Spline

Bessel və Akimi splaynlarının qurulması üçün yerli üsullar var, B splaynlardır. Əsasən, splaynlara gəldikdə, onlar cəbri polinomlardan qurulmuş splaynları nəzərdə tuturlar. Bunlar yuxarıda verilmiş təriflərdir. Məhz bu splaynlar ən çox öyrənilənlərdir. Bununla belə, splayn istənilən sinfin funksiyalarının fraqmentlərindən ibarət ola bilər. Belə splaynların qurulması nəzərdən keçirilir və onların xassələri öyrənilir. Müəllif qurulmuş splaynların ümumi tərifini vermir. Aydındır ki, splaynı təşkil edən hər hansı bir funksiya sinfi üçün məqalənin əvvəlində verilən tərif tamamilə uyğun deyil. Əgər, məsələn, splayn eksponensial seqmentlərdən ibarətdirsə, onda splayn qüsuru anlayışı mənasını itirir. Davamlı törəmələrin sayı əhəmiyyətli bir xüsusiyyət olaraq qalmasına baxmayaraq. Fraqmentləri fasiləsiz funksiyalar (rasional funksiyalar, Pade funksiyaları) olan splaynın qurulması splayn ideyasının əhatə dairəsindən bir qədər kənardadır, çünki splaynların əsas üstünlüklərindən biri onların hamarlığıdır. Əgər belə konstruksiyalar özbaşına uzadılırsa, onda splaynlar və topaqlı funksiyalar arasındakı fərqlər silinir. Splaynların başqa bir üstünlüyü hesablama səmərəliliyidir. Fraqmentlərin həddindən artıq mürəkkəbləşməsi splaynların klassik funksiyalardan üstünlüyünü əhəmiyyətli dərəcədə azaldır.

Splaynlar aşağıdakı xüsusiyyətlərlə xarakterizə olunur: splayn fraqmentlərdən ibarətdir - eyni sinifin funksiyaları, yalnız parametrləri ilə fərqlənir, qovşaq nöqtələrində bitişik fraqmentlərə müəyyən şərtlər qoyulur, bu da dəyərlərin davamlılığına endirilir. və bəzi ilk törəmələr. Splaynlar tətbiqi riyaziyyatın intensiv inkişaf edən bir sahəsidir. İnternetdə splinelara dair geniş biblioqrafiya var (Spline Bibliography Database (SBD)).

Spline təsnifatı

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, spline adlanan çox sayda struktur var. Buna görə də, müəyyən bir tətbiq tapşırığına uyğun splaynları seçməyə imkan verəcək xüsusiyyətləri vurğulamaq məqsədi ilə bu müxtəlifliyə müəyyən bir təsnifat daxil etmək lazımdır.

Spline fraqmentlərinin görünüşü. Splaynın eyni tipli fraqmentlərdən ibarət olması onu digər parça funksiyalarından fərqləndirən əsas cəhətlərdən biridir.

Ən məşhur splaynlar - fraqmentlərdən ibarət - verilmiş dərəcədən yüksək olmayan cəbri polinomlardır. Bir qayda olaraq, bunlar kub polinomları və ya tək dərəcə polinomlarıdır: birinci, üçüncü (kub), beşinci dərəcə. Hesablamaların mürəkkəbliyi və əvvəlki bölmədə təsvir edilən mürəkkəbliklər səbəbindən daha yüksək dərəcələr nadir hallarda istifadə olunur. Onların əsas üstünlüyü hesablamaların və təhlilin sadəliyidir. Dezavantaj odur ki, bu asılılığa nisbətən az sayda real fiziki proseslər uyğun gəlir.

Eksponensial splaynlar. Düyünlərdə sabitlənmiş çevik metal hökmdar uzanırsa, diferensial tənliyin həlli cəbri çoxhədli deyil, eksponensial olacaqdır. Buna görə də belə splaynlar da adlanır gərgin. Göstərici dinamik sistemlərdə bir çox fiziki prosesləri təsvir edir. Dezavantaj hesablamanın mürəkkəbliyidir.

Triqonometrik fraqmentləri triqonometrik polinomlarla təsvir olunan splinelardır. Onların kifayət qədər mürəkkəb hesablama ifadələri var. B. A. Popovun əsərlərində əllidən çox müxtəlif növ spline fraqmentləri təsvir edilmişdir.

Rasional splaynlar və Pade splaynları da var. Onların xüsusiyyəti, qovşaqlarda davamlılıqla, fraqmentlər üzrə törəmələri qırmaq imkanıdır. M. Ansermet fraksiya splaynları qurur, burada fraqmentlər qamma funksiyasından istifadə etməklə təyin olunur.

Müəyyən bir növ fraqmentlərdən istifadənin məqsədəuyğunluğu problemin spesifik şərtlərinə və icra məhdudiyyətlərinə əsaslanır. Bir qayda olaraq, əsas tələb həyata keçirmək üçün vaxt və resursların məqbul dəyəri ilə verilmiş interpolyasiya dəqiqliyinə nail olmaqdır. Prosesin xarakterinə uyğun gələn fraqmentlərin yaxşı seçimi hesablama vaxtını və lazımi yaddaş həcmini azaldır.

Fraqmentlərin sayı. Aydındır ki, fraqmentlərin minimum sayı birdir. Spline klassik tərifi sonlu seqmentdə fraqmentlərin sayını müəyyən sayda məhdudlaşdırır. Bununla belə, sonsuz sayda fraqmentlərlə splayn qurmaq mümkündür, lakin reallıqda bu üsul və alqoritmlər müəyyən sayda fraqmentlər haqqında məlumat tələb etmir. Bu splaynlar ilə təmsil olunur kardinal Schoenberg tərəfindən tədqiq edilmiş splinelar. Qeyri-məhdud sayda fraqmentləri olan splaynlar qurmaq üçün yerli splaynlar daha uyğundur.

Fraqment eni. Fraqmentlərin bərabər eni olan splaynları seçmək lazımdır. Bu, hesablama ifadələrini əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirməyə, alqoritmlərin işini sürətləndirməyə və icra xərclərini azaltmağa imkan verir. Çox genişlikli fraqmentlərdən istifadə etməklə müəyyən sadələşdirməyə nail olmaq olar. Sıfır eni fraqmentləri olan splaynlar var (De Boer). Bu, düyünlərin çoxluğuna və kəsilməyən funksiyaların ayrılmaz fraqmentləri ilə splaynların yaxınlaşma ehtimalına gətirib çıxarır. Limit keçidləri nəticəsində hesablama ifadələri alınır. Splaynlarda sonsuz eni olan fraqmentlər də ola bilər. Bu fraqmentlər həddindən artıq olmalıdır. Bəzən bu, təbii olaraq sərhəd şərtlərini təyin etməyə imkan verir.

Parçaların birləşmə şərtləri. Splaynları fərqləndirən başqa bir vacib xüsusiyyət. Splaynlara gəldikdə, bir qayda olaraq, fraqmentlər hamar bir şəkildə birləşdirilir. Yəni dəyərlərin və birinci törəmənin davamlılığı təmin edilir. konsepsiyası spline qüsuru müəyyən tipli funksiya fraqmentinin malik olduğu davamlı törəmələrin sayı və qovşaqlarda davamlılığına zəmanət verilən törəmələrin sayı ilə bağlıdır. Göstəricinin, sinusoidin sonsuz sayda törəmələri var. Onlar üçün bu anlayışın mənası yoxdur. Buna görə də, spline qovşaqlarında davamlılığı təmin edilən törəmələrin sayı haqqında birbaşa danışmaq daha rahatdır. Praktikada biz dəyərlərin davamlılığından və birinci, maksimum ikinci törəmədən danışırıq. İkinci və daha yüksək törəmələr arasındakı boşluq vizual olaraq nəzərə çarpmır, buna görə də nadir hallarda nəzərə alınır. Aydındır ki, birləşmə nöqtələrindəki ilk törəmə müxtəlif yollarla dəqiqləşdirilə bilər. Ən çox yayılmış iki yanaşmadır. Birinci törəmənin dəyəri ikincinin davamlılığını təmin etmək üçün seçilir (minimum qüsurun qlobal kub splineları). Birinci törəmə Hermit splaynlarında interpolyasiya olunmuş funksiyanın birinci törəməsinə (ehtimal ki, təxminən) bərabərdir.

Sərhəd şərtləri. Splaynların məhdud sayda fraqmentləri varsa, təbii olaraq solda və sağda həddindən artıq fraqmentlər yoxdur, buna görə də ekstremal qovşaqları birləşdirəcək heç bir şey yoxdur. Yalnız istisnalar təbii uzantıya malik olan dövri splinelardır. Bəzən sıfır törəməsi olan sərhəd şərtləri təbii adlanır, baxmayaraq ki, onları digərlərindən daha təbii hesab etmək üçün heç bir səbəb yoxdur. Spline eyni genişlikdə fraqmentlərə malikdirsə, eyni genişlikdə çatışmayan fraqmentlər sayılır. Başqa bir seçim, sonsuzluğa qədər uzadılmış itkin fraqmentləri nəzərdən keçirməkdir. Bu yanaşmanın üstünlüyü ekstrapolyasiya imkanıdır. Siz fraqmentlərin enini sıfır hesab edə bilərsiniz. Hesablanmış ifadələr limit keçidləri ilə əldə edilir. Sərhəd şərtlərinə bazis funksiyalarından splayn əmələ gəlməsi nöqteyi-nəzərindən baxsaq, onda onlar müvafiq lokal bazis funksiyalarının davamına endirilir. Qonşu fraqmentlərin eni onların formasına təsir göstərir. Sadə bir kəsmə tez-tez salınmaya və kənarlarda səhvin artmasına səbəb olur. Sərhəd şərtləri təsvirin işlənməsi və ekstrapolyasiya problemlərində vacibdir.

Əlavə məhdudiyyətlər. Onlar ən çox qovşaqlarda törəmələrə aiddir. Bəzən onlar prosesin fizikasından irəli gəlirlər. Şərtlər: dəyərlərin ayrılmazlığı, anların, sahələrin bərabərliyi, normallaşma şərtləri. Əlavə şərtlər bəzən spline xüsusiyyətlərinin təhlilini asanlaşdırır, lakin tikinti və icra xərclərini ciddi şəkildə çətinləşdirə bilər.

İnterpolyasiya nöqtələrinin şəbəkəsi. Hesablamaların səmərəliliyinə əhəmiyyətli dərəcədə təsir göstərə bilər. Nöqtələr arasındakı məsafə spline qovşaqları arasındakı məsafənin qatına bərabər olan vahid şəbəkə və vahid şəbəkə halları vacibdir.

Baza funksiyalarının lokal xassələri. Splayn çəkili əsas splaynların cəmi kimi göstərilə bilər. Bu əsas funksiyaların genişliyi vacibdir. Beləliklə, qlobal splaynlarda əsas splaynlar bütün interpolyasiya seqmentində sıfırdan fərqlidir. Qeyd etmək lazımdır ki, müəyyən bir dəqiqliklə (bir çox texniki hesablamalar üçün kifayətdir) yerli hesab edilə bilər. Yerli splaynlar üçün əsas funksiyaların eni kiçikdir (kub Hermit splaynları üçün dörd fraqment). Bu, hesablamaların səmərəliliyinə və icra xərclərinə əhəmiyyətli dərəcədə təsir göstərir.

Təqdimat forması. Spline fraqmentlərini təyin edən funksiyalar, bir qayda olaraq, onların formasını dəyişdirən bir çox parametrdən asılıdır. Fraqmentlərin hər birindəki parametr dəyərləri fərdi. Bu parametrlər xüsusi spline təyin edə bilər. Çoxhədli splaynlar üçün bunlar çoxhədli əmsallardır. Beləliklə, splayn fraqmentlərin hər birində bir sıra funksiya parametrləri ilə təmsil oluna bilər. Gəlin bu təmsili hər fraqment adlandıraq. Belə bir təmsil illüstrativdir və çox vaxt aydın fiziki məna daşıyır. Amma parametrlərin sayı həddindən artıq çoxdur. Beləliklə, kub spline üçün 4 * (r-1) parametrə sahib olmalısınız ( r spline qovşaqlarının sayıdır). Spline-ın çoxhədli kimi əsas spline funksiyaları vasitəsilə təqdim edilməsi daha yığcamdır:

burada - əsas splayn funksiyaları (adətən lokal), - splayn formalaşmasında bazis funksiyalarının çəkisini təyin edən ədədi əmsallar. Splaynı təyin edən parametrlərin sayı splayn qovşaqlarının sayına bərabərdir. Fraqmentdəki funksiyanın parametrləri ilə çoxhədli-spline əmsalları arasında əlaqə mövcuddur ki, bu da bəzi əmsalları olan başqalarını tapmağa imkan verir, baxmayaraq ki, düsturlar kifayət qədər mürəkkəb ola bilər.

Spline əmsalı məzmunu. Əvvəlki paraqrafda qeyd edildiyi kimi, fraqment təsvirində spline parametrlərinin məzmunu funksiya növü ilə müəyyən edilir. Polinom təmsili ilə, əmsalların giriş məlumatları ilə eyni fiziki mənaya malik olduğu halı ayırmaq lazımdır. Yəni əmsallar qovşaqlardakı spline qiymətləridir. Bu forma Laqranj polinomuna bənzətməklə Laqranj adlanır. Qeyd etmək lazımdır ki, bu formanın əsas splaynları mərkəzi qovşaqda birinə, digərlərində isə sıfıra bərabərdir.

Xüsusi splaynlar. Bəzi hallarda splaynlar və adi funksiyalar, həmçinin splaynlar və topaqlı funksiyalar arasındakı sərhədə yaxın olan funksiyalar nəzərə alınır. Məsələn, bunlar iki fraqmentdən ibarət splaynlardır. Onlar tikintinin sadələşdirilmiş versiyasına malikdirlər, lakin sərhəd şərtlərinə xüsusi diqqət yetirilməlidir.

Ədəbiyyat

• Rogers D., Adams J. Kompüter qrafikasının riyazi əsasları. - M .: Mir, 2001. - ISBN 5-03-002143-4
• Livşits Yevgeni Davidoviç. Çoxhədli və rasional splaynlarla yaxınlaşma üçün davamlı E-nümunələr: Cand. … səmimi. Fizika-Riyaziyyat. Elmlər: 01.01.01 Moskva, 2005 90 s. RSL OD, 61:06-1/42
• Alberg J., Nilson E., Walsh J. - Spline nəzəriyyəsi və onun tətbiqləri
• Vinnichenko L. F. Eksponensial histosplines: giriş üçün ilkin şərtlər // Təhsil və Elm s.r.o. nəşriyyatı, "XXI əsrin Avropa elmi" konfransı, 2009
• Korneichuk, N. P., Babenko, V. F., Ligun, A. A. Polinomların və splaynların/deşiklərin ekstremal xassələri. red. A. I. Stepanets; red. S. D. Koshis, O. D. Melnik, Ukrayna Elmlər Akademiyası, Riyaziyyat İnstitutu. - K.: Naukova Dumka, 1992. - 304 s. - ISBN 5-12-002210-3
• Vershinin VV, Zavyalov Yu. S, Pavlov NN Splineların ekstremal xassələri və hamarlama problemi. - Novosibirsk: Nauka, 1988, UDC 519.651
• Rozhenko Alexander Iosifovich. Variasiya spline yaxınlaşmasının nəzəriyyəsi və alqoritmləri: Dis. ... fizika-riyaziyyat doktoru. Elmlər: 01.01.07: Novosibirsk, 2003 231 s. RSL OD, 71:05-1/136
• Şikin E.V., Plis L.I. Kompüter ekranında əyrilər və səthlər. İstifadəçilər üçün splaynlara dair bələdçi. - M.: DIALOG-MEPHI, 1996. - 240 s. ISBN 5-86404-080-0 , UDC 681.3 Sh57
• Hakimov B.V. Geologiya və ekologiyada misallar üzrə splaynlarla korrelyasiya asılılıqlarının modelləşdirilməsi. - Sankt-Peterburq: NEVA, 2003. - 144 s. - ISBN 5-211-04588-2

həmçinin bax

• Mükəmməl spline
• İnterpolyasiya spline
• L-Spline (Xətti Fraksiya)
• yerli spline
• Atom funksiyaları

Qeydlər

Bağlantılar

• Mathcad/Maple Tətbiq Serveri ilə İnteraktiv Spline Hesablanması

Əyrilər
Təriflər
Çevrildi
Qeyri-planar
Düz cəbr
Konik hissələr

Hər hansı bir az və ya çox mürəkkəb rəsm yalnız düz xətt seqmentlərindən, dairələrdən və onların qövslərindən deyil, həm də əyri xətlər dəstindən ibarətdir. Hamar əyrilər B-spline tipli əyri hamarlaşdırma metodundan istifadə etməklə rahat şəkildə qurulur. B-spline hamar əyri, daha dəqiq desək, n-ə qədər davamlı yüksək törəmələri olan əyridir, burada n splayn sırasıdır. Qeyd edək ki, B-splinelərdən ibarət xətt verilmiş nöqtələrdən tam olaraq keçməyəcək. Oxşar əyri üçüncü dərəcəli çoxhədlilərin qövslərindən ibarətdir, çünki belə çoxhədli zəruri davamlılığı təmin edir. Xətt iterativ prosedurdan istifadə etməklə qurulur.

Bir kub spline tikintisini nəzərdən keçirin. Bizə bir kub polinomu çəkdiyimiz iki qonşu nöqtə verilsin, lakin polinomun 4 əmsalı var, buna görə də bizə daha iki əlavə şərt və ya nöqtə lazımdır. Bunu etmək üçün daha iki qonşu nöqtəni götürürük. Xətti nə qədər hamar görmək istəsək, nöqtələrdən tam keçmək bir o qədər çətindir. Düsturda x \u003d q 3 varsa, hamarlıq 3 kifayətdir.

Hamarlıq fiziki problemlər tərəfindən diktə edilir və burada hamarlıq və dəqiqlik arasında bir kompromis tapmaq çox vaxt lazımdır. Məsələn, hidrodinamika dördüncü dərəcəli tənliklərlə təsvir edilən səthlərlə işləyir (bu tənliklərdən istifadə etməklə hesablanan müxtəlif növ fiziki cihazların hamarlığını artırmaq və beləliklə, turbulentlikdən qaçmaq üçün belə yüksək nizam lazımdır). Lakin splinenın sırası (yəni hamarlığı) artdıqca dəqiqlik azalır.

Nəzərə alın. P i nöqtəsindən P i+1 nöqtəsinə qədər getdiyimiz parametr t olsun. t = 0 nöqtəsində biz P i nöqtəsindəyik, t = 1 nöqtəsində P i+1 nöqtəsindəyik. Əgər 0< t < 1, то мы находимся между P i и P i+1 .

Bu xətt hər nöqtədə bir sistemə malikdir:

x(t) = ((a 3 t + a 2)t + a 1)t + a 0 , 0 üçün<= t <= 1

y(t) = ((b 3 t + b 2)t + b 1)t + b 0 , 0 üçün<= t <= 1 a 3 = (-x i-1 + 3x i - 3x i+1 + x i+2)/6

A 2 = (x i-1 - 2x i + x i+1)/2

A 1 = (-x i-1 + x i+1)/2

A 0 = (x i-1 + 4x i + x i+1)/6

b 3 - b 0 nöqtələri eyni şəkildə boyanır, lakin y x ilə əvəz olunur. P i və P i+1 arasında a və b nöqtələri dəyişmir. Son nöqtədən sonra ilk nöqtəni göstərsəniz, sistem konturu bağlayır.

B-spline-nin üstünlükləri: nöqtələr arasında əmsallar sabitdir; yerli dəyişiklik bütün splaynın yenidən hesablanmasını tələb etmir. Dezavantajlar: ikinci törəmələrdə kəsikləri olan düz xəttin yaxınlaşması zamanı problemlər yarana bilər (məsələn, düz xəttin və dairəvi qövsün konjuqasiyası); estetik nöqteyi-nəzərdən, onlar həmişə məqbul deyildir, çünki splinelardan istifadə edərək qurulmuş səthin əyriliyi bəzən qeyri-bərabər dəyişir, bu da təhriflərə səbəb olur (məsələn, avtomobil gövdəsindən əks olunan obyektlərin qəribə təhrifləri).

Nəticələr

B-spline hamarlanması

Sadə həndəsi fiqurlardan (kürələr, silindrlər və ya konuslar) ibarət cismin riyazi təsviri çətin deyil. Amma çox vaxt belə olmur; avtomobil gövdələrini, təyyarə səthlərini, gövdələri və daha çoxunu təsvir etmək o qədər də asan deyil. Adətən bu hallarda istifadə olunan prosedur adətən aşağıdakı kimidir:

• səthi iki xəyali xətt qrupu əhatə edir; birincisi uzununa istiqamətdə gedir, ikincisi birinciyə eninədir. Bu xətlər şəbəkəsi hər biri (hamar səth vəziyyətində) dörd hamar əyri ilə məhdudlaşacaq hüceyrələr dəstini müəyyənləşdirir;
• bu xəyali şəbəkənin qovşaqlarının koordinatları modeldə və ya səthin kəsiklərinin təsvirləri toplusunda ölçülür;
• interpolyasiya (ortalama) köməyi ilə şəbəkə təşkil edən bu iki xətt qrupu riyazi olaraq təsvir edilmişdir.

Polinomlardan istifadə etməklə kifayət qədər hamar əyrilər və səthlər qurmaq mümkündür. Tutaq ki, biz səthi z = z(x, y) funksiyasının qrafiki kimi çəkmək istəyirik. Bu səthdə y = const xətti z = z(x) xətti ilə təmsil olunacaq, (x 0 , z 0), ..., (x i , z i), ... nöqtələrinin ardıcıllığından keçəcək. , (x n , z n) x 0 ilə< ... < x i < ... < x n . Наша цель — провести через эти точки составную кривую f(x), имеющую следующие свойства:

• hər bir subintervalda x i-1<= x <= x i , i = 1, 2, ..., n функция f(x) является кубическим полиномом;
• onun birinci və ikinci törəmələri qovşaqlarda davamlıdır.

Yaranan hamar əyri kubik spline adlanır. "Spline" termini bənzətmə yolu ilə yaranmışdır: bu, rəsm alətinin adıdır - verilmiş nöqtələrdən keçmək üçün əyilə bilən nazik metal hökmdar. Fiziki olaraq belə bir əyri daxili gərginliklərin enerjisini minimuma endirir. Riyazi olaraq minimum kök-orta-kvadrat əyriliyinə malikdir, yəni ən hamardır. Splines əyri formaların qurulmasında bir çox tətbiqlərə malikdir. Bununla belə, onların bəzi məhdudiyyətləri də var:

• yerli dəyişiklik bütün splaynın yenidən hesablanmasını tələb edir;
• ikinci törəmələrdə kəsilmələri olan düz xəttin yaxınlaşması zamanı problemlər yarana bilər (məsələn, düz xəttin və dairəvi qövsün konjuqasiyası);
• estetik nöqteyi-nəzərdən, onlar həmişə məqbul deyildir, çünki splinelardan istifadə edərək qurulmuş səthin əyriliyi bəzən qeyri-bərabər dəyişir, bu da təhriflərə səbəb olur (məsələn, avtomobil gövdəsindən əks olunan obyektlərin qəribə təhrifləri).

Birinci məhdudiyyət B-spline ilə aradan qaldırıla bilər. Bu halda alınan əyrinin ümumi forması -də göstərilmişdir.

Bu şəkildə, splayn x oxu boyunca düz xətlərlə x i-4 , x i son nöqtələrindən uzadılır. Nəticə istənilən sayda seqmentdə kub splinedır, lakin onlardan yalnız dördündə sıfırdan fərqlidir. Belə bir funksiya dördüncü (və ya üçüncü dərəcəli) B-spline (və ya əsas spline) adlanır. Bu barədə deyirlər ki, onun minimal dəstəyi var (dəstək, splinenın sıfırdan fərqli olduğu seqmentlərin sayıdır).

Qeyd edək ki, kub B-spline onun təyin olunduğu qovşaqlar dəsti ilə tamamilə və yalnız bir verilmiş z dəyəri ilə müəyyən edilir. Daha ümumi formada, verilmiş qovşaqlar toplusunda m (və ya m - 1 dərəcəsi) sıralı B-spline M mi (x) ardıcıl x i-m seqmentləri istisna olmaqla, hər yerdə sıfırdır.< x < x i . Опять-таки M mi (x) определяется множеством узлов и одной величиной z. Принято исключать последнюю степень свободы и фиксировать амплитуду B-сплайна некоторым стандартным образом.

N mi (x) = (x i - x i-m)M mi (x) münasibəti ilə M mi (x) ilə əlaqəli normallaşdırılmış B-spline N mi (x) istifadə etmək çox vaxt hesablamalar üçün əlverişlidir.

x 0 , x 1 , ..., x n qovşaq dəstində m sıralı istənilən splayn eyni qovşaq dəstində müəyyən edilmiş, hər sonunda (m - 1) əlavə qovşaqlarla genişləndirilmiş B-splineların xətti kombinasiyası kimi ifadə edilə bilər. ixtiyari olaraq seçilə bilən intervalın: x -m+1 , x -m+2 , ..., x -1 və x n+1 , ..., x n+m-1 . Uzadılmış düyünlər dəsti üzərində m + n - 1 ardıcıl B-spline qurmaq mümkündür, hər biri m ardıcıl seqmentdə sıfırdan fərqlidir. Beləliklə, yaza bilərik:
j (x) = S c i * M mi (x),
burada j (x) qovşaqların orijinal dəstində istənilən dərəcə splinedır (m - 1) və M mi (x) genişləndirilmiş qovşaqlar dəstində B-splinedır, x i-m üçün sıfırdan fərqlidir.< x < x i ; c i суть числовые коэффициенты; суммирование ведется по i = 1, ..., m + n - 1.

Əgər r 0 , r 1 , ..., r n vektorları çoxluğu varsa, onda siz onlardan istifadə edə bilərsiniz: r(u) = S r i * N 4, i+1 (u) (cəmləmə i = üzərində aparılır. 0, ..., n). (n + 1) vektor əmsalları olduğundan, (n + 1) B-spline dəsti lazımdır. 0 üçün son düstur<= u <= n - 2 является уравнением кривой, образованной кубическими B-сплайнами.

Xüsusiyyətlər

Ən sadə xassələrdən bəziləri S N 4, i+1 = 1, 0 eyniliyindən irəli gəlir.<= u <= n - 2, i = 0..n. При u = 0 следует: r(0) = N 42 (0)(r 1 - r 0). Из этого следует, что если r 0 , r 1 , .., r n — вершины некоторой замкнутой ломанной, то кривая, построенная на основе B-сплайна, начинается в r 0 и ее касательная в этой точке имеет направление (r 1 - r 0). Аналогичное утверждение верно и для другого конца. Главное преимущество этого сплайна заключается в том, что изменение одной из вершин влечет за собой изменение только четырех отрезков кривой. Далее, мы также можем построить кривую, аппроксимирующую ломанную с любым желаемым числом сторон. Отрезок сплайна всегда лежит в выпуклой оболочке:

Bu qabarıq gövdənin mühüm nəticəsi ondan ibarətdir ki, o, düz xəttə çevrilir, əgər qırıq xəttin 4 ardıcıl təpəsi kollineardırsa, onda əyrinin müvafiq seqmenti düz olmalıdır.

Daha 2 faydalı fakt var:

• əyri 1-ci və son nöqtələr istisna olmaqla, hər tərəfin orta nöqtəsinin yaxınlığından keçir;
• k = 2, ..., n - 2 üçün əyri nöqtələrdən keçir: 1/6r k-1 + 2/3r k + 1/6r k+1 = 2/3r k + 1/3(1/2) (r k-1 + rk+1))

Bu nöqtələr, -də göstərildiyi kimi, r k-ni r k-1 və r k+1 arasındakı seqmentin orta nöqtəsi ilə birləşdirən xətt üzərində r k-dən olan məsafənin 1/3 hissəsidir.

Və artıq bir ilə yaxındır ki, ikincinin fikri ağlına gəlir. Bir çox hallara görə (ilk növbədə tənbəllik və unutqanlıq) bu ideya əvvəllər həyata keçirilməmişdi, amma indi özümü toplayıb bütün bu materialı yazdım və nəzərinizə çatdırmağa hazıram.

Kiçik bir girişlə başlayacağam. 4-cü, o vaxt bakalavriat kursunun tələbəsi olaraq “Kompüter qrafikası” kursunu oxumuşdum. Çoxlu müxtəlif maraqlı (və elə də deyil) tapşırıqlar var idi, amma bir şey mənim qəlbimə hopdu: intervalın sonunda verilmiş ilk törəmələrlə kub splaynlarla interpolyasiya. İstifadəçi ilk törəmələrin dəyərlərini təyin etməli, proqram isə interpolyasiya əyrisini oxumalı və göstərməli idi. Tapşırıqın özəlliyi və əsas çətinliyi ondadır ki, spline interpolyasiyasının klassik formalaşdırılmasında olduğu kimi ikinci deyil, ilk törəmələr müəyyən edilir.
Bunu necə həll etdim və nəticədə nə oldu, bu məqalədə təsvir edəcəyəm. Bəli, əgər tapşırığın təsvirinə görə, onun mənasını və ya mürəkkəbliyini başa düşmədinizsə, narahat olmayın, mən də bütün bunları açmağa çalışacağam. Beləliklə, gedək.

Yox, bir az gözləyin. Budur sizin üçün iki rəqəm:
a) 2, 4, 6, 8, ?
b) 1, 3, ? , 7, 9

Sualların yerində hansı rəqəmlər olmalıdır və niyə? Cavabınıza həqiqətən əminsinizmi?

İnterpolyasiya

İnterpolyasiya, interpolyasiya (latınca inter-polis - "hamarlanmış, yenilənmiş, yenilənmiş; çevrilmiş") - hesablama riyaziyyatında, məlum dəyərlərin mövcud diskret çoxluğundan kəmiyyətin aralıq qiymətlərini tapmaq üsulu. (c) Vikipediya

İcazə verin, misallarla izah edim. Müəyyən bir parametrin şərti olaraq "paylanma qanununu" (mən bunu dırnaq içərisində qoyuram, çünki bu, ümumiyyətlə, riyaziyyatın başqa bir sahəsinə aid bir termindir) müəyyən bir parametrin bir neçə tərəfindən öyrənilməsi lazım olduqda tapşırıqlar var. məlum dəyərlərindəndir. Çox vaxt, müəyyən bir parametrin zamanla dəyişməsindən danışırıq: hərəkət edən bir cismin koordinatları, bir cismin temperaturu, məzənnənin dəyişməsi və s. Eyni zamanda, bəzi şərtlərə görə, bu parametri davamlı olaraq müşahidə etmək imkanımız olmadı, biz onun dəyərlərini yalnız bəzi ayrı-ayrı məqamlarda öyrənə bildik. Bu halda ilkin verilənlər formanın nöqtələrinin çoxluğudur dəyər (vaxt), və məsələnin məqsədi bu nöqtələrdən keçən və bu parametrin dəyişməsini davamlı olaraq təsvir edən əyrini bərpa etməkdir.

Müvafiq parametrə daim nəzarət edə bilməməsinin adətən bir növ texnoloji məhdudiyyət olduğunu başa düşmək lazımdır. Texnologiyanın inkişafı ilə belə hallar getdikcə azalır. Belə bir planın müasir vəzifələrindən biri, məsələn, bir roverin hərəkət trayektoriyasıdır. Davamlı ünsiyyət seansını saxlamaq (indiyə qədər) hələ də mümkün deyil, lakin mən onun hərəkətinə nəzarət etmək və gözəl traektoriyalar çəkmək istəyirəm. Məlum olub ki, xüsusi koordinatları yalnız əlaqənin qurulduğu anlarda tapmaq olar və zaman-zaman bu şəkildə əldə edilən nöqtələrdən istifadə edərək bütün trayektoriyanı bərpa etmək lazımdır.
İnterpolyasiyadan istifadə etməyin başqa bir yolu. Bəzi müasir televizorlar >= 1000Hz-ə qədər şəkil yeniləmə tezliyi olan təsviri göstərir (baxmayaraq ki, bunlar hələ də qadağanedici dəyərlərdir). Əksər televizorlar bunu edə bilməz, lakin buna baxmayaraq, bir çoxları 100Hz tezliyində bir şəkil göstərir - bu dəyər artıq olduqca klassikdir. Əgər Vikipediyaya inanırsınızsa, o zaman kinoteatrda "Saniyədə 24 kadr qlobal standartdır". Orijinal video axınının saniyədə 24 kadrını nəticənin saniyədə 100 kadrına çevirmək üçün televizor interpolyasiyadan istifadə edir. Məhz, “bir-birinə bitişik iki çərçivə 1 və 2 götürün, aralarındakı fərqi hesablayın və ondan həmin iki ilkin çərçivə arasında itələnməli olan 3 əlavə çərçivə əmələ gətirin” üslubunda bəzi alqoritmlər -> çərçivələr 1 alınır, 1_1 , 1_2 , 1_3 , 2

Əlavə əsaslandırma üçün daha sadə bir nümunə götürək. Təsəvvür edin, məsələn, hansısa 6-cı sinifdə coğrafiyadan laboratoriya işi (yeri gəlmişkən, həqiqətən də bir dəfə məndə belə olub). Hər 3 saatda havanın temperaturunu ölçmək və məlumatları qeyd etmək lazımdır, sonra isə günün vaxtından temperaturun dəyişmə qrafikini müəllimə təhvil vermək lazımdır. Tutaq ki, ölçmələrin nəticələrinə görə, aşağıdakı cədvəli əldə etdik (məlumatlar təsadüfi icad edilmişdir və heç bir inandırıcılıq göstərmir):

Alınan məlumatları qrafikdə göstərək:

Əslində, məlumatlar qeyd olunur və qrafikdə əks olunur. İnterpolyasiya probleminə yaxınlaşdıq - mövcud nöqtələrdən hamar əyrini necə bərpa etmək olar?

Şərtlərin sayı və interpolyasiya çoxhədli dərəcəsi

Bütün verilmiş nöqtələri birləşdirən belə bir funksiyanın hətta mövcud olduğuna zəmanət verə bilərikmi?

Bəli, belə bir funksiyanın mövcudluğuna zəmanət verilir və üstəlik, sonsuz sayda belə funksiyalar olacaqdır. İstənilən nöqtələr dəsti üçün onlardan keçəcək istədiyiniz qədər çox funksiya tapmaq mümkün olacaq. Və burada iki nöqtənin müxtəlif yollarla necə birləşdirilə biləcəyinə dair bəzi nümunələr var:

Bununla belə, interpolyasiya əyrisini birmənalı şəkildə təyin etməyin bir yolu da var. Ən klassik halda, polinom interpolyasiya əyrisi kimi qəbul edilir:

Mövcud nöqtələr vasitəsilə belə bir çoxhədlini unikal şəkildə çəkmək üçün polinomun dərəcəsinin ədəddən 1 az olması zəruri və kifayətdir. şərtlər(Mən bu sözü qəsdən vurğuladım, çünki bu bölmənin sonunda bu formulaya qayıdacağam). Hələlik sadəlik üçün şərt nöqtənin koordinatları olacaq. İnsan dilində 2 nöqtə vasitəsilə düz xətt (1-ci dərəcə çoxhədli), 3 nöqtə vasitəsilə - parabola (2-ci dərəcəli çoxhədli) və s.

Temperatur problemimizə qayıdaq - onda biz 6 nöqtə təyin etdik, yəni bir polinomu unikal şəkildə çəkmək üçün o, 5-ci dərəcə olmalıdır.

İnterpolyasiya polinomu belə görünəcək:

$inline$-\frac(x^5)(14580)+\frac(13x^4)(1944)-\frac(41x^3)(162)+\frac(983x^2)(216)-\frac (2273x)(60)+117$daxili$

İndi isə vacib bir qeyd etməliyəm və nə demək istədiyimi izah etməliyəm "şərt". Çoxhədli yalnız keçdiyi nöqtələrin koordinatları ilə təyin oluna bilməz, şərtlər bu polinomun istənilən parametrləri ola bilər. Ən sadə halda bunlar həqiqətən nöqtələrin koordinatlarıdır. Ancaq şərt olaraq, məsələn, hər hansı bir nöqtədə bu çoxhədlinin birinci törəməsini götürə bilərsiniz. ikinci törəmə. Üçüncü törəmə. Ümumiyyətlə, bu polinomun mövcud olduğu hər hansı bir nöqtədə hər hansı mümkün törəmə. Bir misalla izah edim:
Düz xətt, dediyim kimi, iki nöqtə ilə unikal şəkildə müəyyən edilə bilər:

Eyni xətt, əksinə, bir nöqtənin koordinatı və üfüqi olan alfa meyl bucağı ilə müəyyən edilə bilər:

Daha yüksək dərəcəli polinomlarla daha mürəkkəb şərtlər də istifadə edilə bilər (ikinci törəmə, üçüncü törəmə və s.) və hər bir belə parametr bu polinomu unikal şəkildə təyin edən şərtlərin sayının ümumi sayına daxil olacaqdır. Əsassız olmasın, başqa bir nümunə:

Bizə aşağıdakı üç şərt verilsin:

Üç şərt var, yəni ikinci dərəcəli çoxhədli almaq istəyirik:

Əvəz etmək

Birinci törəməni nəzərdən keçiririk və nəzərdən keçiririk

İkinci törəməni nəzərdən keçiririk və nəzərdən keçiririk

Buradan əldə edirik ki, polinomumuz belə görünür:

Kub splaynları ilə interpolyasiya

Budur, sakitcə tapşırığıma yaxınlaşırıq. Polinom interpolyasiyası yeganə mümkün interpolyasiya üsulu deyil. Bütün digər üsullar arasında kub spline ilə interpolyasiya üsulu var.

Spline interpolyasiyası ilə çoxhədli interpolyasiya ideyası arasındakı əsas fərq ondan ibarətdir ki, polinom birdir və splayn bir neçə polinomdan ibarətdir, yəni onların sayı interpolyasiya etdiyimiz intervalların sayına bərabərdir. Müəyyən edilmiş 6 nöqtəmiz olan hava istiliyimizlə nümunədə 5 intervalımız olacaq - müvafiq olaraq, hər biri öz intervalında olan 5 polinomumuz olacaq.

Bu çoxhədlilərin hər biri üçüncü dərəcəli çoxhədlidir (doğru desək, dərəcə üçüncüdən yüksək deyil, çünki bəzi intervallarda interpolyasiya əyrisi kvadratik parabola və ya hətta xətti funksiyaya çevrilə bilər, lakin ümumi halda hələ də üçüncü dərəcəli çoxhədlidir) . Yuxarıdakıları düsturla yazsaq, əldə edirik ki, bütün nöqtələrimiz müəyyən bir əyri ilə birləşdiriləcək, burada hər biri üçüncü dərəcəli polinomdur, yəni:

Əvvəlki paraqrafda deyilənlərə qayıdaraq, 3-cü dərəcəli bir çoxhədlini unikal şəkildə təyin etmək üçün 4 şərt lazımdır. Bu məsələdə bizdə 5 çoxhədli var, yəni onların hamısını təyin etmək üçün cəmi 5∙4=20 şərt lazımdır. Və onlar necə çıxır:

1) Birinci çoxhədli birinci və ikinci nöqtələrdə müəyyən edilir - bunlar iki şərtdir. İkinci çoxhədli ikinci və üçüncü nöqtələrdə müəyyən edilir - daha iki şərt. Üçüncü çoxhədli, dördüncü, beşinci - onların hər biri 2 nöqtədə müəyyən edilir - ümumilikdə bu, 10 şərt verir.

2) Çoxluqdan hər bir ara nöqtə üçün (və bunlar 12:00, 15:00, 18:00, 21:00 vaxtları ilə 4 nöqtədir) şərt yerinə yetirilməlidir ki, sol və ikinci törəmələr sağ çoxhədlilər uyğun olmalıdır. Düstur:

Aralıq nöqtələrin hər biri üçün iki belə şərt daha 8 şərt verir. Onu da əlavə etmək lazımdır ki, biz yalnız bərabərlik faktının özünü qoyuruq və bu halda onların hansı konkret məna daşıması tamam başqa vəzifədir və kifayət qədər çətin hesab olunur.

3) Hələ müəyyən edilməmiş iki şərt var. Bunlar sözdə "sərhəd şərtləri"dir, onların tapşırığı hansı splinenın çıxacağını müəyyənləşdirir. Adətən, intervalın sonundakı ikinci törəmələr 0-a təyin olunur:

Bunu etsək, o zaman "təbii spline" adlananı alırıq. Bu cür splaynları hesablamaq üçün çox sayda kitabxana artıq yazılmışdır, hər hansı birini götürün və istifadə edin.

Tapşırığım ilə problemin klassik formalaşdırılması arasındakı fərq, tapşırığın özü və həlli haqqında düşüncələrim

Və burada mənim tapşırığımın şərtinə gəldik. Müəllim elə bir tapşırığı ortaya qoydu ki, birinci törəmələr intervalın həm sol, həm də sağ ucunda verilməli, proqram interpolyasiya əyrisini hesablamalıdır. Və belə bir tələb üçün hazır alqoritmlər tapmadım ...
Təbii ki, tapşırığı eşitdiyim andan keçdiyim ana qədər bütün “yaradıcı” yolunuzu təsvir etməyəcəyəm. Mən yalnız ideyanın özünü deyəcəyəm və onun həyata keçirilməsini göstərəcəyəm.

Tapşırıqın mürəkkəbliyi ondadır ki, intervalın sonunda ilk törəmələri təyin etməklə, bəli, biz bu splaynı təyin edirik. Nəzəriyyədə. Amma praktikada bunu hesablamaq kifayət qədər mürəkkəb və tamamilə qeyri-aşkar bir işdir (arzu edənlər Wiki-də təbii spline tapmaq koduna baxa bilər - ru.wikipedia.org/wiki/Cubic_spline - və heç olmasa onu anlamağa çalışa bilərlər. ). Təbii ki, mən matanı qazmağa və mənə lazım olan düsturları əldə etməyə çox vaxt sərf etmək istəməzdim. Mən daha sadə və zərif bir həll istədim. Və tapdım.
Splaynımızı nəzərdən keçirin və onun intervallarından birincisini götürün. Bu intervalda artıq 3 şərt qoyulub:

Müəyyən edilmiş istifadəçi

Bu intervalda bir kub polinomunu unikal şəkildə təyin etmək üçün bizə daha bir şərt çatışmır. Ancaq biz onu icad edə bilərik! İkinci törəməni götürün və məsələn, 0-a bərabər qoyun:

Əsassız bir fərziyyə

Beləliklə, bu 4 şərti bilməklə bu çoxhədlini tam olaraq təyin edirik. Bu polinomun bütün parametrlərini bilməklə, ikinci nöqtədə birinci və ikinci törəmələrin qiymətlərini hesablaya bilərik və onlar ikinci intervalda çoxhədli üçün birinci və ikinci törəmələrin qiymətləri ilə eyni olduğundan , bu, ikinci çoxhədlini də təyin etməyimizə səbəb olur:

-dən hesablanır

-dən hesablanır

Eynilə, üçüncü çoxhədli, dördüncü, beşinci və s. nə qədər çox olsa da, sayırıq. Yəni, əslində biz bütün splaynı yenidən yaradırıq. Amma biz onu tamamilə təsadüfi qəbul etdiyimiz üçün bu, istifadəçinin splaynın sağ ucunda verdiyi törəmə ilə bu cür hesablamalar zamanı əldə etdiyimiz törəmə ilə üst-üstə düşməyəcəyinə gətirib çıxaracaq. Lakin məlum olur ki, splaynın sağ ucundakı törəmənin qiyməti sol ucundakı ikinci törəmənin qiymətindən asılı olan funksiyadır:

Verilmiş şərtləri ödəyən belə bir splaynın mövcudluğuna zəmanət verildiyindən və bir nüsxədə mövcud olduğundan, bu, fərqi nəzərdən keçirə biləcəyimiz deməkdir:

Və 0-a çevriləcəyi belə bir dəyər tapmağa çalışın - və bu eyni olacaq düzgün istifadəçi tərəfindən axtarılan splaynı quran dəyər:

Fikrimlə bağlı ən diqqətçəkən cəhət odur ki, bu asılılıq xətti oldu (saplayn çəkdiyimiz nöqtələrin sayından asılı olmayaraq. Bu fakt nəzəri hesablamalarla sübut edilmişdir), yəni təsadüfi olaraq istənilən iki ilkin dəyəri götürə bilərsiniz. İstədiyiniz splaynın bizi quracağı çox düzgün dəyəri hesablayın və dərhal hesablayın:

Ümumilikdə, bu cür hesablamaların 3 qaçışı üçün istədiyiniz splaynı tapacağımıza zəmanət verilir.

Proqramın bəzi kodu və ekran görüntüləri

sinif CPoint ( public int X ( get; ) public int Y ( get; ) public double Df ( get; set; ) public double Ddf ( get; set; ) public CPoint (int x, int y) ( X = x; Y = y;))

Sinif CSplineSubinterval ( ictimai ikiqat A (almaq; ) ictimai ikiqat B (almaq; ) ictimai ikiqat C ( almaq; ) ictimai ikiqat D ( almaq; ) yalnız oxumaq üçün xüsusi CPoint _p1; yalnız oxumaq üçün xüsusi CPoint _p2; ictimai CSplineSubinterval(CPoint p1, CPoint p2, ikiqat df, ikiqat ddf) ( _p1 = p1; _p2 = p2; B = ddf; C = df; D = p1.Y; A = (_p2.Y - B * Math.Pow(_p2.X - _p1.X, 2) - C * (_p2.X - _p1.X) - D) / Math.Pow(_p2.X - _p1.X, 3); ) ictimai ikiqat F(int x) ( qaytarmaq A * Math.Pow(x) - _p1.X, 3) + B * Math.Pow(x - _p1.X, 2) + C * (x - _p1.X) + D; ) ictimai ikiqat Df(int x) ( qaytarmaq 3 * A * Riyaziyyat .Pow(x - _p1.X, 2) + 2 * B * (x - _p1.X) + C; ) ictimai ikiqat Ddf(int x) ( qaytarmaq 6 * A * (x - _p1.X) + 2 * B;))

Sinif CSpline (yalnız oxumaq üçün xüsusi CPoint _points; xüsusi oxumaq üçün CSplineSubinterval _splines; ictimai ikiqat Df1 ( get ( _points.Df; qaytarmaq; ) set ( _points.Df = dəyər; ) ) ictimai ikiqat Ddf1 ( get ( qaytarmaq _points.Ddf; ) set ( _points. .Ddf = dəyər; ) ) ictimai ikiqat Dfn ( get ( qaytar _points[_points.Length - 1].Df; ) set ( _points[_points.Length - 1].Df = value; ) ) public double Ddfn ( get ( return) _points[_points.Length - 1].Ddf; ) set ( _points[_points.Length - 1].Ddf = value; ) ) public CSpline(CPoint points) ( _points = points; _splines = new CSplineSubinterval; ) public void( GenerateSplines) ) ( const double x1 = 0; var y1 = BuildSplines(x1); const double x2 = 10; var y2 = BuildSplines(x2); _points.Ddf = -y1 * (x2 - x1) / (y2 - y1); BuildSplines (_points.Ddf); _points[_points.Length - 1].Ddf = _splines[_splines.Length - 1].Ddf(_points[_points.Length - 1].X); ) özəl ikiqat BuildSplines(double ddf1) ( double ddf1) df = _points.Df, ddf = ddf1;for (var i = 0; i< _splines.Length; i++) { _splines[i] = new CSplineSubinterval(_points[i], _points, df, ddf); df = _splines[i].Df(_points.X); ddf = _splines[i].Ddf(_points.X); if (i < _splines.Length - 1) { _points.Df = df; _points.Ddf = ddf; } } return df - Dfn; } }

Mavi seqmentlər splinenın müvafiq nöqtələrindəki ilk törəmələridir. Daha aydınlıq üçün belə bir qrafik element əlavə edildi.

Alqoritmin üstünlükləri və çatışmazlıqları

Düzünü desəm, heç bir ciddi təhlil aparmamışam. Yaxşı mənada testlər yazmağa, müxtəlif şəraitlərdə necə işlədiyini yoxlamağa dəyərdi (az/çoxlu interpolyasiya nöqtələri, nöqtələr arasında bərabər/ixtiyari, xətti/kvadrat/kub/triqonometrik/ s. funksiyalar və s.), lakin etmədim, üzr istəyirəm :)

Əlbətdə deyə bilərik ki, alqoritmin mürəkkəbliyi O (N), çünki dediyim kimi, xalların sayından asılı olmayaraq, sol sonundakı ikinci törəmənin düzgün qiymətini almaq üçün iki hesablama kifayətdir. interval və bir spline qurmaq üçün daha bir .

Bununla belə, kimsə kodu qazmaq və bu alqoritmin daha ətraflı təhlilini aparmaq istəsə, mən yalnız xoşbəxt olacağam. Nəticələrdən başqa mənə yazın, maraqlanardım.

Beləliklə, IQ testlərində səhv nədir?

Məqalənin lap əvvəlində iki rəqəm seriyası yazıb davam etmələrini xahiş etdim. Bu, bütün IQ testlərində kifayət qədər ümumi sualdır. Prinsipcə, sual suala bənzəyir, amma bir az daha dərindən qazsanız, bunun olduqca aldadıcı olduğu ortaya çıxır, çünki müəyyən bir istəklə ona "düzgün" cavabın olmadığını sübut edə bilərsiniz.

Əvvəlcə "2, 4, 6, 8,?"
Bu ədəd seriyasını dəyər cütləri kimi təsəvvür edin:

Nömrənin özünü və bu ədədin sıra nömrəsini götürdükdə. Hansı dəyər yerində olmalıdır?

Rahat şəkildə gətirməyə çalışdığım ideya ondan ibarətdir ki, biz tamamilə istənilən dəyəri əvəz edə bilərik. Axı belə tapşırıqlar əslində nəyi yoxlayır? Bir insanın bütün mövcud nömrələri birləşdirən müəyyən bir qayda tapmaq və bu qaydaya uyğun olaraq ardıcıllıqla növbəti nömrəni çıxarmaq qabiliyyəti. Elmi dillə desək, burada ekstrapolyasiya vəzifəsi (interpolyasiyanın vəzifəsi müəyyən intervalda bütün nöqtələrdən keçən əyri tapmaqdır, ekstrapolyasiyanın vəzifəsi isə bu əyrini intervaldan kənarda davam etdirmək, beləliklə, insanın davranışını “proqnozlaşdırmaq”dır). gələcəkdə əyri). Beləliklə, ekstrapolyasiyanın unikal həlli yoxdur. Ümumiyyətlə. Heç vaxt. Əgər başqa cür olsaydı, insanlar bütün bəşəriyyət tarixi üçün hava proqnozunu çoxdan proqnozlaşdırardılar və rublun məzənnəsindəki dalğalanmalar heç vaxt sürpriz olmazdı.

Təbii ki, bu məsələdə hələ də düzgün cavabın olduğu və 10-a bərabər olduğu güman edilir və sonra bütün bu nömrələri birləşdirən “qanun” “Etiketlər əlavə et”dir.

Praktik məsələlərdə rast gəlinən əyrilər və səthlər çox vaxt kifayət qədər mürəkkəb formaya malikdirlər ki, bu da elementar funksiyaların köməyi ilə bütövlükdə universal analitik spesifikasiyaya imkan vermir. Buna görə də, onlar nisbətən sadə hamar fraqmentlərdən - seqmentlərdən (əyrilərdən) və ya kəsiklərdən (səthlərdən) yığılır, hər biri bir və ya iki dəyişənin elementar funksiyalarından istifadə etməklə kifayət qədər qənaətbəxş təsvir edilə bilər. Eyni zamanda, qismən əyrilər və ya səthlər qurmaq üçün istifadə olunan hamar funksiyaların oxşar təbiətə malik olmasını, məsələn, eyni dərəcədə çoxhədli olmasını tələb etmək tamamilə təbiidir. Və ortaya çıxan əyri və ya səthin kifayət qədər hamar olması üçün müvafiq fraqmentlərin qovşaqlarında xüsusilə diqqətli olmaq lazımdır. Çoxhədlilərin dərəcəsi sadə həndəsi mülahizələrdən seçilir və bir qayda olaraq kiçikdir. Bütün mürəkkəb əyri boyunca tangensin rəvan dəyişməsi üçün üçüncü dərəcəli polinomlardan, kub polinomlarından istifadə edərək birləşdirici əyriləri təsvir etmək kifayətdir. Belə çoxhədlilərin əmsalları həmişə elə seçilə bilər ki, uyğun kompozit əyrinin əyriliyi davamlı olsun. Birölçülü məsələlərin həllində yaranan kubik splaynlar mürəkkəb səthlərin fraqmentlərinin formalaşdırılmasına uyğunlaşdırıla bilər. Və burada, təbii olaraq, iki dəyişənin hər birində üçüncü dərəcəli polinomlarla təsvir edilən iki kubik splinelar görünür. Belə splaynlarla işləmək daha çox hesablamalar tələb edir. Lakin düzgün təşkil edilmiş proses kompüter texnologiyasının davamlı olaraq artan imkanlarını maksimum dərəcədə nəzərə almağa imkan verəcəkdir. Spline funksiyaları Let on seqment , yəni Remark. a^ ədədlərinin indeksi (t) bunu göstərir. ki, hər bir qismən D seqmentində S(x) funksiyasının təyin olunduğu əmsallar çoxluğu özünəməxsusdur. D1 seqmentlərinin hər birində spline 5(x) p dərəcə polinomudur və bu seqmentdə p + 1 əmsalı ilə müəyyən edilir. Ümumi qismən seqmentlər - sonra. Deməli, splaynı tam müəyyən etmək üçün (p + 1) sonra ədədləri tapmaq lazımdır.Şərt) dedikdə S(x) funksiyasının və onun törəmələrinin w daxili şəbəkə qovşaqlarında davamlılığı nəzərdə tutulur. Belə qovşaqların sayı m - 1. Beləliklə, bütün çoxhədlilərin əmsallarını tapmaq üçün p(m - 1) şərtləri (tənlikləri) alınır. Splinin tam tərifi üçün kifayət qədər (şərtlər (tənliklər)) yoxdur.Əlavə şərtlərin seçimi baxılan məsələnin xarakteri, bəzən isə sadəcə olaraq istifadəçinin istəyi ilə müəyyən edilir. SPLINE NƏZƏRİYYƏSİ Həll nümunələri Çox vaxt müstəvidə verilmiş nöqtələr massivindən bu və ya digər splayn qurmaq tələb olunduqda, interpolyasiya və hamarlaşdırma məsələlərinə baxılır. onun əmsallarına m + 1 əlavə şərt (tənliklər) qoyur. Bir splaynın unikal qurulması üçün qalan p - 1 şərtləri (tənliklər) ən çox nəzərdən keçirilən seqmentin uclarında splinenın aşağı törəmələrinin dəyərləri şəklində təyin olunur [a, 6] - sərhəd ( sərhəd) şərtləri. Fərqli sərhəd şərtlərini seçmək imkanı müxtəlif xüsusiyyətlərə malik splaynlar qurmağa imkan verir. Hamarlaşdırma məsələlərində qrafiğin (i "" Y "), * = 0, 1, ..., m nöqtələrinin yanından keçməsi və onlardan keçməməsi üçün splayn qurulur. Bu yaxınlığın ölçüsü müxtəlif yollarla müəyyən edilə bilər ki, bu da hamarlayıcı splineların əhəmiyyətli müxtəlifliyinə səbəb olur. Spline funksiyalarını qurarkən seçim üçün təsvir olunan variantlar onların müxtəlifliyini tükəndirməkdən uzaqdır. Və əgər əvvəlcə yalnız hissə-hissə çoxhədli splayn funksiyaları nəzərdən keçirilirdisə, onların tətbiq dairəsi genişləndikcə digər elementar funksiyalardan da "yapışdırılmış" splaynlar meydana çıxmağa başladı. İnterpolyasiya kub splaynları İnterpolyasiya məsələsinin ifadəsi [a, 6) intervalında w şəbəkəsi verilsin. (a, 6] seqmentində hamar olan və o tor qovşaqlarında verilmiş dəyərləri alan funksiya qurun, yəni "Qurulan funksiyaya əlavə şərtlər qoymaqla, lazımi unikallığa nail olmaq olar. Tətbiqlərdə, tez-tez kifayət qədər yaxşı xassələri təyin edilmiş funksiya vasitəsilə analitik olaraq verilmiş funksiyanı təxmin etmək zərurəti yaranır.Məsələn, verilmiş f(x) funksiyasının [a, 6] nöqtələrində qiymətlərinin hesablanması zamanı. əhəmiyyətli çətinliklərlə əlaqələndirilir və/və ya verilmiş funksiya /(x) tələb olunan hamarlığa malik deyilsə, verilmiş funksiyanı kifayət qədər yaxınlaşdıran və onun çatışmazlıqlarından məhrum olan başqa funksiyadan istifadə etmək rahatdır.[a, 6] verilmiş funksiya ilə w tor qovşaqlarında üst-üstə düşən a(x) hamar funksiyası /(X). İnterpolyasiya edən kub splaynın tərifi w şəbəkəsində interpolyasiya edən kub spline S(x) funksiyadır ki, 1) seqmentlərin hər biri üçüncü dərəcəli çoxhədlidir, 2) [a, b seqmentində iki dəfə davamlı diferensiallana bilər. ], yəni C2[ a, 6] sinfinə aiddir və 3) şərtləri ödəyir Seqmentlərin hər birində spline S(x) üçüncü dərəcəli çoxhədlidir və bu seqmentdə dörd əmsalla müəyyən edilir. Seqmentlərin ümumi sayı m-dir.Bu o deməkdir ki, splaynı tam müəyyən etmək üçün 4m ədəd tapmaq lazımdır.Şərt S (x) funksiyasının və onun törəmələrinin S "(x) və 5" davamlılığını bildirir. (x) bütün daxili şəbəkə qovşaqlarında w. Belə qovşaqların sayı m - 1-dir. Beləliklə, bütün çoxhədlilərin əmsallarını tapmaq üçün daha 3 (m - 1) şərt (tənlik) alınır. Şərtlərlə (2) birlikdə şərtlər (tənliklər) alınır. Sərhəd (sərhəd) şərtləri [a, 6] intervalının sonunda spline və/və ya onun törəmələrinin dəyərlərinə məhdudiyyətlər kimi iki çatışmayan şərt müəyyən edilmişdir. İnterpolyasiya edən kub spline qurarkən, aşağıdakı dörd növün sərhəd şərtləri ən çox istifadə olunur. A. 1-ci tipin sərhəd şərtləri. - [a, b] intervalının sonunda istənilən funksiyanın birinci törəməsinin qiymətləri verilir. B. 2-ci tipin sərhəd şərtləri. - intervalın sonunda (a, 6) istədiyiniz funksiyanın ikinci törəməsinin dəyərləri təyin edilir. B. 3-cü tipin sərhəd şərtləri. dövri adlanır. İnterpolyasiya olunmuş funksiyanın T = b-a dövrü ilə dövri olduğu hallarda bu şərtlərin yerinə yetirilməsini tələb etmək təbiidir. D. 4-cü növün sərhəd şərtləri. xüsusi şərh tələb edir. Şərh. Daxili sepsi qovşaqlarında S(x) funksiyasının üçüncü törəməsi, ümumiyyətlə, kəsiklidir. Bununla belə, üçüncü törəmənin kəsilmələrinin sayını 4-cü növ şərtlərdən istifadə etməklə azaltmaq olar. Bu halda qurulmuş splayn fasilələrlə üç dəfə fasiləsiz diferensiallaşacaq.İnterpolyasiya edən kub splaynın qurulması Müəyyən edilməli olan kəmiyyətlərin sayı bərabər olan kub splaynın əmsallarının hesablanması üsulunu təsvir edək. Hər bir intervalda interpolyasiya spline funksiyası aşağıdakı formada axtarılır 1-ci və 2-ci növ sərhəd şərtləri üçün bu sistem aşağıdakı formaya malikdir, burada əmsallar sərhəd şərtlərinin seçimindən asılıdır. 1-ci növ sərhəd şərtləri: 2-ci növ sərhəd şərtləri: 3-cü növ sərhəd şərtləri olduqda ədədlərin təyini sistemi aşağıdakı kimi yazılır. 4-cü növ sərhəd şərtləri üçün ədədlərin müəyyən edilməsi sistemi formaya malikdir Hər üç xətti cəbri sistemin matrisləri diaqonal dominantlığa malik matrislərdir. Bu matrislər degenerativ deyil və buna görə də bu sistemlərin hər birinin özünəməxsus həlli var. teorem. Şərtləri (2) və sadalanan dörd növdən birinin sərhəd şərtini ödəyən interpolyasiya kub spline mövcuddur və unikaldır. Beləliklə, interpolyasiya edən kub splaynı qurmaq onun əmsallarını tapmaq deməkdir.Splaynın əmsalları tapıldıqda, [a, b] seqmentinin ixtiyari nöqtəsində spline S(x) qiymətini ( düsturundan istifadə etməklə tapmaq olar. 3). Lakin praktiki hesablamalar üçün S(x) kəmiyyətinin tapılması üçün aşağıdakı alqoritm daha uyğundur. Qoy x 6 [x”, Əvvəlcə A və B dəyərləri düsturlara uyğun olaraq hesablanır və sonra 5(x) dəyəri tapılır: Bu alqoritmin istifadəsi dəyərin müəyyən edilməsi üçün hesablama xərclərini əhəmiyyətli dərəcədə azaldır. istifadəçi Sərhəd (sərhəd) şərtlərinin və interpolyasiya qovşaqlarının seçilməsi müəyyən dərəcədə interpolyasiya splaynlarının xassələrinə imkan verir. A. Sərhəd (sərhəd) şərtlərinin seçimi. Sərhəd şərtlərinin seçilməsi funksiyaların interpolyasiyasında mərkəzi problemlərdən biridir. [a, 6] seqmentinin uclarına yaxın 5(g) xətti ilə f(x) funksiyasının yaxınlaşmasının yüksək dəqiqliyini təmin etmək lazım gəldiyi halda xüsusi əhəmiyyət kəsb edir. Sərhəd dəyərləri a və b nöqtələrinin yaxınlığında 5(g) spline davranışına nəzərəçarpacaq təsir göstərir və biz onlardan uzaqlaşdıqca bu təsir sürətlə zəifləyir. Sərhəd şərtlərinin seçimi çox vaxt yaxınlaşdırılan f(x) funksiyasının davranışı haqqında əlavə məlumatın mövcudluğu ilə müəyyən edilir. Birinci f "(x) törəməsinin qiymətləri seqmentin sonunda məlumdursa (a, 6), onda 1-ci növ sərhəd şərtlərindən istifadə etmək təbiidir. Əgər ikincinin qiymətləri f "(x) törəməsi [a, 6] seqmentinin uclarında məlumdur, onda bu 2-ci növ təbii istifadə sərhəd şərtləridir. Əgər 1-ci və 2-ci növlərin sərhəd şərtləri arasında seçim etmək mümkündürsə, onda 1-ci növ şərtlərə üstünlük verilməlidir. Əgər f(x) dövri funksiyadırsa, onda biz 3-cü növ sərhəd şərtlərində dayanmalıyıq. Əgər yaxınlaşdırılan funksiyanın davranışı haqqında əlavə məlumat yoxdursa, çox vaxt təbii sərhəd şərtləri adlanan şərtlərdən istifadə olunur.Lakin nəzərə almaq lazımdır ki, sərhəd şərtlərinin belə seçimi ilə f funksiyasının yaxınlaşmasının dəqiqliyi (x) spline ilə S (x) seqmentin uclarına yaxın (a, ft] kəskin şəkildə azalır. Bəzən 1-ci və ya 2-ci növ sərhəd şərtləri istifadə olunur, lakin müvafiq törəmələrin dəqiq qiymətləri ilə deyil, lakin onların fərqli təxminləri ilə.Bu yanaşmanın dəqiqliyi aşağıdır.Hesablamaların praktiki təcrübəsi göstərir ki, baxılan situasiyada ən uyğun seçim 4-cü tip sərhəd şərtləridir. B. İnterpolyasiya qovşaqlarının seçimi. Əgər [a, b] seqmentinin bəzi nöqtələrində funksiyanın üçüncü törəməsi f""(x) kəsilməyə məruz qalırsa, onda yaxınlaşmanın keyfiyyətini yaxşılaşdırmaq üçün bu nöqtələr interpolyasiya qovşaqlarının sayına daxil edilməlidir. Əgər ikinci törəmə /"(x) kəsiklidirsə, o zaman kəsilmə nöqtələrinin yaxınlığında splaynın salınmasının qarşısını almaq üçün xüsusi tədbirlər görülməlidir. Adətən interpolyasiya qovşaqları elə seçilir ki, ikinci törəmənin kəsilmə nöqtələri içəri düşsün. interval \xif), belə ki. Qiymət və ədədi təcrübə ilə seçilə bilər (çox vaxt a = 0,01 təyin etmək kifayətdir). Birinci törəmə f "(x) olduqda yaranan çətinlikləri aradan qaldırmaq üçün bir sıra reseptlər var. ) fasiləsizdir. Ən sadələrdən biri olaraq, bunu təklif edə bilərik: təxmini seqmenti törəmənin davamlı olduğu intervallara bölün və bu intervalların hər birində spline qurun. İnterpolyasiya funksiyasının seçimi (plus və minuslar) 1-ci yanaşma. Laqranj interpolyasiya polinomu Verilmiş massiv SPLINE NƏZƏRİYYƏsinin həlli nümunələrinə əsasən (şək. 3) Laqranc interpolyasiya polinomu düsturla müəyyən edilir. Laqranj interpolyasiya polinomunun iki əks mövqedən xassələrini nəzərdən keçirmək, əsas üstünlükləri ilə müqayisədə ayrı-ayrılıqda müzakirə etmək məqsədəuyğundur. mənfi cəhətləri. 1-ci yanaşmanın əsas üstünlükləri: 1) Laqranj interpolyasiya polinomunun qrafiki massivin hər bir nöqtəsindən keçir, 2) qurulmuş funksiya asanlıqla təsvir olunur (u şəbəkəsi üzrə Laqranj interpolyasiya polinomunun əmsallarının sayı müəyyən ediləcək) m + 1-ə bərabərdir), 3) qurulmuş funksiyanın istənilən düzülüşlü davamlı törəmələri var, 4) massiv verildikdə, interpolyasiya çoxhədli unikal şəkildə müəyyən edilir. 1-ci yanaşmanın əsas çatışmazlıqları: 1) Laqranj interpolyasiya polinomunun dərəcəsi tor qovşaqlarının sayından asılıdır və bu rəqəm nə qədər çox olarsa, interpolyasiya polinomunun dərəcəsi bir o qədər yüksək olar və buna görə də bir o qədər çox hesablama tələb olunur, 2 ) massivdə ən azı bir nöqtənin dəyişdirilməsi Laqranj interpolyasiya polinomunun əmsallarının tam yenidən hesablanmasını tələb edir, 3) massiləyə yeni nöqtənin əlavə edilməsi Laqranj interpolyasiya polinomunun dərəcəsini bir artırır və hətta onun əmsallarının tam yenidən hesablanmasına gətirib çıxarır. , 4) qeyri-məhdud mesh incəliyi ilə Laqranj interpolyasiya polinomunun dərəcəsi qeyri-müəyyən olaraq artır. Laqranj interpolyasiya polinomunun qeyri-məhdud mesh incəliyi altında davranışı ümumiyyətlə xüsusi diqqət tələb edir. Şərhlər A. Davamlı funksiyanın çoxhədli ilə yaxınlaşması. Məlumdur ki, (Weierstrass, 1885) intervalda istənilən fasiləsiz (və hətta daha hamar) funksiya bu intervalda çoxhədli ilə arzu olunduğu kimi yaxınlaşdırıla da bilər. Gəlin bu faktı düsturların dili ilə izah edək. [a, 6] seqmentində f(x) fasiləsiz funksiya olsun. Onda hər hansı e > 0 üçün Rn(x) çoxhədli var ki, [a, 6] intervalından istənilən x üçün bərabərsizlik təmin edilsin (şək. 4) , sonsuz sayda var. [a, 6] seqmentində w şəbəkəsi qururuq. Aydındır ki, onun düyünləri, ümumiyyətlə, Pn(x) polinomunun və f(x) funksiyasının qrafiklərinin kəsişmə nöqtələri ilə üst-üstə düşmür (şək. 5). Buna görə də götürülmüş şəbəkə üçün Pn(x) polinomu interpolyasiya polinomu deyil. Davamlı funksiya Jla-grajj interpolyasiya polinomu ilə yaxınlaşdıqda, onun qrafiki nəinki [a, b seqmentinin hər bir nöqtəsində f(x) funksiyasının qrafikinə yaxın olmalı deyil, həm də ondan kənara çıxa bilər. bu funksiya istədiyiniz qədər. İki misal verək. Nümunə 1 (Rung, 1901). [-1, 1] intervalında funksiya üçün qovşaqların sayının qeyri-məhdud artması ilə limit bərabərliyi yerinə yetirilir (Şəkil 6) Misal 2 (Berichtein, 1912). Davamlı /(x) = |x| qovşaqlarının sayının artması ilə seqmentdə m f(x) funksiyasına meyl etmir (şək. 7). 2-ci yanaşma. Parçalı xətti interpolyasiya İnterpolyasiya edilmiş funksiyanın hamarlığından imtina edilərsə, üstünlüklərin sayı ilə çatışmazlıqların sayı arasındakı nisbət birincinin istiqamətində nəzərəçarpacaq dərəcədə dəyişə bilər. Nöqtələri (xit y,) düz xətt seqmentləri ilə ardıcıl birləşdirərək hissə-hissə xətti funksiya quraq (şək. 8). 2-ci yanaşmanın əsas üstünlükləri: 1) hissə-hissə xətti funksiyanın qrafiki massivin hər bir nöqtəsindən keçir, 2) qurulmuş funksiya asanlıqla təsvir olunur (tor üçün müəyyən ediləcək müvafiq xətti funksiyaların əmsallarının sayı () 1) 2m-dir), 3) qurulmuş funksiya birmənalı olaraq verilmiş massiv tərəfindən müəyyən edilir, 4) interpolyasiya funksiyasını təsvir etmək üçün istifadə olunan polinomların dərəcəsi tor qovşaqlarının sayından (1-ə bərabərdir), 5) birinin dəyişdirilməsindən asılı deyildir massivdəki nöqtə dörd ədədin hesablanmasını tələb edir (yeni nöqtədən çıxan iki düzxətli əlaqənin əmsalları), 6) massivə əlavə nöqtə əlavə etmək dörd əmsalın hesablanmasını tələb edir. Parça-xətti funksiyası şəbəkəni dəqiqləşdirərkən özünü yaxşı aparır. i 2-ci yanaşmanın əsas çatışmazlığı ondan ibarətdir ki, təxmini hissə-hissə xətti funksiya hamar deyil: birinci törəmələr şəbəkə qovşaqlarında (interpolyasiya qulaqları) kəsilməyə məruz qalır. 3-cü yanaşma. Spline interpolyasiyası Təklif olunan yanaşmalar elə birləşdirilə bilər ki, hər iki yanaşmanın sadalanan üstünlüklərinin sayı qorunub saxlanılsın və mənfi cəhətlərin sayı azalsın. Bu, p dərəcəsinin hamar interpolyasiya edən spline funksiyasını qurmaqla edilə bilər. 3-cü yanaşmanın əsas üstünlükləri: 1) qurulmuş funksiyanın qrafiki massivin hər bir nöqtəsindən keçir, 2) qurulmuş funksiyanı təsvir etmək nisbətən asandır (tor üçün müəyyən ediləcək uyğun polinomların əmsallarının sayı () 1) 3) qurulmuş funksiya verilmiş massiv tərəfindən unikal şəkildə müəyyən edilir, 4) dərəcə polinomları tor qovşaqlarının sayından asılı deyil və buna görə də onun artması ilə dəyişmir, 5) qurulmuş funksiya yuxarıda davamlı törəmələrə malikdir. p - 1 daxil olmaqla, 6) qurulmuş funksiya yaxşı yaxınlaşma xüsusiyyətlərinə malikdir. Qısa arayış. Təklif olunan ad - spline - təsadüfi deyil - bizim təqdim etdiyimiz hamar parçalı çoxhədli funksiyalar və splineları çəkmək bir-biri ilə sıx bağlıdır. (x, y) müstəvisində yerləşən massivin istinad nöqtələrindən keçən çevik, ideal olaraq nazik bir hökmdarı nəzərdən keçirək. Bernoulli-Euler qanununa görə, əyri bir hökmdarın xətti tənliyi formaya malikdir. Hökmdarları təsvir edən S(x) funksiyası massivin (dəstəklərin) hər biri ilə iki qonşu nöqtəsi arasında üçüncü dərəcəli çoxhədlidir və bütün intervalda (a, 6) iki dəfə davamlı diferensiallanır. Şərh. 06 fasiləsiz funksiyanın interpolyasiyası Laqranc interpolyasiya polinomlarından fərqli olaraq vahid şəbəkədə interpolyasiya kub splaynlarının ardıcıllığı həmişə interpolyasiya olunmuş fasiləsiz funksiyaya yaxınlaşır və bu funksiyanın diferensial xassələrinin yaxşılaşdırılması ilə yaxınlaşma sürəti artır. Misal. Funksiya üçün qovşaqların sayı m = 6 olan şəbəkədəki kub splayn Ls(z) interpolyasiya polinomu ilə eyni qaydada yaxınlaşma xətası verir və qovşaqların sayı m = 21 olan şəbəkədə bu xəta o qədər kiçikdir ki, adi kitab rəsminin miqyasında onu sadəcə göstərmək mümkün deyil (şək. 10) (1>2o(r) interpolyasiya polinomu bu halda təxminən 10000 Vt xəta verir). İnterpolyasiya edilmiş kub splaynın xassələri A. Kub splinenın yaxınlaşma xassələri. İnterpolyasiya edən splaynın yaxınlaşma xassələri f(x) funksiyasının hamarlığından asılıdır - interpolyasiya olunmuş funksiyanın hamarlığı nə qədər yüksək olarsa, yaxınlaşma sırası bir o qədər yüksək olar, şəbəkə dəqiqləşdirildikdə isə yaxınlaşma dərəcəsi bir o qədər yüksək olur. Əgər interpolyasiya olunmuş f(x) funksiyası intervalda fasiləsizdirsə, əgər interpolyasiya olunmuş f(x) funksiyasının [a, 6] intervalında fasiləsiz birinci törəməsi varsa, yəni 1-ci və ya sərhəd şərtlərini ödəyən interpolyasiya spline. 3-cü növ, onda h üçün bizdə var Bu halda təkcə splayn interpolyasiya olunmuş funksiyaya deyil, həm də spline törəməsi də bu funksiyanın törəməsinə yaxınlaşır. Əgər spline S(x) [a, b] seqmentində f(x) funksiyasına yaxınlaşırsa və onun birinci və ikinci törəmələri müvafiq olaraq B funksiyasına yaxınlaşırsa.Kubik splinenın ekstremal xassəsi. İnterpolyasiya edən kub spline başqa faydalı xüsusiyyətə malikdir. Aşağıdakı misalı nəzərdən keçirək. misal. Qrafikləri x massivinin nöqtələrindən keçən C2 fəzasından funksiyalar sinfi üzrə funksionalı minimuma endirən /(x) funksiyasını qurun, sərhəd şərtlərini ödəyir, funksionala ekstremum (minimum) verir. Qeyd 2. Maraqlıdır ki, interpolyasiya edən kub spline yuxarıda çox geniş funksiyalar sinfində, yəni |0, 5] sinfində təsvir edilmiş ekstremal xassə malikdir. 1.2. Hamarlayıcı kub splaynları Hamarlaşdırma məsələsinin tərtibi haqqında Şəbəkə və ədədlər toplusu verilsin. Əslində, bu o deməkdir ki, hər biri üçün interval müəyyən edilib və bu intervaldan istənilən ədəd y, dəyəri kimi götürülə bilər. Y-nin dəyərlərini, məsələn, təsadüfi xətanı ehtiva edən x dəyişəninin verilmiş qiymətləri üçün bəzi y(x) funksiyasının ölçmələrinin nəticələri kimi şərh etmək rahatdır. Bu cür "eksperimental" dəyərlərdən funksiyanın bərpası problemini həll edərkən, interpolyasiyadan istifadə etmək çətin ki, məqsədəuyğun deyil, çünki interpolyasiya funksiyası (y,) massivdəki təsadüfi komponentin yaratdığı qəribə rəqsləri itaətkarlıqla təkrarlayacaqdır. Daha təbii yanaşma, ölçmələr nəticəsində təsadüfilik elementini bir növ azaltmaq üçün nəzərdə tutulmuş hamarlaşdırma proseduruna əsaslanır. Adətən belə məsələlərdə x = x, * = 0, 1, .... m üçün qiymətləri müvafiq intervallara düşəcək və əlavə olaraq kifayət qədər yaxşı xassələrə malik olan bir funksiya tapmaq tələb olunur. Məsələn, onun davamlı birinci və ikinci törəmələri olardı və ya onun qrafiki çox güclü əyri olmaz, yəni güclü rəqslər olmazdı. Bu cür problem, verilən (dəqiq) massivə uyğun olaraq, verilməyən nöqtələrdən keçəcək, lakin onların yaxınlığında və üstəlik, kifayət qədər rəvan dəyişən bir funksiya qurmaq tələb olunduqda yaranır. Başqa sözlə desək, istənilən funksiya verilmiş massivi olduğu kimi hamarlaşdırdı və onu interpolyasiya etmədi. w şəbəkəsi və iki ədəd dəsti verilsin SPLINE NƏZƏRİYYƏSİ Həll nümunələri Problem. Dəyərləri şəbəkənin qovşaqlarında olan və verilmiş qiymətlərlə y ədədlərindən fərqlənən [a, A] seqmentində hamar bir funksiya qurun. Formüle edilmiş hamarlaşdırma problemidir bərpa Cədvəldə verilmiş hamar funksiya. Aydındır ki, belə bir problemin müxtəlif həlləri var. Qurulmuş funksiyaya əlavə şərtlər qoymaqla biz lazımi unikallığa nail ola bilərik. Hamarlaşdırıcı kub spline tərifi w şəbəkəsində hamarlaşdırıcı kub spline S(x) funksiyadır ki, 1) seqmentlərin hər birində üçüncü dərəcəli çoxhədlidir, 2) seqmentdə iki dəfə davamlı diferensiallaşdırılır [a, 6] ], yəni C2 [a , b] sinfinə aiddir, 3) ədədlərin verildiyi funksionala minimum verir, 4) aşağıda göstərilən üç növdən birinin sərhəd şərtlərini ödəyir. Sərhəd (sərhəd) şərtləri Sərhəd şərtləri hörgü sərhəd qovşaqlarında spline və onun törəmələrinin qiymətlərinə məhdudiyyətlər kimi müəyyən edilir. A. 1-ci tipin sərhəd şərtləri. - intervalın sonunda [a, b) istənilən funksiyanın birinci törəməsinin qiymətləri verilir. 2-ci növ sərhəd şərtləri. - (a, b] intervalının sonunda istənilən funksiyanın ikinci törəmələri sıfıra bərabərdir. B. 3-cü növ sərhəd şərtləri dövri adlanır. Teorem. Funksional (4) minimuma endirilən kubik spline S (x) ) və göstərilən üç növdən birinin sərhəd şərtlərini ödəyən unikal şəkildə müəyyən edilir.Tərif.Funksional J(f)-ni minimuma endirən və i-tipinin sərhəd şərtlərini ödəyən kubik spline i-tipinin hamarlaşdırıcı spline adlanır. .bu seqment dörd əmsalla.Ümumi seqmentlər - m.Beləliklə, splaynı tam müəyyən etmək üçün 4m ədəd tapmaq lazımdır.Şərt 5(ar) funksiyasının və bütün daxili qovşaqlardakı bütün törəmələrin davamlılığı deməkdir. tor o."Belə qovşaqların sayı m - 1-dir. Beləliklə, bütün çoxhədlilərin əmsallarını tapmaq üçün 3(m - 1) şərt (tənlik) alınır. onun üçün müəyyən ediləcək kəmiyyətlərin sayı 2m + 2-dir. Hər bir intervalda hamarlayıcı spline funksiyası aşağıdakı formada axtarılır. Əvvəlcə n* kəmiyyətlərinin necə tapıldığını təsvir edək. 1-ci və 2-ci növ sərhəd şərtləri üçün Hi qiymətlərini təyin etmək üçün xətti tənliklər sistemi məlum ədədlərin olduğu aşağıdakı formada yazılır). Əmsallar sərhəd şərtlərinin seçimindən asılıdır. 1-ci növ sərhəd şərtləri: 2-ci növ sərhəd şərtləri: 3-cü növ sərhəd şərtləri olduqda ədədlərin müəyyən edilməsi sistemi aşağıdakı kimi yazılır: üstəlik, bütün əmsallar (5) düsturları ilə hesablanır (kəmiyyətlər k və m + k indeksləri bərabər hesab olunur: Vacib* qeyd. Sistemlərin matrisləri degenerativ deyil və buna görə də bu sistemlərin hər birinin özünəməxsus həlli var. Əgər n, - ədədləri tapılarsa, o zaman kəmiyyətlər düsturlarla asanlıqla müəyyən edilir Hər şey və hamarlayıcı spline interpolyasiya olarsa. Bu, xüsusən də o deməkdir ki, dəyərlər nə qədər dəqiq verilsə, müvafiq çəki əmsallarının əvvəlcədən miqyaslı dəyəri daha kiçikdir. Digər tərəfdən, splaynın (x^, yk) nöqtəsindən keçməsi zəruridirsə, onda ona uyğun gələn p\ çəki əmsalı sıfıra bərabər təyin edilməlidir. Praktik hesablamalarda ən vacibi pi-Let D dəyərlərinin seçimidir - y dəyərinin ölçmə xətası. Onda təbiidir ki, hamarlayıcı splayn şərti ödəsin və ya eynidir.Ən sadə halda çəki əmsalları pi, məsələn, formada verilə bilər - burada c kifayət qədər kiçik sabitdir. Bununla belə, p çəkilərinin belə bir seçimi y, - dəyərlərindəki səhvlərə görə "dəhlizdən" istifadə etməyə imkan vermir. Daha rasional, həm də p-nin dəyərlərini təyin etmək üçün daha çox vaxt aparan bir alqoritm, - aşağıdakı kimi görünə bilər. Əgər fc-ci iterasiyada qiymətlər tapılarsa, onda e-nin kompüterin bit şəbəkəsi, D qiymətləri və dəqiqliyi nəzərə alınmaqla eksperimental olaraq seçilən kiçik bir ədəd olduğu qəbul edilir. xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli. Əgər fc-ci iterasiyada i nöqtəsində şərt (6) pozulursa, onda sonuncu düstur müvafiq çəki əmsalının p, azalmasını təmin edəcəkdir. Əgər onda, növbəti iterasiyada p-nin artması, "dəhlizin" (6) daha dolğun istifadəsinə və nəticədə, daha rəvan dəyişən spline gətirib çıxarır. Bir az nəzəriyyə A. İnterpolyasiya kub spline əmsallarının hesablanması üçün düsturların əsaslandırılması. m-nin naməlum kəmiyyətlər olduğu qeydi təqdim edirik. Onların sayı m + 1-ə bərabərdir. İnterpolyasiya şərtlərini ödədiyi formada yazılmış və bütün intervalda [a, b\ fasiləsiz olan splayn: düstura qoyaraq müvafiq olaraq əldə edirik.Bundan əlavə, o, [a, 6] intervalında davamlı birinci törəmə: diferensiasiya əlaqəsi (7) və təyinat, uyğunluğu alırıq. əslində. Göstərək ki, m ədədlərini elə seçmək olar ki, spline funksiyası (7) [a, 6] intervalında davamlı ikinci törəmə olsun. İnterval üzrə splaynın ikinci törəməsini hesablayın: x, - 0 nöqtəsində (t = 1-də) bizdə var Aralığın ikinci törəməsini hesablayın Bizdə olan nöqtədə İkinci törəmənin davamlılıq şərtindən daxili şəbəkə qovşaqlarında a; m - 1 münasibətini alırıq ki, bu m - 1 tənliklərinə sərhəd şərtlərindən və ondan irəli gələn daha ikisini əlavə edərək, m + I naməlum miy i = 0, 1 olan m + 1 xətti cəbri tənliklər sistemini alırıq. ... , m. 1-ci və 2-ci növ sərhəd şərtləri vəziyyətində gw dəyərlərinin hesablanması üçün tənliklər sistemi burada (1-ci növ sərhəd şərtləri), (2-ci növ sərhəd şərtləri) formasına malikdir. Dövri sərhəd şərtləri (3-cü növ sərhəd şərtləri) üçün şəbəkə o; daha bir düyünlə uzadın və qəbul edin Sonra r* dəyərlərini təyin etmək üçün sistem ikinci və (-ci - !) tor qovşaqlarında forma davamlılığına sahib olacaqdır. Bizdə var Son iki münasibətdən 4-cü növ sərhəd şərtlərinə uyğun gələn çatışmayan iki tənliyi əldə edirik: Tənliklərdən naməlum r0, naməlum pc isə tənliklərdən xaric, nəticədə tənliklər sistemi əldə edirik. Qeyd edək ki, bu sistemdə naməlumların sayı r - I-ə bərabərdir. 6. Hamarlanan subik splinenın səmərəliliyinin hesablanması üçün düsturların əsaslandırılması. Zi və nj-in hələ də naməlum kəmiyyətlər olduğu qeydi təqdim edirik. Onların sayı 2m + 2-ə bərabərdir.Şəklində yazılmış splayn funksiyası bütün intervalda (a, 6] fasiləsizdir: bu düsturla uyğun olaraq alırıq.Göstərək ki, z və n ədədləri ola bilər. ( 8) şəklində yazılmış splayn [a, 6] intervalında davamlı birinci törəməyə malik olsun ki, S(x) intervalında splaynın birinci törəməsini hesablayın: Bir nöqtədə, bizdə torun daxili qovşaqlarında splinenın birinci törəməsinin davamlılıq şərti və --> m - 1 əlaqəsini alırıq.Bu əlaqəni matris şəklində yazmaq rahatdır.(8) münasibəti və təyini, alırıq, müvafiq olaraq Yeshe olyu matris əlaqəsi funksional (4) minimumunun şərtindən alınır. Bizdə Son iki matris bərabərliyi 2m + 2 naməlumda 2m + 2 xətti cəbri tənliklərin xətti sistemi kimi qəbul edilə bilər. Birinci bərabərlikdə r sütununu onun (9) münasibətindən alınan ifadəsi ilə əvəz edərək, M sütununu təyin etmək üçün həllərin nümunələri SPLINE NƏZƏRİYYƏ matris tənliyinə çatırıq. Bu tənlik A + matrisinin unikal həllinə malikdir. 6HRH7 həmişə degenerativ deyil. Onu tapmaqla biz asanlıqla cənab Eamshine-i tanıyırıq. A və H üçbucaqlı matrislərinin elementləri n-i yalnız u (hi addımlarla) şəbəkə parametrləri ilə müəyyən edir və yj dəyərlərindən asılı deyildir. Kub Spline Funksiyalarının Xətti Məkanı [a, 6) seqmentində wcra + l qovşağında qurulan kub splaynlar çoxluğu m + 3 ölçülü xətti fəzadır: 1) şəbəkə u> tərəfindən qurulan iki kubik splaynların cəmi. və ixtiyari ədədlə u> üzərində qurulmuş kub spline hasilatı daha gizli şəkildə bu tor üzərində qurulmuş kub splaynlardır, 2) tor üzərində və qovşaqdan qurulmuş istənilən kub spline tamamilə m + 1 ilə müəyyən edilir. bu qovşaqlarda və iki sərhəd şəraitində y" dəyərlərinin dəyəri - cəmi + 3 parametr. Bu fəzada m + 3 xətti müstəqil splaynlardan ibarət bazis seçərək, onların xətti birləşməsi kimi ixtiyari kub spline a(x) yaza bilərik. Şərh. Belə splayn spesifikasiyası hesablama praktikasında geniş istifadə olunur. Xüsusilə əlverişli olan, kub B-splines adlanan (əsas və ya əsas, spline) ibarət əsasdır. D-spline-ların istifadəsi kompüter yaddaşına olan tələbləri əhəmiyyətli dərəcədə azalda bilər. L-splines. w şəbəkəsi boyunca ədəd xətti üzərində qurulmuş sıfır dərəcəli B-spline çəngəlin funksiyasıdır.u şəbəkəsi boyunca ədəd xətti üzərində qurulmuş k ^ I dərəcəli B-şəkilli ikinci rekursiv düsturla müəyyən edilir. in\7\x) dərəcələri müvafiq olaraq Şəkil 11 və 12-də göstərilmişdir. B-ixtiyari k dərəcəli spline yalnız müəyyən seqmentdə (k + 2 qovşaqları ilə müəyyən edilir) sıfırdan fərqlənə bilər. B kubunu nömrələmək daha rahatdır. -splaynları elə düzəldin ki, B,-3* (n) ir,-+2] seqmentində sıfırdan fərqli olsun.Vahid tor halı üçün üçüncü dərəcəli kub spline üçün düstur verək (şəkilli). A addımı).Başqa hallarda bizdə var.Kubik B-splinenin tipik qrafiki Şəkil 13-də təqdim edilmişdir. a) funksiyası seqmentdə iki dəfə davamlı diferensiallanır, yəni C2 sinfinə aiddir. [a, "), c) yalnız dörd ardıcıl seqmentdə genişlənmiş şəbəkə w * ayda sıfırdan fərqlidir m + 3 kub B-spline ailəsini qurmaq lazımdır: Bu ailə (a, b] seqmentində kubik splinelar məkanında əsas təşkil edir. Beləliklə, o torunun |s, 6] seqmentində qurulmuş ixtiyari kub spline S(z); +1 qovşaqlarından, bu seqmentdə xətti kombinasiya kimi təqdim oluna bilər.Bu genişlənmənin əmsalları ft problemin şərtləri ilə unikal şəkildə müəyyən edilir. ... Şəbəkənin qovşaqlarında funksiyanın dəyərləri və şəbəkənin sonundakı funksiyanın birinci törəməsinin dəyərləri olduqda (interpolyasiya problemi ilə) birinci növ sərhəd şərtləri), bu əmsallar aşağıdakı i və &m+i formalı sistemdən hesablanır, naməlumları 5q, ... , bm olan xətti sistem və üç diaqonal matrisi əldə edirik.Şərt diaqonalı təmin edir. dominantlıq və buna görə də onu həll etmək üçün süpürmə metodundan istifadə etmək imkanı.interpolyasiya problemləri Zmmchm* 2. Bölmə 1.1-də təsvir olunan alqoritmlərlə müqayisədə interpolyasiya məsələlərində R-splaynın istifadəsi * saxlanılan məlumatın həcmini azaldır, yəni əməliyyatların sayının artmasına səbəb olsa da, kompüter yaddaşına olan tələbləri əhəmiyyətli dərəcədə azaldır. . Spline funksiyalarından istifadə edərək spline əyrilərinin qurulması Yuxarıda nöqtələri nömrələnmiş massivlər nəzərdən keçirilmişdir ki, onların absisləri ciddi şəkildə artan ardıcıllıq təşkil etsin. Məsələn, Şəkildə təsvir olunan hal. 14, massivin müxtəlif nöqtələrində eyni absis olduqda icazə verilmir. Bu vəziyyət həm yaxınlaşma əyriləri sinfinin (funksiyaların hərəkəti) seçimini, həm də onların qurulması metodunu müəyyən etdi. Bununla belə, yuxarıda təklif olunan üsul, massiv nöqtələrinin nömrələnməsi və onların müstəvidə yerləşməsi, bir qayda olaraq, əlaqəli olmayan daha ümumi halda interpolyasiya əyrisini kifayət qədər uğurla qurmağa imkan verir (şək. 15). Üstəlik, interpolyasiya əyrisinin qurulması problemini qoyarkən, verilmiş massivi qeyri-planar hesab edə bilərik, yəni aydındır ki, bu ümumi problemi həll etmək üçün icazə verilən əyrilər sinfini, o cümlədən, əhəmiyyətli dərəcədə genişləndirmək lazımdır. həm qapalı əyrilər, həm də öz-özünə kəsişmə nöqtələri olan əyrilər və məkan əyriləri. Bu cür əyriləri parametrik tənliklərdən istifadə edərək təsvir etmək rahatdır. əlavə olaraq funksiyaların kifayət qədər hamar olması üçün, məsələn, onlar C1 [a, /0] sinfinə və ya sinfinə aiddir. Massivin bütün nöqtələrindən ardıcıl keçən əyrinin parametrik tənliklərini tapmaq üçün aşağıdakı kimi davam edin. 1-ci addım. ixtiyari intervalda)