De vuelta atras
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Con los conceptos del máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM), los estudiantes de secundaria se encuentran en el sexto grado. Este tema siempre es difícil de dominar. Los niños a menudo confunden estos conceptos, no entienden por qué necesitan ser estudiados. EN tiempos recientes y en la literatura científica popular hay declaraciones separadas de que este material debe excluirse del plan de estudios escolar. Creo que esto no es del todo cierto, y es necesario estudiarlo, si no en el aula, en el tiempo extracurricular en el aula del componente escolar, ya que esto contribuye al desarrollo del pensamiento lógico de los escolares, aumentando la la velocidad de las operaciones computacionales y la capacidad de resolver problemas utilizando métodos hermosos.
Al estudiar el tema "Suma y resta de fracciones con diferentes denominadores"Enseñamos a los niños a encontrar un denominador común de dos o más números. Por ejemplo, necesitas sumar las fracciones 1/3 y 1/5. Los estudiantes pueden encontrar fácilmente un número que es divisible sin resto por 3 y 5. Esto número es 15. De hecho, si los números son pequeños, entonces su común denominador es fácil de encontrar, conociendo bien la tabla de multiplicar. Algunos de los chicos notan que este número es el producto de los números 3 y 5. Los niños tienen la opinión que siempre puedes encontrar un denominador común para los números de esta manera. Por ejemplo, restamos las fracciones 7/18 y 5/24. Halla el producto de los números 18 y 24. Es igual a 432. Ya hemos recibido Número grande, y si necesita realizar más cálculos (especialmente para ejemplos de todas las acciones), la probabilidad de error aumenta. Pero el mínimo común múltiplo de números (LCM), que en este caso es equivalente al mínimo común denominador (LCD), el número 72, facilitará en gran medida los cálculos y conducirá a una solución más rápida del ejemplo y, por lo tanto, ahorrará tiempo. asignado para completar esta tarea, que juega un papel importante en el desempeño de la prueba final, obras de control especialmente durante la evaluación final.
Al estudiar el tema "Reducción de fracciones", puedes avanzar dividiendo sucesivamente el numerador y el denominador de la fracción por el mismo número natural, utilizando los signos de divisibilidad de los números, obteniendo finalmente una fracción irreducible. Por ejemplo, necesitas reducir la fracción 128/344. Primero dividimos el numerador y el denominador de la fracción por el número 2, obtenemos la fracción 64/172. Una vez más, dividimos el numerador y el denominador de la fracción resultante por 2, obtenemos la fracción 32/86. Divida una vez más el numerador y el denominador de la fracción por 2, obtenemos la fracción irreducible 16/43. Pero la reducción de fracciones se puede hacer mucho más fácil si encontramos el máximo común divisor de los números 128 y 344. MCD (128, 344) = 8. Dividiendo el numerador y el denominador de la fracción por este número, obtenemos inmediatamente una fracción irreducible.
Tengo que mostrar a los niños diferentes caminos encontrar el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de números. En casos simples, es conveniente encontrar el mayor común divisor(mcd) y mínimo común múltiplo (mcm) de números por enumeración simple. Cuando los números aumentan, puede usar la descomposición de números en factores primos. El libro de texto de sexto grado (autor N.Ya. Vilenkin) muestra el siguiente método para encontrar el máximo común divisor (MCD) de números. Descompongamos los números en factores primos:
- 16 = 2*2*2*2
- 120 = 2*2*2*3*5
Luego, de los factores incluidos en la expansión de uno de estos números, tachamos los que no están incluidos en la expansión del otro número. El producto de los factores restantes será el máximo común divisor de estos números. En este caso, este número es 8. Por mi propia experiencia, estaba convencido de que es más comprensible para los niños si subrayamos los mismos factores en las expansiones de números, y luego en una de las expansiones encontramos el producto de los subrayados factores Este es el máximo común divisor de estos números. En sexto grado, los niños son activos e inquisitivos. Puede asignarles la siguiente tarea: intente encontrar el máximo común divisor de los números 343 y 287 de la manera descrita No está claro de inmediato cómo factorizarlos en factores primos. Y aquí puedes contarles sobre el maravilloso método inventado por los antiguos griegos, que permite buscar el máximo común divisor (MCD) sin descomponerse en factores primos. Este método para encontrar el máximo común divisor se describió por primera vez en los Elementos de Euclides. Se llama el algoritmo de Euclides. Consiste en lo siguiente: Primero, dividir el número mayor por el menor. Si hay un resto, entonces divide el número más pequeño por el resto. Si el resto se obtiene de nuevo, entonces divida el primer resto por el segundo. Así que sigue dividiendo hasta que el resto sea cero. El último divisor es el máximo común divisor (MCD) de estos números.
Volvamos a nuestro ejemplo y, para mayor claridad, escribamos la solución en forma de tabla.
| Dividendo | Divisor | Privado | Recordatorio |
| 343 | 287 | 1 | 56 |
| 287 | 56 | 5 | 7 |
| 56 | 7 | 8 | 0 |
Entonces mcd(344,287) = 7
¿Y cómo encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de los mismos números? ¿Hay alguna forma de hacerlo que no requiera una descomposición preliminar de estos números en factores primos? Resulta que sí, y uno muy simple. Necesitamos multiplicar estos números y dividir el producto por el máximo común divisor (MCD) que encontramos. EN este ejemplo el producto de los números es 98441. Divídalo por 7 y obtenga el número 14063. MCM(343,287) = 14063.
Uno de los temas difíciles en matemáticas es la solución de problemas verbales. Necesitamos mostrar a los estudiantes cómo usar los conceptos de "máximo común divisor (MCD)" y "mínimo común múltiplo (MCM)" para resolver problemas que a veces son difíciles de resolver de la manera habitual. Aquí es apropiado considerar con los estudiantes, junto con las tareas propuestas por los autores del libro de texto escolar, antiguo y tareas entretenidas, desarrollando la curiosidad de los niños y aumentando el interés por el estudio de este tema. La posesión hábil de estos conceptos permite a los estudiantes ver una hermosa solución a un problema no estándar. Y si el estado de ánimo del niño aumenta después de resolver un buen problema, esto es una señal de un trabajo exitoso.
Por lo tanto, el estudio en la escuela de conceptos tales como "máximo común divisor (MCD)" y "mínimo común múltiplo (LCD)" de números
Le permite ahorrar tiempo asignado para la ejecución del trabajo, lo que conduce a un aumento significativo en el volumen de tareas completadas;
Aumenta la velocidad y la precisión de realizar operaciones aritméticas, lo que conduce a una reducción significativa en la cantidad de errores computacionales permitidos;
Te permite encontrar maneras hermosas resolver problemas de texto no estándar;
Desarrolla la curiosidad de los estudiantes, amplía sus horizontes;
Crea los requisitos previos para la educación de una personalidad creativa versátil.
Empecemos a estudiar el mínimo común múltiplo de dos o más números. En la sección, daremos una definición del término, consideraremos un teorema que establece una relación entre el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor, y daremos ejemplos de cómo resolver problemas.
Múltiplos comunes - definición, ejemplos
En este tema, solo nos interesarán los múltiplos comunes de números enteros distintos de cero.
Definición 1
múltiplo común de números enteros es un entero que es un múltiplo de todos los números dados. De hecho, es cualquier número entero que se puede dividir por cualquiera de los números dados.
La definición de múltiplos comunes se refiere a dos, tres o más números enteros.
Ejemplo 1
De acuerdo con la definición dada anteriormente para el número 12, los múltiplos comunes son 3 y 2. También el número 12 será múltiplo común de los números 2 , 3 y 4 . Los números 12 y -12 son múltiplos comunes de los números ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.
A su vez, el común múltiplo de los números 2 y 3 serán los números 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 y cualquier otro número.
Si tomamos números que son divisibles por el primer número de un par y no divisibles por el segundo, entonces esos números no serán múltiplos comunes. Entonces, para los números 2 y 3, los números 16, − 27, 5009, 27001 no serán múltiplos comunes.
0 es un múltiplo común de cualquier conjunto de enteros distintos de cero.
Si recordamos la propiedad de divisibilidad con respecto a números opuestos, entonces resulta que algún entero k será un múltiplo común de estos números de la misma forma que el número -k . Esto significa que los divisores comunes pueden ser positivos o negativos.
¿Es posible encontrar un MCM para todos los números?
El múltiplo común se puede encontrar para cualquier número entero.
Ejemplo 2
Supongamos que nos dan k enteros un 1 , un 2 , ... , un k. El número que obtenemos durante la multiplicación de números. un 1 un 2 … un k de acuerdo a la propiedad de divisibilidad, se dividirá por cada uno de los factores que se incluyeron en el producto original. Esto significa que el producto de números un 1 , un 2 , ... , un k es el mínimo común múltiplo de estos números.
¿Cuántos múltiplos comunes pueden tener estos números enteros?
Un grupo de enteros puede tener un gran número de múltiplos comunes. De hecho, su número es infinito.
Ejemplo 3
Supongamos que tenemos algún número k . Entonces el producto de los números k · z , donde z es un número entero, será un múltiplo común de los números k y z . Dado que el número de números es infinito, entonces el número de múltiplos comunes es infinito.
Mínimo Común Múltiplo (MCM) - Definición, Símbolo y Ejemplos
Recordemos el concepto el número más pequeño de un conjunto dado de números, que consideramos en la sección Comparación de enteros. Con este concepto en mente, formulamos la definición del mínimo común múltiplo, que tiene el mayor significado práctico entre todos los múltiplos comunes.
Definición 2
Mínimo común múltiplo de números enteros dados es el mínimo común múltiplo positivo de estos números.
El mínimo común múltiplo existe para cualquier número dado de números. La abreviatura NOK es la más utilizada para designar un concepto en la literatura de referencia. Taquigrafía para el mínimo común múltiplo de números un 1 , un 2 , ... , un k se verá como LCM (un 1 , un 2 , ... , un k).
Ejemplo 4
El mínimo común múltiplo de 6 y 7 es 42. Aquellas. MCM(6, 7) = 42. El mínimo común múltiplo de cuatro números - 2 , 12 , 15 y 3 será igual a 60 . La taquigrafía será MCM (- 2 , 12 , 15 , 3 ) = 60 .
No para todos los grupos de números dados, el mínimo común múltiplo es obvio. A menudo hay que calcularlo.
Relación entre NOC y NOD
El mínimo común múltiplo y el máximo común divisor están relacionados. La relación entre conceptos se establece mediante el teorema.
Teorema 1
El mínimo común múltiplo de dos enteros positivos a y b es igual al producto de los números a y b dividido por el máximo común divisor de los números a y b , es decir, MCM (a , b) = a b: MCD (a , b) .
Prueba 1
Supongamos que tenemos un número M que es un múltiplo de los números a y b. Si el número M es divisible por a, también existe algún número entero z , bajo el cual la igualdad METRO = un k. Según la definición de divisibilidad, si M también es divisible por b, por lo que entonces un k dividido por b.
Si introducimos una nueva notación para mcd (a , b) como d, entonces podemos usar las igualdades un = un 1 re y segundo = segundo 1 · re . En este caso, ambas igualdades serán números coprimos.
Ya hemos establecido anteriormente que un k dividido por b. Ahora bien, esta condición se puede escribir de la siguiente manera:
un 1 re k dividido por segundo 1 re, que es equivalente a la condición un 1k dividido por segundo 1 según las propiedades de divisibilidad.
De acuerdo con la propiedad de los números primos relativos, si un 1 y segundo 1- mutuamente números primos, un 1 no divisible por segundo 1 a pesar de que un 1k dividido por segundo 1, entonces segundo 1 debería compartir k.
En este caso, sería apropiado suponer que hay un número t, para cual k = segundo 1 t, y desde b1=b:d, entonces k = segundo: re t.
Ahora en lugar de k poner en igualdad METRO = un k expresión de la forma b: dt. Esto nos permite llegar a la igualdad. METRO = un segundo: re t. En t=1 podemos obtener el mínimo común múltiplo positivo de a y b , igual una b: re, siempre que los números a y b positivo.
Entonces hemos probado que MCM (a , b) = a b: MCD (a,b).
Establecer una conexión entre MCM y MCD le permite encontrar el mínimo común múltiplo a través del máximo común divisor de dos o más números dados.
Definición 3
El teorema tiene dos consecuencias importantes:
- los múltiplos del mínimo común múltiplo de dos números son iguales a los múltiplos comunes de esos dos números;
- el mínimo común múltiplo de los números coprimos positivos a y b es igual a su producto.
No es difícil fundamentar estos dos hechos. Cualquier múltiplo común M de números a y b se define por la igualdad M = MCM (a, b) t para algún valor entero t. Dado que a y b son coprimos, entonces mcd (a, b) = 1, por lo tanto, MCM (a, b) = a b: mcd (a, b) = a b: 1 = a b.
Mínimo común múltiplo de tres o más números
Para encontrar el mínimo común múltiplo de varios números, necesitas encontrar secuencialmente el MCM de dos números.
Teorema 2
pretendamos que un 1 , un 2 , ... , un k son algunos enteros números positivos. Para calcular el MCM m k estos números, necesitamos calcular secuencialmente m2 = mcm(un 1 , un 2 ) , m 3 = CON(m 2 , un 3) , … , m k = CON(m k - 1 , ak) .
Prueba 2
El primer corolario del primer teorema considerado en este tema nos ayudará a probar la corrección del segundo teorema. El razonamiento se construye de acuerdo con el siguiente algoritmo:
- múltiplos comunes de números un 1 y un 2 coinciden con múltiplos de su MCM, de hecho, coinciden con múltiplos del número m2;
- múltiplos comunes de números un 1, un 2 y un 3 m2 y un 3 metro 3;
- múltiplos comunes de números un 1 , un 2 , ... , un k coincidir con múltiplos comunes de números m k - 1 y un k, por lo tanto, coinciden con múltiplos del número m k;
- debido al hecho de que el múltiplo positivo más pequeño del número m k es el numero en si m k, entonces el mínimo común múltiplo de los números un 1 , un 2 , ... , un k es un m k.
Así que hemos probado el teorema.
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Encontrar el Mínimo Común Múltiplo (LCM) y el Máximo Común Divisor (GCD) números naturales.2 |
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60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Escribimos los factores incluidos en la expansión del primero de estos números y les sumamos el factor 5 que falta de la expansión del segundo número. Obtenemos: 2*2*3*5*5=300. NOC encontrado, es decir esta suma = 300. No olvides la dimensión y escribe la respuesta:
Respuesta: Mamá da 300 rublos cada uno.
Definición de DCG: Máximo Común Divisor (MCD) números naturales un y en nombre el numero natural mas grande C, a la cual y un, y b dividido sin resto. Aquellas. C es el número natural más pequeño para el cual y un y b son múltiplos.
Recordatorio: Hay dos enfoques para la definición de números naturales.
- números utilizados en: enumeración (numeración) de elementos (primero, segundo, tercero, ...); - en las escuelas, generalmente.
- indicando el número de elementos (sin pokemon - cero, un pokemon, dos pokemon, ...).
Los números negativos y no enteros (racionales, reales,...) no son naturales. Algunos autores incluyen el cero en el conjunto de los números naturales, otros no. El conjunto de todos los números naturales se suele denotar con el símbolo norte
Recordatorio: divisor de un numero natural un llamar al número b, a la que un dividido sin resto. Múltiplo de número natural b llamado número natural un, que se divide por b sin rastro. si el numero b- divisor de números un, entonces un múltiplo de b. Ejemplo: 2 es divisor de 4 y 4 es múltiplo de 2. 3 es divisor de 12 y 12 es múltiplo de 3.
Recordatorio: Los números naturales se llaman primos si son divisibles sin resto solo por sí mismos y por 1. Los coprimos son números que tienen un solo divisor común igual a 1.
Definición de cómo encontrar el MCD en el caso general: Para encontrar MCD (máximo común divisor) Se necesitan varios números naturales:
1) Descomponerlos en factores primos. (La tabla de números primos puede ser muy útil para esto).
2) Escribe los factores incluidos en la expansión de uno de ellos.
3) Eliminar los que no estén incluidos en la ampliación de los números restantes.
4) Multiplicar los factores obtenidos en el apartado 3).
Tarea 2 el (NOK): Para el año nuevo, Kolya Puzatov compró 48 hámsters y 36 cafeteras en la ciudad. A Fekla Dormidontova, como la chica más honesta de la clase, se le encomendó la tarea de dividir esta propiedad en el mayor número posible. juegos de regalo para profesores ¿Cuál es el número de conjuntos? ¿Cuál es la composición de los conjuntos?
Ejemplo 2.1. resolviendo el problema de encontrar GCD. Encontrar GCD por selección.
Decisión: Cada uno de los números 48 y 36 debe ser divisible por el número de regalos.
1) Escribe los divisores 48: 48, 24, 16, 12
, 8, 6, 3, 2, 1
2) Escribe los divisores 36: 36, 18, 12
, 9, 6, 3, 2, 1 Elige el máximo común divisor. Op-la-la! Encontrado, este es el número de juegos de 12 piezas.
3) Divide 48 entre 12, nos sale 4, divide 36 entre 12, nos sale 3. No olvides la dimensión y escribe la respuesta:
Respuesta: Recibirás 12 juegos de 4 hámsters y 3 cafeteras en cada juego.
Máximo común divisor
Definición 2
Si un número natural a es divisible por un número natural $b$, entonces $b$ se llama divisor de $a$, y el número $a$ se llama múltiplo de $b$.
Sean $a$ y $b$ números naturales. El número $c$ se llama divisor común tanto para $a$ como para $b$.
El conjunto de divisores comunes de los números $a$ y $b$ es finito, ya que ninguno de estos divisores puede ser mayor que $a$. Esto quiere decir que entre estos divisores existe el mayor, que se denomina máximo común divisor de los números $a$ y $b$, y se utiliza la notación para denotarlo:
$mcd\(a;b)\o\D\(a;b)$
Para encontrar el máximo común divisor de dos números:
- Encuentra el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.
Ejemplo 1
Encuentra el mcd de los números $121$ y $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Elija los números que se incluyen en la expansión de estos números
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Encuentra el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.
$mcd=2\cdot 11=22$
Ejemplo 2
Encuentra el MCD de los monomios $63$ y $81$.
Lo encontraremos de acuerdo con el algoritmo presentado. Para esto:
Descompongamos números en factores primos
$63=3\cpunto 3\cpunto 7$
$81=3\cpunto 3\cpunto 3\cpunto 3$
Seleccionamos los números que se incluyen en la expansión de estos números
$63=3\cpunto 3\cpunto 7$
$81=3\cpunto 3\cpunto 3\cpunto 3$
Busquemos el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.
$mcd=3\cdot 3=9$
Puedes encontrar el MCD de dos números de otra manera, usando el conjunto de divisores de números.
Ejemplo 3
Encuentra el mcd de los números $48$ y $60$.
Decisión:
Encuentra el conjunto de divisores de $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Ahora encontremos el conjunto de divisores de $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Encontremos la intersección de estos conjuntos: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - este conjunto determinará el conjunto de divisores comunes de los números $48$ y $60 ps El elemento más grande de este conjunto será el número $12$. Así que el máximo común divisor de $48$ y $60$ es $12$.
Definición de NOC
Definición 3
múltiplo común de números naturales$a$ y $b$ es un número natural que es múltiplo de $a$ y $b$.
Los múltiplos comunes de números son números que son divisibles por el original sin resto, por ejemplo, para los números $25$ y $50$, los múltiplos comunes serán los números $50,100,150,200$, etc.
El mínimo común múltiplo se denominará mínimo común múltiplo y se denotará por MCM$(a;b)$ o K$(a;b).$
Para encontrar el MCM de dos números, necesitas:
- Descomponer números en factores primos
- Escribe los factores que forman parte del primer número y súmales los factores que forman parte del segundo y no van al primero
Ejemplo 4
Encuentra el MCM de los números $99$ y $77$.
Lo encontraremos de acuerdo con el algoritmo presentado. Para esto
Descomponer números en factores primos
$99=3\cpunto 3\cpunto 11$
Escriba los factores incluidos en el primero
agregarles factores que son parte del segundo y no van al primero
Encuentra el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el mínimo común múltiplo deseado
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
La compilación de listas de divisores de números suele llevar mucho tiempo. Hay una manera de encontrar GCD llamada algoritmo de Euclides.
Declaraciones en las que se basa el algoritmo de Euclides:
Si $a$ y $b$ son números naturales, y $a\vdots b$, entonces $D(a;b)=b$
Si $a$ y $b$ son números naturales tales que $b
Usando $D(a;b)= D(a-b;b)$, podemos disminuir sucesivamente los números considerados hasta llegar a un par de números tal que uno de ellos sea divisible por el otro. Entonces, el menor de estos números será el máximo común divisor deseado para los números $a$ y $b$.
Propiedades de GCD y LCM
- Cualquier múltiplo común de $a$ y $b$ es divisible por K$(a;b)$
- Si $a\vdots b$ , entonces K$(a;b)=a$
Si K$(a;b)=k$ y $m$-número natural, entonces K$(am;bm)=km$
Si $d$ es un divisor común para $a$ y $b$, entonces K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $
Si $a\vdots c$ y $b\vdots c$ , entonces $\frac(ab)(c)$ es un múltiplo común de $a$ y $b$
Para cualquier número natural $a$ y $b$ la igualdad
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Cualquier divisor común de $a$ y $b$ es un divisor de $D(a;b)$
El material presentado a continuación es una continuación lógica de la teoría del artículo bajo el título MCM - mínimo común múltiplo, definición, ejemplos, relación entre MCM y GCD. Aquí hablaremos de encontrar el mínimo común múltiplo (mcm), y Atención especial Echemos un vistazo a los ejemplos. Primero mostremos cómo se calcula el mcm de dos números en términos del mcd de estos números. A continuación, considera encontrar el mínimo común múltiplo al factorizar números en factores primos. Después de eso, nos enfocaremos en encontrar el MCM de tres y más números, y también preste atención al cálculo del MCM de números negativos.
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Cálculo del mínimo común múltiplo (LCM) a través de mcd
Una forma de encontrar el mínimo común múltiplo se basa en la relación entre MCM y MCD. La relación existente entre MCM y MCD te permite calcular el mínimo común múltiplo de dos enteros positivos a través del máximo común divisor conocido. La fórmula correspondiente tiene la forma MCM(a, b)=a b: MCD(a, b) . Considere ejemplos de cómo encontrar el MCM de acuerdo con la fórmula anterior.
Ejemplo.
Encuentra el mínimo común múltiplo de los dos números 126 y 70 .
Decisión.
En este ejemplo a=126 , b=70 . Usemos la relación entre LCM y GCD expresada por la fórmula MCM(a, b)=a b: MCD(a, b). Es decir, primero tenemos que encontrar el máximo común divisor de los números 70 y 126, después de lo cual podemos calcular el MCM de estos números según la fórmula escrita.
Encuentra mcd(126, 70) usando el algoritmo de Euclides: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , por lo tanto mcd(126, 70)=14 .
Ahora encontramos el mínimo común múltiplo requerido: MCM(126, 70)=126 70: MCM(126, 70)= 126 70:14=630 .
Responder:
MCM(126, 70)=630 .
Ejemplo.
¿Qué es MCM(68, 34)?
Decisión.
Como 68 es divisible por 34, entonces mcd(68, 34)=34. Ahora calculamos el mínimo común múltiplo: MCM(68, 34)=68 34: MCM(68, 34)= 68 34:34=68 .
Responder:
MCM(68, 34)=68 .
Tenga en cuenta que el ejemplo anterior se ajusta a la siguiente regla para encontrar el MCM para los números enteros positivos a y b: si el número a es divisible por b, entonces el mínimo común múltiplo de estos números es a.
Hallar el mcm factorizando números en factores primos
Otra forma de encontrar el mínimo común múltiplo se basa en factorizar números en factores primos. Si hacemos un producto de todos los factores primos de estos números, después de lo cual excluimos de este producto todos los factores primos comunes que están presentes en las expansiones de estos números, entonces el producto resultante será igual al mínimo común múltiplo de estos números.
La regla anunciada para encontrar el MCM se deriva de la igualdad MCM(a, b)=a b: MCD(a, b). De hecho, el producto de los números a y b es igual al producto de todos los factores involucrados en las expansiones de los números a y b. A su vez, mcd(a, b) es igual al producto de todos los factores primos que están presentes simultáneamente en las expansiones de los números a y b (que se describe en la sección sobre cómo encontrar el mcd usando la descomposición de números en factores primos ).
Tomemos un ejemplo. Sabemos que 75=3 5 5 y 210=2 3 5 7 . Componga el producto de todos los factores de estas expansiones: 2 3 3 5 5 5 7 . Ahora excluimos de este producto todos los factores que están presentes tanto en la expansión del número 75 como en la expansión del número 210 (dichos factores son 3 y 5), entonces el producto tomará la forma 2 3 5 5 7 . El valor de este producto es igual al mínimo común múltiplo de los números 75 y 210, es decir, MCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Ejemplo.
Después de factorizar los números 441 y 700 en factores primos, encuentra el mínimo común múltiplo de estos números.
Decisión.
Descompongamos los números 441 y 700 en factores primos:
Obtenemos 441=3 3 7 7 y 700=2 2 5 5 7 .
Ahora hagamos un producto de todos los factores involucrados en las expansiones de estos números: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Excluyamos de este producto todos los factores que están presentes simultáneamente en ambas expansiones (solo hay un factor de este tipo, este es el número 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Por lo tanto, MCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
Responder:
MCM(441, 700)= 44 100 .
La regla para encontrar el MCM usando la descomposición de números en factores primos se puede formular de manera un poco diferente. Si sumamos los factores que faltan de la expansión del número b a los factores de la descomposición del número a, entonces el valor del producto resultante será igual al mínimo común múltiplo de los números a y b.
Por ejemplo, tomemos los mismos números 75 y 210, sus desarrollos en factores primos son los siguientes: 75=3 5 5 y 210=2 3 5 7 . A los factores 3, 5 y 5 de la expansión del número 75, le sumamos los factores 2 y 7 que faltan de la expansión del número 210, obtenemos el producto 2 3 5 5 7 , cuyo valor es MCM(75 , 210) .
Ejemplo.
Encuentra el mínimo común múltiplo de 84 y 648.
Decisión.
Primero obtenemos la descomposición de los números 84 y 648 en factores primos. Parecen 84=2 2 3 7 y 648=2 2 2 3 3 3 3 . A los factores 2 , 2 , 3 y 7 de la descomposición del número 84 le sumamos los factores faltantes 2 , 3 , 3 y 3 de la descomposición del número 648 , obtenemos el producto 2 2 2 3 3 3 3 7 , que es igual a 4 536 . Por lo tanto, el mínimo común múltiplo deseado de los números 84 y 648 es 4536.
Responder:
MCM(84, 648)=4 536 .
Hallar el MCM de tres o más números
El mínimo común múltiplo de tres o más números se puede encontrar encontrando sucesivamente el MCM de dos números. Recuerda el teorema correspondiente, que da una forma de encontrar el MCM de tres o más números.
Teorema.
Sean dados los enteros positivos a 1 , a 2 , …, a k, el mínimo común múltiplo m k de estos números se encuentra en el cálculo secuencial m 2 = MCM (a 1 , a 2) , m 3 = MCM (m 2 , a 3) , ... , metro k = LCM(m k−1 , a k) .
Considere la aplicación de este teorema en el ejemplo de encontrar el mínimo común múltiplo de cuatro números.
Ejemplo.
Encuentra el MCM de los cuatro números 140 , 9 , 54 y 250 .
Decisión.
En este ejemplo, un 1 = 140, un 2 = 9, un 3 = 54, un 4 = 250.
Primero encontramos m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Para ello, utilizando el algoritmo de Euclides, determinamos mcd(140, 9) , tenemos 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , por lo tanto, mcd( 140, 9)=1 , de donde MCM(140, 9)=140 9: MCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Es decir, m 2 = 1 260 .
ahora encontramos m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Calculémoslo a través de mcd(1 260, 54) , que también está determinado por el algoritmo de Euclides: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Entonces mcd(1 260, 54)=18 , de donde LCM(1 260, 54)= 1 260 54:mcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Es decir, m 3 \u003d 3 780.
Izquierda para encontrar m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Para hacer esto, encontramos MCD(3 780, 250) usando el algoritmo de Euclides: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Por lo tanto, mcd(3 780, 250)=10 , de donde mcd(3 780, 250)= 3 780 250:mcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Es decir, m 4 \u003d 94 500.
Entonces, el mínimo común múltiplo de los cuatro números originales es 94,500.
Responder:
mcm(140, 9, 54, 250)=94,500.
En muchos casos, el mínimo común múltiplo de tres o más números se encuentra convenientemente usando factores primos de números dados. Al mismo tiempo, uno debe adherirse a siguiente regla. El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto, que se compone de la siguiente manera: a todos los factores de la expansión del primer número se le suman los factores que faltan de la expansión del segundo número, los factores que faltan de la expansión de el tercer número se suma a los factores obtenidos, y así sucesivamente.
Considere un ejemplo de encontrar el mínimo común múltiplo usando la descomposición de números en factores primos.
Ejemplo.
Encuentra el mínimo común múltiplo de cinco números 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Decisión.
Primero, obtenemos las expansiones de estos números en factores primos: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 factores primos) y 143=11 13 .
Para encontrar el MCM de estos números, a los factores del primer número 84 (son 2, 2, 3 y 7) necesitas sumar los factores que faltan de la expansión del segundo número 6. La expansión del número 6 no contiene factores faltantes, ya que tanto el 2 como el 3 ya están presentes en la expansión del primer número 84 . Además de los factores 2 , 2 , 3 y 7 , sumamos los factores faltantes 2 y 2 de la expansión del tercer número 48 , obtenemos un conjunto de factores 2 , 2 , 2 , 2 , 3 y 7 . No hay necesidad de agregar factores a este conjunto en el siguiente paso, ya que 7 ya está contenido en él. Finalmente, a los factores 2, 2, 2, 2, 3 y 7 le sumamos los factores faltantes 11 y 13 de la expansión del número 143. Obtenemos el producto 2 2 2 2 3 7 11 13 , que es igual a 48 048 .
