Kürə və top sualları. Sferanın həndəsi anlayışı: düstur, xassələri, planetimizin səthinin sahəsi

Tərif.

Sferanı diametri ətrafında 180° və ya yarımdairəni diametri ətrafında 360° fırlatmaqla əmələ gələn üçölçülü fiqur kimi təsvir etmək olar.

Tərif.

Bir top, diametri ətrafında bir dairəni 180 ° və ya yarımdairəni diametri ətrafında 360 ° fırlatmaqla əmələ gələn üç ölçülü bir fiqur kimi təsvir edilə bilər.

Tərif. Kürə (top) radiusu(R) kürənin mərkəzindən məsafədir (top) O kürənin istənilən nöqtəsinə (topun səthinə).

Tərif. Kürə (top) diametri(D) kürənin iki nöqtəsini (topun səthi) birləşdirən və onun mərkəzindən keçən seqmentdir.

Düstur. Topun həcmi:

Düstur. Sferanın səth sahəsi radius və ya diametr vasitəsilə:

S = 4π R 2 = π D 2

Sfera tənliyi

1. Dekart koordinat sisteminin başlanğıcında radiusu R və mərkəzi olan sferanın tənliyi:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Dekart koordinat sistemində koordinatları (x 0 , y 0 , z 0) olan nöqtədə radiusu R və mərkəzi olan sferanın tənliyi:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Tərif. diametrik olaraq əks nöqtələr topun (kürənin) səthində diametrlə birləşən hər hansı iki nöqtədir.

Kürə və topun əsas xassələri

1. Kürənin bütün nöqtələri mərkəzdən eyni dərəcədə uzaqdır.

2. Sferanın müstəvi ilə hər hansı bir hissəsi çevrədir.

3. Sferanın müstəvi ilə hər hansı bir hissəsi çevrədir.

4. Kürə var ən böyük həcm eyni səth sahəsi olan bütün fəza fiqurları arasında.

5. İstənilən iki diametral əks nöqtə vasitəsilə siz kürə üçün çoxlu böyük dairələr və ya top üçün dairələr çəkə bilərsiniz.

6. Diametral əks nöqtələr istisna olmaqla, istənilən iki nöqtə vasitəsilə kürə üçün yalnız bir böyük dairə və ya top üçün böyük dairə çəkmək olar.

7. Bir topun istənilən iki böyük dairəsi topun mərkəzindən keçən düz xətt boyunca kəsişir və dairələr diametrik olaraq əks olan iki nöqtədə kəsişir.

8. Əgər hər hansı iki topun mərkəzləri arasındakı məsafə onların radiuslarının cəmindən kiçik və radiusları arasındakı fərqin modulundan böyükdürsə, belə toplar kəsişmək, və kəsişmə müstəvisində dairə əmələ gəlir.

Kürənin sekant, akkord, sekant müstəvisi və onların xassələri

Tərif. Kürələrin sekantı kürəni iki nöqtədə kəsən düz xəttdir. kəsişmə nöqtələri deyilir deşilmə nöqtələri səth və ya səthdəki giriş və çıxış nöqtələri.

Tərif. Kürə akkordu (top) kürənin iki nöqtəsini (topun səthini) birləşdirən seqmentdir.

Tərif. kəsici təyyarə kürə ilə kəsişən müstəvidir.

Tərif. Diametrli müstəvi- bu, kürənin və ya topun mərkəzindən keçən kəsici müstəvidir, bölmə müvafiq olaraq meydana gəlir. böyük dairə və böyük dairə. Böyük dairənin və böyük dairənin kürənin (top) mərkəzi ilə üst-üstə düşən bir mərkəzi var.

Kürənin (topun) mərkəzindən keçən hər hansı bir akkord diametrdir.

Akkord sekant xəttin seqmentidir.

Kürənin mərkəzindən sekanta qədər olan məsafə d həmişə kürənin radiusundan kiçikdir:

d< R

Kəsmə müstəvisi ilə kürənin mərkəzi arasındakı məsafə m həmişə R radiusundan kiçikdir:

m< R

Kürə üzərində kəsici təyyarənin kəsimi həmişə olacaqdır kiçik dairə, və topda bölmə olacaq kiçik dairə. Kiçik dairənin və kiçik dairənin kürənin (topun) mərkəzi ilə üst-üstə düşməyən mərkəzləri var. Belə bir dairənin r radiusunu aşağıdakı düsturla tapmaq olar:

r \u003d √ R 2 - m2,

Burada R kürənin (topun) radiusudur, m topun mərkəzindən kəsici müstəviyə qədər olan məsafədir.

Tərif. Yarımkürə (yarımkürə)- bu, diametrik bir müstəvi ilə kəsildikdə meydana gələn kürənin (topun) yarısıdır.

Sferaya toxunan, toxunan müstəvi və onların xassələri

Tərif. Kürəyə toxunan kürəyə yalnız bir nöqtədə toxunan düz xəttdir.

Tərif. Kürəyə toxunan müstəvi kürəyə yalnız bir nöqtədə toxunan müstəvidir.

Tangens xətti (müstəvi) həmişə təmas nöqtəsinə çəkilmiş sferanın radiusuna perpendikulyardır.

Kürənin mərkəzindən tangens xəttinə (müstəvi) qədər olan məsafə kürənin radiusuna bərabərdir.

Tərif. top seqmenti- bu, topun kəsici təyyarə ilə topdan kəsilən hissəsidir. Seqmentin onurğa sütunu bölmənin yerində yaranan dairəni çağırın. seqment hündürlüyü h - seqmentin əsasının ortasından seqmentin səthinə çəkilmiş perpendikulyarın uzunluğu.

Düstur. Kürə seqmentinin xarici səthinin sahəsi sferanın radiusu R baxımından hündürlüyü h ilə:

S = 2π Rh

2-ci fəsildə biz “tikinti həndəsəsini” davam etdirəcəyik və ən mühüm fəza fiqurlarının - top və kürə, silindr və konuslar, prizma və piramidaların quruluşu və xassələri haqqında danışacağıq.İnsan əli ilə yaradılmış obyektlərin əksəriyyəti binalardır, avtomobil, mebel, qab-qacaq və s.. və s., bu fiqurların formasına malik hissələrdən ibarətdir.

§ 4. SƏRƏ VƏ KÜP

Düz xətlər və təyyarələrdən sonra kürə və top ən sadə, lakin çox vacib və müxtəlif xüsusiyyətlərlə zəngindir. məkan fiqurları. Topun və onun səthinin - kürənin həndəsi xüsusiyyətləri haqqında bütün kitablar yazılmışdır. Bu xassələrin bəziləri qədim yunan həndəsələrinə artıq məlum idi, bəziləri isə bu yaxınlarda tapılıb son illər. Bu xüsusiyyətlər (təbiət elminin qanunları ilə birlikdə), məsələn, göy cisimlərinin və balıq yumurtalarının niyə top formasına sahib olduğunu, niyə vanna otağının və futbol toplarının top şəklində hazırlandığını, nə üçün bilyalı rulmanların niyə bu qədər geniş yayıldığını izah edir. texnologiya və s. Biz yalnız topun ən sadə xüsusiyyətlərini sübut edə bilərik. Digər xassələrin sübutu çox vacib olsa da, çox vaxt heç də elementar olmayan üsulların istifadəsini tələb edir, baxmayaraq ki, belə xassələrin tərtibi çox sadə ola bilər: məsələn, verilmiş səth sahəsi olan bütün cisimlər arasında kürə ən böyük həcm.

4.1. Kürə və topun tərifləri.

Kürə və top kosmosda müstəvidəki dairə və dairə ilə eyni şəkildə müəyyən edilir. Sfera veriləndən uzaq olan fəzadakı bütün nöqtələrdən ibarət fiqurdur

eyni (müsbət) məsafəyə işarə edin.

Bu nöqtəyə kürənin mərkəzi, məsafəyə isə onun radiusu deyilir (şək. 4.1).

Deməli, mərkəzi O və radiusu R olan kürə, hansı fəzanın bütün X nöqtələrinin əmələ gətirdiyi fiqurdur

Top, müəyyən bir nöqtədən verilmiş (müsbət) məsafədən çox olmayan məsafədə olan kosmosdakı bütün nöqtələrin yaratdığı bir fiqurdur. Bu nöqtə topun mərkəzi adlanır və bu məsafə onun radiusu adlanır.

Beləliklə, mərkəzi O və radiusu R olan bir top, yerin bütün X nöqtələrinin yaratdığı bir fiqurdur

Mərkəzi O və radiusu R olan topun X nöqtələri kürə təşkil edir. Deyilənə görə, bu kürə verilmiş kürəni əhatə edir, yaxud onun səthidir.

Qlobusun simvolu Yer kürəsinin qloballığıdır. Gələcəyin simvolu, çarmıxdan fərqlənir ki, sonuncu əzab və insan ölümünü təcəssüm etdirir. AT Qədim Misir ilk dəfə yerin sferik olması qənaətinə gəldi. Bu fərziyyə yerin ölməzliyi və orada yaşayan canlı orqanizmlərin ölməzliyi haqqında çoxsaylı fikirlər üçün əsas olmuşdur.

Bu nöqtə(O) sferanın mərkəzi adlanır. Kürənin mərkəzini və hansısa nöqtəsini birləşdirən hər hansı seqmentə kürənin radiusu (sferin R-radiusu) deyilir. Kürənin iki nöqtəsini birləşdirən və onun mərkəzindən keçən seqmentə kürənin diametri deyilir. Aydındır ki, kürənin diametri 2R-dir.

Topun tərifi Top, müəyyən bir nöqtədən (yaxud kürə ilə məhdudlaşan fiqurdan) verilən məsafədən çox olmayan məsafədə olan fəzadakı bütün nöqtələrdən ibarət cisimdir. Kürə ilə hüdudlanan cismə kürə deyilir. Kürənin mərkəzi, radiusu və diametri də kürənin mərkəzi, radiusu və diametri adlanır. Top

Topun mərkəzindən keçən müstəviyə diametr müstəvisi deyilir.Topun mərkəzindən keçən müstəviyə diametr müstəvisi deyilir. Topun diametrik müstəvi ilə kəsişməsinə böyük çevrə, kürənin kəsiyinə isə böyük dairə deyilir.Topun diametrik müstəvi ilə kəsişməsinə böyük dairə, kürənin kəsiyinə isə böyük dairə deyilir. böyük dairə.

X²+y²=R²-d² Əgər d>R, onda kürə ilə müstəvidə ortaq nöqtə yoxdur. R, onda kürə ilə müstəvidə ortaq nöqtə yoxdur."> R, onda kürə ilə müstəvidə ortaq nöqtə yoxdur."> R, onda kürə ilə müstəvidə ortaq nöqtə yoxdur." title="(!LANG:x²+) y²=R² -d² Əgər d>R olarsa, onda kürə ilə müstəvidə ortaq nöqtələr yoxdur."> title="x²+y²=R²-d² Əgər d>R, onda kürə ilə müstəvidə ortaq nöqtə yoxdur."> !}

Kürəyə toxunan müstəvi ilə kürəyə tangens müstəvisi Kürə ilə yalnız bir ortaq nöqtəsi olan müstəviyə kürəyə toxunan müstəvi, müstəvi və kürənin toxunan nöqtəsi A deyilir.Və onların ortaq nöqtəsi adlanır. müstəvi və kürənin toxunan nöqtəsi A.

Teorem: Kürə ilə müstəvinin təmas nöqtəsində çəkilmiş kürənin radiusu tangens müstəvisinə perpendikulyardır. Sübut: A nöqtəsində mərkəzi O olan kürəyə toxunan α müstəvisini nəzərdən keçirək. OA-nın α-ya perpendikulyar olduğunu sübut edin. Tutaq ki, belə deyil. Onda OA radiusu α müstəvisinə meyllidir və deməli, kürənin mərkəzindən müstəviyə qədər olan məsafə kürənin radiusundan azdır. Buna görə də kürə və müstəvi dairə şəklində kəsişir. Bu, tangens olana ziddir, yəni. Kürə və müstəvi yalnız bir ümumi nöqtəyə malikdir. Yaranan ziddiyyət OA-nın α-ya perpendikulyar olduğunu sübut edir.

Kürə və top

"Sfera" sözü yunanca "sfire" sözündəndir, rus dilinə "top" kimi tərcümə olunur.

SHAR gələcəyin simvoludur.

Qlobusun simvolu Yer kürəsinin qloballığıdır. Gələcəyin simvolu, çarmıxdan fərqlənir ki, sonuncu əzab və insan ölümünü təcəssüm etdirir. Qədim Misirdə onlar ilk dəfə Yerin sferik olması qənaətinə gəliblər. Bu fərziyyə yerin ölməzliyi və orada yaşayan canlı orqanizmlərin ölməzliyi haqqında çoxsaylı fikirlər üçün əsas olmuşdur.

Əlində top tutan adam dünyanın yükünü daşıyan mövzunu simvollaşdırır.Təsadüfi deyil ki, Qərbi Avropanın bəzi stansiyaları, məsələn, Helsinkidə oxşar heykəllər bəzədilib: burada çiyinlərə düşən yüklər səyahətçi təsvir edilmişdir.

Beləliklə, top və kürə taclı şəxslərin təqdiri, davranışı, əbədiliyi, gücü və qüdrətinin əlamətləridir.

Kürənin daş yarımkürəsi dini məbədlərdə - günbəzlərdə təcəssüm olunur Pravoslav kilsələri Rusiyada; Hindistanda bodhisatvaların iqamətgahı ilə əlaqəli stupalar. İndoneziyada stupalar zirvəsi daş dirəyi olan zəng şəklini alıb və onlara daqobalar deyilir.

Yunan-Roma mifologiyasında top, topun üzərində dayanan Tihe (Fortune) ilə əlaqəli olan uğurlar, taleyi simvollaşdırdı. Pikassonun məşhur "Top üzərində qız" tablosu rəqs edən bir bəxtdir.

Təbiətdə top forması Bir çox giləmeyvə top şəklindədir.

Planetlər sferikdir.

Bəzi ağaclar sferikdir.

Sferanın tərifi Kürə verilmiş nöqtədən müəyyən məsafədə yerləşən fəzanın bütün nöqtələrindən ibarət səthdir.

Kürə bir diametr ətrafında yarımdairəni fırlatmaqla əldə edilən səthdir

Bu nöqtəyə (O) kürənin mərkəzi deyilir. Kürənin mərkəzini və hansısa nöqtəsini birləşdirən hər hansı seqmentə kürənin radiusu (sferin R-radiusu) deyilir. Kürənin iki nöqtəsini birləşdirən və onun mərkəzindən keçən seqmentə kürənin diametri deyilir. Aydındır ki, kürənin diametri 2R-dir.

Topun tərifi Top, müəyyən bir nöqtədən (yaxud kürə ilə məhdudlaşan fiqurdan) verilən məsafədən çox olmayan məsafədə olan fəzadakı bütün nöqtələrdən ibarət cisimdir. Kürə ilə hüdudlanan cismə kürə deyilir. Kürənin mərkəzi, radiusu və diametri də kürənin mərkəzi, radiusu və diametri adlanır.

Sferik seqment Sferik seqment topun hansısa müstəvi ilə ondan kəsilmiş hissəsidir.

Sferik təbəqə Sferik təbəqə iki paralel kəsici müstəvi arasında qapalı kürənin bir hissəsidir.

Sferik sektor Sferik sektor dairəvi sektoru əhatə edən radiuslardan birini ehtiva edən düz xətt ətrafında bucağı 900-dən az olan dairəvi sektorun fırlanması ilə əldə edilən cisimdir.

Topun mərkəzindən keçən təyyarə diametrik müstəvi adlanır. Diametr müstəvisi olan topun en kəsiyinə böyük çevrə, kürənin kəsiyinə isə böyük dairə deyilir. Top bölməsi

Biz düzəldirik Problemi həll edirik № 573, № 574 (a)

Düzbucaqlı koordinat sistemində sferanın tənliyi M(x;y;z) sferaya aid ixtiyari nöqtədir. /MC/= v(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 MC=R, onda (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2

Tapşırıq 1. Tənliklə verilmiş sferanın mərkəzinin və radiusunun koordinatlarını tapın: x?+y?+z?=49 (X-3)?+(y+2)?+z?=2 2. Yazın mərkəzi olan R radiuslu sferanın tənliyi Və əgər A(2;-4;7) R=3 A(0;0;0) R=v2 A(2;0;0) R=4 3. Məsələni həll edin № 577(a)

Kürə ilə müstəvinin qarşılıqlı düzülüşü Kürənin radiusunu R hərfi ilə, mərkəzindən müstəviyə qədər olan məsafəni isə d hərfi ilə işarə edək. Elə bir koordinat sistemi təqdim edək ki, Oxy müstəvisi müstəvi ilə üst-üstə düşsün və kürənin C mərkəzi Oz müsbət yarımoxunda olsun.

Bu koordinat sistemində C nöqtəsi (o; o; d), deməli, kürə x2+y2+(z-d)2=R tənliyinə malikdir? Müstəvi Oxy koordinat müstəvisi ilə üst-üstə düşür və buna görə də onun tənliyi z=0-dır.

Beləliklə, sferanın və müstəvinin qarşılıqlı tənzimlənməsi məsələsi tənliklər sisteminin öyrənilməsinə qədər azaldılır. İkinci tənliyə z=0 əvəz etsək, x?+y?=R?-d? 3 hal mümkündür:

x?+y?=R?-d? Əgər d>R, onda kürə ilə müstəvidə ortaq nöqtə yoxdur.

x?+y?=R?-d? Əgər d=R ​​olarsa, onda kürə və müstəvi yalnız bir ümumi nöqtəni adlandırır. Bu halda? kürəyə toxunan müstəvini çağırdı

x?+y?=R?-d? Əgər d

Biz düzəldirik Problemi həll edirik № 580, № 581

Kürəyə tangens müstəvisi Kürə ilə yalnız bir ümumi nöqtəsi olan müstəviyə kürəyə toxunan müstəvi, onların ortaq nöqtəsi isə müstəvi ilə kürənin tangens nöqtəsi A adlanır.

Teorem: Kürə ilə müstəvinin təmas nöqtəsində çəkilmiş kürənin radiusu tangens müstəvisinə perpendikulyardır. Sübut: A nöqtəsində mərkəzi O olan kürəyə toxunan müstəvini nəzərdən keçirək. OA-nın perpendikulyar olduğunu sübut edin?. Tutaq ki, belə deyil. Onda OA radiusu müstəviyə meyllidir?, deməli, kürənin mərkəzindən müstəviyə qədər olan məsafə kürənin radiusundan azdır. Buna görə də kürə və müstəvi dairə şəklində kəsişir. Bu, tangens olana ziddir, yəni. Kürə və müstəvi yalnız bir ümumi nöqtəyə malikdir. Yaranan ziddiyyət OA-nın perpendikulyar olduğunu sübut edir?.

Əks teorem: Əgər kürənin radiusu kürə üzərində uzanan ucundan keçən müstəviyə perpendikulyardırsa, bu müstəvi kürəyə tangensdir.

592 nömrəli problemi həll edirik

Sferanın sahəsi Bir kürənin hamarlanması mümkün deyil! Sferanın yaxınlığında təsvir edilən çoxüzlü, bütün üzləri kürə ilə toxunan çoxüzlüdür. Kürənin çoxüzlüyə həkk olunduğu deyilir

Tapşırıq: Mərkəzindən keçən kürənin en kəsiyinin sahəsi 9 m2-dir. Sferanın sahəsini tapın. Həlli: Kürənin mərkəzindən keçən hissə çevrədir. Ss =?r2, 9=?R2, R=v9/? . Ssferlər=4 ?r2 , Ssferlər=4? · 9/? =36 m2