Vizatoni një grafik duke përdorur derivatin. Si të kryhet një studim i plotë i funksionit

Për një studim të plotë të funksionit dhe vizatimin e grafikut të tij, rekomandohet të përdorni skemën e mëposhtme:

1) gjeni qëllimin e funksionit;

2) gjeni pikat e ndërprerjes së funksionit dhe asimptotave vertikale (nëse ekzistojnë);

3) të hetojë sjelljen e funksionit në pafundësi, të gjejë asimptotën horizontale dhe të zhdrejtë;

4) të hetojë funksionin për njëtrajtësinë (çuditshmërinë) dhe për periodicitetin (për funksionet trigonometrike);

5) gjeni ekstremet dhe intervalet e monotonitetit të funksionit;

6) të përcaktojë intervalet e konveksitetit dhe pikave të përkuljes;

7) gjeni pikat e kryqëzimit me boshtet e koordinatave, nëse është e mundur, dhe disa pika shtesë që përsosin grafikun.

Studimi i funksionit kryhet njëkohësisht me ndërtimin e grafikut të tij.

Shembulli 9 Eksploroni funksionin dhe ndërtoni një grafik.

1. Domeni i përkufizimit: ;

2. Funksioni prishet në pika
,
;

Ne hulumtojmë funksionin për praninë e asimptotave vertikale.

;
,
─ asimptotë vertikale.

3. Hetojmë funksionin për praninë e asimptotave të zhdrejta dhe horizontale.

Drejt
─ asimptotë e zhdrejtë, nëse
,
.

,
.

Drejt
─ asimptotë horizontale.

4. Funksioni është çift sepse
. Pariteti i funksionit tregon simetrinë e grafikut në lidhje me boshtin y.

5. Gjeni intervalet e monotonitetit dhe ekstremeve të funksionit.

Le të gjejmë pikat kritike, d.m.th. pikat ku derivati është 0 ose nuk ekziston:
;
. Kemi tre pikë
;

. Këto pika e ndajnë të gjithë boshtin real në katër intervale. Le të përcaktojmë shenjat në secilën prej tyre.

Në intervalet (-∞; -1) dhe (-1; 0) funksioni rritet, në intervalet (0; 1) dhe (1; +∞) zvogëlohet. Kur kalon nëpër një pikë
derivati ndryshon shenjën nga plus në minus, prandaj, në këtë pikë, funksioni ka një maksimum
.

6. Të gjejmë intervalet e konveksitetit, pikat e lakimit.

Le të gjejmë pikat ku është 0, ose nuk ekziston.

nuk ka rrënjë të vërteta.
,
,

pikë
dhe
ndani boshtin real në tre intervale. Le të përcaktojmë shenjën në çdo interval.

Kështu, kurba në intervale
dhe
konveks poshtë, në intervalin (-1;1) konveks lart; nuk ka pika lakimi, pasi funksioni në pika
dhe
të paspecifikuara.

7. Gjeni pikat e kryqëzimit me boshtet.

me bosht
grafiku i funksionit kryqëzohet në pikën (0; -1), dhe me boshtin
grafiku nuk ndërpritet, sepse numëruesi i këtij funksioni nuk ka rrënjë reale.

Grafiku i funksionit të dhënë është paraqitur në Figurën 1.

Figura 1 ─ Grafiku i funksionit

Zbatimi i konceptit të derivatit në ekonomi. Elasticiteti i funksionit

Për të studiuar proceset ekonomike dhe për të zgjidhur të tjera detyrat e aplikuara Koncepti i elasticitetit të një funksioni përdoret shpesh.

Përkufizimi. Elasticiteti i funksionit
quhet kufiri i raportit të rritjes relative të funksionit ndaj rritjes relative të ndryshores në
, . (VII)

Elasticiteti i një funksioni tregon përafërsisht sa për qind do të ndryshojë funksioni
kur ndryshon ndryshoren e pavarur me 1%.

Elasticiteti i një funksioni përdoret në analizën e kërkesës dhe konsumit. Nëse elasticiteti i kërkesës (në vlerë absolute)
, atëherë kërkesa konsiderohet elastike nëse
─ neutral nëse
─ joelastike në lidhje me çmimin (ose të ardhurat).

Shembulli 10 Llogaritni elasticitetin e një funksioni
dhe gjeni vlerën e indeksit të elasticitetit për = 3.

Zgjidhje: sipas formulës (VII) elasticiteti i funksionit:

Le të jetë x=3 atëherë
Kjo do të thotë se nëse ndryshorja e pavarur rritet me 1%, atëherë vlera e ndryshores së varur do të rritet me 1.42%.

Shembulli 11 Lëreni kërkesën të funksionojë në lidhje me çmimin ka formën
, ku ─ koeficient konstant. Gjeni vlerën e indeksit të elasticitetit të funksionit të kërkesës me çmimin x = 3 den. njësi

Zgjidhje: llogaritni elasticitetin e funksionit të kërkesës duke përdorur formulën (VII)

Duke supozuar
njësitë monetare, marrim
. Kjo do të thotë se në çmim
njësi monetare një rritje çmimi prej 1% do të shkaktojë një ulje të kërkesës me 6%, d.m.th. kërkesa është elastike.

Le të shqyrtojmë funksionin $y= \frac(x^3)(1-x) $ dhe të ndërtojmë grafikun e tij.

1. Domeni i përkufizimit.
Fusha e përkufizimit të një funksioni (fraksioni) racional do të jetë: emëruesi nuk është i barabartë me zero, d.m.th. $1 -x \ne 0 => x \ne 1$. Domeni $$D_f= (-\infty; 1) \kupa (1;+\infty)$$

2. Pikat e ndërprerjes së një funksioni dhe klasifikimi i tyre.
Funksioni ka një pikë pushimi x = 1
ekzaminoni pikën x= 1. Gjeni kufirin e funksionit në të djathtë dhe në të majtë të pikës së ndërprerjes, në të djathtë $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1-x )) = -\infty $$ dhe në të majtë të pikës $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ kufijtë e njëanshëm janë $\infty$.

Vija e drejtë $x = 1$ është një asimptotë vertikale.

3. Njëtrajtshmëria e funksionit.
Duke kontrolluar barazinë $f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) $ funksioni nuk është as çift dhe as tek.

4. Zerot e funksionit (pikat e prerjes me boshtin Ox). Intervalet e qëndrueshmërisë së funksionit.
Funksioni zero ( pika e kryqëzimit me boshtin Ox): barazojmë $y=0$, marrim $\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 $. Kurba ka një pikë kryqëzimi me boshtin Ox me koordinatat $(0;0)$.

Intervalet e qëndrueshmërisë së funksionit.
Në intervalet e konsideruara $(-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$ kurba ka një pikë të prerjes me boshtin Ox, kështu që ne do të shqyrtojmë domenin e përkufizimit në tre intervale.

Le të përcaktojmë shenjën e funksionit në intervalet e fushës së përkufizimit:
intervali $(-\infty; 0) $ gjeni vlerën e funksionit në çdo pikë $f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 $, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0 $, т.е. находится ниже оси Ox
intervali $(0; 1) $ gjeni vlerën e funksionit në çdo pikë $f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 $, në këtë interval funksioni është pozitiv $f(x) > 0 $, d.m.th. është mbi boshtin x.
intervali $(1;+\infty) $ gjeni vlerën e funksionit në çdo pikë $f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 $, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0 $, т.е. находится ниже оси Ox

5. Pikat e kryqëzimit me boshtin Oy: barazojmë $x=0 $, marrim $f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0$. Koordinatat e pikës së kryqëzimit me boshtin Oy $(0; 0)$

6. Intervalet e monotonitetit. Ekstremet e funksionit.
Le të gjejmë pikat kritike (stacionare), për këtë gjejmë derivatin e parë dhe e barazojmë me zero $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1 -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ barazohet me 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Gjeni vlerën e funksionit në këtë pikë $f (0) = 0$ dhe $f(\frac(3)(2)) = -6,75$. Mori dy pika kritike me koordinatat $(0;0)$ dhe $(1.5;-6.75)$

Intervalet e monotonitetit.
Funksioni ka dy pika kritike (pikat e mundshme ekstreme), kështu që ne do të shqyrtojmë monotoninë në katër intervale:
intervali $(-\infty; 0) $ gjeni vlerën e derivatit të parë në çdo pikë të intervalit $f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
intervali \((0;1)$ gjeni vlerën e derivatit të parë në çdo pikë të intervalit $f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0$ , funksioni rritet në këtë interval.
intervali $(1;1.5)$ gjeni vlerën e derivatit të parë në çdo pikë të intervalit $f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0$ , funksioni rritet në këtë interval.
intervali $(1.5; +\infty)$ gjeni vlerën e derivatit të parë në çdo pikë të intervalit $f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0$, на этом интервале функция убывает.

Ekstremet e funksionit.

Në studimin e funksionit janë marrë dy pika kritike (stacionare) në intervalin e domenit të përkufizimit. Le të përcaktojmë nëse ato janë ekstreme. Merrni parasysh ndryshimin në shenjën e derivatit kur kaloni nëpër pikat kritike:

pika $x = 0$ derivati ndryshon shenjën nga $\quad +\quad 0 \quad + \quad$ - pika nuk është një ekstrem.
pika $x = 1.5$ derivati ndryshon shenjën nga $\quad +\quad 0 \quad - \quad$ - pika është pika maksimale.

7. Intervalet e konveksitetit dhe konkavitetit. Pikat e lakimit.

Për të gjetur intervalet e konveksitetit dhe konkavitetit, gjejmë derivatin e dytë të funksionit dhe e barazojmë me zero $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Set $$ e barabartë me zero \frac(2x(x^2-3x+3))(( 1-x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Funksioni ka një pikë kritike të llojit të dytë me koordinata \((0;0)\ ).
Le të përcaktojmë konveksitetin në intervalet e fushës së përkufizimit, duke marrë parasysh pikën kritike të llojit të dytë (pika e lakimit të mundshëm).

intervali $(-\infty; 0)$ gjeni vlerën e derivatit të dytë në çdo pikë $f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 $, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f""(x) < 0 $ - функция выпуклая вверх (вогнутая).
intervali $(0; 1)$ gjeni vlerën e derivatit të dytë në çdo pikë $f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x)^ 3) > 0 $, në këtë interval derivati i dytë i funksionit është pozitiv $f""(x) > 0 $ funksioni është konveks në rënie (konveks).
intervali $(1; \infty)$ gjeni vlerën e derivatit të dytë në çdo pikë $f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 $, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f""(x) < 0 $ - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Pikat e lakimit.

Merrni parasysh ndryshimin e shenjës së derivatit të dytë kur kaloni nëpër një pikë kritike të llojit të dytë:
Në pikën $x =0$ derivati i dytë ndryshon shenjën nga $\quad - \quad 0 \quad + \quad$, grafiku i funksionit ndryshon konveksitetin, d.m.th. kjo është pika e lakimit me koordinatat $(0;0)$.

8. Asimptota.

Asimptotë vertikale. Grafiku i funksionit ka një asimptotë vertikale $x =1$ (shih pikën 2).
Asimptotë e zhdrejtë.
Në mënyrë që grafiku i funksionit $y= \frac(x^3)(1-x) $ për $x \to \infty$ të ketë një asimptotë të zhdrejtë $y = kx+b$ , është i nevojshëm dhe i mjaftueshëm, që të ketë dy kufij $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ gjeje $$ \lim_(x \ në \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ dhe kufiri i dytë $$ \lim_(x \to +\infty)(f( x) - kx) = b$ $, sepse $k = \infty$ - nuk ka asimptotë të zhdrejtë.

Asimptota horizontale: në mënyrë që të ekzistojë asimptota horizontale, është e nevojshme që kufiri $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ të ekzistojë, gjejeni atë $$ \lim_(x \to +\infty) (\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\infty $$
Nuk ka asimptotë horizontale.

9. Grafiku i funksionit.

Kryeni një studim të plotë dhe vizatoni një grafik funksioni

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Shtrirja e funksionit. Meqenëse funksioni është një thyesë, ju duhet të gjeni zerot e emëruesit.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Ne përjashtojmë pikën e vetme x=1x=1 nga zona e përcaktimit të funksionit dhe marrim:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Le të studiojmë sjelljen e funksionit në afërsi të pikës së ndërprerjes. Gjeni kufijtë e njëanshëm:

Meqenëse kufijtë janë të barabartë me pafundësinë, pika x=1x=1 është një ndërprerje e llojit të dytë, drejtëza x=1x=1 është një asimptotë vertikale.

3) Le të përcaktojmë pikat e kryqëzimit të grafikut të funksionit me boshtet e koordinatave.

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit me boshtin e ordinatave OyOy, për të cilat barazojmë x=0x=0:

Kështu, pika e kryqëzimit me boshtin OyOy ka koordinata (0;8)(0;8).

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit me boshtin e abshisave OxOx, për të cilat vendosim y=0y=0:

Ekuacioni nuk ka rrënjë, kështu që nuk ka pika kryqëzimi me boshtin OxOx.

Vini re se x2+8>0x2+8>0 për çdo xx. Prandaj, për x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funksioni y>0y>0(merr vlerat pozitive, grafiku është mbi boshtin x), për x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) funksioni y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funksioni nuk është as çift dhe as tek sepse:

5) Ne hetojmë funksionin për periodicitet. Funksioni nuk është periodik, pasi është një funksion racional thyesor.

6) Ne hetojmë funksionin për ekstremet dhe monotoninë. Për ta bërë këtë, gjejmë derivatin e parë të funksionit:

Le të barazojmë derivatin e parë me zero dhe të gjejmë pikat stacionare (në të cilat y′=0y′=0):

Ne morëm tre pika kritike: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Ne e ndajmë të gjithë domenin e funksionit në intervale nga këto pika dhe përcaktojmë shenjat e derivatit në çdo interval:

Për x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) derivati y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Për x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) derivatin y′>0y′>0, funksioni rritet në këto intervale.

Në këtë rast, x=−2x=−2 është një pikë minimale lokale (funksioni zvogëlohet dhe më pas rritet), x=4x=4 është një pikë maksimale lokale (funksioni rritet dhe më pas zvogëlohet).

Le të gjejmë vlerat e funksionit në këto pika:

Kështu, pika minimale është (−2;4)(−2;4), pika maksimale është (4;−8)(4;−8).

7) Ne ekzaminojmë funksionin për përthyerje dhe konveksitet. Le të gjejmë derivatin e dytë të funksionit:

Barazoni derivatin e dytë me zero:

Ekuacioni që rezulton nuk ka rrënjë, kështu që nuk ka pika lakimi. Për më tepër, kur x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 është i kënaqur, domethënë, funksioni është konkav kur x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Ne hetojmë sjelljen e funksionit në pafundësi, domethënë në .

Meqenëse kufijtë janë të pafund, nuk ka asimptota horizontale.

Le të përpiqemi të përcaktojmë asimptota të zhdrejta të formës y=kx+nga=kx+b. Ne llogarisim vlerat e k,bk,b sipas formulave të njohura:

Ne zbuluam se funksioni ka një asimptotë të zhdrejtë y=−x−1y=−x−1.

9) Pikat shtesë. Le të llogarisim vlerën e funksionit në disa pika të tjera për të ndërtuar një grafik më saktë.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Bazuar në të dhënat e marra do të ndërtojmë një grafik, do ta plotësojmë me asimptota x=1x=1 (blu), y=−x−1y=−x−1 (jeshile) dhe do të shënojmë pikat karakteristike (kryqëzimin me y -boshti është vjollcë, skajet janë portokalli, pikat shtesë janë të zeza):

Detyra 4: Detyrat gjeometrike, ekonomike (nuk e kam idenë se çfarë, këtu është një përzgjedhje e përafërt e detyrave me një zgjidhje dhe formula)

Shembulli 3.23. a

Vendimi. x dhe y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Meqenëse x = a/4 është e vetmja pikë kritike, le të kontrollojmë nëse shenja e derivatit ndryshon kur kalon në këtë pikë. Për xa/4 S "> 0, dhe për x >a/4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Shembulli 3.24.

Vendimi.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Shembulli 3.22. Gjeni ekstremin e funksionit f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Vendimi. Meqenëse f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), atëherë pikat kritike të funksionit x 1 \u003d 2 dhe x 2 \u003d 3. Pikat ekstreme mund të të jetë vetëm në këto pika. Pra, pasi kur kalon në pikën x 1 \u003d 2, derivati ndryshon shenjën nga plus në minus, atëherë në këtë pikë funksioni ka një maksimum. Kur kalon në pikën x 2 \u003d 3, derivati ndryshon shenjën nga minus në plus, prandaj, në pikën x 2 \u003d 3, funksioni ka një minimum. Llogaritja e vlerave të funksionit në pikë
x 1 = 2 dhe x 2 = 3, gjejmë ekstremin e funksionit: maksimumi f(2) = 14 dhe minimumi f(3) = 13.

Shembulli 3.23. Pranë murit prej guri është e nevojshme të ndërtohet një zonë drejtkëndëshe në mënyrë që të rrethohet me rrjetë teli nga tre anët dhe të ngjitet me murin nga ana e katërt. Për këtë ka a metra linearë të rrjetit. Në çfarë raporti aspekti do të ketë siti zonën më të madhe?

Vendimi. Shënoni anët e faqes përmes x dhe y. Zona e sitit është S = xy. Le te jete yështë gjatësia e anës ngjitur me murin. Pastaj, sipas kushtit, duhet të jetë barazia 2x + y = a. Prandaj y = a - 2x dhe S = x(a - 2x), ku
0 ≤ x ≤ a/2 (gjatësia dhe gjerësia e zonës nuk mund të jenë negative). S "= a - 4x, a - 4x = 0 për x = a/4, prej nga
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Meqenëse x = a/4 është e vetmja pikë kritike, le të kontrollojmë nëse shenja e derivatit ndryshon kur kalon në këtë pikë. Për xa/4 S "> 0, dhe për x >a/4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Shembulli 3.24. Kërkohet të bëhet një rezervuar cilindrik i mbyllur me kapacitet V=16p ≈ 50 m 3 . Cilat duhet të jenë dimensionet e rezervuarit (rrezja R dhe lartësia H) në mënyrë që të përdoret sa më pak material për prodhimin e tij?

Vendimi. Sipërfaqja totale e cilindrit është S = 2pR(R+H). Dihet vëllimi i cilindrit V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Prandaj, S(R) = 2p(R2 +16/R). Gjejmë derivatin e këtij funksioni:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 për R 3 \u003d 8, prandaj,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Informacione të ngjashme.

Privatësia juaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi lexoni politikën tonë të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar një person specifik ose për ta kontaktuar atë.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për t'ju dërguar njoftime dhe mesazhe të rëndësishme.
Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
Nëse hyni në një tërheqje çmimesh, konkurs ose nxitje të ngjashme, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi ndaj palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

Në rast se është e nevojshme - në përputhje me ligjin, urdhrin gjyqësor, në procedurat ligjore dhe / ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga organet shtetërore në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për arsye sigurie, zbatimi të ligjit ose arsye të tjera të interesit publik.
Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund të transferojmë informacionin personal që mbledhim te pasardhësi i palës së tretë përkatëse.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe nga aksesi, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Ruajtja e privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne u komunikojmë punonjësve tanë praktikat e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Nëse në problem është e nevojshme të kryhet një studim i plotë i funksionit f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 me ndërtimin e grafikut të tij, atëherë ne do ta shqyrtojmë këtë parim në detaje.

Për të zgjidhur një problem të këtij lloji, duhet të përdoren vetitë dhe grafikët e kryesore funksionet elementare. Algoritmi i kërkimit përfshin hapat e mëposhtëm:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Gjetja e fushës së përkufizimit

Meqenëse hulumtimi kryhet në fushën e funksionit, është e nevojshme të fillohet me këtë hap.

Shembulli 1

Mbrapa shembulli i dhënë përfshin gjetjen e zerove të emëruesit në mënyrë që t'i përjashtojë ato nga DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Si rezultat, ju mund të merrni rrënjë, logaritme, etj. Pastaj ODZ mund të kërkohet për rrënjën e një shkalle çift të tipit g (x) 4 nga pabarazia g (x) ≥ 0 , për logaritmin log a g (x) nga pabarazia g (x) > 0 .

Hetimi i kufijve të ODZ dhe gjetja e asimptotave vertikale

Ka asimptota vertikale në kufijtë e funksionit, kur kufijtë e njëanshëm në pika të tilla janë të pafundme.

Shembulli 2

Për shembull, merrni parasysh pikat kufitare të barabarta me x = ± 1 2 .

Pastaj është e nevojshme të studiohet funksioni për të gjetur kufirin e njëanshëm. Pastaj marrim se: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Kjo tregon se kufijtë e njëanshëm janë të pafund, që do të thotë se drejtëzat x = ± 1 2 janë asimptota vertikale të grafikut.

Hetimi i funksionit dhe për çift ose tek

Kur plotësohet kushti y (- x) = y (x), funksioni konsiderohet të jetë çift. Kjo sugjeron që grafiku ndodhet në mënyrë simetrike në lidhje me O y. Kur plotësohet kushti y (- x) = - y (x), funksioni konsiderohet tek. Kjo do të thotë që simetria shkon në lidhje me origjinën e koordinatave. Nëse të paktën një pabarazi dështon, marrim një funksion të formës së përgjithshme.

Plotësimi i barazisë y (- x) = y (x) tregon se funksioni është çift. Gjatë ndërtimit, është e nevojshme të merret parasysh se do të ketë simetri në lidhje me O y.

Për të zgjidhur pabarazinë, përdoren intervalet e rritjes dhe uljes me kushtet f "(x) ≥ 0 dhe f" (x) ≤ 0, përkatësisht.

Përkufizimi 1

Pikat e palëvizshme janë pika që e kthejnë derivatin në zero.

Pikat kritike janë pika të brendshme nga fusha ku derivati i funksionit është i barabartë me zero ose nuk ekziston.

Kur merrni një vendim, duhet të merren parasysh pikat e mëposhtme:

për intervalet ekzistuese të rritjes dhe uljes së pabarazisë së formës f "(x) > 0, pikat kritike nuk përfshihen në zgjidhje;
pikat në të cilat funksioni përcaktohet pa një derivat të fundëm duhet të përfshihen në intervalet e rritjes dhe uljes (për shembull, y \u003d x 3, ku pika x \u003d 0 e bën funksionin të përcaktuar, derivati ka vlerën e pafundësisë në këtë pikë, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 përfshihet në intervalin e rritjes);
për të shmangur mosmarrëveshjet, rekomandohet përdorimi i literaturës matematikore, e cila rekomandohet nga Ministria e Arsimit.

Përfshirja e pikave kritike në intervalet e rritjes dhe zvogëlimit në rast se ato plotësojnë domenin e funksionit.

Përkufizimi 2

Për duke përcaktuar intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit, është e nevojshme të gjendet:

derivat;
pikat kritike;
thyejnë fushën e përkufizimit me ndihmën e pikave kritike në intervale;
përcaktoni shenjën e derivatit në secilin nga intervalet, ku + është një rritje dhe - është një rënie.

Shembulli 3

Gjeni derivatin në domenin f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Vendimi

Për të zgjidhur ju duhet:

gjeni pika stacionare, ky shembull ka x = 0 ;
gjeni zerot e emëruesit, shembulli merr vlerën zero në x = ± 1 2 .

Ne ekspozojmë pikat në boshtin numerik për të përcaktuar derivatin në çdo interval. Për ta bërë këtë, mjafton të marrësh çdo pikë nga intervali dhe të bësh një llogaritje. Në një rezultat pozitiv në grafik, ne përshkruajmë +, që do të thotë një rritje në funksion, dhe - do të thotë ulje e tij.

Për shembull, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, që do të thotë se intervali i parë në të majtë ka një shenjë +. Merrni parasysh numrin linjë.

Përgjigje:

ka një rritje të funksionit në intervalin - ∞ ; - 1 2 dhe (- 1 2 ; 0 ] ;
ka një rënie në intervalin [0; 1 2) dhe 1 2 ; +∞ .

Në diagram, duke përdorur + dhe -, përshkruhen pozitiviteti dhe negativiteti i funksionit, dhe shigjetat tregojnë ulje dhe rritje.

Pikat ekstreme të një funksioni janë pikat ku përcaktohet funksioni dhe përmes të cilave derivati ndryshon shenjën.

Shembulli 4

Nëse marrim parasysh një shembull ku x \u003d 0, atëherë vlera e funksionit në të është f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Kur shenja e derivatit ndryshon nga + në - dhe kalon nëpër pikën x \u003d 0, atëherë pika me koordinata (0; 0) konsiderohet pika maksimale. Kur shenja ndryshohet nga - në +, marrim pikën minimale.

Konveksiteti dhe konkaviteti përcaktohen duke zgjidhur pabarazitë e formës f "" (x) ≥ 0 dhe f "" (x) ≤ 0 . Më rrallë ata përdorin emrin fryrje poshtë në vend të konkavitetit, dhe fryrje lart në vend të fryrjes.

Përkufizimi 3

Për përcaktimi i boshllëqeve të konkavitetit dhe konveksitetit e nevojshme:

gjeni derivatin e dytë;
gjeni zerot e funksionit të derivatit të dytë;
thyejnë fushën e përkufizimit me pikat që shfaqen në intervale;
përcaktoni shenjën e hendekut.

Shembulli 5

Gjeni derivatin e dytë nga fusha e përkufizimit.

Vendimi

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Gjejmë zerot e numëruesit dhe emëruesit, ku, duke përdorur shembullin tonë, kemi se zerot e emëruesit x = ± 1 2

Tani duhet të vendosni pika në vijën numerike dhe të përcaktoni shenjën e derivatit të dytë nga çdo interval. Ne e kuptojmë atë

Përgjigje:

funksioni është konveks nga intervali - 1 2 ; 12 ;
funksioni është konkav nga boshllëqet - ∞ ; - 1 2 dhe 1 2 ; +∞ .

Përkufizimi 4

pika e përkuljesështë një pikë e formës x 0; f(x0) . Kur ka një tangjente me grafikun e funksionit, atëherë kur kalon në x 0, funksioni ndryshon shenjën në të kundërtën.

Me fjalë të tjera, kjo është një pikë e tillë përmes së cilës kalon derivati i dytë dhe ndryshon shenjën, dhe në vetë pikat është e barabartë me zero ose nuk ekziston. Të gjitha pikat konsiderohen të jenë domeni i funksionit.

Në shembull, u pa se nuk ka pika lakimi, pasi derivati i dytë ndryshon shenjën duke kaluar nëpër pikat x = ± 1 2 . Ata, nga ana tjetër, nuk përfshihen në fushën e përkufizimit.

Gjetja e asimptotave horizontale dhe të pjerrëta

Kur përcaktoni një funksion në pafundësi, duhet kërkuar asimptota horizontale dhe të zhdrejta.

Përkufizimi 5

Asimptota të zhdrejta vizatohen duke përdorur drejtëza të dhëna nga ekuacioni y = k x + b, ku k = lim x → ∞ f (x) x dhe b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Për k = 0 dhe b jo të barabartë me pafundësinë, gjejmë se asimptota e zhdrejtë bëhet horizontale.

Me fjalë të tjera, asimptotat janë linjat që grafiku i funksionit i afrohet në pafundësi. Kjo kontribuon në ndërtimin e shpejtë të grafikut të funksionit.

Nëse nuk ka asimptota, por funksioni është i përcaktuar në të dyja pafundësitë, është e nevojshme të llogaritet kufiri i funksionit në këto pafundësi për të kuptuar se si do të sillet grafiku i funksionit.

Shembulli 6

Si shembull, merrni parasysh atë

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

është një asimptotë horizontale. Pasi të keni studiuar funksionin, mund të filloni ta ndërtoni atë.

Llogaritja e vlerës së një funksioni në pikat e ndërmjetme

Për ta bërë vizatimin sa më të saktë, rekomandohet të gjeni disa vlera të funksionit në pikat e ndërmjetme.

Shembulli 7

Nga shembulli që kemi shqyrtuar, është e nevojshme të gjejmë vlerat e funksionit në pikat x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Meqenëse funksioni është i barabartë, marrim që vlerat përkojnë me vlerat në këto pika, domethënë, marrim x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Le të shkruajmë dhe zgjidhim:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Për të përcaktuar maksimumin dhe minimumin e funksionit, pikat e lakimit, pikat e ndërmjetme, është e nevojshme të ndërtohen asimptota. Për përcaktim të përshtatshëm, intervalet e rritjes, uljes, konveksitetit, konkavitetit janë të fiksuara. Konsideroni figurën më poshtë.