.S. Pushkin, comenzaremos la búsqueda de la proporción áurea, la medida de la armonía y la belleza. Gran parte de la estructura de las obras poéticas hace que esta forma de arte se relacione con la música. Un ritmo claro, una alternancia regular de sílabas acentuadas y átonas, una dimensionalidad ordenada de los poemas, su riqueza emocional hacen de la poesía una hermana de las obras musicales. Cada verso tiene su propia forma musical, su propio ritmo y melodía. Se puede esperar que en la estructura de los poemas aparezcan algunas características de las obras musicales, patrones de armonía musical y, en consecuencia, la proporción áurea. Comencemos con el tamaño del poema, es decir, la cantidad de líneas que contiene. Parecería que este parámetro del poema puede cambiar arbitrariamente. Sin embargo, resultó que este no era el caso. Por ejemplo, el análisis de poemas de A.S. Pushkin mostró desde este punto de vista que los tamaños de los versos se distribuyen de manera muy desigual; resultó que Pushkin claramente prefiere tamaños de 5, 8, 13, 21 y 34 líneas (números de Fibonacci).
Muchos investigadores han notado que los poemas son como piezas musicales; también tienen puntos culminantes que dividen el poema en proporción a la proporción áurea. Considere, por ejemplo, un poema de A.S. Pushkin "Zapatero": Una vez un zapatero buscó un cuadro
Y señaló el error en los zapatos;
Tomando el pincel de una vez, el artista se corrigió,
Aquí, en jarras, el zapatero prosiguió:
"Creo que la cara está un poco torcida...
¿No está ese pecho demasiado desnudo?
Aquí Apeles interrumpió con impaciencia:
—¡Juez, amigo mío, no por encima de la bota!
Tengo un amigo en mente:
no se que tema es
Era un conocedor, aunque estricto en lo no verbal,
Pero el diablo lo lleva a juzgar la luz:
¡Pruébalo para juzgar las botas!
El famoso poema "Borodino" de Lermontov se divide en dos partes: una introducción dirigida al narrador y que ocupa solo una estrofa ("Dime, tío, no es sin razón ..."), y la parte principal, que representa un todo independiente, que se divide en dos partes equivalentes. En el primero de ellos, la expectativa de la batalla se describe con una tensión creciente, en el segundo, la batalla misma con una disminución gradual de la tensión hacia el final del poema. El límite entre estas partes es el clímax de la obra y cae exactamente en el punto de dividirlo por la sección áurea. parte principal El poema consta de 13 siete versos, es decir, 91 versos. Dividiéndolo por la proporción áurea (91:1.618 = 56.238), nos aseguramos que el punto de división está al principio del verso 57, donde hay una frase corta: "¡Bueno, fue un día!". Es esta frase la que representa el "punto culminante de la expectación excitada", que completa la primera parte del poema (expectativa de la batalla) y abre su segunda parte (la descripción de la batalla). Así, la proporción áurea juega un papel muy significativo en la poesía, destacando el clímax del poema. Poesía de Shota Rustaveli Muchos investigadores del poema de Shota Rustaveli "El caballero con piel de pantera" notan la excepcional armonía y melodía de su verso. Estas propiedades del poema del académico científico georgiano G.V. Tsereteli lo atribuye al uso consciente de la proporción áurea por parte de la poeta tanto en la formación de la forma del poema como en la construcción de sus poemas. El poema de Rustaveli consta de 1587 estrofas, cada una de las cuales consta de cuatro versos. Cada verso consta de 16 sílabas y se divide en dos partes iguales de 8 sílabas en cada medio verso. Todas las medias líneas se dividen en dos segmentos de dos tipos: A - una media línea con segmentos iguales y un número par de sílabas (4 + 4); B - una media línea con una división asimétrica en dos partes desiguales (5 + 3 o 3 + 5). Así, en la media línea B, las proporciones son 3:5:8, que es una aproximación a la proporción áurea.
Se ha establecido que de las 1587 estrofas del poema de Rustaveli, más de la mitad (863) están construidas según el principio de la sección áurea. Nacido en nuestro tiempo el nuevo tipo arte - cine, que absorbió la dramaturgia de la acción, la pintura, la música. Es legítimo buscar manifestaciones de la sección áurea en obras destacadas de la cinematografía. El primero en hacer esto fue el creador de la obra maestra del cine mundial "El acorazado Potemkin", el director de cine Sergei Eisenstein. En la construcción de esta imagen, logró encarnar el principio básico de la armonía: la proporción áurea. Como señala el propio Eisenstein, la bandera roja en el mástil del acorazado rebelde (el punto de apogeo de la película) ondea en el punto de la proporción áurea, contada desde el final de la película. PROPORCIÓN ÁUREA EN FUENTES Y ARTÍCULOS DEL HOGAR Un tipo especial de bellas artes de la antigua Grecia hay que destacar la fabricación y pintura de todo tipo de vasijas. De forma elegante, las proporciones de la sección áurea se adivinan fácilmente.
En la pintura y escultura de templos, en artículos para el hogar, los antiguos egipcios representaban con mayor frecuencia dioses y faraones. Se establecieron los cánones de la imagen de una persona de pie caminando, sentada, etc. Los artistas debían memorizar formas individuales y esquemas de imágenes de tablas y muestras. Los artistas griegos antiguos hicieron viajes especiales a Egipto para aprender a usar el canon. PARÁMETROS FÍSICOS ÓPTIMOS DEL MEDIO AMBIENTE EXTERNO Volumen de sonido.
Se sabe que el volumen máximo de sonido que causa dolor es de 130 decibelios.
Si dividimos este intervalo por la proporción áurea de 1,618, obtenemos 80 decibeles, que son típicos del volumen de un grito humano.
Si ahora dividimos 80 decibelios por la proporción áurea, obtenemos 50 decibelios, que corresponde al volumen del habla humana.
Finalmente, si dividimos 50 decibelios por el cuadrado de la proporción áurea de 2,618, obtenemos 20 decibelios, lo que corresponde a un susurro humano.
Así, todos los parámetros característicos del volumen del sonido están interconectados a través de la proporción áurea.
Humedad del aire. A una temperatura de 18-20®, el rango de humedad de 40-60% se considera óptimo.
Los límites del rango de humedad óptimo se pueden obtener si la humedad absoluta del 100 % se divide dos veces por la proporción áurea: 100 / 2,618 = 38,2 % (límite inferior); 100/1.618 = 61,8% (límite superior).
Presión del aire. A una presión de aire de 0,5 MPa, una persona experimenta sensaciones desagradables, su actividad física y psicológica empeora. A una presión de 0,3 - 0,35 MPa, solo se permite un funcionamiento a corto plazo, y a una presión de 0,2 MPa, se permite que funcione durante no más de 8 minutos.
Todos estos parámetros característicos están interconectados por la proporción áurea: 0,5 / 1,618 = 0,31 MPa; 0,5 / 2,618 = 0,19 MPa.
Temperatura del aire exterior. Los parámetros límite de la temperatura del aire exterior, dentro de los cuales es posible la existencia normal (y, lo que es más importante, el origen) de una persona, es el rango de temperatura de 0 a + (57-58) ® С. Obviamente, no hay necesidad de dar explicaciones sobre el primer límite.
Dividimos el rango indicado de temperaturas positivas por la proporción áurea. Esto nos da dos límites:
Ambos límites son temperaturas características del cuerpo humano: el primero corresponde a la temperatura El segundo límite corresponde a la máxima temperatura exterior posible para el cuerpo humano.SECCIÓN DORADA EN LA PINTURA
Allá por el Renacimiento, los artistas descubrieron que cualquier cuadro tiene ciertos puntos que involuntariamente atraen nuestra atención, los llamados centros visuales. En este caso, no importa qué formato tenga la imagen: horizontal o vertical. Solo hay cuatro de esos puntos, y están ubicados a una distancia de 3/8 y 5/8 de los bordes correspondientes del plano.
Este descubrimiento entre los artistas de esa época se denominó la "sección dorada" de la imagen. Volviendo a los ejemplos de la "sección dorada" en la pintura, uno no puede sino detener la atención en el trabajo de Leonardo da Vinci. Su identidad es uno de los misterios de la historia. El propio Leonardo da Vinci dijo: "Que nadie que no sea matemático se atreva a leer mis obras".
Ganó fama como un artista insuperable, un gran científico, un genio que anticipó muchos inventos que no se implementaron hasta el siglo XX.
No hay duda de que Leonardo da Vinci fue un gran artista, esto ya fue reconocido por sus contemporáneos, pero su personalidad y actividades permanecerán envueltas en un misterio, ya que dejó a la posteridad no una presentación coherente de sus ideas, sino solo numerosos bocetos manuscritos. , notas que dicen "tanto todos en el mundo".
Escribía de derecha a izquierda con letra ilegible y con la mano izquierda. Este es el ejemplo más famoso de escritura en espejo que existe.
El retrato de Monna Lisa (La Gioconda) lleva muchos años llamando la atención de los investigadores, quienes descubrieron que la composición del dibujo se basa en triángulos dorados que forman parte de un pentágono regular de estrellas. Hay muchas versiones sobre la historia de este retrato. Aqui esta uno de ellos.
Una vez, Leonardo da Vinci recibió una orden del banquero Francesco de le Giocondo para pintar un retrato de una mujer joven, la esposa del banquero, Monna Lisa. La mujer no era hermosa, pero le atraía la sencillez y naturalidad de su apariencia. Leonardo accedió a pintar un retrato. Su modelo estaba triste y triste, pero Leonardo le contó un cuento de hadas, después de escucharlo, se volvió viva e interesante.
HISTORIA
Érase una vez un hombre pobre, tenía cuatro hijos: tres inteligentes, y uno de ellos de esta manera y de aquello. Y entonces vino la muerte para el padre. Antes de partir con su vida, llamó a sus hijos y les dijo: "Hijos míos, pronto moriré. Tan pronto como me entierren, cierren la cabaña y vayan a los confines del mundo para hacer su propia felicidad". Que cada uno de ustedes aprenda algo, para poder alimentarse a sí mismo". El padre murió y los hijos se dispersaron por el mundo, acordando regresar al claro de su bosque natal tres años después. Vino el primer hermano, que aprendió carpintería, cortó un árbol y lo cortó, hizo de él una mujer, caminó un poco y espera. El segundo hermano volvió, vio a una mujer de madera y, como él era sastre, en un minuto la vistió: como un hábil artesano, cosió hermosas ropas de seda para ella. El tercer hijo adornó a la mujer con oro y piedras preciosas; después de todo, él era joyero. Finalmente, llegó el cuarto hermano. No sabía carpintería ni costura, sólo sabía escuchar lo que decían la tierra, los árboles, las hierbas, los animales y los pájaros, conocía el curso de los cuerpos celestes y también sabía cantar canciones maravillosas. Cantó una canción que hizo llorar a los hermanos escondidos detrás de los arbustos. Con esta canción revivió a la mujer, ella sonrió y suspiró. Los hermanos corrieron hacia ella y cada uno gritó lo mismo: "Tú debes ser mi esposa". Pero la mujer respondió: “Tú me creaste, sé mi padre, me vestiste y me decoraste, sé mis hermanos.
Y a ti que me insuflaste el alma y me enseñaste a disfrutar de la vida, te necesito solo para la vida".
Habiendo terminado la historia, Leonardo miró a Monna Lisa, su rostro se iluminó con luz, sus ojos brillaron. Entonces, como si despertara de un sueño, suspiró, se pasó la mano por la cara y sin decir palabra fue a su sitio, juntó las manos y asumió su postura habitual. Pero el hecho estaba hecho: el artista despertó a la estatua indiferente; la sonrisa de dicha, desapareciendo lentamente de su rostro, permaneció en las comisuras de su boca y tembló, dándole a su rostro una expresión asombrosa, misteriosa y ligeramente astuta, como la de una persona que ha descubierto un secreto y, guardándolo con cuidado, no puede frenar su triunfo. Leonardo trabajaba en silencio, temeroso de perderse este momento, ese rayo de sol que iluminaba su aburrido modelo...
Es difícil notar lo que se notó en esta obra maestra del arte, pero todos hablaron sobre el profundo conocimiento de Leonardo sobre la estructura del cuerpo humano, gracias al cual logró captar esta, por así decirlo, misteriosa sonrisa. Hablaron sobre la expresividad de las partes individuales de la imagen y sobre el paisaje, un compañero inédito del retrato. Hablaron de la naturalidad de la expresión, la sencillez de la pose, la belleza de las manos. El artista ha hecho algo sin precedentes: la imagen representa el aire, envuelve la figura con una neblina transparente. A pesar del éxito, Leonardo estaba triste, la situación en Florencia parecía dolorosa para el artista, se preparó para irse. Los recordatorios de las órdenes de inundación no lo ayudaron.
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La sección dorada en la pintura de I. I. Shishkin "Pine Grove" En esta famosa pintura de I. I. Shishkin, los motivos de la sección dorada son claramente visibles. El pino brillantemente iluminado (de pie en primer plano) divide la longitud de la imagen según la proporción áurea. A la derecha del pino hay un montículo iluminado por el sol. Divide el lado derecho de la imagen horizontalmente según la proporción áurea. A la izquierda del pino principal hay muchos pinos; si lo desea, puede continuar dividiendo la imagen con éxito de acuerdo con la sección dorada y más. |
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La presencia en el cuadro de verticales y horizontales brillantes, dividiéndolo en relación con la sección áurea, le da el carácter de equilibrio y tranquilidad, de acuerdo con la intención del artista. Cuando la intención del artista es diferente, si, por ejemplo, crea una imagen con una acción que se desarrolla rápidamente, tal esquema geométrico de composición (con predominio de verticales y horizontales) se vuelve inaceptable.
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 V. I. Surikov. Boyar Morozova. Su papel es asignado parte media pinturas Está limitado por el punto de mayor elevación y el punto de menor caída de la trama de la imagen. 1) Esta es la ascensión de la mano de Morozova con la señal de la cruz con dos dedos como punto más alto. 2) Esta es una mano extendida impotente a la misma mujer noble, pero esta vez es la mano de una anciana, una pobre vagabunda, una mano debajo de la cual, junto con la última esperanza de salvación, se desliza el final del trineo. . ¿Y el "punto más alto"? A primera vista, tenemos una aparente contradicción: después de todo, la sección A1B1, que es 0,618... desde el borde derecho de la imagen, no pasa por la mano, ni siquiera por la cabeza o el ojo de la mujer noble, pero ¡Está en algún lugar frente a la boca de la mujer noble! |
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| El retrato de Mona Lisa atrae por el hecho de que la composición de la imagen se basa en "triángulos dorados" (más precisamente, en triángulos que son piezas de un pentágono regular en forma de estrella). | |
No hay pintura más poética que la pintura de Sandro Botticelli, y el gran Sandro no tiene pintura más famosa que su "Venus". Para Botticelli, su Venus es la encarnación de la idea de la armonía universal de la "sección dorada" que prevalece en la naturaleza.
 El análisis proporcional de Venus nos convence de esto.  Rafael "Escuela de Atenas" Raphael no era matemático, pero, como muchos artistas de esa época, tenía un conocimiento considerable de la geometría. En el famoso fresco "La escuela de Atenas", donde se celebra la sociedad de los grandes filósofos de la antigüedad en el templo de la ciencia, nos llama la atención el grupo de Euclides, el mayor matemático griego antiguo, que analiza un dibujo complejo. La ingeniosa combinación de dos triángulos también se construye de acuerdo con la proporción áurea: se puede inscribir en un rectángulo con una relación de aspecto de 5/8. Este dibujo es sorprendentemente fácil de insertar en la sección superior de la arquitectura. La esquina superior del triángulo descansa contra la clave del arco en el área más cercana al espectador, la inferior, en el punto de fuga de las perspectivas, y la sección lateral indica las proporciones de la brecha espacial entre las dos partes de los arcos. . Espiral dorada en la "Masacre de los inocentes" de Rafael |
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A diferencia de la sección dorada, la sensación de dinámica, emoción, es quizás más pronunciada en otra figura geométrica simple: la espiral. La composición de múltiples figuras, realizada en 1509 - 1510 por Rafael, cuando el famoso pintor creó sus frescos en el Vaticano, se distingue solo por el dinamismo y el dramatismo de la trama. Rafael nunca llevó a cabo su idea, sin embargo, su boceto fue grabado por un artista gráfico italiano desconocido, Marcantinio Raimondi, quien, basado en este boceto, creó el grabado Masacre de los Inocentes.
Si, en el boceto preparatorio de Rafael, uno dibuja mentalmente líneas que van desde el centro semántico de la composición -el punto donde los dedos del guerrero se cerraron alrededor del tobillo del niño- a lo largo de las figuras de un niño, una mujer aferrándose a él, un guerrero con un espada levantada, y luego a lo largo de las figuras del mismo grupo en las partes derechas del boceto (en la figura, estas líneas están dibujadas en rojo), y luego conecta estas piezas de la curva con una línea punteada, luego se dibuja una espiral dorada obtenidos con una precisión muy alta. Esto se puede verificar midiendo la relación de las longitudes de los segmentos cortados por la espiral en las líneas rectas que pasan por el comienzo de la curva.
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PROPORCIÓN ÁUREA Y PERCEPCIÓN DE IMAGEN
Hace tiempo que se conoce la capacidad del analizador visual humano para distinguir objetos construidos según el algoritmo de la sección áurea como bellos, atractivos y armoniosos. La proporción áurea da la sensación del todo unificado más perfecto. El formato de muchos libros sigue la proporción áurea. Se elige para vidrieras, cuadros y sobres, sellos, tarjetas de visita. Una persona puede no saber nada sobre el número Ф, pero en la estructura de los objetos, así como en la secuencia de eventos, inconscientemente encuentra elementos de la proporción áurea.
Se han realizado estudios en los que se pidió a los sujetos que seleccionaran y copiaran rectángulos de varias proporciones. Había tres rectángulos para elegir: un cuadrado (40:40 mm), un rectángulo de "sección dorada" con una relación de aspecto de 1:1,62 (31:50 mm) y un rectángulo con proporciones alargadas de 1:2,31 (26: 60 mm).
 Al elegir rectángulos en el estado normal, en 1/2 casos se da preferencia a un cuadrado. El hemisferio derecho prefiere la proporción áurea y rechaza el rectángulo alargado. Por el contrario, el hemisferio izquierdo gravita hacia las proporciones alargadas y rechaza la proporción áurea. Al copiar estos rectángulos, se observó lo siguiente. Cuando el hemisferio derecho estaba activo, las proporciones en las copias se mantuvieron con mayor precisión. Cuando el hemisferio izquierdo estaba activo, las proporciones de todos los rectángulos se distorsionaron, los rectángulos se estiraron (se dibujó un cuadrado como un rectángulo con una relación de aspecto de 1:1,2; las proporciones del rectángulo estirado aumentaron bruscamente y alcanzaron 1:2,8). ). Las proporciones más fuertemente distorsionadas del rectángulo "dorado"; sus proporciones en copias se convirtieron en las proporciones del rectángulo 1:2.08. Al dibujar sus propios dibujos, prevalecen las proporciones cercanas a la proporción áurea y alargadas. En promedio, las proporciones son 1:2, mientras que el hemisferio derecho prefiere las proporciones de la sección áurea, el hemisferio izquierdo se aleja de las proporciones de la sección áurea y estira el patrón. Ahora dibuja algunos rectángulos, mide sus lados y encuentra la relación de aspecto. ¿Qué hemisferio tienes? |
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Un ejemplo del uso de la proporción áurea en fotografía es la ubicación de los componentes clave del encuadre en puntos que se ubican a 3/8 y 5/8 de los bordes del encuadre. Esto se puede ilustrar con el siguiente ejemplo.
Aquí hay una foto de un gato, que se encuentra en un lugar arbitrario en el marco.
Ahora dividamos condicionalmente el marco en segmentos, en la proporción de 1.62 de la longitud total de cada lado del marco. En la intersección de los segmentos, estarán los principales "centros visuales" en los que vale la pena colocar los elementos clave necesarios de la imagen. Traslademos a nuestro gato a los puntos de "centros visuales". PROPORCIÓN ÁUREA Y ESPACIO Se sabe por la historia de la astronomía que I. Titius, un astrónomo alemán del siglo XVIII, utilizando esta serie, encontró regularidad y orden en las distancias entre los planetas del sistema solar.
Sin embargo, un caso que parecía ser contrario a la ley: no había ningún planeta entre Marte y Júpiter.La observación enfocada de esta parte del cielo condujo al descubrimiento del cinturón de asteroides. Esto sucedió después de la muerte de Titius en principios del XIX en. La serie de Fibonacci es ampliamente utilizada: con su ayuda, representan la arquitectura de los seres vivos, las estructuras hechas por el hombre y la estructura de las Galaxias. Estos hechos son prueba de la independencia. serie de números de las condiciones de su manifestación, que es uno de los signos de su universalidad.
Las dos Espirales Doradas de la galaxia son compatibles con la Estrella de David. Presta atención a las estrellas que emergen de la galaxia en una espiral blanca. Exactamente 180® de una de las espirales sale otra espiral que se despliega. ... Durante mucho tiempo, los astrónomos simplemente creyeron que todo lo que está allí es lo que vemos; si algo es visible, entonces existe. O no notaron la parte invisible de la Realidad en absoluto, o no la consideraron importante. Pero el lado invisible de nuestra Realidad es en realidad mucho más grande. lado visible y probablemente más importante. ... En otras palabras, la parte visible de la Realidad es mucho menos del uno por ciento del todo, casi nada. De hecho, nuestro verdadero hogar es el universo invisible... En el Universo, todas las galaxias conocidas por la humanidad y todos los cuerpos en ellas existen en forma de espiral, que corresponde a la fórmula de la sección áurea. En la espiral de nuestra galaxia se encuentra la proporción áurea
CONCLUSIÓN La naturaleza, entendida como el mundo entero en la variedad de sus formas, consta, por así decirlo, de dos partes: la naturaleza viva y la inanimada. Las creaciones de la naturaleza inanimada se caracterizan por una alta estabilidad, baja variabilidad, a juzgar por la escala de la vida humana. Una persona nace, vive, envejece, muere, pero las montañas de granito siguen siendo las mismas y los planetas giran alrededor del Sol de la misma manera que en la época de Pitágoras. El mundo de la vida silvestre se nos presenta de una manera completamente diferente: móvil, cambiante y sorprendentemente diversa. ¡La vida nos muestra un fantástico carnaval de diversidad y originalidad de combinaciones creativas! El mundo de la naturaleza inanimada es, ante todo, un mundo de simetría, que da estabilidad y belleza a sus creaciones. El mundo de la naturaleza es, ante todo, un mundo de armonía, en el que opera la "ley de la sección áurea". EN mundo moderno la ciencia esta ganando significado especial debido al creciente impacto del hombre sobre la naturaleza. Tareas importantes en la etapa actual son la búsqueda de nuevas formas de coexistencia del hombre y la naturaleza, el estudio de los problemas filosóficos, sociales, económicos, educativos y de otro tipo que enfrenta la sociedad. En este trabajo se analiza la influencia de las propiedades de la "sección áurea" sobre los seres vivos y no vivos. fauna silvestre, sobre el curso histórico del desarrollo de la historia de la humanidad y del planeta en su conjunto. Analizando todo lo anterior, uno puede una vez más maravillarse con la grandeza del proceso de cognición del mundo, el descubrimiento de sus patrones siempre nuevos y concluir: el principio de la sección áurea es la manifestación más alta de la estructura y funcional su perfección del todo y de sus partes en el arte, la ciencia, la tecnología y la naturaleza. Se puede esperar que las leyes del desarrollo varios sistemas naturaleza, las leyes de crecimiento no son muy diversas y se pueden rastrear en una variedad de formaciones. Esta es la manifestación de la unidad de la naturaleza. La idea de tal unidad, basada en la manifestación de los mismos patrones en fenómenos naturales heterogéneos, ha conservado su relevancia desde Pitágoras hasta nuestros días. s. 51
La proporción áurea es una manifestación universal de armonía estructural. Se encuentra en la naturaleza, la ciencia, el arte, en todo aquello con lo que una persona puede entrar en contacto. Una vez familiarizada con la regla de oro, la humanidad ya no la engañó.
Definición
La definición más amplia de la proporción áurea dice que la parte más pequeña está relacionada con la más grande, como la más grande lo está con el todo. Su valor aproximado es 1,6180339887. En un porcentaje redondeado, las proporciones de las partes del todo se correlacionarán como 62% por 38%. Esta relación opera en las formas de espacio y tiempo. Los antiguos vieron la sección áurea como un reflejo del orden cósmico, y Johannes Kepler la llamó uno de los tesoros de la geometría. La ciencia moderna considera la proporción áurea como "simetría asimétrica", llamándola en un sentido amplio una regla universal que refleja la estructura y el orden de nuestro orden mundial.
Historia
En general, se acepta que el concepto de la división áurea se introdujo en el uso científico Pitágoras, filósofo y matemático griego antiguo (siglo VI a. C.). Existe la suposición de que Pitágoras tomó prestado su conocimiento de la división áurea de los egipcios y babilonios. De hecho, las proporciones de la pirámide de Keops, los templos, los bajorrelieves, los artículos para el hogar y las decoraciones de la tumba de Tutankamón indican que los artesanos egipcios utilizaron las proporciones de la división áurea al crearlos. El arquitecto francés Le Corbusien descubrió que en el relieve del templo del faraón Seti I en Abydos y en el relieve que representa al faraón Ramsés, las proporciones de las figuras corresponden a los valores de la división áurea. El arquitecto Khesira, representado en el relieve de una tabla de madera de la tumba de su nombre, tiene instrumentos de medición en sus manos, en los que se fijan las proporciones de la división dorada.
Los griegos eran hábiles geómetras. Incluso la aritmética se enseñaba a sus hijos con la ayuda de figuras geométricas. El cuadrado de Pitágoras y la diagonal de este cuadrado fueron la base para construir rectángulos dinámicos.
Platón(427...347 aC) también conocía la división áurea. Su diálogo "Timeo" está dedicado a los puntos de vista matemáticos y estéticos de la escuela de Pitágoras y, en particular, a los problemas de la división áurea.
En la fachada del antiguo templo griego del Partenón hay proporciones doradas. Durante sus excavaciones se encontraron brújulas, que fueron utilizadas por arquitectos y escultores del mundo antiguo. La brújula pompeyana (Museo de Nápoles) también contiene las proporciones de la división áurea.
Arroz. Brújulas antiguas con proporción áurea
En la literatura antigua que nos ha llegado, la división áurea se menciona por primera vez en los "Principios". Euclides. En el segundo libro de los "Principios" se da la construcción geométrica de la división áurea. Después de Euclides, Hypsicles (siglo II aC), Pappus (siglo III dC) y otros estudiaron la división áurea. En la Europa medieval, se familiarizaron con la división áurea de las traducciones árabes de los "Principios" de Euclides. El traductor J. Campano de Navarra (siglo III) comenta la traducción. Los secretos de la división dorada fueron celosamente guardados, mantenidos en estricto secreto. Eran conocidos sólo por los iniciados.
También tenían la idea de las proporciones áureas en Rusia, pero por primera vez científicamente se explicaba la proporción áurea Monje Luca Pacioli en La Divina Proporción (1509), supuestamente ilustrada por Leonardo da Vinci. Pacioli vio la trinidad divina en la proporción áurea: el pequeño segmento personificaba al Hijo, el grande al Padre y el todo al Espíritu Santo. Según los contemporáneos e historiadores de la ciencia, Luca Pacioli fue una verdadera lumbrera, el matemático más grande de Italia entre Fibonacci y Galileo. Luca Pacioli fue alumno del artista Piero della Francesca, quien escribió dos libros, uno de los cuales se tituló Sobre la perspectiva en la pintura. Se le considera el creador de la geometría descriptiva.
Luca Pacioli era muy consciente de la importancia de la ciencia para el arte. En 1496, por invitación del duque Moreau, llegó a Milán, donde dio clases de matemáticas. Leonardo da Vinci también trabajó en la corte de Moro en Milán en ese momento.
El nombre del matemático italiano está directamente relacionado con la regla de la sección áurea. leonardo fibonacci. Como resultado de resolver uno de los problemas, el científico ideó una secuencia de números, ahora conocida como la serie de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. Kepler llamó la atención sobre la relación de esta sucesión con la proporción áurea: “Está dispuesta de tal manera que los dos términos inferiores de esta proporción infinita suman el tercer término, y dos últimos términos cualesquiera, si se suman, dan el término siguiente, y la misma proporción se mantiene indefinidamente". Ahora bien, la serie de Fibonacci es la base aritmética para calcular las proporciones de la sección áurea en todas sus manifestaciones.
leonardo da vinci también dedicó mucho tiempo a estudiar las características de la sección áurea, lo más probable es que el término en sí le pertenezca. Sus dibujos de un cuerpo estereométrico formado por pentágonos regulares prueban que cada uno de los rectángulos obtenidos por sección da la relación de aspecto en división áurea.
Con el tiempo, la regla de la sección de oro se ha convertido en una rutina académica, y solo un filósofo Adolf Zeising en 1855 le devolvió una segunda vida. Llevó las proporciones de la sección áurea al absoluto, haciéndolas universales para todos los fenómenos del mundo circundante. Sin embargo, su "esteticismo matemático" provocó muchas críticas.
Naturaleza
astrónomo del siglo XVI johannes kepler llamó a la proporción áurea uno de los tesoros de la geometría. Es el primero en llamar la atención sobre la importancia de la proporción áurea para la botánica (crecimiento y estructura de las plantas).
Kepler llamó a la proporción áurea autocontinua: “Está dispuesta de tal manera”, escribió, “que los dos términos menores de esta proporción infinita suman el tercer término, y dos últimos términos cualesquiera, si se suman, dan el siguiente término, y la misma proporción permanece hasta el infinito".
La construcción de una serie de segmentos de la proporción áurea se puede realizar tanto en sentido de aumento (serie creciente) como en sentido de disminución (serie descendente).
Si en una línea recta de longitud arbitraria, posponga el segmento metro, apartar un segmento METRO. En base a estos dos segmentos, construimos una escala de segmentos de la proporción áurea de las filas ascendentes y descendentes.
Arroz. Construcción de una escala de segmentos de la proporción áurea
Arroz. Achicoria
Incluso sin entrar en cálculos, la proporción áurea se puede encontrar fácilmente en la naturaleza. Entonces, la proporción de la cola y el cuerpo del lagarto, la distancia entre las hojas de la rama caen debajo de él, hay una sección dorada y en forma de huevo, si se dibuja una línea condicional a través de su parte más ancha.
Arroz. lagarto vivíparo
Arroz. huevo de ave
El científico bielorruso Eduard Soroko, que estudió las formas de las divisiones áureas en la naturaleza, señaló que todo lo que crece y se esfuerza por ocupar su lugar en el espacio está dotado de proporciones de la sección áurea. En su opinión, una de las formas más interesantes es la espiral.
Más Arquímedes, prestando atención a la espiral, derivó una ecuación basada en su forma, que todavía se usa en tecnología. Más tarde, Goethe notó la atracción de la naturaleza por las formas espirales, llamando espiral de la "curva de la vida". Los científicos modernos han descubierto que manifestaciones de formas espirales en la naturaleza como la concha de caracol, la disposición de las semillas de girasol, los patrones de telaraña, el movimiento de un huracán, la estructura del ADN e incluso la estructura de las galaxias, contienen la serie de Fibonacci.
Hombre
Los diseñadores de moda y los diseñadores de ropa hacen todos los cálculos en función de las proporciones de la sección dorada. El hombre es una forma universal para probar las leyes de la sección áurea. Por supuesto, por naturaleza, no todas las personas tienen proporciones ideales, lo que crea ciertas dificultades con la selección de ropa.
En el diario de Leonardo da Vinci hay un dibujo de un hombre desnudo inscrito en un círculo, en dos posiciones superpuestas. Basándose en los estudios del arquitecto romano Vitruvio, Leonardo también trató de establecer las proporciones del cuerpo humano. Posteriormente, el arquitecto francés Le Corbusier, utilizando el Hombre de Vitruvio de Leonardo, creó su propia escala de "proporciones armónicas", que influyó en la estética de la arquitectura del siglo XX. Adolf Zeising, explorando la proporcionalidad del hombre, hizo un trabajo tremendo. Midió unos dos mil cuerpos humanos, así como muchas estatuas antiguas, y dedujo que la proporción áurea expresa la ley media. En una persona, casi todas las partes del cuerpo están subordinadas a él, pero el indicador principal de la sección dorada es la división del cuerpo por el punto del ombligo.
Como resultado de las mediciones, el investigador descubrió que las proporciones del cuerpo masculino 13:8 están más cerca de la proporción áurea que las proporciones del cuerpo femenino: 8:5.
El arte de las formas espaciales
El artista Vasily Surikov dijo que "hay una ley inmutable en la composición, cuando no se puede quitar o agregar nada a la imagen, ni siquiera se puede poner un punto extra, esto es matemática real". Durante mucho tiempo, los artistas siguieron esta ley de manera intuitiva, pero después de Leonardo da Vinci, el proceso de creación de una pintura ya no está completo sin resolver problemas geométricos. Por ejemplo, Alberto Durero para determinar los puntos de la sección áurea, utilizó un compás proporcional inventado por él.
El crítico de arte F. V. Kovalev, después de haber estudiado en detalle la pintura de Nikolai Ge "Alexander Sergeevich Pushkin en el pueblo de Mikhailovsky", señala que cada detalle del lienzo, ya sea una chimenea, una estantería, un sillón o el propio poeta, es estrictamente inscrito en proporciones áureas. Los investigadores de la proporción áurea estudian y miden incansablemente las obras maestras de la arquitectura, afirmando que se han convertido en tales porque fueron creadas de acuerdo con los cánones áureos: su lista incluye las Grandes Pirámides de Giza, la Catedral de Notre Dame, la Catedral de San Basilio, el Partenón .
Y hoy, en cualquier arte de formas espaciales, intentan seguir las proporciones de la sección áurea, ya que, según los historiadores del arte, facilitan la percepción de la obra y forman una sensación estética en el espectador.
Goethe, poeta, naturalista y artista (dibujaba y pintaba con acuarela), soñaba con crear una doctrina unificada de la forma, formación y transformación de los cuerpos orgánicos. Fue él quien acuñó el término morfología.
Pierre Curie a principios de nuestro siglo formuló una serie de ideas profundas sobre la simetría. Argumentó que no se puede considerar la simetría de ningún cuerpo sin tener en cuenta la simetría del entorno.
Los patrones de simetría "dorada" se manifiestan en las transiciones de energía de las partículas elementales, en la estructura de algunos compuestos químicos, en los sistemas planetarios y espaciales, en las estructuras genéticas de los organismos vivos. Estos patrones, como se indicó anteriormente, se encuentran en la estructura de los órganos humanos individuales y del cuerpo como un todo, y también se manifiestan en los biorritmos y el funcionamiento del cerebro y la percepción visual.
Proporción áurea y simetría
La proporción áurea no puede considerarse en sí misma, por separado, sin conexión con la simetría. El gran cristalógrafo ruso G.V. Wulff (1863...1925) consideró la proporción áurea como una de las manifestaciones de la simetría.
La división áurea no es una manifestación de asimetría, algo opuesto a la simetría. Según los conceptos modernos, la división áurea es una simetría asimétrica. La ciencia de la simetría incluye conceptos tales como estático y simetría dinámica. La simetría estática caracteriza el descanso, el equilibrio y la simetría dinámica caracteriza el movimiento, el crecimiento. Entonces, en la naturaleza, la simetría estática está representada por la estructura de los cristales, y en el arte caracteriza la paz, el equilibrio y la inmovilidad. La simetría dinámica expresa actividad, caracteriza movimiento, desarrollo, ritmo, es evidencia de vida. La simetría estática se caracteriza por segmentos iguales, magnitudes iguales. La simetría dinámica se caracteriza por un aumento de segmentos o su disminución, y se expresa en los valores de la sección áurea de una serie creciente o decreciente.
Palabra, sonido y cine
Las formas del arte temporal nos demuestran a su manera el principio de la división áurea. Los críticos literarios, por ejemplo, notaron que el número de líneas más popular en los poemas del último período de la obra de Pushkin corresponde a la serie de Fibonacci: 5, 8, 13, 21, 34.
La regla de la sección áurea también se aplica en obras individuales del clásico ruso. Entonces, el clímax de La dama de picas es la escena dramática de Herman y la condesa, que termina con la muerte de esta última. Hay 853 líneas en la historia, y el clímax cae en la línea 535 (853:535=1.6) - este es el punto de la proporción áurea.
El musicólogo soviético E. K. Rozenov destaca la asombrosa precisión de las proporciones de la sección áurea en las formas estrictas y libres de las obras de Johann Sebastian Bach, lo que corresponde al estilo reflexivo, concentrado y técnicamente verificado del maestro. Esto también es cierto para las obras destacadas de otros compositores, donde el punto de la proporción áurea suele dar cuenta de la solución musical más llamativa o inesperada.
El director de cine Sergei Eisenstein coordinó deliberadamente el guión de su película "El acorazado Potemkin" con la regla de la sección áurea, dividiendo la cinta en cinco partes. En las tres primeras secciones, la acción tiene lugar en un barco, y en las dos últimas, en Odessa. La transición a las escenas de la ciudad es el medio dorado de la película.
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