E rëndësishme!
Një funksion i formës “y = kx + b” quhet funksion linear.
Faktorët e shkronjës "k" dhe "b" quhen koeficientët numerikë.
Në vend të "k" dhe "b" mund të ketë çdo numër (pozitiv, negativ ose thyes).
Me fjalë të tjera, mund të themi se "y = kx + b" është një familje e të gjitha funksioneve të mundshme, ku në vend të "k" dhe "b" ka numra.
Shembuj të funksioneve si "y = kx + b".
- y = 5x + 3
- y = −x + 1
- y = x − 2
k = 2 3 b = −2 y = 0,5x k = 0,5 b = 0 Kushtojini vëmendje të veçantë funksionit "y = 0.5x" në tabelë. Ata shpesh bëjnë gabim duke kërkuar koeficientin numerik "b".
Kur merret parasysh funksioni “y = 0,5x”, është e gabuar të thuhet se nuk ka koeficient numerik “b” në funksion.
Koeficienti numerik "b" është gjithmonë i pranishëm në një funksion si "y = kx + b" gjithmonë. Në funksionin “y = 0,5x” koeficienti numerik “b” është zero.
Si të grafikoni një funksion linear
"y = kx + b"Mbani mend!
Grafiku i funksionit linear “y = kx + b” është drejtëz.
Meqenëse grafiku i funksionit “y = kx + b” është drejtëz, funksioni thirret funksion linear.
Nga gjeometria, le të kujtojmë aksiomën (një pohim që nuk kërkon prova) se përmes çdo dy pikash mund të vizatoni një vijë të drejtë dhe, për më tepër, vetëm një.
Bazuar në aksiomën e mësipërme, rezulton se për të vizatuar një funksion të formës
“y = kx + b” do të na mjaftojë të gjejmë vetëm dy pika.Për shembull le të ndërtojmë një grafik të funksionit"y = −2x + 1".
Le të gjejmë vlerën e funksionit "y" për dy vlera arbitrare "x". Le të zëvendësojmë, për shembull, në vend të "x" numrat "0" dhe "1".
E rëndësishme!
Kur zgjidhni vlera numerike arbitrare në vend të "x", është më mirë të merrni numrat "0" dhe "1". Është e lehtë të bësh llogaritje me këto numra.
Vlerat që rezultojnë "x" dhe "y" janë koordinatat e pikave në grafikun e funksionit.
Le të shkruajmë në tabelë koordinatat e marra të pikave “y = −2x + 1”.
Le të shënojmë pikat e marra në sistemin koordinativ.
Tani le të vizatojmë një vijë të drejtë nëpër pikat e shënuara. Kjo linjë do të jetë grafiku i funksionit “y = −2x + 1”.
Si të zgjidhni problemet në
funksioni linear "y = kx + b"Le të shqyrtojmë problemin.
Grafikoni funksionin “y = 2x + 3”. Gjeni sipas grafikut:
- vlera “y” që korrespondon me vlerën “x” e barabartë me -1; 2; 3; 5 ;
- vlera e "x" nëse vlera e "y" është 1; 4; 0; −1.
Së pari, le të vizatojmë funksionin "y = 2x + 3".
Ne përdorim rregullat me të cilat jemi superiorë. Për të grafikuar funksionin “y = 2x + 3” mjafton të gjejmë vetëm dy pika.
Le të zgjedhim dy vlera numerike arbitrare për "x". Për lehtësinë e llogaritjeve, ne do të zgjedhim numrat "0" dhe "1".
Le të bëjmë llogaritjet dhe të shkruajmë rezultatet e tyre në tabelë.
Le të shënojmë pikat e marra në sistemin e koordinatave drejtkëndëshe.
Le të lidhim pikat që rezultojnë me një vijë të drejtë. Vija e drejtë e vizatuar do të jetë një grafik i funksionit “y = 2x + 3”.
Tani punojmë me grafikun e ndërtuar të funksionit “y = 2x + 3”.
Ju duhet të gjeni vlerën "y" që korrespondon me vlerën "x",
që është e barabartë me −1; 2; 3; 5 .- kau" në zero (x = 0);
- zëvendësoni zero për "x" në formulën e funksionit dhe gjeni vlerën "y";
- Oj".
Në vend të "x" në formulën e funksionit "y = -1,5x + 3", le të zëvendësojmë numrin zero.
Y(0) = -1,5 0 + 3 = 3
(0; 3) - koordinatat e pikës së prerjes së grafikut të funksionit “y = −1,5x + 3” me boshtin “Oy”.Mbani mend!
Për të gjetur koordinatat e pikës së kryqëzimit të grafikut të një funksioni
me bosht" kau"(bosht x) ju duhet:- barazojnë koordinatat e një pike përgjatë boshtit "". Oj" në zero (y = 0);
- zëvendësoni zero në vend të "y" në formulën e funksionit dhe gjeni vlerën e "x";
- shkruani koordinatat e marra të pikës së kryqëzimit me boshtin " Oj".
Në vend të "y" në formulën e funksionit "y = -1,5x + 3", le të zëvendësojmë numrin zero.
0 = −1,5x + 3
1,5x = 3 | : (1.5)
x = 3: 1,5
x = 2
(2; 0) - koordinatat e pikës së prerjes së grafikut të funksionit “y = −1,5x + 3” me boshtin “Ox”.Për ta bërë më të lehtë të mbani mend se cila koordinatë e një pike duhet të barazohet me zero, mbani mend "rregullin e të kundërtave".
E rëndësishme!
Nëse keni nevojë të gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit të grafikut me boshtin " kau", atëherë barazojmë "y" me zero.
Dhe anasjelltas. Nëse keni nevojë të gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit të grafikut me boshtin "". Oj", atëherë barazojmë "x" me zero.
Nxënësit e shkollës përballen me detyrën për të ndërtuar një grafik të një funksioni që në fillim të studimit të algjebrës dhe vazhdojnë t'i ndërtojnë ato vit pas viti. Duke u nisur nga grafiku i një funksioni linear, për të cilin duhet të dini vetëm dy pika, te një parabolë, e cila tashmë kërkon 6 pika, një hiperbolë dhe një valë sinus. Çdo vit funksionet bëhen gjithnjë e më komplekse dhe nuk është më e mundur të ndërtohen grafikët e tyre duke përdorur një shabllon; është e nevojshme të kryhen studime më komplekse duke përdorur derivate dhe kufij.
Le të kuptojmë se si të gjejmë grafikun e një funksioni? Për ta bërë këtë, le të fillojmë me funksionet më të thjeshta, grafikët e të cilave vizatohen pikë për pikë, dhe më pas shqyrtojmë një plan për ndërtimin e funksioneve më komplekse.
Grafiku i një funksioni linear
Për të ndërtuar grafikët më të thjeshtë, përdorni një tabelë të vlerave të funksionit. Grafiku i një funksioni linear është një vijë e drejtë. Le të përpiqemi të gjejmë pikat në grafikun e funksionit y=4x+5.
- Për ta bërë këtë, le të marrim dy vlera arbitrare të ndryshores x, t'i zëvendësojmë ato një nga një në funksion, të gjejmë vlerën e ndryshores y dhe të vendosim gjithçka në tabelë.
- Merrni vlerën x=0 dhe zëvendësojeni në funksion në vend të x - 0. Marrim: y=4*0+5, pra y=5, shkruajmë këtë vlerë në tabelë nën 0. Në mënyrë të ngjashme, marrim x= 0, marrim y=4*1+5, y=9.
- Tani, për të ndërtuar një grafik të funksionit, duhet t'i vizatoni këto pika në planin koordinativ. Pastaj ju duhet të vizatoni një vijë të drejtë.
Grafiku i një funksioni kuadratik
Një funksion kuadratik është një funksion i formës y=ax 2 +bx +c, ku x është një ndryshore, a,b,c janë numra (a nuk është e barabartë me 0). Për shembull: y=x 2, y=x 2 +5, y=(x-3) 2, y=2x 2 +3x+5.
Për të ndërtuar funksionin kuadratik më të thjeshtë y=x 2, zakonisht merren 5-7 pikë. Le të marrim vlerat për ndryshoren x: -2, -1, 0, 1, 2 dhe të gjejmë vlerat e y në të njëjtën mënyrë si kur ndërtojmë grafikun e parë.
Grafiku i një funksioni kuadratik quhet parabolë. Pas ndërtimit të grafikëve të funksioneve, nxënësit kanë detyra të reja që lidhen me grafikun.
Shembulli 1: gjeni abshisën e pikës grafike të funksionit y=x 2 nëse ordinata është 9. Për të zgjidhur problemin, duhet të zëvendësoni vlerën e saj 9 në funksion në vend të y. Marrim 9=x 2 dhe zgjidhim këtë ekuacion. x=3 dhe x=-3. Kjo mund të shihet edhe në grafikun e funksionit.
Hulumtimi i një funksioni dhe vizatimi i tij
Për të hartuar grafikë të funksioneve më komplekse, duhet të kryeni disa hapa që synojnë studimin e tij. Për ta bërë këtë ju duhet:
- Gjeni domenin e përkufizimit të funksionit. Fusha e përkufizimit janë të gjitha vlerat që mund të marrë ndryshorja x. Ato pika në të cilat emëruesi bëhet 0 ose shprehja radikale bëhet negative duhet të përjashtohen nga fusha e përkufizimit.
- Caktoni nëse funksioni është çift apo tek. Kujtojmë se një funksion çift është ai që plotëson kushtin f(-x)=f(x). Grafiku i tij është simetrik në lidhje me Oy. Një funksion do të jetë tek nëse plotëson kushtin f(-x)=-f(x). Në këtë rast, grafiku është simetrik në lidhje me origjinën.
- Gjeni pikat e kryqëzimit me boshtet e koordinatave. Për të gjetur abshisën e pikës së prerjes me boshtin Ox, është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni f(x) = 0 (ordinata është e barabartë me 0). Për të gjetur ordinatën e pikës së kryqëzimit me boshtin Oy, është e nevojshme të zëvendësohet 0 në funksion në vend të ndryshores x (abshisa është 0).
- Gjeni asimptotat e funksionit. Një asiptotë është një vijë e drejtë që grafiku i afrohet pafundësisht, por nuk e kalon kurrë. Le të kuptojmë se si të gjejmë asimptotat e grafikut të një funksioni.
- Asimptota vertikale e drejtëzës x=a
- Asimptotë horizontale - drejtëz y=a
- Asimptotë e zhdrejtë - drejtëz e trajtës y=kx+b
- Gjeni pikat ekstreme të funksionit, intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit. Le të gjejmë pikat ekstreme të funksionit. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni derivatin e parë dhe ta barazoni atë me 0. Pikërisht në këto pika funksioni mund të ndryshojë nga rritës në zvogëlues. Le të përcaktojmë shenjën e derivatit në çdo interval. Nëse derivati është pozitiv, atëherë grafiku i funksionit rritet, nëse është negativ, zvogëlohet.
- Gjeni pikat e lakimit të grafikut të funksionit, intervalet e konveksitetit lart dhe poshtë.
Gjetja e pikave të lakimit tani është më e lehtë se kurrë. Thjesht duhet të gjesh derivatin e dytë, pastaj ta barazosh me zero. Më pas gjejmë shenjën e derivatit të dytë në çdo interval. Nëse është pozitiv, atëherë grafiku i funksionit është konveks poshtë, nëse është negativ, është konveks lart.
Funksioniështë një nga konceptet më të rëndësishme matematikore. Funksioni - varësia e ndryshueshme në nga ndryshorja x, nëse çdo vlerë X përputhet me një vlerë të vetme në. E ndryshueshme X quhet variabla ose argument i pavarur. E ndryshueshme në quhet ndryshorja e varur. Të gjitha vlerat e ndryshores së pavarur (ndryshore x) formojnë domenin e përkufizimit të funksionit. Të gjitha vlerat që merr ndryshorja e varur (ndryshore y), formojnë gamën e vlerave të funksionit.
Grafiku i funksionit thirrni grupin e të gjitha pikave të planit koordinativ, abshisat e të cilave janë të barabarta me vlerat e argumentit, dhe ordinatat janë të barabarta me vlerat përkatëse të funksionit, domethënë vlerat e variablat vizatohen përgjatë boshtit të abshisës x, dhe vlerat e ndryshores vizatohen përgjatë boshtit të ordinatave y. Për ta bërë këtë, ju duhet të njihni vetitë e funksionit. Karakteristikat kryesore të funksionit do të diskutohen më poshtë!
Për të hartuar një grafik funksioni, ne rekomandojmë përdorimin e programit tonë -. Nëse keni ndonjë pyetje gjatë studimit të materialit në këtë faqe, gjithmonë mund t'i bëni ato në faqen tonë. Gjithashtu në forum ata do t'ju ndihmojnë të zgjidhni problemet në matematikë, kimi dhe shumë lëndë të tjera!
Vetitë themelore të funksioneve.
1) Domeni i funksionit dhe diapazoni i funksionit.
Domeni i një funksioni është grupi i të gjitha vlerave të vlefshme të argumentit x(ndryshueshme x), për të cilin funksioni y = f(x) përcaktuar.
Gama e një funksioni është bashkësia e të gjitha vlerave reale y, të cilin funksioni e pranon.
Në matematikën elementare, funksionet studiohen vetëm në bashkësinë e numrave realë.
2) Funksioni zero.
Funksioni zero është vlera e argumentit në të cilin vlera e funksionit është e barabartë me zero.
3) Intervalet e shenjës konstante të një funksioni.
Intervalet e shenjës konstante të një funksioni janë grupe vlerash argumentesh mbi të cilat vlerat e funksionit janë vetëm pozitive ose vetëm negative.
4) Monotonia e funksionit.
Një funksion në rritje (në një interval të caktuar) është një funksion në të cilin një vlerë më e madhe e argumentit nga ky interval korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit.
Një funksion në rënie (në një interval të caktuar) është një funksion në të cilin një vlerë më e madhe e argumentit nga ky interval korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit.
5) Funksioni çift (tek)..
Një funksion çift është një funksion, domeni i përkufizimit të të cilit është simetrik në lidhje me origjinën dhe për cilindo X nga fusha e përkufizimit barazia f(-x) = f(x). Grafiku i një funksioni çift është simetrik ndaj ordinatës.
Një funksion tek është një funksion, domeni i përkufizimit të të cilit është simetrik në lidhje me origjinën dhe për cilindo X nga fusha e përkufizimit barazia është e vërtetë f(-x) = - f(x). Grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me origjinën.
6) Funksione të kufizuara dhe të pakufizuara.
Një funksion quhet i kufizuar nëse ka një numër pozitiv M të tillë që |f(x)| ≤ M për të gjitha vlerat e x. Nëse një numër i tillë nuk ekziston, atëherë funksioni është i pakufizuar.
7) Periodiciteti i funksionit.
Një funksion f(x) është periodik nëse ka një numër T jo-zero i tillë që për çdo x nga fusha e përcaktimit të funksionit vlen: f(x+T) = f(x). Ky numër më i vogël quhet periudha e funksionit. Të gjitha funksionet trigonometrike janë periodike. (
Gjatësia e segmentit në boshtin koordinativ përcaktohet nga formula:
Gjatësia e një segmenti në planin koordinativ gjendet duke përdorur formulën:
Për të gjetur gjatësinë e një segmenti në një sistem koordinativ tredimensional, përdorni formulën e mëposhtme:
Koordinatat e mesit të segmentit (për boshtin e koordinatave përdoret vetëm formula e parë, për planin koordinativ - dy formulat e para, për një sistem koordinativ tredimensional - të tre formula) llogariten duke përdorur formulat:
Funksioni– kjo është një korrespondencë e formularit y= f(x) ndërmjet sasive të ndryshueshme, për shkak të të cilave secila vlerëson vlerën e një sasie të ndryshueshme x(argument ose ndryshore e pavarur) korrespondon me një vlerë të caktuar të një ndryshoreje tjetër, y(ndryshore e varur, ndonjëherë kjo vlerë quhet thjesht vlera e funksionit). Vini re se funksioni supozon vlerën e një argumenti X vetëm një vlerë e ndryshores së varur mund të korrespondojë në. Megjithatë, e njëjta vlerë në mund të merret me të ndryshme X.
Funksioni Domain- këto janë të gjitha vlerat e ndryshores së pavarur (argumenti i funksionit, zakonisht ky X), për të cilin është përcaktuar funksioni, d.m.th. kuptimi i tij ekziston. Tregohet zona e përkufizimit D(y). Në përgjithësi, ju tashmë jeni njohur me këtë koncept. Domeni i përkufizimit të një funksioni quhet ndryshe domeni i vlerave të lejuara, ose VA, të cilin ju keni qenë në gjendje ta gjeni prej kohësh.
Gama e funksionit janë të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së varur të një funksioni të caktuar. I caktuar E(në).
Funksioni rritet në intervalin në të cilin një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit. Funksioni është në rënie në intervalin në të cilin një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit.
Intervalet e shenjës konstante të një funksioni- këto janë intervalet e ndryshores së pavarur mbi të cilat ndryshorja e varur ruan shenjën e saj pozitive ose negative.
Funksioni zero- këto janë vlerat e argumentit në të cilin vlera e funksionit është e barabartë me zero. Në këto pika, grafiku i funksionit pret boshtin e abshisave (boshti OX). Shumë shpesh, nevoja për të gjetur zerot e një funksioni nënkupton nevojën për të zgjidhur thjesht ekuacionin. Gjithashtu, shpesh nevoja për të gjetur intervale të qëndrueshmërisë së shenjës nënkupton nevojën për të zgjidhur thjesht pabarazinë.
Funksioni y = f(x) quhen madje X
Kjo do të thotë që për çdo vlerë të kundërt të argumentit, vlerat e funksionit çift janë të barabarta. Grafiku i një funksioni çift është gjithmonë simetrik në lidhje me boshtin e ordinatave të op-amp.
Funksioni y = f(x) quhen i çuditshëm, nëse është përcaktuar në një grup simetrik dhe për ndonjë X nga fusha e përkufizimit barazia vlen:
Kjo do të thotë që për çdo vlerë të kundërt të argumentit, vlerat e funksionit tek janë gjithashtu të kundërta. Grafiku i një funksioni tek është gjithmonë simetrik në lidhje me origjinën.
Shuma e rrënjëve të funksioneve çift dhe tek (pikat e kryqëzimit të boshtit x OX) është gjithmonë e barabartë me zero, sepse për çdo rrënjë pozitive X ka një rrënjë negative - X.
Është e rëndësishme të theksohet: disa funksione nuk duhet të jenë çift ose tek. Ka shumë funksione që nuk janë as çift e as tek. Funksione të tilla quhen funksionet e përgjithshme, dhe për ta asnjë nga barazitë ose vetitë e dhëna më sipër nuk plotësohet.
Funksioni linearështë një funksion që mund të jepet me formulën:
Grafiku i një funksioni linear është një vijë e drejtë dhe në rastin e përgjithshëm duket kështu (është dhënë një shembull për rastin kur k> 0, në këtë rast funksioni është në rritje; për rastin k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Grafiku i një funksioni kuadratik (Parabola)
Grafiku i një parabole jepet nga një funksion kuadratik:
Një funksion kuadratik, si çdo funksion tjetër, pret boshtin OX në pikat që janë rrënjët e tij: ( x 1 ; 0) dhe ( x 2 ; 0). Nëse nuk ka rrënjë, atëherë funksioni kuadratik nuk e pret boshtin OX; nëse ka vetëm një rrënjë, atëherë në këtë pikë ( x 0 ; 0) funksioni kuadratik prek vetëm boshtin OX, por nuk e pret atë. Funksioni kuadratik gjithmonë e pret boshtin OY në pikën me koordinatat: (0; c). Grafiku i një funksioni kuadratik (parabolë) mund të duket kështu (figura tregon shembuj që nuk shterojnë të gjitha llojet e mundshme të parabolave):
ku:
- nëse koeficienti a> 0, në funksion y = sëpatë 2 + bx + c, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart;
- nëse a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Koordinatat e kulmit të një parabole mund të llogariten duke përdorur formulat e mëposhtme. X majat (fq- në fotot e mësipërme) parabolat (ose pika në të cilën trinomi kuadratik arrin vlerën e tij më të madhe ose më të vogël):
Igrek majat (q- në figurat e mësipërme) parabolat ose maksimumi nëse degët e parabolës janë të drejtuara poshtë ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), vlera e trinomit kuadratik:
Grafikët e funksioneve të tjera
Funksioni i fuqisë
Këtu janë disa shembuj të grafikëve të funksioneve të fuqisë:
Në përpjesëtim të zhdrejtëështë një funksion i dhënë nga formula:
Në varësi të shenjës së numrit k Një grafik varësie në përpjesëtim të zhdrejtë mund të ketë dy opsione themelore:
Asimptotëështë një vijë me të cilën grafiku i një funksioni i afrohet pafundësisht, por nuk e kryqëzon. Asimptotat për grafikët e proporcionalitetit të anasjelltë të paraqitur në figurën e mësipërme janë boshtet koordinative të cilave grafiku i funksionit afrohet pafundësisht afër, por nuk i pret ato.
Funksioni eksponencial me bazë Aështë një funksion i dhënë nga formula:
a Grafiku i një funksioni eksponencial mund të ketë dy opsione themelore (ne japim edhe shembuj, shih më poshtë):
Funksioni logaritmikështë një funksion i dhënë nga formula:
Varësisht nëse numri është më i madh apo më i vogël se një a Grafiku i një funksioni logaritmik mund të ketë dy opsione themelore:
Grafiku i një funksioni y = |x| si në vazhdim:
Grafikët e funksioneve periodike (trigonometrike).
Funksioni në = f(x) quhet periodike, nëse ekziston një numër i tillë jozero T, Çfarë f(x + T) = f(x), për këdo X nga domeni i funksionit f(x). Nëse funksioni f(x) është periodike me periudhë T, pastaj funksioni:
Ku: A, k, b janë numra konstante, dhe k jo e barabartë me zero, gjithashtu periodike me periodë T 1, e cila përcaktohet nga formula:
Shumica e shembujve të funksioneve periodike janë funksione trigonometrike. Paraqesim grafikët e funksioneve kryesore trigonometrike. Figura e mëposhtme tregon një pjesë të grafikut të funksionit y= mëkat x(i gjithë grafiku vazhdon pafundësisht majtas dhe djathtas), grafiku i funksionit y= mëkat x thirrur sinusoid:
Grafiku i një funksioni y=cos x thirrur kosinusi. Ky grafik është paraqitur në figurën e mëposhtme. Meqenëse grafiku i sinusit vazhdon pafundësisht përgjatë boshtit OX majtas dhe djathtas:
Grafiku i një funksioni y= tg x thirrur tangentoid. Ky grafik është paraqitur në figurën e mëposhtme. Ashtu si grafikët e funksioneve të tjera periodike, ky grafik përsëritet pafundësisht përgjatë boshtit OX majtas dhe djathtas.
Dhe së fundi, grafiku i funksionit y=ctg x thirrur kotangjentoid. Ky grafik është paraqitur në figurën e mëposhtme. Ashtu si grafikët e funksioneve të tjera periodike dhe trigonometrike, ky grafik përsëritet pafundësisht përgjatë boshtit OX majtas dhe djathtas.
Zbatimi i suksesshëm, i zellshëm dhe i përgjegjshëm i këtyre tre pikave do t'ju lejojë të tregoni një rezultat të shkëlqyer në CT, maksimumin e asaj që jeni në gjendje.
Gjete një gabim?
Nëse mendoni se keni gjetur një gabim në materialet e trajnimit, ju lutemi shkruani në lidhje me të me email. Ju gjithashtu mund të raportoni një gabim në rrjetin social (). Në letër, tregoni lëndën (fizikë ose matematikë), emrin ose numrin e temës ose testit, numrin e problemit ose vendin në tekst (faqe) ku, sipas mendimit tuaj, ka një gabim. Gjithashtu përshkruani se cili është gabimi i dyshuar. Letra juaj nuk do të kalojë pa u vënë re, gabimi ose do të korrigjohet, ose do t'ju shpjegohet pse nuk është gabim.
Çfarë kuptimi kanë fjalët? "vendos një funksion"? Ata do të thotë: shpjegoni të gjithëve që duan të dinë se çfarë funksion specifik po flasim. Për më tepër, shpjegoni qartë dhe pa mëdyshje!
Si mund ta bëj këtë? Si vendos një funksion?
Ju mund të shkruani një formulë. Ju mund të vizatoni një grafik. Ju mund të bëni një tryezë. Çdo mënyrë është disa rregulla me të cilat mund të gjejmë vlerën e i për vlerën x që kemi zgjedhur. Ato. "vendos funksionin", kjo do të thotë të tregosh ligjin, rregullin me të cilin një x kthehet në y.
Zakonisht, në një sërë detyrash ka tashmë gati funksione. Na japin tashmë janë vendosur. Vendosni vetë, po, vendosni.) Por... Më shpesh, nxënësit e shkollës (dhe madje edhe studentët) punojnë me formula. Ata mësohen me të, e dini... Ata mësohen aq shumë saqë çdo pyetje elementare që lidhet me një mënyrë tjetër të specifikimit të një funksioni e shqetëson menjëherë personin...)
Për të shmangur raste të tilla, ka kuptim të kuptohen mënyra të ndryshme të specifikimit të funksioneve. Dhe, sigurisht, zbatojeni këtë njohuri në pyetjet "të ndërlikuara". Është mjaft e thjeshtë. Nëse e dini se çfarë është një funksion...)
Shkoni?)
Metoda analitike e specifikimit të një funksioni.
Mënyra më universale dhe më e fuqishme. Një funksion i përcaktuar në mënyrë analitike ky është funksioni që jepet formulat. Në fakt, ky është i gjithë shpjegimi.) Funksione që janë të njohura për të gjithë (dua të besoj!), për shembull: y = 2x, ose y = x 2 etj. e kështu me radhë. janë të specifikuara në mënyrë analitike.
Nga rruga, jo çdo formulë mund të përcaktojë një funksion. Jo çdo formulë plotëson kushtin e rreptë nga përkufizimi i një funksioni. Domethënë - për çdo X mund të ketë vetëm një igrek. Për shembull, në formulë y = ±x, Për një vlerat x=2, rezulton dy y vlerat: +2 dhe -2. Kjo formulë nuk mund të përcaktojë një funksion unik. Si rregull, ata nuk punojnë me funksione me shumë vlera në këtë degë të matematikës, në llogaritje.
Çfarë është e mirë për mënyrën analitike të specifikimit të një funksioni? Sepse nëse keni një formulë, ju e dini për funksionin Të gjitha! Ju mund të bëni një shenjë. Ndërtoni një grafik. Eksploroni plotësisht këtë veçori. Parashikoni saktësisht se ku dhe si do të sillet ky funksion. E gjithë analiza matematikore bazohet në këtë metodë të specifikimit të funksioneve. Le të themi, marrja e një derivati të një tabele është jashtëzakonisht e vështirë ...)
Metoda analitike është mjaft e njohur dhe nuk krijon probleme. Ndoshta ka disa variacione të kësaj metode që hasin studentët. E kam fjalën për funksione parametrike dhe implicite.) Por funksione të tilla janë në një mësim të veçantë.
Le të kalojmë në mënyra më pak të njohura për të specifikuar një funksion.
Metoda tabelare e specifikimit të një funksioni.
Siç sugjeron emri, kjo metodë është një shenjë e thjeshtë. Në këtë tabelë, çdo x korrespondon me ( vihet në përputhje) disa kuptime të lojës. Rreshti i parë përmban vlerat e argumentit. Rreshti i dytë përmban vlerat përkatëse të funksionit, për shembull:
Tabela 1.
| x | - 3 | - 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| y | 5 | 2 | - 4 | - 1 | 6 | 5 |
Ju lutemi kushtojini vëmendje! Në këtë shembull, loja varet nga X gjithsesi. E kam marrë me qëllim këtë.) Nuk ka asnjë model. Është në rregull, ndodh. Do të thotë, pikërisht Unë e kam specifikuar këtë funksion specifik. Pikërisht Kam vendosur një rregull sipas të cilit një X kthehet në një Y.
Mund të grimoheni një tjetër një pjatë që përmban një model. Kjo shenjë do të tregojë tjera funksioni, për shembull:
Tabela 2.
| x | - 3 | - 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| y | - 6 | - 2 | 0 | 4 | 6 | 8 |
E keni kapur modelin? Këtu të gjitha vlerat e lojës fitohen duke shumëzuar x me dy. Këtu është pyetja e parë "e ndërlikuar": a mund të konsiderohet funksion një funksion i përcaktuar duke përdorur Tabelën 2 y = 2x? Mendoni tani për tani, përgjigja do të jetë më poshtë, në mënyrë grafike. Gjithçka është shumë e qartë atje.)
Çfarë është e mirë metoda tabelare e specifikimit të një funksioni? Po, sepse nuk keni nevojë të numëroni asgjë. Gjithçka tashmë është llogaritur dhe shkruar në tabelë.) Por nuk ka asgjë më të mirë. Ne nuk e dimë vlerën e funksionit për X-të, të cilat nuk janë në tabelë. Në këtë metodë, vlera të tilla x janë thjesht nuk ekziston. Nga rruga, kjo është një sugjerim për një pyetje të ndërlikuar.) Ne nuk mund të zbulojmë se si funksioni sillet jashtë tabelës. Nuk mund të bëjmë asgjë. Dhe qartësia e kësaj metode lë shumë për të dëshiruar... Metoda grafike është e mirë për qartësi.
Mënyra grafike për të specifikuar një funksion.
Në këtë metodë, funksioni përfaqësohet nga një grafik. Argumenti (x) vizatohet përgjatë boshtit të abshisës dhe vlera e funksionit (y) vizatohet përgjatë boshtit të ordinatave. Sipas orarit, ju gjithashtu mund të zgjidhni ndonjë X dhe gjeni vlerën përkatëse në. Grafiku mund të jetë çdo, por... jo vetëm një.) Ne punojmë vetëm me funksione të paqarta. Përkufizimi i një funksioni të tillë thotë qartë: secili X vihet në përputhje i vetmi në. Një një lojë, jo dy, ose tre... Për shembull, le të shohim grafikun e rrethit:
Rrethi është si rrethi... Pse nuk duhet të jetë grafiku i një funksioni? Le të gjejmë se cila lojë do të korrespondojë me vlerën e X, për shembull, 6? Lëvizim kursorin mbi grafik (ose prekim vizatimin në tablet) dhe... shohim që ky x korrespondon dy Kuptimi i lojës: y=2 dhe y=6.
Dy dhe gjashtë! Prandaj, një grafik i tillë nuk do të jetë një caktim grafik i funksionit. Aktiv një x llogaritë për dy lojë. Ky grafik nuk korrespondon me përkufizimin e një funksioni.
Por nëse plotësohet kushti i paqartësisë, grafiku mund të jetë absolutisht çdo gjë. Për shembull:
E njëjta shtrembërim është ligji me të cilin një X mund të shndërrohet në një Y. E paqartë. Ne donim të dinim kuptimin e funksionit për x = 4, Për shembull. Ne duhet të gjejmë katër në boshtin x dhe të shohim se cila lojë korrespondon me këtë x. Lëvizim miun mbi figurë dhe shohim se vlera e funksionit në Për x=4është e barabartë me pesë. Ne nuk e dimë se çfarë formule përcakton këtë shndërrim të një X në një Y. Dhe nuk është e nevojshme. Gjithçka është e përcaktuar me orar.
Tani mund t'i kthehemi pyetjes "të ndërlikuar" rreth y=2x. Le ta përshkruajmë këtë funksion. Këtu është ai:
Sigurisht, gjatë vizatimit të këtij grafiku nuk kemi marrë një numër të pafund vlerash X. Ne morëm disa vlera dhe llogaritëm y, bëri një shenjë - dhe gjithçka është gati! Njerëzit më të shkolluar morën vetëm dy vlera të X-së! Dhe me të drejtë. Për një vijë të drejtë nuk ju nevojitet më shumë. Pse puna shtesë?
Por ne e dinte me siguriçfarë mund të jetë x kushdo. Numër i plotë, thyesor, negativ... Çdo. Kjo është sipas formulës y=2x shihet. Prandaj, ne i lidhëm me guxim pikat në grafik me një vijë të fortë.
Nëse funksioni na jepet nga Tabela 2, atëherë do të duhet të marrim vlerat e x vetëm nga tavolina. Sepse X-të e tjera (dhe Y-të) nuk na janë dhënë dhe nuk ka ku t'i marrim ato. Këto vlera nuk janë të pranishme në këtë funksion. Orari do të funksionojë nga pikat. Lëvizim miun mbi figurë dhe shohim grafikun e funksionit të specifikuar në tabelën 2. Nuk i kam shkruar vlerat x-y në boshte, do ta kuptosh, qelizë pas qelize?)
Këtu është përgjigjja e pyetjes "të ndërlikuar". Funksioni i specifikuar nga Tabela 2 dhe funksioni y=2x - të ndryshme.
Metoda grafike është e mirë për qartësinë e saj. Mund të shihni menjëherë se si sillet funksioni, ku rritet. ku zvogëlohet. Nga grafiku mund të zbuloni menjëherë disa karakteristika të rëndësishme të funksionit. Dhe në temën me derivatet, detyrat me grafikë janë kudo!
Në përgjithësi, metodat analitike dhe grafike të përcaktimit të një funksioni shkojnë paralelisht. Puna me formulën ndihmon në ndërtimin e një grafiku. Dhe grafiku shpesh sugjeron zgjidhje që as nuk do t'i vëreni në formulë... Do të jemi miq me grafikët.)
Pothuajse çdo student i di tre mënyrat për të përcaktuar një funksion që sapo shikuam. Por në pyetjen: "Dhe e katërta!?" - ngrin plotësisht.)
Ekziston një mënyrë e tillë.
Përshkrimi verbal i funksionit.
Po Po! Funksioni mund të specifikohet në mënyrë mjaft të qartë me fjalë. Gjuha ruse e madhe dhe e fuqishme është e aftë për shumë!) Le të themi funksionin y=2x mund të specifikohet me përshkrimin verbal të mëposhtëm: Çdo vlerë reale e argumentit x shoqërohet me vlerën e tij të dyfishtë. Si kjo! Rregulli është vendosur, funksioni është specifikuar.
Për më tepër, mund të specifikoni verbalisht një funksion që është jashtëzakonisht i vështirë, nëse jo i pamundur, të përcaktohet duke përdorur një formulë. Për shembull: Çdo vlerë e argumentit natyror x shoqërohet me shumën e shifrave që përbëjnë vlerën e x. Për shembull, nëse x=3, Se y=3. Nëse x=257, Se y=2+5+7=14. Dhe kështu me radhë. Është problematike ta shkruajmë këtë në një formulë. Por shenja është e lehtë për t'u bërë. Dhe ndërtoni një orar. Meqë ra fjala, grafiku duket qesharak...) Provojeni.
Metoda e përshkrimit verbal është mjaft ekzotike. Por ndonjëherë ndodh. E solla këtu për t'ju dhënë besim në situata të papritura dhe të pazakonta. Thjesht duhet të kuptoni kuptimin e fjalëve "funksioni i specifikuar..." Këtu është, ky kuptim:
Nëse ekziston një ligj i korrespondencës një-me-një ndërmjet X Dhe në- kjo do të thotë se ka një funksion. Cili ligj, në çfarë forme shprehet - një formulë, një tabletë, një grafik, fjalë, këngë, valle - nuk e ndryshon thelbin e çështjes. Ky ligj ju lejon të përcaktoni vlerën përkatëse të Y nga vlera e X. Të gjitha.
Tani do ta zbatojmë këtë njohuri të thellë në disa detyra jo standarde.) Siç u premtua në fillim të mësimit.
Ushtrimi 1:
Funksioni y = f(x) është dhënë nga Tabela 1:
Tabela 1.
Gjeni vlerën e funksionit p(4), nëse p(x)= f(x) - g(x)
Nëse nuk mund të kuptoni se çfarë është fare, lexoni mësimin e mëparshëm "Çfarë është një funksion?" Është shkruar shumë qartë për shkronja dhe kllapa të tilla.) Dhe nëse vetëm forma tabelare ju ngatërron, atëherë do ta zgjidhim këtu.
Nga mësimi i mëparshëm është e qartë se nëse, p(x) = f(x) - g(x), Kjo p(4) = f(4) - g(4). letra f Dhe g nënkupton rregullat sipas të cilave çdo X i caktohet loja e vet. Për çdo shkronjë ( f Dhe g) - tuajat rregull. Që jepet nga tabela përkatëse.
Vlera e funksionit f(4) përcaktuar nga tabela 1. Kjo do të jetë 5. Vlera e funksionit g(4) e përcaktuar sipas tabelës 2. Kjo do të jetë 8. Gjëja më e vështirë mbetet.)
p(4) = 5 - 8 = -3
Kjo është përgjigja e saktë.
Të zgjidhet pabarazia f(x) > 2
Kjo eshte! Është e nevojshme të zgjidhet pabarazia, e cila (në formën e zakonshme) mungon shkëlqyeshëm! Mbetet vetëm të hiqni dorë nga detyra ose të ktheni kokën. Ne zgjedhim të dytën dhe diskutojmë.)
Çfarë do të thotë të zgjidhësh pabarazinë? Kjo do të thotë të gjejmë të gjitha vlerat e x në të cilat kushti që na është dhënë është i kënaqur f(x) > 2. Ato. të gjitha vlerat e funksionit ( në) duhet të jetë më i madh se dy. Dhe në tabelën tonë kemi çdo lojë... Dhe ka më shumë dy, dhe më pak... Dhe le të, për qartësi, të vizatojmë një kufi përgjatë këtyre dyve! Lëvizim kursorin mbi vizatim dhe shohim këtë kufi.
Në mënyrë rigoroze, ky kufi është grafiku i funksionit y=2, por nuk është kjo gjëja. Gjëja e rëndësishme është që tani grafiku tregon shumë qartë se ku, në atë që X, vlerat e funksionit, d.m.th. y, më shumë se dy. Ata janë më shumë X > 3. Në X > 3 i gjithë funksioni ynë kalon më të larta kufijtë y=2. Kjo është zgjidhja. Por është shumë herët për të fikur kokën!) Unë ende duhet të shkruaj përgjigjen ...
Grafiku tregon se funksioni ynë nuk shtrihet majtas dhe djathtas deri në pafundësi. Pikat në fund të grafikut tregojnë këtë. Funksioni përfundon atje. Prandaj, në pabarazinë tonë, të gjitha X-të që shkojnë përtej kufijve të funksionit nuk kanë asnjë kuptim. Për funksionin e këtyre X-ve nuk ekziston. Dhe ne, në fakt, zgjidhim pabarazinë për funksionin...
Përgjigja e saktë do të jetë:
3 < X ≤ 6
Ose, në një formë tjetër:
X ∈ (3; 6]
Tani gjithçka është ashtu siç duhet. Tre nuk përfshihen në përgjigje, sepse pabarazia origjinale është strikte. Dhe gjashtë ndizet, sepse dhe funksioni në gjashtë ekziston, dhe kushti i pabarazisë është i plotësuar. Ne kemi zgjidhur me sukses një pabarazi që (në formën e zakonshme) nuk ekziston...
Kështu ju shpëtojnë disa njohuri dhe logjika elementare në raste jo standarde.)
