Pre úplnú štúdiu funkcie a vykreslenie jej grafu sa odporúča použiť nasledujúcu schému:
1) nájsť rozsah funkcie;
2) nájdite body diskontinuity funkcie a vertikálne asymptoty (ak existujú);
3) skúmať správanie funkcie v nekonečne, nájsť horizontálne a šikmé asymptoty;
4) skúmať funkciu pre rovnomernosť (nepárnosť) a pre periodicitu (pre goniometrické funkcie);
5) nájsť extrémy a intervaly monotónnosti funkcie;
6) určiť intervaly konvexnosti a inflexných bodov;
7) nájdite priesečníky so súradnicovými osami, ak je to možné, a niektoré ďalšie body, ktoré spresňujú graf.
Štúdium funkcie sa vykonáva súčasne s konštrukciou jej grafu.
Príklad 9 Preskúmajte funkciu a vytvorte graf.
1. Oblasť definície: ;
2. Funkcia sa zlomí v bodoch 
,
;
Skúmame funkciu na prítomnosť vertikálnych asymptot.
;
,
─ vertikálna asymptota.
;
,
─ vertikálna asymptota.
3. Vyšetrujeme funkciu na prítomnosť šikmých a horizontálnych asymptot.
Rovno 
─ šikmá asymptota, ak 
,
.
,
.
Rovno 
─ horizontálna asymptota.
4. Funkcia je rovnomerná, pretože 
. Parita funkcie udáva symetriu grafu vzhľadom na os y.
5. Nájdite intervaly monotónnosti a extrémy funkcie.
Nájdite kritické body, t.j. body, kde je derivácia 0 alebo neexistuje: 
;
. Máme tri body 
;
. Tieto body rozdeľujú celú skutočnú os na štyri intervaly. Poďme definovať znaky 
na každom z nich.
Na intervaloch (-∞; -1) a (-1; 0) funkcia rastie, na intervaloch (0; 1) a (1; +∞) klesá. Pri prechode cez bod 
derivácia mení znamienko z plus na mínus, preto má funkcia v tomto bode maximum 
.
6. Nájdite intervaly konvexnosti, inflexné body.
Poďme nájsť body, kde 
je 0 alebo neexistuje.
nemá skutočné korene. 
,
,
bodov 
a 
rozdeliť skutočnú os na tri intervaly. Definujme znamenie 
v každom intervale.
Teda krivka na intervaloch 
a 
konvexné nadol, na intervale (-1;1) konvexné nahor; neexistujú žiadne inflexné body, pretože funkcia v bodoch 
a 
nešpecifikované.
7. Nájdite priesečníky s osami.
s nápravou 
graf funkcie sa pretína v bode (0; -1) a s osou 
graf nepretína, lebo čitateľ tejto funkcie nemá skutočné korene.
Graf danej funkcie je na obrázku 1.
Obrázok 1 ─ Graf funkcie 
Aplikácia konceptu derivátu v ekonómii. Funkčná elasticita
Študovať ekonomické procesy a riešiť iné aplikované úlohyČasto sa používa pojem elasticita funkcie.
Definícia. Funkčná elasticita 
sa nazýva limita pomeru relatívneho prírastku funkcie 
k relatívnemu prírastku premennej 
pri 
, . (VII)
Elasticita funkcie ukazuje približne o koľko percent sa funkcia zmení 
pri zmene nezávislej premennej 
o 1 %.
Elasticita funkcie sa používa pri analýze dopytu a spotreby. Ak elasticita dopytu (v absolútnej hodnote) 
, potom sa dopyt považuje za elastický, ak 
─ neutrálne, ak 
─ neelastické vzhľadom na cenu (alebo príjem).
Príklad 10 Vypočítajte elasticitu funkcie 
a nájdite hodnotu indexu elasticity pre 
= 3.
Riešenie: podľa vzorca (VII) elasticita funkcie:
Potom nech x=3 
To znamená, že ak sa nezávislá premenná zvýši o 1 %, potom sa hodnota závisle premennej zvýši o 1,42 %.
Príklad 11 Nech funguje dopyt 
ohľadom ceny 
má formu 
, kde 
─ konštantný koeficient. Nájdite hodnotu indexu elasticity funkcie dopytu pri cene x = 3 deny. Jednotky
Riešenie: vypočítajte elasticitu funkcie dopytu pomocou vzorca (VII)
Za predpokladu 
peňažné jednotky, dostaneme 
. To znamená, že za cenu 
peňažná jednotka zvýšenie ceny o 1 % spôsobí pokles dopytu o 6 %, t.j. dopyt je elastický.
Preskúmajme funkciu \(y= \frac(x^3)(1-x) \) a zostavme jej graf.
1. Oblasť definície.
Definičný obor racionálnej funkcie (zlomku) bude: menovateľ sa nerovná nule, t.j. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Doména $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$
2. Hraničné body funkcie a ich klasifikácia.
Funkcia má jeden bod zlomu x = 1
preskúmajte bod x= 1. Nájdite limitu funkcie vpravo a vľavo od bodu nespojitosti, vpravo $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1-x )) = -\infty $$ a naľavo od bodu $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ jednostranné limity sú \(\infty\).
Priamka \(x = 1\) je vertikálna asymptota.
3. Rovnomernosť funkcie.
Pri kontrole parity \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) funkcia nie je ani párna, ani nepárna.
4. Nuly funkcie (priesečníky s osou Ox). Intervaly stálosti funkcií.
Funkcia nuly ( priesečník s osou Ox): rovnať \(y=0\), dostaneme \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). Krivka má jeden priesečník s osou Ox so súradnicami \((0;0)\).
Intervaly stálosti funkcií.
Na uvažovaných intervaloch \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) má krivka jeden priesečník s osou Ox , takže doménu definície budeme uvažovať na troch intervaloch.
Určme znamienko funkcie na intervaloch definičného oboru:
interval \((-\infty; 0) \) nájsť hodnotu funkcie v ľubovoľnom bode \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
interval \((0; 1) \) nájdite hodnotu funkcie v ľubovoľnom bode \(f(0,5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), v tomto intervale je funkcia kladná \(f(x) > 0 \), t.j. je nad osou x.
interval \((1;+\infty) \) nájdite hodnotu funkcie v ľubovoľnom bode \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
5. Priesečníky s osou Oy: rovnať \(x=0 \), dostaneme \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Súradnice priesečníka s osou Oy \((0; 0)\)
6. Intervaly monotónnosti. Funkčné extrémy.
Poďme nájsť kritické (stacionárne) body, na to nájdeme prvú deriváciu a prirovnáme ju k nule $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ sa rovná 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Nájdite hodnotu funkcie v tomto bode \(f (0) = 0\) a \(f(\frac(3)(2)) = -6,75\). Mám dva kritické body so súradnicami \((0;0)\) a \((1,5;-6,75)\)
Intervaly monotónnosti.
Funkcia má dva kritické body (možné extrémy), preto budeme uvažovať o monotónnosti na štyroch intervaloch:
interval \((-\infty; 0) \) nájsť hodnotu prvej derivácie v ľubovoľnom bode intervalu \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
interval \((0;1)\) nájdite hodnotu prvej derivácie v ľubovoľnom bode intervalu \(f(0,5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\) , funkcia sa v tomto intervale zvyšuje.
interval \((1;1.5)\) nájdite hodnotu prvej derivácie v ľubovoľnom bode intervalu \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\) , funkcia sa v tomto intervale zvyšuje.
interval \((1,5; +\infty)\) nájsť hodnotu prvej derivácie v ľubovoľnom bode intervalu \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.
Funkčné extrémy.
Pri štúdiu funkcie boli získané dva kritické (stacionárne) body na intervale definičnej oblasti. Poďme určiť, či sú extrémy. Zvážte zmenu znamienka derivácie pri prechode cez kritické body:
bod \(x = 0\) derivácia zmení znamienko z \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - bod nie je extrém.
bod \(x = 1,5\) derivácia zmení znamienko z \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - bod je maximálny bod.
7. Intervaly konvexnosti a konkávnosti. Inflexné body.
Aby sme našli intervaly konvexnosti a konkávnosti, nájdeme druhú deriváciu funkcie a prirovnáme ju k nule $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Nastaviť $$ na nulu \frac(2x(x^2-3x+3))(( 1-x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Funkcia má jeden kritický bod druhého druhu so súradnicami \((0;0)\ ).
Definujme konvexnosť na intervaloch definičného oboru, berúc do úvahy kritický bod druhého druhu (bod možnej inflexie).
interval \((-\infty; 0)\) nájsť hodnotu druhej derivácie v ľubovoľnom bode \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
interval \((0; 1)\) nájdite hodnotu druhej derivácie v ľubovoľnom bode \(f""(0,5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x)^ 3) > 0 \), na tomto intervale je druhá derivácia funkcie kladná \(f""(x) > 0 \) funkcia je smerom nadol konvexná (konvexná).
interval \((1; \infty)\) nájdite hodnotu druhej derivácie v ľubovoľnom bode \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
Inflexné body.
Zvážte zmenu znamienka druhej derivácie pri prechode cez kritický bod druhého druhu:
V bode \(x =0\) druhá derivácia mení znamienko z \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), graf funkcie mení konvexnosť, t.j. toto je inflexný bod so súradnicami \((0;0)\).
8. Asymptoty.
Vertikálna asymptota. Graf funkcie má jednu vertikálnu asymptotu \(x =1\) (pozri bod 2).
Šikmá asymptota.
Aby mal graf funkcie \(y= \frac(x^3)(1-x) \) pre \(x \to \infty\) šikmú asymptotu \(y = kx+b\) , je potrebné a postačujúce , takže existujú dve medze $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ nájdite to $$ \lim_(x \ do \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ a druhý limit $$ \lim_(x \to +\infty)(f( x) - kx) = b$ $, pretože \(k = \infty\) - neexistuje žiadna šikmá asymptota.
Horizontálna asymptota: aby horizontálna asymptota existovala, je potrebné, aby existovala limita $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$, nájdite ju $$ \lim_(x \to +\infty) (\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\infty $$
Neexistuje žiadna horizontálna asymptota.
9. Graf funkcie.
Vykonajte kompletnú štúdiu a nakreslite funkčný graf
y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.
1) Rozsah funkcie. Keďže funkcia je zlomok, musíte nájsť nuly menovateľa.
1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.
Vylúčime jediný bod x=1x=1 z oblasti definície funkcie a získame:
D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).
2) Pozrime sa na správanie funkcie v blízkosti bodu nespojitosti. Nájdite jednostranné limity:
Keďže limity sa rovnajú nekonečnu, bod x=1x=1 je nespojitosť druhého druhu, priamka x=1x=1 je vertikálna asymptota.
3) Určme priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami.
Nájdite priesečníky so súradnicovou osou OyOy, pre ktoré dávame rovnítko x=0x=0:
Priesečník s osou OyOy má teda súradnice (0;8)(0;8).
Nájdite priesečníky s osou x Ox, pre ktoré nastavíme y=0y=0:
Rovnica nemá korene, takže neexistujú žiadne priesečníky s osou OxOx.
Všimnite si, že x2+8>0x2+8>0 pre ľubovoľné xx. Preto pre x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funkcia y>0y>0(trvá kladné hodnoty, graf je nad osou x), pre x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) funkcia y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).
4) Funkcia nie je ani párna, ani nepárna, pretože:
5) Funkciu skúmame na periodicitu. Funkcia nie je periodická, pretože ide o zlomkovú racionálnu funkciu.
6) Skúmame funkciu pre extrémy a monotónnosť. Aby sme to dosiahli, nájdeme prvú deriváciu funkcie:
Prirovnajme prvú deriváciu k nule a nájdime stacionárne body (v ktorých y′=0y′=0):
Dostali sme tri kritické body: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Celý definičný obor funkcie rozdelíme na intervaly danými bodmi a v každom intervale určíme znamienka derivácie:
Pre x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) je derivácia y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.
Pre x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) deriváciu y′>0y′>0 funkcia na týchto intervaloch rastie.
V tomto prípade je x=−2x=−2 bod lokálneho minima (funkcia klesá a potom rastie), x=4x=4 je bod lokálneho maxima (funkcia rastie a potom klesá).
Nájdite hodnoty funkcie v týchto bodoch: 
Minimálny bod je teda (−2;4)(−2;4), maximálny bod je (4;−8)(4;−8).
7) Skúmame funkciu pre zlomy a konvexnosť. Nájdite druhú deriváciu funkcie:
Prirovnajte druhú deriváciu k nule:
Výsledná rovnica nemá korene, takže neexistujú žiadne inflexné body. Navyše, keď je splnené x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0, to znamená, že funkcia je konkávna, keď x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.
8) Skúmame správanie funkcie v nekonečne, teda v .
Keďže limity sú nekonečné, neexistujú žiadne horizontálne asymptoty.
Skúsme určiť šikmé asymptoty tvaru y=kx+by=kx+b. Hodnoty k,bk,b vypočítame podľa známych vzorcov:
Zistili sme, že funkcia má jednu šikmú asymptotu y=−x−1y=−x−1.
9) Ďalšie body. Poďme vypočítať hodnotu funkcie v niektorých iných bodoch, aby sme vytvorili graf presnejšie.
y(-5)=5,5;y(2)=-12;y(7)=-9,5.y(-5)=5,5;y(2)=-12;y(7)=-9,5.
10) Na základe získaných údajov zostavíme graf, doplníme ho o asymptoty x=1x=1 (modrá), y=−x−1y=−x−1 (zelená) a označíme charakteristické body (priesečník s y -os je fialová, extrémy sú oranžové, ďalšie body sú čierne):
Úloha 4: Geometrické, ekonomické úlohy (netuším aké, tu je približný výber úloh s riešením a vzorcami) 
Príklad 3.23. a
rozhodnutie. X a r r
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Keďže x = a/4 je jediný kritický bod, skontrolujme, či sa pri prechode týmto bodom mení znamienko derivácie. Pre xa/4 S "> 0 a pre x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Príklad 3.24.
rozhodnutie.
R = 2, H = 16/4 = 4.
Príklad 3.22. Nájdite extrémy funkcie f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
rozhodnutie. Keďže f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), potom kritické body funkcie x 1 \u003d 2 a x 2 \u003d 3. Extrémne body môžu byť iba v týchto bodoch. Takže ako pri prechode bodom x 1 \u003d 2, derivácia zmení znamienko z plus na mínus, potom má funkcia v tomto bode maximum. Pri prechode bodom x 2 \u003d 3 sa derivácia mení znamienko z mínus na plus, preto má funkcia v bode x 2 \u003d 3 minimum. Výpočet hodnôt funkcie v bodoch
x 1 = 2 a x 2 = 3, nájdeme extrémy funkcie: maximum f(2) = 14 a minimum f(3) = 13.
Príklad 3.23. Pri kamennom múre je potrebné vybudovať obdĺžnikový priestor tak, aby bol z troch strán oplotený drôteným pletivom a na štvrtej strane priliehal k múru. Pre toto existuje a lineárne metre siete. Pri akom pomere strán bude mať stránka najväčšiu plochu?
rozhodnutie. Označte strany stránky cez X a r. Plocha lokality je S = xy. Nechať byť r je dĺžka strany priľahlej k stene. Potom podľa podmienky musí platiť rovnosť 2x + y = a. Preto y = a - 2x a S = x(a - 2x), kde
0 ≤ x ≤ a/2 (dĺžka a šírka oblasti nemôže byť záporná). S "= a - 4x, a - 4x = 0 pre x = a/4, odkiaľ
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Keďže x = a/4 je jediný kritický bod, skontrolujme, či sa pri prechode týmto bodom mení znamienko derivácie. Pre xa/4 S "> 0 a pre x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Príklad 3.24. Je potrebné vyrobiť uzavretú valcovú nádrž s objemom V=16p ≈ 50 m 3 . Aké by mali byť rozmery nádrže (polomer R a výška H), aby sa na jej výrobu spotrebovalo čo najmenej materiálu?
rozhodnutie. Celková plocha valca je S = 2pR(R+H). Poznáme objem valca V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Preto S(R) = 2p(R2+16/R). Nájdeme deriváciu tejto funkcie:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 pre R 3 \u003d 8, preto
R = 2, H = 16/4 = 4.
Podobné informácie.
Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.
Zhromažďovanie a používanie osobných údajov
Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.
Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.
Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.
Aké osobné údaje zhromažďujeme:
- Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.
Ako používame vaše osobné údaje:
- Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
- Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám mohli posielať dôležité upozornenia a oznámenia.
- Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
- Ak sa zúčastníte žrebovania, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.
Sprístupnenie tretím stranám
Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.
Výnimky:
- V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
- V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušného nástupcu tretej strany.
Ochrana osobných údajov
Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.
Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti
Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.
Ak je v úlohe potrebné vykonať úplnú štúdiu funkcie f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 s konštrukciou jej grafu, potom tento princíp podrobne zvážime.
Na vyriešenie problému tohto typu by ste mali použiť vlastnosti a grafy hlavného elementárne funkcie. Algoritmus výskumu zahŕňa nasledujúce kroky:
Yandex.RTB R-A-339285-1
Nájdenie domény definície
Keďže výskum sa vykonáva na doméne funkcie, je potrebné začať týmto krokom.
Príklad 1
pozadu uvedený príklad zahŕňa nájdenie núl menovateľa s cieľom vylúčiť ich z DPV.
4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; +∞
V dôsledku toho môžete získať korene, logaritmy atď. Potom možno ODZ hľadať koreň párneho stupňa typu g (x) 4 pomocou nerovnosti g (x) ≥ 0 , pre logaritmus log a g (x) nerovnosťou g (x) > 0 .
Skúmanie hraníc ODZ a hľadanie vertikálnych asymptot
Na hraniciach funkcie sú vertikálne asymptoty, kedy sú jednostranné limity v takýchto bodoch nekonečné.
Príklad 2
Uvažujme napríklad hraničné body rovné x = ± 1 2 .
Potom je potrebné študovať funkciu na nájdenie jednostrannej limity. Potom dostaneme, že: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = limit x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ limit x → 1 2 - 0 f (x) = limit x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = limit x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞
To ukazuje, že jednostranné limity sú nekonečné, čo znamená, že čiary x = ± 1 2 sú zvislé asymptoty grafu.
Vyšetrenie funkcie a pre párne alebo nepárne
Keď je splnená podmienka y (- x) = y (x), funkcia sa považuje za párnu. To naznačuje, že graf je umiestnený symetricky vzhľadom na O y. Keď je splnená podmienka y (- x) = - y (x), funkcia sa považuje za nepárnu. To znamená, že symetria ide vzhľadom na pôvod súradníc. Ak zlyhá aspoň jedna nerovnosť, získame funkciu všeobecného tvaru.
Splnenie rovnosti y (- x) = y (x) znamená, že funkcia je párna. Pri konštrukcii je potrebné počítať s tým, že vzhľadom na O y bude symetria.
Na vyriešenie nerovnosti sa používajú intervaly nárastu a poklesu s podmienkami f "(x) ≥ 0 a f" (x) ≤ 0.
Definícia 1
Stacionárne body sú body, ktoré otočia deriváciu na nulu.
Kritické body sú vnútorné body z oblasti, kde sa derivácia funkcie rovná nule alebo neexistuje.
Pri rozhodovaní je potrebné vziať do úvahy nasledujúce body:
- pre existujúce intervaly nárastu a poklesu nerovnosti tvaru f "(x) > 0 nie sú kritické body zahrnuté do riešenia;
- body, v ktorých je funkcia definovaná bez konečnej derivácie, musia byť zahrnuté do intervalov nárastu a poklesu (napríklad y \u003d x 3, kde bod x \u003d 0 robí funkciu definovanú, derivácia má hodnotu nekonečna v tomto bode je y " \u003d 1 3 x 2 3, y " (0) = 1 0 = ∞, x = 0 zahrnuté do intervalu nárastu);
- aby sa predišlo nezhodám, odporúča sa používať matematickú literatúru, ktorú odporúča ministerstvo školstva.
Zahrnutie kritických bodov do intervalov zvyšovania a znižovania v prípade, že spĺňajú definičný obor funkcie.
Definícia 2
Pre určenie intervalov nárastu a poklesu funkcie, je potrebné nájsť:
- derivát;
- kritické body;
- rozdeliť oblasť definície pomocou kritických bodov na intervaly;
- určite znamienko derivácie v každom z intervalov, kde + je nárast a - je pokles.
Príklad 3
Nájdite deriváciu na doméne f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.
rozhodnutie
Na vyriešenie potrebujete:
- nájdite stacionárne body, tento príklad má x = 0 ;
- nájdite nuly menovateľa, príklad má hodnotu nula v x = ± 1 2 .
Vystavíme body na číselnej osi, aby sme určili deriváciu na každom intervale. Na to stačí zobrať ľubovoľný bod z intervalu a vykonať výpočet. o pozitívny výsledok na grafe zobrazujeme +, čo znamená zvýšenie funkcie a - znamená jej zníženie.
Napríklad f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, čo znamená, že prvý interval vľavo má znamienko +. Zvážte číslo riadok.
odpoveď:
- dochádza k nárastu funkcie na intervale - ∞ ; -12 a (-12; 0];
- dochádza k poklesu na intervale [0; 12) a 12; +∞ .
V diagrame je pomocou + a - znázornená pozitivita a negativita funkcie a šípky označujú klesanie a zvyšovanie.
Extrémne body funkcie sú body, kde je funkcia definovaná a cez ktoré derivácia mení znamienko.
Príklad 4
Ak vezmeme do úvahy príklad, kde x \u003d 0, potom hodnota funkcie v ňom je f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Keď sa znamienko derivácie zmení z + na - a prechádza bodom x \u003d 0, za maximálny bod sa považuje bod so súradnicami (0; 0). Keď sa znamienko zmení z - na +, dostaneme minimálny bod.
Konvexnosť a konkávnosť sú určené riešením nerovností tvaru f "" (x) ≥ 0 a f "" (x) ≤ 0 . Menej často používajú názov vydutie nadol namiesto konkávnosti a vydutie nahor namiesto vydutie.
Definícia 3
Pre určenie medzier konkávnosti a konvexnosti potrebné:
- nájsť druhú deriváciu;
- nájdite nuly funkcie druhej derivácie;
- zlomiť doménu definície bodmi, ktoré sa objavujú v intervaloch;
- určiť znamienko medzery.
Príklad 5
Nájdite druhú deriváciu z oblasti definície.
rozhodnutie
f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3
Nájdeme nuly čitateľa a menovateľa, kde pomocou nášho príkladu platí, že nuly menovateľa x = ± 1 2
Teraz musíte umiestniť body na číselnú os a určiť znamienko druhej derivácie z každého intervalu. Chápeme to
odpoveď:
- funkcia je konvexná z intervalu - 1 2 ; 12;
- funkcia je konkávna z medzier - ∞ ; - 1 2 a 1 2; +∞ .
Definícia 4
inflexný bod je bod v tvare x 0 ; f(x0) . Keď má dotyčnicu ku grafu funkcie, potom keď prechádza cez x 0, funkcia zmení znamienko na opačné.
Inými slovami, toto je taký bod, cez ktorý prechádza druhá derivácia a mení znamienko a v samotných bodoch sa rovná nule alebo neexistuje. Všetky body sa považujú za doménu funkcie.
V príklade bolo vidieť, že neexistujú žiadne inflexné body, pretože druhá derivácia mení znamienko pri prechode cez body x = ± 1 2 . Na druhej strane nie sú zahrnuté do oblasti definície.
Hľadanie horizontálnych a šikmých asymptot
Pri definovaní funkcie v nekonečne treba hľadať vodorovné a šikmé asymptoty.
Definícia 5
Šikmé asymptoty sú nakreslené pomocou čiar daných rovnicou y = k x + b, kde k = lim x → ∞ f (x) x a b = lim x → ∞ f (x) - k x .
Pre k = 0 a b, ktoré sa nerovná nekonečnu, zistíme, že šikmá asymptota sa stáva horizontálne.
Inými slovami, asymptoty sú čiary, ku ktorým sa graf funkcie približuje v nekonečne. To prispieva k rýchlej konštrukcii grafu funkcie.
Ak neexistujú žiadne asymptoty, ale funkcia je definovaná v oboch nekonečnách, je potrebné vypočítať limitu funkcie v týchto nekonečnách, aby sme pochopili, ako sa bude graf funkcie správať.
Príklad 6
Zvážte to napríklad
k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4
je horizontálna asymptota. Po preskúmaní funkcie ju môžete začať budovať.
Výpočet hodnoty funkcie v medziľahlých bodoch
Aby bolo vykresľovanie čo najpresnejšie, odporúča sa nájsť niekoľko hodnôt funkcie v medziľahlých bodoch.
Príklad 7
Z príkladu, ktorý sme zvážili, je potrebné nájsť hodnoty funkcie v bodoch x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Keďže funkcia je párna, dostaneme, že hodnoty sa zhodujú s hodnotami v týchto bodoch, to znamená, že dostaneme x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.
Napíšeme a vyriešime:
F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08
Na určenie maxím a miním funkcie, inflexných bodov, medziľahlých bodov je potrebné postaviť asymptoty. Pre pohodlné označenie sú stanovené intervaly nárastu, poklesu, konvexnosti, konkávnosti. Zvážte obrázok nižšie.
Cez označené body je potrebné nakresliť čiary grafu, čo vám umožní priblížiť sa k asymptotám podľa šípok.
Týmto sa kompletná štúdia funkcie končí. Existujú prípady konštrukcie niektorých elementárnych funkcií, na ktoré sa používajú geometrické transformácie.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
