Čo je Tesseract? Cybercube - prvý krok do štvrtej dimenzie

Učenie o viacrozmerných priestoroch sa začalo objavovať v polovici 19. storočia. Sci-fi si požičala myšlienku štvorrozmerného priestoru od vedcov. Vo svojich dielach rozprávali svetu o úžasných zázrakoch štvrtej dimenzie.

Hrdinovia svojich diel, využívajúci vlastnosti štvorrozmerného priestoru, mohli zjesť obsah vajíčka bez poškodenia škrupiny, vypiť nápoj bez toho, aby otvorili korok fľaše. Únoscovia získali poklad z trezoru cez štvrtú dimenziu. Chirurgovia vykonávali operácie na vnútorných orgánoch bez rezania tkanív tela pacienta.

tesseract

V geometrii je hyperkocka n-rozmernou analógiou štvorca (n = 2) a kocky (n = 3). Štvorrozmerný analóg našej bežnej trojrozmernej kocky je známy ako tesseract. Tesseract je ku kocke ako kocka ku štvorcu. Formálnejšie možno tesseract opísať ako pravidelný konvexný štvorrozmerný mnohosten, ktorého hranica pozostáva z ôsmich kubických buniek.

Skúsme si predstaviť, ako bude hyperkocka vyzerať bez toho, aby sme opustili trojrozmerný priestor.
V jednorozmernom "priestore" - na priamke - vyberieme úsečku AB dĺžky L. Na dvojrozmernú rovinu vo vzdialenosti L od AB nakreslíme úsečku DC rovnobežne s ňou a ich konce spojíme. Získate štvorcový CDBA. Opakovaním tejto operácie s rovinou dostaneme trojrozmernú kocku CDBAGHFE. A posunutím kocky vo štvrtom rozmere (kolmo na prvé tri) o vzdialenosť L dostaneme hyperkocku CDBAGHFEKLJIOPNM.

Podobne môžeme pokračovať v úvahách pre hyperkocky viac rozmerov, no oveľa zaujímavejšie je sledovať, ako bude vyzerať štvorrozmerná hyperkocka pre nás, obyvateľov trojrozmerného priestoru.

Vezmime si drôtenú kocku ABCDHEFG a pozrieme sa na ňu jedným okom zo strany tváre. Uvidíme a môžeme nakresliť dva štvorce na rovinu (jej blízku a vzdialenú stranu), spojené štyrmi čiarami - bočnými hranami. Podobne štvorrozmerná hyperkocka v trojrozmernom priestore bude vyzerať ako dve kubické „škatule“ vložené do seba a spojené ôsmimi hranami. V tomto prípade sa do „nášho“ priestoru premietnu samotné „škatuľky“ – trojrozmerné tváre a čiary, ktoré ich spájajú, sa budú ťahať v smere štvrtej osi. Môžete si tiež skúsiť predstaviť kocku nie v projekcii, ale v priestorovom obrázku.

Tak ako je trojrozmerná kocka tvorená štvorcom posunutým o dĺžku plochy, kocka posunutá do štvrtého rozmeru vytvorí hyperkocku. Je ohraničený ôsmimi kockami, ktoré budú v budúcnosti vyzerať ako nejaká dosť zložitá figúrka. Samotnú štvorrozmernú hyperkocku je možné rozdeliť na nekonečné množstvo kociek, rovnako ako trojrozmernú kocku možno „rozrezať“ na nekonečné množstvo plochých štvorcov.

Rozrezaním šiestich plôch trojrozmernej kocky ju rozložíte na plochú figúrku – sieťku. Bude mať štvorec na každej strane pôvodnej tváre plus jeden ďalší - tvár oproti nemu. Trojrozmerný vývoj štvorrozmernej hyperkocky bude pozostávať z pôvodnej kocky, šiestich kociek, ktoré z nej „vyrastajú“, plus jednej ďalšej – finálnej „hyperface“.

Tesseract je taká zaujímavá postava, že opakovane priťahuje pozornosť spisovateľov a filmárov.
Robert E. Heinlein spomenul hyperkocky niekoľkokrát. V The House That Teal Built (1940) opísal dom postavený ako rozvinutie tesseractu, ktorý sa potom v dôsledku zemetrasenia „sformoval“ vo štvrtej dimenzii a stal sa „skutočným“ tesseractom. V románe Glory Road od Heinleina je opísaná hyperdimenzionálna krabica, ktorá bola zvnútra väčšia ako zvonka.

Príbeh Henryho Kuttnera „All Borog's Tenals“ opisuje vzdelávaciu hračku pre deti z ďalekej budúcnosti, ktorá má štruktúru podobnú tesseractu.

Dej kocky 2: Hyperkocka sa sústreďuje na osem cudzincov uväznených v „hyperkocke“ alebo sieti spojených kociek.

Paralelný svet

Matematické abstrakcie priniesli do života pojem existencie paralelné svety. Sú to reality, ktoré existujú súčasne s našou, ale nezávisle od nej. Paralelný svet môže mať rôzne veľkosti: od malej geografickej oblasti až po celý vesmír. V paralelnom svete sa udalosti odohrávajú po svojom, môže sa líšiť od nášho sveta, tak v jednotlivých detailoch, ako aj takmer vo všetkom. Zároveň fyzikálne zákony paralelného sveta nemusia byť nevyhnutne podobné zákonom nášho vesmíru.

Táto téma je úrodnou pôdou pre autorov sci-fi.

Ukrižovanie na kríži od Salvadora Dalího zobrazuje tesseract. "Ukrižovanie alebo hyperkubické telo" - obraz španielskeho umelca Salvadora Dalího, napísaný v roku 1954. Zobrazuje ukrižovaného Ježiša Krista na vývoji tesseractu. Obraz je uložený v Metropolitnom múzeu umenia v New Yorku.

Všetko sa to začalo v roku 1895, keď HG Wells objavil existenciu paralelných svetov pre fantáziu s príbehom „The Door in the Wall“. V roku 1923 sa Wells vrátil k myšlienke paralelných svetov a do jedného z nich umiestnil utopickú krajinu, kam chodia postavy z románu „Ľudia sú ako bohovia“.

Román nezostal bez povšimnutia. V roku 1926 sa objavil príbeh G. Denta „Cisár krajiny“ If „.“ V Dentovom príbehu po prvýkrát vznikla myšlienka, že by mohli existovať krajiny (svety), ktorých história by sa mohla uberať inak ako história skutočných krajín A tieto svety nie sú o nič menej skutočné ako tie naše.

V roku 1944 Jorge Luis Borges publikoval poviedku „The Garden of Forking Paths“ vo svojej knihe Vymyslené príbehy. Tu bola myšlienka vetvenia času konečne vyjadrená s maximálnou jasnosťou.
Napriek objaveniu sa vyššie uvedených diel sa myšlienka multi-sveta začala vážne rozvíjať v sci-fi až koncom štyridsiatych rokov XX storočia, približne v rovnakom čase, keď podobná myšlienka vznikla vo fyzike.

Jedným z priekopníkov nového smeru sci-fi bol John Bixby, ktorý v príbehu „Jednosmerná ulica“ (1954) navrhol, že medzi svetmi sa môžete pohybovať len jedným smerom – keď ste prešli zo svojho sveta do paralelného, nevrátiš sa späť, ale presunieš sa z jedného sveta do druhého. Nie je však vylúčený ani návrat do vlastného sveta – na to je potrebné, aby bol systém svetov uzavretý.

V románe Clifforda Simaka „Ring around the Sun“ (1982) sú opísané početné planéty Zeme, z ktorých každá existuje vo svojom vlastnom svete, ale na rovnakej obežnej dráhe, a tieto svety a tieto planéty sa od seba líšia iba mierny (o mikrosekundu) posun v čase . Hrdina románovej formy navštívil množstvo krajín jednotný systém svetov.

Kuriózny pohľad na vetvenie svetov vyjadril Alfred Bester v príbehu „Muž, ktorý zabil Mohameda“ (1958). "Zmenením minulosti," tvrdil hrdina príbehu, "zmeníte ju iba pre seba." Inými slovami, po zmene minulosti vzniká vetva histórie, v ktorej táto zmena existuje len pre postavu, ktorá zmenu vykonala.

V príbehu bratov Strugackých „Pondelok sa začína v sobotu“ (1962) sú cesty postáv do rôzne varianty opísali spisovatelia sci-fi budúcnosti – na rozdiel od ciest za sci-fi, ktoré už existovali v r rôzne možnosti z minulosti.

Aj obyčajné vymenovanie všetkých diel, ktoré sa venujú téme paralelizmu svetov, by však zabralo príliš veľa času. A hoci spisovatelia sci-fi spravidla vedecky nepodkladajú postulát multidimenzionality, v jednej veci majú pravdu - je to hypotéza, ktorá má právo existovať.
Štvrtá dimenzia tesseractu nás ešte len čaká na návštevu.

Viktor Savinov

Čo je to hyperkocka a štvorrozmerný priestor

V našom zvyčajnom priestore sú tri dimenzie. Z geometrického hľadiska to znamená, že v ňom možno naznačiť tri navzájom kolmé čiary. To znamená, že pre akúkoľvek čiaru môžete nájsť druhú čiaru kolmú na prvú a pre pár môžete nájsť tretiu čiaru kolmú na prvé dve. Už nebude možné nájsť štvrtú priamku kolmú na tri existujúce.

Štvorrozmerný priestor sa od nášho líši len tým, že má ešte jeden ďalší smer. Ak už máte tri navzájom kolmé čiary, môžete nájsť štvrtú tak, že bude kolmá na všetky tri.

Hyperkocka je len kocka v štyroch rozmeroch.
Je možné si predstaviť štvorrozmerný priestor a hyperkocku?

Táto otázka súvisí s otázkou: „Je možné si predstaviť poslednú večeru pri pohľade na rovnomenný obraz (1495-1498) od Leonarda da Vinciho (1452-1519)?

Na jednej strane si samozrejme nebudete predstavovať, čo Ježiš videl (sedí tvárou k divákovi), najmä preto, že nebudete cítiť vôňu záhrady za oknom a chuť jedla na stole, nebudete počuť vtáky spev ... Neurobíte si úplný obraz o tom, čo sa v ten večer dialo, ale nedá sa povedať, že sa nič nové nedozviete a že vás obraz nezaujíma.

Podobne je to aj s otázkou hyperkocky. Je nemožné si to úplne predstaviť, ale môžete sa priblížiť k pochopeniu toho, čo to je.
Stavba hyperkocky
0-rozmerná kocka

Začnime od začiatku – s 0-rozmernou kockou. Táto kocka obsahuje 0 vzájomne kolmých plôch, to znamená, že je to len bod.

1-rozmerná kocka

V jednorozmernom priestore máme len jeden smer. Bod posunieme týmto smerom a získame segment.

Toto je jednorozmerná kocka.
2 rozmerná kocka

Máme druhý rozmer, posunieme našu jednorozmernú kocku (segment) v smere druhého rozmeru a dostaneme štvorec.

Je to kocka v dvoch rozmeroch.
3 rozmerná kocka

S príchodom tretej dimenzie robíme to isté: posunieme štvorec a získame obvyklú trojrozmernú kocku.

4-rozmerná kocka (hyperkocka)

Teraz máme štvrtý rozmer. To znamená, že máme k dispozícii smer kolmý na všetky tri predchádzajúce. Využime to rovnako. 4D kocka bude vyzerať takto.

Prirodzene, trojrozmerné a štvorrozmerné kocky nemožno zobraziť na dvojrozmernej obrazovke. To, čo som nakreslil, sú projekcie. O projekciách si povieme o niečo neskôr, no zatiaľ pár holých faktov a čísel.
Počet vrcholov, hrán, plôch
Charakteristika kociek rôznych rozmerov
1-rozmer priestoru
2-počet vrcholov
3-počet rebier
4-počet tvárí

0 (bodka) 1 0 0
1 (riadok) 2 1 2 (body)
2 (štvorec) 4 4 4 (segmenty)
3 (kocka) 8 12 6 (štvorce)
4 (hyperkocka) 16 32 8 (kocky)
N (všeobecný vzorec) 2N N 2N-1 2 N

Všimnite si, že tvár hyperkocky je naša bežná 3D kocka. Ak sa pozorne pozriete na kresbu hyperkocky, v skutočnosti nájdete osem kociek.
Projekcie a vízie obyvateľa štvorrozmerného priestoru
Pár slov o vízii

Žijeme v trojrozmernom svete, no vidíme ho ako dvojrozmerný. Je to spôsobené tým, že sietnica našich očí sa nachádza v rovine, ktorá má len dva rozmery. Preto sme schopní vnímať dvojrozmerné obrázky a nájsť ich podobné realite. (Samozrejme, vďaka akomodácii dokáže oko odhadnúť vzdialenosť k objektu, ale to je už vedľajší efekt spojený s optikou zabudovanou v našom oku.)

Oči obyvateľa štvorrozmerného priestoru musia mať trojrozmernú sietnicu. Takéto stvorenie môže okamžite úplne vidieť trojrozmernú postavu: všetky jej tváre a vnútro. (Rovnakým spôsobom môžeme vidieť dvojrozmernú postavu, všetky jej tváre a vnútro.)

Pomocou našich zrakových orgánov teda nie sme schopní vnímať štvorrozmernú kocku tak, ako by ju vnímal obyvateľ štvorrozmerného priestoru. žiaľ. Zostáva len spoliehať sa na rozum a fantáziu, ktoré, našťastie, nemajú žiadne fyzické obmedzenia.

Pri zobrazení hyperkocky v rovine ju však jednoducho musím premietnuť do dvojrozmerného priestoru. Majte to na pamäti pri štúdiu výkresov.
Okrajové križovatky

Prirodzene, okraje hyperkocky sa nepretínajú. Križovatky sa zobrazujú iba na obrázkoch. To by však nemalo byť prekvapujúce, pretože hrany obyčajnej kocky v obrazcoch sa tiež pretínajú.
Dĺžky rebier

Stojí za zmienku, že všetky steny a hrany štvorrozmernej kocky sú rovnaké. Na obrázku nie sú rovnaké len preto, že sú umiestnené v rôznych uhloch k smeru pohľadu. Je však možné rozložiť hyperkocku tak, aby všetky výstupky mali rovnakú dĺžku.

Mimochodom, na tomto obrázku je jasne viditeľných osem kociek, čo sú tváre hyperkocky.
Hyperkocka vnútri je prázdna

Je ťažké uveriť, ale medzi kockami, ktoré spájajú hyperkocku, je nejaký priestor (úlomok štvorrozmerného priestoru).

Aby sme to lepšie pochopili, uvažujme o 2D projekcii bežnej 3D kocky (zámerne som to urobil trochu útržkovito).

Dá sa z toho uhádnuť, že vo vnútri kocky je nejaký priestor? Áno, ale len s fantáziou. Oko tento priestor nevidí. Je to preto, že okraje nachádzajúce sa v treťom rozmere (ktoré nemožno znázorniť na plochom výkrese) sa teraz zmenili na segmenty ležiace v rovine výkresu. Už neposkytujú objem.

Štvorce, ktoré ohraničovali priestor kocky, sa navzájom prekrývali. Môžete si však predstaviť, že v pôvodnej figúre (trojrozmernej kocke) sa tieto štvorce nachádzali rôzne lietadlá, a nie jeden na druhom v rovnakej rovine, ako sa ukázalo na obrázku.

To isté platí pre hyperkocku. Kockové plochy hyperkocky sa v skutočnosti neprekrývajú, ako sa nám zdá na projekcii, ale sú umiestnené v štvorrozmernom priestore.
Výstružníky

Takže obyvateľ štvorrozmerného priestoru môže vidieť trojrozmerný objekt súčasne zo všetkých strán. Môžeme súčasne vidieť trojrozmernú kocku zo všetkých strán? Okom nie. Ľudia však prišli na spôsob, ako zobraziť všetky tváre trojrozmernej kocky súčasne na plochom výkrese. Takýto obraz sa nazýva zametanie.
Rozkladanie 3D kocky

Každý asi vie, ako vzniká rozkladanie trojrozmernej kocky. Tento proces je znázornený na animácii.

Kvôli prehľadnosti sú okraje plôch kocky priesvitné.

Treba poznamenať, že tento dvojrozmerný obraz sme schopní vnímať len vďaka predstavivosti. Ak vezmeme do úvahy fázy rozvíjania z čisto dvojrozmerného hľadiska, potom sa proces bude zdať zvláštny a vôbec nie vizuálny.

Vyzerá to tak, že sa najskôr objavia obrysy zdeformovaných štvorcov a potom sa rozložia na miesto so súčasným prijatím potrebného tvaru.

Ak sa pozriete na rozkladaciu kocku v smere jednej z jej plôch (z tohto pohľadu kocka vyzerá ako štvorec), potom je proces formovania vývoja ešte menej jasný. Všetko vyzerá ako vyliezanie zo štvorcov z počiatočného štvorca (nie rozloženej kocky).

Skenovanie však nie je vizuálne len pre oči. Len vďaka fantázii sa z nej dá vyčítať množstvo informácií.
Rozloženie 4D kocky

Je jednoducho nemožné urobiť animovaný proces hyperkocky aspoň trochu vizuálny. Ale tento proces si možno predstaviť. (Aby ste to urobili, musíte sa na to pozrieť očami štvorrozmernej bytosti.)

Nátierka vyzerá takto.

Je tu viditeľných všetkých osem kociek ohraničujúcich hyperkocku.

Tváre sú namaľované rovnakými farbami, ktoré by mali byť pri skladaní zarovnané. Tváre, pre ktoré nie sú viditeľné, zostanú sivé. Po zložení by mala horná strana hornej kocky zarovnať so spodnou stranou spodnej kocky. (Podobne sa zrútil vývoj trojrozmernej kocky.)

Upozorňujeme, že po zložení sa všetky strany ôsmich kociek dostanú do kontaktu, čím sa hyperkocka uzavrie. A na záver pri predstave procesu skladania nezabúdajte, že pri skladaní sa kocky neprekladajú, ale ovíjajú sa okolo určitej (hyperkubickej) štvorrozmernej plochy.

Salvador Dalí (1904-1989) mnohokrát zobrazil ukrižovanie a na mnohých jeho obrazoch sa objavujú kríže. Obraz Ukrižovanie (1954) používa hyperkocku.
Časopriestor a euklidovský štvorrozmerný priestor

Dúfam, že sa vám podarilo predstaviť si hyperkocku. Podarilo sa vám však priblížiť k pochopeniu toho, ako funguje štvorrozmerný časopriestor, v ktorom žijeme? Bohužiaľ, nie naozaj.

Tu sme hovorili o euklidovskom štvorrozmernom priestore, ale časopriestor má veľmi odlišné vlastnosti. Najmä pri akomkoľvek otočení zostávajú segmenty vždy naklonené k časovej osi, buď pod uhlom menším ako 45 stupňov, alebo pod uhlom väčším ako 45 stupňov.

ZDROJ 2

Tesseract je štvorrozmerná hyperkocka, analóg kocky v štvorrozmernom priestore. Podľa Oxfordského slovníka slovo „tesseract“ vymyslel a použil v roku 1888 Charles Howard Hinton (1853-1907) vo svojej knihe A New Age of Thought. Neskôr niektorí ľudia nazvali rovnakú postavu "tetracube".

Skúsme si predstaviť, ako bude hyperkocka vyzerať bez toho, aby sme opustili trojrozmerný priestor.
V jednorozmernom "priestore" - na priamke - vyberieme úsečku AB dĺžky L. Na dvojrozmernú rovinu vo vzdialenosti L od AB nakreslíme úsečku DC rovnobežne s ňou a ich konce spojíme. Získajte štvorec ABCD. Opakovaním tejto operácie s rovinou dostaneme trojrozmernú kocku ABCDHEFG. A posunutím kocky v štvrtom rozmere (kolmo na prvé tri) o vzdialenosť L dostaneme hyperkocku ABCDEFGHIJKLMNOP.

Jednorozmerný segment AB slúži ako plocha dvojrozmerného štvorca ABCD, štvorec je stranou kocky ABCDHEFG, ktorá bude naopak stranou štvorrozmernej hyperkocky. Priamy segment má dva hraničné body, štvorec má štyri vrcholy a kocka osem. V štvorrozmernej hyperkocke teda bude 16 vrcholov: 8 vrcholov pôvodnej kocky a 8 vrcholov posunutých vo štvrtom rozmere. Má 32 hrán – 12 každá udáva počiatočnú a konečnú polohu pôvodnej kocky a 8 ďalších hrán „vykresľuje“ osem jej vrcholov, ktoré sa presunuli do štvrtej dimenzie. Rovnaké uvažovanie možno urobiť pre steny hyperkocky. V dvojrozmernom priestore je to jeden (samotný štvorec), kocka ich má 6 (dve tváre z posunutého štvorca a štyri ďalšie budú opisovať jeho strany). Štvorrozmerná hyperkocka má 24 štvorcových plôch - 12 políčok pôvodnej kocky v dvoch polohách a 12 políčok z dvanástich jej hrán.

Podobným spôsobom môžeme pokračovať v úvahách pre hyperkocky väčšieho počtu rozmerov, no oveľa zaujímavejšie je sledovať, ako bude štvorrozmerná hyperkocka vyzerať pre nás, obyvateľov trojrozmerného priestoru. Využime na to už známu metódu analógií.
Vezmime si drôtenú kocku ABCDHEFG a pozrieme sa na ňu jedným okom zo strany tváre. Uvidíme a môžeme nakresliť dva štvorce na rovinu (jej blízku a vzdialenú stranu), spojené štyrmi čiarami - bočnými hranami. Podobne štvorrozmerná hyperkocka v trojrozmernom priestore bude vyzerať ako dve kubické „škatule“ vložené do seba a spojené ôsmimi hranami. V tomto prípade sa do "nášho" priestoru premietnu samotné "krabice" - trojrozmerné tváre a čiary, ktoré ich spájajú, sa roztiahnu v štvrtej dimenzii. Môžete si tiež skúsiť predstaviť kocku nie v projekcii, ale v priestorovom obrázku.

Tak ako je trojrozmerná kocka tvorená štvorcom posunutým o dĺžku plochy, kocka posunutá do štvrtého rozmeru vytvorí hyperkocku. Je ohraničený ôsmimi kockami, ktoré budú v budúcnosti vyzerať ako nejaká dosť zložitá figúrka. Jeho časť, ktorá zostala v „našom“ priestore, je nakreslená plnými čiarami a časť, ktorá prešla do hyperpriestoru, je prerušovaná. Samotná štvorrozmerná hyperkocka pozostáva z nekonečného počtu kociek, rovnako ako trojrozmernú kocku možno „rozrezať“ na nekonečné množstvo plochých štvorcov.

Rozrezaním šiestich plôch trojrozmernej kocky ju rozložíte na plochú figúrku – sieťku. Bude mať štvorec na každej strane pôvodnej tváre plus jeden ďalší - tvár oproti nemu. Trojrozmerný vývoj štvorrozmernej hyperkocky bude pozostávať z pôvodnej kocky, šiestich kociek, ktoré z nej „vyrastajú“, plus jednej ďalšej – finálnej „hyperface“. Vlastnosti tesseractu sú rozšírením vlastností geometrické tvary nižšej dimenzie do štvorrozmerného priestoru.

Ostatné mená
Hexadecachoron (Hexadecachoron)
Octachoron (Octachoron)
Tetracube (Tetracube)
4-kocka (4-kocka)
Hyperkocka (ak nie je zadaný počet rozmerov)

10-rozmerný priestor
tam v angličtine.kto nevie, obrázky sú celkom jasné

http://www.skillopedia.ru/material.php?id=1338

Body (±1, ±1, ±1, ±1). Inými slovami, môže byť reprezentovaný ako nasledujúca množina:

Tesseract je ohraničený ôsmimi nadrovinami, ktorých priesečník so samotným tesseractom definuje jeho trojrozmerné plochy (čo sú obyčajné kocky). Každý pár nerovnobežných 3D plôch sa pretína a vytvára 2D plochy (štvorce) atď. Nakoniec má tesseract 8 3D plôch, 24 2D, 32 hrán a 16 vrcholov.

Populárny popis

Skúsme si predstaviť, ako bude hyperkocka vyzerať bez toho, aby sme opustili trojrozmerný priestor.

V jednorozmernom "priestore" - na priamke - vyberieme úsečku AB dĺžky L. Na dvojrozmernú rovinu vo vzdialenosti L od AB nakreslíme úsečku DC rovnobežne s ňou a ich konce spojíme. Získate štvorcový CDBA. Opakovaním tejto operácie s rovinou dostaneme trojrozmernú kocku CDBAGHFE. A posunutím kocky vo štvrtom rozmere (kolmo na prvé tri) o vzdialenosť L dostaneme hyperkocku CDBAGHFEKLJIOPNM.

Stavba tesseractu na rovine

Jednorozmerný segment AB je stranou dvojrozmerného štvorca CDBA, štvorec je stranou kocky CDBAGHFE, ktorá bude naopak stranou štvorrozmernej hyperkocky. Priamy segment má dva hraničné body, štvorec má štyri vrcholy a kocka osem. V štvorrozmernej hyperkocke teda bude 16 vrcholov: 8 vrcholov pôvodnej kocky a 8 vrcholov posunutých vo štvrtom rozmere. Má 32 hrán – 12 každá udáva počiatočnú a konečnú polohu pôvodnej kocky a 8 ďalších hrán „vykresľuje“ osem jej vrcholov, ktoré sa presunuli do štvrtej dimenzie. Rovnaké uvažovanie možno urobiť pre steny hyperkocky. V dvojrozmernom priestore je to jeden (samotný štvorec), kocka ich má 6 (dve tváre z posunutého štvorca a štyri ďalšie budú opisovať jeho strany). Štvorrozmerná hyperkocka má 24 štvorcových plôch - 12 políčok pôvodnej kocky v dvoch polohách a 12 políčok z dvanástich jej hrán.

Keďže strany štvorca sú 4 jednorozmerné segmenty a strany (tváre) kocky sú 6 dvojrozmernými štvorcami, tak pre „štvorrozmernú kocku“ (tesseract) sú strany 8 trojrozmerných kociek. Priestory protiľahlých párov kociek tesseract (teda trojrozmerné priestory, do ktorých tieto kocky patria) sú rovnobežné. Na obrázku sú to kocky: CDBAGHFE a KLJIOPNM, CDBAKLJI a GHFEOPNM, EFBAMNJI a GHDCOPLK, CKIAGOME a DLJBHPNF.

Podobným spôsobom môžeme pokračovať v úvahách pre hyperkocky väčšieho počtu rozmerov, no oveľa zaujímavejšie je sledovať, ako bude štvorrozmerná hyperkocka vyzerať pre nás, obyvateľov trojrozmerného priestoru. Využime na to už známu metódu analógií.

Vezmime si drôtenú kocku ABCDHEFG a pozrieme sa na ňu jedným okom zo strany tváre. Uvidíme a môžeme nakresliť dva štvorce na rovinu (jej blízku a vzdialenú stranu), spojené štyrmi čiarami - bočnými hranami. Podobne štvorrozmerná hyperkocka v trojrozmernom priestore bude vyzerať ako dve kubické „škatule“ vložené do seba a spojené ôsmimi hranami. V tomto prípade sa do „nášho“ priestoru premietnu samotné „škatuľky“ – trojrozmerné tváre a čiary, ktoré ich spájajú, sa budú ťahať v smere štvrtej osi. Môžete si tiež skúsiť predstaviť kocku nie v projekcii, ale v priestorovom obrázku.

Tak ako je trojrozmerná kocka tvorená štvorcom posunutým o dĺžku plochy, kocka posunutá do štvrtého rozmeru vytvorí hyperkocku. Je ohraničený ôsmimi kockami, ktoré budú v budúcnosti vyzerať ako nejaká dosť zložitá figúrka. Samotná štvorrozmerná hyperkocka pozostáva z nekonečného počtu kociek, rovnako ako trojrozmernú kocku možno „rozrezať“ na nekonečné množstvo plochých štvorcov.

Vyrezaním šiestich plôch trojrozmernej kocky ju môžete rozložiť na plochú postavu - vývoj. Bude mať štvorec na každej strane pôvodnej tváre plus jeden ďalší - tvár oproti nemu. Trojrozmerný vývoj štvorrozmernej hyperkocky bude pozostávať z pôvodnej kocky, šiestich kociek, ktoré z nej „vyrastajú“, plus jednej ďalšej – finálnej „hyperface“.

Vlastnosti tesseractu sú rozšírením vlastností geometrických útvarov menšieho rozmeru do štvorrozmerného priestoru.

projekcie

do dvojrozmerného priestoru

Táto štruktúra je ťažko predstaviteľná, ale je možné premietnuť tesseract do 2D alebo 3D priestorov. Okrem toho projekcia do roviny uľahčuje pochopenie polohy vrcholov hyperkocky. Týmto spôsobom je možné získať obrázky, ktoré už neodrážajú priestorové vzťahy v rámci tesseractu, ale ktoré ilustrujú štruktúru spojenia vrcholov, ako v nasledujúcich príkladoch:

Tretí obrázok ukazuje tesseract v izometrii vzhľadom na konštrukčný bod. Tento pohľad je zaujímavý pri použití tesseractu ako základu pre topologickú sieť na prepojenie viacerých procesorov v paralelnom výpočte.

do trojrozmerného priestoru

Jednou z projekcií tesseractu do trojrozmerného priestoru sú dve vnorené trojrozmerné kocky, ktorých zodpovedajúce vrcholy sú spojené segmentmi. Vnútorné a vonkajšie kocky majú rôzne veľkosti v 3D priestore, ale v 4D priestore sú to rovnaké kocky. Na pochopenie rovnosti všetkých kociek tesseractu bol vytvorený rotačný model tesseractu.

• Šesť zrezané pyramídy pozdĺž okrajov tesseractu sú obrázky rovnakých šiestich kociek. Tieto kocky sú však k tesseractu ako štvorce (tváre) ku kocke. Ale v skutočnosti môže byť tesseract rozdelený na nekonečný počet kociek, rovnako ako kocka môže byť rozdelená na nekonečný počet štvorcov alebo štvorec môže byť rozdelený na nekonečný počet segmentov.

Ďalšou zaujímavou projekciou tesseractu do trojrozmerného priestoru je kosoštvorcový dvanásťsten so štyrmi nakreslenými uhlopriečkami, ktoré spájajú dvojice protiľahlých vrcholov pod veľkými uhlami kosoštvorcov. V tomto prípade sa 14 zo 16 vrcholov tesseractu premieta do 14 vrcholov kosoštvorcového dvanástnika a projekcie zvyšných 2 sa zhodujú v jeho strede. Pri takejto projekcii do trojrozmerného priestoru je zachovaná rovnosť a rovnobežnosť všetkých jednorozmerných, dvojrozmerných a trojrozmerných strán.

stereo pár

Stereopár tesseractu je znázornený ako dve projekcie do trojrozmerného priestoru. Toto zobrazenie tesseractu bolo navrhnuté tak, aby predstavovalo hĺbku ako štvrtý rozmer. Stereo pár sa pozerá tak, že každé oko vidí iba jeden z týchto obrázkov, vzniká stereoskopický obraz, ktorý reprodukuje hĺbku tesseractu.

Tesseract sa rozvíja

Povrch tesseractu možno rozložiť na osem kociek (podobne ako povrch kocky možno rozložiť na šesť štvorcov). Existuje 261 rôznych rozvinutí tesseractu. Rozvinutie tesseractu možno vypočítať vynesením spojených rohov do grafu.

Tesseract v umení

• V knihe Nová rovina Edwina A. Abbotta je hyperkocka rozprávačom.
• V jednej epizóde Dobrodružstva Jimmyho Neutrona „chlapec génius“ Jimmy vynájde štvorrozmernú hyperkocku identickú so skladacou skrinkou z románu Glory Road (1963) od Roberta Heinleina.
• Robert E. Heinlein spomenul hyperkocky najmenej v troch sci-fi príbehoch. V The House of Four Dimensions (The House That Teel Built) opísal dom postavený ako rozvinutie tesseractu a potom sa v dôsledku zemetrasenia "sformoval" vo štvrtej dimenzii a stal sa "skutočným" tesseractom.
• V románe Glory Road od Heinleina je opísaná hyperdimenzionálna krabica, ktorá bola zvnútra väčšia ako zvonka.
• Príbeh Henryho Kuttnera „All Borog's Tenals“ opisuje vzdelávaciu hračku pre deti z ďalekej budúcnosti, ktorá má štruktúru podobnú tesseractu.
• V románe Alexa Garlanda ( ) sa výraz „tesseract“ používa na trojrozmerné rozvinutie štvorrozmernej hyperkocky, a nie samotnej hyperkocky. Toto je metafora navrhnutá tak, aby ukázala, že poznávací systém by mal byť širší ako poznávací systém.
• Dej filmu The Cube 2: Hypercube sa sústreďuje na osem cudzincov uväznených v „hyperkocke“ alebo sieti prepojených kociek.
• Televízny seriál Andromeda využíva generátory tesseract ako konšpiračné zariadenie. Sú primárne určené na ovládanie priestoru a času.
• Obraz „Ukrižovanie“ (Corpus Hypercubus) od Salvadora Dalího ().
• Komiks Nextwave zobrazuje vozidlo, ktoré obsahuje 5 zón tesseract.
• Na albume Voivod Nothingface sa jedna zo skladieb volá „In my hypercube“.
• V románe Route Cube od Anthonyho Piercea sa jeden z orbitálnych mesiacov IDA nazýva tesseract, ktorý bol stlačený do 3 rozmerov.
• V seriáli "Škola" Čierna diera "" v tretej sezóne je epizóda "Tesseract". Lucas stlačí tajné tlačidlo a škola sa začne „formovať ako matematický tesseract“.
• Výraz „tesseract“ a z neho odvodený výraz „tesse“ sa nachádza v príbehu Madeleine L'Engle „Vráska času“.
• TesseracT je názov britskej djentskej skupiny.
• Vo filmovej sérii Marvel Cinematic Universe je Tesseract kľúčovým dejovým prvkom, kozmickým artefaktom v tvare hyperkocky.
• V príbehu Roberta Sheckleyho „Miss Mouse and the Fourth Dimension“ sa jeden ezoterický spisovateľ, známy autora, pokúša vidieť tesseract, pričom celé hodiny hľadá zariadenie, ktoré navrhol: loptu na nohe, v ktorej sú zapichnuté tyče. ktoré kocky sú prilepené, lepené s každým v rade ezoterické symboly. Príbeh spomína Hintonovu prácu.
• Vo filmoch The First Avenger, The Avengers. Tesseract je energia celého vesmíru

Ostatné mená

• Hexadecachoron (anglicky) Hexadekachorón)
• Octochoron (anglicky) Octachoron)
• tetracube
• 4-kocka
• Hyperkocka (ak nie je zadaný počet rozmerov)

Poznámky

Literatúra

• Charles Hinton. Štvrtá dimenzia, 1904. ISBN 0-405-07953-2
• Martin Gardner, Matematický karneval, 1977. ISBN 0-394-72349-X
• Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Odkazy

• Program Transformator4D. Tvorba modelov trojrozmerných projekcií štvorrozmerných objektov (vrátane Hyperkocky).
• Program, ktorý implementuje konštrukciu tesseractu a všetky jeho afinné transformácie so zdrojmi C++.

V angličtine

• Mushware Limited je výstupný program tesseract ( Tréner Tesseract, licencovaná pod GPLv2) a 4D strieľačka z pohľadu prvej osoby ( Adanaxis; grafika, väčšinou trojrozmerná; v repozitároch OS je verzia GPL).

Nadácia Wikimedia. 2010.

Učenie o viacrozmerných priestoroch sa začalo objavovať v polovici 19. storočia v dielach G. Grassmanna, A. Cayleyho, B. Riemanna, W. Clifforda, L. Schläfliho a ďalších matematikov. Začiatkom 20. storočia, s príchodom teórie relativity A. Einsteina a myšlienok G. Minkowského, začala fyzika využívať štvorrozmerný časopriestorový súradnicový systém.

Spisovatelia sci-fi si potom od vedcov požičali myšlienku štvorrozmerného priestoru. Vo svojich dielach rozprávali svetu o úžasných zázrakoch štvrtej dimenzie. Hrdinovia svojich diel, využívajúci vlastnosti štvorrozmerného priestoru, mohli zjesť obsah vajíčka bez poškodenia škrupiny, vypiť nápoj bez toho, aby otvorili korok fľaše. Únoscovia získali poklad z trezoru cez štvrtú dimenziu. Články reťaze možno ľahko rozpojiť a uzol na lane rozviazať bez toho, aby ste sa dotkli jeho koncov. Chirurgovia vykonávali operácie na vnútorných orgánoch bez rezania tkanív tela pacienta. Mystici umiestnili duše mŕtvych do štvrtej dimenzie. Pre obyčajný človek Myšlienka štvorrozmerného priestoru zostala nepochopiteľná a tajomná a mnohí vo všeobecnosti považujú štvorrozmerný priestor za výplod fantázie vedcov a autorov sci-fi, ktorý nemá nič spoločné s realitou.

Problém vnímania

Tradične sa verí, že človek nemôže vnímať a reprezentovať štvorrozmerné postavy, pretože je trojrozmernou bytosťou. Subjekt vníma trojrozmerné postavy pomocou sietnice, ktorá je dvojrozmerná. Na vnímanie štvorrozmerných postáv je potrebná trojrozmerná sietnica, no človek takúto možnosť nemá.

Aby sme získali vizuálnu reprezentáciu štvorrozmerných postáv, použijeme analógie z priestorov nižšej dimenzie na extrapoláciu na postavy vyššej dimenzie, použijeme metódu modelovania, aplikujeme metódy systémová analýza hľadať vzory medzi prvkami štvorrozmerných postáv. Navrhované modely by mali adekvátne popisovať vlastnosti štvorrozmerných postáv, nemali by si navzájom odporovať a poskytovať dostatočnú predstavu o štvorrozmernej postave a predovšetkým o jej geometrický tvar. Keďže neexistuje systematická a vizuálny popisštvorrozmerné figúry a existujú iba ich názvy označujúce niektoré vlastnosti, navrhujeme začať štúdium štvorrozmerných figúrok s najjednoduchším - štvorrozmernou kockou, ktorá sa nazýva hyperkocka.

Definícia hyperkocky

hyperkockanazýva sa pravidelný polytop, ktorého bunkou je kocka.

Polytop je štvorrozmerný obrazec, ktorého hranicu tvoria mnohosteny. Analógom bunky polytopu je plocha mnohostenu. Hyperkocka je analogická s trojrozmernou kockou.

O hyperkocke budeme mať predstavu, ak poznáme jej vlastnosti. Subjekt vníma nejaký objekt a predstavuje ho vo forme nejakého modelu. Využime túto metódu a predstavme myšlienku hyperkocky vo forme rôznych modelov.

Analytický model

Jednorozmerný priestor (priamku) budeme považovať za usporiadanú množinu bodovM(X), kde Xje súradnica ľubovoľného bodu na priamke. Potom je segment jednotky daný zadaním dvoch bodov:A(0) a B(1).

Rovina (dvojrozmerný priestor) môže byť vnímaná ako usporiadaná množina bodov M(X; r). Jednotkový štvorec bude úplne definovaný svojimi štyrmi vrcholmi: A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1), D(0; 1). Súradnice vrcholov štvorca sa získajú pridaním nuly k súradniciam segmentu a potom jednej.

Trojrozmerný priestor - usporiadaná množina bodov M(X; r; z). Na definovanie 3D kocky je potrebných osem bodov:

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0),

E(0; 0; 1), F(1; 0; 1), G(1; 1; 1), H(0; 1; 1).

Súradnice kocky sa získajú zo štvorcových súradníc pridaním nuly a potom jednotky.

Štvorrozmerný priestor je usporiadaná množina bodov M(X; r; z; t). Ak chcete určiť hyperkocku, musíte určiť súradnice jej šestnástich vrcholov:

A(0; 0; 0; 0), B(1; 0; 0; 0), C(1; 1; 0; 0), D(0; 1; 0; 0),

E(0; 0; 1; 0), F(1; 0; 1; 0), G(1; 1; 1; 0), H(0; 1; 1; 0),

K(0; 0; 0; 1), L(1; 0; 0; 1), M(1; 1; 0; 1), N(0; 1; 0; 1),

O(0; 0; 1; 1), P(1; 0; 1; 1), R(1; 1; 1; 1), S(0; 1; 1; 1).

Súradnice hyperkocky sa získajú zo súradníc 3D kocky pridaním štvrtej súradnice rovnej nule a potom jednej.

Pomocou vzorcov analytickej geometrie pre štvorrozmerný euklidovský priestor možno získať vlastnosti hyperkocky.
Ako príklad uvažujme výpočet dĺžky hlavnej uhlopriečky hyperkocky. Nech je potrebné nájsť vzdialenosť medzi bodmi A(0, 0, 0, 0) a R(1, 1, 1, 1). Na tento účel používame vzorec vzdialenosti v štvorrozmernom euklidovskom priestore.

V dvojrozmernom priestore (v rovine) vzdialenosť medzi bodmi A(X 1 , r 1) a B(X 2 , r 2) sa vypočíta podľa vzorca

Tento vzorec vyplýva z Pytagorovej vety.

Zodpovedajúci vzorec pre vzdialenosť medzi bodmi A(X 1 , r 1 , z 1) a B(X 2 , r 2 , z 2) v trojrozmerný priestor má formu

A v jednorozmernom priestore (na priamke) medzi bodmi A( X 1) a B( X 2) môžete napísať zodpovedajúci vzorec vzdialenosti:

Podobne aj vzdialenosť medzi bodmi A(X 1 , r 1 , z 1 , t 1) a B(X 2 , r 2 , z 2 , t 2) v štvorrozmernom priestore sa vypočíta podľa vzorca:

Pre navrhovaný príklad nájdeme

Hyperkocka teda existuje analyticky a jej vlastnosti nemožno opísať horšie ako vlastnosti trojrozmernej kocky.

Dynamický model

Analytický model hyperkocky je veľmi abstraktný, preto uvažujme o inom modeli – o dynamickom.

Bod (nulový obrazec), pohybujúci sa v jednom smere, generuje segment (jednorozmerný obrazec). Segment, ktorý sa pohybuje v smere kolmom na seba, vytvára štvorec (dvojrozmerný obrazec). Štvorec, ktorý sa pohybuje v smere kolmom na rovinu štvorca, vytvára kocku (trojrozmerný obrazec).

Kocka, ktorá sa pohybuje kolmo na trojrozmerný priestor, v ktorom sa pôvodne nachádzala, vytvára hyperkocku (štvorrozmernú postavu).

Hranica hyperkocky je trojrozmerná, konečná a uzavretá. Pozostáva z trojrozmernej kocky v počiatočnej polohe, trojrozmernej kocky v konečnej polohe a šiestich kociek vytvorených pohybom štvorcov pôvodnej kocky v smere štvrtého rozmeru. Celá hranica hyperkocky pozostáva z 8 trojrozmerných kociek (buniek).

Pri pohybe vo východiskovej polohe mala kocka 8 vrcholov a v konečnej polohe aj 8 vrcholov. Preto má hyperkocka spolu 16 vrcholov.

Z každého vrcholu vychádzajú štyri vzájomne kolmé hrany. Celkovo má hyperkocka hrán 32. V počiatočnej polohe mala 12 hrán, v konečnej polohe aj 12 hrán a 8 hrán tvorilo vrcholy kocky pri pohybe vo štvrtom rozmere.

Hranicu hyperkocky teda tvorí 8 kociek, ktoré pozostávajú z 24 štvorcov. Konkrétne 6 štvorcov v počiatočnej polohe, 6 v konečnej polohe a 12 štvorcov vytvorených posunutím 12 hrán v smere štvrtého rozmeru.

geometrický model

Dynamický model hyperkocky sa môže zdať nedostatočne prehľadný. Zvážte preto geometrický model hyperkocky. Ako získame geometrický model 3D kocky? Rozložíme ho a z rozloženia „zlepíme“ model kocky. Rozvinutie trojrozmernej kocky pozostáva zo štvorca, ku ktorého stranám je pripevnený štvorec plus jeden štvorec navyše. Otočíme susedné štvorce okolo strán štvorca, a spojíme susedné strany štvorcov k sebe. A zvyšné štyri strany uzavrieme posledným štvorcom (obr. 1).

Podobne zvážte rozvinutie hyperkocky. Jeho vývoj bude trojrozmerná figúrka pozostávajúca z pôvodnej trojrozmernej kocky, šiestich kociek susediacich s každou plochou pôvodnej kocky a jednej ďalšej kocky. Trojrozmerných kociek je celkovo osem (obr. 2). Aby sme z tohto vývoja získali štvorrozmernú kocku (hyperkocku), musí byť každá zo susedných kociek otočená o 90 stupňov. Tieto susediace kocky budú umiestnené v inom 3D priestore. Spojte susedné plochy (štvorce) kociek k sebe. Vložte ôsmu kocku s jej plochami do zostávajúceho nevyplneného priestoru. Dostaneme štvorrozmernú postavu – hyperkocku, ktorej hranicu tvorí osem trojrozmerných kociek.

Obrázok hyperkocky

Vyššie bolo ukázané, ako „zlepiť“ model hyperkocky z trojrozmerného skenovania. Obrázky získavame pomocou projekcie. Stredový priemet trojrozmernej kocky (jej obraz do roviny) vyzerá takto (obr. 3). Vo vnútri námestia je ďalšie námestie. Zodpovedajúce vrcholy štvorca sú spojené segmentmi. Susedné štvorce sú zobrazené ako lichobežníky, hoci sú to štvorce v 3D priestore. Vnútorné a vonkajšie štvorce sú rôzne veľké, ale v skutočnom 3D priestore sú to rovnaké štvorce.

Podobne centrálna projekcia štvorrozmernej kocky do trojrozmerného priestoru bude vyzerať takto: vo vnútri jednej kocky je ďalšia kocka. Zodpovedajúce vrcholy kociek sú spojené segmentmi. Vnútorné a vonkajšie kocky majú rôzne veľkosti v 3D priestore, ale v 4D priestore sú to rovnaké kocky (obrázok 4).

Šesť zrezaných pyramíd sú obrazy rovnakých šiestich buniek (kociek) štvorrozmernej kocky.

Táto trojrozmerná projekcia sa dá nakresliť na rovinu a pravdivosť vlastností získanej hyperkocky si môžete overiť pomocou dynamického modelu.

Hyperkocka má 16 vrcholov, 32 hrán, 24 plôch (štvorcov), 8 buniek (kociek). Z každého vrcholu vychádzajú štyri vzájomne kolmé hrany. Hranica hyperkocky je trojrozmerný uzavretý konvexný útvar, ktorého objem (objem strany hyperkocky) sa rovná ôsmim jednotkovým trojrozmerným kockám. Tento obrazec vo svojom vnútri obsahuje jednotkovú hyperkocku, ktorej hyperobjem sa rovná hyperobjemu jednotkovej hyperkocky.

Záver

V tejto práci bolo cieľom poskytnúť prvotné zoznámenie sa so štvorrozmerným priestorom. Toto bolo urobené na príklade najjednoduchšej figúry - hyperkocky.

Svet štvorrozmerného priestoru je úžasný! V ňom sú spolu s podobnými postavami v trojrozmernom priestore aj postavy, ktoré v trojrozmernom priestore nemajú obdobu.

Mnohé javy hmotného sveta, makrokozmu a megasveta, napriek grandióznym úspechom vo fyzike, chémii a astronómii, zostali nevysvetliteľné.

Neexistuje jediná teória, ktorá by vysvetľovala všetky sily prírody. Neexistuje žiadny uspokojivý model vesmíru, ktorý by vysvetľoval jeho štruktúru a vylučoval paradoxy.

Poznaním vlastností štvorrozmerného priestoru a prebratím niektorých myšlienok zo štvorrozmernej geometrie bude možné nielen budovať prísnejšie teórie a modely hmotného sveta, ale aj vytvárať nástroje a systémy, ktoré fungujú podľa zákonov. štvorrozmerného sveta, potom budú ľudské schopnosti ešte pôsobivejšie.