Späť dopredu
Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak máš záujem táto práca prosím stiahnite si plnú verziu.
S pojmami najväčší spoločný deliteľ (GCD) a najmenší spoločný násobok (LCM) sa stredoškoláci stretávajú v šiestom ročníku. Túto tému je vždy ťažké zvládnuť. Deti si tieto pojmy často pletú, nerozumejú, prečo ich treba študovať. AT nedávne časy a v populárno-náučnej literatúre existujú samostatné vyhlásenia, že tento materiál by mal byť vylúčený zo školských osnov. Myslím si, že to nie je celkom pravda a treba to študovať ak nie v triede, tak v mimoškolskom čase v triede školskej zložky, nakoľko to prispieva k rozvoju logického myslenia školákov, zvyšovaniu rýchlosť výpočtových operácií a schopnosť riešiť problémy pomocou krásnych metód.
Pri štúdiu témy „Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznych menovateľov"Učíme deti nájsť spoločného menovateľa dvoch a viacerých čísel. Treba sčítať napríklad zlomky 1/3 a 1/5. Žiaci ľahko nájdu číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné 3 a 5. To číslo je 15. V skutočnosti, ak sú čísla malé, ich spoločný menovateľ sa dá ľahko nájsť, pretože dobre poznajú násobilku. Niektorí chlapci si všimli, že toto číslo je súčinom čísel 3 a 5. Deti majú názor že takto vždy nájdete spoločného menovateľa čísel. Napríklad odčítame zlomky 7/ 18 a 5 / 24. Nájdite súčin čísel 18 a 24. Rovná sa 432. Už sme dostali veľké číslo a ak potrebujete vykonať ďalšie výpočty (najmä pre príklady pre všetky akcie), pravdepodobnosť chyby sa zvyšuje. Ale nájdený najmenší spoločný násobok čísel (LCM), ktorý je v tomto prípade ekvivalentom najmenšieho spoločného menovateľa (LCD) - číslu 72 - výrazne uľahčí výpočty a povedie k rýchlejšiemu riešeniu príkladu, a tým ušetrí čas. pridelené na splnenie tejto úlohy, ktorá hrá dôležitú úlohu pri vykonávaní záverečného testu, kontrolné práce najmä pri záverečnom hodnotení.
Pri štúdiu témy „Zmenšovanie zlomkov“ môžete postupne deliť čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým prirodzeným číslom pomocou znakov deliteľnosti čísel, prípadne získať nezredukovateľný zlomok. Napríklad musíte znížiť zlomok 128/344. Čitateľ a menovateľ zlomku najskôr vydelíme číslom 2, dostaneme zlomok 64/172. Ešte raz vydelíme čitateľa a menovateľa výsledného zlomku 2, dostaneme zlomok 32/86. Čitateľ a menovateľ zlomku vydelíme ešte raz 2, dostaneme nezredukovateľný zlomok 16/43. Zmenšenie zlomkov sa však dá urobiť oveľa jednoduchšie, ak nájdeme najväčšieho spoločného deliteľa čísel 128 a 344. GCD (128, 344) = 8. Vydelením čitateľa a menovateľa zlomku týmto číslom okamžite dostaneme nezredukovateľný zlomok.
Treba ukázať deťom rôzne cesty nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa (GCD) a najmenšieho spoločného násobku (LCM) čísel. V jednoduchých prípadoch je vhodné nájsť najväčšie spoločný deliteľ(gcd) a najmenší spoločný násobok (lcm) čísel jednoduchým spočítaním. Keď sa čísla zväčšia, môžete použiť rozklad čísel na hlavné faktory. Učebnica pre šiesty ročník (autor N.Ya. Vilenkin) ukazuje nasledujúcu metódu na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa (GCD) čísel. Rozložme čísla na prvočísla:
- 16 = 2*2*2*2
- 120 = 2*2*2*3*5
Potom z faktorov zahrnutých do rozšírenia jedného z týchto čísel prečiarkneme tie, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia druhého čísla. Súčin zostávajúcich faktorov bude najväčším spoločným deliteľom týchto čísel. V tomto prípade je toto číslo 8. Z vlastnej skúsenosti som sa presvedčil, že pre deti je zrozumiteľnejšie, ak v rozšíreniach čísel podčiarkneme rovnaké faktory a potom v jednom z rozšírení nájdeme súčin podčiarknutého faktory. Toto je najväčší spoločný deliteľ týchto čísel. V šiestom ročníku sú deti aktívne a zvedavé. Môžete im zadať nasledujúcu úlohu: pokúste sa opísaným spôsobom nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel 343 a 287. Nie je hneď jasné, ako ich rozdeliť na prvočiniteľa. A tu im môžete povedať o úžasnej metóde vynájdenej starými Grékmi, ktorá vám umožňuje hľadať najväčšieho spoločného deliteľa (GCD) bez rozkladu na prvočísla. Táto metóda hľadania najväčšieho spoločného deliteľa bola prvýkrát opísaná v Euklidových Prvkoch. Nazýva sa to Euklidovský algoritmus. Spočíva v tomto: Najprv vydeľte väčšie číslo menším. Ak existuje zvyšok, vydeľte menšie číslo zvyškom. Ak opäť získate zvyšok, vydeľte prvý zvyšok druhým. Takže pokračujte v delení, kým zvyšok nebude nula. Posledný deliteľ je najväčší spoločný deliteľ (GCD) týchto čísel.
Vráťme sa k nášmu príkladu a pre názornosť napíšme riešenie vo forme tabuľky.
| dividenda | Rozdeľovač | Súkromné | Zvyšok |
| 343 | 287 | 1 | 56 |
| 287 | 56 | 5 | 7 |
| 56 | 7 | 8 | 0 |
Takže gcd(344,287) = 7
A ako nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) rovnakých čísel? Existuje na to nejaký spôsob, ktorý nevyžaduje predbežný rozklad týchto čísel na prvočíselné faktory? Ukázalo sa, že existuje a je to veľmi jednoduché. Tieto čísla musíme vynásobiť a súčin vydeliť najväčším spoločným deliteľom (GCD), ktorý sme našli. AT tento príklad súčin čísel je 98441. Vydeľte ho číslom 7 a dostanete číslo 14063. LCM(343,287) = 14063.
Jednou z ťažkých tém matematiky je riešenie slovných úloh. Musíme študentom ukázať, ako používať pojmy „najväčší spoločný deliteľ (GCD)“ a „najmenší spoločný násobok (LCM)“ na riešenie problémov, ktoré je niekedy ťažké vyriešiť bežným spôsobom. Tu je vhodné zvážiť so žiakmi spolu s úlohami, ktoré navrhli autori školskej učebnice, staré a zábavné úlohy, rozvíjanie zvedavosti detí a zvyšovanie záujmu o štúdium tejto témy. Zručné držanie týchto konceptov umožňuje študentom vidieť krásne riešenie neštandardného problému. A ak sa nálada dieťaťa po vyriešení dobrého problému zvýši, je to znak úspešnej práce.
Štúdium takých pojmov ako „najväčší spoločný deliteľ (GCD)“ a „najmenší spoločný násobok (LCD)“ čísel v škole teda
Umožňuje vám ušetriť čas pridelený na vykonanie práce, čo vedie k výraznému zvýšeniu objemu dokončených úloh;
Zvyšuje rýchlosť a presnosť vykonávania aritmetických operácií, čo vedie k výraznému zníženiu počtu prípustných výpočtových chýb;
Umožňuje vám nájsť krásne spôsoby riešenie neštandardných textových problémov;
Rozvíja zvedavosť študentov, rozširuje ich obzory;
Vytvára predpoklady pre výchovu všestrannej tvorivej osobnosti.
Začnime študovať najmenší spoločný násobok dvoch alebo viacerých čísel. V časti uvedieme definíciu pojmu, zvážime vetu, ktorá stanovuje vzťah medzi najmenším spoločným násobkom a najväčším spoločným deliteľom, a uvedieme príklady riešenia problémov.
Spoločné násobky - definícia, príklady
V tejto téme nás budú zaujímať iba spoločné násobky celých čísel okrem nuly.
Definícia 1
Spoločný násobok celých čísel je celé číslo, ktoré je násobkom všetkých daných čísel. V skutočnosti je to akékoľvek celé číslo, ktoré možno deliť ktorýmkoľvek z daných čísel.
Definícia spoločných násobkov sa týka dvoch, troch alebo viacerých celých čísel.
Príklad 1
Podľa definície uvedenej vyššie pre číslo 12 sú spoločné násobky 3 a 2. Aj číslo 12 bude spoločným násobkom čísel 2, 3 a 4. Čísla 12 a -12 sú spoločné násobky čísel ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.
Spoločným násobkom pre čísla 2 a 3 budú zároveň čísla 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 a množstvo ľubovoľných ďalších.
Ak vezmeme čísla, ktoré sú deliteľné prvým číslom dvojice a nie sú deliteľné druhým, potom takéto čísla nebudú spoločnými násobkami. Pre čísla 2 a 3 teda čísla 16 , − 27 , 5009 , 27001 nebudú spoločné násobky.
0 je spoločný násobok ľubovoľnej množiny nenulových celých čísel.
Ak si pripomenieme vlastnosť deliteľnosti vzhľadom na opačné čísla, potom sa ukáže, že nejaké celé číslo k bude spoločným násobkom týchto čísel rovnako ako číslo - k . To znamená, že spoločné deliče môžu byť kladné alebo záporné.
Je možné nájsť LCM pre všetky čísla?
Spoločný násobok možno nájsť pre akékoľvek celé čísla.
Príklad 2
Predpokladajme, že sme dané k celé čísla a 1 , a 2 , ... , k. Číslo, ktoré dostaneme pri násobení čísel a 1 a 2 … a k podľa vlastnosti deliteľnosti sa bude deliť každým z faktorov, ktoré boli zahrnuté v pôvodnom produkte. To znamená, že súčin čísel a 1 , a 2 , ... , k je najmenší spoločný násobok týchto čísel.
Koľko spoločných násobkov môžu mať tieto celé čísla?
Skupina celých čísel môže mať veľký počet spoločné násobky. V skutočnosti je ich počet nekonečný.
Príklad 3
Predpokladajme, že máme nejaké číslo k . Potom súčin čísel k · z , kde z je celé číslo, bude spoločným násobkom čísel k a z . Vzhľadom na to, že počet čísel je nekonečný, potom je počet spoločných násobkov nekonečný.
Najmenší spoločný násobok (LCM) – definícia, symbol a príklady
Pripomeňme si koncept najmenšie číslo z danej množiny čísel, ktoré sme uvažovali v časti Porovnanie celých čísel. S ohľadom na tento pojem formulujeme definíciu najmenšieho spoločného násobku, ktorý má spomedzi všetkých spoločných násobkov najväčší praktický význam.
Definícia 2
Najmenší spoločný násobok daných celých čísel je najmenší kladný spoločný násobok týchto čísel.
Najmenší spoločný násobok existuje pre ľubovoľný počet daných čísel. Na označenie pojmu v referenčnej literatúre sa najčastejšie používa skratka NOK. Skratka pre najmenší spoločný násobok pre čísla a 1 , a 2 , ... , k bude vyzerať ako LCM (a 1, a 2, …, a k).
Príklad 4
Najmenší spoločný násobok 6 a 7 je 42. Tie. LCM(6,7) = 42. Najmenší spoločný násobok štyroch čísel - 2, 12, 15 a 3 sa bude rovnať 60. Skratka bude LCM (-2, 12, 15, 3) = 60.
Nie pre všetky skupiny daných čísel je zrejmý najmenší spoločný násobok. Často sa to musí počítať.
Vzťah medzi NOC a NOD
Najmenší spoločný násobok a najväčší spoločný deliteľ spolu súvisia. Vzťah medzi pojmami je stanovený teorémom.
Veta 1
Najmenší spoločný násobok dvoch kladných celých čísel a a b sa rovná súčinu čísel a a b deleného najväčším spoločným deliteľom čísel a a b , teda LCM (a , b) = a b: GCD (a , b).
Dôkaz 1
Predpokladajme, že máme nejaké číslo M, ktoré je násobkom čísel a a b . Ak je číslo M deliteľné a , existuje aj celé číslo z , pod ktorou je rovnosť M = a k. Podľa definície deliteľnosti, ak M je deliteľné aj b, tak potom a k deleno b.
Ak zavedieme nový zápis pre gcd (a , b) ako d, potom môžeme použiť rovnosti a = a 1 d a b = b1.d. V tomto prípade budú obe rovnosti prvočísla.
To sme už stanovili vyššie a k deleno b. Teraz je možné túto podmienku zapísať takto:
a 1 d k deleno b 1 d, čo je ekvivalent podmienky a 1 k deleno b 1 podľa vlastností deliteľnosti.
Podľa vlastnosti relatívne prvočísel, ak 1 a b 1- vzájomne základné čísla, 1 nedeliteľné b 1 Napriek tomu, že a 1 k deleno b 1, potom b 1 by mal zdieľať k.
V tomto prípade by bolo vhodné predpokladať, že existuje číslo t, pre ktoré k = b 1 t a odvtedy b1=b:d, potom k = b: d t.
Teraz namiesto toho k dať do rovnosti M = a k vyjadrenie formy b: d t. To nám umožňuje dosiahnuť rovnosť M = a b: d t. o t = 1 môžeme dostať najmenší kladný spoločný násobok a a b , rovný a b: d, za predpokladu, že čísla a a b pozitívne.
Takže sme dokázali, že LCM (a, b) = a b: GCD (a,b).
Vytvorenie spojenia medzi LCM a GCD vám umožní nájsť najmenší spoločný násobok cez najväčšieho spoločného deliteľa dvoch alebo viacerých daných čísel.
Definícia 3
Veta má dva dôležité dôsledky:
- násobky najmenšieho spoločného násobku dvoch čísel sú rovnaké ako spoločné násobky týchto dvoch čísel;
- najmenší spoločný násobok kladných čísel aab sa rovná ich súčinu.
Podložiť tieto dve skutočnosti nie je ťažké. Akýkoľvek spoločný násobok M čísel aab je definovaný rovnosťou M = LCM (a, b) t pre nejakú celočíselnú hodnotu t. Keďže a a b sú koprimé, potom gcd (a, b) = 1, teda LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.
Najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel
Aby ste našli najmenší spoločný násobok niekoľkých čísel, musíte postupne nájsť LCM dvoch čísel.
Veta 2
Predstierajme to a 1 , a 2 , ... , k sú nejaké celé čísla kladné čísla. Na výpočet LCM m k tieto čísla musíme postupne vypočítať m2 = LCM(a1, a2), m3= NOC(m 2, a 3), …, m k = NOC(m k - 1, ak).
Dôkaz 2
Prvý dôsledok prvej vety diskutovanej v tejto téme nám pomôže dokázať správnosť druhej vety. Uvažovanie je zostavené podľa nasledujúceho algoritmu:
- spoločné násobky čísel 1 a a 2 sa zhodujú s násobkami ich LCM, v skutočnosti sa zhodujú s násobkami čísla m2;
- spoločné násobky čísel 1, a 2 a a 3 m2 a a 3 m 3;
- spoločné násobky čísel a 1 , a 2 , ... , k sa zhodujú so spoločnými násobkami čísel m k - 1 a a k, sa teda zhodujú s násobkami čísla m k;
- z dôvodu, že najmenší kladný násobok čísla m k je samotné číslo m k, potom najmenší spoločný násobok čísel a 1 , a 2 , ... , k je m k.
Takže sme dokázali vetu.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM) a najväčšieho spoločného deliteľa (GCD) prirodzené čísla.2 |
5 |
||||||
2 |
5 |
||||||
3 |
3 |
||||||
5 |
|||||||
60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Vypíšeme faktory zahrnuté do rozšírenia prvého z týchto čísel a doplníme k nim chýbajúci faktor 5 z rozšírenia druhého čísla. Dostaneme: 2*2*3*5*5=300. Nájdené NOC, t.j. táto suma = 300. Nezabudnite na rozmer a napíšte odpoveď:
Odpoveď: Mama dáva po 300 rubľov.
Definícia GCD: Najväčší spoločný deliteľ (GCD) prirodzené čísla a a v pomenujte najväčšie prirodzené číslo c, ktorému a a a b rozdelené bezo zvyšku. Tie. c je najmenšie prirodzené číslo, pre ktoré a a a b sú násobky.
Pripomienka: Existujú dva prístupy k definícii prirodzených čísel
- čísla používané pri: vyčíslení (číslovaní) položiek (prvý, druhý, tretí, ...); - zvyčajne v školách.
- s uvedením počtu predmetov (žiadny pokémon - nula, jeden pokémon, dvaja pokémoni, ...).
Záporné a necelé (racionálne, reálne, ...) čísla nie sú prirodzené. Niektorí autori zaraďujú do množiny prirodzených čísel nulu, iní nie. Množina všetkých prirodzených čísel sa zvyčajne označuje symbolom N
Pripomienka: Deliteľ prirodzeného čísla a zavolajte na číslo b, ku ktorému a rozdelené bezo zvyšku. Násobok prirodzeného čísla b nazývané prirodzené číslo a, ktorý je rozdelený podľa b bez stopy. Ak číslo b- deliteľ čísla a, potom a násobok b. Príklad: 2 je deliteľ 4 a 4 je násobok 2. 3 je deliteľ 12 a 12 je násobok 3.
Pripomienka: Prirodzené čísla sa nazývajú prvočísla, ak sú deliteľné bezo zvyšku len samy sebou a 1. Koprvé sú čísla, ktoré majú iba jedného spoločného deliteľa rovného 1.
Definícia toho, ako nájsť GCD vo všeobecnom prípade: Ak chcete nájsť GCD (najväčší spoločný deliteľ) Je potrebných niekoľko prirodzených čísel:
1) Rozložte ich na hlavné faktory. (Tabuľka prvočísel môže byť veľmi užitočná.)
2) Napíšte faktory zahrnuté do rozšírenia jedného z nich.
3) Vymažte tie, ktoré nie sú zahrnuté v rozšírení zostávajúcich čísel.
4) Vynásobte faktory získané v odseku 3).
Úloha 2 na (NOK): Do nového roka Kolja Puzatov kúpil v meste 48 škrečkov a 36 kávových kanvíc. Fekla Dormidontová ako najčestnejšie dievča v triede dostala za úlohu rozdeliť túto nehnuteľnosť na čo najväčší počet darčekové sady pre učiteľov. Aký je počet súprav? Aké je zloženie setov?
Príklad 2.1. riešenie problému nájdenia GCD. Nájdenie GCD výberom.
rozhodnutie: Každé z čísel 48 a 36 musí byť deliteľné počtom darov.
1) Napíšte deliteľov 48: 48, 24, 16, 12
, 8, 6, 3, 2, 1
2) Napíšte deliteľov 36: 36, 18, 12
, 9, 6, 3, 2, 1 Vyberte najväčšieho spoločného deliteľa. Op-la-la! Nájdené, toto je počet sád 12 kusov.
3) Vydelíme 48 12, dostaneme 4, vydelíme 36 12, dostaneme 3. Nezabudni na rozmer a napíš odpoveď:
Odpoveď: V každej sade dostanete 12 sád po 4 škrečky a 3 kanvice na kávu.
Najväčší spoločný deliteľ
Definícia 2
Ak je prirodzené číslo a deliteľné prirodzeným číslom $b$, potom $b$ sa nazýva deliteľ $a$ a číslo $a$ sa nazýva násobok $b$.
Nech $a$ a $b$ sú prirodzené čísla. Číslo $c$ sa nazýva spoločný deliteľ pre $a$ aj $b$.
Množina spoločných deliteľov čísel $a$ a $b$ je konečná, pretože žiadny z týchto deliteľov nemôže byť väčší ako $a$. To znamená, že medzi týmito deliteľmi je ten najväčší, ktorý sa nazýva najväčší spoločný deliteľ čísel $a$ a $b$ a na jeho označenie sa používa zápis:
$gcd \ (a;b) \ alebo \ D \ (a;b) $
Ak chcete nájsť najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel:
- Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.
Príklad 1
Nájdite gcd čísel $ 121 $ a $ 132, $
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Vyberte čísla, ktoré sú zahrnuté v rozšírení týchto čísel
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.
$gcd=2\cdot 11=22$
Príklad 2
Nájdite GCD monomiálov 63 $ a 81 $.
Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to:
Rozložme čísla na prvočísla
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Vyberáme čísla, ktoré sú zahrnuté do rozšírenia týchto čísel
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude želaným najväčším spoločným deliteľom.
$gcd=3\cdot 3=9$
GCD dvoch čísel môžete nájsť iným spôsobom, pomocou množiny deliteľov čísel.
Príklad 3
Nájdite gcd čísel $ 48 $ a $ 60 $.
rozhodnutie:
Nájdite množinu deliteľov $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Teraz nájdime množinu deliteľov $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Nájdeme priesečník týchto množín: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - táto množina určí množinu spoločných deliteľov čísel $48$ a $60 $. Najväčší prvok v tejto sade bude číslo $12$. Takže najväčší spoločný deliteľ 48 $ a 60 $ je 12 $.
Definícia NOC
Definícia 3
spoločný násobok prirodzených čísel$a$ a $b$ je prirodzené číslo, ktoré je násobkom $a$ aj $b$.
Spoločné násobky čísel sú čísla, ktoré sú bezo zvyšku deliteľné originálom. Napríklad pre čísla $25$ a $50$ budú spoločnými násobkami čísla $50,100,150,200 $ atď.
Najmenší spoločný násobok sa bude nazývať najmenší spoločný násobok a označí sa LCM$(a;b)$ alebo K$(a;b).$
Ak chcete nájsť LCM dvoch čísel, potrebujete:
- Rozložte čísla na prvočísla
- Vypíšte faktory, ktoré sú súčasťou prvého čísla, a pridajte k nim faktory, ktoré sú súčasťou druhého čísla a nepokračujte k prvému
Príklad 4
Nájdite LCM čísel 99 $ a 77 $.
Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to
Rozložte čísla na prvočísla
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Zapíšte si faktory zahrnuté v prvom
pridajte k nim faktory, ktoré sú súčasťou druhého a nejdú do prvého
Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najmenší spoločný násobok
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Zostavovanie zoznamov deliteľov čísel je často časovo veľmi náročné. Existuje spôsob, ako nájsť GCD nazývaný Euklidov algoritmus.
Vyhlásenia, na ktorých je založený Euklidov algoritmus:
Ak $a$ a $b$ sú prirodzené čísla a $a\vbodky b$, potom $D(a;b)=b$
Ak $a$ a $b$ sú prirodzené čísla také, že $b
Pomocou $D(a;b)= D(a-b;b)$ môžeme postupne znižovať uvažované čísla, až kým nedosiahneme dvojicu čísel tak, že jedno z nich je deliteľné druhým. Potom menšie z týchto čísel bude požadovaným najväčším spoločným deliteľom pre čísla $a$ a $b$.
Vlastnosti GCD a LCM
- Každý spoločný násobok $a$ a $b$ je deliteľný K$(a;b)$
- Ak $a\vdots b$ , potom K$(a;b)=a$
Ak K$(a;b)=k$ a $m$-prirodzené číslo, potom K$(am;bm)=km$
Ak $d$ je spoločný deliteľ pre $a$ a $b$, potom K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Ak $a\vdots c$ a $b\vdots c$ , potom $\frac(ab)(c)$ je spoločný násobok $a$ a $b$
Pre všetky prirodzené čísla $a$ a $b$ je rovnosť
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Každý spoločný deliteľ $a$ a $b$ je deliteľ $D(a;b)$
Nižšie uvedený materiál je logickým pokračovaním teórie z článku pod názvom LCM - najmenší spoločný násobok, definícia, príklady, vzťah medzi LCM a GCD. Tu budeme hovoriť o nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM) a Osobitná pozornosť Poďme sa pozrieť na príklady. Najprv ukážme, ako sa vypočíta LCM dvoch čísel z hľadiska GCD týchto čísel. Ďalej zvážte nájdenie najmenšieho spoločného násobku rozkladom čísel na prvočísla. Potom sa zameriame na nájdenie LCM troch a viacčísla a tiež venujte pozornosť výpočtu LCM záporných čísel.
Navigácia na stránke.
Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) prostredníctvom gcd
Jeden spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na vzťahu medzi LCM a GCD. Existujúci vzťah medzi LCM a GCD vám umožňuje vypočítať najmenší spoločný násobok dvoch kladných celých čísel prostredníctvom známeho najväčšieho spoločného deliteľa. Zodpovedajúci vzorec má tvar LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Zvážte príklady nájdenia LCM podľa vyššie uvedeného vzorca.
Príklad.
Nájdite najmenší spoločný násobok dvoch čísel 126 a 70 .
rozhodnutie.
V tomto príklade a=126, b=70. Využime vzťah medzi LCM a GCD vyjadrený vzorcom LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). To znamená, že najprv musíme nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel 70 a 126, potom môžeme vypočítať LCM týchto čísel podľa napísaného vzorca.
Nájdite gcd(126, 70) pomocou Euklidovho algoritmu: 126=70 1+56, 70=56 1+14, 56=14 4, teda gcd(126, 70)=14.
Teraz nájdeme požadovaný najmenší spoločný násobok: LCM(126; 70)=126 70: GCM(126; 70)= 126 70:14=630.
odpoveď:
LCM(126,70)=630.
Príklad.
Čo je LCM(68, 34)?
rozhodnutie.
Ako 68 je rovnomerne deliteľné 34 , potom gcd(68, 34)=34 . Teraz vypočítame najmenší spoločný násobok: LCM(68; 34)=68 34: LCM(68; 34)= 68 34:34=68.
odpoveď:
LCM(68,34)=68.
Všimnite si, že predchádzajúci príklad vyhovuje nasledujúcemu pravidlu na nájdenie LCM pre kladné celé čísla aab: ak je číslo a deliteľné b, potom najmenší spoločný násobok týchto čísel je a.
Nájdenie LCM rozdelením čísel na hlavné faktory
Ďalší spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na rozklade čísel na prvočísla. Ak vytvoríme súčin všetkých prvočiniteľov týchto čísel, potom z tohto súčinu vylúčime všetky spoločné prvočísla, ktoré sú prítomné v rozšíreniach týchto čísel, potom sa výsledný súčin bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku týchto čísel.
Vyhlásené pravidlo pre hľadanie LCM vyplýva z rovnosti LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). V skutočnosti sa súčin čísel a a b rovná súčinu všetkých faktorov podieľajúcich sa na expanziách čísel a a b. Na druhej strane, gcd(a, b) sa rovná súčinu všetkých prvočísel, ktoré sú súčasne prítomné v expanziách čísel a a b (čo je popísané v časti o nájdení gcd pomocou rozkladu čísel na prvočísla ).
Vezmime si príklad. Nech vieme, že 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . Zostavte súčin všetkých faktorov týchto expanzií: 2 3 3 5 5 5 7 . Teraz z tohto produktu vylúčime všetky faktory, ktoré sú prítomné tak v rozšírení čísla 75, ako aj v rozšírení čísla 210 (takými faktormi sú 3 a 5), potom bude produkt mať tvar 2 3 5 5 7 . Hodnota tohto súčinu sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku čísel 75 a 210, tj. LCM(75; 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Príklad.
Po rozklade čísel 441 a 700 na prvočísla nájdite najmenší spoločný násobok týchto čísel.
rozhodnutie.
Rozložme čísla 441 a 700 na prvočísla:
Dostaneme 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7 .
Teraz urobme súčin všetkých faktorov podieľajúcich sa na expanziách týchto čísel: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Vylúčme z tohto produktu všetky faktory, ktoré sú súčasne prítomné v oboch expanziách (existuje len jeden taký faktor - toto je číslo 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . teda LCM(441; 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
odpoveď:
LCM(441, 700) = 44100.
Pravidlo na nájdenie LCM pomocou rozkladu čísel na prvočísla možno formulovať trochu inak. Ak pripočítame chýbajúce faktory z rozšírenia čísla b k faktorom z rozkladu čísla a, potom sa hodnota výsledného súčinu bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku čísel a a b..
Vezmime si napríklad všetky rovnaké čísla 75 a 210, ich expanzie na prvočísla sú nasledovné: 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . K faktorom 3, 5 a 5 z rozšírenia čísla 75 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 7 z rozšírenia čísla 210, dostaneme súčin 2 3 5 5 7, ktorého hodnota je LCM(75 , 210).
Príklad.
Nájdite najmenší spoločný násobok 84 a 648.
rozhodnutie.
Najprv získame rozklad čísel 84 a 648 na prvočísla. Vyzerajú ako 84=2 2 3 7 a 648=2 2 2 3 3 3 3 . K faktorom 2 , 2 , 3 a 7 z rozšírenia čísla 84 pripočítame chýbajúce faktory 2 , 3 , 3 a 3 z rozšírenia čísla 648 , dostaneme súčin 2 2 2 3 3 3 3 7 , čo sa rovná 4 536 . Požadovaný najmenší spoločný násobok čísel 84 a 648 je teda 4 536.
odpoveď:
LCM(84,648)=4536.
Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel
Najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel možno nájsť postupným nájdením LCM dvoch čísel. Pripomeňme si príslušnú vetu, ktorá umožňuje nájsť LCM troch alebo viacerých čísel.
Veta.
Nech sú dané kladné celé čísla a 1 , a 2 , …, a k, najmenší spoločný násobok m k týchto čísel nájdeme v sekvenčnom výpočte m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , ..., mk=LCM(mk-1, ak).
Zvážte aplikáciu tejto vety na príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku štyroch čísel.
Príklad.
Nájdite LCM štyroch čísel 140, 9, 54 a 250.
rozhodnutie.
V tomto príklade a1=140, a2=9, a3=54, a4=250.
Najprv nájdeme m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Aby sme to dosiahli, pomocou euklidovského algoritmu určíme gcd(140, 9) , máme 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , teda gcd( 140, 9) = 1, odkiaľ LCM(140; 9)=140 9: LCM(140; 9)= 140 9:1=1260. To znamená, m2 = 1 260.
Teraz nájdeme m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Vypočítajme to pomocou gcd(1 260, 54) , ktorý je tiež určený Euklidovým algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Potom gcd(1260,54)=18, odkiaľ LCM(1260,54)= 1260 54:gcd(1260, 54)= 1260 54:18=3780. To znamená, m 3 \u003d 3 780.
Zostáva nájsť m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Aby sme to dosiahli, nájdeme GCD(3 780, 250) pomocou Euklidovho algoritmu: 3 780=250 15+30, 250=30 8+10, 30=10 3 . Preto gcd(3 780, 250)=10 , odkiaľ gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500. To znamená, m 4 \u003d 94 500.
Takže najmenší spoločný násobok pôvodných štyroch čísel je 94 500.
odpoveď:
LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.
V mnohých prípadoch sa najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel pohodlne nájde použitím prvočíselných rozkladov daných čísel. Zároveň by sa malo dodržiavať ďalšie pravidlo. Najmenší spoločný násobok viacerých čísel sa rovná súčinu, ktorý sa skladá takto: chýbajúce činitele z rozšírenia druhého čísla sa pripočítajú ku všetkým činiteľom z rozšírenia prvého čísla, chýbajúce činitele z rozšírenia prvého čísla tretie číslo sa pripočíta k získaným faktorom atď.
Uvažujme o príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku pomocou rozkladu čísel na prvočísla.
Príklad.
Nájdite najmenší spoločný násobok piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.
rozhodnutie.
Najprv získame expanzie týchto čísel na prvočísla: 84=2 2 3 7, 6=2 3, 48=2 2 2 2 3, 7 prvočiniteľov) a 143=11 13 .
Ak chcete nájsť LCM týchto čísel, k faktorom prvého čísla 84 (sú to 2 , 2 , 3 a 7 ) musíte pridať chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla 6 . Rozšírenie čísla 6 neobsahuje chýbajúce faktory, keďže 2 aj 3 sú už prítomné v rozšírení prvého čísla 84 . K faktorom 2 , 2 , 3 a 7 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 2 z rozšírenia tretieho čísla 48 , dostaneme množinu faktorov 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 . V ďalšom kroku nie je potrebné pridávať faktory do tejto sady, pretože 7 je v nej už obsiahnutých. Nakoniec k faktorom 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 pridáme chýbajúce faktory 11 a 13 z rozšírenia čísla 143 . Dostaneme súčin 2 2 2 2 3 7 11 13 , čo sa rovná 48 048 .
