Abstrakt poznajú črty svojej grafiky. Základné elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy Elementárne funkcie a ich grafy

Súradnicový systém - sú to dve vzájomne kolmé súradnicové čiary pretínajúce sa v bode, ktorý je východiskom každej z nich.

Súradnicové osi sú čiary, ktoré tvoria súradnicový systém.

úsečka(os x) je horizontálna os.

os Y(os y) je vertikálna os.

Funkcia

Funkcia je zobrazenie prvkov množiny X na množinu Y . V tomto prípade každý prvok x množiny X zodpovedá jednej jedinej hodnote y množiny Y .

Rovno

Lineárna funkcia je funkciou tvaru y = a x + b, kde a a b sú ľubovoľné čísla.

Graf lineárnej funkcie je priamka.

Zvážte, ako bude graf vyzerať v závislosti od koeficientov a a b:

Ak a > 0, bude čiara prechádzať cez súradnicové štvrtiny I a III.

Ak a< 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b je priesečník priamky s osou y.

Ak a = 0, funkcia sa zmení na y = b.

Samostatne vyberieme graf rovnice x \u003d a.

Dôležité: táto rovnica nie je funkciou, pretože je porušená definícia funkcie (funkcia spája každý prvok x množiny X s jednou hodnotou y množiny Y). Táto rovnica spája jeden prvok x s nekonečnou množinou prvkov y . Graf tejto rovnice však možno vykresliť. Len to nenazývajme hrdým slovom „Funkcia“.

Parabola

Graf funkcie y = a x 2 + b x + c je parabola .

Aby ste mohli jednoznačne určiť, ako sa parabolový graf nachádza v rovine, musíte vedieť, čo ovplyvňujú koeficienty a, b, c:

Koeficient a udáva, kam smerujú vetvy paraboly.

Ak a > 0 , vetvy paraboly smerujú nahor.
Ak< 0 , ветки параболы направлены вниз.

Koeficient c udáva, v ktorom bode parabola pretína os y.
Koeficient b pomáha nájsť x v - súradnici vrcholu paraboly.

x v \u003d - b 2 a

Diskriminant vám umožňuje určiť, koľko bodov priesečníka má parabola s osou.

Ak D > 0 - dva priesečníky.
Ak D = 0 - jeden priesečník.
Ak D< 0 — нет точек пересечения.

Graf funkcie y = k x je hyperbola .

Charakteristickým znakom hyperboly je, že má asymptoty.

Asymptoty hyperboly - priamky, ku ktorým smeruje, idúce do nekonečna.

Os x je horizontálna asymptota hyperboly

Os y je vertikálna asymptota hyperboly.

Na grafe sú asymptoty označené zelenou bodkovanou čiarou.

Ak je koeficient k > 0, potom vetvy hyperoly prechádzajú cez štvrť I a III.

Ak k< 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Čím menšia je absolútna hodnota koeficientu k (koeficient k bez zohľadnenia znamienka), tým bližšie sú vetvy hyperboly k osám x a y.

Odmocnina

Funkcia y = x má nasledujúci graf:

Zvyšovanie/zníženie funkcií

Funkcia y = f(x) sa počas intervalu zvyšuje ak väčšia hodnota argumentu (väčšia hodnota x) zodpovedá väčšej funkčnej hodnote (väčšia hodnota y) .

To znamená, že čím viac (sprava) x, tým viac (vyššie) y. Graf stúpa (pozrite sa zľava doprava)

Funkcia y = f(x) počas intervalu klesá ak väčšia hodnota argumentu (väčšia hodnota x) zodpovedá menšej hodnote funkcie (väčšia hodnota y) .

Vedomosti základné elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy nemenej dôležité ako poznať násobilku. Sú ako základ, všetko je založené na nich, všetko sa z nich stavia a všetko na nich spočíva.

V tomto článku uvádzame všetky hlavné elementárne funkcie, uvádzame ich grafy a uvádzame ich bez odvodzovania a dôkazov. vlastnosti základných elementárnych funkcií podľa schémy:

správanie funkcie na hraniciach definičného oboru, vertikálne asymptoty (v prípade potreby pozri členovú klasifikáciu bodov zlomu funkcie);
párne a nepárne;
konvexnosť (konvexnosť smerom nahor) a konkávnosť (konvexnosť smerom nadol) intervaly, inflexné body (v prípade potreby pozri článok funkcia konvexita, smer konvexnosti, inflexné body, podmienky konvexnosti a inflexie);
šikmé a horizontálne asymptoty;
singulárne body funkcií;
špeciálne vlastnosti niektorých funkcií (napríklad najmenšia kladná perióda pre goniometrické funkcie).

Ak máte záujem alebo, potom môžete prejsť na tieto časti teórie.

Základné elementárne funkcie sú: konštantná funkcia (konštanta), odmocnina n-tého stupňa, mocninná funkcia, exponenciálna, logaritmická funkcia, goniometrické a inverzné goniometrické funkcie.

Navigácia na stránke.

Trvalá funkcia.

Konštantná funkcia je daná na množine všetkých reálnych čísel vzorcom , kde C je nejaké reálne číslo. Konštantná funkcia priraďuje každej reálnej hodnote nezávislej premennej x rovnakú hodnotu závisle premennej y - hodnotu С. Konštantná funkcia sa tiež nazýva konštanta.

Graf konštantnej funkcie je priamka rovnobežná s osou x a prechádzajúca bodom so súradnicami (0,C) . Ukážme si napríklad grafy konštantných funkcií y=5 , y=-2 a , ktoré na obrázku nižšie zodpovedajú čiernej, červenej a modrej čiare.

Vlastnosti konštantnej funkcie.

Oblasť definície: celá množina reálnych čísel.
Konštantná funkcia je rovnomerná.
Rozsah hodnôt: množina pozostávajúca z jedného čísla C .
Konštantná funkcia je nerastúca a neklesajúca (preto je konštantná).
O konvexnosti a konkávnosti konštanty nemá zmysel hovoriť.
Neexistuje žiadna asymptota.
Funkcia prechádza bodom (0,C) súradnicovej roviny.

Koreň n-tého stupňa.

Uvažujme základnú elementárnu funkciu, ktorá je daná vzorcom , kde n je prirodzené číslo väčšie ako jedna.

Odmocnina n-tého stupňa, n je párne číslo.

Začnime s n-tou odmocninou funkciou pre párne hodnoty koreňového exponentu n .

Napríklad dávame obrázok s obrázkami grafov funkcií a , zodpovedajú čiernym, červeným a modrým čiaram.

Grafy funkcií koreňa párneho stupňa majú podobnú formu pre iné hodnoty ukazovateľa.

Vlastnosti koreňa n-tého stupňa pre párne n .

Odmocnina n-tého stupňa, n je nepárne číslo.

Odmocnina n-tého stupňa s nepárnym exponentom odmocniny n je definovaná na celej množine reálnych čísel. Napríklad uvádzame grafy funkcií a korešpondujú s nimi čierne, červené a modré krivky.

Pre ostatné nepárne hodnoty koreňového exponentu budú mať grafy funkcie podobný vzhľad.

Vlastnosti koreňa n-tého stupňa pre nepárne n .

Funkcia napájania.

Mocninná funkcia je daná vzorcom v tvare .

Zvážte typ grafov mocninnej funkcie a vlastnosti mocninnej funkcie v závislosti od hodnoty exponentu.

Začnime mocninnou funkciou s celočíselným exponentom a . V tomto prípade forma grafov mocninných funkcií a vlastnosti funkcií závisia od párneho alebo nepárneho exponentu, ako aj od jeho znamienka. Preto najprv uvažujeme mocninné funkcie pre nepárne kladné hodnoty exponentu a, potom pre párne kladné, potom pre nepárne záporné exponenty a nakoniec pre párne záporné a.

Vlastnosti mocninných funkcií so zlomkovými a iracionálnymi exponentmi (ako aj typ grafov takýchto mocninných funkcií) závisia od hodnoty exponentu a. Budeme ich uvažovať po prvé, keď a je od nuly do jedna, po druhé, keď a je väčšie ako jedna, po tretie, keď a je od mínus jedna do nuly, a po štvrté, keď a je menšie ako mínus jedna.

Na záver tohto pododdielu si pre úplnosť popíšeme mocninnú funkciu s nulovým exponentom.

Mocninná funkcia s nepárnym kladným exponentom.

Uvažujme mocninnú funkciu s nepárnym kladným exponentom, teda s a=1,3,5,… .

Na obrázku nižšie sú znázornené grafy mocninových funkcií - čierna čiara, - modrá čiara, - červená čiara, - zelená čiara. Pre a=1 máme lineárna funkcia y=x.

Vlastnosti mocninnej funkcie s nepárnym kladným exponentom.

Mocninná funkcia s párnym kladným exponentom.

Uvažujme mocninnú funkciu s párnym kladným exponentom, teda pre a=2,4,6,… .

Ako príklad si zoberme grafy mocninných funkcií - čierna čiara, - modrá čiara, - červená čiara. Pre a=2 máme kvadratickú funkciu, ktorej graf je kvadratická parabola.

Vlastnosti mocninnej funkcie s párnym kladným exponentom.

Mocninná funkcia s nepárnym záporným exponentom.

Pozrite sa na grafy exponenciálnej funkcie pre nepárne záporné hodnoty exponentu, to znamená pre \u003d -1, -3, -5, ....

Na obrázku sú príklady grafov exponenciálnych funkcií - čierna čiara, - modrá čiara, - červená čiara, - zelená čiara. Pre a=-1 máme inverzná úmernosť, ktorej graf je hyperbola.

Vlastnosti mocninnej funkcie s nepárnym záporným exponentom.

Mocninná funkcia s párnym záporným exponentom.

Prejdime na mocninovú funkciu pri a=-2,-4,-6,….

Na obrázku sú znázornené grafy mocninných funkcií - čierna čiara, - modrá čiara, - červená čiara.

Vlastnosti mocninnej funkcie s párnym záporným exponentom.

Mocninná funkcia s racionálnym alebo iracionálnym exponentom, ktorej hodnota je väčšia ako nula a menšia ako jedna.

Poznámka! Ak a je kladný zlomok s nepárnym menovateľom, potom niektorí autori považujú interval za definičný obor mocninnej funkcie. Zároveň je stanovené, že exponent a je nezredukovateľný zlomok. Teraz autori mnohých učebníc o algebre a začiatkoch analýzy NEDEFINUJÚ mocninné funkcie s exponentom vo forme zlomku s nepárnym menovateľom pre záporné hodnoty argumentu. Budeme sa držať práve takého názoru, to znamená, že za množinu budeme považovať oblasti mocninných funkcií s zlomkovými kladnými exponentmi. Odporúčame študentom, aby získali názor vášho učiteľa na tento jemný bod, aby sa predišlo nezhodám.

Uvažujme mocninnú funkciu s racionálnym alebo iracionálnym exponentom a, a.

Uvádzame grafy mocninných funkcií pre a=11/12 (čierna čiara), a=5/7 (červená čiara), (modrá čiara), a=2/5 (zelená čiara).

Mocninná funkcia s neceločíselným racionálnym alebo iracionálnym exponentom väčším ako jedna.

Uvažujme mocninnú funkciu s neceločíselným racionálnym alebo iracionálnym exponentom a , a .

Uveďme grafy mocninných funkcií dané vzorcami (čierne, červené, modré a zelené čiary).

Pre ostatné hodnoty exponentu a budú mať grafy funkcie podobný vzhľad.

Vlastnosti výkonovej funkcie pre .

Mocninná funkcia so skutočným exponentom väčším ako mínus jedna a menším ako nula.

Poznámka! Ak a je záporný zlomok s nepárnym menovateľom, niektorí autori berú do úvahy interval . Zároveň je stanovené, že exponent a je nezredukovateľný zlomok. Teraz autori mnohých učebníc o algebre a začiatkoch analýzy NEDEFINUJÚ mocninné funkcie s exponentom vo forme zlomku s nepárnym menovateľom pre záporné hodnoty argumentu. Budeme sa držať práve takého pohľadu, teda za množinu mocninových funkcií budeme považovať množiny, resp. Odporúčame študentom, aby získali názor vášho učiteľa na tento jemný bod, aby sa predišlo nezhodám.

Prejdeme k mocninovej funkcii , kde .

Aby ste mali dobrú predstavu o type grafov mocninových funkcií pre , uvádzame príklady grafov funkcií (čierne, červené, modré a zelené krivky).

Vlastnosti mocninnej funkcie s exponentom a , .

Mocninná funkcia s neceločíselným reálnym exponentom, ktorý je menší ako mínus jedna.

Uveďme príklady grafov mocninových funkcií pre , sú zobrazené čiernou, červenou, modrou a zelenou čiarou.

Vlastnosti mocninnej funkcie s neceločíselným záporným exponentom menším ako mínus jedna.

Keď a=0 a máme funkciu - je to priamka, z ktorej je vylúčený bod (0; 1) (výraz 0 0 bol dohodnutý tak, že nepripisuje žiadnu dôležitosť).

Exponenciálna funkcia.

Jednou zo základných elementárnych funkcií je exponenciálna funkcia.

Graf exponenciálnej funkcie, kde a má rôznu podobu v závislosti od hodnoty bázy a. Poďme na to.

Najprv zvážte prípad, keď základ exponenciálnej funkcie nadobudne hodnotu od nuly do jednej, teda .

Napríklad uvádzame grafy exponenciálnej funkcie pre a = 1/2 - modrá čiara, a = 5/6 - červená čiara. Grafy exponenciálnej funkcie majú podobný vzhľad pre ostatné hodnoty základne z intervalu.

Vlastnosti exponenciálnej funkcie so základňou menšou ako jedna.

Obrátime sa na prípad, keď je základ exponenciálnej funkcie väčší ako jedna, teda .

Pre ilustráciu uvádzame grafy exponenciálnych funkcií - modrá čiara a - červená čiara. Pre ostatné hodnoty základu, väčšie ako jedna, budú mať grafy exponenciálnej funkcie podobný vzhľad.

Vlastnosti exponenciálnej funkcie so základom väčším ako jedna.

Logaritmická funkcia.

Ďalšou základnou elementárnou funkciou je logaritmická funkcia , kde , . Logaritmická funkcia je definovaná iba pre kladné hodnoty argumentu, teda pre .

Graf logaritmickej funkcie nadobúda rôznu podobu v závislosti od hodnoty bázy a.

Dĺžka segmentu na súradnicovej osi sa zistí podľa vzorca:

Dĺžka segmentu v rovine súradníc sa hľadá podľa vzorca:

Na nájdenie dĺžky segmentu v trojrozmernom súradnicovom systéme sa používa nasledujúci vzorec:

Súradnice stredu segmentu (pre súradnicovú os sa používa iba prvý vzorec, pre rovinu súradníc - prvé dva vzorce, pre trojrozmerný súradnicový systém - všetky tri vzorce) sa vypočítajú podľa vzorcov:

Funkcia je zhoda s formulárom r= f(X) medzi premennými, vďaka čomu každá uvažovala o hodnote nejakej premennej X(argument alebo nezávislá premenná) zodpovedá určitej hodnote inej premennej, r(závislá premenná, niekedy sa táto hodnota nazýva jednoducho hodnota funkcie). Všimnite si, že funkcia predpokladá, že jedna hodnota argumentu X môže existovať iba jedna hodnota závislej premennej pri. Avšak rovnakú hodnotu pri možno získať s rôznymi X.

Rozsah funkcie sú všetky hodnoty nezávislej premennej (argument funkcie, zvyčajne X) pre ktorý je funkcia definovaná, t.j. jeho význam existuje. Je uvedená doména definície D(r). Celkovo tento pojem už poznáte. Rozsah funkcie sa inak nazýva doména platných hodnôt alebo ODZ, ktorú ste už dlho vedeli nájsť.

Funkčný rozsah sú všetky možné hodnoty závislej premennej tejto funkcie. Označené E(pri).

Funkcia stúpa na intervale, na ktorom väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie. Funkcia klesá na intervale, na ktorom väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.

Funkčné intervaly sú intervaly nezávislej premennej, v ktorých si závislá premenná zachováva svoje kladné alebo záporné znamienko.

Funkčné nuly sú tie hodnoty argumentu, pre ktoré je hodnota funkcie rovná nule. V týchto bodoch graf funkcie pretína os x (osa OX). Potreba nájsť nuly funkcie veľmi často znamená jednoduché riešenie rovnice. Potreba nájsť intervaly stálosti tiež často znamená potrebu jednoducho vyriešiť nerovnosť.

Funkcia r = f(X) sa volajú dokonca X

To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty párnej funkcie rovnaké. Graf párnej funkcie je vždy symetrický okolo osi y operačného zosilňovača.

Funkcia r = f(X) sa volajú zvláštny, ak je definovaný na symetrickej množine a pre ľubovoľnú X z oblasti definície je splnená rovnosť:

To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty nepárnej funkcie tiež opačné. Graf nepárnej funkcie je vždy symetrický podľa počiatku.

Súčet koreňov párnych a nepárnych funkcií (priesečníkov osi x OX) sa vždy rovná nule, pretože za každý kladný koreň X má negatívny koreň X.

Je dôležité poznamenať, že niektoré funkcie nemusia byť párne alebo nepárne. Existuje veľa funkcií, ktoré nie sú ani párne, ani nepárne. Takéto funkcie sú tzv všeobecné funkcie a neplatí pre nich žiadna z vyššie uvedených rovností alebo vlastností.

Lineárna funkcia sa nazýva funkcia, ktorá môže byť daná vzorcom:

Graf lineárnej funkcie je priamka a vo všeobecnom prípade vyzerá takto (uvádzame príklad pre prípad, keď k> 0, v tomto prípade je funkcia rastúca; pre túto príležitosť k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Graf kvadratickej funkcie (Parabola)

Graf paraboly je daný kvadratickou funkciou:

Kvadratická funkcia, ako každá iná funkcia, pretína os OX v bodoch, ktoré sú jej koreňmi: ( X jeden ; 0) a ( X 2; 0). Ak neexistujú žiadne korene, potom kvadratická funkcia nepretína os OX, ak existuje jeden koreň, potom v tomto bode ( X 0; 0) kvadratická funkcia sa iba dotýka osi OX, ale nepretína ju. Kvadratická funkcia vždy pretína os OY v bode so súradnicami: (0; c). Graf kvadratickej funkcie (paraboly) môže vyzerať takto (obrázok ukazuje príklady, ktoré zďaleka nevyčerpajú všetky možné typy parabol):

kde:

ak koeficient a> 0, vo funkcii r = sekera 2 + bx + c, potom sú vetvy paraboly nasmerované nahor;
ak a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Súradnice vrcholov paraboly možno vypočítať pomocou nasledujúcich vzorcov. X topy (p- na obrázkoch vyššie) paraboly (alebo bodu, v ktorom štvorcová trojčlenka dosiahne svoju maximálnu alebo minimálnu hodnotu):

Y topy (q- na obrázkoch vyššie) paraboly alebo maximálne, ak vetvy paraboly smerujú nadol ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), hodnota štvorcového trinomu:

Grafy iných funkcií

výkonová funkcia

Tu je niekoľko príkladov grafov mocninových funkcií:

Nepriamo úmerná závislosť zavolajte funkciu danú vzorcom:

V závislosti od znamienka čísla k Nepriamo úmerný graf môže mať dve základné možnosti:

Asymptota je priamka, ku ktorej sa priamka grafu funkcie nekonečne blízko približuje, ale nepretína sa. Asymptoty pre grafy inverznej úmernosti znázornené na obrázku vyššie sú súradnicové osi, ku ktorým sa graf funkcie nekonečne blízko približuje, ale nepretína ich.

exponenciálna funkcia so základňou a zavolajte funkciu danú vzorcom:

a graf exponenciálnej funkcie môže mať dve základné možnosti (uvedieme aj príklady, pozri nižšie):

logaritmická funkcia zavolajte funkciu danú vzorcom:

Podľa toho, či je číslo väčšie alebo menšie ako jedna a Graf logaritmickej funkcie môže mať dve základné možnosti:

Graf funkcií r = |X| nasledovne:

Grafy periodických (trigonometrických) funkcií

Funkcia pri = f(X) sa nazýva periodikum, ak takéto nenulové číslo existuje T, čo f(X + T) = f(X), pre hocikoho X mimo rozsahu funkcie f(X). Ak je funkcia f(X) je periodické s bodkou T, potom funkcia:

kde: A, k, b sú konštantné čísla a k nerovná sa nule, tiež periodické s bodkou T 1, ktorý je určený vzorcom:

Väčšina príkladov periodických funkcií sú goniometrické funkcie. Tu sú grafy hlavných goniometrických funkcií. Nasledujúci obrázok znázorňuje časť grafu funkcie r= hriech X(celý graf pokračuje nekonečne doľava a doprava), graf funkcie r= hriech X volal sínusoida:

Graf funkcií r= čos X volal kosínusová vlna. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Od grafu sínusu pokračuje donekonečna pozdĺž osi OX doľava a doprava:

Graf funkcií r=tg X volal tangentoida. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Rovnako ako grafy iných periodických funkcií, aj tento graf sa donekonečna opakuje pozdĺž osi OX doľava a doprava.

A nakoniec graf funkcie r=ctg X volal kotangentoid. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Rovnako ako grafy iných periodických a goniometrických funkcií, aj tento graf sa donekonečna opakuje pozdĺž osi OX doľava a doprava.

Naučte sa všetky vzorce a zákony vo fyzike a vzorce a metódy v matematike. V skutočnosti je to tiež veľmi jednoduché, vo fyzike je len asi 200 potrebných vzorcov a v matematike ešte o niečo menej. V každom z týchto predmetov je asi tucet štandardných metód na riešenie problémov základnej úrovne zložitosti, ktoré sa možno aj naučiť, a tak úplne automaticky a bez problémov vyriešiť väčšinu digitálnej transformácie v správnom čase. Potom už budete musieť myslieť len na tie najťažšie úlohy.

Zúčastnite sa všetkých troch stupňov skúšobného testovania z fyziky a matematiky. Každý RT je možné navštíviť dvakrát, aby sa vyriešili obe možnosti. Opäť platí, že na DT je okrem schopnosti rýchlo a efektívne riešiť problémy a znalosti vzorcov a metód potrebné aj vedieť správne plánovať čas, rozložiť sily a hlavne správne vyplniť odpoveďový formulár, bez toho, aby ste si pomýlili čísla odpovedí a problémov alebo svoje vlastné meno. Taktiež je počas RT dôležité zvyknúť si na štýl kladenia otázok v úlohách, ktorý sa môže nepripravenému človeku na DT zdať veľmi nezvyčajný.

Úspešná, usilovná a zodpovedná implementácia týchto troch bodov vám umožní ukázať na CT vynikajúci výsledok, maximum toho, čoho ste schopní.

Našli ste chybu?

Ak ste, ako sa vám zdá, našli chybu v školiacich materiáloch, napíšte nám o nej poštou. O chybe môžete napísať aj na sociálnej sieti (). V liste uveďte predmet (fyziku alebo matematiku), názov alebo číslo témy alebo testu, číslo úlohy, prípadne miesto v texte (strane), kde je podľa vás chyba. Popíšte aj údajnú chybu. Váš list nezostane bez povšimnutia, chyba bude buď opravená, alebo vám bude vysvetlené, prečo nejde o chybu.

Elementárne funkcie a ich grafy

Rovno proporcionality. Lineárna funkcia.

Obrátený pomer. Hyperbola.

kvadratickej funkcie. Štvorcová parabola.

Funkcia napájania. Exponenciálna funkcia.

logaritmická funkcia. goniometrické funkcie.

Inverzné goniometrické funkcie.

1.	pomerné hodnoty. Ak premenné r a X rovno proporcionálne, potom funkčnú závislosť medzi nimi vyjadruje rovnica: r = k X , kde k- konštantná hodnota ( faktor proporcionality). Rozvrh rovno proporcionality- priamka prechádzajúca počiatkom a tvoriaca sa s osou X uhol, ktorého dotyčnica je k:tan= k(obr. 8). Preto sa koeficient proporcionality nazýva aj tzv faktor sklonu. Obrázok 8 zobrazuje tri grafy pre k = 1/3, k= 1 a k = 3 .
2.	Lineárna funkcia. Ak premenné r a X spojené rovnicou 1. stupňa: Sekera + By = C , kde je aspoň jedno z čísel A alebo B sa nerovná nule, potom je graf tejto funkčnej závislosti priamka. Ak C= 0, potom prejde počiatkom, inak nie. Grafy lineárnych funkcií pre rôzne kombinácie A,B,C sú znázornené na obr.9.
3.	Obrátené proporcionality. Ak premenné r a X späť proporcionálne, potom funkčnú závislosť medzi nimi vyjadruje rovnica: r = k / X , kde k- konštantná hodnota. Inverzne proporcionálny graf - hyperbola (obr. 10). Táto krivka má dve vetvy. Hyperboly sa získajú pretínaním kruhového kužeľa s rovinou (pre kužeľosečky pozri časť „Kužeľ“ v kapitole „Stereometria“). Ako je znázornené na obr. 10, súčinom súradníc bodov hyperboly je konštantná hodnota, v našom príklade rovná 1. Vo všeobecnom prípade je táto hodnota rovná k, čo vyplýva z rovnice hyperboly: xy = k. Hlavné charakteristiky a vlastnosti hyperboly: Rozsah funkcie: X 0, rozsah: r 0 ; Funkcia je monotónna (klesajúca) pri X< 0 a pri x > 0, ale nie monotónny celkovo kvôli bodu zlomu X= 0 (premýšľajte prečo?); Neohraničená funkcia, nespojitá v bode X= 0, nepárne, neperiodické; - Funkcia nemá nuly.
4.	Kvadratická funkcia. Toto je funkcia: r = sekera 2 + bx + c, kde a, b, c- trvalý, a 0. V najjednoduchšom prípade máme: b=c= 0 a r = sekera 2. Graf tejto funkcie štvorcová parabola - krivka prechádzajúca počiatkom (obr. 11). Každá parabola má os symetrie OY, ktorá sa volá os paraboly. Bodka O priesečník paraboly s jej osou sa nazýva vrchol paraboly. Graf funkcií r = sekera 2 + bx + c je tiež štvorcová parabola rovnakého typu ako r = sekera 2, ale jeho vrchol neleží v počiatku, ale v bode so súradnicami: Tvar a umiestnenie štvorcovej paraboly v súradnicovom systéme úplne závisí od dvoch parametrov: koeficientu a pri X 2 a diskriminačný D:D = b 2 – 4ac. Tieto vlastnosti vyplývajú z analýzy koreňov kvadratickej rovnice (pozri príslušnú časť v kapitole Algebra). Všetky možné rôzne prípady pre štvorcovú parabolu sú znázornené na obr.12.

Nakreslite štvorcovú parabolu pre prípad a > 0, D > 0 .

Hlavné charakteristiky a vlastnosti štvorcovej paraboly:

Rozsah funkcie:  < X+ (t.j. X R ) a oblasť

hodnoty: … (Prosím, odpovedzte na túto otázku sami!);

Funkcia ako celok nie je monotónna, ale vpravo alebo vľavo od vrcholu

správa sa ako monotónna;

Funkcia je neohraničená, všade spojitá, aj pre b = c = 0,

a neperiodické;

- pri D< 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .

5.	Funkcia napájania. Toto je funkcia: y=ax n, kde a, n- trvalý. o n= 1 dostaneme priama úmernosť: r=sekera; pri n = 2 - štvorcová parabola; pri n = 1 - inverzná úmernosť alebo hyperbola. Tieto funkcie sú teda špeciálnymi prípadmi výkonovej funkcie. Vieme, že nulová mocnina akéhokoľvek čísla iného ako nula sa rovná 1, teda kedy n= 0 sa výkonová funkcia stáva konštantou: r= a, t.j. jeho graf je priamka rovnobežná s osou X, s výnimkou pôvodu súradníc (vysvetlite prečo?). Všetky tieto prípady (s a= 1) sú znázornené na obr. 13 ( n 0) a Obr. 14 ( n < 0). Отрицательные значения X sa tu neberú do úvahy, pretože potom niektoré funkcie: Ak n– celé, mocenské funkcie majú zmysel aj vtedy X < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n párne číslo alebo nepárne číslo. Obrázok 15 zobrazuje dve takéto výkonové funkcie: pre n= 2 a n = 3. o n= 2 funkcia je párna a jej graf je symetrický okolo osi Y. o n= 3 funkcia je nepárna a jej graf je symetrický vzhľadom na počiatok. Funkcia r = X 3 tzv kubická parabola. Obrázok 16 zobrazuje funkciu. Táto funkcia je inverznou hodnotou k štvorcovej parabole r = X 2, jeho graf získame otočením grafu štvorcovej paraboly okolo osi 1. súradnicového uhlaToto je spôsob, ako získať graf ľubovoľnej inverznej funkcie z grafu jej pôvodnej funkcie. Z grafu vidíme, že ide o dvojhodnotovú funkciu (naznačuje to aj znamienko  pred odmocninou). Takéto funkcie sa v elementárnej matematike neštudujú, preto za funkciu zvyčajne považujeme jednu z jej vetiev: hornú alebo dolnú.
6.	Demonštrácia funkciu. Funkcia r = a X, kde a je kladné konštantné číslo, tzv exponenciálna funkcia. Argumentovať X prijíma akékoľvek platné hodnoty; ako funkčné hodnoty sa berú do úvahy iba kladné čísla, keďže inak máme viachodnotovú funkciu. Áno, funkcia r = 81 X má pri X= 1/4 štyroch rôznych hodnôt: r = 3, r = 3, r = 3 i a r = 3 i(Skontrolovať prosím!). Ale považujeme to len za hodnotu funkcie r= 3. Grafy exponenciálnej funkcie pre a= 2 a a= 1/2 sú znázornené na obr.17. Prechádzajú bodom (0, 1). o a= 1 máme graf priamky rovnobežnej s osou X, t.j. funkcia sa zmení na konštantnú hodnotu rovnú 1. Keď a> 1, exponenciálna funkcia sa zvyšuje a pri 0< a < 1 – убывает. Hlavné charakteristiky a vlastnosti exponenciálnej funkcie:  < X+ (t.j. X R ); rozsah: r> 0 ; Funkcia je monotónna: zvyšuje sa s a> 1 a klesá na 0< a < 1; - Funkcia nemá nuly.
7.	Logaritmická funkcia. Funkcia r= log a X, kde a je konštantné kladné číslo, nerovná sa 1 sa nazýva logaritmický. Táto funkcia je inverzná k exponenciálnej funkcii; jej graf (obr. 18) získame otáčaním grafu exponenciálnej funkcie okolo osi 1. súradnicového uhla. Hlavné charakteristiky a vlastnosti logaritmickej funkcie: Rozsah funkcie: X> 0, a rozsah hodnôt:  < r+ (t.j. r R ); Toto je monotónna funkcia: zvyšuje sa ako a> 1 a klesá na 0< a < 1; Funkcia je neobmedzená, všade spojitá, neperiodická; Funkcia má jednu nulu: X = 1.
8.	goniometrické funkcie. Pri konštrukcii goniometrických funkcií používame radián miera uhlov. Potom funkcia r= hriech X znázornené grafom (obr. 19). Táto krivka je tzv sínusoida. Graf funkcií r= čos X znázornené na obr. 20; je to tiež sínusoida vyplývajúca z pohybu grafu r= hriech X pozdĺž osi X doľava o 2 Z týchto grafov sú zrejmé charakteristiky a vlastnosti týchto funkcií: doména:  < X+  rozsah: -1 r +1; Tieto funkcie sú periodické: ich perióda je 2; Obmedzené funkcie (\| r\| , všade súvislé, nie monotónne, ale majúci tzv intervaloch monotónnosť, vo vnútri ktorej sú správať sa ako monotónne funkcie (pozri grafy na obr. 19 a obr. 20); Funkcie majú nekonečný počet núl (viac podrobností nájdete v časti "trigonometrické rovnice"). Grafy funkcií r= opálenie X a r= detská postieľka X znázornené na obr. 21 a obr. 22 Z grafov je vidieť, že tieto funkcie sú: periodické (ich perióda , neohraničené, vo všeobecnosti nie monotónne, ale majú intervaly monotónnosti (čo?), nespojité (aké body zlomu majú tieto funkcie?). región definície a rozsah týchto funkcií:
9.	Inverzné goniometrické funkcie. Definície inverzných hodnôt goniometrické funkcie a ich hlavné vlastnosti sú uvedené v rovnomennej časti v kapitole „Trigonometria“. Preto sa tu obmedzujeme dostali iba krátke komentáre týkajúce sa ich grafov otáčaním grafov goniometrických funkcií okolo osi 1 súradnicový uhol.

Funkcie r= Arcsin X(obr.23) a r= Arccos X(obr.24) mnohohodnotný, neobmedzený; ich doména definície a rozsah hodnôt, v tomto poradí: 1 X+1 a  < r+ . Keďže tieto funkcie sú viachodnotové,