Dlhá cesta k rozvoju zručností riešenie rovníc začína riešením úplne prvých a relatívne jednoduchých rovníc. Pod takýmito rovnicami rozumieme rovnice, na ľavej strane ktorých je súčet, rozdiel, súčin alebo podiel dvoch čísel, z ktorých jedno je neznáme a na pravej strane je číslo. To znamená, že tieto rovnice obsahujú neznámy termín, minuend, subtrahend, multiplikátor, dividenda alebo deliteľ. Riešenie takýchto rovníc bude diskutované v tomto článku.
Tu uvedieme pravidlá, ktoré nám umožňujú nájsť neznámy výraz, násobiteľ atď. Okrem toho okamžite zvážime aplikáciu týchto pravidiel v praxi pri riešení charakteristických rovníc.
Navigácia na stránke.
Takže do pôvodnej rovnice 3 + x = 8 dosadíme namiesto x číslo 5, dostaneme 3 + 5 = 8 - táto rovnosť je správna, neznámy člen sme teda našli správne. Ak by sme pri kontrole dostali nesprávnu číselnú rovnosť, potom by nám to naznačovalo, že sme rovnicu vyriešili nesprávne. Hlavnými dôvodmi môžu byť buď použitie nesprávneho pravidla, alebo chyby vo výpočte.
Ako nájsť neznámy minuend, subtrahend?
Súvislosť sčítania a odčítania čísel, o ktorej sme sa už zmienili v predchádzajúcom odseku, nám umožňuje získať pravidlo na nájdenie neznámeho podradníka cez známy podpočetník a rozdiel, ako aj pravidlo na nájdenie neznámeho podradníka cez známy podpočetník. a rozdiel. Postupne ich sformulujeme a okamžite poskytneme riešenie zodpovedajúcich rovníc.
Ak chcete nájsť neznámy minuend, musíte k rozdielu pridať subtrahend.
Uvažujme napríklad rovnicu x−2=5 . Obsahuje neznámu menštruáciu. Vyššie uvedené pravidlo nám hovorí, že na to, aby sme ho našli, musíme k známemu rozdielu 5 pridať známy subtrahend 2, máme 5+2=7. Požadovaný minuend sa teda rovná siedmim.
Ak vynecháte vysvetlenia, riešenie je napísané takto:
x−2=5,
x=5+2,
x=7.
Pre sebakontrolu vykonáme kontrolu. Nájdené zredukované dosadíme do pôvodnej rovnice a dostaneme číselnú rovnosť 7−2=5. Je to správne, preto si môžeme byť istí, že sme správne určili hodnotu neznámeho minuendu.
Môžete prejsť k hľadaniu neznámeho subtrahendu. Nájde sa pridaním ďalšie pravidlo: na nájdenie neznámeho subtrahendu je potrebné odpočítať rozdiel od minuendu.
Rovnicu v tvare 9−x=4 riešime pomocou napísaného pravidla. V tejto rovnici je neznáma subtrahend. Aby sme to našli, musíme odčítať známy rozdiel 4 od známeho redukovaného 9, máme 9−4=5. Požadovaný subtrahend sa teda rovná piatim.
Tu je krátka verzia riešenia tejto rovnice:
9−x=4,
x=9−4,
x=5.
Zostáva len skontrolovať správnosť nájdeného subtrahendu. Urobme kontrolu, pri ktorej do pôvodnej rovnice dosadíme zistenú hodnotu 5 namiesto x a dostaneme číselnú rovnosť 9−5=4. Je to správne, preto hodnota subtrahendu, ktorú sme našli, je správna.
A predtým, ako prejdeme k ďalšiemu pravidlu, poznamenávame, že v 6. ročníku sa uvažuje o pravidle na riešenie rovníc, ktoré vám umožňuje preniesť ľubovoľný výraz z jednej časti rovnice do druhej pomocou opačné znamenie. Takže všetky vyššie uvedené pravidlá na nájdenie neznámeho výrazu, redukované a odčítané, sú s ním plne v súlade.
Ak chcete nájsť neznámy faktor, musíte...
Pozrime sa na rovnice x 3=12 a 2 y=6 . V nich neznáme číslo je faktor na ľavej strane a súčin a druhý faktor sú známe. Ak chcete nájsť neznámy faktor, môžete použiť nasledujúce pravidlo: Ak chcete nájsť neznámy faktor, musíte rozdeliť produkt známym faktorom.
Toto pravidlo vychádza z toho, že deleniu čísel sme dali opačný význam ako násobeniu. To znamená, že medzi násobením a delením existuje súvislosť: z rovnosti a b=c, kde a≠0 a b≠0, vyplýva, že c:a=bac:b=c a naopak.
Napríklad nájdime neznámy faktor rovnice x·3=12 . Podľa pravidla musíme známy produkt 12 vydeliť známym faktorom 3. Urobme: 12:3=4. Takže neznámy faktor je 4.
Stručne povedané, riešenie rovnice je napísané ako postupnosť rovnosti:
x 3=12,
x=12:3,
x=4.
Je tiež žiaduce skontrolovať výsledok: namiesto písmena v pôvodnej rovnici nahradíme nájdenú hodnotu, dostaneme 4 3 \u003d 12 - správnu číselnú rovnosť, takže sme správne našli hodnotu neznámeho faktora.
A ešte niečo: ak konáme podľa naštudovaného pravidla, vlastne vykonávame delenie oboch častí rovnice nenulovým známym násobiteľom. V 6. ročníku sa povie, že obe časti rovnice možno vynásobiť a vydeliť rovnakým nenulovým číslom, na korene rovnice to nemá vplyv.
Ako nájsť neznámu dividendu, deliteľa?
V rámci našej témy zostáva zistiť, ako nájsť neznámu dividendu so známym deliteľom a kvocientom, ako aj nájsť neznámeho deliteľa so známou dividendou a kvocientom. Vzťah medzi násobením a delením už spomenutý v predchádzajúcom odseku vám umožňuje odpovedať na tieto otázky.
Ak chcete nájsť neznámu dividendu, musíte vynásobiť podiel deliteľom.
Uvažujme o jeho aplikácii na príklade. Vyriešte rovnicu x:5=9 . Na nájdenie neznámeho deliteľa tejto rovnice je potrebné podľa pravidla vynásobiť známy kvocient 9 známym deliteľom 5, to znamená, že vykonáme násobenie prirodzené čísla: 95=45. Požadovaná dividenda je teda 45.
Ukážme si krátky zápis riešenia:
x:5=9,
x=95,
x=45.
Kontrola potvrdí, že hodnota neznámej dividendy je nájdená správne. Pri dosadení čísla 45 do pôvodnej rovnice namiesto premennej x sa totiž zmení na správnu číselnú rovnosť 45:5=9.
Všimnite si, že analyzované pravidlo možno interpretovať ako násobenie oboch častí rovnice známym deliteľom. Takáto transformácia neovplyvňuje korene rovnice.
Prejdime k pravidlu na nájdenie neznámeho deliteľa: Ak chcete nájsť neznámeho deliteľa, vydeľte dividendu podielom.
Zvážte príklad. Nájdite neznámeho deliteľa z rovnice 18:x=3 . Aby sme to urobili, musíme vydeliť známu dividendu 18 známym podielom 3, máme 18:3=6. Požadovaný deliteľ sa teda rovná šiestim.
Riešenie môže byť formulované aj takto:
18:x=3,
x=18:3,
x=6.
Skontrolujeme spoľahlivosť tohto výsledku: 18:6=3 - správna číselná rovnosť, preto je koreň rovnice nájdený správne.
Je jasné, že toto pravidlo možno použiť len vtedy, keď je kvocient iný ako nula, aby nedošlo k deleniu nulou. Keď je podiel nula, sú možné dva prípady. Ak je v tomto prípade delenec rovný nule, to znamená, že rovnica má tvar 0:x=0, potom táto rovnica spĺňa akúkoľvek nenulovú hodnotu deliteľa. Inými slovami, koreňmi takejto rovnice sú akékoľvek čísla, ktoré sa nerovnajú nule. Ak, keď sa kvocient rovná nule, dividenda je odlišná od nuly, potom pre akékoľvek hodnoty deliteľa sa pôvodná rovnica nezmení na skutočnú číselnú rovnosť, to znamená, že rovnica nemá korene. Pre ilustráciu uvádzame rovnicu 5:x=0 , nemá žiadne riešenia.
Pravidlá zdieľania
Dôsledné uplatňovanie pravidiel na nájdenie neznámeho člena, minuendu, subtrahendu, multiplikátora, deliteľa a deliteľa umožňuje riešiť rovnice s jednou premennou viac ako komplexný typ. Vyrovnajme sa s tým na príklade.
Uvažujme rovnicu 3 x+1=7 . Najprv nájdeme neznámy člen 3 x , na to musíme od súčtu 7 odčítať známy člen 1, dostaneme 3 x=7−1 a potom 3 x=6 . Teraz zostáva nájsť neznámy faktor vydelením súčinu 6 známym faktorom 3, máme x=6:3, odkiaľ x=2. Nájdeme teda koreň pôvodnej rovnice.
Na konsolidáciu materiálu uvádzame stručné riešenie ďalšej rovnice (2·x−7):3−5=2 .
(2 x-7):3-5=2,
(2 x-7):3=2+5,
(2 x-7):3=7,
2 x - 7 = 7 3 ,
2x−7=21,
2x=21+7,
2x=28,
x=28:2,
x=14.
Bibliografia.
- Matematika.. 4. trieda. Proc. pre všeobecné vzdelanie inštitúcií. O 14. hodine 1. časť / [M. I. Moro, M. A. Bantová, G. V. Beltyuková a ďalší] - 8. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2011. - 112 s.: chor. - (Ruská škola). - ISBN 978-5-09-023769-7.
- Matematika: štúdie. pre 5 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / N. Ya. Vilenkin, V. I. Žochov, A. S. Česnokov, S. I. Shvartburd. - 21. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: chor. ISBN 5-346-00699-0.
| P. | AT. | OD. |
236 m2 (236 + 95) m2 (H.-108) m
K hlavnej otázke úlohy Koľko metrov látky predal obchod za 3 dni? nemôžeme odpovedať hneď, pretože nevieme, koľko metrov látky predala predajňa v utorok a stredu. Vediac, že v pondelok predajňa predala 236 m látky a v utorok o 95 m viac ako v pondelok, koľko metrov látky predajňa predala v utorok zistíme pridaním, nabádajú nás slová __ viac. Tým, že vieme, koľko metrov látky predal obchod v utorok, vieme zistiť, koľko metrov látky predali v stredu. Vyhlásenie o úlohe hovorí: v utorok - o 95 m viac ako v pondelok a o 108 m viac ako v stredu . Toto je nepriamy stav, naznačuje slovo a . Takže streda O 108 m menej ako v utorok. Nájdeme akciu odčítania, nabádajú nás slová __ menej. Keď vieme, koľko látky predal obchod v utorok a stredu, môžeme odpovedať na hlavnú otázku problému Koľko metrov látky predal obchod za 3 dni? Akciou sčítania na nájdenie celku je sčítanie častí (pridanie 3 častí). Problém je vyriešený v troch krokoch...
Ak sa chcete naučiť, ako rýchlo a úspešne riešiť rovnice, musíte začať s väčšinou jednoduché pravidlá a príklady. V prvom rade sa treba naučiť riešiť rovnice, na ľavej strane je rozdiel, súčet, kvocient alebo súčin niektorých čísel s jednou neznámou a na pravej strane je iné číslo. Inými slovami, v týchto rovniciach je jeden neznámy člen a buď minuend s podtrahendom, alebo deliteľné s deliteľom atď. Práve o rovniciach tohto typu sa s vami porozprávame.
Tento článok je venovaný základným pravidlám, ktoré umožňujú nájsť faktory, neznáme pojmy atď. Všetky teoretické ustanovenia si ihneď vysvetlíme na konkrétnych príkladoch.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Nájdenie neznámeho termínu
Povedzme, že máme nejaký počet loptičiek v dvoch vázach, povedzme 9 . Vieme, že v druhej váze sú 4 guľôčky. Ako zistiť množstvo v druhom? Napíšme tento problém v matematickej forme, pričom číslo, ktoré sa má nájsť, označíme ako x. Podľa pôvodnej podmienky toto číslo spolu so 4 tvorí 9, takže môžeme napísať rovnicu 4 + x = 9. Naľavo sme dostali súčet s jedným neznámym pojmom, napravo hodnotu tohto súčtu. Ako nájsť x? Ak to chcete urobiť, musíte použiť pravidlo:
Definícia 1
Ak chcete nájsť neznámy výraz, odpočítajte známe od súčtu.
V tomto prípade dávame odčítaniu význam, ktorý je opačný ako sčítanie. Inými slovami, existuje určité spojenie medzi operáciami sčítania a odčítania, ktoré možno vyjadriť v doslovnej forme takto: ak a + b \u003d c, potom c - a \u003d b a c - b \u003d a, a naopak, z výrazov c - a \u003d b a c − b = a môžeme odvodiť, že a + b = c .
Keď poznáme toto pravidlo, môžeme nájsť jeden neznámy výraz pomocou známeho a súčtu. Ktorý pojem poznáme, či prvý alebo druhý, nie je v tomto prípade dôležité. Pozrime sa, ako toto pravidlo aplikovať v praxi.
Príklad 1
Zoberme si rovnicu, ktorú sme dostali vyššie: 4 + x = 9. Podľa pravidla potrebujeme od známeho súčtu rovnajúceho sa 9 odpočítať známy člen rovnajúci sa 4. Odčítajte jedno prirodzené číslo od druhého: 9 - 4 = 5 . Dostali sme termín, ktorý potrebujeme, rovný 5.
Zvyčajne sú riešenia takýchto rovníc napísané takto:
- Pôvodná rovnica je napísaná ako prvá.
- Ďalej si zapíšeme rovnicu, ktorú sme dostali po aplikovaní pravidla na výpočet neznámeho člena.
- Potom napíšeme rovnicu, ktorá sa ukázala po všetkých akciách s číslami.
Táto forma zápisu je potrebná na ilustráciu postupného nahrádzania pôvodnej rovnice ekvivalentnými rovnicami a na zobrazenie procesu hľadania koreňa. Riešenie našej jednoduchej rovnice vyššie by bolo správne napísané ako:
4 + x = 9 , x = 9 − 4 , x = 5 .
Môžeme skontrolovať správnosť prijatej odpovede. Dosadíme to, čo sme dostali do pôvodnej rovnice, a uvidíme, či z toho vyjde správna číselná rovnosť. Dosaďte 5 do 4 + x = 9 a získajte: 4 + 5 = 9 . Rovnosť 9 = 9 je správna, čo znamená, že neznámy výraz bol nájdený správne. Ak sa ukázalo, že rovnosť je nesprávna, mali by sme sa vrátiť k riešeniu a znova ho skontrolovať, pretože je to znak chyby. Spravidla ide najčastejšie o chybu vo výpočte alebo o aplikáciu nesprávneho pravidla.
Nájdenie neznámeho subtrahendu alebo minuendu
Ako sme uviedli v prvom odseku, medzi procesmi sčítania a odčítania existuje určitý vzťah. S jeho pomocou si môžete sformulovať pravidlo, ktoré vám pomôže nájsť neznámy mínus, keď poznáme rozdiel a subtrahend, alebo neznámy subtrahend cez mínus alebo rozdiel. Postupne píšeme tieto dve pravidlá a ukazujeme, ako ich aplikovať pri riešení problémov.
Definícia 2
Ak chcete nájsť neznámy mínus, pridajte mínus k rozdielu.
Príklad 2
Napríklad máme rovnicu x - 6 = 10 . Znížená neznáma. Podľa pravidla musíme k rozdielu 10 pripočítať odčítaných 6, dostaneme 16. To znamená, že pôvodný minuend je šestnásť. Napíšme riešenie celé:
x − 6 = 10, x = 10 + 6, x = 16.
Výsledok skontrolujeme pridaním výsledného čísla k pôvodnej rovnici: 16 - 6 = 10. Rovnosť 16 - 16 bude správna, čo znamená, že sme všetko vypočítali správne.
Definícia 3
Ak chcete nájsť neznámy subtrahend, odčítajte rozdiel od minuendu.
Príklad 3
Pomocou pravidla vyriešme rovnicu 10 - x = 8 . Nevieme, čo sa odčítava, preto potrebujeme odpočítať rozdiel od 10, t.j. 10 - 8 = 2. Požadovaný subtrahend sa teda rovná dvom. Tu je celý záznam riešenia:
10-x = 8, x = 10-8, x = 2.
Skontrolujeme správnosť dosadením dvojky v pôvodnej rovnici. Dostaneme správnu rovnosť 10 - 2 = 8 a presvedčíme sa, že hodnota, ktorú sme našli, bude správna.
Predtým, ako prejdeme k ďalším pravidlám, poznamenávame, že existuje pravidlo na prenos akýchkoľvek členov z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom. Všetky vyššie uvedené pravidlá sú s ním plne v súlade.
Nájdenie neznámeho multiplikátora
Pozrime sa na dve rovnice: x 2 = 20 a 3 x = 12. V oboch poznáme hodnotu produktu a jeden z faktorov musíme nájsť ten druhý. Aby sme to dosiahli, musíme použiť ďalšie pravidlo.
Definícia 4
Ak chcete nájsť neznámy faktor, musíte rozdeliť produkt známym faktorom.
Toto pravidlo je založené na zmysle, ktorý je opakom násobenia. Medzi násobením a delením je nasledujúci vzťah: a b = c, keď a a b sa nerovnajú 0, c: a = b, c: b = c a naopak.
Príklad 4
Vypočítajte neznámy faktor v prvej rovnici vydelením známeho kvocientu 20 známym faktorom 2 . Vykonáme delenie prirodzených čísel a dostaneme 10. Zapíšme si postupnosť rovnosti:
x 2 = 20 x = 20: 2 x = 10 .
Desiatku dosadíme do pôvodnej rovnosti a dostaneme 2 10 \u003d 20. Hodnota neznámeho násobiteľa bola vykonaná správne.
Ujasnime si, že ak je jeden z faktorov nulový, toto pravidlo nemožno použiť. Takže rovnicu x 0 = 11 s jej pomocou nevyriešime. Tento zápis nedáva zmysel, pretože riešením je deliť 11 0 a delenie nulou nie je definované. O takýchto prípadoch sme podrobnejšie hovorili v článku venovanom lineárnym rovniciam.
Keď použijeme toto pravidlo, v podstate delíme obe strany rovnice iným faktorom ako 0 . Existuje samostatné pravidlo, podľa ktorého je možné takéto rozdelenie vykonať a neovplyvní korene rovnice a to, o čom sme písali v tomto odseku, je s ním úplne v súlade.
Nájdenie neznámej dividendy alebo deliteľa
Ďalším prípadom, ktorý musíme zvážiť, je nájdenie neznámeho deliteľa, ak poznáme deliteľa a podiel, a tiež nájdenie deliteľa, keď sú známy podiel a podiel. Toto pravidlo môžeme sformulovať pomocou už spomínaného spojenia medzi násobením a delením.
Definícia 5
Ak chcete nájsť neznámu dividendu, vynásobte deliteľa podielom.
Pozrime sa, ako toto pravidlo platí.
Príklad 5
Využime ho na riešenie rovnice x: 3 = 5 . Vynásobíme medzi sebou známy kvocient a známeho deliteľa a dostaneme 15, čo bude deliteľné, ktoré potrebujeme.
Tu je zhrnutie celého riešenia:
x: 3 = 5, x = 3 5, x = 15.
Kontrola ukazuje, že sme všetko vypočítali správne, pretože pri delení 15 3 je naozaj 5. Skutočná numerická rovnosť je dôkazom správneho rozhodnutia.
Toto pravidlo možno interpretovať ako násobenie pravej a ľavej strany rovnice rovnakým číslom iným ako 0. Táto transformácia neovplyvňuje korene rovnice žiadnym spôsobom.
Prejdime k ďalšiemu pravidlu.
Definícia 6
Ak chcete nájsť neznámeho deliteľa, musíte rozdeliť dividendu podielom.
Príklad 6
Zoberme si jednoduchý príklad – rovnica 21: x = 3 . Aby sme to vyriešili, vydelíme známe deliteľné 21 podielom 3 a dostaneme 7. Toto bude požadovaný deliteľ. Teraz sa rozhodneme správne:
21:x=3, x=21:3, x=7.
Uistime sa, že výsledok je správny dosadením siedmich v pôvodnej rovnici. 21: 7 = 3, takže koreň rovnice bol vypočítaný správne.
Je dôležité poznamenať, že toto pravidlo platí iba vtedy, keď je podiel nenulový, inak by sme museli znova deliť 0. Ak je podiel nula, sú možné dve možnosti. Ak je dividenda tiež nula a rovnica vyzerá ako 0: x \u003d 0, potom hodnota premennej bude ľubovoľná, to znamená, že táto rovnica má nekonečný počet koreňov. Ale rovnica s kvocientom rovným 0, s dividendou inou ako 0, nebude mať riešenia, pretože neexistujú žiadne takéto hodnoty deliteľa. Príkladom môže byť rovnica 5: x = 0, ktorá nemá žiadny koreň.
Dôsledné uplatňovanie pravidiel
V praxi je ich často viac náročné úlohy, v ktorej sa musia postupne aplikovať pravidlá na hľadanie pojmov, mínusov, podtrahendov, faktorov, deliteľov a kvocientov. Vezmime si príklad.
Príklad 7
Máme rovnicu ako 3 x + 1 = 7 . Neznámy člen vypočítame 3 x, pričom jeden odpočítame od 7. Skončíme s 3 · x = 7 − 1 , potom 3 · x = 6 . Táto rovnica sa dá veľmi ľahko vyriešiť: vydeľte 6 3 a získajte koreň pôvodnej rovnice.
Tu je skratka na riešenie ďalšej rovnice (2 x − 7): 3 − 5 = 2:
(2 x - 7): 3 - 5 = 2, (2 x - 7) : 3 = 2 + 5, (2 x - 7): 3 = 7, 2 x - 7 = 7 3, 2 x - 7 = 21, 2 x = 21 + 7, 2 x = 28, x = 28: 2, x = 14.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
